Il sistema di equazioni lineari è detto giunto se mti. Come trovare una soluzione generale e particolare di un sistema di equazioni lineari

Continuiamo a occuparci di sistemi di equazioni lineari. Finora abbiamo considerato sistemi che hanno una soluzione unica. Tali sistemi possono essere risolti in qualsiasi modo: metodo di sostituzione("scuola") per le formule di Cramer, metodo matriciale, Metodo Gauss. Tuttavia, nella pratica sono diffusi altri due casi quando:

1) il sistema è incoerente (non ha soluzioni);

2) il sistema ha infinite soluzioni.

Per questi sistemi viene utilizzato il più universale di tutti i metodi di soluzione: Metodo Gauss. In effetti, il modo "scuola" porterà anche alla risposta, ma in matematica superioreÈ consuetudine utilizzare il metodo gaussiano di eliminazione successiva delle incognite. Coloro che non hanno familiarità con l'algoritmo del metodo Gauss, si prega di studiare prima la lezione Metodo Gauss

Le stesse trasformazioni della matrice elementare sono esattamente le stesse, la differenza sarà alla fine della soluzione. Per prima cosa, considera un paio di esempi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerenti).

Esempio 1

Cosa attira immediatamente la tua attenzione in questo sistema? Il numero di equazioni è inferiore al numero di variabili. C'è un teorema che dice: “Se il numero di equazioni nel sistema meno quantità variabili, allora il sistema è incoerente o ha infinite soluzioni. E non resta che scoprirlo.

L'inizio della soluzione è abbastanza ordinario: scriviamo la matrice estesa del sistema e, usando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma graduale:

(uno). Sul passaggio in alto a sinistra, dobbiamo ottenere (+1) o (-1). Non ci sono tali numeri nella prima colonna, quindi riorganizzare le righe non funzionerà. L'unità dovrà essere organizzata in modo indipendente e ciò può essere fatto in diversi modi. L'abbiamo fatto. Alla prima riga aggiungiamo la terza riga, moltiplicata per (-1).

(2). Ora otteniamo due zeri nella prima colonna. Alla seconda riga, aggiungi la prima riga, moltiplicata per 3. Alla terza riga, aggiungi la prima, moltiplicata per 5.

(3). Al termine della trasformazione, è sempre consigliabile vedere se è possibile semplificare le stringhe risultanti? Può. Dividiamo la seconda riga per 2, ottenendo allo stesso tempo quella desiderata (-1) sul secondo passaggio. Dividi la terza riga per (-3).

(4). Aggiungi la seconda riga alla terza riga. Probabilmente, tutti hanno prestato attenzione alla linea negativa, che si è rivelata a seguito di trasformazioni elementari:

. È chiaro che non può essere così.

Infatti, riscriviamo la matrice risultante

tornando al sistema di equazioni lineari:

Se a seguito di trasformazioni elementari una stringa del modulo , doveλ è un numero diverso da zero, quindi il sistema è incoerente (non ha soluzioni).

Come registrare la fine di un'attività? Devi scrivere la frase:

“Come risultato di trasformazioni elementari, si ottiene una stringa della forma, dove λ ≠ 0 ". Risposta: "Il sistema non ha soluzioni (incoerenti)."

Si noti che in questo caso non c'è movimento inverso dell'algoritmo gaussiano, non ci sono soluzioni e semplicemente non c'è nulla da trovare.

Esempio 2

Risolvi un sistema di equazioni lineari

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e la risposta alla fine della lezione.

Ancora una volta, ti ricordiamo che il tuo processo di soluzione potrebbe differire dal nostro processo di soluzione, il metodo Gauss non imposta un algoritmo univoco, devi indovinare tu stesso la procedura e le azioni stesse in ogni caso.

Un altro caratteristica tecnica soluzioni: le trasformazioni elementari possono essere fermate Subito, non appena una riga come , dove λ ≠ 0 . Tenere conto esempio condizionale: supponiamo che dopo la prima trasformazione otteniamo una matrice

Questa matrice non è stata ancora ridotta a una forma a gradini, ma non sono necessarie ulteriori trasformazioni elementari, poiché è apparsa una linea della forma, dove λ ≠ 0 . Dovrebbe essere immediatamente risposto che il sistema è incompatibile.

Quando un sistema di equazioni lineari non ha soluzioni, questo è quasi un regalo per lo studente, poiché si ottiene una soluzione breve, a volte letteralmente in 2-3 passaggi. Ma tutto in questo mondo è equilibrato, e il problema in cui il sistema ha infinite soluzioni è solo più lungo.

Esempio 3:

Risolvi un sistema di equazioni lineari

Ci sono 4 equazioni e 4 incognite, quindi il sistema può avere un'unica soluzione, o non avere soluzioni, o avere un numero infinito di soluzioni. Qualunque cosa fosse, ma il metodo Gauss in ogni caso ci porterà alla risposta. Questa è la sua versatilità.

