У дома > машиностроене

Разлика на логаритмите със същата основа. Свойства на логаритмите и примери за техните решения

Както знаете, когато умножавате изрази със степени, техните експоненти винаги се събират (a b * a c = a b + c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с целочислени показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритмите. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където е необходимо да се опрости тромавото умножение до просто събиране. Ако отделите 10 минути, четейки тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. Прост и достъпен език.

Определение в математиката

Логаритъмът е израз в следната форма: log a b=c, тоест логаритъмът на всяко неотрицателно число (тоест всяко положително) "b" в неговата основа "a" се счита за степента на "c" , до което трябва да се повдигне основата "a", така че накрая да се получи стойността "b". Нека анализираме логаритъма с помощта на примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направихме някои изчисления в ума си, получаваме числото 3! И правилно, защото 2 на степен на 3 дава числото 8 в отговора.

Разновидности на логаритмите

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три различни вида логаритмични изрази:

  1. Естествен логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2.7).
  2. Десетична а, където основата е 10.
  3. Логаритъмът на произволно число b спрямо основата a>1.

Всеки от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последващо свеждане до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността на действията в техните решения.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са верни. Например, не е възможно да се разделят числата на нула, а също така е невъзможно да се вземе четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да научите как да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

  • основата "a" винаги трябва да е по-голяма от нула и в същото време да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби смисъла си, тъй като "1" и "0" до всяка степен винаги са равни на техните стойности;
  • ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че "c" трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, беше дадена задачата да се намери отговорът на уравнението 10 x \u003d 100. Много е лесно, трябва да изберете такава степен, като повишите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.

Сега нека представим този израз като логаритмичен. Получаваме log 10 100 = 2. При решаване на логаритми всички действия на практика се сближават с намирането на степента, до която трябва да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои експоненти могат да бъдат отгатнати интуитивно, ако имате технически начин на мислене и познания за таблицата за умножение. Въпреки това, по-големи стойности ще изискват таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (база а), горният ред числа е стойността на степента c, до която се повдига числото a. На пресечната точка в клетките се определят стойностите на числата, които са отговорът (a c = b). Нека вземем например първата клетка с числото 10 и я квадратираме, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че дори най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия степента е логаритъмът. Следователно всякакви математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично уравнение. Например, 3 4 = 81 може да се запише като логаритъм от 81 към основа 3, което е четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са едни и същи: 2 -5 = 1/32 записваме като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-увлекателните раздели на математиката е темата за "логаритмите". Ще разгледаме примери и решения на уравнения малко по-ниско, веднага след изучаване на техните свойства. Сега нека разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги разграничим от уравненията.

Даден е израз от следния вид: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъма. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъмът на желаното число в основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъмът на 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числови стойности в отговора, докато при решаване на неравенството и двата диапазона на приемливи стойности и точките, нарушаващи тази функция. В резултат на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнението, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Но когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще се запознаем с примери за уравнения, нека първо анализираме всяко свойство по-подробно.

  1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само ако a е по-голямо от 0, не е равно на единица и B е по-голямо от нула.
  2. Логаритъмът на произведението може да се представи в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай предпоставката е: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можете да дадете доказателство за тази формула от логаритми, с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , след това a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (степенни свойства ), и по-нататък по дефиниция: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да се докаже.
  3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Теоремата под формата на формула приема следната форма: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича "свойство на степента на логаритъма". Наподобява свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на редовни постулати. Нека разгледаме доказателството.

Нека log a b \u003d t, оказва се, a t = b. Ако повдигнете двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n , следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за проблеми и неравенства

Най-често срещаните видове логаритмни задачи са примери за уравнения и неравенства. Те се намират в почти всички задачници, а също така са включени в задължителната част от изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни тестове по математика, трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение могат да се прилагат определени правила. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или сведен до обща форма. Можете да опростите дългите логаритмични изрази, ако използвате правилно техните свойства. Да ги опознаем скоро.

