РЕАЛНИ ЧИСЛА II

§ 44 Геометрично представяне на реални числа

Геометрично реалните числа, подобно на рационалните числа, са представени от точки на права линия.

Нека бъде л - произволна права линия, и O - някои от нейните точки (фиг. 58). Всяко положително реално число α поставете в съответствие точката A, лежаща вдясно от O на разстояние от α единици за дължина.

Ако например α = 2,1356..., тогава

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

и т.н. Очевидно е, че точка А в този случай трябва да е на правата л вдясно от точките, съответстващи на числата

2; 2,1; 2,13; ... ,

но вляво от точките, съответстващи на числата

3; 2,2; 2,14; ... .

Може да се покаже, че тези условия дефинират на линията л единствената точка A, която разглеждаме като геометричен образ на реално число α = 2,1356... .

По същия начин всяко отрицателно реално число β поставете в съответствие точката B, лежаща вляво от O на разстояние | β | единици за дължина. Накрая приписваме точка О на числото "нула".

И така, числото 1 ще бъде показано на права линия л точка A, разположена вдясно от O на разстояние една единица дължина (фиг. 59), числото - √2 - точка B, лежаща вляво от O на разстояние √2 единици дължина и т.н.

Нека покажем как по права линия л с помощта на пергел и линийка можете да намерите точки, съответстващи на реалните числа √2, √3, √4, √5 и т.н. За да направите това, първо ще покажем как да построим отсечки, чиито дължини се изразяват с тези числа. Нека AB е отсечка, взета като единица за дължина (фиг. 60).

В точка A възстановяваме перпендикуляр на този сегмент и отделяме върху него отсечката AC, равно на отсечката AB. След това, прилагайки теоремата на Питагор към правоъгълния триъгълник ABC, получаваме; BC \u003d √AB 2 + AC 2 = √1 + 1 = √2

Следователно отсечката BC има дължина √2. Сега нека възстановим перпендикуляра на отсечката BC в точка C и изберем точка D върху него, така че отсечката CD да е равно на едно AB дължина. След това от правоъгълен триъгълник BCD намиране:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 = √2 + 1 = √3

Следователно отсечката BD има дължина √3. Продължавайки описания процес по-нататък, бихме могли да получим отсечки BE, BF, ..., чиито дължини се изразяват с числата √4, √5 и т.н.

Сега на линия л лесно е да се намерят онези точки, които служат за геометрично представяне на числата √2, √3, √4, √5 и т.н.

Поставяйки например вдясно от точка O отсечката BC (фиг. 61), получаваме точка C, която служи за геометрично представяне на числото √2. По същия начин, отлагайки отсечката BD вдясно от точката O, получаваме точка D", която е геометричният образ на числото √3 и т.н.

Все пак не бива да се мисли, че с помощта на пергел и линийка на числова права л може да се намери точка, съответстваща на всяко дадено реално число. Доказано е например, че разполагайки само с пергел и линийка, е невъзможно да се построи отсечка, чиято дължина се изразява с числото π = 3,14 ... . Така че на числовата права л използвайки такива конструкции, е невъзможно да се посочи точка, съответстваща на това число, но такава точка съществува.

Така че за всяко реално число α възможно е да се свърже някаква добре дефинирана точка от линията л . Тази точка ще бъде отделена от началната точка O на разстояние | α | единици за дължина и е вдясно от O, ако α > 0 и вляво от O if α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различни точкиправ л . Наистина, нека номерът α съответства на точка А, а числото β - точка Б. Тогава, ако α > β , тогава A ще бъде вдясно от B (фиг. 62, а); ако α < β , тогава A ще лежи вляво от B (фиг. 62, b).

