Ó-ó-ó-ó-ó ... hát ócska, mintha magadban olvasnád a mondatot =) Viszont akkor a lazítás segít, főleg, hogy ma vettem megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, a cikk végére megőrizöm a vidám hangulatot.

Két egyenes vonal kölcsönös elrendezése

Az az eset, amikor a terem kórusban énekel. Két sor lehet:

1) egyezés;

2) párhuzamos legyen: ;

3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .

Segítség a babáknak : emlékezzen a kereszteződés matematikai jelére, nagyon gyakran előfordul. A bejegyzés azt jelenti, hogy az egyenes metszi a pontban lévő egyenest.

Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete?

Kezdjük az első esettel:

Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy ilyen "lambda" szám, hogy az egyenlőségek

Tekintsünk egyeneseket, és a megfelelő együtthatókból alkossunk három egyenletet: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.

Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója szorozzuk meg -1-gyel (az előjelek változása), és az egyenlet összes együtthatójával 2-vel csökkentve ugyanazt az egyenletet kapjuk: .

A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha együtthatóik a változóknál arányosak: , de.

Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát:

Az azonban világos, hogy.

És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:

Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, vagyis a "lambda"-nak NINCS olyan értéke, hogy az egyenlőségek teljesüljenek

Tehát az egyenesekhez egy rendszert állítunk össze:

Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , tehát a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.

Következtetés: a vonalak metszik egymást

Gyakorlati feladatokban az imént vizsgált megoldási séma használható. Egyébként nagyon hasonlít a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmushoz, amelyet a leckében megvizsgáltunk. A vektorok lineáris (nem) függésének fogalma. Vektoros alapon. De van egy civilizáltabb csomag is:

1. példa

Nézze meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:

Döntés egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:

a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: .

, tehát a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.

Minden esetre teszek egy követ mutatókkal a keresztútra:

A többiek átugranak a kövön, és követik, egyenesen Kashcsejhez, a Haláltalanhoz =)

b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy azonosak. Itt a determináns nem szükséges.

Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, míg .

Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség:

És így,

c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

Számítsuk ki a determinánst, amely ezen vektorok koordinátáiból áll:
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.

A "lambda" arányossági tényező könnyen látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenleteknek az együtthatóin keresztül is megtalálható: .

Most nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség. Mindkét ingyenes feltétel nulla, tehát:

A kapott érték kielégítő ezt az egyenletet(általában bármilyen számhoz illik).

Így a vonalak egybeesnek.

Válasz:

Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta) szóban, szó szerint, pillanatok alatt megoldani a felmerült problémát. Ebben a tekintetben nem látok okot arra, hogy önálló megoldást ajánljak, jobb, ha még egy fontos téglát rakunk a geometriai alapba:

Hogyan húzzunk egy adott vonallal párhuzamos vonalat?

Ha nem ismeri ezt a legegyszerűbb feladatot, a Rabló Nightingale szigorúan megbünteti.

2. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!

Döntés: Az ismeretlen sort jelölje betűvel. Mit mond erről a feltétel? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a "ce" egyenes irányítóvektora is alkalmas a "de" egyenes megszerkesztésére.

Kivesszük az irányvektort az egyenletből:

Válasz:

A példa geometriája egyszerűnek tűnik:

Az analitikai ellenőrzés a következő lépésekből áll:

1) Ellenőrizzük, hogy a vonalak irányvektora azonos (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.

Az analitikus ellenőrzés a legtöbb esetben könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan rájönnek, hogy a vonalak párhuzamosak rajz nélkül.

A mai önmegoldó példák kreatívak lesznek. Mert még mindig versenyezni kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle rejtvény szerelmese.

3. példa

Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre

Van racionális és nem túl racionális megoldás is. A legrövidebb út a lecke végén van.

Dolgoztunk egy kicsit a párhuzamos vonalakon, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért gondoljon egy olyan problémára, amelyről ismerős iskolai tananyag:

Hogyan találjuk meg két egyenes metszéspontját?

Ha egyenes pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Itt van neked geometriai érzék kettő lineáris egyenletek két ismeretlennel két egymást metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

4. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Döntés: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.

Grafikus mód Egyszerűen meg kell rajzolni a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudni a metszéspontot:

Íme a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit egy egyenes minden egyenletébe, oda és oda is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Valójában egy grafikus megoldást vettünk fontolóra lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.

A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy a helyes ill PONTOS rajz el fog múlni az idő. Ráadásul néhány vonalat nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont valahol a harmincadik birodalomban lehet a notebook lapon kívül.

Ezért célszerűbb a metszéspontot keresni elemzési módszer. Oldjuk meg a rendszert:

A rendszer megoldásához az egyenletek termikus összeadás módszerét alkalmaztuk. A megfelelő készségek fejlesztéséhez látogassa meg a leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?

Válasz:

Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük a rendszer minden egyenletét.

5. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.

Ez egy „csináld magad” példa. A feladat kényelmesen több szakaszra osztható. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Írja fel az egyenes egyenletét!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

A cselekvési algoritmus kidolgozása sok geometriai feladatra jellemző, erre fogok ismételten összpontosítani.

Teljes megoldás és válasz az oktatóprogram végén:

Egy pár cipő még nem kopott el, a lecke második részéhez érkeztünk:

Merőleges vonalak. Egy pont és egy egyenes távolsága.
Szög a vonalak között

Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladattal. Az első részben megtanultuk, hogyan kell a megadottal párhuzamos egyenest építeni, most pedig 90 fokkal elfordul a csirkecombokon lévő kunyhó:

Hogyan rajzoljunk egy adott vonalra merőleges vonalat?

6. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet egy ponton átmenő merőleges egyenesre!

Döntés: Feltételezve ismert, hogy . Jó lenne megtalálni az egyenes irányvektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:

Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: ​​, amely az egyenes irányítóvektora lesz.

Az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányítóvektorból állítjuk össze:

Válasz:

Hajtsuk ki a geometriai vázlatot:

Hmmm... Narancssárga ég, narancssárga tenger, narancssárga teve.

Az oldat analitikai ellenőrzése:

1) Húzza ki az irányvektorokat az egyenletekből! és a segítségével vektorok pontszorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .

Egyébként használhatsz normál vektorokat, még egyszerűbb.

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet .

Az ellenőrzést ismét könnyű verbálisan végrehajtani.

7. példa

Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! és pont.

Ez egy „csináld magad” példa. A feladatban több művelet is található, így kényelmes a megoldást pontról pontra rendezni.

A miénk mulatságos utazás folytatja:

Távolság ponttól vonalig

Előttünk a folyó egyenes sávja, a mi feladatunk, hogy a legrövidebb úton elérjük. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőlegesen való mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A távolságot a geometriában hagyományosan jelölik görög levél"ro", például: - az "em" pont és a "de" egyenes közötti távolság.

Távolság ponttól vonalig képlettel fejezzük ki

8. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Döntés: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

Végezzük el a rajzot:

A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha kockás papírra rajzot készít 1 egységnyi léptékben. \u003d 1 cm (2 cella), akkor a távolság egy közönséges vonalzóval mérhető.

Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon rajz szerint:

A feladat annak a pontnak a koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom a műveletek önálló végrehajtását, azonban a megoldási algoritmust köztes eredményekkel felvázolom:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges egy egyenesre!

2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: .

Mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk ebben a leckében.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által képletek a szakasz közepének koordinátáihoz megtalálja .

Nem lesz felesleges ellenőrizni, hogy a távolság is egyenlő-e 2,2 egység.

Számítási nehézségek adódhatnak, de a toronyban sokat segít a mikrokalkulátor, amely lehetővé teszi a számolást közönséges törtek. Sokszor tanácsoltam és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy másik példa egy független megoldásra. Egy kis tipp: végtelenül sok megoldás létezik. Az óra végén kikérdezés, de jobb, ha saját maga próbálja kitalálni, azt hiszem, sikerült jól eloszlatnia a találékonyságát.

Szög két vonal között

Bármi legyen is a sarok, akkor a jamb:


A geometriában két egyenes közötti szöget vesszük a KISEBB szögnek, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szög nem tekinthető a metsző vonalak közötti szögnek. És „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú karmazsin sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Hogyan különböznek a szögek? Irányultság. Először is alapvetően fontos a sarok "görgetésének" iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt? Úgy tűnik, meg lehet boldogulni a szög szokásos fogalmával. Az a helyzet, hogy azokban a képletekben, amelyekkel a szögeket megtaláljuk, könnyen negatív eredményt kaphatunk, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A negatív szög rajzán feltétlenül jelezni kell a tájolását (óramutató járásával megegyező irányba) nyíllal.

