Ирационални уравнения и начини за тяхното решаване. Ирационални уравнения

Отговор: х = 3.

8 метод. Приложение на производната при решаване на ирационални уравнения

Най-често при решаване на уравнения по метода на производните се използва методът на оценка.

ПРИМЕР 15:

Решете уравнението: (1)

Решение: Тъй като https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Помислете за функцията ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> изобщо и следователно се увеличава. Следователно, уравнението е еквивалентно на уравнение, което има корен, който е корен на оригиналното уравнение.

Отговор:

ПРИМЕР 16:

Решете ирационалното уравнение:

Областта на дефиниране на функцията е сегмент. Намерете най-големия и най-малката стойностстойностите на тази функция на интервала. За да направим това, намираме производната на функцията f(х): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Нека намерим стойностите на функцията f(х)в краищата на сегмента и в точката : Така че, Но и следователно равенството е възможно само при условие https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Проверката показва, че числото 3 е коренът на това уравнение.

Отговор:х = 3.

9 метод. Функционална

На изпитите понякога предлагат да се решат уравнения, които могат да бъдат записани във формата , където е определена функция.

Например, някои уравнения: 1) 2) . Наистина, в първия случай , във втория случай . Следователно, решавайте ирационални уравнения, като използвате следното твърдение: ако функцията е строго нарастваща на множеството хи за всяко , тогава уравненията и т.н. са еквивалентни на множеството х .

Решете ирационалното уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> стриктно се увеличава на снимачната площадка R,и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > който има уникален корен Следователно еквивалентното уравнение (1) също има уникален корен

Отговор:х = 3.

ПРИМЕР 18:

Решете ирационалното уравнение: (1)

По силата на дефиницията на квадратния корен получаваме, че ако уравнение (1) има корени, то те принадлежат на множеството DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Помислете за функцията https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21">, която стриктно се увеличава в този набор за всеки ..gif" width="100" височина ="41"> който има един корен Следователно и е еквивалентен на него в множеството хуравнение (1) има един корен

Отговор: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Решение: Това уравнение е еквивалентно на смесена система

Ако уравнението съдържа променлива под знака квадратен корен, тогава уравнението се нарича ирационално.
Помислете за ирационалното уравнение

Това равенство, по дефиниция на квадратния корен, означава, че 2x + 1 = 32. Всъщност преминахме от даденото ирационално уравнение към рационалното уравнение 2x + 1 = 9, като поставихме на квадрат двете страни на ирационалното уравнение. Методът за квадратура на двете страни на уравнението е основният метод за решаване на ирационални уравнения. Това обаче е разбираемо: как иначе да се отървем от знака на квадратния корен? От уравнението 2x + 1 = 9 намираме x = 4.
Това е както коренът на уравнението 2x + 1 = 9, така и на даденото ирационално уравнение.
Методът на квадратура е технически прост, но понякога води до проблеми. Да разгледаме, например, ирационалното уравнение

Като квадратуваме и двете страни, получаваме

След това имаме:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; х = 1.
Но стойността x - 1, която е корен на рационалното уравнение 2x - 5 = 4x - 7, не е корен на даденото ирационално уравнение. Защо? Замествайки 1 вместо x в даденото ирационално уравнение, получаваме . Как можем да говорим за изпълнение на числово равенство, ако и лявата, и дясната му част съдържат изрази, които нямат смисъл? В такива случаи те казват: x \u003d 1 е външен корен за дадено ирационално уравнение. Оказва се, че даденото ирационално уравнение няма корени.
Нека решим ирационалното уравнение

-
Корените на това уравнение могат да бъдат намерени устно, както направихме в края на предишния параграф: тяхното произведение е - 38, а сборът е - 17; лесно е да се досетите, че това са числата 2
и - 19. И така, x 1 = 2, x 2 = - 19.
Замествайки стойността 2 вместо x в даденото ирационално уравнение, получаваме

Това не е вярно.
Замествайки стойността - 19 вместо x в даденото ирационално уравнение, получаваме

Това също е неправилно.
Какъв е изводът? И двете намерени стойности са външни корени. С други думи, даденото ирационално уравнение, както и предишното, няма корени.
Външен корен не е нова концепция за вас, външни корени вече са срещани при решаването на рационални уравнения, проверката помага за откриването им. За ирационални уравнения проверката е задължителна стъпка при решаването на уравнението, което ще помогне да се открият външни корени, ако има такива, и да се изхвърлят (обикновено казват „отстранете“).

