La formula della forza di corrente massima nel circuito oscillatorio. Circuito oscillatorio

Un campo elettromagnetico può esistere anche in assenza di cariche elettriche o di correnti: sono proprio tali campi elettrici e magnetici “autosufficienti” che rappresentano onde elettromagnetiche che includono luce visibile, infrarossi, ultravioletti e radiazioni a raggi X, onde radio, ecc.

§ 25. Circuito oscillatorio

Il sistema più semplice in cui sono possibili le oscillazioni elettromagnetiche naturali è il cosiddetto circuito oscillatorio, costituito da un condensatore e un induttore collegati tra loro (Fig. 157). Come un oscillatore meccanico, come un corpo massiccio su una molla elastica, le oscillazioni naturali nel circuito sono accompagnate da trasformazioni di energia.

Riso. 157. Circuito oscillatorio

Analogia tra oscillazioni meccaniche ed elettromagnetiche. Per un circuito oscillatorio, l'analogo dell'energia potenziale di un oscillatore meccanico (ad esempio, l'energia elastica di una molla deformata) è l'energia del campo elettrico in un condensatore. Un analogo dell'energia cinetica di un corpo in movimento è l'energia campo magnetico nell'induttore. Infatti l'energia della molla è proporzionale al quadrato dello spostamento dalla posizione di equilibrio e l'energia del condensatore è proporzionale al quadrato della carica L'energia cinetica del corpo è proporzionale al quadrato della sua velocità, e l'energia del campo magnetico nella bobina è proporzionale al quadrato della corrente.

L'energia meccanica totale dell'oscillatore a molla E è uguale alla somma delle energie potenziale e cinetica:

Energia di vibrazione. Allo stesso modo, l'energia elettromagnetica totale di un circuito oscillatorio è uguale alla somma delle energie del campo elettrico nel condensatore e del campo magnetico nella bobina:

Da un confronto delle formule (1) e (2) ne consegue che l'analogo della rigidità k dell'oscillatore a molla nel circuito oscillatorio è il valore reciproco della capacità C e l'analogo della massa è l'induttanza della bobina

Ricordiamo che in un sistema meccanico, la cui energia è data dall'espressione (1), possono verificarsi oscillazioni armoniche proprie non smorzate. Il quadrato della frequenza di tali oscillazioni è uguale al rapporto tra i coefficienti ai quadrati di spostamento e velocità nell'espressione dell'energia:

propria frequenza. In un circuito oscillatorio, la cui energia elettromagnetica è data dall'espressione (2), possono verificarsi proprie oscillazioni armoniche non smorzate, il cui quadrato della frequenza è anche, ovviamente, uguale al rapporto dei coefficienti corrispondenti (cioè i coefficienti ai quadrati di carica e intensità di corrente):

Da (4) segue l'espressione per il periodo di oscillazione, chiamata formula di Thomson:

Con le oscillazioni meccaniche, la dipendenza dello spostamento x dal tempo è determinata da una funzione coseno, il cui argomento è chiamato fase di oscillazione:

Ampiezza e fase iniziale. L'ampiezza A e la fase iniziale a sono determinate dalle condizioni iniziali, ovvero i valori dello spostamento e della velocità a

Allo stesso modo, con oscillazioni elettromagnetiche naturali nel circuito, la carica del condensatore dipende dal tempo secondo la legge

dove la frequenza è determinata, secondo (4), solo dalle proprietà del circuito stesso, e l'ampiezza delle oscillazioni di carica e la fase iniziale a, come nel caso di un oscillatore meccanico, sono determinate

condizioni iniziali, ovvero i valori della carica del condensatore e la forza della corrente a Pertanto, la frequenza naturale non dipende dal metodo di eccitazione delle oscillazioni, mentre l'ampiezza e la fase iniziale sono determinate proprio dalle condizioni di eccitazione .

Trasformazioni energetiche. Consideriamo più in dettaglio le trasformazioni di energia durante le oscillazioni meccaniche ed elettromagnetiche. Sulla fig. 158 mostra schematicamente gli stati degli oscillatori meccanici ed elettromagnetici ad intervalli di tempo di un quarto di periodo

Riso. 158. Trasformazioni energetiche durante vibrazioni meccaniche ed elettromagnetiche

Due volte durante il periodo di oscillazione, l'energia viene convertita da una forma all'altra e viceversa. L'energia totale del circuito oscillatorio, come l'energia totale dell'oscillatore meccanico, rimane invariata in assenza di dissipazione. Per verificare ciò, è necessario sostituire l'espressione (6) e l'espressione per la forza attuale nella formula (2)

Usando la formula (4) per otteniamo

Riso. 159. Grafici dell'energia del campo elettrico del condensatore e dell'energia del campo magnetico nella bobina in funzione del tempo di carica del condensatore

L'energia totale costante coincide con l'energia potenziale nei momenti in cui la carica del condensatore è massima, e coincide con l'energia del campo magnetico della bobina - energia "cinetica" - nei momenti in cui la carica del condensatore svanisce e la corrente è al massimo. Durante trasformazioni reciproche, due tipi di energia compiono oscillazioni armoniche con la stessa ampiezza in antifase tra loro e con una frequenza relativa al loro valore medio. Questo è facile da verificare come da Fig. 158, e con l'ausilio di formule funzioni trigonometriche mezzo argomento:

I grafici della dipendenza dell'energia del campo elettrico e dell'energia del campo magnetico dal tempo di carica del condensatore sono mostrati in fig. 159 per la fase iniziale

Le regolarità quantitative delle oscillazioni elettromagnetiche naturali possono essere stabilite direttamente sulla base delle leggi per correnti quasi stazionarie, senza ricorrere all'analogia con le oscillazioni meccaniche.

L'equazione per le oscillazioni nel circuito. Si consideri il circuito oscillatorio più semplice mostrato in Fig. 157. Quando si bypassa il circuito, ad esempio in senso antiorario, la somma delle tensioni sull'induttore e sul condensatore in un circuito in serie così chiuso è zero:

La tensione sul condensatore è correlata alla carica della piastra e alla capacità Con la relazione La tensione sull'induttanza in ogni momento è uguale in valore assoluto e di segno opposto Autoinduzione EMF, quindi la corrente nel circuito è uguale alla velocità di variazione della carica del condensatore:

Otteniamo Ora l'espressione (10) assume la forma

Riscriviamo questa equazione in modo diverso, introducendo per definizione:

L'equazione (12) coincide con l'equazione vibrazioni armoniche oscillatore meccanico a frequenza naturale La soluzione di tale equazione è data dalla funzione armonica (sinusoidale) del tempo (6) con valori arbitrari dell'ampiezza e della fase iniziale a. Da ciò derivano tutti i risultati di cui sopra riguardanti le oscillazioni elettromagnetiche nel circuito.

Attenuazione delle oscillazioni elettromagnetiche. Finora abbiamo discusso delle autooscillazioni in un sistema meccanico idealizzato e in un circuito LC idealizzato. L'idealizzazione consisteva nel trascurare l'attrito nell'oscillatore e la resistenza elettrica nel circuito. Solo in questo caso il sistema sarà conservativo e l'energia delle oscillazioni sarà conservata.

Riso. 160. Circuito oscillatorio con resistenza

La contabilizzazione della dissipazione dell'energia delle oscillazioni nel circuito può essere eseguita allo stesso modo di un oscillatore meccanico con attrito. La presenza di resistenze elettriche della bobina e dei fili di collegamento è inevitabilmente associata al rilascio di calore Joule. Come prima, questa resistenza può essere vista come elemento indipendente in schema elettrico circuito oscillatorio, considerando la bobina e i fili ideali (Fig. 160). Quando si considera una corrente quasi stazionaria in un tale circuito, nell'equazione (10) è necessario sommare la tensione ai capi della resistenza

Sostituendo in otteniamo

Introduzione alla notazione

riscriviamo l'equazione (14) nella forma

L'equazione (16) for ha esattamente la stessa forma dell'equazione for for vibrazioni di un oscillatore meccanico con

attrito proporzionale alla velocità (attrito viscoso). Pertanto, in presenza di resistenza elettrica nel circuito, si verificano oscillazioni elettromagnetiche secondo la stessa legge delle oscillazioni meccaniche di un oscillatore ad attrito viscoso.

