Тема на урока: Аритметични операции в позиционни бройни системи.

9 клас

Цели на урока:

дидактически: да запознае учениците със събиране, изваждане, умножение и деление в двоичната система и да проведе първична практика на умението за извършване на тези действия.

Образователни: да развие интереса на учениците към научаване на нови неща, да покаже възможността за нестандартен подход към изчисленията.

Разработване: развиват вниманието, взискателността на мисленето, способността за разсъждение.

Структура на урока.

Оргмомент -1 минута.

Проверка на домашната работа с устен тест -15 минути.

Домашна работа -2 минути.

Решаване на проблеми с едновременен анализ и самостоятелно развитие на материала -25 мин.

Обобщаване на урока -2 минути.

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ

Организационен момент.

Проверка на домашната работа (устен тест) .

Учителят чете въпросите последователно. Учениците слушат внимателно въпроса, без да го записват. Записва се само отговорът и то много накратко. (Ако е възможно да се отговори с една дума, тогава се записва само тази дума).

Какво е числова система? (-това е знакова система, в която числата се записват по определени правила, като се използват знаците от някаква азбука, наречена числа )

Какви бройни системи познавате?( непозиционни и позиционни )

Коя система се нарича непозиционна? (SCH се нарича непозиционен, ако количественият еквивалент (количествената стойност) на цифра в число не зависи от позицията му в нотацията на числото ).

Каква е основата на позиционния SSC. (равен на броя на цифрите, които съставляват неговата азбука )

Каква математическа операция трябва да се използва за преобразуване на цяло число от десетичен NSC във всяко друго? (дивизия )

Какво трябва да се направи, за да се преобразува число от десетичен в двоичен? (Последователно разделете на 2 )

Колко пъти ще намалее числото 11.1 2 при преместване на запетаята с един знак наляво? (2 пъти )

Сега нека да чуем стих за едно необикновено момиче и да отговорим на въпроси. (Звучи като стих )

ИЗКЛЮЧИТЕЛНО МОМИЧЕ

Тя беше на хиляда и сто години
Тя отиде в сто и първи клас,
Носех сто книги в портфолиото си.
Всичко това е истина, а не глупости.

Когато, бършейки прах с десетина фута,
Тя вървеше по пътя.
Тя винаги е била следвана от кученце
С една опашка, но стокрака.

Тя улавяше всеки звук
С десет уши
И десет загорели ръце
Държаха куфарче и каишка.

И десет тъмносини очи
Смятан за света обичайно,
Но всичко ще стане съвсем нормално,
Когато разбереш моята история.

/ Н. Стариков /

И на колко години беше момичето? (12 години ) В кой клас е ходила? (5-ти клас ) Колко ръце и крака имаше тя? (2 ръце, 2 крака ) Как кученцето има 100 крака? (4 лапи )

След приключване на теста отговорите се произнасят на глас от самите ученици, извършва се самопроверка и учениците си поставят оценки.

критерий:

10 верни отговора (може би малък недостатък) - „5“;

9 или 8 - “4”;

7, 6 – “3”;

останалите са "2".

II. Домашна работа (2 минути)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Работа с нов материал

Аритметични операции в двоичната система.

Аритметиката на двоичната бройна система се основава на използването на таблици за събиране, изваждане и умножение на цифри. Аритметичните операнди са разположени в горния ред и в първата колона на таблиците, а резултатите са в пресечната точка на колони и редове:

0

1

1

1

Добавяне.

Таблицата за двоично събиране е изключително проста. Само в един случай, когато се извършва събиране 1 + 1, се извършва прехвърляне към най-значимия бит.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Изваждане.

При извършване на операция на изваждане винаги се изважда по-малко число от по-голямо по абсолютна стойност и се поставя съответният знак. В таблицата за изваждане 1 с черта означава заем от висок ред. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Умножение

Операцията за умножение се извършва с помощта на таблицата за умножение по обичайната схема, използвана в десетичната бройна система с последователно умножение на множителя по следващата цифра на множителя. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Умножението се свежда до измествания на множественото и събирания.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Обобщаване на урока

Карта за допълнителна работа на учениците.

Извършване на аритметични операции:

А) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

Б) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Добавяне. Добавянето на числа в двоичната бройна система се основава на таблицата за събиране на едноцифрени двоични числа (Таблица 6).

Важно е да се обърне внимание на факта, че при добавяне на две единици се извършва прехвърляне към най-високата цифра. Това се случва, когато стойността на число стане равна или по-голяма от основата на числовата система.

Добавянето на многобитови двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за събиране, като се вземат предвид възможните прехвърляния от по-ниски към по-високи цифри. Като пример, нека добавим двоични числа в колона:

Нека проверим правилността на изчисленията чрез събиране в десетичната бройна система. Нека преобразуваме двоичните числа в десетична бройна система и ги добавяме:

Изваждане. Изваждането на двоични числа се основава на таблицата за изваждане на едноцифрени двоични числа (Таблица 7).

При изваждане от по-малко число (0) по-голямо (1) се отпуска заем от най-високия ред. В таблицата заемът е обозначен с 1 с черта.

Изваждането на многоцифрени двоични числа се изпълнява в съответствие с тази таблица, като се вземат предвид възможните заеми с по-високи цифри.

Например, нека извадим двоични числа:

Умножение. Умножението се основава на таблицата за умножение на едноцифрени двоични числа (Таблица 8).

Умножението на многоцифрени двоични числа се извършва в съответствие с тази таблица за умножение по обичайната схема, използвана в десетичната бройна система, с последователно умножение на множителя със следващата цифра на множителя. Помислете за пример за двоично умножение

Забележка: При събиране на две числа, равни на 1, в тази цифра се получава 0, а 1-то се прехвърля към най-значимата цифра.

