Примери са степени с рационални и ирационални показатели. Степен на брой: определения, обозначение, примери

В тази статия ще разберем какво е степен на. Тук ще дадем определения за степента на число, като същевременно разгледаме подробно всички възможни експоненти на степента, като се започне с естествена степен, завършва се с ирационална. В материала ще намерите много примери за степени, обхващащи всички тънкости, които възникват.

Навигация в страницата.

Степен с естествен степен, квадрат на число, куб от число

Да започнем с . Гледайки напред, нека кажем, че определението на степента на a с естествен експонент n е дадено за a , което ще наречем основа на степента, и n , които ще наречем експонент. Също така отбелязваме, че степента с естествен показател се определя чрез продукта, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате представа за умножението на числата.

Определение.

Степента на число a с естествен степен nе израз на формата a n , чиято стойност е равна на произведението на n фактора, всеки от които е равен на a , тоест .
По-специално, степента на число a с степен 1 ​​е самото число a, тоест a 1 =a.

Веднага си струва да споменем правилата за четене на степени. Универсален начинчетенето на записа a n е: "a на степен n". В някои случаи са приемливи и такива опции: "a на n-та степен" и "n-та степен на числото a". Например, да вземем степента 8 12, това е "осем на степен на дванадесет", или "осем на дванадесета степен", или "дванадесета степен на осем".

Втората степен на число, както и третата степен на число, имат свои собствени имена. Втора степен на число се нарича квадратът на число, например, 7 2 се чете като "седем на квадрат" или "квадрат на числото седем". Третата степен на число се нарича номер на куб, например, 5 3 може да се чете като "пет кубчета" или да се каже "куб от числото 5".

Време е да донесете примери за степени с физически показатели. Нека започнем със степента на 5 7 , където 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4.32 е основата, а естественото число 9 е степента (4.32) 9 .

Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е записана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще вземем в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , техните основи не са естествени числа, така че са записани в скоби. Е, за пълна яснота в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите от вида (−2) 3 и −2 3 . Изразът (−2) 3 е степента на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да се запише като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .

Забележете, че има нотация за степента на a с експонента n от вида a^n . Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава степента се взема в скоби. Например, 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още примери за записване на степени с помощта на символа „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . По-нататък ще използваме основно обозначението на степента на формата a n .

Един от проблемите, обратни на степенуването с естествен експонент, е проблемът за намиране на основата на степента чрез известна стойностстепен и известен показател. Тази задача води до.

Известно е, че множеството от рационални числа се състои от цели и дробни числа, и всяко дробно числомогат да бъдат представени като положителни или отрицателни обикновена дроб. Дефинирахме степента с целочислен експонент в предишния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степента с рационален индикатор, трябва да дадете значението на степента на числото a с дробен показател m / n, където m е цяло число, а n е естествено число. Хайде да го направим.

Помислете за степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството на степен в степен, трябва да е валидно равенството . Ако вземем предвид полученото равенство и как сме дефинирали , тогава е логично да приемем, при условие че за дадени m, n и a изразът има смисъл.

Лесно е да се провери дали всички свойства на степен с целочислен показател са валидни за as (това се прави в раздела за свойствата на степен с рационален показател).

Горните разсъждения ни позволяват да направим следното заключение: ако за дадени m, n и a изразът има смисъл, тогава степента на числото a с дробен показател m / n се нарича корен от n-та степен от a до степен m.

Това твърдение ни доближава до определението за степен с дробен показател. Остава само да се опише за кои m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m , n и a, има два основни подхода.

Най-лесният начин да ограничите a е да приемете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като m≤0 няма мощност от 0 m). Тогава получаваме следното определение на степента с дробен показател.

Определение.

Степента на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число, а n е естествено число, се нарича корен на n-то от числото a на степен на m, т.е.

Дробната степен на нула също се дефинира с единственото предупреждение, че степента трябва да е положителна.

Определение.