Говорейки в § 37 за геометричното представяне на рационалните числа, ние поставихме въпроса: може ли всяка точка от права линия да се разглежда като геометричен образ на някои рационалночисла? Тогава не можехме да дадем отговор на този въпрос; сега можем да отговорим съвсем категорично. На права линия има точки, които служат като геометрично изображение ирационални числа(напр. √2). Следователно не всяка точка от права представлява рационално число. Но в този случай възниква друг въпрос: може ли някоя точка от реалната права да се разглежда като геометричен образ на някои валиденчисла? Този въпрос вече е решен положително.

Наистина, нека A е произволна точка на правата л , лежаща вдясно от О (фиг. 63).

Дължината на отсечката OA се изразява с някакво положително реално число α (виж § 41). Следователно точка А е геометричният образ на числото α . По същия начин се установява, че всяка точка B, лежаща вляво от O, може да се разглежда като геометричен образ на отрицателно реално число - β , където β - дължината на отсечката VO. И накрая, точката O служи като геометрично представяне на числото нула. Ясно е, че две различни точки от линията л не може да бъде геометричен образ на едно и също реално число.

Поради посочените по-горе причини, права линия, на която някаква точка O е посочена като "начална" точка (за дадена единица дължина), се нарича числова линия.

Заключение. Множеството от всички реални числа и множеството от всички точки на реалната права са в съответствие едно към едно.

Това означава, че всяко реално число съответства на една, добре дефинирана точка от числовата права, и обратно, на всяка точка от числовата права, с такова съответствие, отговаря едно, добре дефинирано реално число.

Упражнения

320. Разберете коя от двете точки е на числовата права отляво и коя отдясно, ако тези точки съответстват на числа:

а) 1,454545... и 1,455454...; в) 0 и - 1,56673...;

б) - 12.0003... и - 12.0002...; г) 13.24... и 13.00....

321. Разберете коя от двете точки е по-далеч от началната точка O на числовата права, ако тези точки съответстват на числа:

а) 5,2397... и 4,4996...; .. в) -0,3567... и 0,3557... .

г) - 15.0001 и - 15.1000...;

322. В този раздел беше показано, че за конструиране на отсечка с дължина √ н с помощта на пергел и линейка можете да направите следното: първо да построите отсечка с дължина √2, след това отсечка с дължина √3 и т.н., докато стигнем до сегмент с дължина √ н . Но за всеки фиксиран П > 3 този процес може да бъде ускорен. Как, например, бихте започнали да изграждате сегмент с дължина √10?

323*. Как да използвате пергел и линийка, за да намерите точка на числовата права, съответстваща на числото 1 / α , ако позицията на точката съответства на числото α , познат?

Числова права, числова ос, е линия, върху която са изобразени реални числа. На правата линия се избира началото - точка O (точка O представлява 0) и точка L, представляваща единицата. Точката L обикновено стои вдясно от точка O. Отсечката OL се нарича единична отсечка.

Точките вдясно от точка O представляват положителни числа. Точки вляво от точката. О, изобразете отрицателни числа. Ако точката X представлява положително число x, тогава разстоянието OX = x. Ако точката X представлява отрицателно число x, тогава разстоянието OX = - x.

Числото, което показва позицията на точка върху права линия, се нарича координата на тази точка.

Точка V, показана на фигурата, има координата 2, а точка H има координата -2,6.

Модулът на реално число е разстоянието от началото до точката, съответстваща на това число. Определете модула на числото x, така че: | х |. Очевидно, | 0 | = 0.

Ако числото x е по-голямо от 0, тогава | х | = x и ако x е по-малко от 0, тогава | х | = - х. На тези свойства на модула се базира решението на много уравнения и неравенства с модула.

Пример: Решете уравнение | х - 3 | = 1.

Решение: Разгледайте два случая - първият случай, когато x -3 > 0, и втория случай, когато x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

В този случай | х - 3 | = х - 3.

Уравнението приема формата x - 3 = 1, x = 4. 4\u003e 3 - удовлетворява първото условие.

2. x -3 0, x 3.

В този случай | х - 3 | = - х + 3

Уравнението приема формата x + 3 = 1, x = - 2. -2 3 - удовлетворява второто условие.