Dissipazione dell'energia vibratoria. Come per le vibrazioni meccaniche, è possibile stabilire la legge di diminuzione dell'energia delle vibrazioni naturali nel tempo, applicando la legge di Joule-Lenz per calcolare il calore rilasciato:

Di conseguenza, in caso di basso smorzamento per intervalli di tempo molto più lunghi del periodo di oscillazione, la velocità di diminuzione dell'energia di oscillazione risulta essere proporzionale all'energia stessa:

La soluzione dell'equazione (18) ha la forma

L'energia delle oscillazioni elettromagnetiche naturali in un circuito con resistenza diminuisce esponenzialmente.

L'energia delle oscillazioni è proporzionale al quadrato della loro ampiezza. Per le oscillazioni elettromagnetiche, ciò segue, ad esempio, da (8). Pertanto, l'ampiezza delle oscillazioni smorzate, secondo la (19), diminuisce secondo la legge

Durata delle oscillazioni. Come si può vedere dalla (20), l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce di un fattore 1 in un tempo pari a, indipendentemente dal valore iniziale dell'ampiezza.Questa volta x è chiamata durata delle oscillazioni, anche se, come si può vedere come si vede dalla (20), le oscillazioni continuano formalmente indefinitamente. In realtà, ovviamente, ha senso parlare di oscillazioni solo fintanto che la loro ampiezza supera il valore caratteristico del livello di rumore termico in un dato circuito. Pertanto, infatti, le oscillazioni nel circuito "vivono" per un tempo finito, che però può essere parecchie volte maggiore della vita x introdotta sopra.

Spesso è importante conoscere non la durata delle oscillazioni x stessa, ma il numero di oscillazioni complete che si verificheranno nel circuito durante questo tempo x. Questo numero moltiplicato per è chiamato fattore di qualità del circuito.

A rigor di termini, le oscillazioni smorzate non sono periodiche. Con una piccola attenuazione si può parlare condizionatamente di un periodo, inteso come intervallo di tempo tra due

valori massimi successivi della carica del condensatore (della stessa polarità), o valori massimi della corrente (di una direzione).

Lo smorzamento delle oscillazioni influisce sul periodo, portando al suo aumento rispetto al caso idealizzato di non smorzamento. Con un basso smorzamento, l'aumento del periodo di oscillazione è molto insignificante. Tuttavia, con un forte smorzamento, potrebbero non esserci oscillazioni: un condensatore carico si scaricherà in modo aperiodico, cioè senza cambiare la direzione della corrente nel circuito. Così sarà con cioè con

Soluzione esatta. Gli schemi delle oscillazioni smorzate formulati sopra derivano dalla soluzione esatta dell'equazione differenziale (16). Per sostituzione diretta, si può verificare che abbia la forma

dove sono costanti arbitrarie i cui valori sono determinati dalle condizioni iniziali. Per un basso smorzamento, il moltiplicatore del coseno può essere visto come un'ampiezza di oscillazione che varia lentamente.

Un compito

Ricarica dei condensatori tramite un induttore. Nel circuito, il cui schema è mostrato in Fig. 161, la carica del condensatore superiore è uguale e quella inferiore non è carica. Al momento la chiave è chiusa. Trova la dipendenza dal tempo tra la carica del condensatore superiore e la corrente nella bobina.

Riso. 161. All'istante iniziale viene caricato un solo condensatore

Riso. 162. Cariche dei condensatori e corrente nel circuito dopo la chiusura della chiave

Riso. 163. Analogia meccanica per il circuito elettrico di fig. 162

Soluzione. Dopo aver chiuso la chiave, si verificano delle oscillazioni nel circuito: il condensatore superiore inizia a scaricarsi attraverso la bobina, mentre carica quello inferiore; poi tutto accade nella direzione opposta. Sia, ad esempio, in , la piastra superiore del condensatore sia caricata positivamente. Quindi

dopo un breve periodo di tempo, i segni delle cariche delle piastre dei condensatori e la direzione della corrente saranno come mostrato in Fig. 162. Denotiamo con le cariche di quelle piastre dei condensatori superiore e inferiore, che sono interconnesse tramite un induttore. Basato sulla legge di conservazione carica elettrica

La somma delle sollecitazioni su tutti gli elementi di un circuito chiuso in ogni momento è uguale a zero:

Il segno della tensione sul condensatore corrisponde alla distribuzione delle cariche in fig. 162. e la direzione della corrente indicata. L'espressione per la corrente attraverso la bobina può essere scritta in una delle due forme seguenti:

Escludiamo dall'equazione usando le relazioni (22) e (24):

Introduzione alla notazione

riscriviamo la (25) nella forma seguente:

Se invece di introdurre la funzione

e tenere conto che (27) assume la forma

Questa è la solita equazione delle oscillazioni armoniche non smorzate, che ha una soluzione

dove e sono costanti arbitrarie.

Ritornando dalla funzione, otteniamo la seguente espressione per la dipendenza dal tempo di carica del condensatore superiore:

Per determinare le costanti e a, teniamo conto che al momento iniziale la carica a corrente Per l'intensità della corrente da (24) e (31) abbiamo

Poiché da qui ne consegue che Sostituendo ora e tenendo conto che otteniamo

Quindi, le espressioni per carica e forza attuale lo sono

La natura della carica e delle oscillazioni di corrente è particolarmente evidente quando gli stessi valori capacità del condensatore. In questo caso

La carica del condensatore superiore oscilla con un'ampiezza di circa un valore medio pari alla metà del periodo di oscillazione, decresce dal valore massimo del momento iniziale a zero, quando l'intera carica è sul condensatore inferiore.

L'espressione (26) per la frequenza di oscillazione, ovviamente, potrebbe essere scritta immediatamente, poiché nel circuito in esame i condensatori sono collegati in serie. Tuttavia, è difficile scrivere direttamente le espressioni (34), poiché in tali condizioni iniziali è impossibile sostituire i condensatori inclusi nel circuito con uno equivalente.

Una rappresentazione visiva dei processi che si svolgono qui è data dall'analogo meccanico di questo circuito elettrico, mostrato in Fig. 163. Molle identiche corrispondono al caso di condensatori di pari capacità. Al momento iniziale, la molla sinistra è compressa, che corrisponde a un condensatore carico, e quella destra è in uno stato indeformato, poiché il grado di deformazione della molla funge da analogo della carica del condensatore. Quando si passa per la posizione centrale, entrambe le molle sono parzialmente compresse e nella posizione estrema destra, la molla sinistra non si deforma e quella destra viene compressa allo stesso modo di quella sinistra nel momento iniziale, che corrisponde al flusso completo di carica da un condensatore all'altro. Sebbene la palla esegua le consuete oscillazioni armoniche attorno alla posizione di equilibrio, la deformazione di ciascuna delle molle è descritta da una funzione il cui valore medio è diverso da zero.

A differenza di un circuito oscillatorio con un solo condensatore, dove durante le oscillazioni avviene la sua ricarica completa ripetitiva, nel sistema considerato il condensatore inizialmente caricato non viene completamente ricaricato. Ad esempio, quando la sua carica diminuisce a zero, e quindi viene ripristinata di nuovo nella stessa polarità. In caso contrario, queste oscillazioni non differiscono dalle oscillazioni armoniche in un circuito convenzionale. L'energia di queste oscillazioni viene conservata se, ovviamente, si può trascurare la resistenza della bobina e dei fili di collegamento.

Spiegare perché, da un confronto delle formule (1) e (2) per le energie meccaniche ed elettromagnetiche, si è concluso che l'analogo della rigidità k è e l'analogo della massa è l'induttanza e non viceversa.

Fornire giustificazione per la derivazione dell'espressione (4) per la frequenza naturale delle oscillazioni elettromagnetiche nel circuito dall'analogia con un oscillatore meccanico a molla.

Le oscillazioni armoniche nel circuito sono caratterizzate da ampiezza, frequenza, periodo, fase di oscillazione, fase iniziale. Quali di queste grandezze sono determinate dalle proprietà del circuito oscillatorio stesso, e quali dipendono dal metodo di eccitazione delle oscillazioni?