При решаване на логаритмични уравнения е необходимо да се определи какъв тип логаритъм имаме пред нас: пример за израз може да съдържа естествен логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че трябва да определите степента, до която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения на естествени логаритми трябва да се прилагат логаритмични идентичности или техните свойства. Нека разгледаме примери за решаване на логаритмични задачи от различен тип.

Как да използвате логаритмни формули: с примери и решения

И така, нека разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.

  1. Свойството на логаритъма на произведението може да се използва в задачи, при които е необходимо да се разложи голяма стойност на числото b на по-прости фактори. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, прилагайки четвъртото свойство на степента на логаритъма, успяхме да решим на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Необходимо е само да се факторизира основата и след това да се извадят стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от изпита

Логаритмите често се срещат на приемните изпити, особено много логаритмични проблеми в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част A (най-лесната тестова част от изпита), но и в част C (най-трудните и обемни задачи). Изпитът предполага точно и перфектно познаване на темата "Естествени логаритми".

Примерите и решаването на проблеми са взети от официалните версии на изпита. Нека видим как се решават подобни задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.

  • Всички логаритми се редуцират най-добре до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
  • Всички изрази под знака на логаритъма са посочени като положителни, следователно, когато се изважда степента на степента на израза, която е под знака на логаритъма и като негова основа, изразът, оставащ под логаритъма, трябва да бъде положителен.

Днес ще говорим за логаритмни формулии дават демонстрация примери за решение.

Сами по себе си те предполагат модели на решения според основните свойства на логаритмите. Преди да приложим формулите за логаритъм към решението, ние ви припомняме първо всички свойства:

Сега, въз основа на тези формули (свойства), ние показваме примери за решаване на логаритми.

Примери за решаване на логаритми въз основа на формули.

Логаритъмположително число b в база a (означено log a b) е степента, до която a трябва да се повиши, за да се получи b, с b > 0, a > 0 и 1.

Според дефиницията log a b = x, което е еквивалентно на a x = b, така че log a a x = x.

Логаритми, примери:

log 2 8 = 3, тъй като 2 3 = 8

log 7 49 = 2, защото 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, тъй като 5 -1 = 1/5

Десетичен логаритъме обикновен логаритъм, чиято основа е 10. Означава се като lg.

log 10 100 = 2, защото 10 2 = 100

естествен логаритъм- също обичайният логаритъм логаритъм, но с основа e (e = 2,71828 ... - ирационално число). Посочено като ln.

Желателно е да запомним формулите или свойствата на логаритмите, защото те ще ни трябват по-късно при решаването на логаритми, логаритмични уравнения и неравенства. Нека отново разгледаме всяка формула с примери.

  • Основна логаритмична идентичност
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

  • Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Свойства на степента на логаритъмно число и основата на логаритъма

    Показателят на логаритъм число log a b m = mlog a b

    Показател на основата на логаритъма log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    ако m = n, получаваме log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Преход към нова основа
    log a b = log c b / log c a,

    ако c = b, получаваме log b b = 1

    тогава log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Както можете да видите, формулите за логаритъм не са толкова сложни, колкото изглеждат. Сега, след като разгледахме примери за решаване на логаритми, можем да преминем към логаритмични уравнения. Ще разгледаме примери за решаване на логаритмични уравнения по-подробно в статията: "". Не пропускайте!

Ако все още имате въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.

Забележка: реших да получа образование от друг клас, обучение в чужбина като опция.

Логаритъмът на число н по разум а се нарича експонента х , до който трябва да повишите а за да получите номера н

При условие че
,
,

От определението на логаритъма следва, че
, т.е.
- това равенство е основната логаритмична идентичност.

Логаритмите с основа 10 се наричат ​​десетични логаритми. Вместо
пишете
.

основни логаритми д се наричат ​​естествени и обозначени
.

Основни свойства на логаритмите.

