Le equazioni quadratiche non sono uguali a zero. Equazioni quadratiche

Solo. Secondo formule e regole semplici e chiare. Al primo stadio

è necessario riportare l'equazione data nella forma standard, cioè alla vista:

Se l'equazione ti è già stata fornita in questo modulo, non è necessario eseguire la prima fase. La cosa più importante è giusta

determinare tutti i coefficienti un, b e c.

Formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Viene chiamata l'espressione sotto il segno della radice discriminante . Come puoi vedere, per trovare x, noi

utilizzo solo a, b e c. Quelli. probabilità da equazione quadrata. Basta inserire con attenzione

valori a, b e c in questa formula e contare. Sostituisci con i loro segni!

Per esempio, nell'equazione:

un =1; b = 3; c = -4.

Sostituisci i valori e scrivi:

Esempio quasi risolto:

Questa è la risposta.

Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e insieme a. Piuttosto, con sostituzione

valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui la formula dettagliata salva

con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui un = -6; b = -5; c = -1

Dipingiamo tutto nei minimi dettagli, con cura, senza tralasciare nulla con tutti i segni e le parentesi:

Spesso le equazioni quadratiche hanno un aspetto leggermente diverso. Ad esempio, in questo modo:

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori.

Primo ricevimento. Non essere pigro prima risolvere un'equazione quadratica portalo in forma standard.

Cosa significa questo?

Supponiamo, dopo ogni trasformazione, di ottenere la seguente equazione:

Non affrettarti a scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c.

Costruisci l'esempio correttamente. Prima x al quadrato, poi senza quadrato, quindi un membro libero. Come questo:

Sbarazzati del meno. Come? Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:

E ora puoi tranquillamente annotare la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio.

Decidi da solo. Dovresti finire con le radici 2 e -1.

Secondo ricevimento. Controlla le tue radici! Di Il teorema di Vieta.

Per risolvere le equazioni quadratiche date, ad es. se il coefficiente

x2+bx+c=0,

poix 1 x 2 = c

x1 +x2 =-b

Per un'equazione quadratica completa in cui a≠1:

x 2 +bx+c=0,

dividere l'intera equazione per un:

→ →

dove x 1 e X 2 - radici dell'equazione.

Accoglienza terza. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplicare

equazione per un denominatore comune.

Conclusione. Consigli pratici:

1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, la costruiamo giusto.

2. Se c'è un coefficiente negativo davanti alla x nel quadrato, lo eliminiamo moltiplicando tutto

equazioni per -1.

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il corrispondente

fattore.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata

Formule per le radici di un'equazione quadratica. Si considerano i casi di radici reali, multiple e complesse. Fattorizzazione di un trinomio quadrato. Interpretazione geometrica. Esempi di determinazione delle radici e fattorizzazione.

Formule di base

Considera l'equazione quadratica:
(1) .
Le radici di un'equazione quadratica(1) sono determinati dalle formule:
; .
Queste formule possono essere combinate in questo modo:
.
Quando le radici dell'equazione quadratica sono note, allora il polinomio di secondo grado può essere rappresentato come un prodotto di fattori (fattorizzato):
.

Inoltre, assumiamo che siano numeri reali.
Tenere conto discriminante di un'equazione quadratica:
.
Se il discriminante è positivo, l'equazione quadratica (1) ha due diverse radici reali:
; .
Allora la fattorizzazione del trinomio quadrato ha la forma:
.
Se il discriminante è zero, l'equazione quadratica (1) ha due radici reali multiple (uguali):
.
Fattorizzazione:
.
Se il discriminante è negativo, l'equazione quadratica (1) ha due radici coniugate complesse:
;
.
Ecco l'unità immaginaria, ;
e sono le parti reali e immaginarie delle radici:
; .
Quindi

.

Interpretazione grafica

Se graficiamo la funzione
,
che è una parabola, quindi i punti di intersezione del grafico con l'asse saranno le radici dell'equazione
.
Quando , il grafico interseca l'asse delle ascisse (asse) in due punti.
Quando , il grafico tocca l'asse x in un punto.
Quando , il grafico non attraversa l'asse x.