Dimostra che i valori medi delle energie elettriche e magnetiche durante le oscillazioni naturali nel circuito sono uguali tra loro e costituiscono la metà dell'energia elettromagnetica totale delle oscillazioni.

Come applicare le leggi dei fenomeni quasi stazionari in un circuito elettrico per derivare un'equazione differenziale (12) per oscillazioni armoniche in un circuito?

Quale equazione differenziale soddisfa la corrente in un circuito LC?

Ricavare un'equazione per la velocità di diminuzione dell'energia delle vibrazioni a basso smorzamento nello stesso modo in cui è stata eseguita per un oscillatore meccanico con attrito proporzionale alla velocità e mostrare che per intervalli di tempo notevolmente superiori al periodo di oscillazione, si verifica questa diminuzione secondo una legge esponenziale. Qual è il significato del termine "piccola attenuazione" qui utilizzato?

Mostra che la funzione data dalla formula (21) soddisfa l'equazione (16) per qualsiasi valore di e a.

Si consideri il sistema meccanico mostrato in Fig. 163, e trova la dipendenza dal tempo di deformazione della molla sinistra e dalla velocità del corpo massiccio.

Loop senza resistenza con inevitabili perdite. Nel problema sopra considerato, nonostante le condizioni iniziali non del tutto usuali per le cariche sui condensatori, è stato possibile applicare le consuete equazioni per i circuiti elettrici, poiché ivi erano soddisfatte le condizioni di quasi stazionarietà dei processi in corso. Ma nel circuito, il cui schema è mostrato in Fig. 164, con formale somiglianza esterna allo schema di fig. 162, le condizioni di quasi stazionarietà non sono soddisfatte se nel momento iniziale un condensatore è carico e il secondo no.

Discutiamo più in dettaglio i motivi per cui le condizioni di quasi-stazionarietà vengono qui violate. Subito dopo la chiusura

Riso. 164. Circuito elettrico per il quale non sono soddisfatte le condizioni di quasi stazionarietà

La chiave è che tutti i processi vengono eseguiti solo in condensatori interconnessi, poiché l'aumento della corrente attraverso l'induttore è relativamente lento e all'inizio la ramificazione della corrente nella bobina può essere trascurata.

Quando la chiave è chiusa, si verificano rapide oscillazioni smorzate in un circuito costituito da condensatori e fili che li collegano. Il periodo di tali oscillazioni è molto piccolo, poiché l'induttanza dei fili di collegamento è piccola. Come risultato di queste oscillazioni, la carica sulle piastre dei condensatori viene ridistribuita, dopodiché i due condensatori possono essere considerati come uno. Ma al primo momento questo non può essere fatto, perché insieme alla ridistribuzione delle cariche c'è anche una ridistribuzione dell'energia, parte della quale va in calore.

Dopo lo smorzamento delle oscillazioni veloci, si verificano oscillazioni nel sistema, come in un circuito con un condensatore di capacità, la cui carica al momento iniziale è uguale alla carica iniziale del condensatore.La condizione per la validità del ragionamento sopra è la piccolezza dell'induttanza dei fili di collegamento rispetto all'induttanza della bobina.

Come nel problema considerato, anche qui è utile trovare un'analogia meccanica. Se lì le due molle corrispondenti ai condensatori si trovavano ai lati di un corpo massiccio, qui devono trovarsi su un lato di esso, in modo che le vibrazioni di una di esse possano essere trasmesse all'altra mentre il corpo è fermo. Invece di due molle, puoi prenderne una, ma solo nel momento iniziale dovrebbe essere deformata in modo disomogeneo.

Afferriamo la molla per il centro e allunghiamo la sua metà sinistra per una certa distanza.La seconda metà della molla rimarrà in uno stato indeformato, in modo che il carico nel momento iniziale sia spostato dalla posizione di equilibrio a destra di una distanza e riposa. Quindi rilasciamo la primavera. Quali caratteristiche risulteranno dal fatto che al momento iniziale la molla si deforma in modo disomogeneo? poiché, come è facile vedere, la rigidità della "metà" della molla è Se la massa della molla è piccola rispetto alla massa della sfera, la frequenza naturale della molla come sistema esteso è molto maggiore di la frequenza della palla sulla molla. Queste oscillazioni "veloci" si estingueranno in un tempo che è una piccola frazione del periodo delle oscillazioni della palla. Dopo lo smorzamento delle oscillazioni rapide, la tensione nella molla viene ridistribuita e lo spostamento del carico rimane praticamente lo stesso, poiché durante questo periodo il carico non ha il tempo di muoversi notevolmente. La deformazione della molla diventa uniforme e l'energia del sistema è uguale a

Pertanto, il ruolo delle oscillazioni rapide della molla è stato ridotto al fatto che la riserva di energia del sistema è diminuita al valore che corrisponde alla deformazione iniziale uniforme della molla. È chiaro che ulteriori processi nel sistema non differiscono dal caso di una deformazione iniziale omogenea. La dipendenza dello spostamento del carico dal tempo è espressa dalla stessa formula (36).

Nell'esempio considerato, a seguito di rapide fluttuazioni, si è trasformato in Energia interna(in calore) metà della fornitura iniziale di energia meccanica. È chiaro che sottoponendo la deformazione iniziale non alla metà, ma ad una parte arbitraria della molla, è possibile convertire qualsiasi frazione della fornitura iniziale di energia meccanica in energia interna. Ma in tutti i casi, l'energia delle vibrazioni del carico sulla molla corrisponde alla riserva di energia per la stessa deformazione iniziale uniforme della molla.

In un circuito elettrico, a seguito di oscillazioni veloci smorzate, l'energia di un condensatore carico viene parzialmente rilasciata sotto forma di calore Joule nei fili di collegamento. A parità di capacità, questa sarà la metà della riserva di energia iniziale. L'altra metà rimane sotto forma di energia di oscillazioni elettromagnetiche relativamente lente in un circuito costituito da una bobina e due condensatori C collegati in parallelo, e

Quindi, in questo sistema, l'idealizzazione è fondamentalmente inaccettabile, in cui viene trascurata la dissipazione dell'energia di oscillazione. La ragione di ciò è che qui sono possibili oscillazioni rapide, senza influenzare gli induttori o il corpo massiccio in un sistema meccanico simile.

Circuito oscillatorio ad elementi non lineari. Studiando le vibrazioni meccaniche, abbiamo visto che le vibrazioni non sono affatto sempre armoniche. Le vibrazioni armoniche sono proprietà caratteristica sistemi lineari, in quale

la forza di ripristino è proporzionale alla deviazione dalla posizione di equilibrio e l'energia potenziale è proporzionale al quadrato della deviazione. I sistemi meccanici reali, di regola, non possiedono queste proprietà e le oscillazioni in essi possono essere considerate armoniche solo per piccole deviazioni dalla posizione di equilibrio.

Nel caso di oscillazioni elettromagnetiche in un circuito, si può avere l'impressione che si tratti di sistemi ideali in cui le oscillazioni sono strettamente armoniche. Tuttavia, questo è vero solo finché la capacità del condensatore e l'induttanza della bobina possono essere considerate costanti, cioè indipendenti dalla carica e dalla corrente. Un condensatore con un dielettrico e una bobina con un nucleo sono, in senso stretto, elementi non lineari. Quando il condensatore è riempito con un ferroelettrico, cioè una sostanza la cui costante dielettrica dipende fortemente dal campo elettrico applicato, la capacità del condensatore non può più essere considerata costante. Allo stesso modo, l'induttanza di una bobina con nucleo ferromagnetico dipende dall'intensità della corrente, poiché un ferromagnete ha la proprietà di saturazione magnetica.

Se nei sistemi oscillatori meccanici la massa, di regola, può essere considerata costante e la non linearità nasce solo per la natura non lineare della forza agente, allora in un circuito oscillatorio elettromagnetico la non linearità può verificarsi sia per un condensatore (analogo ad un elastico molla) e a causa di un induttore ( analogo di massa).

Perché l'idealizzazione è inapplicabile per un circuito oscillatorio con due condensatori paralleli (Fig. 164), in cui il sistema è considerato conservativo?

Perché le oscillazioni veloci portano alla dissipazione dell'energia di oscillazione nel circuito di Fig. 164 non si è verificato nel circuito con due condensatori in serie mostrato in fig. 162?