Hogyan lehet megtalálni a szöget két vonal között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

Döntésés 1. módszer

Tekintsünk két egyenest általános formában egyenletekkel:

Ha egyenes nem merőleges, azután orientált a köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányvektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője eltűnik, és a vektorok merőlegesek lesznek, az egyenesek pedig merőlegesek. Éppen ezért a megfogalmazásban a vonalak nem merőlegessége miatt fenntartással éltek.

A fentiek alapján a megoldás kényelmesen formalizálható két lépésben:

1) Számítsa ki az egyenesek irányítóvektorainak skaláris szorzatát:
tehát a vonalak nem merőlegesek.

2) A vonalak közötti szöget a következő képlettel találjuk meg:

Keresztül inverz függvény könnyen megtalálhatja magát a sarkot. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd az ábrát). Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

A válaszban jelezze pontos érték, valamint egy számológép segítségével kiszámított hozzávetőleges érték (lehetőleg fokban és radiánban egyaránt).

Hát mínusz, tehát mínusz, rendben van. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladat feltételében az első szám egy egyenes, és a szög „csavarása” pontosan ebből indult ki.

Ha valóban pozitív szöget akarunk elérni, akkor az egyeneseket fel kell cserélni, azaz a második egyenletből kell átvenni az együtthatókat , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

A pont és az egyenes távolsága a pont és az egyenes közötti merőleges hossza. A leíró geometriában grafikusan határozzuk meg az alábbi algoritmus szerint.

Algoritmus

1. Az egyenes olyan helyzetbe kerül, amelyben párhuzamos bármely vetítési síkkal. Ehhez alkalmazza az ortogonális vetületek transzformációs módszereit.
2. Rajzolj merőlegest egy pontból egy egyenesre. Ez a konstrukció a derékszögű vetítési tételen alapul.
3. A merőleges hosszát a vetületeinek konvertálásával vagy a derékszögű háromszög módszerrel határozzuk meg.

A következő ábra mutatja összetett rajz M pontot és b egyenest a CD szakasz adja. Meg kell találni a távolságot köztük.

Algoritmusunk szerint először az egyenest a vetítési síkkal párhuzamos pozícióba kell mozgatni. Fontos megérteni, hogy az átalakítások után a pont és az egyenes közötti tényleges távolság nem változhat. Ezért célszerű itt a síkcsere módszert alkalmazni, amely nem jár alakok térben mozgatásával.

Az alábbiakban az építkezések első szakaszának eredményeit mutatjuk be. Az ábrán látható, hogyan kerül be a b-vel párhuzamosan egy további P 4 frontsík. NÁL NÉL új rendszer(P 1 , P 4) A C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 pontok ugyanolyan távolságra vannak az X 1 tengelytől, mint a C"", D"", M"" az X tengelytől.

Az algoritmus második részét végrehajtva az M"" 1-ből az M"" 1 N"" 1 merőlegest leeresztjük a b"" 1 egyenesre, mivel a b és MN közötti MND derékszög a P 4 síkra vetül. teljes méretben. Meghatározzuk az N" pont helyzetét a kommunikációs vonal mentén, és megrajzoljuk az MN szakasz M"N" vetületét.

A végső szakasz meg kell határozni az MN szakasz értékét az M"N" és M"" 1 N"" 1 vetületei alapján. Erre építünk derékszögű háromszög M"" 1 N"" 1 N 0 , amelynek N"" 1 N 0 lába egyenlő az M" és N" pontok X 1 tengelyről való eltávolításának különbségével (Y M 1 – Y N 1). Az M"" 1 N"" 1 N 0 háromszög M"" 1 N 0 befogójának hossza megfelel az M és b között kívánt távolságnak.

A megoldás második módja

• A CD-vel párhuzamosan bemutatunk egy új П 4 frontális síkot. Az X 1 tengely mentén metszi P 1-et, és X 1 ∥C"D". A síkok cseréjének módszerével összhangban meghatározzuk a C "" 1, D"" 1 és M"" 1 pontok vetületeit az ábrán látható módon.
• A C "" 1 D "" 1-re merőlegesen építünk egy további P 5 vízszintes síkot, amelyen a b egyenest a C" 2 \u003d b" 2 pontra vetítjük.
• Az M pont és a b egyenes közötti távolságot a pirossal jelölt M "2 C" 2 szakasz hossza határozza meg.

Kapcsolódó feladatok:

Ez a cikk a témáról szól « távolság ponttól vonalig », egy pont és egy egyenes távolság definícióit illusztrált példákkal szemléltetjük a koordináták módszerével. Az elmélet végén minden blokk példákat mutatott hasonló problémák megoldására.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A pont és az egyenes távolságát úgy határozzuk meg, hogy meghatározzuk egy pont és egy pont távolságát. Vizsgáljuk meg részletesebben.

Legyen egy a egyenes és egy M 1 pont, amely nem tartozik az adott egyeneshez. Rajzoljon rajta egy vonalat, amely merőleges az a egyenesre. Vegyük az egyenesek metszéspontját H 1-nek. Azt kapjuk, hogy M 1 H 1 egy merőleges, amelyet az M 1 pontból leeresztettünk az a egyenesre.

1. definíció

Távolság M 1 ponttól a egyenesig az M 1 és H 1 pontok közötti távolságot nevezzük.

A definícióról vannak feljegyzések a merőleges hosszának ábrájával.

2. definíció

Távolság ponttól vonalig egy adott pontból egy adott egyenesre húzott merőleges hossza.

A meghatározások egyenértékűek. Tekintsük az alábbi ábrát.

Ismeretes, hogy egy pont és az egyenes távolsága a lehető legkisebb. Nézzük ezt egy példával.

Ha az a egyenesen fekvő Q pontot vesszük, amely nem esik egybe az M 1 ponttal, akkor azt kapjuk, hogy az M 1 Q szakaszt ferde szakasznak nevezzük, M 1 -ről leeresztve az a egyenesre. Azt kell jelezni, hogy az M 1 pontból induló merőleges kisebb, mint bármely más, a pontból az egyenesbe húzott ferde.

Ennek bizonyítására tekintsük az M 1 Q 1 H 1 háromszöget, ahol M 1 Q 1 a hipotenusz. Ismeretes, hogy hossza mindig nagyobb, mint bármelyik láb hossza. Ebből adódik, hogy M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

A kiindulási adatok egy ponttól az egyenesig történő megtaláláshoz többféle megoldási módszert is lehetővé tesznek: a Pitagorasz-tételen keresztül, a szinusz, a koszinusz, a szög érintője és mások meghatározásaival. A legtöbb ilyen jellegű feladatot az iskolában geometria órán oldják meg.

Ha egy pont és egy egyenes távolságának megállapítása során lehetőség van téglalap alakú koordinátarendszer megadására, akkor a koordináta módszert alkalmazzuk. Ebben a bekezdésben megvizsgáljuk az adott ponttól való kívánt távolság meghatározásának két fő módszerét.

Az első módszer az M 1 -től az a egyenesre húzott merőleges távolságot tartalmazza. A második módszer az a egyenes normálegyenletét használja a kívánt távolság meghatározásához.

Ha van a síkon egy téglalap alakú koordinátarendszerben elhelyezkedő M 1 (x 1, y 1) koordinátájú pont, egy egyenes a, és meg kell találni az M 1 H 1 távolságot, akkor kétféleképpen számolhat. Tekintsük őket.

Első út

Ha a H 1 pontnak vannak x 2, y 2 koordinátái, akkor a pont és az egyenes távolságát az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) képlet koordinátáiból számítjuk ki. 2 - y 1) 2.

Most lépjünk tovább a H 1 pont koordinátáinak megkeresésére.

Ismeretes, hogy az O x y-ban lévő egyenes egy síkban lévő egyenes egyenletének felel meg. Vegyünk egy módot egy egyenes definiálására, és írjunk le egy általános egyenes egyenletet vagy egy meredekségű egyenletet. Összeállítjuk egy egyenes egyenletét, amely egy adott a egyenesre merőlegesen áthalad az M 1 ponton. Jelöljük a vonalat bükk b -vel. H 1 az a és b egyenesek metszéspontja, ezért a koordináták meghatározásához azt a cikket kell használni, amelyben kérdéses két egyenes metszéspontjának koordinátáin.