Пример_21: Дадени са числа 101 (2) и 11 (2). Намерете сбора от тези числа.

където 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Проверка: 5+3=8.

При изваждане на единица от 0 се взема единица от най-близката най-висока цифра, която е различна от 0. В същото време единица, заета в най-високата цифра, дава 2 единици в най-малката цифра и една във всички цифри между най-високата и най-ниската.

Пример_22: Дадени са числа 101 (2) и 11 (2). Намерете разликата между тези числа.

където 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Проверка: 5-3=2.

Операцията за умножение се свежда до многократно изместване и събиране.

Пример_23: Дадени са числа 11 (2) и 10 (2). Намерете произведението на тези числа.

където 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Проверка: 3*2=6.

Аритметични операции в осмична бройна система

При събиране на две числа, чийто сбор е равен на 8, в тази категория се получава 0, а 1-то се прехвърля в най-високия ред.

Пример_24: Дадени са числа 165 (8) и 13 (8). Намерете сбора от тези числа.

където 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

При изваждане на по-голямо число от по-малко число се взема единица от най-високата най-близка цифра, която е различна от 0. В същото време единица, заета в най-високата цифра, дава 8 в най-малката цифра.

Пример_25: Дадени са числа 114 (8) и 15 (8). Намерете разликата между тези числа.

където 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Аритметични операции в шестнадесетична бройна система

При добавяне на две числа, общо 16, в тази категория се записва 0, а 1 се прехвърля в най-високия ред.

Пример_26: Дадени са числа 1B5 (16) и 53 (16). Намерете сбора от тези числа.

където 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

При изваждане на по-голямо число от по-малко число се взема единица от най-високата най-близка цифра, различна от 0. В същото време единица, заета в най-високата цифра, дава 16 в най-малката цифра.

Пример_27: Дадени са числа 11A (16) и 2C (16). Намерете разликата между тези числа.

където 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Кодиране на компютърни данни

Данните в компютъра са представени като код, който се състои от единици и нули в различни последователности.

Кодът– набор от символи за представяне на информация. Кодирането е процесът на представяне на информация под формата на код.

Цифрови кодове

Когато извършват аритметични операции в компютър, те използват директен, обратен и допълнителен цифрови кодове.

Директен код

Направокодът (представяне под формата на абсолютна стойност със знак) на двоично число е самото двоично число, в което всички цифри, представляващи стойността му, са записани както в математическа нотация, а знакът на числото се записва като двоична цифра.

Целите числа могат да бъдат представени в компютър със или без знак.

Цели числа без знак обикновено заемат един или два байта памет. За съхраняване на цели числа със знак се разпределят един, два или четири байта, докато най-значимият (най-левият) бит се разпределя под знака на числото. Ако числото е положително, тогава в този бит се записва 0, ако отрицателно, тогава 1.

Пример_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Положителните числа в компютъра винаги се представят с директен код. Директният код на номера напълно съвпада с вписването на самото число в клетката на машината. Директният код на отрицателно число се различава от директния код на съответното положително число само по съдържанието на знаковия бит.

Директният код се използва при съхраняване на числа в паметта на компютъра, както и при извършване на операции за умножение и деление, но форматът за представяне на числа в директен код е неудобен за използване при изчисления, тъй като се извършва събиране и изваждане на положителни и отрицателни числа различно и следователно е необходимо да се анализират битовете на знаков операнд. Следователно директният код практически не се използва при изпълнение на аритметични операции върху цели числа в ALU. Но отрицателните цели числа не са представени в компютъра с директен код. Вместо този формат, широко разпространени са формати за представяне на числа в обратен и допълнителни кодове.

Обратен код

Обратен кодна положително число съвпада с директно и при записване на отрицателно число всички негови цифри, с изключение на цифрата, представляваща знака на числото, се заменят с противоположни (0 се заменя с 1, а 1 се заменя с 0 ).

Пример_29:

Пример_30:

За да възстановите директния код на отрицателно число от обратния код, всички цифри, с изключение на цифрата, представляваща знака на числото, трябва да бъдат заменени с противоположни.

Допълнителен код

Допълнителен кодна положително число съвпада с директното, а кодът на отрицателно число се образува чрез добавяне на 1 към обратния код.

Пример_31:

Пример_32:

Пример_33:

За цяло число -32 (10) напишете допълнителен код.

1. След като преобразуваме числото 32 (10) в двоична бройна система, получаваме:

32 (10) =100000 (2) .

2. Директният код за положителното число 32 (10) е 0010 0000.

3. За отрицателно число -32 (10), директният код е 1010 0000.

4. Обратният код на числото -32 (10) е 1101 1111.

5. Допълнителният код на числото -32 (10) е 1110 0000.

Пример_34:

Допълнителният код на числото е 0011 1011. Намерете стойността на числото в десетичен запис.

1. Първата (знакова) цифра на числото 0 011 1011 е 0, така че числото е положително.

2. За положително число допълнителният, обратният и прекият код са еднакви.

3. Числото в двоичната система се получава от записа на директния код - 111011 (2) (изхвърляме нули от най-високите цифри).

4. Числото 111011 (2) след преобразуване в десетична бройна система е 59 (10).

Пример_35:

Допълнителният код на числото е 1011 1011. Намерете стойността на числото в десетичен запис.

1. Знакова цифра на число 1 011 1011 е 1, така че числото е отрицателно.

2. За да определите обратния код на числото, извадете едно от допълнителния код. Обратният код е 1 011 1010.