Отговор: x = 4, x = -2.

Числови изрази.

Числовият израз е колекция от едно или повече числа и функции, свързани с аритметични оператори и скоби.
Примери за числови изрази:

Стойността на числов израз е число.
Операциите в числов израз се извършват в следната последователност:

1. Действия в скоби.

2. Изчисляване на функции.

3. Възлагане в степен

4. Умножение и деление.

5. Събиране и изваждане.

6. Операции от същия тип се извършват отляво надясно.

Така че стойността на първия израз ще бъде самото число 12.3
За да изчислим стойността на втория израз, ще извършим действията в следната последователност:

1. Изпълнете действията в скоби в следната последователност - първо повишаваме 2 на трета степен, след това изваждаме 11 от полученото число:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Умножете 3 по 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Изпълнете операциите последователно отляво надясно:

12 + (-3) = 9.
Израз с променливи е колекция от едно или повече числа, променливи и функции, свързани с аритметични оператори и скоби. Стойностите на изразите с променливи зависят от стойностите на променливите, включени в него. Последователността на операциите тук е същата като при числовите изрази. Понякога е полезно да се опростят изразите с променливи чрез извършване на различни действия - скоби, разширяване на скоби, групиране, намаляване на дроби, намаляване на подобни и т.н. Също така, за да се опростят изразите, често се използват различни формули, например съкратени формули за умножение, свойства на различни функции и т.н.

Алгебрични изрази.

Алгебричният израз е едно или повече алгебрични величини (числа и букви), свързани помежду си чрез знаци на алгебрични операции: събиране, изваждане, умножение и деление, както и извличане на корен и повишаване на степен на цяло число (при това коренът и степента трябва задължително са цели числа) и знаци на последователността на тези действия (обикновено скоби различен вид). Броят на количествата, включени в алгебричен изразтрябва да бъде окончателно.

Пример за алгебричен израз:

„Алгебричен израз“ е синтактично понятие, тоест нещо е алгебричен израз само ако се подчинява на определени граматически правила (вижте Формална граматика). Ако буквите в алгебричен израз се считат за променливи, тогава алгебричният израз придобива значението на алгебрична функция.

От голямото разнообразие от комплектиособен интерес представляват т.нар набори от числа, тоест множества, чиито елементи са числа. Ясно е, че за удобна работа с тях трябва да можете да ги записвате. С нотацията и принципите на писане на числени множества ще започнем тази статия. И тогава ще разгледаме как се изобразяват числените множества на координатната линия.

Навигация в страницата.

Писане на числови набори

Да започнем с приетата нотация. Както е известно, главните букви на латинската азбука се използват за обозначаване на множества. Числови набори като специален случаймножествата също са обозначени. Например, можем да говорим за числови множества A , H , W и т.н. От особено значение са множествата от естествени, целочислени, рационални, реални, комплексни числа и др., за които са приети собствени обозначения:

• N е множеството от всички естествени числа;
• Z е множеството от цели числа;
• Q е множеството от рационални числа;
• J е множеството от ирационални числа;
• R е множеството от реални числа;
• C е множеството от комплексни числа.

От това става ясно, че не е необходимо да се обозначава множество, състоящо се например от две числа 5 и −7 като Q, това обозначение ще бъде подвеждащо, тъй като буквата Q обикновено означава множеството от всички рационални числа. За да обозначите посочения числов набор, по-добре е да използвате друга "неутрална" буква, например A.

Тъй като говорим за нотация, тук припомняме и нотацията на празно множество, тоест множество, което не съдържа елементи. Обозначава се със знака ∅.

Нека си припомним и обозначението за членство и нечленство на елемент в набор. За да направите това, използвайте знаците ∈ - принадлежи и ∉ - не принадлежи. Например записът 5∈N означава, че числото 5 принадлежи към множеството от естествени числа, а 5.7∉Z - десетичната дроб 5.7 не принадлежи на множеството от цели числа.