Látható, hogy az adott M 1 (x 1, y 1) pont és az a egyenes távolságának meghatározására szolgáló algoritmust a pontok szerint hajtjuk végre:

3. definíció

• az a egyenes általános egyenletének megtalálása, amelynek alakja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, vagy egy meredekségi együtthatóval rendelkező egyenlet, amelynek alakja y \u003d k 1 x + b 1;
• megkapjuk a b egyenes általános egyenletét, amelynek alakja A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, vagy egy y \u003d k 2 x + b 2 meredekségű egyenletet, ha a b egyenes metszi az M 1 pontot és merőleges az adott a egyenesre;
• az a és b metszéspontját jelentő H 1 pont x 2, y 2 koordinátáinak meghatározása, ehhez a lineáris egyenletrendszer megoldva A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 vagy y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• egy ponttól az egyenesig tartó szükséges távolság kiszámítása az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 képlet segítségével.

Második út

A tétel segíthet megválaszolni azt a kérdést, hogy meg kell-e találni a távolságot egy adott ponttól egy síkon egy adott egyenesig.

Tétel

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben O x y egy M 1 (x 1, y 1) ponttal rendelkezik, amelyből a sík normálegyenlete által adott síkra egy egyenest húzunk, amelynek alakja cos α x + cos β y - p \u003d 0, egyenlő modulo-val, a normál egyenes egyenlet bal oldalán kapott érték x = x 1, y = y 1 értékkel számítva azt jelenti, hogy M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Bizonyíték

Az a egyenes megfelel a sík normálegyenletének, amelynek alakja cos α x + cos β y - p = 0, akkor n → = (cos α , cos β) az a egyenes normálvektorának tekinthető a pontban. távolság az origótól az a egyenesig p egységgel . Az ábrán az összes adatot ábrázolni kell, hozzá kell adni egy M 1 (x 1, y 1) koordinátájú pontot, ahol az M 1 - O M 1 pont sugárvektora → = (x 1, y 1) . Egy pontból egyenes vonalat kell húzni az egyenesbe, amit M 1 H 1 -gyel fogunk jelölni. Meg kell mutatni az M 1 és H 2 pontok M 2 és H 2 vetületeit az O ponton átmenő egyenesen n → = (cos α , cos β) alakú irányítóvektorral, valamint a numerikus vetületet. a vektor jelölése O M 1 → = (x 1 , y 1) n → = (cos α , cos β) irányban n p n → O M 1 → .

A változatok magának az M 1 pontnak a helyétől függenek. Tekintsük az alábbi ábrát.

Az eredményeket az M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p képlettel rögzítjük. Ekkor hozzuk az egyenlőséget ebbe az M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p alakba, hogy megkapjuk n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

A vektorok skaláris szorzata egy n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → formájú transzformált képletet eredményez, amely a koordináta alakjának szorzata. n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 alak. Ebből kapjuk, hogy n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ebből következik, hogy M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . A tétel bizonyítást nyert.

Azt kapjuk, hogy az M 1 (x 1, y 1) pont és az a egyenes távolságának meghatározásához a síkon több műveletet kell végrehajtani:

4. definíció

• az a cos α · x + cos β · y - p = 0 egyenes normálegyenletének beszerzése, feltéve, hogy az nem szerepel a feladatban;
• a cos α · x 1 + cos β · y 1 - p kifejezés kiszámítása, ahol a kapott érték M 1 H 1 .

Alkalmazzuk ezeket a módszereket egy pont és egy sík közötti távolság megállapításával kapcsolatos problémák megoldására.

1. példa

Határozza meg az M 1 (- 1 , 2) koordinátájú pont és a 4 x - 3 y + 35 = 0 egyenes távolságát.

Döntés

Használjuk az első módszert a megoldáshoz.

Ehhez meg kell találni a b egyenes általános egyenletét, amely a 4 x - 3 y + 35 = 0 egyenesre merőlegesen áthalad egy adott M 1 (- 1, 2) ponton. Abból a feltételből látható, hogy a b egyenes merőleges az a egyenesre, akkor irányvektorának koordinátái egyenlők (4, - 3) . Így lehetőségünk van a b egyenes kanonikus egyenletét felírni a síkra, hiszen a b egyeneshez tartozó M 1 pontnak vannak koordinátái. Határozzuk meg a b egyenes irányítóvektorának koordinátáit. Azt kapjuk, hogy x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . A kapott kanonikus egyenletet általánossá kell konvertálni. Akkor azt kapjuk

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Keressük meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit, amelyeket H 1 jelölésnek veszünk. Az átalakítások így néznek ki:

4 x - 3 év + 35 = 0 3 x + 4 év - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 év - 35 4 3 x + 4 év - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 év - 35 4 3 3 4 év - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

A fentiekből azt kapjuk, hogy a H 1 pont koordinátái (- 5; 5) .

Ki kell számítani az M 1 pont és az a egyenes távolságát. Megvan, hogy az M 1 (- 1, 2) és H 1 (- 5, 5) pontok koordinátái, majd behelyettesítjük a távolságot kereső képletbe, és azt kapjuk, hogy

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

A második megoldás.

Más módon történő megoldáshoz meg kell kapni az egyenes normálegyenletét. Kiszámoljuk a normalizáló tényező értékét és megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát 4 x - 3 y + 35 = 0 . Innen azt kapjuk, hogy a normalizáló tényező - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , és a normál egyenlet a - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - alakú lesz. 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

A számítási algoritmus szerint meg kell szerezni egy egyenes normálegyenletét, és ki kell számítani az x = - 1, y = 2 értékekkel. Akkor azt kapjuk

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Innen azt kapjuk, hogy az M 1 (- 1, 2) pont és az adott 4 x - 3 y + 35 = 0 egyenes távolságának értéke - 5 = 5 .

Válasz: 5 .

Látható, hogy ennél a módszernél fontos az egyenes normálegyenletének alkalmazása, mivel ez a módszer a legrövidebb. De az első módszer kényelmes, mivel konzisztens és logikus, bár több számítási pontja van.

2. példa

A síkon van egy O x y derékszögű koordinátarendszer, amelynek M 1 (8, 0) pontja és y = 1 2 x + 1 egyenese van. Adott pont és egy egyenes távolságának meghatározása.

Döntés

Az első megoldás a csökkentést jelenti adott egyenlet az egyenlethez mért meredekséggel Általános nézet. Az egyszerűsítés kedvéért másképp is megteheti.

Ha a merőleges egyenesek lejtésének szorzata -1, akkor lejtő az adott y = 1-re merőleges egyenes 2 x + 1 értéke 2 . Most megkapjuk az M 1 (8, 0) koordinátájú ponton áthaladó egyenes egyenletét. Megvan, hogy y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Folytatjuk a H 1 pont koordinátáinak megtalálását, vagyis az y \u003d - 2 x + 16 és y \u003d 1 2 x + 1 metszéspontokat. Összeállítunk egy egyenletrendszert, és megkapjuk:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ebből következik, hogy az M 1 (8 , 0) koordinátájú pont és az y = 1 2 x + 1 egyenes távolsága egyenlő az M 1 (8 , 0) és H koordinátájú kezdőpont és végpont távolságával. 1 (6, 4) . Számítsuk ki és kapjuk meg, hogy M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

A második megoldás az, hogy az együtthatós egyenletből a normálalakjába lépünk. Azaz y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 lesz, akkor a normalizáló tényező értéke - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Ebből következik, hogy az egyenes normálegyenlete a következőképpen alakul: - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Számoljunk az M 1 8, 0 pontból a - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 alakú egyenesre. Kapunk:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Válasz: 2 5 .

3. példa

Ki kell számítani az M 1 (- 2 , 4) koordinátájú ponttól a 2 x - 3 = 0 és y + 1 = 0 egyenesek távolságát.

Döntés

Megkapjuk a 2 x - 3 = 0 egyenes normálalakjának egyenletét:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Ezután folytatjuk az M 1 - 2, 4 pont és az x - 3 2 = 0 egyenes távolságának kiszámítását. Kapunk:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Az y + 1 = 0 egyenes egyenlet normalizáló tényezője -1. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet a következő formában lesz: -y-1 = 0. Folytatjuk az M 1 (- 2, 4) pont és az - y - 1 = 0 egyenes közötti távolság kiszámításával. Azt kapjuk, hogy egyenlő - 4 - 1 = 5.

Válasz: 3 1 2 és 5 .

Tekintsük részletesen a sík adott pontjától az O x és O y koordinátatengelyek közötti távolság meghatározását.

Egy téglalap alakú koordináta-rendszerben az O y tengelynek egy egyenes egyenlete van, amely hiányos, és a következő formájú: x \u003d 0 és O x - y \u003d 0. Az egyenletek normálisak a koordinátatengelyekre, ekkor meg kell találni az M 1 x 1 , y 1 koordinátájú ponttól az egyenesek távolságát. Ez az M 1 H 1 = x 1 és M 1 H 1 = y 1 képletek alapján történik. Tekintsük az alábbi ábrát.