Мощност на нула с дробна положителна степен m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е дефинирана, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при такова определение на степента с дробен показател има един нюанс: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0 . Например, има смисъл да се пише или , и горната дефиниция ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата са безсмислени, тъй като основата не трябва да е отрицателна.

Друг подход за определяне на степента с дробен показател m / n е отделно да се разгледат четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е, се счита за степен на числото a, чийто показател е съответната неприводима дроб (важността на това условие ще бъде обяснена по-долу). Тоест, ако m/n е неприводима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .

За четно n и положително m изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (коренът от четна степен от отрицателно число няма смисъл), за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (в противен случай има ще бъде деление на нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всичко (коренът от нечетна степен е дефиниран за произволно реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (за да няма деление на нула).

Горните разсъждения ни водят до такова определение на степента с дробен показател.

Определение.

Нека m/n е неприводима дроб, m цяло число и n естествено число. За всяка редуцируема обикновена фракция степента се заменя с . Степента на a с несводим дробен показател m / n е за



Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с несводим степен. Ако просто дефинираме степента като , и не правим резервация за несводимостта на дроба m / n , тогава ще срещнем ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10=3/5 , тогава равенството , но , а .

Видео урокът "Степен с рационален индикатор" съдържа нагледно учебен материалда преподавам по тази тема. Видеоурокът съдържа информация за концепцията за степен с рационален показател, свойства на такива степени, както и примери, описващи използването на учебен материал за решаване на практически задачи. Задачата на този видео урок е да представи нагледно и ясно учебния материал, да улесни неговото развитие и запомняне от учениците, да формира способност за решаване на задачи, използвайки научените понятия.

Основните предимства на видео урока са възможността за извършване на визуални трансформации и изчисления, възможността за използване на анимационни ефекти за подобряване на ефективността на обучението. Гласовият акомпанимент помага да се развие правилна математическа реч, а също така дава възможност да се замени обяснението на учителя, освобождавайки го за индивидуална работа.

Видеоурокът започва с представяне на темата. Свързващо проучване нова темас предварително проучения материал се предлага да се припомни, че n √ a иначе се означава с 1/n за естествено n и положително a. Това представяне на n-корен се показва на екрана. Освен това се предлага да се разгледа какво означава изразът a m / n, в който a е положително число, а m / n е някаква дроб. Определението на степента, подчертано в полето, е дадено с рационален експонента като a m/n = n √ a m . Отбелязва се, че n може да бъде естествено число, а m - цяло число.

След определяне на степента с рационален показател, нейното значение се разкрива с примери: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Показан е също пример, при който степен, представена с десетичен знак, се преобразува в обикновена дроб, за да бъде представена като корен: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример от отрицателна стойностградуса: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Отделно се посочва особеност на конкретен случай, когато основата на степента е нула. Отбелязва се, че тази степен има смисъл само с положителен дробен показател. В този случай стойността му е равна на нула: 0 m/n =0.

Отбелязва се и друга особеност на степента с рационален показател – че степента с дробен показател не може да се разглежда с дробна степен. Дадени са примери за неправилно отбелязване на степента: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

По-нататък във видео урока се разглеждат свойствата на степен с рационален показател. Отбелязва се, че свойствата на степен с целочислена степен ще са валидни и за степен с рационален показател. Предлага се да се припомни списъкът с имоти, които също са валидни в този случай:

1. При умножаване на степени с същите основаниятехните показатели се сумират: a p a q =a p+q .
2. Делението на степени със същите основи се свежда до степен с дадена основа и разликата в степените: a p:a q =a p-q .
3. Ако вдигнем степента до определена степен, тогава в резултат получаваме степента с дадената основа и произведението на степените: (a p) q =a pq .

Всички тези свойства са валидни за степени с рационални експоненти p, q и положителна основа a>0. Също така трансформациите на степените остават верни при отваряне на скоби:

1. (ab) p =a p b p - издигането на произведение от две числа на определена степен с рационален показател се свежда до произведение на числа, всяко от които се повишава до дадена степен.
2. (a/b) p =a p /b p - степенуването с рационален показател на дроб се свежда до дроб, чийто числител и знаменател се повишават до дадена степен.

