Lezioni di meccanica teorica 2° corso. Meccanica di base per manichini

Come parte di qualsiasi curriculum, lo studio della fisica inizia con la meccanica. Non dalla teoria, non dalla meccanica applicata e non computazionale, ma dalla buona vecchia meccanica classica. Questa meccanica è anche chiamata meccanica newtoniana. Secondo la leggenda, uno scienziato stava passeggiando in giardino, vide cadere una mela e fu proprio questo fenomeno che lo spinse a scoprire la legge gravità. Certo, la legge è sempre esistita, e Newton le ha dato solo una forma comprensibile alle persone, ma il suo merito non ha prezzo. In questo articolo, non descriveremo le leggi della meccanica newtoniana nel modo più dettagliato possibile, ma delineeremo le basi, le conoscenze di base, le definizioni e le formule che possono sempre giocare nelle tue mani.

La meccanica è una branca della fisica, una scienza che studia il movimento dei corpi materiali e le interazioni tra di essi.

La parola stessa ha origine greca e si traduce come "l'arte di costruire macchine". Ma prima di costruire macchine, abbiamo ancora molta strada da fare, quindi seguiamo le orme dei nostri antenati, e studieremo il movimento dei sassi lanciati ad angolo rispetto all'orizzonte, e le mele che cadono sulle teste da un'altezza h.

Perché lo studio della fisica inizia con la meccanica? Perché è del tutto naturale, non far partire dall'equilibrio termodinamico?!

La meccanica è una delle scienze più antiche, e storicamente lo studio della fisica è iniziato proprio con i fondamenti della meccanica. Poste nella cornice del tempo e dello spazio, le persone, infatti, non potevano partire da qualcos'altro, per quanto lo volessero. I corpi in movimento sono la prima cosa a cui prestiamo attenzione.

Cos'è il movimento?

Il movimento meccanico è un cambiamento nella posizione dei corpi nello spazio l'uno rispetto all'altro nel tempo.

È dopo questa definizione che arriviamo in modo del tutto naturale al concetto di quadro di riferimento. Modificare la posizione dei corpi nello spazio l'uno rispetto all'altro. Parole chiave qui: l'uno rispetto all'altro . Dopotutto, un passeggero in un'auto si muove rispetto a una persona in piedi sul lato della strada a una certa velocità, e riposa rispetto al suo vicino su un sedile vicino e si muove a un'altra velocità rispetto a un passeggero in un'auto che li sorpassa.

Ecco perché, per misurare normalmente i parametri degli oggetti in movimento e non confonderci, abbiamo bisogno sistema di riferimento - corpo di riferimento, sistema di coordinate e orologio rigidamente interconnessi. Ad esempio, la terra si muove attorno al sole in un sistema di riferimento eliocentrico. Nella vita di tutti i giorni, eseguiamo quasi tutte le nostre misurazioni in un sistema di riferimento geocentrico associato alla Terra. La terra è un corpo di riferimento rispetto al quale si muovono automobili, aerei, persone, animali.

La meccanica, in quanto scienza, ha il suo compito. Il compito della meccanica è conoscere in ogni momento la posizione del corpo nello spazio. In altre parole, la meccanica costruisce una descrizione matematica del movimento e trova le connessioni tra quantità fisiche caratterizzandolo.

Per andare oltre, abbiamo bisogno della nozione di " punto materiale ". Dicono che la fisica sia una scienza esatta, ma i fisici sanno quante approssimazioni e ipotesi devono essere fatte per concordare proprio su questa accuratezza. Nessuno ha mai visto un punto materiale o annusato un gas ideale, ma esistono! Sono solo molto più facili da convivere.

Un punto materiale è un corpo la cui dimensione e forma possono essere trascurate nel contesto di questo problema.

Sezioni di meccanica classica

La meccanica è composta da diverse sezioni

Cinematica
Dinamica
Statica

Cinematica da un punto di vista fisico, studia esattamente come si muove il corpo. In altre parole, questa sezione tratta le caratteristiche quantitative del movimento. Trova velocità, percorso - compiti tipici della cinematica

Dinamica risolve la domanda sul perché si muova in quel modo. Cioè, considera le forze che agiscono sul corpo.

Statica studia l'equilibrio dei corpi sotto l'azione delle forze, cioè risponde alla domanda: perché non cade affatto?

Limiti di applicabilità della meccanica classica.

La meccanica classica non pretende più di essere una scienza che spiega tutto (all'inizio del secolo scorso tutto era completamente diverso), e ha un chiaro ambito di applicabilità. In generale, le leggi della meccanica classica sono valide per il mondo a noi familiare in termini di dimensioni (macromondo). Smettono di funzionare nel caso del mondo delle particelle, quando quello classico viene sostituito da meccanica quantistica. Inoltre, la meccanica classica è inapplicabile ai casi in cui il movimento dei corpi avviene a una velocità prossima a quella della luce. In questi casi, gli effetti relativistici diventano pronunciati. In parole povere, nel quadro della meccanica quantistica e relativistica - meccanica classica, questo caso speciale quando le dimensioni del corpo sono grandi e la velocità è piccola. Puoi saperne di più dal nostro articolo.

In generale, gli effetti quantistici e relativistici non scompaiono mai, si verificano anche durante il consueto movimento di corpi macroscopici a una velocità molto inferiore a quella della luce. Un'altra cosa è che l'azione di questi effetti è così piccola che non va oltre il massimo misurazioni accurate. La meccanica classica non perderà così mai la sua fondamentale importanza.

Continueremo a studiare le basi fisiche della meccanica negli articoli futuri. Per una migliore comprensione dei meccanismi, puoi sempre rivolgerti a, che illuminano individualmente punto nero il compito più difficile.

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Corso di lezioni sulla meccanica teorica Dinamica (I parte) Bondarenko A.N. Mosca - 2007 Il corso di formazione elettronico è stato scritto sulla base di lezioni tenute dall'autore per studenti che studiano nelle specialità di SZhD, PGS e SDM presso NIIZhT e MIIT (1974-2006). Materiale didattico corrisponde ai piani del calendario per un importo di tre semestri. Per implementare completamente gli effetti di animazione durante una presentazione, è necessario utilizzare un visualizzatore Power Point non inferiore a quello integrato di Microsoft Office sistema operativo Windows XP Professional. Commenti e suggerimenti possono essere inviati via e-mail: [email protetta]. Mosca Università Statale Ferrovie (MIIT) Dipartimento di Meccanica Teorica Centro Scientifico e Tecnico delle Tecnologie dei Trasporti

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Contenuti Lezione 1. Introduzione alla dinamica. Leggi e assiomi della dinamica dei punti materiali. Equazione di base della dinamica. Equazioni differenziali e naturali del moto. Due compiti principali della dinamica. Esempi di risoluzione del problema diretto della dinamica Lezione 2. Risoluzione del problema inverso della dinamica. Istruzioni generali per risolvere il problema inverso della dinamica. Esempi di risoluzione del problema inverso della dinamica. Il movimento di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzonte, senza tener conto della resistenza dell'aria. Lezione 3. Oscillazioni rettilinee di un punto materiale. La condizione per il verificarsi di oscillazioni. Classificazione delle vibrazioni. Vibrazioni libere senza tener conto delle forze di resistenza. vibrazioni smorzate. Decremento dell'oscillazione. Lezione 4. Oscillazioni forzate di un punto materiale. Risonanza. Influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. Lezione 5. Moto relativo di un punto materiale. Forze d'inerzia. Casi particolari di movimento per vari tipi di movimento portatile. Influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio e sul moto dei corpi. Lezione 6. Dinamica di un sistema meccanico. sistema meccanico. Esterno e forze interne. Centro di massa del sistema. Il teorema sul moto del baricentro. Leggi di conservazione. Un esempio per risolvere il problema dell'utilizzo del teorema sul movimento del baricentro. Lezione 7. Impulso di forza. La quantità di movimento. Teorema sulla variazione della quantità di moto. Leggi di conservazione. Il teorema di Eulero. Un esempio di soluzione del problema sull'uso del teorema sulla variazione della quantità di moto. momento di slancio. Il teorema sulla modifica del momento angolare Lezione 8. Leggi di conservazione. Elementi di teoria dei momenti di inerzia. Momento cinetico di un corpo rigido. Equazione differenziale di rotazione di un corpo rigido. Un esempio di risoluzione del problema dell'utilizzo del teorema sulla modifica del momento angolare del sistema. Teoria elementare del giroscopio. Letteratura consigliata 1. Yablonsky A.A. Corso di meccanica teorica. Parte 2. M.: scuola di Specializzazione. 1977. 368 pag. 2. Meshchersky IV Raccolta di problemi di meccanica teorica. M.: Scienza. 1986 416 pag. 3. Raccolta di compiti per tesine/ Ed. AA. Yablonsky. M.: Scuola superiore. 1985. 366 pag. 4. Bondarenko AN “ Meccanica teorica in esempi e compiti. Dynamics” (manuale elettronico www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