Quali ragioni possono portare alla non sinusoidalità delle oscillazioni elettromagnetiche nel circuito?

Un circuito oscillatorio elettrico è un sistema per l'eccitazione e il mantenimento delle oscillazioni elettromagnetiche. Nella sua forma più semplice, questo è un circuito costituito da una bobina con un'induttanza L, un condensatore con una capacità C e un resistore con una resistenza R collegati in serie (Fig. 129). Quando l'interruttore P è impostato in posizione 1, il condensatore C viene caricato a una tensione u t. In questo caso, si forma tra le piastre del condensatore campo elettrico, la cui energia massima è uguale a

Quando l'interruttore viene spostato in posizione 2, il circuito si chiude e in esso avvengono i seguenti processi. Il condensatore inizia a scaricarsi e la corrente scorre attraverso il circuito io, il cui valore aumenta da zero al valore massimo e poi torna a zero. Poiché nel circuito scorre una corrente alternata, nella bobina viene indotto un EMF, che impedisce la scarica del condensatore. Pertanto, il processo di scarica del condensatore non avviene istantaneamente, ma gradualmente. Come risultato dell'apparizione della corrente nella bobina, sorge un campo magnetico, la cui energia è
raggiunge il suo valore massimo ad una corrente pari a . L'energia massima del campo magnetico sarà uguale a

Dopo aver raggiunto il valore massimo, la corrente nel circuito inizierà a diminuire. In questo caso, il condensatore verrà ricaricato, l'energia del campo magnetico nella bobina diminuirà e l'energia del campo elettrico nel condensatore aumenterà. Al raggiungimento del valore massimo. Il processo inizierà a ripetersi e nel circuito si verificheranno oscillazioni di campi elettrici e magnetici. Se assumiamo che la resistenza
(cioè nessuna energia viene spesa per il riscaldamento), quindi secondo la legge di conservazione dell'energia, l'energia totale w rimane costante

e
;
.

Un circuito in cui non vi è alcuna perdita di energia è chiamato ideale. La tensione e la corrente nel circuito cambiano secondo la legge armonica

;

dove - frequenza di oscillazione circolare (ciclica).
.

La frequenza circolare è correlata alla frequenza di oscillazione e periodi di fluttuazione T ratio.

H e fig. 130 mostra i grafici della tensione U e della corrente I nella bobina di un circuito oscillatorio ideale. Si può vedere che l'intensità della corrente è in fase con la tensione di .

;
;
- La formula di Thomson.

Nel caso in cui la resistenza
, la formula di Thomson assume la forma

Fondamenti della teoria di Maxwell

La teoria di Maxwell è la teoria di un singolo campo elettromagnetico creato da un sistema arbitrario di cariche e correnti. In teoria, il problema principale dell'elettrodinamica è risolto: secondo una data distribuzione di cariche e correnti, si trovano le caratteristiche dei campi elettrici e magnetici da esse creati. La teoria di Maxwell è una generalizzazione delle leggi più importanti che descrivono i fenomeni elettrici ed elettromagnetici: il teorema di Ostrogradsky-Gauss per i campi elettrici e magnetici, la legge della corrente totale, la legge induzione elettromagnetica e teoremi sulla circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrico. La teoria di Maxwell è di natura fenomenologica, cioè non considera il meccanismo interno dei fenomeni che si verificano nell'ambiente e causando l'apparenza campi elettrici e magnetici. Nella teoria di Maxwell, il mezzo è descritto utilizzando tre caratteristiche: la permeabilità dielettrica ε e magnetica μ del mezzo e la conduttività elettrica γ.

Le oscillazioni elettriche sono intese come variazioni periodiche di carica, corrente e tensione. Il sistema più semplice in cui sono possibili oscillazioni elettriche libere è il cosiddetto circuito oscillatorio. Questo è un dispositivo costituito da un condensatore e una bobina collegati tra loro. Assumeremo che non ci sia resistenza attiva della bobina, in questo caso il circuito è chiamato ideale. Quando l'energia viene comunicata a questo sistema, in esso si verificheranno oscillazioni armoniche non smorzate della carica sul condensatore, della tensione e della corrente.

È possibile informare il circuito oscillatorio di energia diversi modi. Ad esempio, caricando un condensatore da una fonte corrente continua o corrente di eccitazione nell'induttore. Nel primo caso, il campo elettrico tra le piastre del condensatore possiede energia. Nel secondo, l'energia è contenuta nel campo magnetico della corrente che scorre nel circuito.

§1 L'equazione delle oscillazioni nel circuito

Dimostriamo che quando l'energia viene impartita al circuito, in esso si verificano oscillazioni armoniche non smorzate. Per fare ciò, è necessario ottenere un'equazione differenziale delle oscillazioni armoniche della forma .

Supponiamo che il condensatore sia carico e chiuso alla bobina. Il condensatore inizierà a scaricarsi, la corrente scorrerà attraverso la bobina. Secondo la seconda legge di Kirchhoff, la somma delle cadute di tensione lungo un circuito chiuso è uguale alla somma dell'EMF in questo circuito .

Nel nostro caso, la caduta di tensione è dovuta al fatto che il circuito è ideale. Il condensatore nel circuito si comporta come una sorgente di corrente, la differenza di potenziale tra le piastre del condensatore agisce come un EMF, dove è la carica sul condensatore, è la capacità del condensatore. Inoltre, quando una corrente variabile scorre attraverso la bobina, si genera un EMF di autoinduzione, dove si trova l'induttanza della bobina, è la velocità di variazione della corrente nella bobina. Poiché l'EMF di autoinduzione impedisce il processo di scarica del condensatore, la seconda legge di Kirchhoff assume la forma

Ma la corrente nel circuito è la corrente di scarica o carica del condensatore, quindi. Quindi

L'equazione differenziale viene trasformata nella forma

Introducendo la notazione si ottiene la nota equazione differenziale delle oscillazioni armoniche.

Ciò significa che la carica sul condensatore nel circuito oscillatorio cambierà secondo la legge armonica

dove è il valore massimo della carica sul condensatore, è la frequenza ciclica, è la fase iniziale delle oscillazioni.

Periodo di oscillazione della carica . Questa espressione è chiamata formula di Thompson.

Tensione del condensatore

Corrente del circuito

Vediamo che oltre alla carica sul condensatore, secondo la legge armonica, cambierà anche la corrente nel circuito e la tensione sul condensatore. La tensione oscilla in fase con la carica e la corrente è in anticipo rispetto alla carica

fase attiva.

Energia del campo elettrico del condensatore

L'energia della corrente del campo magnetico

Così anche le energie dei campi elettrico e magnetico cambiano secondo la legge armonica, ma con frequenza doppia.

Ricapitolare

Le oscillazioni elettriche dovrebbero essere intese come variazioni periodiche di carica, tensione, intensità della corrente, energia del campo elettrico, energia del campo magnetico. Queste oscillazioni, come quelle meccaniche, possono essere sia libere che forzate, armoniche e non armoniche. Oscillazioni elettriche armoniche libere sono possibili in un circuito oscillatorio ideale.

§2 Processi che si verificano in un circuito oscillatorio

Abbiamo dimostrato matematicamente l'esistenza di oscillazioni armoniche libere in un circuito oscillatorio. Tuttavia, non è chiaro perché un tale processo sia possibile. Cosa causa le oscillazioni in un circuito?

Nel caso di vibrazioni meccaniche libere, è stata trovata una tale ragione: questa è forza interiore, che si verifica quando il sistema viene portato fuori dall'equilibrio. Questa forza in qualsiasi momento è diretta alla posizione di equilibrio ed è proporzionale alla coordinata del corpo (con un segno meno). Proviamo a trovare una ragione simile per il verificarsi di oscillazioni nel circuito oscillatorio.

Lascia che le oscillazioni nel circuito si eccitino caricando il condensatore e chiudendolo alla bobina.

Al momento iniziale, la carica sul condensatore è massima. Di conseguenza, anche la tensione e l'energia del campo elettrico del condensatore sono massime.

Non c'è corrente nel circuito, l'energia del campo magnetico della corrente è zero.

Primo trimestre del periodo- scarica del condensatore.