И така, едно ирационално уравнение се решава чрез квадратура на двете му части; след като се реши полученото рационално уравнение, е необходимо да се направи проверка, като се елиминират възможните външни корени.

Използвайки това извличане, нека разгледаме няколко примера.

Пример 1реши уравнението

Решение. Нека квадратурираме двете страни на уравнение (1):

След това, последователно имаме

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9x + 20 = 0;
х 1 = 5, х 2 = 4.
Преглед. Замествайки x \u003d 5 в уравнение (1), получаваме - правилното равенство. Замествайки x \u003d 4 в уравнение (1), получаваме - правилното равенство. Следователно и двете намерени стойности са корените на уравнение (1).
O n e t: 4; пет.

Пример 2реши уравнението
(срещнахме това уравнение в § 22 и „отложихме“ решението му за по-добри времена.) на ирационално уравнение, получаваме
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Тогава имаме
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92x + 960 = 0;
х 1 = 80, х 2 = 12.
Преглед. Замествайки x = 80 в даденото ирационално уравнение, получаваме

Това очевидно е неправилно равенство, тъй като дясната му страна съдържа отрицателно число, а лявата - положително число. Така че x = 80 е външен корен за това уравнение.

Замествайки x = 12 в даденото ирационално уравнение, получаваме

т.е. = 20, е правилното равенство. Следователно, x = 12 е коренът на това уравнение.
Отговор: 12.

Разделяме двете части на последния член на уравнението по член на 2:

Преглед. Замествайки стойността x = 14 в уравнение (2), получаваме е неправилно равенство, така че x = 14 е външен корен.
Замествайки стойността x = -1 в уравнение (2), получаваме
- истинско равенство. Следователно x = - 1 е коренът на уравнение (2).
А н е т : - 1.

Пример 4реши уравнението

Решение. Разбира се, можете да решите това уравнение по същия начин, който използвахме в предишните примери: пренапишете уравнението във формата

Квадратирайте двете страни на това уравнение, решете полученото рационално уравнение и проверете намерените корени, като ги заместите в
оригинално ирационално уравнение.

Но ще използваме по-елегантен начин: въвеждаме нова променлива y = . Тогава получаваме 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - квадратно уравнение по отношение на променливата y. Нека намерим нейните корени: y 1 = 1, y 2 = -. Така задачата се свежда до решаване на две

От първото уравнение намираме x \u003d 1, второто уравнение няма корени (нали си спомняте, че приема само неотрицателни стойности).
Отговор: 1.
Завършваме този раздел с доста сериозна теоретична дискусия. Въпросът е следният. Вече сте натрупали известен опит в решаването на различни уравнения: линейни, квадратни, рационални, ирационални. Знаете, че при решаване на уравнения се извършват различни трансформации,
например: член на уравнението се прехвърля от една част на уравнението в друга с противоположен знак; двете страни на уравнението се умножават или разделят на едно и също число, различно от нула; отървете се от знаменателя, т.е. заменете уравнението = 0 с уравнението p (x) = 0; И двете страни на уравнението са на квадрат.

Разбира се, забелязахте, че в резултат на някои трансформации могат да се появят външни корени и затова трябваше да бъдете бдителни: проверете всички намерени корени. Така че сега ще се опитаме да разберем всичко това от теоретична гледна точка.

Определение. Две уравнения f (x) = g (x) и r (x) = s (x) се наричат ​​еквивалентни, ако имат еднакви корени (или, по-специално, ако и двете уравнения нямат корени).

Обикновено при решаването на уравнение те се опитват да заменят това уравнение с по-просто, но еквивалентно на него. Такава промяна се нарича еквивалентна трансформация на уравнението.

Следните трансформации са еквивалентни трансформации на уравнението:

1. Прехвърляне на членове на уравнението от една част на уравнението в друга с противоположни знаци.
Например, замяната на уравнението 2x + 5 = 7x - 8 с уравнението 2x - 7x = - 8 - 5 е еквивалентна трансформация на уравнението. Означава, че

уравненията 2x + 5 = 7x -8 и 2x - 7x = -8 - 5 са ​​еквивалентни.