    Логаритъмът на единицата за всяка основа е нула

    Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите на факторите.

3) Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите


Фактор
се нарича модул на преход от логаритми в основата а на логаритми в основата б .

Използвайки свойства 2-5, често е възможно да се намали логаритъмът на сложен израз до резултата от прости аритметични операции върху логаритми.

Например,

Такива трансформации на логаритъма се наричат ​​логаритми. Преобразуванията, реципрочни на логаритмите, се наричат ​​потенциране.

Глава 2. Елементи на висшата математика.

1. Граници

ограничение на функцията
е крайно число A, ако, когато се стремим xx 0 за всеки предварително определен
, има номер
че веднага щом
, тогава
.

Функция, която има ограничение, се различава от нея с безкрайно малка сума:
, където - b.m.w., т.е.
.

Пример. Помислете за функцията
.

При стремеж
, функция г отива на нула:

1.1. Основни теореми за границите.

    Границата на постоянна стойност е равна на тази постоянна стойност

.

    Пределът на сбора (разликата) на краен брой функции е равен на сбора (разликата) от границите на тези функции.

    Границата на произведение на краен брой функции е равна на произведението на границите на тези функции.

    Границата на частното на две функции е равна на частното от границите на тези функции, ако границата на знаменателя не е равна на нула.

Забележителни граници

,
, където

1.2. Примери за изчисляване на лимита

Не всички граници обаче се изчисляват толкова просто. По-често изчисляването на лимита се свежда до разкриване на несигурност на типа: или .

.

2. Производна на функция

Нека имаме функция
, непрекъснат на сегмента
.

Аргумент получи малко тласък
. След това функцията ще бъде увеличена
.

Стойност на аргумента съответства на стойността на функцията
.

Стойност на аргумента
съответства на стойността на функцията.

Следователно, .

Нека намерим границата на това отношение при
. Ако тази граница съществува, тогава тя се нарича производна на дадената функция.

Дефиниция на 3 производна на дадена функция
по аргумент нарича се граница на съотношението на приращението на функцията към приращението на аргумента, когато приращението на аргумента произволно клони към нула.

Производна на функцията
може да се обозначи по следния начин:

; ; ; .

Определение 4 Операцията за намиране на производната на функция се нарича диференциация.

2.1. Механичното значение на производната.

Помислете за праволинейното движение на някакво твърдо тяло или материална точка.

Нека в някакъв момент от времето движеща се точка
беше на разстояние от изходна позиция
.

След известен период от време
тя се премести на разстояние
. Поведение =- средна скорост на материална точка
. Нека намерим границата на това съотношение, като вземем предвид това
.

Следователно, определянето на моментната скорост на материална точка се свежда до намиране на производната на пътя по отношение на времето.

2.2. Геометрична стойност на производната

Да предположим, че имаме графично дефинирана някаква функция
.

Ориз. 1. Геометричното значение на производната

Ако
, след това точката
, ще се движи по кривата, приближавайки се до точката
.

Следователно
, т.е. стойността на производната, като се има предвид стойността на аргумента числово равен на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната в дадена точка с положителната посока на оста
.

2.3. Таблица на основните формули за диференциация.

Функция за захранване

Експоненциална функция

логаритмична функция

тригонометрична функция

Обратна тригонометрична функция

2.4. Правила за диференциране.

Производна на

Производна на сбора (разликата) от функции


Производна на произведението на две функции


Производна на частното на две функции


2.5. Производна на сложна функция.

Нека функцията
такъв, че може да бъде представен като

и
, където променливата тогава е междинен аргумент

Производната на комплексна функция е равна на произведението на производната на дадената функция по отношение на междинния аргумент по производната на междинния аргумент спрямо x.

Пример1.

Пример2.

3. Функционален диференциал.

Нека има
, диференцируем на някакъв интервал
остави в тази функция има производна

,

тогава можете да пишете

(1),

където - безкрайно малко количество,

защото при

Умножаване на всички условия на равенство (1) по
ние имаме:

Където
- b.m.v. по-висок ред.