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Lezione 1 Dinamica è una sezione di meccanica teorica che studia il movimento meccanico dal punto di vista più generale. Il movimento è considerato in connessione con le forze che agiscono sull'oggetto. La sezione è composta da tre sezioni: Dinamica di un punto materiale Dinamica Dinamica di un sistema meccanico Meccanica analitica ■ Dinamica di un punto - studia il movimento di un punto materiale, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. L'oggetto principale è un punto materiale: un corpo materiale con una massa, le cui dimensioni possono essere trascurate. Presupposti di base: - esiste uno spazio assoluto (ha proprietà puramente geometriche che non dipendono dalla materia e dal suo movimento. - esiste un tempo assoluto (non dipende dalla materia e dal suo movimento). Ne consegue: - esiste un sistema di riferimento assolutamente immobile - il tempo non dipende dal movimento del sistema di riferimento - le masse dei punti in movimento non dipendono dal movimento del sistema di riferimento Queste ipotesi sono utilizzate nella meccanica classica creata da Galileo e Newton Ha ancora una portata abbastanza ampia, poiché i sistemi meccanici considerati nelle scienze applicate non hanno masse e velocità di movimento così grandi, per cui è necessario tener conto della loro influenza sulla geometria dello spazio, del tempo, del movimento, come si fa nella meccanica relativistica (la teoria della relatività) ■ Le leggi fondamentali della dinamica - scoperte per la prima volta da Galileo e formulate da Newton costituiscono la base di tutti i metodi per descrivere e analizzare il moto dei sistemi meccanici e la loro interazione dinamica azione sotto l'influenza di varie forze. ■ Legge di inerzia (legge di Galileo-Newton) - Un punto materiale isolato di un corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché le forze applicate non lo costringono a cambiare questo stato. Ciò implica l'equivalenza dello stato di quiete e del moto per inerzia (la legge della relatività di Galileo). Il quadro di riferimento, in relazione al quale è soddisfatta la legge dell'inerzia, è detto inerziale. La proprietà di un punto materiale di sforzarsi di mantenere inalterata la velocità del suo movimento (il suo stato cinematico) è chiamata inerzia. ■ La legge di proporzionalità di forza e accelerazione (Equazione di base della dinamica - Legge di Newton II) - L'accelerazione impartita a un punto materiale dalla forza è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa di questo punto: oppure Qui m è il massa del punto (misura dell'inerzia), misurata in kg, numericamente uguale al peso diviso per l'accelerazione caduta libera: F è la forza agente, misurata in N (1 N fornisce un punto con una massa di 1 kg un'accelerazione di 1 m / s2, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). ■ Dinamica di un sistema meccanico - studia il movimento di un insieme di punti materiali e corpi solidi, uniti dalle leggi generali di interazione, tenendo conto delle forze che causano questo movimento. ■ Meccanica analitica - studia il moto di sistemi meccanici non liberi utilizzando metodi analitici generali. uno

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Lezione 1 (continua - 1.2) Equazioni differenziali del moto di un punto materiale: - equazione differenziale del moto di un punto in forma vettoriale. - equazioni differenziali del moto di un punto in modulo di coordinate. Questo risultato può essere ottenuto mediante la proiezione formale dell'equazione differenziale del vettore (1). Dopo il raggruppamento, la relazione del vettore viene scomposta in tre equazioni scalari: In forma di coordinate: Usiamo la relazione del raggio-vettore con le coordinate e il vettore di forza con le proiezioni: equazione differenziale del moto su assi di coordinate naturali (in movimento): oppure: - equazioni naturali del moto di un punto. ■ Equazione di base della dinamica: - corrisponde al modo vettoriale di specificare il movimento di un punto. ■ La legge di indipendenza dell'azione delle forze - L'accelerazione di un punto materiale sotto l'azione di più forze è uguale alla somma geometrica delle accelerazioni di un punto dall'azione di ciascuna delle forze separatamente: oppure Vale la legge per qualsiasi stato cinematico dei corpi. Le forze di interazione, essendo applicate a diversi punti (corpi), non sono equilibrate. ■ La legge di uguaglianza di azione e reazione (legge di Newton III) - Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta: 2

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Due problemi principali della dinamica: 1. Problema diretto: il moto è dato (equazioni del moto, traiettoria). È necessario determinare le forze sotto l'azione di un determinato movimento. 2. Problema inverso: vengono fornite le forze sotto l'azione di cui si verifica il movimento. È necessario trovare i parametri del movimento (equazioni del movimento, traiettoria del movimento). Entrambi i problemi vengono risolti utilizzando l'equazione di base della dinamica e la sua proiezione sugli assi delle coordinate. Se si considera il movimento di un punto non libero, allora, come nella statica, viene utilizzato il principio del rilascio dai legami. Come risultato della reazione, i legami sono inclusi nella composizione delle forze agenti sul punto materiale. La soluzione del primo problema è connessa alle operazioni di differenziazione. La soluzione del problema inverso richiede l'integrazione delle corrispondenti equazioni differenziali, e questo è molto più difficile della differenziazione. Il problema inverso è più difficile del problema diretto. La soluzione del problema diretto della dinamica - vediamo degli esempi: Esempio 1. Una cabina con un peso G di un ascensore viene sollevata da un cavo con accelerazione a . Determina la tensione del cavo. 1. Selezionare un oggetto (la cabina dell'ascensore si sposta in avanti e può essere considerata come un punto materiale). 2. Scartiamo il collegamento (cavo) e lo sostituiamo con la reazione R. 3. Componiamo l'equazione di base della dinamica: Determina la reazione del cavo: Determina la tensione del cavo: Con un movimento uniforme della cabina ay = 0 e il la tensione del cavo è uguale al peso: T = G. Quando il cavo si rompe T = 0 e l'accelerazione della cabina è uguale all'accelerazione di caduta libera: ay = -g. 3 4. Proiettiamo sull'asse y l'equazione di base della dinamica: y Esempio 2. Un punto di massa m si muove lungo una superficie orizzontale (il piano Oxy) secondo le equazioni: x = a coskt, y = b coskt. Determina la forza che agisce sul punto. 1. Selezionare un oggetto (punto materiale). 2. Scartiamo la connessione (piano) e la sostituiamo con la reazione N. 3. Aggiungiamo al sistema di forze una forza sconosciuta F. 4. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 5. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica su assi x,y: Determinare le proiezioni della forza: Modulo di forza: Coseni di direzione: Pertanto, l'intensità della forza è proporzionale alla distanza del punto dal centro delle coordinate ed è diretta verso il centro lungo la linea che collega il punto al centro. La traiettoria del movimento del punto è un'ellisse centrata all'origine: O r Lezione 1 (continua - 1.3)

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Lezione 1 (continua 1.4) Esempio 3: Un carico di peso G è sospeso su un cavo di lunghezza l e si muove lungo un percorso circolare su un piano orizzontale con una certa velocità. L'angolo di deviazione del cavo dalla verticale è uguale a. Determinare la tensione del cavo e la velocità del carico. 1. Selezionare un oggetto (carico). 2. Scartare il collegamento (corda) e sostituirlo con la reazione R. 3. Comporre l'equazione della dinamica principale: Dalla terza equazione, determinare la reazione del cavo: Determinare la tensione del cavo: Sostituire il valore della reazione del cavo, l'accelerazione normale nella seconda equazione e determinare la velocità del carico: 4. Proiettare l'equazione principale dinamica dell'asse,n,b: Esempio 4: Un'auto di peso G si muove su un ponte convesso (il raggio di curvatura è R ) con velocità V. Determinare la pressione dell'auto sul ponte. 1. Selezioniamo un oggetto (un'auto, trascuriamo le dimensioni e lo consideriamo come un punto). 2. Scartiamo la connessione (superficie ruvida) e la sostituiamo con le reazioni N e la forza di attrito Ffr. 3. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 4. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica sull'asse n: Da qui determiniamo la reazione normale: determiniamo la pressione dell'auto sul ponte: da qui possiamo determinare la velocità corrispondente a pressione zero sul ponte (Q = 0): 4

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Lezione 2 Dopo aver sostituito i valori trovati delle costanti, otteniamo: Quindi, sotto l'azione dello stesso sistema di forze, un punto materiale può eseguire un'intera classe di movimenti determinati dalle condizioni iniziali. Le coordinate iniziali tengono conto della posizione iniziale del punto. La velocità iniziale, data dalle proiezioni, tiene conto dell'influenza sul suo movimento lungo il tratto considerato della traiettoria delle forze che hanno agito sul punto prima di arrivare a questo tratto, cioè stato cinematico iniziale. Soluzione del problema inverso della dinamica - Nel caso generale del movimento di un punto, le forze agenti sul punto sono variabili che dipendono dal tempo, dalle coordinate e dalla velocità. Il moto di un punto è descritto da un sistema di tre equazioni differenziali del secondo ordine: Dopo aver integrato ciascuna di esse, ci saranno sei costanti C1, C2,…., C6: I valori delle costanti C1, C2,… ., C6 si trovano da sei condizioni iniziali a t = 0: Esempio 1 della soluzione del problema inverso: un punto materiale libero di massa m si muove sotto l'azione di una forza F, che è costante in grandezza e grandezza. . Al momento iniziale, la velocità del punto era v0 e coincideva in direzione con la forza. Determina l'equazione del moto di un punto. 1. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 3. Abbassiamo l'ordine della derivata: 2. Scegliamo il sistema di riferimento cartesiano, dirigendo l'asse x lungo la direzione della forza e proiettiamo su questo asse l'equazione principale della dinamica: oppure x y z 4. Separare le variabili: 5. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 6. Rappresentiamo la proiezione della velocità come derivata della coordinata rispetto al tempo: 8. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 7. Separare le variabili: 9. Per determinare i valori delle costanti C1 e C2, utilizziamo le condizioni iniziali t = 0, vx = v0 , x = x0: Di conseguenza, otteniamo l'equazione moto uniforme(asse x): 5