Видеоурокът обсъжда решението на примери, които използват разглежданите свойства на степени с рационален показател. В първия пример се предлага да се намери стойността на израз, който съдържа променливите x на дробна степен: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Въпреки сложността на израза, използвайки свойствата на степените, той се решава доста просто. Решаването на задачата започва с опростяване на израза, при което се използва правилото за повишаване на степен с рационален показател на степен, както и умножаване на степени със същата основа. След заместване на дадената стойност x=8 в опростения израз x 1/3 +48, ​​е лесно да се получи стойността - 50.

Във втория пример се изисква да се намали дроб, чийто числител и знаменател съдържат степени с рационален показател. Използвайки свойствата на степента, избираме коефициента x 1/3 от разликата, който след това се намалява в числителя и знаменателя и използвайки формулата за разликата на квадратите, числителят се разлага на фактори, което дава повече намаления на същите фактори в числителя и знаменателя. Резултатът от такива трансформации е къса дроб x 1/4 +3.

Видео урокът „Степен с рационален показател” може да се използва вместо учителят да обяснява новата тема на урока. Също така, това ръководство съдържа достатъчно информация за самоподготовкастудент. Материалът може да бъде полезен при дистанционно обучение.

MBOU „Сидорская

общообразователно училище»

Разработване на план-очерк открит урок

по алгебра в 11 клас по темата:

Подготвени и проведени

учител по математика

Исхакова Е.Ф.

Схема на открит урок по алгебра в 11 клас.

Предмет : "Степен с рационален показател".

Тип урок : Изучаване на нов материал

Цели на урока:

Да запознае студентите с понятието степен с рационален показател и основните му свойства, въз основа на предварително проучен материал (степен с целочислен показател).

Развийте изчислителни умения и способност за преобразуване и сравняване на числа с рационален показател.

Да възпитава математическа грамотност и математически интерес у учениците.

Оборудване : Карти със задачи, презентация на ученик по степен с целочислен показател, презентация на учител по степен с рационален индикатор, лаптоп, мултимедиен проектор, екран.

По време на часовете:

Организиране на времето.

Проверка на усвояването на темата, обхваната от индивидуални карти със задачи.

Задача номер 1.

=2;

Б) = х + 5;

Решете системата ирационални уравнения: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Задача номер 2.

Решете ирационалното уравнение: = - 3;

Б) = x - 2;

Решете система от ирационални уравнения: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Представяне на темата и целите на урока.

Темата на днешния ни урок Степен с рационален показател».

Обяснение на нов материал на примера на предварително изучен.

Вече сте запознати с концепцията за степен с целочислен показател. Кой може да ми помогне да ги запомня?

Повторение с презентация Степен с целочислен показател».

За всякакви числа a , b и всякакви цели числа m и n са верни равенства:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

а 1 = а; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Днес ще обобщим понятието степен на число и ще придадем смисъл на изрази, които имат дробен показател. Да се ​​представим определениеградуси с рационален индикатор (Презентация "Степен с рационален индикатор"):

Степента на а > 0 с рационален показател r = , където м е цяло число и н - естествено ( н > 1), наречен номер м .

Така че, по дефиниция, получаваме това = м .

Нека се опитаме да приложим това определение при изпълнение на задача.

ПРИМЕР №1

Изразявам като корен от число израза:

НО) Б) AT) .

Сега нека се опитаме да приложим това определение обратно

II Изразете израза като степен с рационален показател:

НО) 2 Б) AT) 5 .

Силата на 0 е дефинирана само за положителни експоненти.

0 r= 0 за всеки r> 0.

Използвайки това определение, Къщище завършите #428 и #429.

Нека сега покажем, че горното определение на степен с рационален показател запазва основните свойства на степени, които са верни за всеки показател.