Di seguito sono riportati esempi di tali grafici.

Formule utili relative all'equazione quadratica

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Eseguiamo trasformazioni e applichiamo formule (f.1) e (f.3):




,
dove
; .

Quindi, abbiamo ottenuto la formula per il polinomio di secondo grado nella forma:
.
Da questo si può vedere che l'equazione

eseguito a
e .
Cioè, e sono le radici dell'equazione quadratica
.

Esempi di determinazione delle radici di un'equazione quadratica

Esempio 1

(1.1) .

Decisione

.
Confrontando con la nostra equazione (1.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Poiché il discriminante è positivo, l'equazione ha due radici reali:
;
;
.

Da qui otteniamo la scomposizione del trinomio quadrato in fattori:

.

Grafico della funzione y = 2 x 2 + 7 x + 3 attraversa l'asse x in due punti.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Incrocia l'asse x (asse) in due punti:
e .
Questi punti sono le radici dell'equazione originale (1.1).

Risposta

;
;
.

Esempio 2

Trova le radici di un'equazione quadratica:
(2.1) .

Decisione

Scriviamo l'equazione quadratica in forma generale:
.
Confrontando con l'equazione originale (2.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Poiché il discriminante è zero, l'equazione ha due radici multiple (uguali):
;
.

Allora la fattorizzazione del trinomio ha la forma:
.

Grafico della funzione y = x 2 - 4 x + 4 tocca l'asse x in un punto.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Tocca l'asse x (asse) in un punto:
.
Questo punto è la radice dell'equazione originale (2.1). Poiché questa radice viene scomposta due volte:
,
allora tale radice è chiamata multiplo. Cioè, considerano che ci sono due radici uguali:
.

Risposta

;
.

Esempio 3

Trova le radici di un'equazione quadratica:
(3.1) .

Decisione

Scriviamo l'equazione quadratica in forma generale:
(1) .
Riscriviamo l'equazione originale (3.1):
.
Confrontando con (1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Il discriminante è negativo, . Pertanto, non ci sono vere radici.

Puoi trovare radici complesse:
;
;
.

Quindi


.

Il grafico della funzione non attraversa l'asse x. Non ci sono vere radici.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Non attraversa l'ascissa (asse). Pertanto, non ci sono vere radici.

Risposta

Non ci sono vere radici. Radici complesse:
;
;
.

Equazione quadratica: facile da risolvere! *Più avanti nel testo "KU". Amici, sembrerebbe che in matematica possa essere più facile che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi ha detto che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni fornisce Yandex per richiesta al mese. Ecco cosa è successo, dai un'occhiata:

Cosa significa? Ciò significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, e questa è l'estate, e cosa accadrà durante l'anno scolastico - ci saranno il doppio delle richieste. Questo non sorprende, perché quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati da tempo a scuola e si stanno preparando per l'esame stanno cercando queste informazioni e anche gli scolari stanno cercando di rinfrescarsi la memoria.

Nonostante ci siano molti siti che raccontano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, voglio che i visitatori vengano sul mio sito su questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando verrà fuori il discorso “KU”, darò un link a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto di solito viene affermato su altri siti. Iniziamo! Il contenuto dell'articolo:

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

dove coefficienti a,be con numeri arbitrari, con a≠0.

Nel corso scolastico, il materiale viene fornito nella forma seguente: la divisione delle equazioni in tre classi è condizionata:

1. Avere due radici.

2. * Avere una sola radice.

3. Non avere radici. Vale la pena notare qui che non hanno vere radici

Come si calcolano le radici? Solo!

Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola "terribile" si nasconde una formula molto semplice:

Le formule della radice sono le seguenti:

*Queste formule devono essere conosciute a memoria.

Puoi immediatamente scrivere e risolvere:

Esempio:

1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.

2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Diamo un'occhiata all'equazione:

In questa occasione, quando il discriminante è zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è uguale a nove. Esatto, lo è, ma...

Questa rappresentazione è alquanto errata. In realtà, ci sono due radici. Sì, sì, non sorprenderti, risultano due radici uguali e, per essere matematicamente accurati, nella risposta dovrebbero essere scritte due radici:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ma è così - una piccola digressione. A scuola, puoi scrivere e dire che c'è solo una radice.

