Tabella di conversione delle funzioni trigonometriche. Formule trigonometriche di base

La trigonometria è una delle branche della matematica, il cui focus è sugli angoli e sulle relazioni tra di loro. Le basi della scienza vengono poste negli anni scolastici, quando vengono introdotte le definizioni delle funzioni angolari. In futuro, la base risultante verrà utilizzata nello sviluppo dell'astronomia, della strumentazione, dell'architettura e di altre aree della conoscenza. Come ogni scienza esatta, la trigonometria non è completa senza formule. Uso pratico espressioni trovate per definire un argomento doppio. Ad esempio, ricorrendo all'equazione corrispondente, si può facilmente scoprirlo doppio angolo seno.

Espressione trigonometrica per il calcolo

L'espressione è semplicemente scritta e ricordata: il seno di un doppio angolo è calcolato come il doppio prodotto del seno e del coseno di un singolo argomento.

Questa formula è derivata dall'espressione per il seno della somma degli angoli ( Q 1 + Q 2 ) :

peccato( Q 1 + Q 2) = peccato Q 1* cos Q 1+ peccato Q 2*cos Q 2 .

Supponendo che angoli dati uguali tra loro, la formula è scritta nella forma usuale.

È possibile utilizzare un'espressione per qualsiasi valore dell'argomento della funzione. Calcolare il doppio angolo del seno da esso è abbastanza semplice, gli esempi seguenti aiuteranno a verificarlo.

Esempio di utilizzo

Ecco alcune illustrazioni dell'applicazione della formula risultante. Sia richiesto di calcolare il valore della funzione trigonometrica del seno di un angolo pari a 60 gradi. Il corrispondente singolo angolo sarebbe di 30 gradi. Poiché sono noti il ​​seno e il coseno di un angolo di 30 gradi, il doppio angolo del seno sarà sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

La formula viene utilizzata non solo per calcolare "manualmente", puoi anche trovare valori utilizzandola utilizzando pacchetti matematici o tabelle MS Excel.

Nonostante la semplicità dell'identità trigonometrica, crea difficoltà ai diplomati. Questo è esattamente ciò su cui contano gli sviluppatori dei task USE, che offrono test per verificare le formule di base. Conclusione: la formula per calcolare il doppio angolo del seno, devi conoscerla a memoria!

Domande più frequenti

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Le formule del doppio angolo vengono utilizzate per esprimere seni, coseni, tangenti, cotangenti di un angolo con un valore di 2 α utilizzando le funzioni trigonometriche dell'angolo α . Questo articolo introdurrà tutte le formule del doppio angolo con le dimostrazioni. Saranno presi in considerazione esempi di applicazione delle formule. Nella parte finale verranno mostrate le formule per gli angoli tripli, quadrupli.

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Elenco delle formule del doppio angolo

Per convertire le formule del doppio angolo, ricorda che gli angoli in trigonometria hanno la forma n α notazione, dove n è numero naturale, il valore dell'espressione viene scritto senza parentesi. Pertanto, sin n α è considerato avere lo stesso significato di sin (n α) . Con la notazione sin n α abbiamo una notazione simile (sin α) n . L'uso del record è applicabile a tutti funzioni trigonometriche con poteri di n.

Le seguenti sono le formule del doppio angolo:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Si noti che queste formule sin e cos sono applicabili con qualsiasi valore dell'angolo α. La formula per la tangente di un doppio angolo è valida per qualsiasi valore di α, dove t g 2 α ha senso, cioè α ≠ π 4 + π 2 · z, z è un qualsiasi intero. La cotangente di un doppio angolo esiste per ogni α , dove c t g 2 α è definito su α ≠ π 2 · z .

Il coseno di un doppio angolo ha una tripla notazione di un doppio angolo. Sono tutti applicabili.

Dimostrazione delle formule del doppio angolo

La dimostrazione delle formule deriva dalle formule di addizione. Applichiamo le formule per il seno della somma:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β e il coseno della somma cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Supponiamo che β = α , allora lo otteniamo

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α e cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Pertanto, vengono dimostrate le formule per il seno e il coseno del doppio angolo sin 2 α \u003d 2 sin α cos α e cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α.

riposo formule cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α e cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 portano alla forma cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, quando si sostituisce 1 con la somma di quadrati secondo l'identità principale sin 2 α + cos 2 α = 1 . Otteniamo che sin 2 α + cos 2 α = 1. Quindi 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α e 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Per dimostrare le formule per il doppio angolo di tangente e cotangente, applichiamo le uguaglianze t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α e c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. Dopo la trasformazione, otteniamo che t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α e c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Dividi l'espressione per cos 2 α dove cos 2 α ≠ 0 con qualsiasi valore di α quando t g α è definito. Dividi un'altra espressione per sin 2 α , dove sin 2 α ≠ 0 con qualsiasi valore di α , quando c t g 2 α ha senso. Per dimostrare la formula del doppio angolo per tangente e cotangente, sostituiamo e otteniamo:

- sicuramente ci saranno compiti in trigonometria. La trigonometria è spesso antipatica per dover stipare un'enorme quantità di formule difficili piene di seni, coseni, tangenti e cotangenti. Il sito già una volta dava consigli su come ricordare una formula dimenticata, usando l'esempio delle formule di Eulero e Peel.