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Istruzioni generali per la risoluzione di problemi diretti e inversi. Procedura risolutiva: 1. Compilazione dell'equazione differenziale del moto: 1.1. Scegli un sistema di coordinate: rettangolare (fisso) con una traiettoria di movimento sconosciuta, naturale (in movimento) con una traiettoria nota, ad esempio un cerchio o una linea retta. In quest'ultimo caso può essere utilizzata una coordinata rettilinea. Il punto di riferimento deve essere combinato con la posizione iniziale del punto (a t = 0) o con la posizione di equilibrio del punto, se esiste, ad esempio, quando il punto oscilla. 6 1.2. Disegna un punto in una posizione corrispondente a un momento arbitrario (per t > 0) in modo che le coordinate siano positive (s > 0, x > 0). Assumiamo inoltre che anche la proiezione della velocità in questa posizione sia positiva. Nel caso di oscillazioni, la proiezione della velocità cambia segno, ad esempio, quando si ritorna alla posizione di equilibrio. Qui si dovrebbe presumere che nel momento considerato il punto si allontani dalla posizione di equilibrio. L'attuazione di questa raccomandazione è importante in futuro quando si lavora con forze di resistenza che dipendono dalla velocità. 1.3. Rilascia il punto materiale dai legami, sostituisci la loro azione con reazioni, aggiungi forze attive. 1.4. Scrivere la legge fondamentale della dinamica in forma vettoriale, proiettare su assi selezionati, esprimere forze date o reattive in termini di tempo, coordinate o variabili di velocità, se da esse dipendono. 2. Soluzione di equazioni differenziali: 2.1. Ridurre la derivata se l'equazione non è ridotta alla forma canonica (standard). ad esempio: o 2.2. Variabili separate, ad esempio: o 2.4. Calcolare gli integrali indefiniti sui lati sinistro e destro dell'equazione, ad esempio: 2.3. Se nell'equazione sono presenti tre variabili, apportare una modifica delle variabili, ad esempio: e quindi separare le variabili. Commento. Invece di valutare integrali indefiniti, si possono valutare integrali definiti con limite superiore variabile. I limiti inferiori rappresentano i valori iniziali delle variabili (condizioni iniziali).Quindi non è necessario trovare separatamente la costante, che viene automaticamente inclusa nella soluzione, ad esempio: Utilizzando le condizioni iniziali, ad esempio, t = 0 , vx = vx0, determinare la costante di integrazione: 2.5. Esprimere la velocità in termini di derivata temporale della coordinata, ad esempio, e ripetere i passaggi 2.2 -2.4 Nota. Se l'equazione è ridotta alla forma canonica, che ha soluzione standard, questo è soluzione chiavi in mano ed è usato. Le costanti di integrazione si trovano ancora dalle condizioni iniziali. Vedi, ad esempio, le oscillazioni (lezione 4, p. 8). Lezione 2 (continua 2.2)

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Lezione 2 (continuazione 2.3) Esempio 2 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dal tempo. Un carico di peso P inizia a muoversi lungo una superficie orizzontale liscia sotto l'azione di una forza F, la cui entità è proporzionale al tempo (F = kt). Determinare la distanza percorsa dal carico nel tempo t. 3. Componi l'equazione di base della dinamica: 5. Riduci l'ordine della derivata: 4. Proietta l'equazione di base della dinamica sull'asse x: o 7 6. Separa le variabili: 7. Calcola gli integrali di entrambe le parti della equazione: 9. Rappresentare la proiezione della velocità come derivata della coordinata rispetto al tempo: 10. Calcolare gli integrali di entrambe le parti dell'equazione: 9. Separare le variabili: 8. Determinare il valore della costante C1 dalla condizione iniziale t = 0, vx = v0=0: Di conseguenza, otteniamo l'equazione del moto (lungo l'asse x), che dà il valore della distanza percorsa per il tempo t: 1. Scegliamo il sistema di riferimento (cartesiano coordinate) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del movimento come un punto materiale (il corpo avanza), lo liberiamo dalla connessione (piano di riferimento) e lo sostituiamo con la reazione (normale reazione di un superficie liscia) : 11. Determinare il valore della costante C2 dalla condizione iniziale t = 0, x = x0=0: Esempio 3 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dalla coordinata. Un punto materiale di massa m viene lanciato verso l'alto dalla superficie terrestre con una velocità v0. La forza di gravità della Terra è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal punto al centro di gravità (il centro della Terra). Determina la dipendenza della velocità dalla distanza y dal centro della Terra. 1. Scegliamo il sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Componiamo l'equazione di base della dinamica: 3. Proiettiamo l'equazione di base della dinamica sull'asse y: oppure Il coefficiente di proporzionalità può essere trovato usando il peso di un punto sulla superficie terrestre: R Quindi il differenziale che assomiglia all'equazione: oppure 4. Diminuire l'ordine della derivata: 5. Cambiare la variabile: 6. Separare le variabili: 7. Calcolare la integrali di entrambi i membri dell'equazione: 8. Sostituisci i limiti: Di conseguenza, otteniamo un'espressione per la velocità in funzione della coordinata y: la massima altezza di volo può essere trovata uguagliando la velocità a zero: la massima altitudine di volo quando il denominatore diventa zero: Da qui, impostando il raggio della Terra e l'accelerazione di caduta libera, si ottiene la II velocità cosmica:

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Lezione 2 (continuazione 2.4) Esempio 2 di risoluzione del problema inverso: La forza dipende dalla velocità. Una nave di massa m aveva una velocità v0. La resistenza dell'acqua al movimento della nave è proporzionale alla velocità. Determina il tempo impiegato dalla nave per diminuire della metà dopo aver spento il motore, nonché la distanza percorsa dalla nave fino a fermarsi completamente. 8 1. Scegliamo un sistema di riferimento (coordinate cartesiane) in modo che il corpo abbia una coordinata positiva: 2. Prendiamo l'oggetto del movimento come un punto materiale (la nave avanza), lo liberiamo dai legami (acqua) e lo sostituiamo con una reazione (forza di galleggiamento - forza di Archimede), e anche la forza di resistenza al movimento. 3. Aggiungi forza attiva (gravità). 4. Componiamo l'equazione principale della dinamica: 5. Proiettiamo l'equazione principale della dinamica sull'asse x: o 6. Abbassiamo l'ordine della derivata: 7. Separiamo le variabili: 8. Calcoliamo gli integrali da entrambi parti dell'equazione: 9. Sostituiamo i limiti: Si ottiene un'espressione che mette in relazione la velocità e il tempo t, da cui è possibile determinare il tempo del movimento: Il tempo del movimento, durante il quale la velocità diminuirà della metà: È interessante notare che quando la velocità si avvicina allo zero, il tempo del movimento tende all'infinito, cioè la velocità finale non può essere zero. Perché non "moto perpetuo"? Tuttavia, in questo caso, la distanza percorsa fino alla fermata è un valore finito. Per determinare la distanza percorsa, si ricorre all'espressione ottenuta dopo aver abbassato l'ordine della derivata e si effettua un cambio di variabile: Dopo aver integrato e sostituito i limiti, si ottiene: Distanza percorsa fino allo stop: ■ Moto di un punto lanciato su un angolo rispetto all'orizzonte in un campo gravitazionale uniforme senza tener conto della resistenza dell'aria Eliminando il tempo dalle equazioni del moto, si ottiene l'equazione della traiettoria: Il tempo di volo si determina uguagliando la coordinata y a zero: L'autonomia di volo si determina sostituendo la tempo di volo:

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Lezione 3 Oscillazioni rettilinee di un punto materiale - Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene a condizione che vi sia una forza di ripristino che tenda a riportare il punto in posizione di equilibrio per ogni deviazione da tale posizione. 9 C'è una forza di ripristino, la posizione di equilibrio è stabile Nessuna forza di ripristino, la posizione di equilibrio è instabile Nessuna forza di ripristino, la posizione di equilibrio è indifferente È sempre orientato verso la posizione di equilibrio, il valore è direttamente proporzionale all'allungamento lineare (accorciamento) della molla, pari allo scostamento del corpo dalla posizione di equilibrio: c è il coefficiente di rigidità della molla, numericamente uguale in forza, sotto l'azione della quale la molla cambia la sua lunghezza di uno, viene misurata in N / m nel sistema SI. x y O Tipi di vibrazioni di un punto materiale: 1. Vibrazioni libere (senza tener conto della resistenza del mezzo). 2. Oscillazioni libere tenendo conto della resistenza del mezzo (oscillazioni smorzate). 3. Vibrazioni forzate. 4. Oscillazioni forzate tenendo conto della resistenza del mezzo. ■ Oscillazioni libere - si verificano sotto l'azione di una sola forza di ripristino. Scriviamo la legge fondamentale della dinamica: Scegliamo un sistema di coordinate centrato nella posizione di equilibrio (punto O) e proiettiamo l'equazione sull'asse x: Portiamo l'equazione risultante alla forma standard (canonica): Questa equazioneè un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, la cui forma della soluzione è determinata dalle radici dell'equazione caratteristica ottenuta mediante la sostituzione universale: Le radici dell'equazione caratteristica sono immaginarie e uguali: Decisione comune l'equazione differenziale ha la forma: Velocità del punto: Condizioni iniziali: Definire le costanti: Quindi, l'equazione vibrazioni libere ha la forma: L'equazione può essere rappresentata da un'espressione a un termine: dove a è l'ampiezza, è la fase iniziale. Le nuove costanti a e - sono legate alle costanti C1 e C2 dalle relazioni: Definiamo a e: La ragione del verificarsi di oscillazioni libere è lo spostamento iniziale x0 e/o la velocità iniziale v0.