3. Директният код се получава от обратната страна, като всички двоични цифри на числото се заменят с противоположните (1 за 0, 0 за 1). Директният код на номера е 1 100 0101 (в знаковия бит пишем 1).

4. Числото в двоичната система се получава от записа на директния код - -100 0101 (2).

4. Числото -1000101 (2) след преобразуване в десетично число е равно на -69 (10).

Подобна информация.

У дома \ Документация \ За учител по информатика

При използване на материали от този сайт - и поставянето на банера е ЗАДЪЛЖИТЕЛНО!!!

Двоична аритметика

Числата, които сме свикнали да използваме, се наричат ​​десетични, а аритметиката, която използваме, също се нарича десетична. Това е така, защото всяко число може да бъде съставено от набор от цифри, съдържащи 10 знака - цифри - "0123456789".

Математиката се разви по такъв начин, че именно този набор стана основен, но десетичната аритметика не е единствената. Ако вземем само пет цифри, тогава на тяхна основа можем да изградим петкратна аритметика, от седем цифри - седемкратна. В областите на познанието, свързани с компютърните технологии, често се използва аритметика, в която числата са съставени от шестнадесет цифри, съответно тази аритметика се нарича шестнадесетична. За да разберем какво представлява числото в недесетичната аритметика, първо разберем какво е числото в десетичната аритметика.

Вземете например числото 246. Този запис означава, че в числото има две стотици, четири десетки и шест единици. Следователно можем да запишем следното равенство:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Тук знаците за равенство разделят три начина за запис на едно и също число. Най-интересна за нас сега е третата форма на писане: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. Тя е организирана по следния начин:

Имаме три числа. Най-високата цифра "2" има числото 3. Така че се умножава по 10 на втора степен. Следващата цифра "4" има сериен номер 2 и се умножава по 10 в първата. Вече се вижда, че цифрите се умножават по десет на степен едно по-малко от порядъка на цифрата. След като разбрахме казаното, можем да запишем общата формула за представяне на десетично число. Нека има число с N цифри. Ще обозначим i-тата цифра с i. Тогава числото може да се запише в следната форма: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Това е първият формуляр, а третият формуляр за влизане ще изглежда така:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

където a i е знак от набора "0123456789"

В този запис ролята на десетте е много ясно видима. Десет е основата за образуването на числото. И между другото, тя се нарича "основа на бройната система", а самата бройна система, поради което се нарича "десетична". Разбира се, числото десет няма специални свойства. Лесно можем да заменим десет с всяко друго число. Например, число в петцифрената бройна система може да се запише така:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

където a i е знак от набора "01234"

Като цяло заменяме 10 с всяко друго число и получаваме напълно различна бройна система и различна аритметика. Най-простата аритметика се получава, ако 10 се замени с 2. Получената бройна система се нарича двоична и числото в нея се дефинира по следния начин:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

където a i е знак от набора "01"

Тази система е най-простата от всички възможни, тъй като в нея всяко число се формира само от две цифри 0 и 1. Ясно е, че няма къде по-просто. Примери за двоични числа: 10, 111, 101.

Много важен въпрос. Може ли едно двоично число да бъде представено като десетично число и обратно, може ли десетичното число да бъде представено като двоично число.

Двоично към десетично. Много е просто. Методът на такъв превод дава нашия начин на запис на числа. Вземете, например, следното двоично число 1011. Нека го разширим в степени на две. Получаваме следното:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Извършваме всички записани действия и получаваме:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Така получаваме, че 1011 (двоично) = 11 (десетично). Веднага се вижда леко неудобство на двоичната система. Същото число, което в десетичната система се записва с един знак в двоичната система, изисква четири знака за записа. Но това е цена за простота (нищо не се случва безплатно). Но двоичната система дава огромна печалба в аритметичните операции. И тогава ще го видим.

Изразете следните двоични числа като десетично число.

а) 10010 б) 11101 в) 1010 в) 1110 г) 100011 д) 1100111 е) 1001110

Събиране на двоични числа.

Методът на събиране по колона като цяло е същият като при десетичното число. Това означава, че събирането се извършва бит по бит, започвайки с най-малката цифра. Ако добавянето на две цифри води до СУМ, по-голям от девет, тогава се записва числото = СУМ-10 и ЦЯЛАТА ЧАСТ (СУМ / 10) се добавя към най-високата цифра. (Добавете няколко числа в колона, запомнете как се прави това.) Така е и с двоично число. Събирайте малко по малко, като се започне от най-ниската цифра. Ако се окаже повече от 1, тогава се записва 1 и към най-значимата цифра се добавя 1 (казват "това е лудост").

Нека изпълним пример: 10011 + 10001.

първи ранг: 1+1 = 2. Записваме 0 и 1 дойде наум.

Втори ранг: 1+0+1(запомнена единица) =2. Записваме 0 и 1 дойде наум.

Трети ранг: 0+0+1(запомнена единица) = 1. Напишете 1.

Четвърти ранг 0+0=0. Записваме 0.

Пети ранг 1+1=2. Пишем 0 и добавяме 1 към шестия бит.

Нека преобразуваме и трите числа в десетичната система и проверяваме правилността на събирането.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 правилно равенство

Примери за независимо решение:

а) 11001 +101 =

б) 11001 +11001 =

в) 1001 + 111 =

д) 10011 + 101 =

е) 11011 + 1111 =

д) 11111 + 10011 =

Как да конвертирате десетичен в двоичен. Следващата операция е изваждане. Но ще се занимаваме с тази операция малко по-късно, а сега ще разгледаме метод за преобразуване на десетично число в двоично.