Ora il seguente esempio:

Come sappiamo, la radice di un numero negativo non viene estratta, quindi non c'è soluzione in questo caso.

Questo è l'intero processo decisionale.

Funzione quadratica.

Ecco come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli, analizzeremo in dettaglio la soluzione di una disuguaglianza quadratica).

Questa è una funzione del modulo:

dove xey sono variabili

a, b, c sono dati numeri, dove a ≠ 0

Il grafico è una parabola:

Cioè, si scopre che risolvendo un'equazione quadratica con "y" uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) o nessuno (il discriminante è negativo). Maggiori informazioni sulla funzione quadratica Puoi visualizzare articolo di Inna Feldman.

Considera esempi:

Esempio 1: Decidi 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Risposta: x 1 = 8 x 2 = -12

* Puoi dividere immediatamente i lati sinistro e destro dell'equazione per 2, ovvero semplificarla. I calcoli saranno più facili.

Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

L'abbiamo ottenuto x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11

Nella risposta è lecito scrivere x = 11.

Risposta: x = 11

Esempio 3: Decidere x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Il discriminante è negativo, non c'è soluzione in numeri reali.

Risposta: nessuna soluzione

Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!

Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Sai qualcosa sui numeri complessi? Non entrerò nei dettagli qui sul perché e dove sono nati e qual è il loro ruolo e necessità specifici in matematica, questo è un argomento per un ampio articolo separato.

Il concetto di numero complesso.

Un po' di teoria

Un numero complesso z è un numero della forma

z = a + bi

dove aeb sono numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.

a+bi è un NUMERO SINGOLO, non un'aggiunta.

L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:

Consideriamo ora l'equazione:

Ottieni due radici coniugate.

Equazione quadratica incompleta.

Considera casi speciali, questo è quando il coefficiente "b" o "c" è uguale a zero (o entrambi sono uguali a zero). Si risolvono facilmente senza discriminanti.

Caso 1. Coefficiente b = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasformiamo:

Esempio:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Caso 2. Coefficiente c = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasforma, fattorizza:

*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Esempio:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.

Qui è chiaro che la soluzione dell'equazione sarà sempre x = 0.

Proprietà utili e modelli di coefficienti.

Ci sono proprietà che consentono di risolvere equazioni con coefficienti grandi.

unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza

un + b+ c = 0, poi

— se per i coefficienti dell'equazione unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza

un+ con =b, poi

Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.

Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somma dei coefficienti è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, quindi

Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Uguaglianza un+ con =b, si intende

Regolarità dei coefficienti.

1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c \u003d 0 il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Se nell'equazione ax 2 - bx + c \u003d 0, il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Se nell'equazione ax 2 + bx - c = 0 coefficiente "b" è uguale a (un 2 – 1), e il coefficiente “c” numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono uguali

ascia 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Se nell'equazione ax 2 - bx - c \u003d 0, il coefficiente "b" è uguale a (a 2 - 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Il teorema di Vieta.

Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese Francois Vieta. Usando il teorema di Vieta, si può esprimere la somma e il prodotto delle radici di un KU arbitrario in termini di coefficienti.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In sintesi, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono le radici. Con una certa abilità, usando il teorema presentato, puoi risolvere immediatamente oralmente molte equazioni quadratiche.

Il teorema di Vieta, inoltre. conveniente perché dopo aver risolto l'equazione quadratica nel modo consueto (attraverso il discriminante), si possono verificare le radici risultanti. Consiglio di farlo sempre.

METODO DI TRASFERIMENTO

Con questo metodo il coefficiente "a" viene moltiplicato per il termine libero, come se ad esso "trasferito", motivo per cui viene chiamato metodo di trasferimento. Questo metodo viene utilizzato quando è facile trovare le radici di un'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Se un un± b+c≠ 0, allora viene utilizzata la tecnica di trasferimento, ad esempio:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Secondo il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinare che x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Le radici ottenute dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché i due sono stati "gettati" da x 2), otteniamo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Qual è la logica? Guarda cosa sta succedendo.