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10 Lezione 3 (continua 3.2) Oscillazioni smorzate di un punto materiale - Il movimento oscillatorio di un punto materiale avviene in presenza di una forza di richiamo e di una forza di resistenza al movimento. La dipendenza della forza di resistenza al movimento dallo spostamento o dalla velocità è determinata dalla natura fisica del mezzo o della connessione che impedisce il movimento. La dipendenza più semplice è una dipendenza lineare dalla velocità (resistenza viscosa): - coefficiente di viscosità x y O Equazione di base della dinamica: Proiezione dell'equazione della dinamica sull'asse: modulo standard: dove L'equazione caratteristica ha radici: La soluzione generale di questa equazione differenziale ha una forma diversa a seconda dei valori delle radici: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - caso di alta resistenza viscosa: - radici vere, diverse. oppure - queste funzioni sono aperiodiche: 3. n = k: - le radici sono reali, multiple. anche queste funzioni sono aperiodiche:

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Lezione 3 (seguito 3.3) Classificazione delle soluzioni di oscillazioni libere. Collegamenti primaverili. durezza equivalente. y y 11 Diff. Carattere di equazione. Equazione Radici char. equazione Risoluzione di equazioni differenziali Grafico nk n=k

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Lezione 4 Vibrazioni forzate di un punto materiale - Insieme alla forza di ripristino, agisce una forza che cambia periodicamente, chiamata forza perturbante. La forza perturbatrice può avere natura diversa. Ad esempio, in un caso particolare, l'effetto inerziale di una massa sbilanciata m1 di un rotore rotante provoca proiezioni di forza che cambiano armonicamente: L'equazione principale della dinamica: La proiezione dell'equazione della dinamica sull'asse: Portiamo l'equazione allo standard forma: 12 La soluzione di questa equazione differenziale disomogenea consiste di due parti x = x1 + x2: x1 è la soluzione generale dell'equazione omogenea corrispondente e x2 è una soluzione particolare dell'equazione disomogenea: Selezioniamo la soluzione particolare sotto forma di il lato destro: l'uguaglianza risultante deve essere soddisfatta per ogni t . Allora: o Così, con l'azione simultanea delle forze di ripristino e di perturbazione, il punto materiale compie un complesso moto oscillante, che è il risultato della somma (sovrapposizione) di vibrazioni libere (x1) e forzate (x2). Se pag< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием soluzione completa(!): Quindi, una soluzione particolare: se p > k (oscillazioni forzate ad alta frequenza), allora la fase delle oscillazioni è opposta alla fase della forza di disturbo:

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Lezione 4 (continua 4.2) 13 Coefficiente dinamico - il rapporto tra l'ampiezza delle oscillazioni forzate e la deviazione statica di un punto sotto l'azione di una forza costante H = const: L'ampiezza delle oscillazioni forzate: La deviazione statica può essere trovata dalla equazione di equilibrio: Qui: Quindi: Quindi, a p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (alta frequenza delle oscillazioni forzate) coefficiente dinamico: risonanza - si verifica quando la frequenza delle oscillazioni forzate coincide con la frequenza delle oscillazioni naturali (p = k). Ciò si verifica più spesso quando si avvia e si arresta la rotazione di rotori mal bilanciati montati su sospensioni elastiche. L'equazione differenziale delle oscillazioni con frequenze uguali: una soluzione particolare nella forma del lato destro non può essere presa, perché si otterrà una soluzione linearmente dipendente (vedi soluzione generale). Soluzione generale: Sostituisci nell'equazione differenziale: Prendiamo una soluzione particolare nella forma e calcoliamo le derivate: Così si ottiene la soluzione: o Le oscillazioni forzate alla risonanza hanno un'ampiezza che aumenta indefinitamente in proporzione al tempo. Influenza della resistenza al movimento durante le vibrazioni forzate. L'equazione differenziale in presenza di resistenza viscosa ha la forma: La soluzione generale è scelta dalla tabella (Lezione 3, p. 11) in base al rapporto di n e k (vedi). Prendiamo una soluzione particolare nella forma e calcoliamo le derivate: Sostituisci nell'equazione differenziale: Uguagliando i coefficienti allo stesso funzioni trigonometriche otteniamo un sistema di equazioni: elevando entrambe le equazioni a una potenza e sommandole, otteniamo l'ampiezza delle oscillazioni forzate: dividendo la seconda equazione per la prima, otteniamo lo sfasamento delle oscillazioni forzate: quindi, l'equazione di moto per oscillazioni forzate, tenendo conto della resistenza al movimento, ad esempio al n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Lezione 5 Moto relativo di un punto materiale - Assumiamo che il sistema di coordinate mobile (non inerziale) Oxyz si muova secondo una legge relativa al sistema di coordinate fisso (inerziale) O1x1y1z1. Il moto di un punto materiale M (x, y, z) rispetto al sistema mobile Oxyz è relativo, rispetto al sistema immobile O1x1y1z1 è assoluto. Il movimento del sistema mobile Oxyz rispetto al sistema fisso O1x1y1z1 è un movimento portatile. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Equazione di base della dinamica: Accelerazione assoluta di un punto: Sostituisci l'accelerazione assoluta di un punto nell'equazione della dinamica principale: Trasferiamo i termini con accelerazione traslazionale e di Coriolis a destra: Il i termini trasferiti hanno la dimensione delle forze e sono considerati come le forze inerziali corrispondenti, uguali: Allora il moto relativo del punto può essere considerato assoluto, se alle forze agenti si sommano le forze di inerzia traslazionale e di Coriolis: Nelle proiezioni sulla assi del sistema di coordinate mobili, abbiamo: diverso tipo moto traslatorio: 1. Rotazione attorno ad un asse fisso: se la rotazione è uniforme, allora εe = 0: 2. Moto curvilineo traslatorio: se il moto è rettilineo, allora = : Se il moto è rettilineo e uniforme, allora il sistema mobile è l'inerzia e il moto relativo possono essere considerati assoluti: nessun fenomeno meccanico può rilevare un rettilineo moto uniforme(principio di relatività della meccanica classica). Influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio dei corpi - Assumiamo che il corpo sia in equilibrio sulla superficie terrestre ad una latitudine arbitraria φ (paralleli). La Terra ruota attorno al suo asse da ovest a est con una velocità angolare: il raggio della Terra è di circa 6370 km. S R è la reazione totale di una superficie non liscia. G - forza di attrazione della Terra al centro. Ф - forza centrifuga di inerzia. Condizione di equilibrio relativo: La risultante delle forze di attrazione e di inerzia è la forza di gravità (peso): L'entità della forza di gravità (peso) sulla superficie della Terra è P = mg. La forza centrifuga di inerzia è una piccola frazione della forza di gravità: anche la deviazione della forza di gravità dalla direzione della forza di attrazione è piccola: quindi, l'influenza della rotazione terrestre sull'equilibrio dei corpi è estremamente piccola e non viene preso in considerazione nei calcoli pratici. Valore massimo la forza di inerzia (a φ = 0 - all'equatore) è solo 0,00343 della grandezza della gravità

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Lezione 5 (continua 5.2) 15 Influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi nel campo gravitazionale terrestre - Supponiamo che un corpo cada sulla Terra da una certa altezza H sopra la superficie terrestre alla latitudine φ . Scegliamo un sistema di riferimento mobile, rigidamente connesso con la Terra, dirigendo gli assi x, y tangenzialmente al parallelo e al meridiano: Equazione del moto relativo: qui la piccolezza della forza di inerzia centrifuga rispetto alla forza di gravità è preso in considerazione. Pertanto, la forza di gravità è identificata con la forza di gravità. Inoltre, assumiamo che la gravità sia diretta perpendicolarmente alla superficie terrestre a causa della piccolezza della sua deflessione, come discusso sopra. L'accelerazione di Coriolis è uguale e diretta parallelamente all'asse y a ovest. La forza di inerzia di Coriolis è diretta nella direzione opposta. Progettiamo l'equazione del moto relativo sull'asse: La soluzione della prima equazione dà: Condizioni iniziali: La soluzione della terza equazione dà: Condizioni iniziali: La terza equazione assume la forma: Condizioni iniziali: La sua soluzione dà: La soluzione risultante mostra che il corpo devia verso est quando cade. Calcoliamo il valore di questa deviazione, ad esempio, quando cadiamo da un'altezza di 100 m Troviamo il tempo di caduta dalla soluzione della seconda equazione: Pertanto, l'influenza della rotazione terrestre sul movimento dei corpi è estremamente piccola per altezze e velocità pratiche e non viene preso in considerazione nei calcoli tecnici. La soluzione della seconda equazione implica anche l'esistenza di una velocità lungo l'asse y, che dovrebbe anche causare e causare la corrispondente accelerazione e la forza di inerzia di Coriolis. L'influenza di questa velocità e della forza di inerzia ad essa associata sul cambiamento di moto sarà anche inferiore alla forza di inerzia di Coriolis considerata associata alla velocità verticale.

