Как да закръглите числата нагоре и надолу с помощта на функциите на Excel. Лесни правила за закръгляване на числата след десетичната запетая

Методи

Различните полета могат да използват различни методи за закръгляване. При всички тези методи „екстра“ знаците се настройват на нула (отхвърлят се), а предхождащият ги знак се коригира според някакво правило.

• Закръгляване до най-близкото цяло число(Английски) закръгляване) - най-често използваното закръгляване, при което числото се закръгля до цяло число, модулът на разликата, с който това число има минимум. Най-общо, когато число в десетичната система се закръгли нагоре до N-тия знак след десетичната запетая, правилото може да се формулира по следния начин:
  • ако N+1 знак< 5 , тогава N-тият знак се запазва и N+1 и всички следващи се нулират;
  • ако N+1 знака ≥ 5, тогава N-тият знак се увеличава с едно, а N + 1 и всички следващи се нулират;
  Например: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Закръгляване надолу по модул(закръгляване към нула, цяло число англ. фиксиране, съкратено, цяло число) е най-„простото“ закръгляне, тъй като след нулиране на „екстра“ знаците, предишният знак се запазва. Например, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Закръгляване(закръгля до +∞, закръгля нагоре, инж. таван) - ако знаците за нула не са равни на нула, предходният знак се увеличава с единица, ако числото е положително, или се запазва, ако числото е отрицателно. На икономически жаргон - закръгляване в полза на продавача, кредитора(на лицето, което получава парите). По-специално, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Закръгляване надолу(закръгля до −∞, закръгля надолу, англ. етаж) - ако знаците с нулеви стойности не са равни на нула, предходният знак се запазва, ако числото е положително, или се увеличава с единица, ако числото е отрицателно. На икономически жаргон - закръгляване в полза на купувача, длъжника(лицето, което дава парите). Тук 2.6 → 2, −2.6 → −3.
• Закръгляване по модул(закръгляване към безкрайност, закръгляване от нула) е сравнително рядко използвана форма на закръгляване. Ако знаците, които могат да се нулират, не са равни на нула, предходният знак се увеличава с единица.

Опции за закръгляване 0,5 до най-близкото цяло число

Правилата за закръгляване изискват отделно описание за специалния случай, когато (N+1)-та цифра = 5 и следващите цифри са нула. Ако във всички останали случаи закръгляването до най-близкото цяло число осигурява по-малка грешка при закръгляването, то този конкретен случай се характеризира с факта, че за еднократно закръгляване е формално безразлично дали да се направи „нагоре“ или „надолу“ - и в двата случая , се въвежда грешка от точно 1/2 от най-малката цифра. Има следните варианти на правилото за закръгляне до най-близкото цяло число за този случай:

• Математическо закръгляване- закръгляването винаги е нагоре (предишната цифра винаги се увеличава с единица).
• Банково закръгляване(Английски) банкерско закръгляване) - закръгляването за този случай се извършва до най-близкото четно число, т.е. 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Случайно закръгляване- закръгляване нагоре или надолу произволно, но с еднаква вероятност (може да се използва в статистиката).
• Алтернативно закръгляване- Закръгляването се извършва нагоре или надолу последователно.

Във всички случаи, когато (N + 1)-тият знак не е равен на 5 или следващите знаци не са равни на нула, закръгляването става по обичайните правила: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическото закръгляване просто формално съответства на общото правило за закръгляване (вижте по-горе). Недостатъкът му е, че при закръгляване на голям брой стойности може да се получи натрупване. грешки при закръгляване. Типичен пример: закръгляване до цели рубли на парични суми. Така че, ако в регистъра от 10 000 реда има 100 реда със суми, съдържащи стойността от 50 в копейки (и това е много реалистична оценка), тогава когато всички такива редове се закръглят „нагоре“, сумата от „ общо” според закръгления регистър ще бъде с 50 рубли повече от точния .

Останалите три опции са просто измислени, за да се намали общата грешка на сумата при закръгляване на голям брой стойности. Закръгляването "до най-близкото четно число" се основава на предположението, че при голям брой закръглени стойности, които имат 0,5 в закръгления остатък, средно половината ще бъде вляво и половината вдясно от най-близкото четно число, по този начин грешките при закръгляване ще се отменят взаимно. Строго погледнато, това предположение е вярно само когато наборът от числа, които се закръгляват, има свойствата на произволен ред, което обикновено е вярно в счетоводните приложения, където говорим за цени, суми в сметките и т.н. Ако предположението е нарушено, тогава закръгляването "до четно" може да доведе до систематични грешки. В такива случаи следните два метода работят най-добре.