E in questo articolo cercheremo di dimostrare che è sufficiente conoscere con fermezza solo cinque dei più semplici formule trigonometriche, e sul resto per avere un'idea generale e mostrarle man mano che procedi. È come con il DNA: i disegni completi di un essere vivente finito non sono immagazzinati nella molecola. Contiene, piuttosto, le istruzioni per assemblarlo dagli amminoacidi disponibili. Così è in trigonometria, conoscendone un po' principi generali, otterremo tutte le formule necessarie da un piccolo insieme di quelle che devono essere tenute a mente.

Faremo affidamento sulle seguenti formule:

Dalle formule per il seno e il coseno delle somme, sapendo che la funzione coseno è pari e che la funzione seno è dispari, sostituendo -b con b, otteniamo le formule per le differenze:

1. Seno di differenza: peccato(a-b) = peccatouncos(-b)+cosunpeccato(-b) = peccatouncosb-cosunpeccatob
2. differenza di coseno: cos(a-b) = cosuncos(-b)-peccatounpeccato(-b) = cosuncosb+peccatounpeccatob

Mettendo a \u003d b nelle stesse formule, otteniamo le formule per il seno e il coseno dei doppi angoli:

1. Seno di un doppio angolo: peccato2a = peccato(a+a) = peccatouncosun+cosunpeccatoun = 2peccatouncosun
2. Coseno di un doppio angolo: cos2a = cos(a+a) = cosuncosun-peccatounpeccatoun = cos2a-peccato2a

Le formule per altri angoli multipli si ottengono in modo simile:

1. Seno di un angolo triplo: peccato3a = peccato(2a+a) = peccato2acosun+cos2apeccatoun = (2peccatouncosun)cosun+(cos2a-peccato2a)peccatoun = 2peccatouncos2a+peccatouncos2a-peccato 3a = 3 peccatouncos2a-peccato 3a = 3 peccatoun(1-peccato2a)-peccato 3a = 3 peccatoun-4peccato 3a
2. Coseno di un angolo triplo: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosun-peccato2apeccatoun = (cos2a-peccato2a)cosun-(2peccatouncosun)peccatoun = cos 3a- peccato2acosun-2peccato2acosun = cos 3a-3 peccato2acosun = cos 3 a-3(1- cos2a)cosun = 4cos 3a-3 cosun

Prima di andare avanti, consideriamo un problema.
Dato: l'angolo è acuto.
Trova il suo coseno se
Soluzione data da uno studente:
Perché , poi peccatoun= 3,a cosun = 4.
(Dall'umorismo matematico)

Quindi, la definizione di tangente collega questa funzione sia con seno che con coseno. Ma puoi ottenere una formula che dia la connessione della tangente solo con il coseno. Per ricavarlo, prendiamo il main identità trigonometrica: peccato 2 un+cos 2 un= 1 e dividilo per cos 2 un. Noi abbiamo:

Quindi la soluzione a questo problema sarebbe:

(Poiché l'angolo è acuto, il segno + viene preso quando si estrae la radice)

La formula per la tangente della somma è un'altra difficile da ricordare. Produciamolo in questo modo:

uscita immediatamente e

Dalla formula del coseno per un doppio angolo, puoi ottenere le formule del seno e del coseno per un mezzo angolo. Per fare ciò, sul lato sinistro della formula del coseno del doppio angolo:
cos2 un = cos 2 un-peccato 2 un
aggiungiamo un'unità e, a destra, un'unità trigonometrica, ad es. somma dei quadrati di seno e coseno.
cos2a+1 = cos2a-peccato2a+cos2a+peccato2a
2cos 2 un = cos2 un+1
esprimendo cosun attraverso cos2 un ed effettuando un cambio di variabili, otteniamo:

Il segno viene preso a seconda del quadrante.

Allo stesso modo, sottraendo uno dal lato sinistro dell'uguaglianza e la somma dei quadrati del seno e del coseno dal lato destro, otteniamo:
cos2a-1 = cos2a-peccato2a-cos2a-peccato2a
2peccato 2 un = 1-cos2 un

Infine, per convertire la somma delle funzioni trigonometriche in un prodotto, utilizziamo il seguente trucco. Supponiamo di dover rappresentare la somma dei seni come un prodotto peccatoun+peccatob. Introduciamo variabili xey tali che a = x+y, b+x-y. Quindi
peccatoun+peccatob = peccato(x+y)+ peccato(x-y) = peccato X cos y+ cos X peccato y+ peccato X cos si- cos X peccato y=2 peccato X cos y. Esprimiamo ora xey in termini di aeb.

Poiché a = x+y, b = x-y, allora . Così

Puoi ritirarti immediatamente

1. Formula di partizione prodotti di seno e coseno in importo: peccatouncosb = 0.5(peccato(a+b)+peccato(a-b))

Ti consigliamo di esercitarti e ricavare formule per convertire il prodotto della differenza dei seni e della somma e differenza dei coseni in un prodotto, nonché per dividere i prodotti dei seni e dei coseni in una somma. Dopo aver svolto questi esercizi, padroneggerai a fondo l'abilità di derivare formule trigonometriche e non ti perderai nemmeno nel controllo, nell'olimpiade o nel test più difficili.