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Lezione 6 Dinamica di un sistema meccanico. Un sistema di punti materiali o un sistema meccanico - Un insieme di punti materiali o quei punti materiali uniti da leggi generali di interazione (la posizione o il movimento di ciascuno dei punti o di un corpo dipende dalla posizione e dal movimento di tutti gli altri) Il sistema di punti liberi - il cui movimento non è limitato da alcuna connessione (ad esempio, un sistema planetario, in cui i pianeti sono considerati come punti materiali). Un sistema di punti non liberi o un sistema meccanico non libero: il movimento di punti o corpi materiali è limitato dai vincoli imposti al sistema (ad esempio un meccanismo, una macchina, ecc.). 16 Forze che agiscono sul sistema. Oltre alla precedente classificazione delle forze (forze attive e reattive), viene introdotta una nuova classificazione delle forze: 1. Forze esterne (e) - agenti su punti e corpi del sistema da punti o corpi che non ne fanno parte sistema. 2. Forze interne (i) - forze di interazione tra punti materiali o corpi inclusi in questo sistema. La stessa forza può essere sia esterna che interna. Tutto dipende da quale sistema meccanico viene considerato. Ad esempio: nel sistema di Sole, Terra e Luna, tutte le forze gravitazionali tra di loro sono interne. Considerando il sistema Terra e Luna, le forze gravitazionali applicate dal lato del Sole sono esterne: C Z L In base alla legge di azione e reazione, ogni forza interna Fk corrisponde ad un'altra forza interna Fk', uguale in valore assoluto e opposta in direzione. Ne derivano due notevoli proprietà delle forze interne: Il vettore principale di tutte le forze interne del sistema zero: Il momento principale di tutte le forze interne del sistema rispetto a qualsiasi centro è uguale a zero: Oppure nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: Nota. Sebbene queste equazioni siano simili alle equazioni di equilibrio, non lo sono, poiché vengono applicate forze interne punti diversi o corpi del sistema e possono causare il movimento di questi punti (corpi) l'uno rispetto all'altro. Da queste equazioni consegue che le forze interne non influiscono sul moto di un sistema considerato nel suo insieme. Il centro di massa del sistema di punti materiali. Per descrivere il moto del sistema nel suo insieme, introduciamo punto geometrico, detto centro di massa, il cui raggio vettore è determinato dall'espressione, dove M è la massa dell'intero sistema: Oppure nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: le formule per il centro di massa sono simili a quelle per il centro di gravità. Tuttavia, il concetto di centro di massa è più generale, poiché non è correlato alle forze di gravità o alle forze di gravità.

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Lezione 6 (continua 6.2) 17 Teorema sul moto del baricentro del sistema - Si consideri un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sul lato sinistro dell'equazione, introdurremo le masse sotto il segno della derivata e sostituiremo la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione del centro di massa: Sostituisci nell'equazione risultante: otteniamo o: Il prodotto della massa del sistema e l'accelerazione del suo centro massa è uguale al vettore principale delle forze esterne. Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: Il centro di massa del sistema si muove come un punto materiale con una massa uguale alla massa dell'intero sistema, a cui vengono applicate tutte le forze esterne che agiscono sul sistema. Conseguenze del teorema sul moto del baricentro del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è zero, Re = 0, allora la velocità del centro di massa è costante, vC = const (il centro di massa si muove uniformemente in modo rettilineo - la legge di conservazione del centro di massa del moto). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, allora la velocità del baricentro lungo l'asse x è costante, vCx = const (il baricentro si muove uniformemente lungo l'asse). Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. Esempio: due persone di massa m1 e m2 si trovano su una barca di massa m3. Al momento iniziale, la barca con le persone era ferma. Determinare il dislocamento della barca se una persona di massa m2 si è spostata a prua della barca a distanza a. 3. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, e al momento iniziale la velocità del centro di massa è zero, vC = 0, allora il vettore del raggio di il baricentro rimane costante, rC = const (il baricentro è a riposo è la legge di conservazione della posizione del baricentro). 4. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, e al momento iniziale la velocità del baricentro lungo tale asse è zero , vCx = 0, allora la coordinata del centro di massa lungo l'asse x rimane costante, xC = const (il centro di massa non si sposta lungo questo asse). Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. 1. L'oggetto del movimento (una barca con persone): 2. Scartiamo le connessioni (acqua): 3. Sostituiamo la connessione con una reazione: 4. Aggiungiamo le forze attive: 5. Scriviamo il teorema sul centro di massa: Proietta sull'asse x: O Determina quanto lontano devi trasferirti a una persona di massa m1, in modo che la barca rimanga in posizione: La barca si sposterà di una distanza l nella direzione opposta.

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Lezione 7 L'impulso di forza è una misura dell'interazione meccanica che caratterizza la trasmissione movimento meccanico dalle forze agenti sul punto per un dato periodo di tempo: 18 In proiezioni sugli assi delle coordinate: Nel caso di una forza costante: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: La quantità di moto risultante è uguale alla somma geometrica della impulsi delle forze applicate al punto per lo stesso periodo di tempo: dt: Integriamo in un dato intervallo di tempo: La quantità di moto di un punto è una misura del movimento meccanico, determinato da un vettore uguale al prodotto della massa del punto e il suo vettore velocità: Teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema - Si consideri un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: o La quantità di movimento del sistema di punti materiali - somma geometrica quantità di moto dei punti materiali: Per definizione del centro di massa: Il vettore della quantità di moto del sistema è uguale al prodotto della massa dell'intero sistema per il vettore velocità del centro di massa del sistema. Quindi: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: La derivata temporale del vettore momento del sistema è uguale al vettore principale delle forze esterne del sistema. Sommiamo queste equazioni su tutti i punti: Sul lato sinistro dell'equazione, introduciamo le masse sotto il segno della derivata e sostituiamo la somma delle derivate con la derivata della somma: Dalla definizione della quantità di moto del sistema: Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate:

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Teorema di Eulero - Applicazione del teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema al movimento di un mezzo continuo (acqua). 1. Selezioniamo come oggetto del movimento il volume d'acqua situato nel canale curvilineo della turbina: 2. Scartiamo le connessioni e sostituiamo la loro azione con reazioni (Rpov - la risultante delle forze superficiali) 3. Aggiungiamo le forze attive (Rb - la risultante delle forze corporee): 4. Scrivete il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema: La quantità di movimento dell'acqua ai tempi t0 e t1 sarà rappresentata come somme: Variazione della quantità di moto dell'acqua nell'intervallo di tempo : Variazione della quantità di moto dell'acqua in un intervallo di tempo infinitesimo dt: , dove F1 F2 Prendendo il prodotto di densità, area della sezione trasversale e velocità per secondo massa, otteniamo: Sostituendo il differenziale della quantità di moto del sistema nel teorema di cambiamento otteniamo: Conseguenze dal teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore principale delle forze esterne del sistema è uguale a zero, Re = 0, allora il quantità vettore moto è costante, Q = const è la legge di conservazione della quantità di moto del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo la proiezione del vettore principale delle forze esterne del sistema sull'asse x è uguale a zero, Rxe = 0, allora la proiezione della quantità di moto del sistema sull'asse x è costante, Qx = cost. Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. Lezione 7 (continuazione di 7.2) Esempio: una granata di massa M, che volava a velocità v, è esplosa in due parti. La velocità di uno dei frammenti di massa m1 è aumentata nella direzione del movimento fino al valore v1. Determina la velocità del secondo frammento. 1. L'oggetto del movimento (granata): 2. L'oggetto è un sistema libero, non ci sono connessioni e le loro reazioni. 3. Somma le forze attive: 4. Scrivi il teorema sulla variazione della quantità di moto: Proietta sull'asse: β Dividi le variabili e integra: L'integrale di destra è quasi zero, perché tempo di esplosione t

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Lezione 7 (continua 7.3) 20 Il momento angolare di un punto o il momento cinetico del moto relativo a un certo centro è una misura del moto meccanico, determinato da un vettore uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore di un punto materiale e il vettore della sua quantità di moto: Il momento cinetico di un sistema di punti materiali rispetto a un certo centro è geometrico la somma dei momenti del numero di movimenti di tutti i punti materiali rispetto allo stesso centro: In proiezioni sull'asse: In proiezioni su l'asse: Teorema sulla variazione del momento della quantità di moto del sistema - Si consideri un sistema di n punti materiali. Dividiamo le forze applicate a ciascun punto in esterne ed interne e le sostituiamo con le corrispondenti risultanti Fke e Fki. Scriviamo per ogni punto l'equazione di base della dinamica: oppure Sommiamo queste equazioni per tutti i punti: Sostituiamo la somma delle derivate con la derivata della somma: L'espressione tra parentesi è il momento della quantità di moto del sistema. Da qui: Moltiplichiamo vettorialmente ciascuna delle uguaglianze per il raggio-vettore a sinistra: Vediamo se è possibile prendere il segno della derivata al di fuori del prodotto vettoriale: Quindi, abbiamo: centro. Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate: La derivata del momento della quantità di moto del sistema rispetto a un asse nel tempo è uguale al momento principale delle forze esterne del sistema rispetto allo stesso asse.