Нека си припомним и нотацията, възприета за включване на едно множество в друго. Ясно е, че всички елементи от множеството N са включени в множеството Z, следователно, набор номера N е включено в Z, това се означава като N⊂Z. Можете също да използвате обозначението Z⊃N, което означава, че множеството от всички цели числа Z включва множеството N. Връзките, които не са включени и не са включени, се означават съответно със знаците ⊄ и . Използват се също нестриктните знаци за включване от формата ⊆ и ⊇, което означава съответно включен или съвпадение и включва или съвпадение.

Говорихме за нотацията, нека да преминем към описанието на числовите множества. В този случай ще засегнем само основните случаи, които най-често се използват в практиката.

Нека започнем с числови набори, съдържащи краен и малък брой елементи. Числени множества, състоящи се от краен брой елементи, могат да бъдат удобно описани чрез изброяване на всички техни елементи. Всички числови елементи са написани разделени със запетаи и оградени в , което е в съответствие с общото задайте правила за описание. Например набор, състоящ се от три числа 0, −0,25 и 4/7, може да бъде описан като (0, −0,25, 4/7) .

Понякога, когато броят на елементите на числов набор е достатъчно голям, но елементите се подчиняват на някакъв модел, за описание се използва многоточие. Например наборът от всички нечетни числа от 3 до 99 включително може да се запише като (3, 5, 7, ..., 99) .

Така че плавно се приближихме към описанието на числови множества, чийто брой елементи е безкраен. Понякога те могат да бъдат описани с помощта на една и съща многоточия. Например, нека опишем множеството от всички естествени числа: N=(1, 2. 3, …) .

Те също така използват описанието на числовите множества, като посочват свойствата на неговите елементи. В този случай се използва нотацията (x| properties). Например записът (n| 8 n+3, n∈N) дефинира множеството от такива естествени числа, които, когато са разделени на 8, дават остатъка от 3. Същият набор може да бъде описан като (11,19, 27, ...) .

В специални случаи числени множества с безкраен брой елементи са известни множества N , Z , R и т.н. или пропуски в числата. И като цяло числовите множества се представят като съюзтехните отделни числови интервали и числови набори с краен брой елементи (за които говорихме малко по-високо).

Нека покажем пример. Нека численото множество се състои от числата −10 , −9 , −8.56 , 0 , всички числа на отсечката [−5, −1.3] и числата на отворения числов лъч (7, +∞) . По силата на дефиницията на обединението от множества, посоченото числово множество може да се запише като {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такава нотация всъщност означава набор, съдържащ всички елементи от множествата (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] и (7, +∞) .

По същия начин, чрез комбиниране на различни числови диапазони и набори от отделни числа, всеки набор от числа (състоящ се от реални числа) може да бъде описан. Тук става ясно защо такива типове числови интервали като интервал, полуинтервал, сегмент, отворен номерен лъчи числов лъч: всички те, заедно с обозначението на множества от отделни числа, позволяват да се опишат всякакви множества от числа чрез тяхното обединение.

Моля, имайте предвид, че когато пишете числов набор, неговите съставни числа и числови интервали се сортират във възходящ ред. Това не е задължително, но желателно условие, тъй като подреденото числово множество е по-лесно за представяне и изобразяване на координатна линия. Също така имайте предвид, че такива записи не използват числови интервали с общи елементи, тъй като такива записи могат да бъдат заменени от обединението на числови интервали без общи елементи. Например, обединението на числови множества с общи елементи [−10, 0] и (−5, 3) е полуинтервал [−10, 3) . Същото важи и за обединението на числови интервали със същите гранични числа, например обединението (3, 5]∪(5, 7] е множество (3, 7] , ще се спрем на това отделно, когато се научим да намерете пресечната точка и обединението на числови множества .