Последните две опции за закръгляване гарантират, че приблизително половината от специалните стойности се закръглят в едната посока и половината в другата. Но прилагането на такива методи на практика изисква допълнителни усилия за организиране на изчислителния процес.

Приложения

Закръгляването се използва за работа с числа в рамките на броя на цифрите, който съответства на действителната точност на изчислителните параметри (ако тези стойности са реални стойности, измерени по един или друг начин), реалистично постижимата точност на изчисление или желаната точност на резултата. В миналото закръгляването на междинните стойности и резултата беше от практическо значение (защото при изчисляване на хартия или използване на примитивни устройства като сметалото, вземането под внимание на допълнителните десетични знаци може сериозно да увеличи обема на работа). Сега той остава елемент от научната и инженерната култура. В счетоводните приложения, в допълнение, може да се наложи използването на закръгляване, включително междинни, за защита срещу изчислителни грешки, свързани с крайния битов капацитет на изчислителните устройства.

Използване на закръгляване при работа с числа с ограничена точност

Реалните физически величини винаги се измерват с определена крайна точност, която зависи от инструментите и методите за измерване и се оценява чрез максималното относително или абсолютно отклонение на неизвестната действителна стойност от измерената, което в десетично представяне на стойността съответства или на определен брой значими цифри или до определена позиция в записа на число, всички числа след (вдясно) от които са незначителни (те лежат в рамките на грешката на измерването). Самите измерени параметри се записват с такъв брой знаци, че всички цифри са надеждни, може би последното е съмнително. Грешката при математически операции с числа с ограничена точност се запазва и се променя според известните математически закони, така че когато в по-нататъшните изчисления се появят междинни стойности и резултати с голям брой цифри, само част от тези цифри са значими. Останалите цифри, присъстващи в стойностите, всъщност не отразяват никаква физическа реалност и отнемат време само за изчисления. В резултат на това междинните стойности и резултатите от изчисленията с ограничена точност се закръгляват до броя на десетичните знаци, който отразява действителната точност на получените стойности. На практика обикновено се препоръчва да се съхранява още една цифра в междинни стойности за дълги "верижни" ръчни изчисления. При използване на компютър междинните закръглвания в научни и технически приложения най-често губят смисъла си и се закръглява само резултатът.

Така например, ако се даде сила от 5815 gf с точност от грам сила и дължина на рамото 1,4 m с точност до сантиметър, тогава моментът на сила в kgf съгласно формулата, в случая на формално изчисление с всички знаци, ще бъде равно на: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Ако обаче вземем предвид грешката на измерването, тогава получаваме, че ограничаващата относителна грешка на първата стойност е 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , второ - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , относителната грешка на резултата според правилото за грешка на операцията за умножение (при умножаване на приблизителни стойности, относителните грешки се сумират) ще бъде 7,3 10 −3 , което съответства на максималната абсолютна грешка на резултата ±0,059 kgf m! Тоест, в действителност, като се вземе предвид грешката, резултатът може да бъде от 8,082 до 8,200 kgf m, така че при изчислената стойност от 8,141 kgf m само първата цифра е напълно надеждна, дори втората вече е съмнителна! Ще бъде правилно резултатът от изчислението да се закръгли до първата съмнителна цифра, тоест до десети: 8,1 kgf m, или, ако е необходимо, по-точна индикация за границата на грешка, да се представи във форма, закръглена до една или две десетични знаци с индикация за грешката: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Емпирични правила на аритметиката със закръгляване

В случаите, когато не е необходимо точно да се вземат предвид изчислителните грешки, а трябва само приблизително да се оцени броят на точните числа в резултат на изчислението по формулата, можете да използвате набор от прости правила за закръглени изчисления:

1. Всички необработени стойности се закръгляват до действителната точност на измерване и се записват с подходящия брой значими цифри, така че всички цифри в десетичния запис са надеждни (разрешено е последната цифра да е съмнителна). Ако е необходимо, стойностите се записват със значителни нули вдясно, така че действителният брой надеждни знаци да бъде посочен в записа (например, ако дължината от 1 m действително се измерва до най-близкия сантиметър, „1,00 m“ е написано така, че да се види, че два знака са надеждни в записа след десетичната запетая), или точността е изрично посочена (например 2500 ± 5 m - тук само десетките са надеждни и трябва да се закръглят до тях) .
2. Междинните стойности се закръгляват с една "резервна" цифра.
3. При събиране и изваждане резултатът се закръглява до последния десетичен знак на най-малко точния от параметрите (например при изчисляване на стойност от 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, резултатът се закръглява до десети от метъра, т.е. е до 2,6 m). В същото време се препоръчва да се извършват изчисления в такъв ред, че да се избягва изваждане на близки числа и да се извършват операции с числа, ако е възможно, във възходящ ред на техните модули.
4. При умножение и деление резултатът се закръглява до най-малкия брой значими цифри, които имат параметрите (например при изчисляване на скоростта на равномерно движение на тяло на разстояние 2,5 10 2 m, за 600 s резултатът трябва да бъде закръглено до 4,2 m/s, тъй като разстоянието има две цифри, а времето има три, като се приеме, че всички цифри в записа са значими).
5. При изчисляване на стойността на функцията f(x)необходимо е да се оцени стойността на модула на производната на тази функция в близост до изчислителната точка. Ако (|f"(x)| ≤ 1), тогава резултатът от функцията е точен до същия десетичен знак като аргумента. В противен случай резултатът съдържа по-малко точни знаци след десетичната запетая от сумата log 10 (|f"(x)|), закръглено до най-близкото цяло число.

Въпреки нестриктността, горните правила работят доста добре на практика, по-специално поради доста високата вероятност от взаимно премахване на грешки, което обикновено не се взема предвид, когато грешките се вземат предвид точно.

Грешки

Доста често има злоупотреби с некръгли числа. Например:

• Запишете числа с ниска точност в незакръглена форма. В статистиката: ако 4 души от 17 отговориха „да“, тогава те пишат „23,5%“ (докато „24%“ е правилно).
• Потребителите на показалец понякога мислят така: „указателят спря между 5,5 и 6 по-близо до 6, нека бъде 5,8“ - това също е забранено (градуирането на устройството обикновено съответства на неговата действителна точност). В този случай трябва да кажете "5,5" или "6".

Вижте също

• Обработка на наблюдение
• Грешки при закръгляване

Бележки

литература

• Хенри С. Уорън, младши Глава 3// Алгоритмични трикове за програмисти = Hacker's Delight. - M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

За да се разгледа особеността на закръгляването на определено число, е необходимо да се анализират конкретни примери и някаква основна информация.

Как да закръглим числата до стотни

• За да закръглите число до стотни, е необходимо да оставите две цифри след десетичната запетая, останалите, разбира се, се изхвърлят. Ако първата цифра, която трябва да се изхвърли, е 0, 1, 2, 3 или 4, тогава предишната цифра остава непроменена.
• Ако изхвърлената цифра е 5, 6, 7, 8 или 9, тогава трябва да увеличите предишната цифра с една.
• Например, ако трябва да закръглите числото 75,748, тогава след закръгляне получаваме 75,75. Ако имаме 19.912, тогава в резултат на закръгляване, или по-скоро, при липса на необходимост да го използваме, получаваме 19.91. В случай на 19.912 числото след стотните не е закръглено, така че просто се изхвърля.
• Ако говорим сиоколо числото 18.4893 , след това закръгляването до стотни става по следния начин: първата цифра, която трябва да се изхвърли, е 3, така че не настъпва промяна. Оказва се 18.48.
• В случая на числото 0,2254 имаме първата цифра, която се изхвърля при закръгляне до стотни. Това е пет, което показва, че предишното число трябва да се увеличи с едно. Тоест получаваме 0,23.
• Има и случаи, когато закръгляването променя всички цифри в число. Например, за да закръглим числото 64,9972 до стотни, виждаме, че числото 7 закръгля предишните. Получаваме 65.00.

Как да закръглим числата до цели числа

При закръгляне на числата до цели числа ситуацията е същата. Ако имаме, например, 25,5, тогава след закръгляване получаваме 26. В случай на достатъчен брой цифри след десетичната запетая, закръгляването става по този начин: след закръгляване 4,371251 получаваме 4 .

Закръгляването до десети става по същия начин, както при стотните. Например, ако трябва да закръглим числото 45.21618, тогава получаваме 45.2. Ако втората цифра след десетата е 5 или повече, тогава предишната цифра се увеличава с едно. Като пример можете да закръглите 13,6734, за да получите 13,7.