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Lezione 8 21 ■ Conseguenze del teorema sulla variazione del momento angolare del sistema (leggi di conservazione): 1. Se nell'intervallo di tempo il vettore del momento principale delle forze esterne del sistema rispetto ad un certo centro è uguale a zero, MOe = 0, allora il vettore del momento angolare del sistema relativo allo stesso centro è costante, KO = const è la legge di conservazione della quantità di moto del sistema). 2. Se nell'intervallo di tempo il momento principale delle forze esterne del sistema rispetto all'asse x è uguale a zero, Mxe = 0, allora il momento angolare del sistema rispetto all'asse x è costante, Kx = cost. Affermazioni simili sono vere per gli assi yez. 2. Momento d'inerzia di un corpo rigido attorno all'asse: Il momento d'inerzia di un punto materiale attorno all'asse è uguale al prodotto della massa del punto per il quadrato della distanza del punto dall'asse. Il momento d'inerzia di un corpo rigido attorno ad un asse è uguale alla somma dei prodotti della massa di ciascun punto e del quadrato della distanza di questo punto dall'asse. ■ Elementi di teoria dei momenti d'inerzia - Con il moto rotatorio di un corpo rigido, la misura dell'inerzia (resistenza al cambiamento di moto) è il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione. Considera i concetti di base della definizione e i metodi per calcolare i momenti di inerzia. 1. Momento d'inerzia di un punto materiale attorno all'asse: Nel passaggio da una piccola massa discreta a una massa infinitamente piccola di un punto, il limite di tale somma è determinato dall'integrale: momento d'inerzia assiale di un corpo rigido . Oltre al momento d'inerzia assiale di un corpo rigido, esistono altri tipi di momenti d'inerzia: il momento d'inerzia centrifugo di un corpo rigido. momento d'inerzia polare di un corpo rigido. 3. Teorema sui momenti di inerzia di un corpo rigido attorno ad assi paralleli - la formula per il passaggio ad assi paralleli: Momento di inerzia attorno all'asse di riferimento Momenti di inerzia statica attorno agli assi di riferimento Massa corporea Distanza tra gli assi z1 e z2 Quindi : i momenti sono zero:

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Lezione 8 (continua 8.2) 22 Momento d'inerzia di un'asta uniforme di sezione costante attorno all'asse: x z L Selezionare il volume elementare dV = Adx a distanza x: x dx Massa elementare: Per calcolare il momento d'inerzia attorno all'asse centrale (passando per il baricentro), è sufficiente cambiare la posizione dell'asse e impostare i limiti di integrazione (-L/2, L/2). Qui dimostriamo la formula per il passaggio ad assi paralleli: zС 5. Il momento d'inerzia di un cilindro solido omogeneo attorno all'asse di simmetria: H dr r Individuiamo il volume elementare dV = 2πrdrH (cilindro sottile di raggio r) : Massa elementare: qui usiamo la formula del volume del cilindro V=πR2H. Per calcolare il momento d'inerzia di un cilindro cavo (spesso), è sufficiente impostare i limiti di integrazione da R1 a R2 (R2> R1): 6. Il momento d'inerzia di un cilindro sottile attorno all'asse di simmetria (t

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Lezione 8 (continua 8.3) 23 ■ Equazione differenziale di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse: Scriviamo un teorema sulla modifica del momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso: Il momento di un corpo rigido rotante è: Il momento delle forze esterne attorno all'asse di rotazione è uguale alla coppia (reazioni e forze non creano momenti di gravità): sostituiamo il momento cinetico e la coppia nel teorema Esempio: due persone dello stesso peso G1 = G2 sono appese a una fune lanciata su un blocco pieno con peso G3 = G1/4. Ad un certo punto, uno di loro ha cominciato a salire la corda con una velocità relativa u. Determina la velocità di sollevamento di ogni persona. 1. Selezionare l'oggetto del movimento (blocco con persone): 2. Scartare i collegamenti (dispositivo di supporto del blocco): 3. Sostituire il collegamento con reazioni (cuscinetto): 4. Aggiungere le forze attive (gravità): 5. Annotare il teorema sulla variazione del momento cinetico del sistema rispetto all'asse di rotazione del blocco: R Poiché il momento delle forze esterne è uguale a zero, il momento cinetico deve rimanere costante: Al momento iniziale t = 0, c'è era equilibrio e Kz0 = 0. Dopo l'inizio del movimento di una persona rispetto alla fune, l'intero sistema ha iniziato a muoversi, ma il momento cinetico del sistema deve rimanere uguale a zero: Kz = 0. Il momento angolare del sistema è la somma dei momenti angolari di entrambe le persone e del blocco: Qui v2 è la velocità della seconda persona, uguale alla velocità del cavo, Esempio: Determinare il periodo di piccole oscillazioni libere di un'asta omogenea di massa M e lunghezza l, sospeso da un'estremità ad un asse di rotazione fisso. Oppure: Nel caso di piccole oscillazioni sinφ φ: Periodo di oscillazione: Momento di inerzia della barra:

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Lezione 8 (continua 8.4 - materiale aggiuntivo) 24 ■ Teoria elementare del giroscopio: un giroscopio è un corpo rigido che ruota attorno all'asse di simmetria del materiale, di cui uno dei punti è fisso. Un giroscopio libero è fissato in modo tale che il suo centro di massa rimanga fermo e l'asse di rotazione passi per il centro di massa e possa assumere qualsiasi posizione nello spazio, ad es. l'asse di rotazione cambia la sua posizione come l'asse di rotazione del corpo stesso durante il movimento sferico. L'assunto principale della teoria approssimativa (elementare) del giroscopio è che il vettore della quantità di moto (momento cinetico) del rotore sia considerato diretto lungo il proprio asse di rotazione. Pertanto, nonostante nel caso generale il rotore partecipi a tre rotazioni, viene presa in considerazione solo la velocità angolare della propria rotazione ω = dφ/dt. La base per questo è che in tecnologia moderna il rotore del giroscopio ruota ad una velocità angolare dell'ordine di 5000-8000 rad/s (circa 50000-80000 rpm), mentre le altre due velocità angolari associate alla precessione e nutazione del proprio asse di rotazione sono decine di migliaia di volte inferiore a questa velocità. La proprietà principale di un giroscopio libero è che l'asse del rotore mantiene la stessa direzione nello spazio rispetto al sistema di riferimento inerziale (stellare) (dimostrato dal pendolo di Foucault, che mantiene inalterato il piano di oscillazione rispetto alle stelle, 1852). Ciò deriva dalla legge di conservazione del momento cinetico relativo al baricentro del rotore, a condizione che si trascurino l'attrito nei cuscinetti degli assi di sospensione del rotore, del telaio esterno ed interno: Azione di forza sull'asse di un giroscopio. Nel caso di una forza applicata all'asse del rotore, il momento delle forze esterne rispetto al centro di massa non è uguale a zero: ω ω С forza, e verso il vettore del momento di questa forza, cioè ruoterà non attorno all'asse x (sospensione interna), ma attorno all'asse y (sospensione esterna). Quando la forza cessa, l'asse del rotore rimarrà nella stessa posizione, corrispondente a l'ultimo momento la durata della forza, perché da questo momento, il momento delle forze esterne torna a zero. Nel caso di un'azione di forza a breve termine (impatto), l'asse del giroscopio praticamente non cambia la sua posizione. Pertanto, la rapida rotazione del rotore conferisce al giroscopio la capacità di contrastare influenze casuali che tendono a modificare la posizione dell'asse di rotazione del rotore, e quando azione permanente la forza mantiene la posizione del piano perpendicolare alla forza agente, in cui giace l'asse del rotore. Queste proprietà sono utilizzate in sistemi inerziali navigazione.

introduzione

La meccanica teorica è una delle discipline scientifiche generali fondamentali più importanti. Svolge un ruolo essenziale nella formazione degli ingegneri di tutte le specialità. Le discipline ingegneristiche generali si basano sui risultati della meccanica teorica: forza dei materiali, parti di macchine, teoria dei meccanismi e delle macchine e altro.

Il compito principale della meccanica teorica è lo studio del movimento dei corpi materiali sotto l'azione delle forze. Un problema particolare importante è lo studio dell'equilibrio dei corpi sotto l'azione delle forze.