2. Умножение или разделяне на двете страни на уравнение на едно и също число, различно от нула.
Например, заменяйки уравнението 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 с уравнението 5x 2 - Zx \u003d 20
(и двете части на уравнението бяха умножени член по член по 10) е еквивалентна трансформация на уравнението.

Нееквивалентни трансформации на уравнението са следните трансформации:

1. Освобождаване от знаменатели, съдържащи променливи.
Например, замяната на уравнение с уравнението x 2 \u003d 4 е нееквивалентна трансформация на уравнението. Факт е, че уравнението x 2 \u003d 4 има два корена: 2 и - 2, и дадено уравнениестойността x = 2 не може да удовлетвори (знаменателят изчезва). В такива случаи казахме това: x \u003d 2 е външен корен.

2. Квадратиране на двете страни на уравнението.
Няма да даваме примери, тъй като в този параграф имаше доста от тях.
Ако в процеса на решаване на уравнението е използвана една от посочените нееквивалентни трансформации, тогава всички намерени корени трябва да бъдат проверени чрез заместване в оригиналното уравнение, тъй като сред тях може да има външни корени.

Тема: „Ирационални уравнения на вида , .»

(Методическа разработка.)

Основни понятия

Ирационални уравнения наричани уравнения, в които променливата се съдържа под знака на корена (радикал) или знака за повишаване на дробна степен.

Уравнение от формата f(x)=g(x), където поне един от изразите f(x) или g(x) е ирационален ирационално уравнение.

Основни свойства на радикалите:

• Всички радикали равномерна степен са аритметика, тези. ако радикалният израз е отрицателен, тогава радикалът няма смисъл (не съществува); ако коренният израз е равен на нула, тогава радикалът също е нула; ако изразът на радикала е положителен, тогава стойността на радикала съществува и е положителна.
• Всички радикали нечетна степен са дефинирани за всяка стойност на радикалния израз. Освен това, радикалът е отрицателен, ако изразът на радикала е отрицателен; е нула, ако коренният израз е нула; е положителен, ако подчиненият израз е положителен.

Методи за решаване на ирационални уравнения

Решете ирационално уравнение - означава да се намерят всички реални стойности на променливата, когато се заменят в оригиналното уравнение, то се превръща в правилно числово равенство или да се докаже, че такива стойности не съществуват. Ирационалните уравнения се решават върху множеството от реални числа R.

Обхватът на валидните стойности на уравнението се състои от онези стойности на променливата, за които всички изрази под знака на радикали от четна степен са неотрицателни.

Основните методи за решаване на ирационални уравнения са:

а) методът за издигане на двете части на уравнението в една и съща степен;

б) методът за въвеждане на нови променливи (метод на замествания);

в) изкуствени методи за решаване на ирационални уравнения.

В тази статия ще се съсредоточим върху разглеждането на уравнения от формата, дефинирана по-горе, и ще представим 6 метода за решаване на такива уравнения.

1 метод. куб.

Този метод изисква използването на съкратени формули за умножение и не съдържа "подводни камъни", т.е. не води до появата на външни корени.

Пример 1реши уравнението

решение:

Пренаписваме уравнението във формата и нарежете куб от двете му страни. Получаваме уравнение, еквивалентно на това уравнение,

Отговор: x=2, x=11.

Пример 2. Решете уравнението.

Решение:

Нека пренапишем уравнението във формата и да повдигнем двете му страни в куб. Получаваме уравнение, еквивалентно на това уравнение

и разгледайте полученото уравнение като квадратно по отношение на един от корените

следователно, дискриминантът е 0 и уравнението може да има решение x=-2.

Преглед:

Отговор: x=-2.

Коментирайте: Проверката може да бъде пропусната, ако квадратното уравнение е завършено.

2 метод. Куб с помощта на формула.

Ще продължим да кубираме уравнението, но в същото време ще използваме модифицирани формули за съкратено умножение.

Нека използваме формулите:

(малка модификация известна формула), тогава

Пример3.реши уравнението .

Решение:

Нека сглобим уравнението в куб с помощта на формулите, дадени по-горе.

Но изразът трябва да е равно на дясната страна. Следователно имаме:

.

Сега, когато сме кубирани, получаваме обичайното квадратно уравнение:

, и неговите два корена

И двете стойности, както е показано от теста, са правилни.

Отговор: x=2, x=-33.