За да се преобразува десетично число в двоично, то трябва да се разшири в степени на две. Но ако разширението в степени на десетки се получи веднага, тогава как да се разшири в степени на две изисква малко размисъл. Първо, нека да разгледаме как да направите това чрез метода на подбор. Да вземем десетичното число 12.

Стъпка първа. 2 2 \u003d 4, това не е достатъчно. Също така е малко и 2 3 = 8, а 2 4 = 16 вече е много. Така че нека оставим 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Сега трябва да представите 4 като степен на две.

Стъпка втора. 4 = 2 2 .

Тогава нашето число 12 = 2 3 + 2 2 . Най-високата цифра има числото 4, най-високата степен = 3, следователно трябва да има термини с степени от две 1 и 0. Но ние не се нуждаем от тях, така че за да се отървем от ненужните степени и да оставим необходимите единици, записваме числото така: 1 * 2 3 + 1 * 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - това е двоичното представяне на числото 12. Лесно е да се види, че всяка следваща степен е най-голямата степен на две, което е по-малко от числото, което трябва да се разшири. За да поправим метода, нека разгледаме друг пример. Номер 23.

Стъпка 1. Най-близката степен на две е 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Стъпка 2. Най-близката степен на две е 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Стъпка 3. Най-близката степен на две е 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Стъпка 4. Най-близката степен на две 2 0 =1 1 - 1 =0

Получаваме следното разлагане: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

И желаното от нас двоично число е 10111

Разгледаният по-горе метод решава добре поставения пред него проблем, но има метод, който е алгоритмизиран много по-добре. Алгоритъмът за този метод е написан по-долу:

Стига NUMBER да е по-голямо от нула

СЛЕДВАЩА ЦИФРА \u003d остатък от деленето на ЧИСЛО на 2

NUMBER = цяла част от NUMBER, разделена на 2

Когато този алгоритъм завърши работата си, последователността от изчислени РЕДОВНИ ЦИФРИ ще представлява двоично число. Например, нека работим с числото 19.

Начало на алгоритъма НОМЕР = 19

СЛЕДВАЩА ЦИФРА = 1

СЛЕДВАЩА ЦИФРА = 1

СЛЕДВАЩА ЦИФРА = 0

СЛЕДВАЩА ЦИФРА = 0

СЛЕДВАЩА ЦИФРА = 1

И така, в резултат имаме следното число 10011. Имайте предвид, че двата разглеждани метода се различават по реда, в който се получават следващите цифри. При първия метод първата получена цифра е най-високата цифра от двоичното число, а при втория метод първата получена цифра, напротив, е най-ниската.

Преобразувайте десетични числа в двоични по два начина

а) 14 б) 29 в) 134 г) 158 е) 1190 г) 2019 г.

Как да преобразуваме дробната част в десетична.

Известно е, че всяко рационално число може да бъде представено като десетична и обикновена дроб. Обикновена дроб, тоест дроб от формата A / B, може да бъде редовна и неправилна. Дроба се нарича правилна, ако A<В и неправильной если А>AT.

Ако рационалното число е представено с неправилна дроб и в същото време числителят на дроба е разделен на знаменателя напълно, тогава това рационално число е цяло число, във всички останали случаи се появява дробна част. Дробната част често е много дълго число и дори безкрайна (безкрайна периодична дроб, например 20/6), така че в случая с дробната част ние имаме задачата не просто да преведем едно представяне в друго, а да преведем с определена точност.

Правило за точност. Да предположим, че ви е дадено десетично число, което може да бъде представено като десетична дроб до N цифри. За да бъде съответното двоично число със същата прецизност, е необходимо в него да се напишат M - символи, така че

И сега нека се опитаме да получим правилото за превод и първо разгледаме примера 5,401

решение:

Ще получим цялата част според правилата, които вече са ни известни, и тя е равна на двоичното число 101. И разширяваме дробната част в степени на 2.

Етап 1: 2-2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. е остатъкът.

Стъпка 2:Сега трябва да представим 0,151 като степен на две. Нека направим това: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Така оригиналната дробна част може да бъде представена като 2 -2 +2 -3 . Същото може да се запише в такова двоично число: 0,011. Първата дробна цифра е нула, това е така, защото степента 2 -1 отсъства в нашето разлагане.

От първата и втората стъпка става ясно, че това представяне не е точно и може да е желателно разширяването да се продължи. Да се ​​върнем към правилото. Пише, че имаме нужда от толкова много знаци на M, така че 10 3 да е по-малко от 2 M. Тоест 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Стъпка 3:Сега работим с числото 0,026. Най-близката степен на две до това число е 2 -6 \u003d 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 сега нашето по-точно двоично число е 0,011001. Вече има шест знака след десетичната запетая, но това все още не е достатъчно, така че изпълняваме още една стъпка.

Стъпка 4:Сега работим с числото 0,010375. Най-близката степен на две до това число е 2 -7 \u003d 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Стъпка 5:Сега работим с числото 0,0025625. Най-близката степен на две до това число е 2 -9 \u003d 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Последният резултат е по-малък от 2 -10 и ако искаме да продължим да се доближаваме до първоначалното число, тогава ще ни трябва 2 -11 , но това вече надвишава необходимата точност и следователно изчисленията могат да бъдат спрени и окончателното двоично представяне на дробната част може да се запише.

0,401 = 0,011001101

Както можете да видите, преобразуването на дробната част от десетичното число в двоично представяне е малко по-сложно от преобразуването на цялата част. Таблица на степените на две в края на лекцията.

И сега пишем алгоритъма за трансформация:

Изходни данни на алгоритъма: Чрез А ще означим оригиналната правилна десетична дроб, записана в десетична форма. Нека тази дроб съдържа N знака.