За всякакви рационални числа r и s и всякакви положителни a и b равенствата са верни:

1 0 . а r а с =a r+s ;

ПРИМЕР: *

20 . a r: a s =a r-s ;

ПРИМЕР: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

ПРИМЕР: ( -2/3

4 0 . ( аб) r = а r б r ; 5 0 . ( = .

ПРИМЕР: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИМЕР за използването на няколко свойства едновременно: * : .

Fizkultminutka.

Поставихме химикалки на бюрото, изправихме гърбовете и сега протягаме напред, искаме да докоснем дъската. И сега се повдигахме и се накланяхме надясно, наляво, напред, назад. Показаха ми писалките, а сега ми покажи как пръстите ти могат да танцуват.

Работете върху материала

Отбелязваме още две свойства на степени с рационални показатели:

60 . Нека бъде r е рационално число и 0< a < b . Тогда

а r < b rв r> 0,

а r < b rв r< 0.

7 0 . За всякакви рационални числаrи сот неравенството r> сследва това

а r> а rза a > 1,

а r < а rна 0< а < 1.

ПРИМЕР: Сравнете числа:

И ; 2 300 и 3 200 .

Резюме на урока:

Днес в урока си припомнихме свойствата на степен с целочислен показател, научихме определението и основните свойства на степен с рационален показател, разгледахме приложението на това теоретичен материална практика по време на тренировка. Искам да обърна внимание на факта, че темата „Степен с рационален показател“ е задължителна в ИЗПОЛЗВАЙТЕ задачи. При подготовката на домашните No 428 и No 429

След като се определи степента на числото, логично е да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като се докоснем до всички възможни експоненти. Тук ще дадем доказателства за всички свойства на степента, а също така ще покажем как тези свойства се прилагат при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на градусите с естествени показатели

По дефиниция на степен с естествен показател, степента на a n е продукт на n фактора, всеки от които е равен на a . Въз основа на това определение и използване свойства за умножение на реални числа, можем да получим и обосноваваме следното свойства на степен с естествен показател:

1. основното свойство на степента a m ·a n =a m+n , нейното обобщение ;
2. свойството на частични степени със същите основи a m:a n =a m−n ;
3. свойство степен на продукт (a b) n =a n b n , неговото разширение ;
4. частно свойство в натура (a:b) n =a n:b n ;
5. степенуване (a m) n =a m n , неговото обобщение (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. сравняване на степен с нула:
   • ако a>0, тогава a n >0 за всяко естествено n;
   • ако a=0, тогава a n =0;
   • ако<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, ако а<0 и показатель степени есть нечетно число 2 m−1 , след това a 2 m−1<0 ;
7. ако a и b са положителни числа и a
8. ако m и n са цели числа, че m>n , след това за 0 0 неравенството a m >a n е вярно.

Веднага отбелязваме, че всички написани равенства са идентичнипри посочените условия, като техните дясна и лява част могат да се сменят. Например, основното свойство на дроба a m a n = a m + n с опростяване на изразитечесто се използва под формата a m+n = a m a n .

Сега нека разгледаме всеки един от тях подробно.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен степен, произведението на степени със същите основи от вида a m a n може да се запише като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да се запише като , и това произведение е степента на a с естествен показател m+n , тоест a m+n . Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, който потвърждава основното свойство на степента. Да вземем степени със същите основи 2 и естествени степени 2 и 3, според основното свойство на степента можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Нека проверим неговата валидност, за което изчисляваме стойностите на изразите 2 2 ·2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32и 2 5 = 2 2 2 2 2 \u003d 32, тъй като се получават равни стойности, тогава равенството 2 2 2 3 = 2 5 е правилно и потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степен въз основа на свойствата на умножението може да се обобщи до произведението на три или повече степени със същите основи и естествени показатели. Така че за произволно число k естествени числа n 1 , n 2 , …, n k равенството a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Например, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можете да преминете към следващото свойство на градуси с естествен индикатор - свойството на частични степени със същите основи: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, удовлетворяващи условието m>n , равенството a m:a n =a m−n е вярно.