4. példa

Határozza meg az M 1 (6, - 7) pont és az O x y síkban lévő koordináta egyenesek távolságát.

Döntés

Mivel az y \u003d 0 egyenlet az O x egyenesre vonatkozik, a képlet segítségével megtalálhatja az M 1 távolságát adott koordinátákkal ehhez a vonalhoz. Azt kapjuk, hogy 6 = 6.

Mivel az x \u003d 0 egyenlet az O y egyenesre vonatkozik, a képlet segítségével megtalálhatja az M 1 és a vonal közötti távolságot. Akkor azt kapjuk, hogy -7 = 7.

Válasz: az M 1 és O x közötti távolság 6, M 1 és O y pedig 7.

Ha háromdimenziós térben van egy pontunk, melynek koordinátái M 1 (x 1, y 1, z 1), akkor meg kell találni az A pont és az a egyenes távolságát.

Tekintsünk két módszert, amelyek lehetővé teszik egy pont és egy térben található egyenes közötti távolság kiszámítását. Az első eset az M 1 pont és az egyenes közötti távolságot veszi figyelembe, ahol az egyenes pontját H 1-nek nevezzük, és ez az M 1 pontból az a egyenesre húzott merőleges alapja. A második eset azt sugallja, hogy ennek a síknak a pontjait kell keresni a paralelogramma magasságaként.

Első út

A definícióból azt kapjuk, hogy az a egyenesen elhelyezkedő M 1 ponttól mért távolság az M 1 H 1 merőleges hossza, akkor azt kapjuk a H 1 pont talált koordinátáival, akkor megkapjuk a távolságot. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) és H 1 (x 1, y 1, z 1) között az M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z képlet alapján 2 - z 1 2 .

Azt kapjuk, hogy az egész megoldás az M 1-ből az a egyenesre húzott merőleges alapjának koordinátáit keresi. Ez a következőképpen történik: H 1 az a pont, ahol az a egyenes metszi az adott ponton átmenő síkot.

Ez azt jelenti, hogy az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont és a tér a egyenese közötti távolság meghatározására szolgáló algoritmus több pontot foglal magában:

5. definíció

• a χ sík egyenletének felállítása az egyenesre merőleges adott ponton átmenő sík egyenleteként;
• a H ​​1 ponthoz tartozó koordináták (x 2, y 2, z 2) meghatározása, amely az a egyenes és a χ sík metszéspontja;
• egy pont és az egyenes közötti távolság kiszámítása az M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 képlet segítségével.

Második út

A feltételből van egy a egyenes, ekkor meghatározhatjuk az a → = a x, a y, a z irányvektort x 3, y 3, z 3 koordinátákkal és az a egyeneshez tartozó bizonyos M 3 ponttal. Az M 1 (x 1, y 1) és M 3 x 3, y 3, z 3, M 3 M 1 → pontok koordinátái alapján kiszámítható:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

El kell halasztani az a → \u003d a x, a y, a z és M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektorokat az M 3 pontból, összekapcsolni és kapni egy paralelogramma ábra. M 1 H 1 a paralelogramma magassága.

Tekintsük az alábbi ábrát.

Megvan, hogy az M 1 H 1 magasság a kívánt távolság, akkor meg kell találnia a képlet segítségével. Azaz M 1 H 1 -et keresünk.

Jelölje a paralelogramma területét S betűvel, az a → = (a x , a y , a z) és M 3 M 1 → = x 1 - x 3 vektor segítségével található képlet segítségével. y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . A területképlet alakja S = a → × M 3 M 1 → . Ezenkívül az ábra területe egyenlő az oldalai hosszának és a magasságának szorzatával, azt kapjuk, hogy S \u003d a → M 1 H 1 a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, amely az a → \u003d (a x, a y, a z) vektor hossza, lévén egyenlő oldal paralelogramma. Ezért M 1 H 1 a pont és az egyenes távolsága. Megtalálható az M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → képlettel.

Egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont és egy a térbeli egyenes távolságának meghatározásához az algoritmus több pontját kell végrehajtania:

6. definíció

• az a - a → = (a x , a y , a z) egyenes irányvektorának meghatározása;
• az a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 irányvektor hosszának kiszámítása;
• az a egyenesen található M 3 ponthoz tartozó x 3, y 3, z 3 koordináták beszerzése;
• az M 3 M 1 → vektor koordinátáinak kiszámítása;
• az a → (a x, a y, a z) és az M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektorok keresztszorzatának megtalálása, mint a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, hogy megkapjuk az a → × M 3 M 1 → képlet szerinti hosszúságot;
• egy pont és az egyenes távolságának kiszámítása M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Feladatok megoldása egy adott pont és egy adott térbeli egyenes távolságának meghatározására

5. példa

Határozzuk meg az M 1 2 , - 4 , - 1 koordinátájú pont távolságát az x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 egyenestől!

Döntés

Az első módszer az M 1-en átmenő és egy adott pontra merőleges χ sík egyenletének felírásával kezdődik. Ilyen kifejezést kapunk:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Meg kell találni annak a H 1 pontnak a koordinátáit, amely a χ síkkal a feltétel által megadott egyenes metszéspontja. A kanonikus formától át kell lépni a metsző formába. Ekkor a következő alakú egyenletrendszert kapjuk:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Ki kell számítani a rendszert x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramer módszerével, akkor azt kapjuk, hogy:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = z 0 - ∆ 60 = 0

Ebből adódik, hogy H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

A második módszert a kanonikus egyenletben koordináták keresésével kell kezdeni. Ehhez ügyeljen a tört nevezőire. Ekkor a → = 2, - 1, 5 az x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 egyenes irányvektora. A hosszt a következő képlettel kell kiszámítani: a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jól látható, hogy az x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 egyenes metszi az M 3 pontot (- 1 , 0 , - 5), így azt kapjuk, hogy az M 3 (- 1 , 0) origójú vektor , - 5) és vége az M 1 2 , - 4 , - 1 pontban M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Határozzuk meg az a → = (2, - 1, 5) és M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) vektorszorzatot.

Az a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j alakú kifejezést kapunk → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

azt kapjuk, hogy a keresztszorzat hossza a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Minden adatunk megvan ahhoz, hogy a képletet használjuk egy pont távolságának kiszámításához egy egyeneshez, ezért alkalmazzuk, és megkapjuk:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Válasz: 11 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Első szint

Koordináták és vektorok. Átfogó útmutató (2019)

Ebben a cikkben Ön és én egy "varázspálca" megbeszélését kezdjük, amely lehetővé teszi, hogy sok geometriai problémát egyszerű aritmetikára redukáljon. Ez a „pálca” nagyban megkönnyítheti az életét, különösen akkor, ha bizonytalannak érzi magát a térbeli alakzatok, metszetek stb. felépítésében. Mindez bizonyos képzelőerőt és gyakorlati készségeket igényel. A módszer, amelyet itt kezdünk megvizsgálni, lehetővé teszi, hogy szinte teljesen elvonatkoztasson mindenféle geometriai konstrukciótól és érveléstől. A módszer az ún "koordináta módszer". Ebben a cikkben a következő kérdéseket vizsgáljuk meg:

1. Koordináta sík
2. Pontok és vektorok a síkon
3. Vektor felépítése két pontból
4. Vektor hossza (két pont távolsága).
5. Középpont koordináták
6. A vektorok pontszorzata
7. Szög két vektor között

Gondolom, már sejtette, miért hívják így a koordináta-módszert? Igaz, hogy ilyen nevet kapott, hiszen nem geometriai objektumokkal, hanem azok numerikus jellemzőivel (koordinátáival) operál. Maga a transzformáció pedig, amely lehetővé teszi a geometriáról az algebrára való áttérést, egy koordinátarendszer bevezetéséből áll. Ha az eredeti ábra lapos volt, akkor a koordináták kétdimenziósak, ha pedig az ábra háromdimenziós, akkor a koordináták háromdimenziósak. Ebben a cikkben csak a kétdimenziós esetet vesszük figyelembe. A cikk fő célja pedig az, hogy megtanítsa Önt a koordináta-módszer néhány alapvető technikájának használatára (ezek néha hasznosnak bizonyulnak az egységes államvizsga B részének planimetriás problémáinak megoldásakor). A következő két rész ebben a témában a C2 probléma (a sztereometria probléma) megoldási módszereinek tárgyalását szolgálja.