I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono:

Se guardi le radici delle equazioni, si ottengono solo denominatori diversi e il risultato dipende proprio dal coefficiente in x 2:

Le seconde radici (modificate) sono 2 volte più grandi.

Pertanto, dividiamo il risultato per 2.

*Se tiriamo un tris, dividiamo il risultato per 3 e così via.

Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mq ur-ie e l'esame.

Dirò brevemente la sua importanza - DOVRESTE SAPER DECIDERE rapidamente e senza pensarci, devi conoscere le formule delle radici e del discriminante a memoria. Molti dei compiti che fanno parte dei compiti USE si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (comprese quelle geometriche).

Cosa vale la pena notare!

1. La forma dell'equazione può essere "implicita". Ad esempio, è possibile la seguente voce:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Devi portarlo in un modulo standard (per non confonderti durante la risoluzione).

2. Ricorda che x è un valore sconosciuto e può essere indicato con qualsiasi altra lettera - t, q, p, he altre.

Questo argomento può sembrare complicato all'inizio a causa delle molte formule non così semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale dell'equazione quadratica

Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande, e poi - in ordine decrescente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Quindi è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente del grado della variabile.

Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche sono ridotte alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Si indichi questa formula con il numero uno.

Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché una delle tre opzioni è sempre possibile:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• L'equazione non ha alcuna radice.

E mentre la decisione non è portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.

Tipi di record di equazioni quadratiche

Le attività possono avere voci diverse. Non sembreranno sempre la formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancherà di alcuni termini. Ciò che è stato scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcosa di diverso. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Sia la prima formula il numero due e la seconda il numero tre.

Il discriminante e la dipendenza del numero di radici dal suo valore

Questo numero deve essere noto per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante, devi usare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, allora la risposta all'equazione sarà due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.

Come si risolve un'equazione quadratica completa?

In effetti, la considerazione di questo problema è già iniziata. Perché prima devi trovare il discriminante. Dopo che è stato chiarito che ci sono radici dell'equazione quadratica e il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare una tale formula.

Poiché contiene il segno "±", ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto, la formula può essere riscritta in un modo diverso.

Formula cinque. Dallo stesso record si può vedere che se il discriminante è zero, allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all'inizio c'è confusione.

Come si risolve un'equazione quadratica incompleta?

Tutto è molto più semplice qui. Anche non c'è bisogno di formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.

Innanzitutto, considera l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si suppone che tolga il valore sconosciuto dalla parentesi e risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un fattore costituito dalla variabile stessa. Il secondo si ottiene risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a quello destro. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'incognita. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di annotarla due volte con segni opposti.

Le seguenti sono alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti alla disattenzione. Queste carenze sono la causa di voti scarsi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere costantemente eseguite. Perché ci sarà un'abitudine stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, e poi - senza il grado e l'ultimo - solo un numero.

• Se viene visualizzato un meno prima del coefficiente "a", può complicare il lavoro per un principiante nello studio delle equazioni di secondo grado. È meglio liberarsene. A tal fine, tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno nel contrario.

• Allo stesso modo, si consiglia di eliminare le frazioni. Basta moltiplicare l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi viene risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo il bracketing, risulta: x (x - 7) \u003d 0.

La prima radice assume il valore: x 1 \u003d 0. La seconda verrà trovata dall'equazione lineare: x - 7 \u003d 0. È facile vedere che x 2 \u003d 7.

Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che è risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in una forma standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ora è il momento di usare la seconda consiglio utile e moltiplicare tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra, risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questa attività sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, ovvero: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede trasformazioni, che consistono nel fatto che devi portare termini simili, prima di aprire le parentesi. Al posto della prima ci sarà una tale espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 -x \u003d 0. È diventato incompleto. Simile ad esso è già stato considerato un po' più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.

Nella società moderna, la capacità di operare con equazioni contenenti una variabile al quadrato può essere utile in molte aree di attività ed è ampiamente utilizzata nella pratica negli sviluppi scientifici e tecnici. Ciò può essere evidenziato dalla progettazione di navi marittime e fluviali, aerei e missili. Con l'aiuto di tali calcoli, vengono determinate le traiettorie del movimento di vari corpi, inclusi gli oggetti spaziali. Esempi con la soluzione di equazioni quadratiche sono usati non solo nelle previsioni economiche, nella progettazione e costruzione di edifici, ma anche nelle circostanze quotidiane più ordinarie. Possono essere necessari in campeggio, in occasione di eventi sportivi, nei negozi durante lo shopping e in altre situazioni molto comuni.

