Примери за най-малко общо кратно на три числа. Намиране на най-малкото общо кратно: методи, примери за намиране на LCM

За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина "множество".

Кратното на A е естествено число, което се дели на A без остатък. По този начин 15, 20, 25 и т.н. могат да се считат за кратни на 5.

Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.

Общото кратно на естествените числа е число, което се дели на тях без остатък.

Как да намерим най-малкото общо кратно на числата

Най-малкото общо кратно (LCM) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели равномерно на всички тези числа.

За да намерите NOC, можете да използвате няколко метода.

За малки числа е удобно да се изпишат на ред всички кратни на тези числа, докато се намери общо сред тях. Множествата се обозначават в записа с главна буква K.

Например, кратни на 4 могат да се запишат така:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

И така, можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Това вписване се извършва по следния начин:

LCM(4, 6) = 24

Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг начин за изчисляване на LCM.

За да се изпълни задачата, е необходимо да се разложат предложените числа на прости множители.

Първо трябва да напишете разширението на най-голямото от числата в ред, а под него - останалите.

При разширяването на всяко число може да има различен брой фактори.

Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости фактори.

При разширяването на по-малкото число трябва да се подчертаят факторите, които липсват при разгръщането на първото най-голямо число, и след това да се добавят към него. В представения пример липсва двойка.

Сега можем да изчислим най-малкото общо кратно на 20 и 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Така произведението на простите множители на по-голямото число и на факторите на второто число, които не са включени в разлагането на по-голямото число, ще бъде най-малкото общо кратно.

За да се намери LCM от три или повече числа, всички те трябва да бъдат разложени на прости множители, както в предишния случай.

Като пример можете да намерите най-малкото общо кратно на числата 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Така само две двойки от разлагането на шестнадесет не бяха включени в разлагането на по-голямо число (едно е в разлагането на двадесет и четири).

По този начин те трябва да се добавят към разлагането на по-голямо число.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Има специални случаи на определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да бъде разделено без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.

Например, NOC от дванадесет и двадесет и четири биха били двадесет и четири.

Ако е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат еднакви делители, тогава тяхното LCM ще бъде равно на тяхното произведение.

Например LCM(10, 11) = 110.

Помислете за три начина за намиране на най-малкото общо кратно.

Намиране чрез факторинг

Първият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа в прости множители.

Да предположим, че трябва да намерим LCM от числа: 99, 30 и 28. За да направим това, ние разлагаме всяко от тези числа на прости множители:

За да се дели желаното число на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа до най-високата възникнала степен и да ги умножим заедно:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Така че LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели равномерно на 99, 30 или 28.

За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, трябва да ги разложите на прости множители, след това да вземете всеки прост множител с най-големия показател, с който се среща, и да умножите тези фактори заедно.

Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са взаимно прости. Така

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Същото трябва да се направи, когато се търси най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Намиране чрез избор

Вторият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез напасване.

Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се дели на други дадени числа, тогава LCM на тези числа е равна на по-голямото от тях. Например, дадени четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:

Определете най-голямото число от дадените числа.
След това намираме числа, кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали останалите дадени числа се делят на получения продукт.

Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определете най-голямото от тях - това е числото 24. След това намерете числата, които са кратни на 24, като проверите дали всяко от тях се дели на 18 и на 3:

24 1 = 24 се дели на 3, но не се дели на 18.

24 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.

24 3 \u003d 72 - дели се на 3 и 18.

Така че LCM(24, 3, 18) = 72.

Намиране чрез последователно намиране LCM

Третият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.

LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, разделено на техния най-голям общ делител.

Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: GCD (12, 8) = 4. Умножете тези числа:

Разделяме продукта на техния GCD:

Така че LCM(12, 8) = 24.

За намиране на LCM от три или повече числа се използва следната процедура:

Първо се намира LCM на всяко две от дадените числа.
След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
Така LCM търсенето продължава, докато има числа.

Пример 2. Да намерим НКМ на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НКМ на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да се намери най-малкото общо кратно на 24 и третото дадено число - 9. Определете техния най-голям общ делител: gcd (24, 9) = 3. Умножете LCM с числото 9:

Разделяме продукта на техния GCD:

Така че LCM(12, 8, 9) = 72.

Помислете за решението на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето е 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което и двамата ще направят цял брой стъпки.

Решение.Целият път, през който ще преминат момчетата, трябва да се дели на 60 и 70 без остатък, тъй като всеки от тях трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да бъде кратен както на 75, така и на 60.

Първо ще изпишем всички кратни за числото 75. Получаваме:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега нека напишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега намираме числата, които са и в двата реда.

Общите кратни на числата ще бъдат числа, 300, 600 и т.н.

Най-малкото от тях е числото 300. В този случай то ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Връщайки се към условието на задачата, най-малкото разстояние, на което момчетата правят цял брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще премине този път на 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.

Намиране на най-малкото общо множество

Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно както на a, така и на b.

За да се намери най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да се записват всички кратни на тези числа подред.

Можете да използвате следния метод.

Как да намерим най-малкото общо кратно

Първо, трябва да разложите тези числа на прости множители.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Сега нека запишем всички фактори, които са в разрастването на първото число (2,2,3,5) и да добавим към него всички липсващи фактори от разширението на второто число (5).

В резултат на това получаваме серия от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малко общ фактор за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.

Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

1. Разложете числата на прости множители.
2. Запишете основните фактори, които са част от един от тях.
3. Добавете към тези фактори всички онези, които са в разлагането на останалите, но не и в избрания.
4. Намерете произведението на всички изписани фактори.

Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.

Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (gcd)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно проста.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно простаако техният най-голям общ делител (gcd) е 1.

Най-голям общ делител (GCD)може да се намери без изписване на всички делители на дадените числа.

Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, изтриваме тези, които не са включени в разширението на второто число (т.е. две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Техният продукт е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Открива се и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете тези, които не са включени в разширението на други числа;
3) намерете произведението на останалите фактори.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например, най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като дели всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b са най-малкото естествено число, което е кратно както на a, така и на b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват кратни на тези числа в ред. За да направите това, разлагаме 75 и 60 на прости фактори: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Нека напишем коефициентите, включени в разширението на първото от тези числа, и да добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширението на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чието произведение е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Намерете също най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) да ги разложи на прости множители;
2) напишете коефициентите, включени в разширението на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Имайте предвид, че ако едно от тези числа се дели на всички останали числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например, най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 би било 60, тъй като се дели на всички дадени числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сбора от всички негови делители (без самото число), те наричат перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 перфектни числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото перфектно число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като продукт на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части от редицата те са повече, в други - по-малко. Но колкото повече се движим по редицата от числа, толкова по-редки са простите числа. Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр.н.е.) в книгата си „Началата“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число има четно число по-голямо просто число.
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това зачеркна единицата, която не е нито просто, нито съставно число, след това зачеркна през едно всички числа след 2 (числа, които са кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и др.). Първото оставащо число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа след 3 бяха зачертани (числа, които са кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). в крайна сметка само простите числа останаха незачертани.

На учениците се дават много задачи по математика. Сред тях много често има задачи със следната формулировка: има две стойности. Как да намеря най-малкото общо кратно на дадени числа? Необходимо е да можете да изпълнявате такива задачи, тъй като придобитите умения се използват за работа с дроби с различни знаменатели. В статията ще анализираме как да намерим LCM и основните понятия.

Преди да намерите отговора на въпроса как да намерите LCM, трябва да дефинирате термина множествен. Най-често формулировката на това понятие е следната: кратно на някаква стойност A е естествено число, което ще се дели на A без остатък. И така, за 4, 8, 12, 16, 20 и т.н., до необходимата граница.

В този случай броят на делителите за определена стойност може да бъде ограничен и има безкрайно много кратни. Същата стойност има и за природните ценности. Това е индикатор, който се дели от тях без остатък. След като се занимаваме с концепцията за най-малката стойност за определени показатели, нека да преминем към това как да я намерим.

Намиране на NOC

Най-малкото кратно на два или повече експонента е най-малкото естествено число, което се дели напълно на всички дадени числа.

Има няколко начина да намерите такава стойност.Нека разгледаме следните методи:

Ако числата са малки, тогава напишете в реда всички делими на него. Продължавайте да правите това, докато не намерите нещо общо между тях. В записа те са обозначени с буквата K. Например за 4 и 3 най-малкото кратно е 12.
Ако те са големи или трябва да намерите кратно за 3 или повече стойности, тогава трябва да използвате различна техника тук, която включва разлагане на числата на прости фактори. Първо, изложете най-големия от посочените, след това всички останали. Всеки от тях има свой собствен брой множители. Като пример, нека разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). За по-малкия от тях подчертайте факторите и добавете към най-големия. Резултатът ще бъде 100, което ще бъде най-малкото общо кратно на горните числа.
При намиране на 3 числа (16, 24 и 36) принципите са същите като при другите две. Нека разширим всеки от тях: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. В разлагането на най-голямото не са включени само две двойки от разлагането на числото 16. Събираме ги и получаваме 144, което е най-малкият резултат за посочените по-рано числови стойности.

Сега знаем каква е общата техника за намиране на най-малката стойност за две, три или повече стойности. Има обаче и частни методи, помага за търсене на НОК, ако предишните не помагат.

Как да намерите GCD и NOC.

Частни начини за намиране

Както при всеки математически раздел, има специални случаи на намиране на LCM, които помагат в конкретни ситуации:

ако едно от числата се дели на останалите без остатък, тогава най-малкото кратно на тези числа е равно на него (NOC 60 и 15 е равно на 15);
Взаимно простите числа нямат общи прости делители. Най-малката им стойност е равна на произведението на тези числа. Така за числата 7 и 8 това ще бъде 56;
същото правило работи и за други случаи, включително специални, за които може да се прочете в специализираната литература. Това трябва да включва и случаи на декомпозиция на съставни числа, които са предмет на отделни статии и дори докторски дисертации.

Специалните случаи са по-рядко срещани от стандартните примери. Но благодарение на тях можете да се научите как да работите с фракции с различна степен на сложност. Това е особено вярно за фракциите., където има различни знаменатели.

Няколко примера

Нека разгледаме няколко примера, благодарение на които можете да разберете принципа на намиране на най-малкото кратно:

Намираме LCM (35; 40). Излагаме първо 35 = 5*7, след това 40 = 5*8. Добавяме 8 към най-малкото число и получаваме NOC 280.
NOC (45; 54). Разпределяме всеки от тях: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавяме числото 6 към 45. Получаваме NOC, равен на 270.
Е, последният пример. Има 5 и 4. За тях няма прости кратни, така че най-малкото общо кратно в този случай ще бъде тяхното произведение, равно на 20.

Благодарение на примерите можете да разберете как се намира NOC, какви са нюансите и какво е значението на такива манипулации.

Намирането на NOC е много по-лесно, отколкото може да изглежда на пръв поглед. За това се използват както просто разширение, така и умножение на прости стойности една спрямо друга.. Способността за работа с този раздел от математиката помага при по-нататъшното изучаване на математически теми, особено на фракции с различна степен на сложност.

Не забравяйте периодично да решавате примери с различни методи, това развива логическия апарат и ви позволява да запомните множество термини. Научете методи за намиране на такъв индикатор и ще можете да работите добре с останалите математически раздели. Приятно учене на математика!