Hol lenne logikus a koordináta-módszer tárgyalását kezdeni? Valószínűleg a koordinátarendszer fogalmával. Emlékezz, amikor először találkoztál vele. Nekem úgy tűnik, hogy 7. osztályban, amikor például egy lineáris függvény létezéséről tanultál. Hadd emlékeztesselek arra, hogy pontról pontra építetted fel. Emlékszel? Kiválasztott egy tetszőleges számot, behelyettesítette a képletbe, és így számolt. Például ha, akkor, ha, akkor stb. Mit kapott ennek eredményeként? És pontokat kapott koordinátákkal: és. Utána rajzoltál egy „keresztet” (koordináta-rendszer), választottál rá egy léptéket (hány cella lesz egyetlen szegmensben), és bejelölted rajta a kapott pontokat, amiket azután összekötöttél egy egyenessel, a kapott vonallal. a függvény grafikonja.

Van néhány dolog, amit kicsit részletesebben el kell magyarázni:

1. Kényelmi okokból egyetlen szegmenst választ ki, hogy minden szépen és kompaktan elférjen a képen

2. Feltételezzük, hogy a tengely balról jobbra, a tengely pedig alulról felfelé halad

3. Derékszögben metszik egymást, metszéspontjukat origónak nevezzük. Betűvel van jelölve.

4. Egy pont koordinátájának rögzítésében például a bal oldalon zárójelben a pont tengely menti koordinátája, jobb oldalon pedig a tengely mentén található. Különösen egyszerűen azt jelenti, hogy a lényeg

5. A koordinátatengely bármely pontjának beállításához meg kell adni a koordinátáit (2 szám)

6. A tengely bármely pontjára,

7. A tengely bármely pontjára,

8. A tengelyt x-tengelynek nevezzük

9. A tengelyt y-tengelynek nevezzük

Most tegyük meg veled a következő lépést: jelölj meg két pontot. Kösd össze ezt a két pontot egy vonallal. És tegyük úgy a nyilat, mintha pontról pontra rajzolnánk egy szakaszt: vagyis irányítottá tesszük a szakaszunkat!

Emlékszel, mi a másik neve egy irányított szegmensnek? Így van, vektornak hívják!

Így ha egy pontot összekötünk egy ponttal, és a kezdet az A pont, a vége pedig a B pont, akkor vektort kapunk. Te is csináltad ezt az építkezést 8. osztályban, emlékszel?

Kiderült, hogy a vektorokat, akárcsak a pontokat, két számmal jelölhetjük: ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük. Kérdés: Ön szerint elég, ha ismerjük a vektor kezdetének és végének koordinátáit, hogy megtaláljuk a koordinátáit? Kiderült, hogy igen! És nagyon egyszerű megtenni:

Így, mivel a vektorban a pont a kezdet és a vége, a vektornak a következő koordinátái vannak:

Például ha, akkor a vektor koordinátái

Most tegyük meg az ellenkezőjét, keressük meg a vektor koordinátáit. Min kell ehhez változtatnunk? Igen, fel kell cserélni az elejét és a végét: most a vektor eleje egy pontban lesz, a vége pedig egy pontban. Azután:

Nézd meg alaposan, mi a különbség a vektorok és? Az egyetlen különbség a koordinátákban lévő jelek. Ellentétesek. Ez a tény így van leírva:

Néha, ha nincs konkrétan megmondva, hogy melyik pont a vektor eleje, és melyik a vége, akkor a vektorokat nem két nagybetűvel, hanem egy kisbetűvel jelöljük, például: stb.

Most egy kicsit gyakorlatés keresse meg a következő vektorok koordinátáit:

Vizsgálat:

Most oldja meg a problémát egy kicsit nehezebben:

Egy vektor tórusz egy ponton on-cha-törmelékkel rendelkezik co-or-di-on-you-val. Find-di-te abs-cis-su pontok.

Mindez meglehetősen prózai: Legyen a pont koordinátái. Azután

A rendszert úgy állítottam össze, hogy meghatároztam, mik egy vektor koordinátái. Ekkor a pontnak vannak koordinátái. Minket az abszcissza érdekel. Azután

Válasz:

Mit lehet még csinálni a vektorokkal? Igen, szinte minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál (kivéve, hogy osztani nem lehet, de szorozni kétféleképpen lehet, amelyek közül az egyiket kicsit később tárgyaljuk)

1. A vektorok egymásra rakhatók
2. A vektorok kivonhatók egymásból
3. A vektorok szorozhatók (vagy oszthatók) tetszőleges nem nulla számmal
4. A vektorok szorozhatók egymással

Mindezek a műveletek meglehetősen vizuális geometriai ábrázolással rendelkeznek. Például az összeadás és kivonás háromszög (vagy paralelogramma) szabálya:

Egy vektor megnyúlik, zsugorodik vagy irányt változtat, ha számmal szorozzuk vagy osztjuk:

Itt azonban az a kérdés fog érdekelni, hogy mi történik a koordinátákkal.

1. Két vektor összeadásánál (kivonásánál) elemenként adjuk össze (kivonjuk) azok koordinátáit. Azaz:

2. Ha egy vektort megszorozunk (osztunk) egy számmal, akkor az összes koordinátáját megszorozzuk (osztjuk) ezzel a számmal:

Például:

· Find-di-a ko-or-di-nat századtól-ra összege.

Először keressük meg az egyes vektorok koordinátáit. Mindkettőnek ugyanaz az eredete – a kiindulási pont. Különböző a végük. Azután, . Most kiszámoljuk a vektor koordinátáit Ekkor a kapott vektor koordinátáinak összege egyenlő.

Válasz:

Most oldja meg saját maga a következő problémát:

· Keresse meg a vektor koordinátáinak összegét

Ellenőrizzük:

Tekintsük most a következő problémát: két pontunk van a koordinátasíkon. Hogyan lehet megtalálni a köztük lévő távolságot? Legyen az első pont, és a második. A köztük lévő távolságot jelöljük . Az érthetőség kedvéért készítsük el a következő rajzot:

Mit tettem? Először kapcsolódtam pontok és a pontból a tengellyel párhuzamos egyenest, a pontból pedig a tengellyel párhuzamos egyenest húzott. Egy ponton keresztezik egymást, és csodálatos alakot alkottak? Miért csodálatos? Igen, te és én szinte mindent tudunk a derékszögű háromszögről. Nos, a Pitagorasz-tétel, az biztos. A kívánt szakasz ennek a háromszögnek a befogója, a szakaszok pedig a lábak. Melyek a pont koordinátái? Igen, könnyen megtalálhatóak a képről: Mivel a szakaszok párhuzamosak a tengellyel, illetve a hosszuk is könnyen megtalálható: ha a szakaszok hosszát rendre átmenően jelöljük, akkor

Most használjuk a Pitagorasz-tételt. Ismerjük a lábak hosszát, megtaláljuk a hipotenúzát:

Így a két pont távolsága a koordinátáktól való különbségek négyzetes összege. Vagy - a két pont közötti távolság az őket összekötő szakasz hossza. Könnyen belátható, hogy a pontok közötti távolság nem függ az iránytól. Azután:

Ebből három következtetést vonunk le:

Gyakoroljunk egy kicsit a két pont távolságának kiszámításában:

Például ha, akkor a és közötti távolság az

Vagy menjünk másként: keressük meg a vektor koordinátáit

És keresse meg a vektor hosszát:

Amint látja, ugyanaz!

Most gyakorolj egy kicsit egyedül:

Feladat: keresse meg a megadott pontok közötti távolságot:

Ellenőrizzük:

Íme néhány további probléma ugyanarra a képletre vonatkozóan, bár ezek kissé eltérően hangzanak:

1. Find-di-te a szemhéj-to-ra hosszának négyzetét.

2. Nai-di-te négyzet a szemhéj hossza-ra

Gondolom könnyen kezeled őket? Ellenőrizzük:

1. És ez a figyelmesség kedvéért) Korábban már megtaláltuk a vektorok koordinátáit: . Ekkor a vektornak vannak koordinátái. A hosszának négyzete a következő lesz:

2. Keresse meg a vektor koordinátáit!

Ekkor a hosszának négyzete az

Semmi bonyolult, igaz? Egyszerű aritmetika, semmi több.

Az alábbi feladatokat nem lehet egyértelműen besorolni, inkább általános műveltségés egyszerű képek rajzolásának képessége.

1. Keresse meg a szög szinuszát a vágásból, kösse össze az n-edik pontot az abszcissza tengellyel.

és

Hogy fogjuk itt csinálni? Meg kell találni a szinuszát a szög és a tengely között. És hol kereshetjük a szinust? Így van, derékszögű háromszögben. Tehát mit kell tennünk? Építsd meg ezt a háromszöget!