L'inizio è di nuovo standard. Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

Questo è tutto, e tu avevi paura.

(uno). Tieni presente che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2, quindi sul gradino in alto a sinistra ci accontentiamo anche di un due. Alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per (-4). Alla terza riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per (-2). Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per (-1).

Attenzione! Molti possono essere tentati dalla quarta riga sottrarre prima linea. Questo può essere fatto, ma non è necessario, l'esperienza mostra che la probabilità di un errore nei calcoli aumenta più volte. Aggiungiamo semplicemente: alla quarta riga aggiungiamo la prima riga, moltiplicata per (-1) - Esattamente!

(2). Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse possono essere cancellate. Anche qui è necessario mostrare maggiore attenzione, ma le linee sono davvero proporzionali? Per la riassicurazione, non sarà superfluo moltiplicare la seconda riga per (-1) e dividere la quarta riga per 2, ottenendo tre righe identiche. E solo dopo rimuoverne due. Come risultato di trasformazioni elementari, la matrice estesa del sistema si riduce a una forma a gradini:

Quando si completa un'attività su un quaderno, è consigliabile prendere gli stessi appunti a matita per chiarezza.

Riscriviamo il corrispondente sistema di equazioni:

La "solita" unica soluzione del sistema non puzza qui. Brutta linea dove λ ≠ 0, anche no. Quindi, questo è il terzo caso rimanente: il sistema ha infinite soluzioni.

L'insieme infinito di soluzioni del sistema è brevemente scritto nella forma del cosiddetto soluzione di sistema generale.

Troveremo la soluzione generale del sistema utilizzando il moto inverso del metodo di Gauss. Per i sistemi di equazioni con un insieme infinito di soluzioni, compaiono nuovi concetti: "variabili di base" e "variabili libere". Per prima cosa, definiamo quali variabili abbiamo di base e quali variabili - libero. Non è necessario spiegare in dettaglio i termini dell'algebra lineare, basti ricordare che ce ne sono variabili di base e variabili libere.

Le variabili di base "siedono" sempre rigorosamente sui passaggi della matrice. In questo esempio, le variabili di base sono X 1 e X 3 .

Le variabili libere sono tutto residuo variabili che non hanno ottenuto un passaggio. Nel nostro caso sono due: X 2 e X 4 - variabili libere.

Ora hai bisogno Tuttovariabili di base esprimere solo attraversovariabili libere. La mossa inversa dell'algoritmo gaussiano funziona tradizionalmente dal basso verso l'alto. Dalla seconda equazione del sistema esprimiamo la variabile di base X 3:

Ora guarda la prima equazione: . Innanzitutto, sostituiamo l'espressione trovata in essa:

Resta da esprimere la variabile di base X 1 tramite variabili libere X 2 e X 4:

Il risultato è ciò di cui hai bisogno - Tutto variabili di base ( X 1 e X 3) espresso solo attraverso variabili libere ( X 2 e X 4):

In realtà, la soluzione generale è pronta:

Come scrivere la soluzione generale? Prima di tutto, le variabili libere vengono scritte nella soluzione generale "da sole" e rigorosamente al loro posto. In questo caso, le variabili libere X 2 e X 4 va scritto nella seconda e quarta posizione:

Le espressioni risultanti per le variabili di base e ovviamente va scritto nella prima e nella terza posizione:

Dalla soluzione generale del sistema se ne possono trovare infiniti decisioni private. È molto semplice. variabili libere X 2 e X 4 sono chiamati così perché possono essere dati eventuali valori finali. I valori più popolari sono i valori zero, poiché questo è il modo più semplice per ottenere una soluzione particolare.

Sostituendo ( X 2 = 0; X 4 = 0) nella soluzione generale, otteniamo una delle soluzioni particolari:

, oppure è una soluzione particolare corrispondente a variabili libere con valori ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Quelli sono un'altra dolce coppia, sostituiamo ( X 2 = 1 e X 4 = 1) nella soluzione generale:

, ovvero (-1; 1; 1; 1) è un'altra soluzione particolare.

È facile vedere che il sistema di equazioni ha infinite soluzioni poiché possiamo fornire variabili libere qualunque valori.

Ogni una soluzione particolare deve soddisfare a ogni equazione di sistema. Questa è la base per un controllo “rapido” della correttezza della soluzione. Prendi, ad esempio, una soluzione particolare (-1; 1; 1; 1) e sostituiscila nel lato sinistro di ciascuna equazione nel sistema originale:

Tutto deve riunirsi. E con qualsiasi soluzione particolare che ottieni, anche tutto dovrebbe convergere.

A rigor di termini, la verifica di una particolare soluzione a volte inganna, ad es. qualche soluzione particolare può soddisfare ogni equazione del sistema e la soluzione generale stessa è effettivamente trovata in modo errato. Pertanto, prima di tutto, la verifica della soluzione generale è più approfondita e affidabile.