Le piastre del condensatore, aventi diversi potenziali, sono collegate da un conduttore, quindi il condensatore inizia a scaricarsi attraverso la bobina. La carica, la tensione sul condensatore e l'energia del campo elettrico diminuiscono.

La corrente che compare nel circuito aumenta, tuttavia la sua crescita è impedita dall'EMF di autoinduzione che si verifica nella bobina. L'energia del campo magnetico della corrente aumenta.

È passato un quarto- il condensatore è scarico.

Il condensatore si scaricò, la tensione ai suoi capi divenne uguale a zero. Anche l'energia del campo elettrico in questo momento è uguale a zero. Secondo la legge di conservazione dell'energia, non poteva scomparire. L'energia del campo del condensatore si è completamente trasformata nell'energia del campo magnetico della bobina, che in questo momento raggiunge il suo valore massimo. La corrente massima nel circuito.

Sembrerebbe che in questo momento la corrente nel circuito debba fermarsi, perché la causa della corrente, il campo elettrico, è scomparsa. Tuttavia, la scomparsa della corrente è nuovamente impedita dall'EMF di autoinduzione nella bobina. Ora manterrà una corrente decrescente e continuerà a fluire nella stessa direzione, caricando il condensatore. Inizia il secondo trimestre del periodo.

Secondo trimestre del periodo - Ricarica condensatore.

La corrente supportata dall'EMF di autoinduzione continua a fluire nella stessa direzione, diminuendo gradualmente. Questa corrente carica il condensatore in polarità opposta. La carica e la tensione attraverso il condensatore aumentano.

L'energia del campo magnetico della corrente, diminuendo, passa nell'energia del campo elettrico del condensatore.

Il secondo quarto del periodo è trascorso: il condensatore si è ricaricato.

Il condensatore si ricarica finché c'è corrente. Pertanto, nel momento in cui la corrente si interrompe, la carica e la tensione sul condensatore assumono un valore massimo.

L'energia del campo magnetico in questo momento si è completamente trasformata nell'energia del campo elettrico del condensatore.

La situazione nel circuito in questo momento è equivalente a quella originale. I processi nel circuito verranno ripetuti, ma nella direzione opposta. Un'oscillazione completa nel circuito, della durata di un periodo, terminerà quando il sistema tornerà allo stato originale, cioè quando il condensatore verrà ricaricato nella sua polarità originale.

È facile vedere che la causa delle oscillazioni nel circuito è il fenomeno dell'autoinduzione. L'EMF di autoinduzione impedisce un cambiamento di corrente: non gli consente di aumentare istantaneamente e scomparire istantaneamente.

A proposito, non sarebbe superfluo confrontare le espressioni per calcolare la forza quasi elastica in un sistema oscillatorio meccanico e l'EMF di autoinduzione nel circuito:

In precedenza, si ottenevano equazioni differenziali per sistemi oscillatori meccanici ed elettrici:

Nonostante differenze fondamentali processi fisici ai sistemi oscillatori meccanici ed elettrici, l'identità matematica delle equazioni che descrivono i processi in questi sistemi è chiaramente visibile. Questo dovrebbe essere discusso in modo più dettagliato.

§3 Analogia tra vibrazioni elettriche e meccaniche

Un'attenta analisi delle equazioni differenziali per un pendolo a molla e un circuito oscillatorio, nonché formule relative alle grandezze che caratterizzano i processi in questi sistemi, permette di identificare quali grandezze si comportano allo stesso modo (Tabella 2).

Pendolo a molla	Circuito oscillatorio
Coordinata del corpo ()	Carica sul condensatore ()
velocità corporea	Corrente di loop
Energia potenziale di una molla elasticamente deformata	Energia del campo elettrico del condensatore
Energia cinetica del carico	L'energia del campo magnetico della bobina con la corrente
Il reciproco della rigidità della molla	Capacità del condensatore
Caricare il peso	Induttanza della bobina
Forza elastica	EMF di autoinduzione, pari alla tensione sul condensatore

Tavolo 2

È importante non solo una somiglianza formale tra le quantità che descrivono i processi di oscillazione del pendolo e i processi nel circuito. I processi stessi sono identici!

Le posizioni estreme del pendolo equivalgono allo stato del circuito quando la carica sul condensatore è massima.

La posizione di equilibrio del pendolo è equivalente allo stato del circuito quando il condensatore è scarico. In questo momento, la forza elastica svanisce e non c'è tensione sul condensatore nel circuito. La velocità del pendolo e la corrente nel circuito sono massime. L'energia potenziale di deformazione elastica della molla e l'energia del campo elettrico del condensatore sono pari a zero. L'energia del sistema è costituita dall'energia cinetica del carico o dall'energia del campo magnetico della corrente.

La scarica del condensatore procede in modo simile al movimento del pendolo da posizione estrema ad una posizione di equilibrio. Il processo di ricarica del condensatore è identico al processo di rimozione del carico dalla posizione di equilibrio alla posizione estrema.

Energia totale del sistema oscillatorio o rimane inalterato nel tempo.

Un'analogia simile può essere rintracciata non solo tra un pendolo a molla e un circuito oscillatorio. Schemi generali di oscillazioni libere di qualsiasi natura! Questi schemi, illustrati dall'esempio di due sistemi oscillatori (un pendolo a molla e un circuito oscillatorio), non solo sono possibili, ma devi vedere nelle vibrazioni di qualsiasi sistema.

In linea di principio, è possibile risolvere il problema di qualsiasi processo oscillatorio sostituendolo con oscillazioni a pendolo. Per fare ciò, è sufficiente costruire con competenza un sistema meccanico equivalente, risolvere un problema meccanico e modificare i valori nel risultato finale. Ad esempio, è necessario trovare il periodo di oscillazione in un circuito contenente un condensatore e due bobine collegate in parallelo.

Il circuito oscillatorio contiene un condensatore e due bobine. Poiché la bobina si comporta come il peso di un pendolo a molla e il condensatore si comporta come una molla, il sistema meccanico equivalente deve contenere una molla e due pesi. L'intero problema è come i pesi sono attaccati alla molla. Sono possibili due casi: un'estremità della molla è fissa e un peso è fissato all'estremità libera, il secondo è sulla prima, oppure i pesi sono fissati a diverse estremità della molla.

In collegamento in parallelo bobine di diverse correnti di induttanza fluiscono attraverso di esse in modo diverso. Di conseguenza, anche le velocità dei carichi in un sistema meccanico identico devono essere diverse. Ovviamente, questo è possibile solo nel secondo caso.

Abbiamo già trovato il periodo di questo sistema oscillatorio. È uguale . Sostituendo le masse dei pesi con l'induttanza delle bobine, e il reciproco della rigidità della molla con la capacità del condensatore, otteniamo .

§4 Circuito oscillatorio con sorgente di corrente continua

Si consideri un circuito oscillatorio contenente una sorgente di corrente continua. Lascia che il condensatore sia inizialmente scarico. Cosa accadrà nel sistema dopo la chiusura della chiave K? In questo caso si osserveranno le oscillazioni e qual è la loro frequenza e ampiezza?

Ovviamente, dopo aver chiuso la chiave, il condensatore inizierà a caricarsi. Scriviamo la seconda legge di Kirchhoff:

La corrente nel circuito è quindi la corrente di carica del condensatore. Quindi . L'equazione differenziale viene trasformata nella forma

*Risolvi l'equazione modificando le variabili.

Indichiamo . Differenziare due volte e, tenendo conto che , otteniamo . L'equazione differenziale assume la forma

Questa è un'equazione differenziale delle oscillazioni armoniche, la sua soluzione è la funzione

dove è la frequenza ciclica, le costanti di integrazione e si trovano dalle condizioni iniziali.

La carica su un condensatore cambia secondo la legge

Immediatamente dopo la chiusura dell'interruttore, la carica sul condensatore zero e non c'è corrente nel circuito . Tenendo conto delle condizioni iniziali, otteniamo un sistema di equazioni:

Risolvendo il sistema, otteniamo e . Dopo aver chiuso la chiave, la carica sul condensatore cambia secondo la legge.

È facile vedere che nel circuito si verificano oscillazioni armoniche. La presenza di una sorgente di corrente continua nel circuito non ha influito sulla frequenza di oscillazione, è rimasta uguale. La "posizione di equilibrio" è cambiata: nel momento in cui la corrente nel circuito è massima, il condensatore è carico. L'ampiezza delle oscillazioni di carica sul condensatore è uguale a Cε.