Преди да дадем доказателство за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия в твърдението. Условието a≠0 е необходимо, за да се избегне деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че е невъзможно да се дели на нула. Условието m>n се въвежда, за да не излизаме извън естествените експоненти. Всъщност за m>n експонентът a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n ), или отрицателно число (което се случва за m

Доказателство. Основното свойство на дроб ни позволява да запишем равенството a m−n a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и от него следва, че a m−n е частно от степени на a m и a n . Това доказва свойството на частични степени със същите основи.

Да вземем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени експоненти 5 и 2, разглежданото свойство на степента съответства на равенството π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Сега помислете свойство степен на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степени a n и b n , тоест (a b) n =a n b n .

Всъщност, по дефиниция на степен с естествен степен, имаме . Последният продукт, базиран на свойствата на умножението, може да бъде пренаписан като , което е равно на a n b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството на естествената мощност n на произведението на k фактори се записва като (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

За по-голяма яснота показваме това свойство с пример. За произведението на три фактора на степен 7 имаме .

Следващият имот е природна собственост: частното на реалните числа a и b , b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n , тоест (a:b) n =a n:b n .

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а равенството (a:b) n b n =a n предполага, че (a:b) n е частното на a n, разделено на b n .

Нека напишем това свойство, използвайки примера за конкретни числа: .

Сега нека да озвучим свойство на степенуване: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n, степента на a m на степен на n е равна на степента на a с степен m·n , тоест (a m) n =a m·n .

Например (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Доказателството за свойството мощност в степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен в степен в степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Започваме с доказване на свойството за сравнение на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека оправдаем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението ни позволяват да твърдим, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n фактора, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна база a степента на a n е положително число. По силата на доказаното свойство 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например, 0 3 =0 и 0 762 = 0 .

Да преминем към отрицателните основи.

Нека започнем със случая, когато степента е четно число, означете го като 2 m , където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията от вида a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, следователно, е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен. и степен а 2 m. Ето примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата на a е отрицателно число и експонентът е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички произведения a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение с останалото отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Обръщаме се към свойството да сравняваме степени с едни и същи естествени експоненти, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, и повече от тази, чиято основа е по-голяма. Нека го докажем.

Неравенство a n свойства на неравенстватадоказаното неравенство от вида a n (2,2) 7 и .

Остава да се докаже последното от изброените свойства на степени с естествени показатели. Нека го формулираме. От двете степени с естествени показатели и същите положителни основи по-малки от една степента е по-голяма, чийто показател е по-малък; и на две степени с естествени показатели и същите основи по-големи от една, степента е по-голяма, чийто показател е по-голям. Обръщаме се към доказателството за това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради първоначалното условие m>n , откъдето следва, че при 0

Остава да се докаже втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1, a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n от скоби приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента на a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради първоначалното условие, а за a>1, степента на a m−n е по-голяма от единица. Следователно a m − a n >0 и a m >a n , което трябваше да се докаже. Това свойство се илюстрира с неравенството 3 7 >3 2 .

Свойства на степени с целочислени експоненти

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с положителни цели показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени степени, изброени и доказани в предишния параграф.

Степента с отрицателен целочислен показател, както и степента с нулев експонент, сме дефинирали по такъв начин, че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, остават валидни. Следователно всички тези свойства са валидни както за нулеви експоненти, така и за отрицателни експоненти, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

Така че, за всякакви реални и различни от нула числа a и b , както и всякакви цели числа m и n, следното е вярно свойства на степени с цели числа степен:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n ;
6. ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a b-n;
7. ако m и n са цели числа и m>n , тогава при 0 1 неравенството a m >a n е изпълнено.