Come verificare la soluzione generale risultante ?

Non è difficile, ma richiede una trasformazione piuttosto lunga. Dobbiamo prendere espressioni di base variabili, in questo caso e , e sostituirli nel lato sinistro di ciascuna equazione del sistema.

A sinistra della prima equazione del sistema:

Si ottiene il lato destro della prima equazione originale del sistema.

A sinistra della seconda equazione del sistema:

Si ottiene il lato destro della seconda equazione originale del sistema.

E inoltre - a sinistra delle parti della terza e della quarta equazione del sistema. Questo controllo è più lungo, ma garantisce la correttezza al 100% della soluzione complessiva. Inoltre, in alcune attività è necessario verificare la soluzione generale.

Esempio 4:

Risolvi il sistema usando il metodo di Gauss. Trova una soluzione generale e due private. Controlla la soluzione generale.

Questo è un esempio fai da te. Qui, a proposito, ancora una volta il numero di equazioni è inferiore al numero di incognite, il che significa che è immediatamente chiaro che il sistema sarà incoerente o avrà un numero infinito di soluzioni.

Esempio 5:

Risolvi un sistema di equazioni lineari. Se il sistema ha infinite soluzioni, trova due soluzioni particolari e verifica la soluzione generale

Decisione: Scriviamo la matrice estesa del sistema e, con l'aiuto di trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

(uno). Aggiungi la prima riga alla seconda riga. Alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 2. Alla quarta riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per 3.

(2). Alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per (-5). Alla quarta riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per (-7).

(3). La terza e la quarta riga sono le stesse, ne cancelliamo una. Ecco una tale bellezza:

Le variabili di base si trovano su gradini, quindi sono variabili di base.

C'è solo una variabile libera, che non ha ottenuto un passaggio: .

(4). Mossa inversa. Esprimiamo le variabili di base in termini di variabile libera:

Dalla terza equazione:

Considera la seconda equazione e sostituisci l'espressione trovata in essa:

, , ,

Considera la prima equazione e sostituisci le espressioni trovate e in essa:

Quindi, la soluzione generale con una variabile libera X 4:

Ancora una volta, come è successo? variabile libera X 4 siede da solo al suo legittimo quarto posto. Anche le espressioni risultanti per le variabili di base , , sono al loro posto.

Verifichiamo subito la soluzione generale.

Sostituiamo le variabili di base , , nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema:

Si ottengono i corrispondenti membri di destra delle equazioni, quindi si trova la soluzione generale corretta.

Ora dalla soluzione generale trovata otteniamo due soluzioni particolari. Tutte le variabili sono espresse qui tramite una singola variabile libera x 4. Non hai bisogno di spaccarti la testa.

Lascia stare X 4 = 0, quindi è la prima soluzione particolare.

Lascia stare X 4 = 1, quindi è un'altra soluzione particolare.

Risposta: Decisione comune: . Soluzioni private:

e .

Esempio 6:

Trova la soluzione generale del sistema di equazioni lineari.

Abbiamo già verificato la soluzione generale, la risposta può essere attendibile. La tua linea d'azione potrebbe differire dalla nostra linea d'azione. La cosa principale è che le soluzioni generali coincidono. Probabilmente molte persone hanno notato un momento spiacevole nelle soluzioni: molto spesso, nel corso inverso del metodo Gauss, abbiamo dovuto giocherellare con frazioni ordinarie. In pratica questo è vero, i casi in cui non ci sono frazioni sono molto meno comuni. Sii preparato mentalmente e, soprattutto, tecnicamente.

Soffermiamoci sulle caratteristiche della soluzione che non sono state trovate negli esempi risolti. La soluzione generale del sistema può talvolta includere una costante (o costanti).

Ad esempio, la soluzione generale: . Qui una delle variabili di base è uguale a un numero costante: . Non c'è niente di esotico in questo, succede. Ovviamente, in questo caso, qualsiasi soluzione particolare conterrà un cinque in prima posizione.

Raramente, ma ci sono sistemi in cui il numero di equazioni è maggiore del numero di variabili. Tuttavia, il metodo di Gauss funziona nelle condizioni più gravi. Dovresti portare con calma la matrice estesa del sistema in una forma a gradini secondo l'algoritmo standard. Un tale sistema può essere incoerente, può avere infinite soluzioni e, stranamente, può avere una soluzione unica.

Ripetiamo nel nostro consiglio: per sentirti a tuo agio quando risolvi un sistema usando il metodo Gauss, dovresti riempirti la mano e risolvere almeno una dozzina di sistemi.

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:

Decisione:Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini.

Trasformazioni elementari eseguite:

(1) La prima e la terza riga sono state scambiate.

(2) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per (-6). La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per (-7).

(3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per (-1).

Come risultato di trasformazioni elementari, una stringa della forma, dove λ ≠ 0 .Quindi il sistema è incoerente.Risposta: non ci sono soluzioni.