Rompiamo l'espressione in fattori componenti

Il grado di un'equazione è determinato dal valore massimo del grado della variabile contenuta nell'espressione data. Se è uguale a 2, tale equazione è chiamata equazione quadratica.

Se parliamo nel linguaggio delle formule, allora queste espressioni, indipendentemente dall'aspetto, possono sempre essere riportate alla forma quando il lato sinistro dell'espressione è costituito da tre termini. Tra questi: ax 2 (cioè una variabile al quadrato con il suo coefficiente), bx (un'incognita senza quadrato con il suo coefficiente) e c (componente libera, cioè un numero ordinario). Tutto questo a destra è uguale a 0. Nel caso in cui un tale polinomio non abbia uno dei suoi termini costitutivi, ad eccezione di ax 2, si parla di equazione quadratica incompleta. Dovrebbero essere considerati in primo luogo esempi con la soluzione di tali problemi, in cui il valore delle variabili non è difficile da trovare.

Se l'espressione sembra avere due termini sul lato destro dell'espressione, più precisamente ax 2 e bx, è più facile trovare x mettendo tra parentesi la variabile. Ora la nostra equazione sarà simile a questa: x(ax+b). Inoltre, diventa ovvio che x=0, oppure il problema si riduce a trovare una variabile dalla seguente espressione: ax+b=0. Questo è dettato da una delle proprietà della moltiplicazione. La regola dice che il prodotto di due fattori dà come risultato 0 solo se uno di essi è zero.

Esempio

x=0 o 8x - 3 = 0

Di conseguenza, otteniamo due radici dell'equazione: 0 e 0,375.

Equazioni di questo tipo possono descrivere il movimento dei corpi sotto l'azione della gravità, che ha cominciato a muoversi da un certo punto, preso come origine. Qui la notazione matematica assume la seguente forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Sostituendo i valori necessari, equiparando il lato destro a 0 e trovando possibili incognite, puoi scoprire il tempo trascorso dal momento in cui il corpo si alza al momento in cui cade, oltre a molte altre grandezze. Ma di questo parleremo più avanti.

Fattorizzazione di un'espressione

La regola sopra descritta permette di risolvere questi problemi nei casi più complessi. Considera esempi con la soluzione di equazioni quadratiche di questo tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Questo trinomio quadrato è completo. Innanzitutto, trasformiamo l'espressione e la scomponiamo in fattori. Ce ne sono due: (x-8) e (x-25) = 0. Di conseguenza, abbiamo due radici 8 e 25.

Esempi con la soluzione di equazioni quadratiche nel grado 9 consentono a questo metodo di trovare una variabile nelle espressioni non solo del secondo, ma anche del terzo e quarto ordine.

Ad esempio: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Quando si scompone il lato destro in fattori con una variabile, ce ne sono tre, ovvero (x + 1), (x-3) e (x + 3).

Di conseguenza, diventa ovvio che questa equazione ha tre radici: -3; -uno; 3.

Estrazione della radice quadrata

Un altro caso di equazione del secondo ordine incompleta è un'espressione scritta nel linguaggio delle lettere in modo tale che il lato destro sia costruito dalle componenti ax 2 e c. Qui, per ottenere il valore della variabile, si trasferisce a destra il termine libero, dopodiché si estrae la radice quadrata da entrambi i lati dell'uguaglianza. Va notato che in questo caso di solito ci sono due radici dell'equazione. Le uniche eccezioni sono le uguaglianze che non contengono affatto il termine c, dove la variabile è uguale a zero, così come le varianti di espressioni quando il lato destro risulta negativo. In quest'ultimo caso, non ci sono soluzioni, poiché le azioni di cui sopra non possono essere eseguite con le radici. Dovrebbero essere considerati esempi di soluzioni di equazioni quadratiche di questo tipo.