Алгоритъм

Действие 1. Определете броя на необходимите двоични символи M от неравенството 10 N< 2 M

Стъпка 2: Изчислете цифрите на двоичното представяне (цифри след нула). Номерът на цифрата ще бъде обозначен със символа K.

1. Цифрено число = 1
2. Ако 2 -K > A

След това добавяме нула към обозначението на двоичното число

• добавете 1 към двоично число
• A \u003d A - 2 -K

1. К = К + 1
2. Ако K > M

• след това алгоритъмът е завършен.
• В противен случай преминете към стъпка 2.

Преобразуване на десетичен в двоичен

а) 3,6 б) 12,0112 в) 0,231 г) 0,121 д) 23,0091

Изваждане на двоични числа. Ще изваждаме и числата, ще използваме и колона и общото правило е същото като за десетичните числа, изваждането се извършва малко по бит и ако няма достатъчно единица в бит, значи се включва по-старата. Нека решим следния пример:

Първи ранг. 1 - 0 =1. Записваме 1.

Втори ранг 0-1. Липсва единица. Приемаме го в старшата категория. Една от най-високата цифра отива към най-ниската, като две единици (тъй като най-високата цифра е представена от двойка с по-голяма степен) 2-1 = 1. Записваме 1.

Трети ранг. Ние заехме единицата на тази цифра, така че сега в цифра 0 има нужда да заемем единицата на най-значимата цифра. 2-1=1. Записваме 1.

Нека проверим резултата в десетична система

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Истинско равенство.

Друг интересен начин за извършване на изваждане е свързан с концепцията за допълнение на две, което ви позволява да намалите изваждането до събиране. Оказва се, че числото в допълнителен код е изключително просто, вземаме число, заменяме нулите с единици, обратно, заменяме единиците с нули и добавяме едно към най-малката цифра. Например, 10010 ще бъде 011011 в кода за допълване на двете.

Правилото за изваждане на допълнението за две гласи, че изваждането може да бъде заменено със събиране, ако изваждането е заменено с число в кода на допълнението на двете.

Пример: 34 - 22 = 12

Нека напишем този пример в двоична форма. 100010 - 10110 = 1100

Допълнителният код за номер 10110 ще бъде така

01001 + 00001 = 01010. Тогава оригиналният пример може да бъде заменен със събиране по този начин 100010 + 01010 = 101100 След това трябва да изхвърлите една единица в най-висок ред. Ако направим това, получаваме 001100. Изхвърляме незначителни нули и получаваме 1100, тоест примерът е решен правилно

Правете изважданията си. По обичайния начин и в допълнителен код, като предварително сте преобразували десетичните числа в двоични:

Проверете, като преобразувате двоичния резултат в десетичен.

Умножение в двоична бройна система.

Нека започнем със следния интересен факт. За да умножите двоично число по 2 (десетичното две е 10 в двоично), е достатъчно да добавите една нула към умноженото число вляво.

Пример. 10101 * 10 = 101010

Преглед.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Ако си спомним, че всяко двоично число може да бъде разширено в степени на две, тогава става ясно, че умножението в двоичната бройна система се свежда до умножение по 10 (тоест с десетична 2) и следователно умножението е поредица от последователни смени. Общото правило е, че както при десетичните числа, двоичното умножение се извършва бит по бит. И за всяка цифра от втория множител се добавя една нула вдясно от първия множител. Пример (все още не е колона):

1011 * 101 Това умножение може да бъде намалено до сумата от три побитови умножения:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 \u003d 1011 + 101100 \u003d 110111 Същото нещо може да бъде написано в колона по следния начин:

Преглед:

101 = 5 (десетичен знак)

1011 = 11 (десетичен знак)

110111 = 55 (десетично)

5*11 = 55 правилно равенство

Решете сами

а) 1101 * 1110 =

б) 1010 * 110 =

д) 101011 * 1101 =

е) 10010 * 1001 =

Забележка: Между другото, таблицата за умножение в двоичната система се състои само от един елемент 1 * 1 = 1

Деление в двоичната система.

Вече разгледахме три действия и мисля, че вече е ясно, че като цяло действията върху двоични числа се различават малко от действията върху десетичните числа. Разликата се проявява само във факта, че има две цифри, а не десет, но това само опростява аритметичните операции. Същото важи и за деленето, но за по-добро разбиране на алгоритъма за деление ще анализираме по-подробно. Да предположим, че трябва да разделим две десетични числа, например 234 разделено на 7. Как да го направим.

Разпределяме вдясно (от най-значимата цифра) такъв брой цифри, че полученото число да е възможно най-малко и в същото време повече от делителя. 2 е по-малко от делителя, следователно, числото, от което се нуждаем, е 23. След това разделяме полученото число на делителя с остатък. Получаваме следния резултат:

Описаната операция се повтаря, докато полученият остатък е по-малък от делителя. Когато това се случи, полученото число под лентата е частното, а последният остатък е остатъкът от операцията. Така че операцията по разделяне на двоично число се извършва по абсолютно същия начин. Да опитаме

пример: 10010111 / 101

Търсим число, от най-високия ред на което първото би било по-голямо от делителя. Това е четирицифреното число 1001. Показано е с удебелен шрифт. Сега трябва да намерите делител за избраното число. И тук отново печелим в сравнение в десетичната система. Факт е, че избраният делител непременно е цифра, а ние имаме само две цифри. Тъй като 1001 очевидно е по-голямо от 101, всичко е ясно с делителя, това е 1. Нека изпълним стъпката на операцията.