Corso di lezione. Meccanica teorica

La struttura della meccanica teorica. Fondamenti di statica

Condizioni per l'equilibrio di un sistema arbitrario di forze.

Equazioni di equilibrio del corpo rigido.

Sistema di forze piatto.

Casi particolari di equilibrio di un corpo rigido.

Il problema dell'equilibrio di una barra.

Determinazione delle forze interne nelle strutture a barra.

Fondamenti di cinematica puntuale.

coordinate naturali.

formula di Eulero.

Distribuzione di accelerazioni di punti di un corpo rigido.

Movimenti traslazionali e rotazionali.

Moto piano-parallelo.

Movimento del punto complicato.

Fondamenti di dinamica puntuale.

Equazioni differenziali del moto di un punto.

Tipi particolari di campi di forza.

Fondamenti di dinamica del sistema di punti.

Teoremi generali della dinamica di un sistema di punti.

Dinamica del movimento rotatorio del corpo.

Dobronravov VV, Nikitin N.N. Corso di meccanica teorica. M., Scuola superiore, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Corso di Meccanica Teorica, Parti 1 e 2. M., Scuola Superiore, 1971.

Petkevich V.V. Meccanica teorica. M., Nauka, 1981.

Raccolta di incarichi per tesine di meccanica teorica. ed. AA Yablonsky. M., Scuola superiore, 1985.

Lezione 1 La struttura della meccanica teorica. Fondamenti di statica

Nella meccanica teorica si studia il movimento dei corpi rispetto ad altri corpi, che sono sistemi di riferimento fisici.

La meccanica permette non solo di descrivere, ma anche di predire il movimento dei corpi, stabilendo relazioni causali in una certa, vastissima gamma di fenomeni.

Modelli astratti di base di corpi reali:

punto materiale - ha massa, ma non ha dimensioni;

assolutamente solido - un volume di dimensioni finite, completamente riempito di materia, e le distanze tra due punti qualsiasi del mezzo che riempie il volume non cambiano durante il movimento;

mezzo deformabile continuo - riempie un volume finito o uno spazio illimitato; le distanze tra i punti di un tale mezzo possono variare.

Di questi, i sistemi:

Sistema di punti materiale gratuiti;

Sistemi con connessioni;

Un corpo assolutamente solido con una cavità riempita di liquido, ecc.

"Degenerare" Modelli:

Aste infinitamente sottili;

Lastre infinitamente sottili;

Aste e fili senza peso che collegano punti di materiale, ecc.

Per esperienza: i fenomeni meccanici procedono diversamente in luoghi differenti sistema di riferimento fisico. Questa proprietà è la disomogeneità dello spazio, determinata dal sistema di riferimento fisico. L'eterogeneità qui è intesa come la dipendenza della natura del verificarsi di un fenomeno dal luogo in cui osserviamo questo fenomeno.

Un'altra proprietà è l'anisotropia (non isotropia), il movimento di un corpo rispetto al sistema di riferimento fisico può essere diverso a seconda della direzione. Esempi: il corso del fiume lungo il meridiano (da nord a sud - il Volga); volo del proiettile, pendolo di Foucault.

Le proprietà del sistema di riferimento (eterogeneità e anisotropia) rendono difficile l'osservazione del movimento di un corpo.

In pratica libero da questo geocentrico sistema: il centro del sistema è al centro della Terra e il sistema non ruota rispetto alle stelle "fisse"). Il sistema geocentrico è conveniente per calcolare i movimenti sulla Terra.

Per meccanica celeste(per i corpi del sistema solare): un sistema di riferimento eliocentrico che si muove con il baricentro sistema solare e non ruota rispetto alle stelle "fisse". Per questo sistema non ancora trovato eterogeneità e anisotropia dello spazio

in relazione ai fenomeni della meccanica.

Quindi, introduciamo un abstract inerziale sistema di riferimento per il quale lo spazio è omogeneo e isotropo in relazione ai fenomeni della meccanica.

sistema di riferimento inerziale- uno il cui proprio movimento non può essere rilevato da alcuna esperienza meccanica. Esperimento mentale: "il punto che è solo al mondo intero" (isolato) o è fermo o si muove in linea retta e uniforme.

Tutti i sistemi di riferimento che si muovono rispetto all'originale in modo rettilineo saranno uniformemente inerziali. Ciò consente di introdurre un unico sistema di coordinate cartesiane. Un tale spazio è chiamato euclideo.

Accordo condizionale: prendi il giusto sistema di coordinate (Fig. 1).

A tempo– nella meccanica classica (non relativistica). assolutamente, che è lo stesso per tutti i sistemi di riferimento, ovvero il momento iniziale è arbitrario. In contrasto con la meccanica relativistica, dove si applica il principio di relatività.

Lo stato di moto del sistema al tempo t è determinato dalle coordinate e dalle velocità dei punti in quel momento.

I corpi reali interagiscono e sorgono forze che cambiano lo stato di movimento del sistema. Questa è l'essenza della meccanica teorica.

Come si studia la meccanica teorica?

La dottrina dell'equilibrio di un insieme di corpi di un determinato sistema di riferimento - sezione statica.

Capitolo cinematica: una parte della meccanica che studia le relazioni tra grandezze che caratterizzano lo stato di moto dei sistemi, ma non considera le cause che provocano un cambiamento nello stato di moto.

Dopodiché, considera l'influenza delle forze [PARTE PRINCIPALE].

Capitolo dinamica: parte della meccanica, che considera l'influenza delle forze sullo stato di moto di sistemi di oggetti materiali.

Principi di costruzione del corso principale - dinamica:

1) basato su un sistema di assiomi (basato sull'esperienza, sulle osservazioni);

Costantemente - controllo spietato della pratica. Segno di scienza esatta - la presenza di logica interna (senza di essa - serie di ricette non correlate)!

statico si chiama quella parte della meccanica, dove si studiano le condizioni che devono essere soddisfatte dalle forze agenti su un sistema di punti materiali affinché il sistema sia in equilibrio, e le condizioni per l'equivalenza dei sistemi di forze.

I problemi di equilibrio in statica elementare verranno considerati utilizzando esclusivamente metodi geometrici basati sulle proprietà dei vettori. Questo approccio è applicato statica geometrica(al contrario della statica analitica, che qui non viene considerata).

Le posizioni dei vari corpi materiali saranno riferite al sistema di coordinate, che prenderemo come fisso.

Modelli ideali di corpi materiali:

1) punto materiale: un punto geometrico con massa.

2) corpo assolutamente rigido: un insieme di punti materiali, le cui distanze non possono essere modificate da alcuna azione.

Dalle forze chiameremo ragioni oggettive, che sono il risultato dell'interazione di oggetti materiali, capaci di provocare il movimento di corpi da uno stato di riposo o di modificare il movimento esistente di questi ultimi.

Poiché la forza è determinata dal movimento che provoca, ha anche un carattere relativo, a seconda della scelta del sistema di riferimento.

Viene considerata la questione della natura delle forze in fisica.

Un sistema di punti materiali è in equilibrio se, essendo in quiete, non riceve alcun movimento dalle forze che agiscono su di esso.

Dall'esperienza quotidiana: le forze sono di natura vettoriale, cioè grandezza, direzione, linea d'azione, punto di applicazione. La condizione per l'equilibrio delle forze agenti su un corpo rigido si riduce alle proprietà dei sistemi di vettori.

Riassumendo l'esperienza di studio delle leggi fisiche della natura, Galileo e Newton formularono le leggi fondamentali della meccanica, che possono essere considerate assiomi della meccanica, poiché hanno sulla base di fatti sperimentali.

Assioma 1. L'azione di più forze su un punto di un corpo rigido è equivalente all'azione di una forza risultante, costruito secondo la regola dell'addizione dei vettori (Fig. 2).

Conseguenza. Le forze applicate a un punto di un corpo rigido vengono sommate secondo la regola del parallelogramma.

Assioma 2. Due forze applicate a un corpo rigido reciprocamente equilibrati se e solo se sono uguali in grandezza, diretti in direzioni opposte e giacciono sulla stessa retta.

Assioma 3. L'azione di un sistema di forze su un corpo rigido non cambierà se aggiungi a questo sistema o elimina da esso due forze di uguale grandezza, dirette in direzioni opposte e giacenti sulla stessa retta.

Conseguenza. La forza che agisce su un punto di un corpo rigido può essere trasferita lungo la linea d'azione della forza senza modificare l'equilibrio (cioè la forza è un vettore di scorrimento, Fig. 3)

1) Attivo: crea o è in grado di creare il movimento di un corpo rigido. Ad esempio, la forza del peso.

2) Passivo: non crea movimento, ma limita il movimento di un corpo rigido, prevenendo il movimento. Ad esempio, la forza di tensione di un filo inestensibile (Fig. 4).

Assioma 4. L'azione di un corpo sul secondo è uguale e contraria all'azione di questo secondo corpo sul primo ( azione è uguale a reazione).

Verranno chiamate le condizioni geometriche che limitano il movimento dei punti connessioni.

Condizioni di comunicazione: ad esempio,

- asta di lunghezza indiretta l.