Стойност
се нарича диференциал на функцията
и означени

.

3.1. Геометричната стойност на диференциала.

Нека функцията
.

Фиг.2. Геометричното значение на диференциала.

.

Очевидно диференциалът на функцията
е равно на приращението на ординатата на допирателната в дадена точка.

3.2. Производни и диференциали от различни порядки.

Ако има
, тогава
се нарича първа производна.

Производната на първата производна се нарича производна от втори ред и се записва
.

Производна от n-тия ред на функцията
се нарича производна на реда (n-1) и се записва:

.

Диференциалът на диференциала на функция се нарича втори диференциал или диференциал от втори ред.

.

.

3.3 Решаване на биологични проблеми с помощта на диференциация.

Задача 1. Проучванията показват, че растежът на колония от микроорганизми се подчинява на закона
, където н – брой микроорганизми (в хиляди), т – време (дни).

б) Ще се увеличи ли или ще намалее населението на колонията през този период?

Отговор. Колонията ще нараства.

Задача 2. Водата в езерото периодично се тества за контрол на съдържанието на патогенни бактерии. През т дни след изследването концентрацията на бактериите се определя от съотношението

.

Кога ще дойде минималната концентрация на бактерии в езерото и ще може да се плува в него?

Решение Функцията достига максимум или минимум, когато нейната производна е нула.

,

Нека определим максимума или минимума след 6 дни. За да направим това, вземаме втората производна.


Отговор: След 6 дни ще има минимална концентрация на бактерии.

    Да започнем с свойства на логаритъма на единството. Неговата формулировка е следната: логаритъмът на единството е равен на нула, т.е. log a 1=0за всяко a>0, a≠1. Доказателството е просто: тъй като a 0 =1 за всяко a, което отговаря на горните условия a>0 и a≠1 , тогава доказаното равенство log a 1=0 непосредствено следва от дефиницията на логаритъма.

    Нека дадем примери за приложение на разглежданото свойство: log 3 1=0 , lg1=0 и .

    Да преминем към следващото свойство: логаритъмът на число, равно на основата, е равно на единицат.е. log a a=1за a>0, a≠1. Всъщност, тъй като a 1 =a за всяко a , то според дефиницията на логаритъма log a a=1 .

    Примери за използване на това свойство на логаритмите са log 5 5=1 , log 5.6 5.6 и lne=1 .

    Например, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 и .

    Логаритъм на произведението на две положителни числа x и y е равно на произведението на логаритмите на тези числа: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Нека докажем свойството на логаритъма на произведението. Поради свойствата на степента a log a x+log a y =a log a x a log a y, и тъй като по основната логаритмична идентичност log a x =x и log a y =y , тогава log a x a log a y =x y . Така, a log a x+log a y =x y , откъдето изискваното равенство следва от дефиницията на логаритъма.

    Нека покажем примери за използване на свойството на логаритъма на продукта: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

    Свойството логаритъм на произведението може да се обобщи до произведението на крайно число n от положителни числа x 1 , x 2 , ..., x n като log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Това равенство лесно се доказва.

    Например, естественият логаритъм на продукт може да бъде заменен със сумата от три естествени логаритъма на числата 4 , e и .

    Логаритъм на частното от две положителни числа x и y е равно на разликата между логаритмите на тези числа. Свойството на частния логаритъм съответства на формула от вида , където a>0, a≠1, x и y са някои положителни числа. Валидността на тази формула се доказва като формулата за логаритъм на произведението: тъй като , след това по дефиницията на логаритъма .

    Ето пример за използване на това свойство на логаритъма: .

    Да преминем към свойство на логаритъма на степента. Логаритъмът на степен е равен на произведението на степента и логаритъма на модула на основата на тази степен. Записваме това свойство на логаритъма на степента под формата на формула: log a b p =p log a |b|, където a>0 , a≠1 , b и p са числа такива, че степента на b p има смисъл и b p >0 .