Важно е да се обърне внимание на номера, който се намира пред този, който е отрязан. Например, ако имаме числото 1.450, тогава след закръгляване получаваме 1.4. Въпреки това, в случай на 4.851 е препоръчително да се закръгли до 4.9, тъй като след петте все още има едно.

Често използваме закръгляване в ежедневието. Ако разстоянието от дома до училище е 503 метра. Можем да кажем, като закръглим стойността, че разстоянието от дома до училището е 500 метра. Тоест, доближихме числото 503 до по-лесно възприеманото число 500. Например, един хляб тежи 498 грама, тогава като закръглим резултата можем да кажем, че един хляб тежи 500 грама.

закръгляване- това е приближаването на число към „по-леко“ число за човешкото възприятие.

Резултатът от закръгляването е приблизителнономер. Закръгляването се обозначава със символа ≈, такъв символ се чете „приблизително равно“.

Можете да напишете 503≈500 или 498≈500.

Такъв запис се чете като „петстотин три е приблизително равно на петстотин“ или „четиристотин деветдесет и осем е приблизително равно на петстотин“.

Да вземем друг пример:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

В този пример числата са закръглени до мястото на хилядите. Ако погледнем схемата на закръгляне, ще видим, че в единия случай числата са закръглени надолу, а в другия - нагоре. След закръгляване всички останали числа след мястото на хилядите бяха заменени с нули.

Правила за закръгляване на числата:

1) Ако цифрата, която трябва да се закръгли, е равна на 0, 1, 2, 3, 4, тогава цифрата на цифрата, към която се закръглява, не се променя, а останалите числа се заменят с нули.

2) Ако цифрата, която трябва да се закръгли, е равна на 5, 6, 7, 8, 9, тогава цифрата на цифрата, до която се извършва закръгляването, става с 1 повече, а останалите числа се заменят с нули.

Например:

1) Закръглете до мястото на десетките на 364.

Цифрата на десетиците в този пример е числото 6. След шестицата има числото 4. Според правилото за закръгляване числото 4 не променя цифрата на десетките. Пишем нула вместо 4. Получаваме:

36 4 ≈360

2) Закръглете до мястото на стотиците от 4781.

Цифрата на стотиците в този пример е числото 7. След седемте е числото 8, което влияе върху това дали цифрата на стотиците се променя или не. Според правилото за закръгляване числото 8 увеличава мястото на стотиците с 1, а останалите числа се заменят с нули. Получаваме:

47 8 1≈48 00

3) Закръглете до хилядното място от 215936.

Мястото на хилядите в този пример е числото 5. След петицата е числото 9, което влияе дали мястото на хилядите се променя или не. Според правилото за закръгляване числото 9 увеличава мястото на хилядите с 1, а останалите числа се заменят с нули. Получаваме:

215 9 36≈216 000

4) Закръглете до десетки хиляди от 1,302,894.

Цифрата на хилядата в този пример е числото 0. След нула има числото 2, което влияе върху това дали цифрите на десетките хиляди се променят или не. Според правилото за закръгляване числото 2 не променя цифрата на десетките хиляди, ние заменяме тази цифра и всички цифри от по-ниските цифри с нула. Получаваме:

130 2 894≈130 0000

Ако точната стойност на числото не е важна, тогава стойността на числото се закръглява и можете да извършвате изчислителни операции с приблизителни стойности. Резултатът от изчислението се нарича оценка на резултата от действията.

Например: 598⋅23≈600⋅20≈12000 е сравнимо с 598⋅23=13754

Използва се оценка на резултата от действията, за да се изчисли бързо отговорът.

Примери за задачи по темата закръгляване:

Пример №1:
Определете до каква цифра се закръглява:
а) 3457987≈3500000 б) 4573426≈4573000 в) 16784≈17000
Нека си спомним кои са цифрите на числото 3457987.

7 - единица цифра,

8 - десетки място,

9 - стотици място,

7 - хиляди място,

5 - цифра от десетки хиляди,

4 - цифри на стотици хиляди,
3 е цифрата на милиони.
Отговор: а) 3 4 57 987≈3 5 00 000 цифри на стотици хиляди б) 4 573 426 ≈ 4 573 000 цифри на хиляди в) 16 7 841 ≈17 0 000 цифри на хиляди.

Пример №2:
Закръглете числото до 5 999 994 места: а) десетки б) стотици в) милиони.
Отговор: а) 5,999,994 ≈5,999,990 б) 5,999,99 4≈6,000,000 6,000,000.