Изображение на набори от числа на координатната линия

На практика е удобно да се използват геометричните изображения на числови множества - техните изображения върху. Например, когато решаване на неравенства, в който е необходимо да се вземе предвид ODZ, е необходимо да се изобразят числови множества, за да се намери тяхното пресичане и / или обединение. Така че ще бъде полезно да разберете добре всички нюанси на представянето на числови набори на координатната линия.

Известно е, че между точките на координатната права и реалните числа има съответствие едно към едно, което означава, че самата координатна права е геометричен модел на множеството от всички реални числа R. По този начин, за да се изобрази множеството от всички реални числа, е необходимо да се начертае координатна линия със щриховане по цялата й дължина:

И често те дори не посочват произхода и един сегмент:

Сега нека поговорим за образа на числовите множества, които са някакъв краен брой отделни числа. Например, нека начертаем набора от числа (−2, −0,5, 1,2) . Геометричното изображение на този набор, състоящ се от три числа -2, -0,5 и 1,2, ще бъде три точки от координатната линия със съответните координати:

Обърнете внимание, че обикновено за нуждите на практиката няма нужда да се изпълнява точно чертежа. Често схематичен чертеж е достатъчен, което означава, че не е необходимо да се поддържа мащаб, докато е важно само да се поддържа взаимно урежданеточки една спрямо друга: всяка точка с по-малка координата трябва да е вляво от точка с по-голяма координата. Предишният чертеж ще изглежда схематично така:

Отделно от всички възможни числови множества се разграничават числови интервали (интервали, полуинтервали, лъчи и др.), които представят техните геометрични образи, разгледахме подробно в раздела. Тук няма да се повтаряме.

И остава да се спрем само на образа на числовите множества, които са обединение от няколко числови интервала и набори, състоящи се от отделни числа. Тук няма нищо сложно: според значението на обединението, в тези случаи, на координатната линия, трябва да изобразите всички компоненти на множеството на даден числов набор. Като пример, нека покажем изображението на набор от числа (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

И нека се спрем на доста често срещани случаи, когато изобразеното числово множество е целият набор от реални числа, с изключение на една или повече точки. Такива множества често се определят от условия като x≠5 или x≠−1, x≠2, x≠3,7 и т.н. В тези случаи геометрично те представляват цялата координатна линия, с изключение на съответните точки. С други думи, тези точки трябва да бъдат „избити“ от координатната линия. Те са изобразени като кръгове с празен център. За по-голяма яснота, нека начертаем набор от числа, съобразени с условията (този комплект е по същество):

Обобщавайте. В идеалния случай информацията от предишните параграфи трябва да формира същия изглед на записа и представянето на числови набори като изгледа на отделни числови интервали: записът на числов набор трябва незабавно да даде своето изображение на координатната линия и от изображението нататък координатната линия, трябва да сме готови лесно да опишем съответното числово множество чрез обединението на отделни празнини и набори, състоящи се от отделни числа.

Библиография.

• алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник образователни институции/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., ст. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Оформете числата

В цифровите устройства има две форми на изображения на числа: с фиксирана і плаваща кома.

В предния параграф се виждаха само няколко положителни числа. Формула (1.14) дава възможност за извеждане на двойно число с цяло и дробна част и фиксирана кома. Знакът на двуцифрено число с фиксирана кома се дава от допълнителен ранг, който се поставя пред числата. За допълнителни числа стойността на допълнителната поръчка е равна на „ 0 “, за визуални – „ 1 ”.

На масата 1.3 има три опции за кодиране на последното и второто число с двоен код.

Таблица 1.3.

В първия вариант, както се оказва от таблиците, в кодираната двойна последователност може да има място на допълнителни и крайни нули, които могат да доведат до проблеми при vikonann аритметични операции.

Представянето на дадените числа в кода на портата също не решава горния проблем. Няма да сгрешите само веднъж, ако видите числата допълнителен код, което се изчислява по формулата:

На фиг. 1.12 показва графична интерпретация на образа на положителни и отрицателни числа, които са подобни на нула на алтернативите на прекия и допълнителния код. Както ще бъде показано по-късно, такава форма на представяне на десети числа просто ще опрости аритметичните операции.