- filo flessibile inestensibile di lunghezza l.

Vengono chiamate le forze dovute ai legami e alla prevenzione del movimento forze di reazione.

Assioma 5. I legami imposti al sistema di punti materiali possono essere sostituiti da forze di reazione, la cui azione è equivalente all'azione dei legami.

Quando le forze passive non possono bilanciare l'azione delle forze attive, inizia il movimento.

Due particolari problemi di statica

1. Sistema di forze convergenti agenti su un corpo rigido

Un sistema di forze convergenti si chiama tale sistema di forze, le cui linee d'azione si intersecano in un punto, che può sempre essere preso come origine (Fig. 5).

Proiezioni della risultante:

;

Se , allora la forza provoca il movimento di un corpo rigido.

Condizione di equilibrio per un sistema convergente di forze:

2. Equilibrio di tre forze

Se tre forze agiscono su un corpo rigido e le linee d'azione di due forze si intersecano in un punto A, l'equilibrio è possibile se e solo se la linea d'azione della terza forza passa anche per il punto A e la forza stessa è uguale in grandezza e in direzione opposta alla somma (Fig. 6).

Esempi:

Momento di forza relativo al punto O definire come vettore, in misura uguale al doppio dell'area di un triangolo, la cui base è un vettore di forza con un vertice in un dato punto O; direzione- ortogonale al piano del triangolo considerato nella direzione da cui è visibile la rotazione prodotta dalla forza attorno al punto O Antiorario.è il momento del vettore scorrevole ed è vettore libero(Fig. 9).

Così: o

dove ;;.

Dove F è il modulo di forza, h è la spalla (distanza dal punto alla direzione della forza).

Momento di forza attorno all'asseè chiamato il valore algebrico della proiezione su questo asse del vettore del momento di forza relativo ad un punto arbitrario O, preso sull'asse (Fig. 10).

Questo è uno scalare indipendente dalla scelta del punto. In effetti, espandiamo :|| e nell'aereo.

A proposito di momenti: sia О 1 il punto di intersezione con il piano. Quindi:

a) da - momento => proiezione = 0.

b) da - momento in poi => è una proiezione.

Così, il momento attorno all'asse è il momento della componente di forza nel piano perpendicolare all'asse attorno al punto di intersezione del piano e dell'asse.

Teorema di Varignon per un sistema di forze convergenti:

Momento di forza risultante per un sistema di forze convergenti rispetto a un punto arbitrario A è uguale alla somma dei momenti di tutte le componenti delle forze relative allo stesso punto A (Fig. 11).

Prova nella teoria dei vettori convergenti.

Spiegazione: somma delle forze secondo la regola del parallelogramma => la forza risultante dà il momento totale.

Domande di prova:

1. Denominare i principali modelli di corpi reali in meccanica teorica.

2. Formulare gli assiomi della statica.

3. Come si chiama momento di forza rispetto a un punto?

Lezione 2 Condizioni di equilibrio per un sistema arbitrario di forze

Dagli assiomi di base della statica seguono le operazioni elementari sulle forze:

1) la forza può essere trasferita lungo la linea d'azione;

2) le forze le cui linee d'azione si intersecano possono essere sommate secondo la regola del parallelogramma (secondo la regola dell'addizione vettoriale);

3) al sistema di forze agenti su un corpo rigido si possono sempre aggiungere due forze, di uguale grandezza, giacenti sulla stessa retta e dirette in direzioni opposte.

Le operazioni elementari non modificano lo stato meccanico del sistema.

Diamo un nome a due sistemi di forze equivalente se l'uno dall'altro può essere ottenuto con operazioni elementari (come nella teoria dei vettori scorrevoli).

Si chiama sistema di due forze parallele, di uguale grandezza e dirette in direzioni opposte un paio di forze(Fig. 12).

Momento di una coppia di forze- un vettore di dimensione uguale all'area del parallelogramma costruito sui vettori della coppia, e diretto ortogonalmente al piano della coppia nella direzione da cui si vede avvenire la rotazione riportata dai vettori della coppia Antiorario.

, cioè il momento della forza attorno al punto B.

Una coppia di forze è completamente caratterizzata dal suo momento.

Una coppia di forze può essere trasferita mediante operazioni elementari a qualsiasi piano parallelo al piano della coppia; cambia l'entità delle forze della coppia in modo inversamente proporzionale alle spalle della coppia.

Si possono sommare coppie di forze, mentre i momenti di coppie di forze si sommano secondo la regola dell'addizione di vettori (liberi).

Portare il sistema di forze agenti su un corpo rigido in un punto arbitrario (centro di riduzione)- significa sostituire il sistema attuale con uno più semplice: un sistema di tre forze, una delle quali passa in anticipo dato punto, e gli altri due rappresentano una coppia.

È dimostrato con l'aiuto di operazioni elementari (fig.13).

Il sistema delle forze convergenti e il sistema delle coppie di forze.

- forza risultante.

La coppia risultante

Che è ciò che doveva essere mostrato.

Due sistemi di forze volere sono equivalenti se e solo se entrambi i sistemi sono ridotti ad una forza risultante e ad una coppia risultante, cioè nelle seguenti condizioni:

Caso generale di equilibrio di un sistema di forze agenti su un corpo rigido

Portiamo il sistema di forze a (Fig. 14):

Forza risultante attraverso l'origine;

La coppia risultante, inoltre, per il punto O.

Cioè, hanno portato a e - due forze, una delle quali passa per un dato punto O.

L'equilibrio, se l'altra retta, è uguale, diretta in senso opposto (assioma 2).

Quindi passa per il punto O, cioè.

Così, Termini generali e condizioni equilibrio di un corpo rigido:

Queste condizioni sono valide per un punto arbitrario nello spazio.

Domande di prova:

1. Elenca le operazioni elementari sulle forze.

2. Quali sistemi di forze sono chiamati equivalenti?

3. Scrivi le condizioni generali per l'equilibrio di un corpo rigido.

Lezione 3 Equazioni di equilibrio del corpo rigido

Sia O l'origine delle coordinate; è la forza risultante; è il momento della coppia risultante. Sia il punto O1 un nuovo centro di riduzione (Fig. 15).

Nuovo sistema di forze:

Quando il punto di lancio cambia, => cambia solo (in una direzione con un segno, nell'altra con un altro). Questo è il punto: abbinare le linee

Analiticamente: (colinearità dei vettori)

; coordinate del punto O1.

Questa è l'equazione di una retta, per tutti i punti di cui la direzione del vettore risultante coincide con la direzione del momento della coppia risultante - si chiama la retta dinamo.

Se sull'asse del dinamismo => , allora il sistema equivale a una forza risultante, che viene chiamata la forza risultante del sistema. In questo caso, sempre, ecco.

Quattro casi di forzare:

1.) ;- dinamo.

2.) ; - risultante.

3.) ;- coppia.

4.) ;- equilibrio.

Due equazioni di equilibrio vettoriale: il vettore principale e il momento principale sono uguali a zero.

O sei equazioni scalari nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:

Qui:

La complessità del tipo di equazioni dipende dalla scelta del punto di riduzione => l'arte del calcolatore.

Trovare le condizioni di equilibrio per un sistema di corpi rigidi in interazione<=>il problema dell'equilibrio di ciascun corpo separatamente e il corpo è influenzato da forze esterne e forze interne (l'interazione dei corpi nei punti di contatto con forze uguali e opposte dirette - assioma IV, Fig. 17).

Scegliamo per tutti i corpi del sistema un centro di riferimento. Quindi per ogni corpo con il numero della condizione di equilibrio:

, , (= 1, 2, …, k)

dove , - la forza risultante e il momento della coppia risultante di tutte le forze, ad eccezione delle reazioni interne.

La forza e il momento risultanti della coppia risultante di forze di reazioni interne.

Riassumendo formalmente e tenendo conto del IV assioma

noi abbiamo condizioni necessarie per l'equilibrio di un corpo rigido:

Esempio.

Equilibrio: = ?

Domande di prova:

1. Denominare tutti i casi di portare il sistema di forze in un punto.

2. Che cos'è una dinamo?

3. Formulare le condizioni necessarie per l'equilibrio di un sistema di corpi rigidi.

Lezione 4 Sistema di forze piatto

Un caso speciale della consegna di attività generali.

Lascia che tutte le forze agenti si trovino sullo stesso piano, ad esempio un foglio. Scegliamo il punto O come centro di riduzione, sullo stesso piano. Otteniamo la forza risultante e la coppia risultante sullo stesso piano, cioè (Fig. 19)

Commento.

Il sistema può essere ridotto a una forza risultante.

Condizioni di equilibrio:

o scalari:

Molto comune in applicazioni come la resistenza dei materiali.

Esempio.

Con l'attrito della palla sulla tavola e sull'aereo. Condizione di equilibrio: = ?

Il problema dell'equilibrio di un corpo rigido non libero.

Un corpo rigido è detto non libero, il cui movimento è vincolato da vincoli. Ad esempio, altri corpi, fissaggi a cerniera.

Nel determinare le condizioni di equilibrio: un corpo non libero può essere considerato libero, sostituendo i legami con forze di reazione sconosciute.

Esempio.