Esempio 4:

Decisione:Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

Conversioni eseguite:

(uno). Alla seconda è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 2. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 3.

Non c'è unità per il secondo passaggio , e la trasformazione (2) è finalizzata ad ottenerlo.

(2). La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -3.

(3). La seconda e la terza riga sono state scambiate (il -1 risultante è stato spostato al secondo passaggio)

(4). La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per 3.

(5). Il segno delle prime due righe è stato modificato (moltiplicato per -1), la terza riga è stata divisa per 14.

Mossa inversa:

(uno). Qui sono le variabili di base (che sono sui passaggi) e sono variabili libere (che non hanno ottenuto il passaggio).

(2). Esprimiamo le variabili di base in termini di variabili libere:

Dalla terza equazione: .

(3). Considera la seconda equazione:, soluzioni particolari:

Risposta: Decisione comune:

Numeri complessi

In questa sezione introdurremo il concetto numero complesso, tenere conto algebrico, trigonometrico e mostra la forma numero complesso. E impara anche come eseguire operazioni con numeri complessi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice.

Per padroneggiare i numeri complessi, non è necessaria alcuna conoscenza speciale del corso di matematica superiore e il materiale è disponibile anche per uno scolaro. Basta essere in grado di eseguire operazioni algebriche con numeri "ordinari" e ricordare la trigonometria.

Innanzitutto, ricordiamo i Numeri "ordinari". In matematica si chiamano molti numeri reali e sono contrassegnati dalla lettera R, o R (spesso). Tutti i numeri reali si trovano sulla familiare linea dei numeri:

La compagnia dei numeri reali è molto colorata: qui ci sono numeri interi e frazioni e numeri irrazionali. In questo caso, ogni punto dell'asse numerico corrisponde necessariamente a un numero reale.

Sistemi m equazioni lineari con n sconosciuto.
Risoluzione di un sistema di equazioni lineariè un tale insieme di numeri ( x 1 , x 2 , …, x n), sostituendo quale in ciascuna delle equazioni del sistema si ottiene l'uguaglianza corretta.
dove a ij , io = 1, …, m; j = 1, …, n sono i coefficienti del sistema;
b io , io = 1, …, m- membri liberi;
x j , j = 1, …, n- sconosciuto.
Il sistema di cui sopra può essere scritto in forma matriciale: A X = B,

dove ( UN|B) è la matrice principale del sistema;
UN— matrice estesa del sistema;
X— colonna delle incognite;
Bè una colonna di membri gratuiti.
Se la matrice B non è una matrice nulla ∅, allora questo sistema di equazioni lineari è detto disomogeneo.
Se la matrice B= ∅, allora questo sistema di equazioni lineari è detto omogeneo. Un sistema omogeneo ha sempre una soluzione nulla (banale): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Sistema congiunto di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari che ha una soluzione.
Sistema incoerente di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari che non ha soluzione.
Certi sistemi di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari che ha una soluzione unica.
Sistema indefinito di equazioni lineariè un sistema di equazioni lineari che ha un numero infinito di soluzioni.
Sistemi di n equazioni lineari con n incognite
Se il numero di incognite è uguale al numero di equazioni, la matrice è quadrata. Il determinante della matrice è chiamato determinante principale del sistema di equazioni lineari ed è indicato dal simbolo Δ.
Metodo Cramer per i sistemi risolutivi n equazioni lineari con n sconosciuto.
La regola di Cramer.
Se il determinante principale del sistema di equazioni lineari non lo è zero, allora il sistema è coerente e definito, e l'unica soluzione è calcolata dalle formule di Cramer:
dove Δ i sono le determinanti ottenute dal determinante principale del sistema Δ sostituendo io a colonna alla colonna dei membri liberi. .
Sistemi di m equazioni lineari con n incognite
Teorema di Kronecker-Cappelli.

Perché questo sistema di equazioni lineari sia coerente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice del sistema sia uguale al rango della matrice estesa del sistema, rango(Α) = rango(Α|B).
Se un suonato(Α) ≠ suonato(Α|B), quindi il sistema ovviamente non ha soluzioni.
Se rango(Α) = rango(Α|B), allora sono possibili due casi:
1) suonato(Α) = n(al numero di incognite) - la soluzione è unica e può essere ottenuta con le formule di Cramer;
2) rango (Α)< n − ci sono infinite soluzioni.
Metodo Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Componiamo la matrice aumentata ( UN|B) del dato sistema di coefficienti ai lati incogniti e di destra.
Il metodo gaussiano o metodo dell'eliminazione delle incognite consiste nel ridurre la matrice aumentata ( UN|B) con l'aiuto di trasformazioni elementari sulle sue file in una forma diagonale (in una forma triangolare superiore). Tornando al sistema di equazioni, si determinano tutte le incognite.
Le trasformazioni elementari sulle stringhe includono quanto segue:
1) scambiare due righe;
2) moltiplicare una stringa per un numero diverso da 0;
3) aggiungere alla stringa un'altra stringa moltiplicata per un numero arbitrario;
4) scartare una stringa nulla.
Ad una matrice estesa ridotta a forma diagonale corrisponde un sistema lineare equivalente a quello dato, la cui soluzione non crea difficoltà. .
Sistema di equazioni lineari omogenee.
Il sistema omogeneo ha la forma:

corrisponde all'equazione della matrice AX = 0.
1) Un sistema omogeneo è sempre consistente, poiché r(A) = r(A|B), c'è sempre una soluzione zero (0, 0, …, 0).
2) Perché un sistema omogeneo abbia una soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che r = r(A)< n , che equivale a Δ = 0.
3) Se r< n , allora Δ = 0, allora ci sono incognite libere c 1 , c 2 , …, c n-r, il sistema ha soluzioni non banali e ce ne sono infinite.
4) Soluzione generale X A r< n può essere scritto in forma matriciale come segue:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
dove sono le soluzioni X 1 , X 2 , …, X n-r costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni.
5) Il sistema fondamentale delle soluzioni si ottiene dalla soluzione generale del sistema omogeneo:

,
se in sequenza assumiamo che i valori dei parametri siano (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Scomposizione della soluzione generale in termini di sistema fondamentale di soluzioniè una registrazione della soluzione generale come combinazione lineare di soluzioni appartenenti al sistema fondamentale.
Teorema. Affinché un sistema di equazioni lineari omogenee abbia una soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che Δ ≠ 0.
Quindi, se il determinante è Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione.
Se Δ ≠ 0, allora il sistema di equazioni lineari omogenee ha un numero infinito di soluzioni.
Teorema. Perché un sistema omogeneo abbia una soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che RA)< n .
Prova:
1) r non può essere di più n(il rango della matrice non supera il numero di colonne o righe);
2) r< n , perché Se r=n, quindi il determinante principale del sistema Δ ≠ 0 e, secondo le formule di Cramer, esiste un'unica soluzione banale x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, che contraddice la condizione. Si intende, RA)< n .
Conseguenza. Per un sistema omogeneo n equazioni lineari con n incognite ha una soluzione diversa da zero, è necessario e sufficiente che Δ = 0.

Incarico di servizio. Il calcolatore online è progettato per studiare un sistema di equazioni lineari. Di solito nella condizione del problema è necessario trovare soluzione generale e particolare del sistema. Quando si studiano sistemi di equazioni lineari, vengono risolti i seguenti problemi:

se il sistema è collaborativo;
se il sistema è compatibile, allora è definito o indefinito (il criterio di compatibilità del sistema è determinato dal teorema);
se il sistema è definito, allora come trovare la sua unica soluzione (si usa il metodo Cramer, il metodo della matrice inversa o il metodo di Jordan-Gauss);
se il sistema è indefinito, allora come descrivere l'insieme delle sue soluzioni.

Classificazione dei sistemi di equazioni lineari

Un sistema arbitrario di equazioni lineari ha la forma:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
un m 1 x 1 + un m 2 x 2 + ... + un m n x n = b m

Sistemi di equazioni lineari disomogenee (il numero delle variabili è uguale al numero delle equazioni, m = n).
Sistemi arbitrari di equazioni lineari disomogenee (m > n o m< n).

Definizione. Una soluzione di un sistema è qualsiasi insieme di numeri c 1 ,c 2 ,...,c n , la cui sostituzione nel sistema al posto delle corrispondenti incognite trasforma ogni equazione del sistema in un'identità.

Definizione. Due sistemi si dicono equivalenti se la soluzione del primo è la soluzione del secondo e viceversa.

Definizione. Viene chiamato un sistema che ha almeno una soluzione giunto. Un sistema che non ha alcuna soluzione è chiamato incoerente.

Definizione. Viene chiamato un sistema con una soluzione unica certo, e avere più di una soluzione è indefinito.

Algoritmo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Trova i ranghi delle matrici principali ed estese. Se non sono uguali, allora, per il teorema di Kronecker-Capelli, il sistema è incoerente, ed è qui che finisce lo studio.
Sia rango(A) = rango(B) . Selezioniamo il minore di base. In questo caso, tutti i sistemi sconosciuti di equazioni lineari sono divisi in due classi. Le incognite, i cui coefficienti sono compresi nella minore di base, sono dette dipendenti, e le incognite, i cui coefficienti non sono compresi nella minore di base, sono dette libere. Si noti che la scelta delle incognite dipendenti e libere non è sempre unica.
Cancelliamo quelle equazioni del sistema i cui coefficienti non erano inclusi nella minore di base, poiché sono conseguenze del resto (secondo il teorema minore di base).
I termini delle equazioni contenenti incognite libere verranno trasferiti sul lato destro. Di conseguenza, otteniamo un sistema di r equazioni con r incognite, equivalente a quella data, il cui determinante è diverso da zero.
Il sistema risultante viene risolto in uno dei seguenti modi: il metodo Cramer, il metodo della matrice inversa o il metodo di Jordan-Gauss. Si trovano relazioni che esprimono le variabili dipendenti in termini di quelle libere.