Но дали всички трансформации тук са еквивалентни? Преди да отговорим на този въпрос, нека решим още едно уравнение.

Пример 4.Решете уравнението.

Решение:

Повишавайки, както преди, двете части на трета степен, имаме:

Откъде (като се има предвид, че изразът в скоби е ), получаваме:

Получаваме, .Нека направим проверка и се уверим, че x=0 е външен корен.

Отговор: .

Нека да отговорим на въпроса: "Защо са възникнали външни корени?"

Равенството води до равенство . Заменяйки от с -s, получаваме:

Лесно е да се провери самоличността

Така че, ако , тогава или , или . Уравнението може да се представи като , .

Замествайки от с -s, получаваме: if , тогава или , или

Ето защо, когато използвате този метод на решение, е наложително да проверите и да се уверите, че няма външни корени.

3 метод. Системен метод.

Пример 5реши уравнението .

Решение:

Нека бъде , . Тогава:

Как е очевидно, че

Второто уравнение на системата се получава по такъв начин, че линейната комбинация от радикални изрази да не зависи от първоначалната променлива.

Лесно е да се види, че системата няма решение и следователно оригиналното уравнение няма решение.

Отговор: Без корени.

Пример 6реши уравнението .

Решение:

Въвеждаме замяна, съставяме и решаваме система от уравнения.

Нека бъде , . Тогава

Връщайки се към оригиналната променлива, имаме:

Отговор: x=0.

4 метод. Използване на монотонността на функциите.

Преди да използвате този метод, нека се обърнем към теорията.

Ще ни трябват следните свойства:

Пример 7реши уравнението .

Решение:

Лявата страна на уравнението е нарастваща функция, а дясната е число, т.е. константа, следователно, уравнението има не повече от един корен, който избираме: x = 9. Проверка, за да се уверите, че коренът е подходящ.

Уравненията се наричат ​​ирационални, ако съдържат неизвестна величина под знака на корена. Това са например уравненията

В много случаи чрез еднократно или многократно прилагане на степента на двете части на уравнението е възможно ирационалното уравнение да се сведе до алгебрично уравнение от една или друга степен (което е следствие от първоначалното уравнение). Тъй като при издигане на уравнението на степен могат да се появят външни решения, тогава, след като решихме алгебричното уравнение, към което сме свели това ирационално уравнение, трябва да проверим намерените корени, като ги заместим в оригиналното уравнение и да запазим само тези, които го удовлетворяват, и изхвърлете останалите - външни.

Когато решаваме ирационални уравнения, ние се ограничаваме само до техните реални корени; всички корени от четна степен в записването на уравненията се разбират в аритметичен смисъл.

Помислете за някои типични примериирационални уравнения.

A. Уравнения, съдържащи неизвестното под знака за корен квадратен. Ако това уравнение съдържа само едно Корен квадратен, под знака на който има неизвестно, тогава този корен трябва да бъде изолиран, тоест поставен в една част от уравнението, а всички останали членове трябва да бъдат прехвърлени в друга част. След квадратура на двете страни на уравнението, ние вече сме се освободили от ирационалността и получихме алгебрично уравнение за

Пример 1. Решете уравнението.

Решение. Изолираме корена от лявата страна на уравнението;

Извеждаме на квадрат полученото уравнение:

Намираме корените на това уравнение:

Проверката показва, че удовлетворява само оригиналното уравнение.

Ако уравнението включва два или повече корена, съдържащи x, тогава квадратурата трябва да се повтори няколко пъти.

Пример 2. Решете следните уравнения:

Решение, а) Квадратираме двете страни на уравнението:

Разделяме корена:

Полученото уравнение отново се квадратира:

След трансформации получаваме следното квадратно уравнение за:

реши го:

Чрез заместването в оригиналното уравнение се уверяваме, че има неговия корен, но той е външен корен за него.

б) Примерът може да бъде решен по същия начин, по който беше решен пример а). Възползвайки се обаче от факта, че дясната страна на това уравнение не съдържа неизвестно количество, ще продължим по различен начин. Умножаваме уравнението по израза, конюгиран към лявата му страна; получаваме

Вдясно е произведението на сбора и разликата, тоест разликата на квадратите. Оттук

От лявата страна на това уравнение беше сумата от квадратните корени; от лявата страна на полученото сега уравнение е разликата на същите корени. Нека запишем дадените и получените уравнения:

Като вземем сбора от тези уравнения, получаваме

Привеждаме в квадрат последното уравнение и след опростяване получаваме

От тук намираме. С проверката се убеждаваме, че само числото служи като корен на това уравнение. Пример 3. Решете уравнението

Тук вече под знака на радикала имаме квадратни тричлени.