Lo stesso risultato può essere ottenuto più semplicemente utilizzando l'analogia tra le oscillazioni in un circuito e le oscillazioni di un pendolo a molla. La sorgente CC è equivalente a CC campo di forza, in cui è posizionato un pendolo a molla, ad esempio un campo gravitazionale. L'assenza di carica sul condensatore al momento della chiusura del circuito è identica all'assenza di deformazione della molla al momento di portare il pendolo in moto oscillatorio.

In un campo di forza costante, il periodo di oscillazione di un pendolo a molla non cambia. Il periodo di oscillazione nel circuito si comporta allo stesso modo: rimane invariato quando viene introdotta una sorgente di corrente continua nel circuito.

In posizione di equilibrio, quando la velocità del carico è massima, la molla si deforma:

Quando la corrente nel circuito oscillatorio è massima . La seconda legge di Kirchhoff è scritta come segue

In questo momento la carica sul condensatore è uguale a Lo stesso risultato si può ottenere in base all'espressione (*) sostituendo

§5 Esempi di problem solving

Compito 1 Legge di conservazione dell'energia

l\u003d 0,5 μH e un condensatore con una capacità DA= 20 pF si verificano oscillazioni elettriche. Qual è la tensione massima ai capi del condensatore se l'ampiezza della corrente nel circuito è 1 mA? La resistenza attiva della bobina è trascurabile.

Soluzione:

(1)

2 Nel momento in cui la tensione sul condensatore è massima (massima carica sul condensatore), non c'è corrente nel circuito. L'energia totale del sistema è costituita solo dall'energia del campo elettrico del condensatore

(2)

3 Nel momento in cui la corrente nel circuito è massima, il condensatore è completamente scarico. L'energia totale del sistema è costituita solo dall'energia del campo magnetico della bobina

(3)

4 Sulla base delle espressioni (1), (2), (3), otteniamo l'uguaglianza . La tensione massima attraverso il condensatore è

Compito 2 Legge di conservazione dell'energia

In un circuito oscillatorio costituito da una bobina di induttanza l e un condensatore DA, le oscillazioni elettriche si verificano con un periodo T = 1 μs. Valore massimo di carica . Qual è la corrente nel circuito nel momento in cui la carica sul condensatore è uguale? La resistenza attiva della bobina è trascurabile.

Soluzione:

1 Poiché si può trascurare la resistenza attiva della bobina, l'energia totale del sistema, costituita dall'energia del campo elettrico del condensatore e dall'energia del campo magnetico della bobina, rimane invariata nel tempo:

(1)

2 Nel momento in cui la carica sul condensatore è massima, non c'è corrente nel circuito. L'energia totale del sistema è costituita solo dall'energia del campo elettrico del condensatore

(2)

3 Sulla base di (1) e (2), otteniamo l'uguaglianza . La corrente nel circuito è .

4 Il periodo di oscillazione nel circuito è determinato dalla formula di Thomson. Da qui. Quindi per la corrente nel circuito otteniamo

Compito 3 Circuito oscillatorio con due condensatori collegati in parallelo

In un circuito oscillatorio costituito da una bobina di induttanza l e un condensatore DA, oscillazioni elettriche si verificano con un'ampiezza di carica. Nel momento in cui la carica sul condensatore è massima, la chiave K è chiusa. Quale sarà il periodo di oscillazioni nel circuito dopo la chiusura della chiave? Qual è l'ampiezza della corrente nel circuito dopo aver chiuso l'interruttore? Ignora la resistenza ohmica del circuito.

Soluzione:

1 La chiusura della chiave porta alla comparsa nel circuito di un altro condensatore collegato in parallelo al primo. La capacità totale di due condensatori collegati in parallelo è .

Il periodo delle oscillazioni nel circuito dipende solo dai suoi parametri e non dipende da come le oscillazioni sono state eccitate nel sistema e da quale energia è stata impartita al sistema per questo. Secondo la formula di Thomson.

2 Per trovare l'ampiezza della corrente, scopriamo quali processi si verificano nel circuito dopo la chiusura della chiave.

Il secondo condensatore è stato collegato nel momento in cui la carica sul primo condensatore era massima, quindi non c'era corrente nel circuito.

Il condensatore di loop dovrebbe iniziare a scaricarsi. La corrente di scarica, dopo aver raggiunto il nodo, dovrebbe essere divisa in due parti. Tuttavia, nel ramo con la bobina, si verifica un EMF di autoinduzione, che impedisce l'aumento della corrente di scarica. Per questo motivo, l'intera corrente di scarica fluirà nel ramo con il condensatore, la cui resistenza ohmica è zero. La corrente si fermerà non appena le tensioni sui condensatori saranno uguali, mentre la carica iniziale del condensatore viene ridistribuita tra i due condensatori. Il tempo di ridistribuzione della carica tra due condensatori è trascurabile a causa dell'assenza di resistenza ohmica nei rami del condensatore. Durante questo tempo, la corrente nel ramo con la bobina non avrà il tempo di apparire. fluttuazioni nuovo sistema continuare dopo che la carica è stata ridistribuita tra i condensatori.

È importante capire che nel processo di ridistribuzione della carica tra due condensatori, l'energia del sistema non viene conservata! Prima che la chiave fosse chiusa, un condensatore, un condensatore ad anello, aveva energia:

Dopo che la carica è stata ridistribuita, una batteria di condensatori possiede energia:

È facile vedere che l'energia del sistema è diminuita!

3 Troviamo la nuova ampiezza della corrente usando la legge di conservazione dell'energia. Nel processo di oscillazione, l'energia della batteria di condensatori viene convertita nell'energia del campo magnetico della corrente:

Si noti che la legge di conservazione dell'energia inizia a "funzionare" solo dopo il completamento della ridistribuzione della carica tra i condensatori.

Compito 4 Circuito oscillatorio con due condensatori collegati in serie

Il circuito oscillatorio è costituito da una bobina con un'induttanza L e due condensatori C e 4C collegati in serie. Un condensatore con una capacità di C viene caricato a una tensione, un condensatore con una capacità di 4C non viene caricato. Dopo che la chiave è stata chiusa, iniziano le oscillazioni nel circuito. Qual è il periodo di queste oscillazioni? Determinare l'ampiezza della corrente, i valori di tensione massima e minima su ciascun condensatore.

Soluzione:

1 Nel momento in cui la corrente nel circuito è massima, non c'è EMF di autoinduzione nella bobina . Scriviamo per questo momento la seconda legge di Kirchhoff

Vediamo che nel momento in cui la corrente nel circuito è massima, i condensatori vengono caricati alla stessa tensione, ma nella polarità opposta:

2 Prima di chiudere la chiave, l'energia totale del sistema era costituita solo dall'energia del campo elettrico del condensatore C:

Nel momento in cui la corrente nel circuito è massima, l'energia del sistema è la somma dell'energia del campo magnetico della corrente e dell'energia di due condensatori caricati alla stessa tensione:

Secondo la legge di conservazione dell'energia

Per trovare la tensione sui condensatori, utilizziamo la legge di conservazione della carica: la carica della piastra inferiore del condensatore C è stata parzialmente trasferita alla piastra superiore del condensatore 4C:

Sostituiamo il valore di tensione trovato nella legge di conservazione dell'energia e troviamo l'ampiezza della corrente nel circuito:

3 Troviamo i limiti entro i quali la tensione sui condensatori cambia durante il processo di oscillazione.

È chiaro che al momento della chiusura del circuito c'era una tensione massima sul condensatore C. Il condensatore 4C non è stato caricato, pertanto, .

Dopo che l'interruttore è stato chiuso, il condensatore C inizia a scaricarsi e un condensatore con una capacità di 4C inizia a caricarsi. Il processo di scarica del primo e di carica del secondo condensatore termina non appena la corrente nel circuito si interrompe. Questo accadrà in mezzo periodo. Secondo le leggi di conservazione dell'energia e della carica elettrica:

Risolvendo il sistema troviamo:

Il segno meno significa che dopo mezzo periodo, la capacità C viene caricata nella polarità inversa dell'originale.