Sistema di m equazioni lineari con n incognite chiamato sistema della forma

dove aij e b io (io=1,…,m; b=1,…,n) sono alcuni numeri noti, e x 1 ,…,x n- sconosciuto. Nella notazione dei coefficienti aij primo indice io denota il numero dell'equazione e il secondo jè il numero dell'incognita a cui sta questo coefficiente.

I coefficienti per le incognite saranno scritti sotto forma di una matrice , che chiameremo matrice di sistema.

I numeri a destra delle equazioni b 1 ,…,b m chiamata membri liberi.

Aggregato n numeri c 1 ,…,c n chiamata decisione di questo sistema, se ogni equazione del sistema diventa un'uguaglianza dopo aver sostituito i numeri in essa c 1 ,…,c n invece delle corrispondenti incognite x 1 ,…,x n.

Il nostro compito sarà trovare soluzioni al sistema. In questo caso si possono verificare tre situazioni:

Viene chiamato un sistema di equazioni lineari che ha almeno una soluzione giunto. Altrimenti, cioè se il sistema non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.

Considera i modi per trovare soluzioni al sistema.

METODO MATRICE PER LA RISOLVENZA DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni con tre incognite:

Considera la matrice del sistema e colonne di matrice di membri sconosciuti e liberi

Troviamo il prodotto

quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri di sinistra delle equazioni di questo sistema. Quindi utilizzando la definizione di uguaglianza di matrici questo sistema può essere scritto nel modulo

o più breve UN∙X=B.

Qui matrici UN e B sono noti e la matrice X sconosciuto. Ha bisogno di essere trovata, perché. i suoi elementi sono la soluzione di questo sistema. Questa equazione è chiamata equazione matriciale.

Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, l'inverso della matrice UN: . Nella misura in cui LA -1 LA = E e e∙X=X, quindi otteniamo la soluzione dell'equazione matriciale nella forma X = LA -1 B .

Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. Tuttavia, la notazione matriciale del sistema è possibile anche nel caso in cui il numero di equazioni non sia uguale al numero di incognite, quindi la matrice UN non è quadrato e quindi è impossibile trovare una soluzione al sistema nella forma X = LA -1 B.

Esempi. Risolvere sistemi di equazioni.

REGOLA DI CRAMER

Consideriamo un sistema di 3 equazioni lineari con tre incognite:

Determinante del terzo ordine corrispondente alla matrice del sistema, cioè composto da coefficienti a incognite,

chiamata determinante del sistema.

Componiamo altri tre determinanti come segue: sostituiamo successivamente 1, 2 e 3 colonne nel determinante D con una colonna di membri liberi

Allora possiamo dimostrare il seguente risultato.

Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una e una sola soluzione, e

Prova. Quindi, considera un sistema di 3 equazioni con tre incognite. Moltiplica la prima equazione del sistema per il complemento algebrico A 11 elemento un 11, 2a equazione - attiva A21 e 3a - su A 31:

Aggiungiamo queste equazioni:

Considera ciascuna delle parentesi e il lato destro di questa equazione. Per il teorema sull'espansione del determinante in termini di elementi della 1a colonna

Allo stesso modo, si può dimostrare che e .

Alla fine, è facile vederlo

Quindi, otteniamo l'uguaglianza: .

Quindi, .

Le uguaglianze e sono derivate similmente, da cui segue l'asserzione del teorema.

Pertanto, notiamo che se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione e viceversa. Se il determinante del sistema è uguale a zero, allora il sistema ha un insieme infinito di soluzioni o non ha soluzioni, cioè incompatibile.

Esempi. Risolvi un sistema di equazioni

METODO DI GAUSS

I metodi precedentemente considerati possono essere utilizzati per risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite e il determinante del sistema deve essere diverso da zero. Il metodo gaussiano è più universale ed è adatto a sistemi con un numero qualsiasi di equazioni. Consiste nella successiva eliminazione di incognite dalle equazioni del sistema.

Consideriamo ancora un sistema di tre equazioni con tre incognite:

Lasciamo invariata la prima equazione e dalla 2a e 3a escludiamo i termini contenenti x 1. Per fare ciò, dividiamo la seconda equazione per un 21 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungi con la prima equazione. Allo stesso modo, dividiamo la terza equazione in un 31 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungerlo al primo. Di conseguenza, il sistema originario assumerà la forma:

Ora, dall'ultima equazione, eliminiamo il termine contenente x2. Per fare ciò, dividi la terza equazione per , moltiplica per e aggiungila alla seconda. Avremo quindi un sistema di equazioni:

Quindi dall'ultima equazione è facile da trovare x 3, quindi dalla 2a equazione x2 e infine dal 1° - x 1.