Mivel a pont koordinátái és, akkor a szakasz egyenlő, és a szakasz. Meg kell találnunk a szög szinuszát. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a szinusz tehát az ellenkező láb és a hipotenusz aránya

Mit kell tennünk? Keresse meg a hipotenuzát. Ezt kétféleképpen teheti meg: a Pitagorasz-tétel segítségével (a lábak ismertek!), vagy a két pont távolságának képletével (valójában megegyezik az első módszerrel!). Én a második utat választom:

Válasz:

A következő feladat még könnyebbnek tűnik számodra. Ő - a pont koordinátáin.

2. feladat. A ponttól kezdve a per-pen-di-ku-lar az abs-ciss tengelyre süllyed. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Készítsünk egy rajzot:

A merőleges alapja az a pont, ahol az x tengelyt (tengelyt) metszi, számomra ez egy pont. Az ábrán látható, hogy vannak koordinátái: . Érdekel minket az abszcissza – vagyis az „X” komponens. Ő egyenlő.

Válasz: .

3. feladat. Az előző feladat feltételei szerint keresse meg a ponttól a koordinátatengelyek távolságának összegét!

A feladat általában elemi, ha tudja, mekkora a távolság egy ponttól a tengelyekig. Tudod? Remélem, de mégis emlékeztetlek:

Tehát a kicsit magasabban elhelyezkedő rajzomon már ábrázoltam egy ilyen merőlegest? Milyen tengelyről van szó? a tengelyhez. És akkor mekkora a hossza? Ő egyenlő. Most rajzoljon egy merőlegest a tengelyre, és keresse meg a hosszát. Egyenlő lesz, nem? Ekkor az összegük egyenlő.

Válasz: .

4. feladat. A 2. feladat feltételei között keresse meg az x tengely körüli pontra szimmetrikus pont ordinátáját.

Azt hiszem, intuitíven érted, mi a szimmetria? Nagyon sok tárgyon van: sok épület, asztal, sík, sok geometriai forma: golyó, henger, négyzet, rombusz stb. Nagyjából a szimmetria a következőképpen érthető: egy figura kettőből (vagy többből) áll. egyforma felek. Ezt a szimmetriát axiálisnak nevezzük. Akkor mi az a tengely? Pontosan ez az a vonal, amely mentén a figurát viszonylagosan egyforma felére lehet „vágni” (ezen a képen a szimmetriatengely egyenes):

Most pedig térjünk vissza a feladatunkhoz. Tudjuk, hogy a tengelyre szimmetrikus pontot keresünk. Ekkor ez a tengely a szimmetriatengely. Tehát meg kell jelölnünk egy pontot úgy, hogy a tengely két egyenlő részre vágja a szakaszt. Próbáljon meg megjelölni egy ilyen pontot saját maga. Hasonlítsa össze most az én megoldásommal:

Te is ezt tetted? Jól! A talált ponton az ordináta érdekel bennünket. Ő egyenlő

Válasz:

Most egy másodperc gondolkodás után mondja meg, mekkora lesz az A pontra szimmetrikus pont abszcissza az y tengely körül? Mi a válaszod? Helyes válasz: .

Általában a szabály így írható fel:

Az x tengely körüli pontra szimmetrikus pont koordinátái:

Az y tengely körüli pontra szimmetrikus pontnak vannak koordinátái:

Nos, most már tényleg ijesztő. feladat: Keresse meg egy pontra szimmetrikus pont koordinátáit az origóhoz képest. Először gondolkodj magadon, aztán nézd meg a rajzomat!

Válasz:

Most paralelogramma probléma:

5. feladat: A pontok ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te vagy-dee-on-tu pontok.

Ezt a problémát kétféleképpen oldhatja meg: logikával és koordináta módszerrel. Először a koordináta módszert alkalmazom, majd elmondom, hogyan dönthetsz másként.

Teljesen világos, hogy a pont abszcisszája egyenlő. (a pontból az x tengelyre húzott merőlegesen fekszik). Meg kell találnunk az ordinátát. Használjuk ki, hogy az ábránk paralelogramma, ami azt jelenti. Határozza meg a szakasz hosszát a két pont közötti távolság képletével:

Leengedjük a pontot a tengellyel összekötő merőlegest. A metszéspontot egy betű jelöli.

A szakasz hossza egyenlő. (keresse meg maga a problémát, ahol ezt a pillanatot tárgyaltuk), akkor a Pitagorasz-tétel segítségével megkeressük a szakasz hosszát:

A szakasz hossza pontosan megegyezik az ordinátájával.

Válasz: .

Egy másik megoldás (csak adok egy képet, ami illusztrálja)

A megoldás előrehaladása:

1. Költeni

2. Keresse meg a pont koordinátáit és hosszát

3. Bizonyítsd be.

Másik vágási hossz probléma:

A pontok:-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Keresse meg a középvonal hosszát, par-ral-lel-noy.

Emlékszel, mi a háromszög középvonala? Akkor számodra ez a feladat elemi. Ha nem emlékszik, akkor emlékeztetni fogom: a háromszög középvonala egy olyan egyenes, amely a szemközti oldalak felezőpontjait köti össze. Párhuzamos az alappal, és egyenlő annak felével.

Az alap egy szegmens. Korábban meg kellett keresnünk a hosszát, egyenlő. Ekkor a középvonal hossza fele olyan hosszú és egyenlő.

Válasz: .

Megjegyzés: Ezt a problémát más módon is meg lehet oldani, erre egy kicsit később térünk ki.

Addig is itt van pár feladat, gyakoroljatok rajtuk, elég egyszerűek, de segítenek a koordináta módszerrel „bekapni”!

1. A pontok megjelennek-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Keresse meg a középvonalának hosszát.

2. Pontok és yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te vagy-dee-on-tu pontok.

3. Keresse meg a hosszt a vágástól, kösse össze a második pontot és

4. Keresse meg-di-te a vörös-shen-noy fi-gu-ry területét a ko-or-di-nat-noy síkon.

5. A na-cha-le ko-or-di-nat középpontú kör áthalad egy ponton. Find-de-te rá-di-bajuszát.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, írja le-san-noy közel a derékszög-no-ka, a valami-ro-go tops-shi-ny-ja együtt vagy - di-na-te társ-tól-válasz-de

Megoldások:

1. Ismeretes, hogy a trapéz középvonala egyenlő az alapjai összegének felével. Az alap egyenlő, de az alap. Azután

Válasz:

2. A probléma megoldásának legegyszerűbb módja ennek észrevétele (parallelogramma szabály). Számítsa ki a vektorok koordinátáit, és nem nehéz: . Vektorok hozzáadásakor a koordináták összeadásra kerülnek. Aztán vannak koordináták. A pontnak ugyanazok a koordinátái, mivel a vektor eleje egy koordinátákkal rendelkező pont. Érdekel minket az ordináta. Ő egyenlő.

Válasz:

3. Azonnal cselekszünk a két pont távolságának képlete szerint:

Válasz:

4. Nézze meg a képet, és mondja meg, melyik két figura közé van „beszorítva” az árnyékolt terület? Két négyzet között van elhelyezve. Ezután a kívánt szám területe egyenlő a nagy négyzet területével, mínusz a kicsi területével. A kis négyzet oldala a pontokat összekötő szakasz, hossza pedig az

Ekkor a kis négyzet területe

Ugyanezt tesszük egy nagy négyzettel is: oldala a pontokat összekötő szakasz, hossza pedig egyenlő

Ekkor a nagy négyzet területe

A kívánt ábra területét a következő képlet határozza meg:

Válasz:

5. Ha a kör középpontja az origó, és átmegy egy ponton, akkor a sugara pontosan megegyezik a szakasz hosszával (rajzoljon, és megérti, hogy ez miért nyilvánvaló). Keresse meg ennek a szakasznak a hosszát:

Válasz:

6. Ismeretes, hogy egy téglalapra körülírt kör sugara egyenlő az átlójának felével. Határozzuk meg a két átló bármelyikének hosszát (elvégre egy téglalapban egyenlők!)

Válasz:

Nos, sikerült mindent? Nem volt olyan nehéz kitalálni, igaz? Itt csak egy szabály van - képes legyen vizuális képet készíteni, és egyszerűen „elolvasni” az összes adatot.

Nagyon kevés van hátra. Szó szerint van még két dolog, amit szeretnék megvitatni.

Próbáljuk meg megoldani ezt az egyszerű problémát. Legyen két pont és adott. Keresse meg a szakasz közepének koordinátáit. A probléma megoldása a következő: legyen a pont a kívánt közepe, akkor vannak koordinátái:

Azaz: a szakasz közepének koordinátái = a szakasz végének megfelelő koordinátáinak számtani átlaga.