Compito 5 Circuito oscillatorio con due bobine collegate in serie

Il circuito oscillante è costituito da un condensatore con una capacità C e due bobine con un'induttanza L1 e L2. Nel momento in cui la corrente nel circuito ha raggiunto il suo valore massimo, nella prima bobina viene introdotto rapidamente un nucleo di ferro (rispetto al periodo di oscillazione), che porta ad un aumento della sua induttanza di μ volte. Qual è l'ampiezza della tensione nel processo di ulteriori oscillazioni nel circuito?

Soluzione:

1 Con la rapida introduzione del nucleo nella bobina, il flusso magnetico(il fenomeno dell'induzione elettromagnetica). Pertanto, una rapida variazione dell'induttanza di una delle bobine comporterà una rapida variazione della corrente nel circuito.

2 Durante l'introduzione del nucleo nella bobina, la carica sul condensatore non ha avuto il tempo di cambiare, è rimasta scarica (il nucleo è stato introdotto nel momento in cui la corrente nel circuito era massima). Dopo un quarto del periodo, l'energia del campo magnetico della corrente si trasformerà nell'energia di un condensatore carico:

Sostituisci nell'espressione risultante il valore della corrente io e trova l'ampiezza della tensione ai capi del condensatore:

Compito 6 Circuito oscillatorio con due bobine collegate in parallelo

Gli induttori L 1 e L 2 sono collegati tramite i tasti K1 e K2 a un condensatore con una capacità C. Nel momento iniziale, entrambi i tasti sono aperti e il condensatore viene caricato con una differenza di potenziale. Innanzitutto, la chiave K1 è chiusa e, quando la tensione ai capi del condensatore diventa uguale a zero, K2 è chiuso. Determinare la tensione massima ai capi del condensatore dopo aver chiuso K2. Ignora le resistenze della bobina.

Soluzione:

1 Quando la chiave K2 è aperta si verificano delle oscillazioni nel circuito costituito dal condensatore e dalla prima bobina. Quando K2 è chiuso, l'energia del condensatore si è trasferita nell'energia del campo magnetico della corrente nella prima bobina:

2 Dopo la chiusura di K2, nel circuito oscillatorio compaiono due bobine collegate in parallelo.

La corrente nella prima bobina non può fermarsi a causa del fenomeno dell'autoinduzione. Al nodo, si divide: una parte della corrente va alla seconda bobina e l'altra parte carica il condensatore.

3 La tensione sul condensatore diventerà massima quando la corrente si interrompe io condensatore di carica. È ovvio che in questo momento le correnti nelle bobine saranno uguali.

: I pesi sono soggetti allo stesso modulo di forza - entrambi i pesi sono fissati alla molla Immediatamente dopo la chiusura di K2 esisteva una corrente nella prima bobina Al momento iniziale, il primo carico aveva una velocità Subito dopo la chiusura di K2, non c'era corrente nella seconda bobina Al momento iniziale, il secondo carico era a riposo Qual è la tensione massima ai capi del condensatore? Qual è la massima forza elastica che si verifica nella molla durante l'oscillazione?

Il pendolo avanza con la velocità del centro di massa e oscilla attorno al baricentro.

La forza elastica è massima nel momento di massima deformazione della molla. Ovviamente, in questo momento, la velocità relativa dei pesi diventa uguale a zero, e rispetto alla tavola, i pesi si muovono alla velocità del baricentro. Scriviamo la legge di conservazione dell'energia:

Risolvendo il sistema, troviamo

Facciamo una sostituzione

e ottenere per tensione massima valore precedentemente trovato

§6 Compiti per soluzione indipendente

Esercizio 1 Calcolo del periodo e della frequenza delle oscillazioni naturali

1 Il circuito oscillatorio comprende una bobina di induttanza variabile, variabile all'interno L1= 0,5 µH a L2\u003d 10 μH e un condensatore, la cui capacità può variare da Da 1= 10 pF a

Da 2\u003d 500 pF. Quale gamma di frequenze può essere coperta sintonizzando questo circuito?

2 Quante volte cambierà la frequenza delle oscillazioni naturali nel circuito se la sua induttanza viene aumentata di 10 volte e la capacità viene ridotta di 2,5 volte?

3 Un circuito oscillatorio con un condensatore da 1 uF è sintonizzato su una frequenza di 400 Hz. Se colleghi un secondo condensatore in parallelo ad esso, la frequenza di oscillazione nel circuito diventa uguale a 200 Hz. Determina la capacità del secondo condensatore.

4 Il circuito oscillatorio è costituito da una bobina e da un condensatore. Quante volte cambierà la frequenza delle oscillazioni naturali nel circuito se un secondo condensatore è collegato in serie nel circuito, la cui capacità è 3 volte inferiore alla capacità del primo?

5 Determinare il periodo di oscillazione del circuito, che include una bobina (senza nucleo) di lunghezza in= 50 cm m di sezione trasversale

S\u003d 3 cm 2, avendo N\u003d 1000 giri e un condensatore di capacità DA= 0,5 uF.

6 Il circuito oscillatorio comprende un induttore l\u003d 1,0 μH e un condensatore ad aria, le cui aree delle piastre S\u003d 100 cm 2. Il circuito è sintonizzato su una frequenza di 30 MHz. Determina la distanza tra i piatti. La resistenza attiva del circuito è trascurabile.

OSCILLAZIONI E ONDE ELETTROMAGNETICHE

§1 Circuito oscillatorio.

Vibrazioni naturali nel circuito oscillatorio.

Formula Thomson.

Oscillazioni smorzate e forzate nel c.c.

Vibrazioni libere in c.c.

Un circuito oscillatorio (cc) è un circuito costituito da un condensatore e un induttore. A determinate condizioni nel c.c. possono verificarsi fluttuazioni elettromagnetiche di carica, corrente, tensione ed energia.

Considera il circuito mostrato in Figura 2. Se metti la chiave in posizione 1, il condensatore verrà caricato e apparirà una carica sulle sue piastreQ e tensione UC. Se poi si ruota la chiave in posizione 2, il condensatore inizierà a scaricarsi, la corrente scorrerà nel circuito, mentre l'energia del campo elettrico racchiusa tra le piastre del condensatore verrà convertita in energia di campo magnetico concentrata nell'induttorel. La presenza di un induttore porta al fatto che la corrente nel circuito non aumenta istantaneamente, ma gradualmente a causa del fenomeno dell'autoinduzione. Quando il condensatore si scarica, la carica sulle sue piastre diminuirà, la corrente nel circuito aumenterà. Il valore massimo della corrente di anello raggiungerà quando la carica sulle piastre è uguale a zero. Da questo punto in poi la corrente di anello comincerà a diminuire, ma, per il fenomeno dell'autoinduzione, sarà mantenuta dal campo magnetico dell'induttore, cioè quando il condensatore è completamente scarico, l'energia del campo magnetico immagazzinato nell'induttore inizierà a trasformarsi nell'energia di un campo elettrico. A causa della corrente di loop, il condensatore inizierà a ricaricarsi e una carica opposta a quella originale inizierà ad accumularsi sulle sue piastre. Il condensatore verrà ricaricato fino a quando tutta l'energia del campo magnetico dell'induttore non sarà convertita nell'energia del campo elettrico del condensatore. Quindi il processo verrà ripetuto nella direzione opposta e quindi si verificheranno oscillazioni elettromagnetiche nel circuito.

Scriviamo la 2a legge di Kirchhoff per il kk considerato,

Equazione differenziale k.k.

Abbiamo ottenuto un'equazione differenziale per le oscillazioni di carica in un c.c. Questa equazione è simile a un'equazione differenziale che descrive il movimento di un corpo sotto l'azione di una forza quasi elastica. Pertanto, la soluzione di questa equazione sarà scritta in modo simile

L'equazione delle fluttuazioni di carica in c.c.

L'equazione delle fluttuazioni di tensione sulle piastre del condensatore nel c.c.

L'equazione delle fluttuazioni di corrente in k.k.

Oscillazioni smorzate in QC

Considera un CC contenente capacità, induttanza e resistenza. La seconda legge di Kirchhoff in questo caso sarà scritta nella forma

- fattore di attenuazione,

Frequenza ciclica propria.