Решение. Умножаваме уравнението по израза, конюгиран с лявата му страна:

Извадете последното уравнение от даденото:

Нека квадратурираме това уравнение:

От последното уравнение намираме . С проверката се убеждаваме, че само числото x = 1 служи като корен на това уравнение.

Б. Уравнения, съдържащи корени от трета степен. Системи от ирационални уравнения. Ние се ограничаваме до отделни примери за такива уравнения и системи.

Пример 4. Решете уравнението

Решение. Нека покажем два начина за решаване на уравнение (70.1). Първи начин. Нека сложим на куб и двете страни на това уравнение (вижте формула (20.8)):

(тук сме заменили сумата кубични корениномер 4, използвайки уравнението).

Така че имаме

т.е., след опростяване,

откъдето и двата корена удовлетворяват оригиналното уравнение.

Вторият начин. Нека сложим

Уравнението (70.1) ще бъде записано като . Освен това е ясно, че. От уравнение (70.1) преминахме към системата

Разделяйки първото уравнение на системния член по член на второто, намираме

Ирационално уравнение е всяко уравнение, което съдържа функция под основния знак. Например:

Такива уравнения винаги се решават в 3 стъпки:

1. Отделете корена. С други думи, ако има други числа или функции вляво от знака за равенство в допълнение към корена, всичко това трябва да се премести вдясно чрез промяна на знака. В същото време отляво трябва да остане само радикалът – без коефициенти.
2. 2. Привеждаме в квадрат двете страни на уравнението. В същото време не забравяйте, че обхватът на корена е всички неотрицателни числа. Оттук и функцията отдясно ирационално уравнениетрябва също да бъде неотрицателно: g (x) ≥ 0.
3. Третата стъпка логично следва от втората: трябва да извършите проверка. Факт е, че във втората стъпка бихме могли да имаме допълнителни корени. И за да ги отрежете, е необходимо да замените получените кандидат-числа в оригиналното уравнение и да проверите: наистина ли се получава правилното числово равенство?

Решаване на ирационално уравнение

Нека се заемем с нашето ирационално уравнение, дадено в самото начало на урока. Тук коренът вече е изолиран: вляво от знака за равенство няма нищо друго освен корена. Нека квадратираме двете страни:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Решаваме полученото квадратно уравнение чрез дискриминанта:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
х 1 = 6; x 2 \u003d -2

Остава само да заменим тези числа в оригиналното уравнение, т.е. извършете проверка. Но дори и тук можете да направите правилното нещо, за да опростите окончателното решение.

Как да опростим решението

Нека помислим: защо изобщо проверяваме в края на решаването на ирационално уравнение? Искаме да сме сигурни, че когато заместваме нашите корени, ще има неотрицателно число вдясно от знака за равенство. В края на краищата вече знаем със сигурност, че това е неотрицателно число отляво, защото аритметичният квадратен корен (заради което нашето уравнение се нарича ирационално) по дефиниция не може да бъде по-малко от нула.

Следователно всичко, което трябва да проверим е, че функцията g ( x ) = 5 − x , която е вдясно от знака за равенство, е неотрицателна:

g(x) ≥ 0

Заместваме нашите корени в тази функция и получаваме:

g (x 1) = g (6) \u003d 5 - 6 = -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

От получените стойности следва, че коренът x 1 = 6 не ни подхожда, тъй като при заместване в дясната страна на оригиналното уравнение получаваме отрицателно число. Но коренът x 2 \u003d −2 е доста подходящ за нас, защото:

1. Този корен е решението на квадратното уравнение, получено чрез повдигане на двете страни ирационално уравнениев квадрат.
2. Дясната страна на оригиналното ирационално уравнение, когато коренът x 2 = −2 се замести, се превръща в положително число, т.е. обхват аритметичен коренне счупен.

Това е целият алгоритъм! Както можете да видите, решаването на уравнения с радикали не е толкова трудно. Основното нещо е да не забравяте да проверите получените корени, в противен случай е много вероятно да получите допълнителни отговори.