За a=0 степените a m и a n имат смисъл само когато m и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Не е трудно да се докаже всяко едно от тези свойства, за това е достатъчно да се използват дефинициите на степента с естествен и целочислен показател, както и свойствата на действия с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството power важи както за положителни, така и за неположителни цели числа. За да направим това, трябва да покажем, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) и (a−p)−q =a (−p) (−q). Хайде да го направим.

За положителни p и q равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния подраздел. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0 q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0 q . По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p 0 =a 0 =1 , откъдето (a p) 0 =a p 0 . Ако и p=0, и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0 0 =a 0 =1 , откъдето (a 0) 0 =a 0 0 .

Нека сега докажем, че (a −p) q =a (−p) q . По дефиниция на степен с отрицателен целочислен експонент , тогава . По свойството на частното в степента имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от вида a −(p q) , която по силата на правилата за умножение може да се запише като (−p) q .

по същия начин .

И .

По същия принцип могат да се докажат всички други свойства на степен с целочислен показател, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n , което е вярно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за което условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n ·b n също е положително като произведение на положителни числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно от положителни числа b n − a n и a n b n . Следователно, откъдето a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин, както аналогичното свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степента с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към нея. С други думи, степени с дробни експоненти имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

Доказателството на свойствата на степените с дробни показатели се основава на дефиницията на степен с дробен показател, върху и върху свойствата на степен с целочислен показател. Да дадем доказателство.

По дефиниция на степента с дробен експонент и , Тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да запишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степента с целочислен показател, получаваме , откъдето, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а степента на получената степен може да се преобразува по следния начин: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степени с дробни показатели се доказва по абсолютно същия начин:

Останалите равенства се доказват с подобни принципи:

Преминаваме към доказателството на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b , a b p . Записваме рационалното число p като m/n , където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай ще бъде еквивалентно на условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a

По същия начин за m<0 имеем a m >b m , откъдето , тоест и a p > b p .

Остава да се докаже последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q , p>q за 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, нека получим обикновени дроби и, където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще отговаря на условието m 1 >m 2, което следва от . След това, чрез свойството да се сравняват степени със същите основи и естествени експоненти при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Тези неравенства по отношение на свойствата на корените могат да бъдат пренаписани, съответно, като и . А определението на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и, респ. От това правим окончателното заключение: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От това как се дефинира степен с ирационален показател, може да се заключи, че тя притежава всички свойства на степени с рационални показатели. Така че за всякакви a>0 , b>0 и ирационални числа p и q свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. за всякакви положителни числа a и b , a 0 неравенството a p b p ;
7. за ирационални числа p и q , p>q при 0 0 – неравенство a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални експоненти p и q за a>0 имат едни и същи свойства.

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика zh за 5 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).

Степен с рационален показател

Хасянова Т.Г.,

учител по математика

Представеният материал ще бъде полезен на учителите по математика при изучаване на темата „Степен с рационален показател“.

Целта на представения материал: разкриване на моя опит в провеждането на урок по темата "Степен с рационален индикатор" работна програмадисциплина "Математика".

Методиката на урока съответства на неговия вид - урок по изучаване и първично затвърждаване на нови знания. Основните знания и умения бяха актуализирани на базата на натрупан преди това опит; първично запаметяване, консолидиране и прилагане на нова информация. Консолидирането и прилагането на нов материал се осъществи под формата на решаване на проблеми с различна сложност, които тествах, давайки положителен резултатовладяване на темата.

В началото на урока поставих следните цели на учениците: образователна, развиваща, възпитателна. В клас използвах различни начинидейности: фронтална, индивидуална, парна баня, самостоятелна, тест. Задачите бяха диференцирани и позволиха да се идентифицира на всеки етап от урока степента на усвояване на знанията. Обемът и сложността на задачите съответстват на възрастови характеристикистуденти. От моя опит - домашна работа, подобно на проблемите, решени в класна стаяви позволява сигурно да консолидирате придобитите знания и умения. В края на урока беше извършена рефлексия и беше оценена работата на отделните ученици.

