Каква е производната на дроб. Как да намерим производната на дроб

Абсолютно невъзможно е да се решават физически задачи или примери по математика без познания за производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия математически анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производно, какво е неговото физическо и геометричен смисълкак да изчислим производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометричен и физически смисъл на производната

Нека има функция f(x) , даден в някакъв интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разлика в неговите стойности x-x0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяната или увеличението на функция е разликата между стойностите на функцията в две точки. Дефиниция на производната:

Производната на функция в дадена точка е границата на съотношението на приращението на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът от намирането на такава граница? Но коя:

производната на функция в дадена точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

физическо значениепроизводно: времевата производна на пътя е равна на скоростта на праволинейното движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е личен път. x=f(t) и времето т . Средната скоростза определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило първо: извадете константата

Константата може да бъде извадена от знака на производната. Освен това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете като правило - ако можете да опростите израза, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Правило второ: производна на сбора от функции

Производната на сбора от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функция:

Правило трето: производната на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

решение:

Тук е важно да се каже за изчисляването на производни на сложни функции. Производната на комплексна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент на производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо разглеждаме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: Производната на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частно от две функции:

Опитахме се да говорим за деривати за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото звучи, така че бъдете предупредени: често има подводни камъни в примерите, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.

При всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентския сервиз. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния контрол и да се справите със задачи, дори ако никога досега не сте се занимавали с изчисляване на производни.

Определение.Нека функцията \(y = f(x) \) е дефинирана в някакъв интервал, съдържащ точката \(x_0 \) вътре. Нека увеличим \(\Delta x \) към аргумента, за да не напуснем този интервал. Намерете съответното увеличение на функцията \(\Delta y \) (при преминаване от точка \(x_0 \) към точка \(x_0 + \Delta x \)) и съставете релацията \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Ако има граница на тази връзка при \(\Delta x \rightarrow 0 \), тогава посочената граница се нарича производна функция\(y=f(x) \) в точката \(x_0 \) и означаваме \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Символът y често се използва за означаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързан с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се извиква така: производна на функцията y \u003d f (x).

Геометричното значение на производнатасе състои от следното. Ако допирателна, която не е успоредна на оста y, може да бъде начертана към графиката на функцията y = f (x) в точка с абсцисата x = a, тогава f (a) изразява наклона на допирателната:
\(k = f"(a)\)

Тъй като \(k = tg(a) \), равенството \(f"(a) = tg(a) \) е вярно.

И сега ние тълкуваме определението на производната от гледна точка на приблизителни равенства. Нека функцията \(y = f(x) \) има производна в определена точка \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x, приблизителното равенство \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Смисловото значение на полученото приблизително равенство е следното: нарастването на функцията е „почти пропорционално“ на нарастването на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точкаХ. Например, за функцията \(y = x^2 \) приблизителното равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) е вярно. Ако внимателно анализираме дефиницията на производната, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.

Нека го формулираме.

Как да намерим производната на функцията y \u003d f (x)?

1. Фиксирайте стойността \(x \), намерете \(f(x) \)
2. Увеличете аргумента \(x \) \(\Delta x \), преместете се до нова точка \(x+ \Delta x \), намерете \(f(x+ \Delta x) \)
3. Намерете приращение на функцията: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Съставете релацията \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производна на функцията в x.

Ако функцията y = f(x) има производна в точка x, тогава тя се нарича диференцируема в точка x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y \u003d f (x). диференциацияфункции y = f(x).

Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в точка?

Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точка M (x; f (x)) и, припомнете си, наклонът на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се "счупи" при точката M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в x.

Това беше разсъждение "на пръсти". Нека представим по-строг аргумент. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава приблизителното равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) е валидно. нула, тогава \(\Delta y \ ) също ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в дадена точка.

Така, ако функцията е диференцируема в точка x, тогава тя също е непрекъсната в тази точка.

Обратното не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент е невъзможно да се начертае допирателна към графиката на функцията, тогава няма производна в тази точка.