Ez a szabály nagyon egyszerű, és általában nem okoz nehézséget a tanulóknak. Lássuk, milyen problémák esetén és hogyan használják:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-edik pont és

2. A pontok: yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu pontok re-re-se-che-niya az ő dia-go-on-lei.

3. Keresse meg-di-te abs-cis-su a kör közepét, írja le-san-noy közel a téglalap-no-ka, a tops-shi-van valami-ro-go co-or-di- na-te társ-tól-vet-stvenno-but.

Megoldások:

1. Az első feladat csak egy klasszikus. Azonnal cselekszünk a szakasz felezőpontjának meghatározásával. Vannak koordinátái. Az ordináta egyenlő.

Válasz:

2. Könnyen belátható, hogy az adott négyszög paralelogramma (akár rombusz!). Ezt az oldalak hosszának kiszámításával és egymással való összehasonlításával te is bebizonyíthatod. Mit kell tudni a paralelogrammáról? Átlóit a metszéspont kettévágja! Aha! Tehát mi az átlók metszéspontja? Ez bármelyik átló közepe! Különösen az átlót fogom választani. Ekkor a pontnak vannak koordinátái.A pont ordinátája egyenlő.

Válasz:

3. Mi a téglalapra körülírt kör középpontja? Egybeesik átlóinak metszéspontjával. Mit kell tudni a téglalap átlóiról? Egyenlőek, és a metszéspontot ketté kell osztani. A feladat az előzőre csökkent. Vegyük például az átlót. Ekkor ha a körülírt kör középpontja, akkor a közepe. Koordinátákat keresek: Az abszcissza egyenlő.

Válasz:

Most gyakorolj egy kicsit egyedül, csak az egyes problémákra adom a választ, hogy ellenőrizd magad.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, írja le-san-noy a háromszög-no-ka közelében, a valaki-ro-go tetején ko-or-di -no misterek vannak

2. Keresse meg-di-te vagy-di-na-tu a kör középpontját, írja le a san-noy-t a háromszög közelében-no-ka, a csúcsokat-shi-van valami-ro-go koordinátáink

3. Milyen ra-di-y-sa legyen egy olyan kör, amelynek egy pontjában a középpontja úgy érinti az absz-ciss tengelyt?

4. Keresse meg-di-te vagy-di-on-e ponton a tengely újbóli kereséséhez és a kivágásból, kösse össze a nya-yu-edik pontot és

Válaszok:

Minden sikerült? Nagyon remélem! Most - az utolsó lökés. Most legyen különösen óvatos. Az az anyag, amelyet most elmagyarázok, nem csak közvetlenül kapcsolódik egyszerű feladatokat a koordináta módszerhez a B részből, de a C2 feladatban is mindenhol előfordul.

Melyik ígéretemet nem tartottam még be? Emlékszel, milyen vektorokra vonatkozó műveleteket ígértem bevezetni, és melyeket vezettem be végül? Biztos, hogy nem felejtettem el semmit? Elfelejtettem! Elfelejtettem elmagyarázni, mit jelent a vektorok szorzása.

Kétféleképpen lehet vektort vektorral szorozni. A választott módszertől függően eltérő jellegű objektumokat kapunk:

A vektorszorzat meglehetősen trükkös. Hogyan kell csinálni és miért van rá szükség, a következő cikkben megbeszéljük Önnel. És ebben a skalárszorzatra fogunk összpontosítani.

Már kétféle módon tudjuk kiszámítani:

Ahogy sejtette, az eredménynek ugyanannak kell lennie! Tehát először nézzük az első utat:

Pont termék koordinátákon keresztül

Keresse meg: - közös megnevezést pont termék

A számítás képlete a következő:

Azaz a pontszorzat = a vektorok koordinátáinak szorzatainak összege!

Példa:

Find-dee-te

Döntés:

Keresse meg az egyes vektorok koordinátáit:

A skaláris szorzatot a következő képlettel számítjuk ki:

Válasz:

Látod, semmi bonyolult!

Nos, most próbáld ki magad:

Find-di-te skalár-noe pro-ve-de-nie századtól az árokig és

Sikerült? Talán észrevett egy kis trükköt? Ellenőrizzük:

Vektor koordináták, mint az előző feladatban! Válasz: .

A koordinátán kívül van egy másik módszer a skaláris szorzat kiszámítására, nevezetesen a vektorok hosszán és a köztük lévő szög koszinuszán keresztül:

A és vektorok közötti szöget jelöli.

Vagyis a skaláris szorzat egyenlő a vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával.

Miért kell ez a második képlet, ha megvan az első, ami sokkal egyszerűbb, legalább nincs benne koszinusz. És szükségünk van rá, hogy az első és a második képletből következtetni tudjunk arra, hogyan találjuk meg a vektorok közötti szöget!

Akkor emlékezzünk a vektor hosszának képletére!

Aztán ha beillesztem ezeket az adatokat a pontszorzatképletbe, a következőt kapom:

De a másik oldalon:

Szóval mi van? Most van egy képletünk a két vektor közötti szög kiszámításához! Néha a rövidség kedvéért így is írják:

Vagyis a vektorok közötti szög kiszámításának algoritmusa a következő:

1. A koordinátákon keresztül kiszámítjuk a skaláris szorzatot
2. Keresse meg a vektorok hosszát és szorozza meg őket!
3. Az 1. pont eredményét osszuk el a 2. pont eredményével

Gyakoroljunk példákkal:

1. Keresse meg a szemhéjak közötti szöget-ra-mi és. Válaszát fokokban adja meg.

2. Az előző feladat feltételei szerint keresse meg a vektorok közötti koszinuszát!

Tegyük ezt: segítek megoldani az első problémát, a másodikat pedig próbáld meg magad! Egyetértek? Akkor kezdjük!

1. Ezek a vektorok régi barátaink. Már figyelembe vettük a skalárszorzatukat, és egyenlő volt. Koordinátáik: , . Ezután megtaláljuk a hosszukat:

Ezután keressük a koszinuszát a vektorok között:

Mekkora a szög koszinusza? Ez itt a sarok.

Válasz:

Nos, most oldja meg maga a második problémát, majd hasonlítsa össze! Csak egy nagyon rövid megoldást adok:

2. vannak koordinátái, vannak koordinátái.

Legyen az és vektorok közötti szög, akkor

Válasz:

Meg kell jegyezni, hogy a feladatok közvetlenül a vektorokon és a koordináták módszere a B részben vizsgálati munka elég ritka. A C2 feladatok túlnyomó többsége azonban könnyen megoldható egy koordinátarendszer bevezetésével. Tehát ezt a cikket tekintheti alapnak, ami alapján elég trükkös konstrukciókat készítünk, amelyeket meg kell oldanunk kihívást jelentő feladatokat.

KOORDINÁTÁK ÉS VEKTOROK. KÖZÉPFOKÚ

Te és én folytatjuk a koordináták módszerének tanulmányozását. Az utolsó részben számos fontos képletet vezettünk le, amelyek lehetővé teszik:

1. Keresse meg a vektor koordinátáit
2. Határozza meg a vektor hosszát (vagyis: két pont távolságát)
3. Vektorok összeadása, kivonása. Szorozd meg őket egy valós számmal
4. Keresse meg egy szakasz felezőpontját
5. Számítsa ki a vektorok pontszorzatát!
6. Keresse meg a vektorok közötti szöget

Természetesen a teljes koordináta-módszer nem fér bele ebbe a 6 pontba. Olyan tudomány alapját képezi, mint az analitikus geometria, amellyel az egyetemen fog megismerkedni. Csak egy olyan alapot akarok építeni, amely lehetővé teszi, hogy egyetlen állapotban oldja meg a problémákat. vizsga. A B rész feladatait itt találtuk ki a Most itt az ideje, hogy továbblépjünk a minőség felé új szint! Ez a cikk azoknak a C2 problémáknak a megoldásának módszerével foglalkozik, amelyekben ésszerű lenne a koordináta módszerre váltani. Ezt az ésszerűséget az határozza meg, hogy mit kell megtalálni a problémában, és milyen számadatokat adunk meg. Tehát a koordináta módszert használnám, ha a kérdések a következők:

1. Keresse meg a két sík közötti szöget
2. Keresse meg a szöget egy egyenes és egy sík között
3. Keresse meg a két vonal közötti szöget
4. Keresse meg egy pont és egy sík távolságát
5. Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát
6. Keresse meg az egyenes és a sík távolságát
7. Keresse meg a távolságot két vonal között

Ha a feladat feltételében megadott szám egy forgástest (golyó, henger, kúp ...)