Целите са постигнати. Студентите изучаваха понятието и свойствата на степен с рационален показател, научиха се как да използват тези свойства при решаване на практически задачи. Отзад самостоятелна работаоценките се обявяват в следващия урок.

Считам, че използваната от мен методика за провеждане на часовете по математика може да се прилага от учителите по математика.

Тема на урока: Степен с рационален показател

Целта на урока:

Идентифициране на нивото на овладяване от учениците на комплекс от знания и умения и на негова основа прилагането на определени решения за подобряване на образователния процес.

Цели на урока:

уроци:да формират нови знания сред учениците за основни понятия, правила, закони за определяне на степента с рационален показател, способност за самостоятелно прилагане на знания в стандартни условия, в променени и нестандартни условия;

развиващи се:мислете логично и прилагайте Творчески умения;

възпитатели:за формиране на интерес към математиката, попълване на речника с нови термини, получаване Допълнителна информацияза света наоколо. Култивирайте търпение, постоянство, способност за преодоляване на трудностите.

Организиране на времето

Актуализиране на основни знания

При умножаване на степени със същата основа експонентите се събират, а основата остава същата:

Например,

2. При разделяне на степени със същите основи експонентите се изваждат, а основата остава същата:

Например,

3. При повишаване на степен на степен експонентите се умножават, а основата остава същата:

Например,

4. Степента на произведението е равна на произведението на степените на факторите:

Например,

5. Степента на частното е равна на частното от степените на делимото и делителя:

Например,

Упражнения за решение

Намерете стойността на израза:

решение:

В този случай нито едно от свойствата на степен с естествен експонент не може да се приложи изрично, тъй като всички степени имат различни основания. Нека напишем няколко степени в различна форма:

(степента на произведението е равна на произведението на степените на факторите);

(при умножаване на степени с една и съща основа степените се събират, а основата остава същата, при повишаване на степен до степен се умножават степените, но основата остава същата).

Тогава получаваме:

AT този примерса използвани първите четири свойства на степента с естествен показател.

Аритметичен квадратен корен
е неотрицателно число, чийто квадрат еа,
. В
- изразяване
не е дефинирано, т.к няма реално число, чийто квадрат е равен на отрицателно числоа.

Математически диктовка(8-10 мин.)

Опция

II. Опция

1. Намерете стойността на израза

а)

б)

1. Намерете стойността на израза

а)

б)

2. Изчислете

а)

б)

AT)

2. Изчислете

а)

б)

в)

Самотест(на дъската за ревери):

Матрица на отговорите:

№ опция/задача

Задача 1

Задача 2

Опция 1

а) 2

б) 2

а) 0,5

б)

в)

Вариант 2

а) 1.5

б)

а)

б)

в 4

II.Формиране на нови знания

Помислете за значението на израза, където - положително число– дробно число и m-цяло число, n-естествено (n>1)

Определение: степен на число a›0 с рационален показателr = , м- цяла, н- естествено ( н›1) се извиква число.

Така:

Например:

бележки:

1. За всяко положително a и всяко рационално r, числото положително.

2. Кога
рационална сила на числоане е дефинирано.

Изрази като
няма смисъл.

3.Ако дробно положително число
.

Ако дробна отрицателно число, тогава -няма смисъл.

Например: - няма смисъл.

Разгледайте свойствата на степен с рационален показател.

Нека a>0, v>0; r, s - всякакви рационални числа. Тогава степен с всеки рационален показател има следните свойства:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Консолидация. Формиране на нови умения и способности.

Картите със задачи работят в малки групи под формата на тест.

Ние също препоръчваме

• Продуктивно и репродуктивно мислене
• Разумният егоизъм - каква е теорията за разумния егоизъм?
• Борис Николаевич Елцин, първият президент на Русия
• Подземни битки. Подземни крале. Какво е „борбата не за масите“? Къде можеш да се бориш за пари?
• Яков Павлов и други герои на Сталинград, които трябва да знаете
• Преживейте катастрофа в морето насън - в действителност изживейте нова любов