И така, остатъкът от операцията е 100. Това е по-малко от 101, така че за да изпълните стъпката на второто деление, трябва да добавите следващата цифра към 100, това е числото 0. Сега имаме следното число:

1000 е по-голямо от 101, така че във втората стъпка отново добавяме 1 към частната цифра и получаваме следния резултат (за да спестим място, веднага пропускаме следващата цифра).

Трета стъпка. Полученото число 110 е по-голямо от 101, така че на тази стъпка ще го запишем в частното 1. Ще се получи така:

Полученото число 11 е по-малко от 101, така че го записваме в частната цифра 0 и намаляваме следващата цифра надолу. Оказва се така:

Полученото число е по-голямо от 101, така че записваме числото 1 в частното и изпълняваме действията отново. Оказва се тази снимка:

1

0

Полученият остатък 10 е по-малък от 101, но ни свършиха цифрите в дивидента, така че 10 е крайният остатък, а 1110 е желаното частно.

Проверете в десетични знаци

Това завършва описанието на най-простите аритметични операции, които трябва да знаете, за да използвате двоична аритметика, а сега ще се опитаме да отговорим на въпроса „Защо имаме нужда от двоична аритметика“. Разбира се, вече беше показано по-горе, че записването на число в двоичната система значително опростява аритметичните операции, но в същото време самият запис става много по-дълъг, което намалява стойността на полученото опростяване, така че е необходимо да се търси за такива задачи, чието решение е много по-просто в двоични числа.

Задача 1: Получаване на всички проби

Много често има задачи, в които трябва да можете да изградите всички възможни комбинации от даден набор от елементи. Например, такава задача:

Като се има предвид голяма купчина камъни, подредете камъните на две купчини по такъв начин, че масата на тези две купчини да е колкото е възможно повече еднаква.

Тази задача може да бъде формулирана по следния начин:

Намерете проба от камъни от голяма купчина, така че нейната обща маса да се различава възможно най-малко от половината маса на голямата купчина.

Има доста задачи от този вид. И всички те се свеждат, както вече споменахме, до възможността за получаване на всички възможни комбинации (по-долу ще ги наречем селекции) от даден набор от елементи. И сега ще разгледаме общ метод за получаване на всички възможни проби с помощта на операцията за двоично събиране. Нека започнем с пример. Нека има набор от три елемента. Изграждаме всички възможни мостри. Елементите ще бъдат обозначени със серийни номера. Тоест има следните елементи: 1, 2, 3.

Проби: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Ако има един в позицията със следващото число, това означава, че елементът с номер, равен на тази позиция, присъства в селекцията, а ако има нула, тогава елементът не присъства. Например проба(0, 1, 0); се състои от един елемент с номер 2, а извадката е (1, 1, 0); се състои от два елемента с номера 1 и 2.

Този пример ясно показва, че извадката може да бъде представена като двоично число. Освен това е лесно да се види, че всички възможни едно-, дву- и трицифрени двоични числа са написани по-горе. Нека ги пренапишем, както следва:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Получихме серия от последователни двоични числа, всяко от които се получава от предишното чрез добавяне на едно. Можете да го проверите. Използвайки тази наблюдавана закономерност, можем да изградим следния алгоритъм за получаване на проби.

Изходни данни на алгоритъма

Даден набор от елементи N - парчета. По-нататък ще наричаме това множество като набор от начални елементи. Нека номерираме всички елементи на първоначалното множество от 1 до N. Нека направим двоично число от N незначителни нули. 0000… 0 N Това нулево двоично число ще означава нулевата извадка, от която ще започне процесът на вземане на проби. Цифрите на числото се броят от дясно на ляво, тоест най-лявата цифра е най-значимата.

Нека се съгласим да обозначаваме това двоично число с главни букви ДВОИЧНО

Алгоритъм

Ако ДВОИЧНО число се състои изцяло от единици

След това спираме алгоритъма

• Добавяме едно към ДВОИЧНОТО число според правилата на двоичната аритметика.
• От полученото БИНАРНО число съставяме следващата извадка, както е описано по-горе.

Задача 2: Намиране на големи прости числа

Първо, не забравяйте, че простото число е естествено число, което се дели само на 1 и на себе си. Примери за прости числа: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Намирането на големи прости числа е много важен математически проблем. Големи прости числа са необходими за сигурно криптиране на съобщения с някои алгоритми за криптиране. И са необходими не просто големи числа, а много големи. Колкото по-голямо е числото, толкова по-сигурен е шифърът, базиран на това число.

Забележка. Силният шифър е шифър, чието дешифриране отнема много време.

Защо? Простото число играе ролята на ключ при криптирането и декриптирането. Освен това знаем, че простите числа не се срещат много често в поредицата от естествени числа. Има доста от тях сред първите хиляда, след това броят им започва да намалява бързо. Следователно, ако вземем за ключ не много голямо число, дешифраторът, използвайки дори не много бърз компютър, ще може да стигне до него (като сортира всички прости числа едно след друго като ключ) за ограничено време.

Доста надежден код може да се получи, ако вземете прост код, в който например 150 знака. Намирането на такъв прост обаче не е толкова лесно. Нека приемем, че някакво число A (много голямо) трябва да се тества за простота. Това е същото като търсенето на неговите делители. Ако можем да намерим делители между 2 и корен квадратен от A, тогава то не е просто. Нека оценим броя на числата, които трябва да бъдат проверени за способността да се раздели числото A.

Да предположим, че числото А има 150 цифри. Квадратният корен от него ще съдържа най-малко 75 знака. За да сортираме такъв брой възможни делители, ни трябва много мощен компютър и много време, което означава, че проблемът е практически нерешим.

Как да се справя с него.