Още един пример. Функцията \(y=\sqrt(x) \) е непрекъсната на цялата числова права, включително в точката x = 0. И допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 Но в този момент допирателната съвпада с оста y, тоест тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, нейното уравнение има формата x \u003d 0. Няма наклон за такава права линия, което означава, че \ ( f "(0) \) също не съществува

И така, се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как можете да разберете дали една функция е диференцирана от графиката на функция?

Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в даден момент може да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на оста x, тогава в този момент функцията е диференцируема. Ако в даден момент допирателната към графиката на функцията не съществува или е перпендикулярна на оста x, тогава в този момент функцията не е диференцируема.

Правила за диференциране

Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и с "функции на функции", тоест сложни функции. Въз основа на дефиницията на производната можем да изведем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следното е вярно правила за диференциация:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \вдясно) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Производна на съставната функция:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица на производните на някои функции

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Изчисляване на производние една от най-важните операции в диференциалното смятане. По-долу е дадена таблица за намиране на производни прости функции. За по-сложни правила за диференциране вижте други уроци:

• Таблица на производните на експоненциални и логаритмични функции

Използвайте дадените формули като референтни стойности. Те ще помогнат при решаването на диференциални уравнения и задачи. На снимката, в таблицата на производните на прости функции, има "мамачка" на основните случаи на намиране на производната във форма, която е разбираема за използване, до нея има обяснения за всеки случай.

Производни на прости функции

1. Производна на числонула
с´ = 0
пример:
5' = 0

Обяснение:
Производната показва скоростта, с която стойността на функцията се променя при промяна на аргумента. Тъй като числото не се променя по никакъв начин при никакви условия, скоростта на неговата промяна винаги е нула.

2. Производна на променливаравно на едно
х' = 1

Обяснение:
С всяко увеличение на аргумента (x) с едно, стойността на функцията (резултатът от изчислението) се увеличава със същото количество. Така скоростта на промяна на стойността на функцията y = x е точно равна на скоростта на промяна на стойността на аргумента.

3. Производната на променлива и фактор е равна на този фактор
сx´ = с
пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Обяснение:
В този случай всеки път аргументът на функцията ( х) стойността му (y) нараства сведнъж. По този начин скоростта на промяна на стойността на функцията по отношение на скоростта на промяна на аргумента е точно равна на стойността с.

Откъдето следва, че
(cx + b)" = c
тоест диференциалът на линейната функция y=kx+b е равен на ъглов коефициентнаклон на правата линия (k).

4. Модулно производна на променливае равно на частното на тази променлива към нейния модул
|x|"= x / |x| при условие, че x ≠ 0
Обяснение:
Тъй като производната на променливата (виж формула 2) е равна на единица, производната на модула се различава само по това, че стойността на скоростта на промяна на функцията се променя на обратното при пресичане на началната точка (опитайте се да начертаете графика на функцията y = |x| и вижте сами. Това е точно стойност и връща израза x / |x| Когато x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - едно. Тоест при отрицателни стойностипроменлива x, с всяко увеличение на промяната на аргумента, стойността на функцията намалява с точно същата стойност, а за положителните, напротив, се увеличава, но с точно същата стойност.

5. Производна на степен на променливае равно на произведението на числото на тази степен и променливата в степента, намалена с единица
(x c)"= cx c-1, при условие че x c и cx c-1 са дефинирани и c ≠ 0
пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
За запомняне на формулата:
Вземете експонента на променливата "надолу" като множител и след това намалете самата степен с единица. Например, за x 2 - две беше пред x, а след това намалената мощност (2-1 = 1) просто ни даде 2x. Същото се случи и за x 3 - намаляваме тройката, намаляваме я с единица и вместо куб имаме квадрат, тоест 3x 2 . Малко "ненаучно", но много лесно за запомняне.

6.Фракционна производна 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
пример:
Тъй като една дроб може да бъде представена като повишаване на отрицателна степен
(1/x)" = (x -1)" , тогава можете да приложите формулата от правило 5 на таблицата с производните
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Фракционна производна с променлива с произволна степенв знаменателя
(1/x c)" = - c / x c+1
пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. коренна производна(производна на променливата под корен квадратен)
(√x)" = 1 / (2√x)или 1/2 x -1/2
пример:
(√x)" = (x 1/2)", за да можете да приложите формулата от правило 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Производна на променлива под корен от произволна степен
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)