    Първо доказваме това свойство за положително b . Основната логаритмична идентичност ни позволява да представим числото b като log a b , след това b p =(a log a b) p , а полученият израз, поради свойството на степента, е равен на a p log a b . Така стигаме до равенството b p =a p log a b , от което по дефиницията на логаритъма заключаваме, че log a b p =p log a b .

    Остава да се докаже това свойство за отрицателно b . Тук отбелязваме, че изразът log a b p за отрицателно b има смисъл само за четни експоненти p (тъй като стойността на степента b p трябва да е по-голяма от нула, в противен случай логаритъмът няма да има смисъл), а в този случай b p =|b| п . Тогава b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, откъдето log a b p =p log a |b| .

    Например, и ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Това следва от предходния имот свойство на логаритъма от корена: логаритъмът на корена от n-та степен е равен на произведението на фракцията 1/n и логаритъма на коренния израз, т.е. , където a>0 , a≠1 , n е естествено число, по-голямо от едно, b>0 .

    Доказателството се основава на равенството (виж ), което е валидно за всяко положително b , и свойството на логаритъма на степента: .

    Ето пример за използване на това свойство: .

    Сега да докажем формула за преобразуване към новата основа на логаритъмамил . За да направите това, достатъчно е да се докаже валидността на равенството log c b=log a b log c a . Основната логаритмична идентичност ни позволява да представим числото b като log a b , след което log c b=log c a log a b . Остава да използваме свойството на логаритъма на степента: log c a log a b = log a b log c a. Така се доказва равенството log c b=log a b log c a, което означава, че е доказана и формулата за преход към нова основа на логаритъма.

    Нека покажем няколко примера за прилагане на това свойство на логаритмите: и .

    Формулата за преминаване към нова база ви позволява да преминете към работа с логаритми, които имат „удобна“ основа. Например, може да се използва за превключване към естествени или десетични логаритми, така че да можете да изчислите стойността на логаритъма от таблицата с логаритми. Формулата за преход към нова основа на логаритъма също позволява в някои случаи да се намери стойността на даден логаритъм, когато са известни стойностите на някои логаритми с други бази.

    Често се използва специален случай на формулата за преход към нова основа на логаритъма за c=b от формата . Това показва, че log a b и log b a – . Например, .

    Също така често се използва формулата , което е полезно за намиране на стойности на логаритъм. За да потвърдим думите си, ще покажем как се изчислява стойността на логаритъма на формуляра с него. Ние имаме . За доказване на формулата достатъчно е да използвате формулата за преход към новата основа на логаритъма a: .

    Остава да се докажат сравнителните свойства на логаритмите.

    Нека докажем, че за всякакви положителни числа b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 , а за a>1, неравенството log a b 1

    И накрая, остава да се докаже последното от изброените свойства на логаритмите. Ние се ограничаваме до доказване на първата му част, тоест доказваме, че ако a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b>log a 2 b . Останалите твърдения на това свойство на логаритмите се доказват по подобен принцип.

    Нека използваме обратния метод. Да предположим, че за a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b е вярно. Чрез свойствата на логаритмите тези неравенства могат да бъдат пренаписани като и съответно и от тях следва, че log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2, съответно. Тогава по свойствата на степените със същите основи трябва да бъдат изпълнени равенствата b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, тоест a 1 ≥a 2 . Така стигнахме до противоречие с условието а 1

Библиография.

  • Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).

Във връзка с

може да се постави задачата да се намери някое от трите числа от другите две дадени. Дадено a и след това N се намира чрез степенуване. Ако са дадени N и тогава a се намира чрез извличане на корена на степента x (или степенуване). Сега разгледайте случая, когато при дадени a и N се изисква да се намери x.

Нека числото N е положително: числото a е положително и не е равно на единица: .