Пример 1.10.Познайте допълнителния код към десети числа: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazannya.Знаем два еквивалента на дадени числа:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Знаем кода, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

Известно е допълването на кодовете на дадени числа: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Сега обясняваме същността на записването на числа с фиксирана кома. Независимо дали броят в цифровите системи се поема от специални устройства с памет, ред от кожи се формира от фиксиран брой елементи. Комата, която включва в броя на изстрелите част от изстрела, заема в редица памет фиксирана позиция - пред старшия ранг или след младия.

За първия тип абсолютната стойност на числото е по-малка от едно - например 0,110101 2 . 1.13, крайният левий ранг показва знака на числото, а reshta - ранга на модула. Вилни млади изхвърляния са пълни с нули. Oskіlki в прегледаната vipadku в ред паметта се прехвърля за запис само на дробната част от числото, след което резултатите от всички операции се дължат на абсолютни стойности, по-малки от едно. Wikonnannya tsієї не забравяйте да изберете подходящите мащабни фактори, върху които се умножават външните данни. Ако мащабният коефициент на вибрациите е неправилен, тогава може да има пренареждане на разрядите и външния вид на цялата част, сякаш ще се изразходва, парчетата в разрядната решетка няма да се прехвърлят към нейния външен вид. Все пак ще ви докарам по дяволите в резултата, който не достига такъв метод.

При друго настроение, ако се фиксира кома след най-младата поръчка, може да е прав с цели числа. Така например числото 10011 2 в ред памет е поставено във видимостта на фиг. 1.14, рангът на де Ливи е знак, а след него вдясно свободните цифри се запълват с нули. По този начин стойността на модула е ограден ред памет.

Числата с плаваща кома пренасят изображението на числото на богомолката, което се умножава по основата на числовата система на етапа, който е зададен в ред. Например числото 200 се записва като 0,2 × 10 3, а числото 0,000312 - като 0,312 × 10 -3. Vidpovidno zapisyutsya и dvіykovі номера. Богомолката и редът се показват в двоен код, а основата е двойка. Например числото 0,111 × 2 10 = 11,10 2 в десетата система се показва като 0,875 × 2 2 = 3,5 10. В ред памет такива числа са взети от две групи числа: първата група - богомолката - определя самото число, другата - реда - мястото на коми в числото (фиг. 1.15).

При нулевия елемент на реда с памет се показва знакът на числото (за даденото двойно число, което се записва в реда с памет - “ 0 ”). Разстоянията се задават в реда на самото число (stowpts 1…8). Ако е дадено от по-малък брой редове, тогава елементите на паметта от дясната страна на числото се запълват с нули. В деветия ред се показва знакът на поръчката, а в остатъка, по аналогия с мантисата, - числото, което означава поръчката. С такъв запис стойността на числото се задава по такъв начин, че първата значима цифра на богомолката да не е равна на „ 0 ". Тази форма на вписване се нарича нормално.

Минималното допълнително число, което може да бъде записано в нормална форма в реда с памет, се определя от минималната мантиса 0,1000..0 2 и максималния визуален ред 111..1 2 . С количество кв порядъка на минимум десет, числото, което може да бъде записано, се определя по формулата:

. (1.15)

Максималният брой matimemo при максималната стойност на богомолката (0,111 ... 1) 2 и максималният допълнителен ред (111 ... 1 2) = 2 к– 1, значи

Обхват дчисла, представени в нормална форма, както се оказва от формули (1.15) и (1.16), означава само число к. Например, за к= 6 е известно:

; .