In questo caso, le radici dell'equazione saranno i numeri -4 e 4.

Calcolo dell'area del terreno

La necessità di questo tipo di calcoli è apparsa in tempi antichi, perché lo sviluppo della matematica in quei tempi lontani era in gran parte dovuto alla necessità di determinare le aree e i perimetri dei lotti di terreno con la massima precisione.

Dovremmo anche considerare esempi con la soluzione di equazioni quadratiche compilate sulla base di problemi di questo tipo.

Quindi, diciamo che c'è un pezzo di terra rettangolare, la cui lunghezza è di 16 metri in più rispetto alla larghezza. Dovresti trovare la lunghezza, la larghezza e il perimetro del sito, se è noto che la sua area è di 612 m 2.

Per metterci al lavoro, all'inizio faremo l'equazione necessaria. Indichiamo la larghezza della sezione come x, quindi la sua lunghezza sarà (x + 16). Ne consegue da quanto scritto che l'area è determinata dall'espressione x (x + 16), che, secondo la condizione del nostro problema, è 612. Ciò significa che x (x + 16) \u003d 612.

La soluzione di equazioni quadratiche complete, e questa espressione è proprio questo, non può essere eseguita allo stesso modo. Come mai? Sebbene il lato sinistro di esso contenga ancora due fattori, il loro prodotto non è affatto 0, quindi qui vengono utilizzati altri metodi.

Discriminante

Prima di tutto, faremo le trasformazioni necessarie, quindi l'aspetto di questa espressione sarà simile a questo: x 2 + 16x - 612 = 0. Ciò significa che abbiamo ricevuto un'espressione nella forma corrispondente allo standard precedentemente specificato, dove a=1, b=16, c= -612.

Questo può essere un esempio di risoluzione di equazioni quadratiche attraverso il discriminante. Qui vengono eseguiti i calcoli necessari secondo lo schema: D = b 2 - 4ac. Questo valore ausiliario non solo consente di trovare i valori desiderati nell'equazione del secondo ordine, ma determina il numero di opzioni possibili. Nel caso D>0, ce ne sono due; per D=0 c'è una radice. Nel caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sulle radici e la loro formula

Nel nostro caso, il discriminante è: 256 - 4(-612) = 2704. Questo indica che il nostro problema ha una risposta. Se sai, la soluzione delle equazioni quadratiche deve essere continuata usando la formula seguente. Ti permette di calcolare le radici.

Ciò significa che nel caso presentato: x 1 =18, x 2 =-34. La seconda opzione in questo dilemma non può essere una soluzione, perché la dimensione del lotto di terreno non può essere misurata in valori negativi, il che significa che x (cioè la larghezza del lotto) è 18 m Da qui calcoliamo la lunghezza: 18+16=34, e il perimetro 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Esempi e compiti

Continuiamo lo studio delle equazioni quadratiche. Di seguito verranno forniti esempi e una soluzione dettagliata di molti di essi.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Trasferiamo tutto sul lato sinistro dell'uguaglianza, facciamo una trasformazione, ovvero otteniamo la forma dell'equazione, che di solito è chiamata standard, e la uguagliamo a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dopo aver aggiunto quelli simili, determiniamo il discriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Quindi la nostra equazione avrà due radici. Li calcoliamo secondo la formula sopra, il che significa che il primo sarà uguale a 4/3 e il secondo 1.

2) Ora sveleremo enigmi di diverso tipo.

Scopriamo se ci sono radici x 2 - 4x + 5 = 1 qui? Per ottenere una risposta esaustiva, portiamo il polinomio nella corrispondente forma familiare e calcoliamo il discriminante. In questo esempio, non è necessario risolvere l'equazione quadratica, perché l'essenza del problema non è affatto in questo. In questo caso, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, il che significa che non ci sono davvero radici.

Il teorema di Vieta

Conviene risolvere equazioni quadratiche attraverso le formule sopra e il discriminante, quando dal valore di quest'ultimo si estrae la radice quadrata. Ma questo non sempre accade. Tuttavia, ci sono molti modi per ottenere i valori delle variabili in questo caso. Esempio: risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta. Prende il nome da un uomo che visse nella Francia del XVI secolo e che ebbe una brillante carriera grazie al suo talento matematico e ai suoi contatti a corte. Il suo ritratto può essere visto nell'articolo.