Определение. Логаритъмът на числото N спрямо основата a е степента, към която трябва да повишите a, за да получите числото N; логаритъмът се обозначава с

Така в равенство (26.1) степента се намира като логаритъм на N спрямо основата a. Вписвания

имат същото значение. Равенството (26.1) понякога се нарича основно тъждество на теорията на логаритмите; всъщност той изразява дефиницията на понятието логаритъм. Според това определение основата на логаритъма a винаги е положителна и различна от единица; логаритмируемото число N е положително. Отрицателните числа и нулата нямат логаритми. Може да се докаже, че всяко число с дадена основа има добре дефиниран логаритъм. Следователно равенството включва . Имайте предвид, че условието е от съществено значение тук, в противен случай заключението не би било оправдано, тъй като равенството е вярно за всякакви стойности на x и y.

Пример 1. Намерете

Решение. За да получите числото, трябва да повишите база 2 на степен. Следователно.

Можете да записвате при решаване на такива примери в следната форма:

Пример 2. Намерете .

Решение. Ние имаме

В примери 1 и 2 лесно намерихме желания логаритъм, като представихме логаритмируемото число като степен на основа с рационален показател. В общия случай, например за т.н., това не може да се направи, тъй като логаритъмът има ирационална стойност. Нека обърнем внимание на един въпрос, свързан с това твърдение. В § 12 дадохме концепцията за възможността за определяне на всяка реална степен на дадено положително число. Това беше необходимо за въвеждането на логаритми, които по принцип могат да бъдат ирационални числа.

Помислете за някои свойства на логаритмите.

Свойство 1. Ако числото и основата са равни, тогава логаритъмът е равен на единица и обратно, ако логаритъмът е равен на единица, тогава числото и основата са равни.

Доказателство. Нека По дефиницията на логаритъма имаме и откъде

Обратно, нека Тогава по дефиниция

Свойство 2. Логаритъмът на единицата към която и да е основа е равен на нула.

Доказателство. По дефиницията на логаритъма (нулевата мощност на всяка положителна основа е равна на единица, виж (10.1)). Оттук

Q.E.D.

Обратното твърдение също е вярно: ако , тогава N = 1. Наистина имаме .

Преди да посочим следното свойство на логаритмите, нека се съгласим да кажем, че две числа a и b лежат от една и съща страна на трето число c, ако и двете са по-големи от c или по-малки от c. Ако едно от тези числа е по-голямо от c, а другото е по-малко от c, тогава казваме, че те лежат от противоположните страни на c.

Свойство 3. Ако числото и основата лежат на една и съща страна на единицата, тогава логаритъмът е положителен; ако числото и основата лежат на противоположните страни на единицата, тогава логаритъмът е отрицателен.

Доказателството за свойство 3 се основава на факта, че степента на a е по-голяма от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е положителна, или основата е по-малка от единица, а степента е отрицателна. Степента е по-малка от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е отрицателна, или основата е по-малка от единица и степента е положителна.

Има четири случая, които трябва да бъдат разгледани:

Ние се ограничаваме до анализа на първия от тях, останалите читателят ще разгледа сам.

Нека тогава експонентът в равенството не е нито отрицателен, нито равен на нула, следователно е положителен, т.е., което се изискваше да бъде доказано.

Пример 3. Разберете кои от следните логаритми са положителни и кои са отрицателни:

Решение, а) тъй като числото 15 и основата 12 са разположени от една и съща страна на модула;

b) , тъй като 1000 и 2 са разположени от една и съща страна на модула; в същото време не е от съществено значение основата да е по-голяма от логаритмичното число;

в), тъй като 3.1 и 0.8 лежат от противоположните страни на единицата;

Ж) ; защо?

д) ; защо?

Следните свойства 4-6 често се наричат ​​правила на логаритъм: те позволяват, знаейки логаритмите на някои числа, да се намерят логаритмите на тяхното произведение, частно, степен на всяко от тях.