Точността на записване на номера се определя от броя на поръчките м mantici. Ако броят на ранговете на числото обърне броя на ранговете, въведени в богомолката, тогава числото се закръглява до необходимото число. Правилото за закръгляне на две числа по този начин е следното: ако старшият ред на частта от думата, която се вижда, е един, тогава към най-младия ред на богомолката се добавя едно. При такава закръглена абсолютна цифра изображението на богомолката не надвишава половината от коефициента на категорията млада богомолка, която се взема до:

Враховучи, че в нормалната форма на записа на богомолката не може да бъде по-малко от 0,5, очевидна грешка η:

Например, когато м= 24 месеца:

.

В днешните цифрови системи за показване на числа с плаваща кома се използва ред от дожиной чотири байтове. С 23 разряда задайте богомолката, а 7 - величината на поръчката. Диапазонът от числа, които се показват, е сгънат от ± 2 127 на ± 2 -127.

Вариантът на числата с плаваща кома ще разшири и опрости представянето на числата, но гъвкавостта на операциите с такива числа е по-съвместна, по-ниска при числата с фиксирана кома.

Изразително геометрично представяне на системата от рационални числа може да се получи по следния начин.

Ориз. 8. Числова ос

На някаква права линия, "числовата ос", маркираме отсечката от 0 до 1 (фиг. 8). Това задава дължината на единичния сегмент, който най-общо казано може да бъде избран произволно. След това положителните и отрицателните цели числа се изобразяват като набор от точки на еднакво разстояние по оста на числата, а именно положителните числа са маркирани вдясно, а отрицателните отляво на точката 0. За да изобразим числа със знаменател, ние разделяме всяко от получените отсечки с единична дължина на равни части; точките на разделяне ще представляват дроби със знаменател. Ако направим това за стойностите, съответстващи на всички естествени числа, тогава всяко рационално число ще бъде изобразено с някаква точка на числовата ос. Ще се съгласим да наречем тези точки "рационални"; като цяло термините "рационално число" и "рационална точка" ще се използват като синоними.

В глава I, § 1 е дефинирано отношението на неравенството за естествени числа. На оста на числата това съотношение се отразява, както следва: ако естествено число A е по-малко от естествено число B, тогава точката A лежи вляво от точка B. Тъй като определеното геометрично отношение е установено за всяка двойка рационални точки, естествено е да се опитаме да обобщим отношението на аритметичното неравенство в такъв начин за запазване на този геометричен ред за разглежданите точки. Това е възможно, ако приемем следното определение: казваме, че рационалното число A е по-малко от рационално числоили че числото B е по-голямо от числото, ако разликата е положителна. От това (за ) следва, че точките (числата) между са тези, които

едновременно Всяка такава двойка точки, заедно с всички точки между тях, се нарича отсечка (или сегмент) и се обозначава (и само множеството от междинни точки се нарича интервал (или интервал), обозначен с

Разстоянието на произволна точка A от началото 0, считано за положително число, се нарича абсолютна стойност на A и се обозначава със символа

Концепцията за "абсолютна стойност" се дефинира, както следва: ако , тогава ако тогава е ясно, че ако числата имат същия знак, тогава равенството е вярно, ако имат различни знаци, тогава . Комбинирайки тези два резултата заедно, стигаме до общото неравенство

който е валиден независимо от знаците

Факт от фундаментално значение се изразява със следното твърдение: рационалните точки са навсякъде плътни на числовата права. Смисълът на това твърдение е, че във всеки интервал, колкото и малък да е той, има рационални точки. За да проверите валидността на посоченото твърдение, достатъчно е да вземете число, толкова голямо, че интервалът ( ще бъде по-малък от дадения интервал ; тогава поне една от точките на формата ще бъде вътре в този интервал. Така че има няма такъв интервал по оста на числата (дори и най-малкия, който може да си представим), в който няма да има рационални точки. От това следва допълнително следствие: всеки интервал съдържа безкраен брой рационални точки. Наистина, ако някой интервал съдържа само краен брой рационални точки, тогава вътре в интервала, образуван от две съседни такива точки, вече няма да има рационални точки и това противоречи на току-що доказаното.