Първо, можете да се научите бързо да проверявате за делимост на едно число с друго, и второ, можете да опитате да изберете числото А по такъв начин, че да е просто с висока степен на вероятност. Оказва се, че това е възможно. Математикът Мерсен открива, че числата имат следната форма

Прости са с висока степен на вероятност.

За да разберем фразата, написана по-горе, нека преброим колко прости числа са в първата хиляда и колко числа на Мерсен в същата хиляда са прости. Така числата на Мерсен в първата хиляда са както следва:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Простите числа са маркирани с удебелен шрифт. Общо има 5 прости числа за 9 числа на Мерсен. Като процент това е 5/9 * 100 \u003d 55,6%. В същото време има само 169 прости числа за първите 1000 естествени числа. Като процент това е 169/1000 * 100 = 16,9%. Тоест в първата хиляда, в процентно изражение, простите числа сред числата на Мерсен се срещат почти 4 пъти по-често, отколкото сред просто естествените числа.

___________________________________________________________

А сега да вземем конкретно число на Мерсен, например 2 4 - 1. Нека го запишем като двоично число.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Да вземем следващото число на Мерсен 2 5 -1 и да го запишем като двоично число. Получаваме следното:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Вече е ясно, че всички числа на Мерсен са поредица от единици и само този факт дава голяма печалба. Първо, в двоичната система е много лесно да се получи следващото число на Мерсен, достатъчно е да добавите едно към следващото число, и второ, много по-лесно е да се търсят делители в двоичната система, отколкото в десетичната.

Бързо преобразуване от десетични числа в двоични

Един от основните проблеми при използването на двоичната бройна система е трудността при преобразуването на десетично число в двоично. Това е доста трудоемка задача. Разбира се, не е твърде трудно да се преведат малки числа от три или четири цифри, но за десетични числа, в които има 5 или повече цифри, това вече е трудно. Тоест, имаме нужда от начин за бързо преобразуване на големи десетични числа в двоично представяне.

Този метод е изобретен от френския математик Лежандър. Нека например е дадено числото 11183445. Разделяме го на 64, получаваме остатъка 21 и частното 174741. Делим това число отново на 64, получаваме остатъка 21 и частното 2730. Накрая 2730, разделено на 64 дава остатъка 42 и частното 42 Но 64 в двоичен код е 1000000, 21 в двоичен е 10101, а 42 е 101010, така че оригиналното число ще бъде записано в двоично число, както следва:

101010 101010 010101 010101

За да стане по-ясно, друг пример с по-малък номер. Нека преведем двоичното представяне на числото 235. Разделете 235 на 64 с остатък. Получаваме:

ЧАСТНО = 3, двоично 11 или 000011

РЕЗОЛЮЦИЯ = 43, двоичен 101011

Тогава 235 = 11101011, Проверете този резултат:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

бележки:

1. Лесно е да се види, че крайното двоично число включва всички остатъци, а в последната стъпка и остатъка, и частното.
2. Коефициентът се записва преди остатъка.
3. Ако полученото частно или остатък има по-малко от 6 цифри в двоично представяне (6 нули съдържат двоичното представяне на числото 64 = 1000000), тогава към него се добавят незначителни нули.

И още един труден пример. Номер 25678425.

Стъпка 1: 25678425 разделено на 64

Частен = 401225

Остатък = 25 = 011001

Стъпка 2: 401225 разделено на 64

Частно = 6269

Остатък = 9 = 001001

Стъпка 3: 6269 разделено на 64

Частен = 97

Остатък = 61 = 111101

Стъпка 4: 97 разделено на 64

Частно = 1 = 000001

Остатък = 33 = 100001

Число резултат = 1.100001.111101.001001.011001

В това число точка разделя междинните резултати, включени в него.

Преобразуване в двоично представяне на число:

ПРИЛОЖЕНИЕ: ТАБЛИЦА 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

1. Място на урока: 9 клас-3 урок от изучавания раздел
2. Тема на урока: Аритметични операции в двоичната система.

Тип клас: лекция, беседа, самостоятелна работа.

Цели на урока:

дидактически: въвеждат правилата за извършване на аритметични операции (събиране, умножение, изваждане) в двоичната бройна система.

Образователни: възпитаване на умения за самостоятелност в работата, възпитание на точност, дисциплина.

Разработване: развитие на вниманието, паметта на учениците, развитие на способността за сравняване на получената информация.

Интердисциплинарни връзки:математика:

Класове по учебно оборудване (оборудване):проектор, маса, карти със задачи.

Методическа подкрепа на урока:презентация в PowerPoint.

План на урока

1. Организационен момент (2 мин.).
2. Повторение (10)
3. Обяснение на нов материал (15 минути)
4. Консолидиране на покрития материал (10 минути)
5. домашна работа
6. Размисъл (2 минути)
7. Обобщаване (2 минути)

По време на занятията

1. Организиране на времето
2. Актуализация на знанията.Продължаваме да изучаваме темата за числовата система и целта на днешния ни урок ще бъде да се научим как да извършваме аритметични операции в двоичната бройна система, а именно, ще разгледаме с вас правилото за извършване на операции като събиране, изваждане, умножение, деление.
3. Проверка на знанията (фронтална анкета).

Нека си припомним:

1. Каква е числовата система?
2. Каква е основата на числовата система?
3. Каква е основата на двоичната бройна система?
4. Посочете кои числа са написани с грешки и обосновете отговора си:
   123 8, 3006 2, 12ААС09 20, 13476 10,
5. Каква е минималната база, която трябва да има бройната система, ако числата могат да бъдат записани в нея: 10, 21, 201, 1201
6. Какъв е краят на четно двоично число?
   Коя цифра завършва с нечетно двоично число?