Lo schema che il famoso francese notò era il seguente. Ha dimostrato che la somma delle radici dell'equazione è uguale a -p=b/a, e il loro prodotto corrisponde a q=c/a.

Ora diamo un'occhiata a compiti specifici.

3x2 + 21x - 54 = 0

Per semplicità, trasformiamo l'espressione:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Usando il teorema di Vieta, questo ci darà quanto segue: la somma delle radici è -7 e il loro prodotto è -18. Da qui otteniamo che le radici dell'equazione sono i numeri -9 e 2. Dopo aver effettuato un controllo, ci assicureremo che questi valori delle variabili si adattino davvero all'espressione.

Grafico ed equazione di una parabola

I concetti di funzione quadratica ed equazioni quadratiche sono strettamente correlati. Esempi di questo sono già stati forniti in precedenza. Ora diamo un'occhiata ad alcuni enigmi matematici in modo un po' più dettagliato. Qualsiasi equazione del tipo descritto può essere rappresentata visivamente. Tale dipendenza, disegnata sotto forma di grafico, è chiamata parabola. I suoi vari tipi sono mostrati nella figura seguente.

Ogni parabola ha un vertice, cioè un punto da cui escono i suoi rami. Se a>0, vanno dall'alto all'infinito e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Le rappresentazioni visive delle funzioni aiutano a risolvere qualsiasi equazione, comprese quelle quadratiche. Questo metodo è chiamato grafico. E il valore della variabile x è la coordinata dell'ascissa nei punti in cui la linea del grafico si interseca con 0x. Le coordinate del vertice possono essere trovate con la formula appena data x 0 = -b / 2a. E, sostituendo il valore risultante nell'equazione originale della funzione, puoi scoprire y 0, cioè la seconda coordinata del vertice della parabola appartenente all'asse y.

L'intersezione dei rami della parabola con l'asse delle ascisse

Ci sono molti esempi con la soluzione di equazioni quadratiche, ma ci sono anche schemi generali. Consideriamoli. È chiaro che l'intersezione del grafico con l'asse 0x per a>0 è possibile solo se y 0 assume valori negativi. E per un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altrimenti D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dal grafico di una parabola, puoi anche determinare le radici. È vero anche il contrario. Cioè, se non è facile ottenere una rappresentazione visiva di una funzione quadratica, puoi equiparare il lato destro dell'espressione a 0 e risolvere l'equazione risultante. E conoscendo i punti di intersezione con l'asse 0x, è più facile tracciare.

Dalla storia

Con l'aiuto di equazioni contenenti una variabile quadrata, ai vecchi tempi, non solo facevano calcoli matematici e determinavano l'area delle forme geometriche. Gli antichi avevano bisogno di tali calcoli per grandiose scoperte nel campo della fisica e dell'astronomia, nonché per fare previsioni astrologiche.

Come suggeriscono gli scienziati moderni, gli abitanti di Babilonia furono tra i primi a risolvere equazioni quadratiche. È successo quattro secoli prima dell'avvento della nostra era. Naturalmente, i loro calcoli erano fondamentalmente diversi da quelli attualmente accettati e si rivelarono molto più primitivi. Ad esempio, i matematici mesopotamici non avevano idea dell'esistenza di numeri negativi. Non conoscevano anche altre sottigliezze di quelle note a qualsiasi studente del nostro tempo.

Forse anche prima degli scienziati di Babilonia, il saggio indiano Baudhayama si occupò della soluzione delle equazioni quadratiche. Ciò accadde circa otto secoli prima dell'avvento dell'era di Cristo. È vero, le equazioni del secondo ordine, i metodi per risolverli da lui forniti, erano i più semplici. Oltre a lui, anche i matematici cinesi erano interessati a domande simili ai vecchi tempi. In Europa, le equazioni quadratiche iniziarono a essere risolte solo all'inizio del XIII secolo, ma in seguito furono utilizzate nel loro lavoro da grandi scienziati come Newton, Descartes e molti altri.