Разберете значението на числата в десетичната запетая.Във всяко число различните цифри представляват различни цифри. Например в числото 1872 едно представлява хиляди, осем представлява стотици, седем представлява десетки, а две представляват единици. Ако в числото има десетична запетая, тогава числата вдясно от него отразяват дроби от цяло число.

Определете десетичната запетая, до която искате да го закръглите.Първата стъпка в закръгляването на десетичните знаци е определяне на мястото, до което искате да закръглите число. Ако правите домашна работа, това обикновено се определя от условието на заданието. Често условието може да показва необходимостта от закръгляване на отговора до десети, стотни или хилядна от десетичната запетая.

• Например, ако задачата е да закръглите числото 12,9889 до хилядни, трябва да започнете с идентифициране на местоположението на тези хилядни. Пребройте десетичните знаци като десети, стотни, хилядни, последвани от десет хилядни. Вторите осем ще са точно това, от което се нуждаете (12.98 8 9).
• Понякога условие може да посочи къде да се закръгли (например „закръгляване до три знака след десетичната запетая“ означава същото като „закръгляване до хилядни“).

Погледнете числото вдясно от мястото, където искате да закръглите.Сега трябва да разберете числото, което е вдясно от мястото, до което закръглявате. В зависимост от тази цифра ще закръглите нагоре или надолу (нагоре или надолу).

• В примера за числото (12,9889), взето по-рано, е необходимо да се закръгли до хилядни (12,98 8 9), така че сега трябва да погледнете числото вдясно от хилядната, а именно последните девет (12,988 9 ).

Ако тази цифра е по-голяма или равна на пет, тогава се извършва закръгляване.За по-голяма яснота, ако числото 5, 6, 7, 8 или 9 е вдясно от точката на закръгляване, тогава се извършва закръгляване. С други думи, необходимо е да увеличите цифрата на закръгленото място с една и да изхвърлите останалите цифри вдясно от нея.

• В взетия пример (12,9889), последните девет са по-големи от пет, така че ще закръглим хилядните към голямата страна.Закръгленото число ще се появи като 12,989 . Имайте предвид, че след точката на закръгляване, цифрите се изхвърлят.

Ако тази цифра е по-малка от пет, тогава се закръглява надолу.Тоест, ако числото 4, 3, 2, 1 или 0 е вдясно от точката на закръгляване, тогава се извършва закръгляне надолу. Което означава необходимостта да оставите фигурата на мястото на закръгляването във формата, в която е, и да изхвърлите числата вдясно от нея.

• Не можете да закръглите надолу 12,9889, защото последните девет не са четири или по-малко. Ако обаче въпросното число беше 12.988 4 , тогава може да бъде закръглено до 12,988 .
• Процедурата звучи ли познато? Това се дължи на факта, че целите числа се закръгляват по същия начин и наличието на запетая не променя нищо.

Използвайте същия метод за закръгляване на десетичните до цели числа.Често задачата установява необходимостта да се закръгли отговорът до цели числа. В този случай трябва да използвате горния метод.

• С други думи, намерете местоположението на целите единици на числото, погледнете числото вдясно. Ако е по-голямо или равно на пет, закръглете цялото число нагоре. Ако е по-малко или равно на четири, закръглете цялото число надолу. Наличието на запетая между цялата част на числото и неговата десетична част не променя нищо.
• Например, ако искате да закръглите горното число (12,9889) до цели числа, трябва да започнете с намирането на целите единици на числото: 1 2 .9889. Тъй като деветката вдясно от това място е по-голяма от пет, закръгляме до 13 цяла. Тъй като отговорът е представен с цяло число, вече не е необходимо да се пише запетая.

Обърнете внимание на инструкциите за закръгляване.Горните инструкции за закръгляване са общоприети. Въпреки това, има ситуации, в които са дадени специални изисквания за закръгляване, не забравяйте да ги прочетете, преди да прибягвате веднага до общоприетите правила за закръгляване.

• Например, ако изискванията казват да се закръглят до десети, тогава в числото 4.59 ще оставите петица, въпреки факта, че деветка вдясно от него обикновено трябва да води до закръгляване нагоре. Това ще ви даде резултата 4,5 .
• По същия начин, ако ви бъде казано да закръглите числото 180.1 до цяло към голямата страна, тогава ще успеете 181 .