4 . Изучаването на нов материал е придружено от презентация

/ Приложение 1/

Учителят обяснява новата тема на слайдовете на презентацията, учениците си водят бележки и изпълняват задачите, предложени от учителя в тетрадката.

От всички позиционни системи, двоичната бройна система е особено проста. Помислете за извършване на основни аритметични операции върху двоични числа.

Всички позиционни бройни системи са "едни и същи", а именно, във всички аритметичните операции се извършват по едни и същи правила:

един . важат едни и същи закони на аритметиката: комутативни, асоциативни, разпределителни;

2. правилата за събиране, изваждане и умножение по колона са справедливи;

3. Правилата за извършване на аритметични операции се основават на таблици за събиране и умножение.

Добавяне

Помислете за примери за добавяне.

При добавяне на колона от две цифри от дясно на ляво в двоичната бройна система, както във всяка позиционна система, само една може да премине към следващия бит.

Резултатът от събирането на две положителни числа има или същия брой цифри като максимума от двата члена, или една цифра повече, но тази цифра може да бъде само една.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Изваждане

Самостоятелна работа на учениците в тетрадка за затвърждаване на материала

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Умножение
Помислете за примери за умножение.

Операцията за умножение се извършва с помощта на таблицата за умножение по обичайната схема (използвана в десетичната бройна система) с последователно умножение на множителя по следващата цифра на множителя.
Помислете за примери за умножение
При извършване на умножение в пример 2 се добавят три единици 1+1+1=11 в съответната цифра, записва се 1, а другата единица се прехвърля на най-високата цифра.
В двоичната бройна система операцията за умножение се свежда до изместване на умножението и събиране на междинни резултати.
дивизия

Операцията по деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма на операцията за деление в десетичната бройна система.

Помислете за примера за разделяне

Консолидиране (самостоятелната работа на учениците по карти се извършва в тетрадка) / Приложение 2 /

За ученици, завършили самостоятелна работа за кратък период от време, се предлага допълнителна задача.

5. Домашна работа

2. Научете правилата за извършване на аритметични операции в двоичната бройна система, научете таблиците за събиране, изваждане, умножение.

3. Следвай тези стъпки:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Отражение

Днес в урока най-информативно за мен беше...

Бях изненадан, че…

Мога да приложа това, което научих в клас днес...

7. Резюме на урока

Днес научихме как да извършваме аритметични операции в двоичната бройна система (оценяване за урока).

Надписи на слайдове:

Тема на урока: „Аритметични операции в позиционни бройни системи” Учител по информатика Марина Валентиновна Федорченко MOU Березовская средно училище с район Березовка Тайшет, област Иркутск Нека си спомним: Каква е числовата система? Каква е основата на числовата система? Какво е основата на двоичната бройна система? числата са записани с грешки и обосновават отговора: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, каква е минималната база, която трябва да има бройната система, ако в нея могат да се записват числа: 10, 21, 201 , 1201 Коя цифра завършва с четно двоично число?Коя цифра завършва с нечетно двоично число?
Лаплас пише за отношението си към двоичната (двоична) бройна система на великия математик Лайбниц: „В своята двоична аритметика Лайбниц вижда прототипа на творението. Струваше му се, че един представлява божествения принцип, а нулата – несъществуването и че висшето същество създава всичко от несъществуването по същия начин, както единица и нула в неговата система изразяват всички числа. Тези думи подчертават универсалността на азбуката, която се състои от два знака. Всички позиционни бройни системи са „едни и същи“, а именно, аритметичните операции се извършват във всички по едни и същи правила:
са валидни същите закони на аритметиката: --комутативно (изместване) m + n = n + m m n = n m асоциативно (комбинативно) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n ) k = m (n k) = m n k разпределителен (разпределителен) (m + n) k = m k + n k
правилата за събиране, изваждане и умножение по колона са валидни;
правилата за извършване на аритметични операции се основават на таблици за събиране и умножение.
Събиране в позиционни бройни системи От всички позиционни системи, двоичната бройна система е особено проста. Помислете за извършване на основни аритметични операции върху двоични числа. Всички позиционни бройни системи са "едни и същи", а именно, аритметичните операции се извършват във всички по едни и същи правила: валидни са едни и същи: комутативни, асоциативни, разпределителни; правилата за събиране, изваждане и умножение по колона са валидни; правилата за извършване на аритметични операции се основават на таблици за събиране и умножение.
При добавяне на колона от две цифри от дясно на ляво в двоичната бройна система, както във всяка позиционна система, само една може да премине към следващия бит. Резултатът от събирането на две положителни числа има или същия брой цифри като максимума от двата члена, или една цифра повече, но тази цифра може да бъде само една. Помислете за примери Решете сами примери:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
При извършване на операция на изваждане винаги по-малко число се изважда от по-голямо число по абсолютна стойност и върху резултата се поставя съответния знак.
Изваждане Помислете за примери Примери:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Умножение в позиционни бройни системи Операцията за умножение се извършва с помощта на таблицата за умножение по обичайната схема (използвана в десетичната бройна система) с последователно умножение на множителя по следващата цифра на множителя.Нека разгледаме примери за умножение. Нека да разгледаме примерите Нека да разгледаме примера за деление
Нека решим примери:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Домашна работа 1.&3.1.22.Научете правилата за извършване на аритметични операции в двоичната система, научете таблиците за събиране, изваждане, умножение.3. Направете следното: 110010+111.0111110000111-11011000110101.101*111 Рефлексия Днес в урока най-информативно за мен беше ... Бях изненадан, че ... мога да приложа знанията, придобити днес в урока ...