Quando si utilizza il metodo gaussiano, le equazioni possono essere scambiate se necessario.

Spesso invece di scrivere nuovo sistema le equazioni si limitano a scrivere la matrice estesa del sistema:

e poi portalo a una forma triangolare o diagonale usando trasformazioni elementari.

A trasformazioni elementari le matrici includono le seguenti trasformazioni:

permutazione di righe o colonne;
moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;
aggiungendo ad una riga altre righe.

Esempi: Risolvi sistemi di equazioni usando il metodo di Gauss.

Pertanto, il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

I sistemi di equazioni sono ampiamente utilizzati nell'industria economica nella modellazione matematica di vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici (problemi di trasporto) o posizionamento delle attrezzature.

I sistemi di equazioni sono utilizzati non solo nel campo della matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi di trovare la dimensione della popolazione.

Un sistema di equazioni lineari è un termine per due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare una soluzione comune. Una tale sequenza di numeri per cui tutte le equazioni diventano vere uguaglianze o dimostrano che la sequenza non esiste.

Equazione lineare

Le equazioni della forma ax+by=c sono dette lineari. Le designazioni x, y sono le incognite, il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvere l'equazione tracciando il suo grafico apparirà come una linea retta, i cui punti sono tutti la soluzione del polinomio.

Tipi di sistemi di equazioni lineari

I più semplici sono esempi di sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.

Risolvi un sistema di equazioni - significa trovare tali valori (x, y) a cui il sistema si trasforma in una vera uguaglianza o stabilirlo valori adeguati xey non esistono.

Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate puntiformi, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.

Se i sistemi hanno una soluzione comune o non esiste una soluzione, sono chiamati equivalenti.

I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui lato destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno di "uguale" ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema non è omogeneo.

Il numero di variabili può essere molto più di due, quindi dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.

Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero delle equazioni debba necessariamente coincidere con il numero delle incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili, può essercene un numero arbitrariamente grande.

Metodi semplici e complessi per la risoluzione di sistemi di equazioni

Non esiste un modo analitico generale per risolvere tali sistemi, tutti i metodi sono basati su soluzioni numeriche. Il corso di matematica della scuola descrive in dettaglio metodi come la permutazione, l'addizione algebrica, la sostituzione, nonché il metodo grafico e matriciale, la soluzione con il metodo di Gauss.

Il compito principale nell'insegnamento dei metodi di risoluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovarlo algoritmo ottimale soluzioni per ogni esempio. La cosa principale non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'applicazione di un metodo particolare.

Risolvere esempi di sistemi di equazioni lineari della 7a classe del programma scuola media abbastanza semplice e spiegato nei minimi dettagli. In qualsiasi libro di testo di matematica, questa sezione riceve sufficiente attenzione. La soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo di Gauss e Cramer è studiata in modo più dettagliato nei primi corsi degli istituti di istruzione superiore.

Soluzione di sistemi con il metodo della sostituzione

Le azioni del metodo di sostituzione hanno lo scopo di esprimere il valore di una variabile attraverso la seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta a un'unica forma variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema

Diamo un esempio di un sistema di equazioni lineari della 7a classe con il metodo di sostituzione:

Come si può vedere dall'esempio, la variabile x è stata espressa tramite F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha aiutato ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . La soluzione di questo esempio non crea difficoltà e consente di ottenere il valore Y. L'ultimo passaggio consiste nel verificare i valori ottenuti.

Non è sempre possibile risolvere un esempio di un sistema di equazioni lineari per sostituzione. Le equazioni possono essere complesse e l'espressione della variabile in termini di seconda incognita sarà troppo ingombrante per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione di sostituzione è impraticabile.

Soluzione di un esempio di sistema di equazioni lineari disomogenee:

Soluzione mediante addizione algebrica

Quando si cerca una soluzione ai sistemi con il metodo dell'addizione, l'addizione termine per termine e la moltiplicazione delle equazioni per vari numeri. L'obiettivo finale delle operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.

Le applicazioni di questo metodo richiedono pratica e osservazione. Non è facile risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione con numero di variabili 3 o più. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e numeri decimali.

Algoritmo di azione della soluzione:

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per un numero. Di conseguenza operazione aritmetica uno dei coefficienti della variabile deve diventare uguale a 1.
Aggiungi l'espressione risultante termine per termine e trova una delle incognite.
Sostituisci il valore risultante nella seconda equazione del sistema per trovare la variabile rimanente.

Metodo risolutivo introducendo una nuova variabile

Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema deve trovare una soluzione per non più di due equazioni, anche il numero di incognite non deve essere superiore a due.

Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta rispetto all'incognita inserita e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.