Свойство 4 (правилото за логаритъма на произведението). Логаритъмът на произведението на няколко положителни числа в дадена основа е равен на сбора от логаритмите на тези числа в същата основа.

Доказателство. Нека са дадени положителни числа.

За логаритъма на техния продукт записваме равенството (26.1), определящо логаритъма:

От тук намираме

Сравнявайки експонентите на първия и последния израз, получаваме необходимото равенство:

Обърнете внимание, че условието е съществено; логаритъмът на произведението на две отрицателни числа има смисъл, но в този случай получаваме

Като цяло, ако произведението на няколко фактора е положително, тогава неговият логаритъм е равен на сбора от логаритмите на модулите на тези фактори.

Свойство 5 (правило за частен логаритъм). Логаритъмът на частно от положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делимото и делителя, взети в една и съща основа. Доказателство. Намерете последователно

Q.E.D.

Свойство 6 (правило на логаритъма на степента). Логаритъмът на степента на всяко положително число е равен на логаритъма на това число, умножен на степента.

Доказателство. Пишем отново основната идентичност (26.1) за числото:

Q.E.D.

Последствие. Логаритъмът на корена на положително число е равен на логаритъма на коренното число, разделен на степента на корена:

Можем да докажем валидността на това следствие, като представим как и използваме свойство 6.

Пример 4. Логаритъм на база a:

а) (приема се, че всички стойности b, c, d, e са положителни);

б) (предполага се, че ).

Решение, а) Удобно е да преминем в този израз към дробни степени:

Въз основа на равенства (26.5)-(26.7) сега можем да запишем:

Забелязваме, че върху логаритмите на числата се извършват по-прости операции, отколкото върху самите числа: при умножаване на числата се събират логаритмите им, при разделяне се изваждат и т.н.

Ето защо логаритмите са били използвани в изчислителната практика (вж. § 29).

Действието, обратно на логаритъма, се нарича потенциране, а именно: потенцирането е действието, чрез което самото това число се намира от дадения логаритъм на число. По същество потенцирането не е никакво специално действие: то се свежда до повишаване на основата до степен (равна на логаритъма на числото). Терминът "потенциране" може да се счита за синоним на термина "потенциране".

При потенциране е необходимо да се използват правилата, които са обратни на правилата на логаритъма: заменете сбора от логаритми с логаритъма на произведението, разликата на логаритмите с логаритъма на частното и т.н. По-специално, ако има всеки фактор пред знака на логаритъма, тогава по време на потенцирането той трябва да се прехвърли в индикаторните градуси под знака на логаритъма.

Пример 5. Намерете N, ако е известно, че

Решение. Във връзка с посоченото току-що правило за потенциране, множителите 2/3 и 1/3, които са пред знаците на логаритмите от дясната страна на това равенство, ще бъдат прехвърлени към степените под знаците на тези логаритми; получаваме

Сега заменяме разликата на логаритмите с логаритъма на частното:

за да получим последната дроб в тази верига от равенства, освободихме предишната дроб от ирационалност в знаменателя (раздел 25).

Свойство 7. Ако основата е по-голяма от единица, то по-голямото число има по-голям логаритъм (и по-малкото има по-малък), ако основата е по-малко от единица, то по-голямото число има по-малък логаритъм (и по-малкото единият има по-голям).

Това свойство също се формулира като правило за логаритъма на неравенствата, и двете части на които са положителни:

При вземане на логаритъм от неравенства на основа, по-голяма от единица, знакът на неравенството се запазва, а при вземане на логаритъм на основа, по-малка от единица, знакът на неравенството се обръща (виж също т. 80).

Доказателството се основава на свойства 5 и 3. Разгледайте случая, когато Ако , тогава и, като вземем логаритъма, получаваме

(a и N/M лежат от една и съща страна на единицата). Оттук

Следва случай а, читателят ще го разбере сам.

Ние също препоръчваме
Зареждане...Зареждане...