- - equazione differenziale delle oscillazioni smorzate nel c.c.

L'equazione delle oscillazioni di carica smorzata in un c.c.

La legge di variazione dell'ampiezza della carica durante le oscillazioni smorzate nel c.c.;

Il periodo delle oscillazioni smorzate.

Decremento di attenuazione.

- decremento logaritmico dello smorzamento.

La bontà del circuito.

Se lo smorzamento è debole, allora T ≈ T 0

Indaghiamo la variazione di tensione sulle piastre del condensatore.

La variazione di corrente è sfasata di φ dalla tensione.

at - sono possibili oscillazioni smorzate,

a - situazione critica

una cravatta. R > RPer- non si verificano fluttuazioni (scarica aperiodica del condensatore).

Vibrazioni elettromagnetiche sono variazioni periodiche nel tempo in elettrico e grandezze magnetiche in un circuito elettrico.

gratuito sono chiamati tali fluttuazioni, che sorgono in un sistema chiuso a causa della deviazione di questo sistema da uno stato di equilibrio stabile.

Durante le oscillazioni avviene un continuo processo di trasformazione dell'energia del sistema da una forma all'altra. In caso di esitazione campo elettromagnetico lo scambio può avvenire solo tra le componenti elettriche e magnetiche di questo campo. Il sistema più semplice in cui questo processo può aver luogo è circuito oscillatorio.

Circuito oscillatorio ideale (circuito LC) - un circuito elettrico costituito da una bobina di induttanza l e un condensatore C.

A differenza di un vero circuito oscillatorio, che ha una resistenza elettrica R, resistenza elettrica il contorno ideale è sempre zero. Pertanto, un circuito oscillatorio ideale è un modello semplificato di un circuito reale.

La figura 1 mostra uno schema di un circuito oscillatorio ideale.

Energia del circuito

Energia totale del circuito oscillatorio

\(L=L_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cpunto u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Dove Noi- energia del campo elettrico del circuito oscillatorio in questo momento volta DAè la capacità del condensatore, tu- il valore della tensione sul condensatore in un dato momento, q- il valore della carica del condensatore in un dato momento, Wm- l'energia del campo magnetico del circuito oscillatorio in un dato momento, l- induttanza bobina, io- il valore della corrente nella bobina in un dato momento.

Processi nel circuito oscillatorio

Considera i processi che si verificano nel circuito oscillatorio.

Per rimuovere il circuito dalla posizione di equilibrio, carichiamo il condensatore in modo che ci sia una carica sulle sue piastre Qm(Fig. 2, posizione 1 ). Tenendo conto dell'equazione \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) troviamo il valore della tensione ai capi del condensatore. Non c'è corrente nel circuito in questo momento, cioè io = 0.

Dopo che la chiave è stata chiusa, sotto l'azione del campo elettrico del condensatore nel circuito, elettricità, forza attuale io che aumenterà nel tempo. Il condensatore in questo momento inizierà a scaricarsi, perché. gli elettroni che creano la corrente (ricordo che la direzione del movimento delle cariche positive è assunta come direzione della corrente) escono dalla piastra negativa del condensatore e giungono a quella positiva (vedi Fig. 2, posizione 2 ). Insieme alla carica q la tensione diminuirà tu\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Man mano che l'intensità della corrente aumenta attraverso la bobina, apparirà l'emf di autoinduzione, che impedisce la variazione dell'intensità della corrente. Di conseguenza, la forza della corrente nel circuito oscillatorio aumenterà da zero a un certo valore massimo non istantaneamente, ma per un certo periodo di tempo, determinato dall'induttanza della bobina.

Carica del condensatore q diminuisce e ad un certo punto diventa uguale a zero ( q = 0, tu= 0), la corrente nella bobina raggiungerà un certo valore Io sono(vedi fig. 2, posizione 3 ).

Senza il campo elettrico del condensatore (e la resistenza), gli elettroni che creano la corrente continuano a muoversi per inerzia. In questo caso, gli elettroni che arrivano alla piastra neutra del condensatore gli danno una carica negativa, gli elettroni che lasciano la piastra neutra gli danno una carica positiva. Il condensatore inizia a caricarsi q(e voltaggio tu), ma di segno opposto, cioè il condensatore è ricaricato. Ora il nuovo campo elettrico del condensatore impedisce agli elettroni di muoversi, quindi la corrente io inizia a diminuire (vedi Fig. 2, posizione 4 ). Anche in questo caso, ciò non accade all'istante, poiché ora l'EMF di autoinduzione cerca di compensare la diminuzione della corrente e la "supporta". E il valore della corrente Io sono(incinta 3 ) risulta corrente massima in contorno.

E ancora, sotto l'azione del campo elettrico del condensatore, nel circuito apparirà una corrente elettrica, ma diretta nella direzione opposta, l'intensità della corrente io che aumenterà nel tempo. E il condensatore verrà scaricato in questo momento (vedi Fig. 2, posizione 6 ) a zero (vedi Fig. 2, posizione 7 ). E così via.

Poiché la carica sul condensatore q(e voltaggio tu) determina l'energia del suo campo elettrico Noi\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) e la corrente nella bobina io- energia del campo magnetico wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) quindi insieme ai cambiamenti di carica, tensione e corrente, anche le energie cambieranno.

Designazioni nella tabella:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cpunto u_(6)^(2) )(2),\)

\(L_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

L'energia totale di un circuito oscillatorio ideale si conserva nel tempo, poiché vi è una perdita di energia in esso (nessuna resistenza). Quindi

\(L=L_(e\, \max ) = L_(m\, \max ) = L_(e2) + L_(m2) = L_(e4) + L_(m4) = ...\)

Quindi, idealmente LC- il circuito subirà variazioni periodiche dei valori di forza della corrente io, carica q e stress tu e l'energia totale del circuito rimarrà costante. In questo caso diciamo che ci sono oscillazioni elettromagnetiche libere.

Oscillazioni elettromagnetiche libere nel circuito: si tratta di variazioni periodiche della carica sulle piastre del condensatore, dell'intensità della corrente e della tensione nel circuito, che si verificano senza consumare energia da fonti esterne.

Pertanto, il verificarsi di oscillazioni elettromagnetiche libere nel circuito è dovuto alla ricarica del condensatore e al verificarsi di EMF di autoinduzione nella bobina, che "fornisce" questa ricarica. Si noti che la carica sul condensatore q e la corrente nella bobina io raggiungere i loro valori massimi Qm e Io sono in vari momenti.

Le oscillazioni elettromagnetiche libere nel circuito si verificano secondo la legge armonica:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Il periodo di tempo minimo durante il quale LC- il circuito ritorna al suo stato originale (al valore iniziale della carica di questo rivestimento), è chiamato periodo di oscillazioni elettromagnetiche libere (naturali) nel circuito.

Il periodo di oscillazioni elettromagnetiche libere in LC-contour è determinato dalla formula di Thomson:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cpunto C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cpunto C)).\)

Dal punto di vista dell'analogia meccanica, un pendolo a molla senza attrito corrisponde a un circuito oscillatorio ideale ea uno reale - con attrito. A causa dell'azione delle forze di attrito, le oscillazioni di un pendolo a molla si smorzano nel tempo.

*Derivazione della formula di Thomson

Poiché l'energia totale dell'ideale LC-contorno, pari alla somma delle energie campo elettrostatico condensatore e il campo magnetico della bobina viene preservato, quindi in qualsiasi momento l'uguaglianza

\(L=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cpunto I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Otteniamo l'equazione delle oscillazioni in LC-circuito, utilizzando la legge di conservazione dell'energia. Differenziando l'espressione per la sua energia totale rispetto al tempo, tenendo conto del fatto che

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

otteniamo un'equazione che descrive le oscillazioni libere in un circuito ideale:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cpunto q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cpunto C) \cdot q=0.\ )

Riscrivendolo come:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

si noti che questa è l'equazione delle oscillazioni armoniche con una frequenza ciclica

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cpunto C) ).\)

Di conseguenza, il periodo delle oscillazioni in esame

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Letteratura

Zhilko, V.V. Fisica: libro di testo. indennità per l'istruzione generale di grado 11. scuola dal russo lang. formazione / V.V. Zhilko, LG Markovich. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.