L'esempio mostra che introducendo una nuova variabile t è stato possibile ridurre la 1a equazione del sistema allo standard trinomio quadrato. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.

È necessario trovare il valore del discriminante tramite formula ben nota: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i moltiplicatori del polinomio. Nell'esempio dato, a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una sola soluzione: x= -b / 2*a.

La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.

Un metodo visivo per risolvere i sistemi

Adatto per sistemi con 3 equazioni. Il metodo consiste nel tracciare i grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema sull'asse delle coordinate. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve saranno la soluzione generale del sistema.

Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Considera diversi esempi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari in modo visivo.

Come si può vedere dall'esempio, sono stati costruiti due punti per ogni linea, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. Sulla base dei valori di x, sono stati trovati i valori per y: 3 e 0. I punti con le coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.

I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.

Nell'esempio seguente è necessario trovare una soluzione grafica al sistema di equazioni lineari: 0.5x-y+2=0 e 0.5x-y-1=0.

Come si può vedere dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafici sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.

I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se il sistema ha una soluzione o meno, è sempre necessario costruire un grafico.

Matrix e le sue varietà

Le matrici vengono utilizzate per scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n - righe e m - colonne.

Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e righe è uguale. Una matrice-vettore è una matrice a colonna singola con un numero infinito di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri zero elementi è chiamata identità.

Una matrice inversa è una tale matrice, quando moltiplicata per la quale quella originale si trasforma in una unità, tale matrice esiste solo per quella quadrata originale.

Regole per trasformare un sistema di equazioni in una matrice

Per quanto riguarda i sistemi di equazioni, i coefficienti ei membri liberi delle equazioni sono scritti come numeri della matrice, un'equazione è una riga della matrice.

Una riga di matrice è chiamata diversa da zero se almeno un elemento della riga non è uguale a zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili differisce, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.

Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'incognita y - solo nella seconda.

Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono moltiplicati in sequenza per un numero.

Opzioni per trovare la matrice inversa

La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 è la matrice inversa e |K| - determinante di matrice. |K| non deve essere uguale a zero, allora il sistema ha una soluzione.

Il determinante è facilmente calcolabile per una matrice due per due, è solo necessario moltiplicare gli elementi diagonalmente l'uno per l'altro. Per l'opzione "tre per tre", esiste una formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + un 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e ogni colonna in modo che i numeri di colonna e riga degli elementi non si ripetano nel prodotto.

Soluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari con il metodo matriciale

Il metodo matriciale per trovare una soluzione consente di ridurre le notazioni ingombranti quando si risolvono i sistemi con grande quantità variabili ed equazioni.

Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono le variabili e b n sono i termini liberi.

Soluzione di sistemi con il metodo di Gauss

Nella matematica superiore, il metodo di Gauss viene studiato insieme al metodo Cramer e il processo per trovare una soluzione ai sistemi è chiamato metodo di risoluzione Gauss-Cramer. Questi metodi vengono utilizzati per trovare le variabili di sistemi con un gran numero di equazioni lineari.

Il metodo gaussiano è molto simile alle soluzioni di sostituzione e addizione algebrica, ma è più sistematico. Nel corso della scuola, la soluzione gaussiana viene utilizzata per i sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è portare il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Mediante trasformazioni e sostituzioni algebriche, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite e 3 e 4 - rispettivamente con 3 e 4 variabili.

Portato il sistema nella forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.

Nei libri di testo scolastici per il grado 7, un esempio di soluzione gaussiana è descritto come segue:

Come si può vedere dall'esempio, al punto (3) sono state ottenute due equazioni 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. La soluzione di una qualsiasi delle equazioni ti permetterà di scoprire una delle variabili x n.

Il teorema 5, menzionato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita da una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originale.

Il metodo Gauss è difficile da comprendere per gli studenti Scuola superiore, ma è uno dei più modi interessanti sviluppare l'ingegno dei bambini iscritti ad un corso di approfondimento in matematica e fisica.

Per facilitare la registrazione dei calcoli, è consuetudine effettuare le seguenti operazioni:

I coefficienti di equazione e i termini liberi sono scritti sotto forma di una matrice, in cui ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione dal lato destro. I numeri romani indicano i numeri delle equazioni nel sistema.

Per prima cosa annotano la matrice con cui lavorare, quindi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e continua a eseguire le operazioni algebriche necessarie fino al raggiungimento del risultato.

Di conseguenza, si dovrebbe ottenere una matrice in cui una delle diagonali è 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice viene ridotta a un'unica forma. Non dobbiamo dimenticare di fare calcoli con i numeri di entrambi i lati dell'equazione.

Questa notazione è meno ingombrante e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.

L'applicazione gratuita di qualsiasi metodo di soluzione richiederà cura e una certa esperienza. Non tutti i metodi vengono applicati. Alcuni modi per trovare soluzioni sono più preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono ai fini dell'apprendimento.