A koordináta-módszerhez megfelelő számadatok:

1. kocka alakú
2. Piramis (háromszög, négyszög, hatszögletű)

Tapasztalataim szerint is nem célszerű a koordináta módszert használni:

1. A szakaszok területeinek megkeresése
2. Testek térfogatának számítása

Mindazonáltal azonnal meg kell jegyezni, hogy a gyakorlatban meglehetősen ritka három „kedvezőtlen” helyzet a koordináta-módszer számára. A legtöbb feladatban megmentőd lehet, főleg, ha nem vagy túl erős a háromdimenziós konstrukciókban (amelyek néha meglehetősen bonyolultak).

Mik azok a számok, amelyeket fent felsoroltam? Már nem laposak, például négyzet, háromszög, kör, hanem terjedelmesek! Ennek megfelelően nem kétdimenziós, hanem háromdimenziós koordinátarendszerrel kell foglalkoznunk. Meglehetősen egyszerűen megépíthető: az abszcisszán és az ordinátákon kívül bevezetünk egy másik tengelyt is, az applikációs tengelyt. Az ábra sematikusan mutatja relatív helyzetüket:

Mindegyik egymásra merőleges, egy pontban metszik egymást, amit origónak nevezünk. Az abszcissza tengelyt, mint korábban, az ordináta tengelyét - és a bevezetett alkalmazási tengelyt - jelöljük.

Ha korábban a sík minden pontját két szám jellemezte - az abszcissza és az ordináta, akkor a tér minden pontját már három szám írja le - az abszcissza, az ordináta, az applikáta. Például:

Ennek megfelelően a pont abszcisszája egyenlő, az ordináta , az applikáció pedig .

Néha egy pont abszcisszáját a pont abszcissza tengelyre való vetületének is nevezik, az ordináta a pont vetülete az y tengelyre, az applikáció pedig a pont vetülete az applikációs tengelyre. Ennek megfelelően, ha egy pont adott, akkor egy pont koordinátákkal:

egy pont síkra vetítésének nevezzük

egy pont síkra vetítésének nevezzük

Felmerül a természetes kérdés: érvényes-e a térben a kétdimenziós esetre levezetett összes képlet? A válasz: igen, igazak és ugyanolyan megjelenésűek. Egy apró részletre. Azt hiszem, már sejtette, melyik. Minden képlethez hozzá kell adnunk még egy, az alkalmazási tengelyért felelős kifejezést. Ugyanis.

1. Ha két pontot adunk: , akkor:

• Vektor koordináták:
• Két pont közötti távolság (vagy vektorhossz)
• A szakasz közepén vannak koordináták

2. Ha két vektor adott: és, akkor:

• Ponttermékük a következő:
• A vektorok közötti szög koszinusza:

A tér azonban nem ilyen egyszerű. Mint érti, egy további koordináta hozzáadása jelentős változatosságot eredményez az ebben a térben "élő" alakok spektrumában. A további narrációhoz pedig be kell vezetnem az egyenes vonal néhány, durván szólva "általánosítását". Ez az "általánosítás" egy sík lesz. Mit tudsz a repülőről? Próbálj meg válaszolni arra a kérdésre, hogy mi az a repülőgép? Nagyon nehéz megmondani. Azonban mindannyian intuitív módon elképzeljük, hogyan néz ki:

Nagyjából ez egyfajta végtelen „levél” az űrbe. A "végtelen"-et úgy kell érteni, hogy a sík minden irányba kiterjed, vagyis területe egyenlő a végtelennel. Ez az "ujjakon" lévő magyarázat azonban a legcsekélyebb fogalmat sem ad a sík szerkezetéről. És érdeklődni fogunk iránta.

Emlékezzünk a geometria egyik alapvető axiómájára:

• kettőbe különböző pontokat egy egyenes halad a síkon, ráadásul csak egy:

Vagy analógja a térben:

Természetesen emlékszel, hogyan kell két adott pontból levezetni az egyenes egyenletét, ez egyáltalán nem nehéz: ha az első pontnak vannak koordinátái: és a másodiknak, akkor az egyenes egyenlete a következő lesz:

Ezen mentél keresztül 7. osztályban. A térben az egyenes egyenlete így néz ki: legyen két pontunk koordinátáival: , akkor a rajtuk áthaladó egyenes egyenlete a következő alakú:

Például egy vonal pontokon halad át:

Hogyan kell ezt érteni? Ezt a következőképpen kell érteni: egy pont akkor fekszik egy egyenesen, ha a koordinátái kielégítik a következő rendszert:

Nem nagyon fogunk érdekelni az egyenes egyenlete, de oda kell figyelnünk az egyenes irányítóvektorának nagyon fontos fogalmára. - Bármi nem nulla vektor egy adott egyenesen vagy azzal párhuzamosan fekszik.

Például mindkét vektor egy egyenes irányvektora. Legyen egy egyenesen fekvő pont, és legyen az irányító vektora. Ekkor az egyenes egyenlete a következő formában írható fel:

Még egyszer mondom, nem nagyon fog érdekelni az egyenes egyenlete, de nagyon fontos, hogy emlékezzen, mi az irányvektor! Újra: ez BÁRMELY nem nulla vektor, amely egy egyenesen fekszik, vagy azzal párhuzamos.

Visszavonás sík hárompontos egyenlete már nem annyira triviális, és általában ezt a kérdést nem veszik figyelembe a tanfolyamon Gimnázium. De hiába! Ez a technika létfontosságú, amikor a koordináta módszert alkalmazzuk összetett problémák megoldására. Feltételezem azonban, hogy tele vagy valami új megtanulására? Sőt, lenyűgözheti tanárát az egyetemen, amikor kiderül, hogy már tudja, hogyan kell használni azt a technikát, amelyet általában az analitikus geometria során tanulnak. Tehát kezdjük.

A sík egyenlete nem különbözik túlságosan a síkon lévő egyenes egyenletétől, nevezetesen a következő alakja van:

néhány szám (nem minden nulla), és változók, például: stb. Mint látható, a sík egyenlete nem nagyon különbözik az egyenes egyenletétől (lineáris függvény). Emlékszel azonban, mit vitatkoztunk veled? Azt mondtuk, hogy ha van három olyan pontunk, amelyik nem egy egyenesen fekszik, akkor ezekből egyértelműen visszaáll a sík egyenlete. De hogyan? Megpróbálom elmagyarázni neked.

Mivel a sík egyenlet:

És a pontok ehhez a síkhoz tartoznak, akkor az egyes pontok koordinátáit a sík egyenletébe behelyettesítve a helyes azonosságot kell kapnunk:

Így három egyenletet kell megoldani már ismeretlenekkel! Dilemma! Ezt azonban mindig feltételezhetjük (ehhez el kell osztanunk). Így három egyenletet kapunk három ismeretlennel:

Mi azonban nem egy ilyen rendszert fogunk megoldani, hanem kiírjuk az ebből következő rejtélyes kifejezést:

Három adott ponton átmenő sík egyenlete

\[\left| (\begin(tömb)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(tömb)) \jobbra| = 0\]

Állj meg! Mi ez még? Valami nagyon szokatlan modul! Az Ön előtt látható objektumnak azonban semmi köze a modulhoz. Ezt az objektumot harmadrendű determinánsnak nevezzük. Mostantól, amikor a koordináták módszerével foglalkozik egy síkon, nagyon gyakran találkozik ezekkel a meghatározókkal. Mi az a harmadrendű determináns? Furcsa módon ez csak egy szám. Meg kell érteni, hogy milyen konkrét számot fogunk összehasonlítani a determinánssal.

Először írjuk le a harmadrendű determinánst általánosabb formában:

Hol van néhány szám. Ezenkívül az első index alatt a sorszámot, az indexen pedig az oszlop számát értjük. Például azt jelenti, hogy az adott szám a második sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van. Tegyük fel a következő kérdést: hogyan fogunk pontosan kiszámítani egy ilyen determinánst? Vagyis milyen konkrét számmal fogjuk összehasonlítani? Pontosan a harmadik rend determinánsára létezik egy heurisztikus (vizuális) háromszögszabály, amely így néz ki:

1. A főátló elemeinek szorzata (balról fentről jobbra lent) az első háromszöget alkotó elemek szorzata a főátlóra "merőlegesen" a második háromszöget alkotó elemek szorzata a főátlóra "merőlegesen" átlós
2. A másodlagos átló elemeinek szorzata (jobbról felfelé balra lent) az első háromszöget alkotó elemek szorzata a másodlagos átlóra "merőlegesen" a második háromszöget alkotó elemek szorzata a másodlagos átlóra "merőlegesen" a másodlagos átló
3. Ekkor a determináns egyenlő az és lépésben kapott értékek különbségével

Ha mindezt számokkal írjuk, akkor a következő kifejezést kapjuk:

Ebben a formában azonban nem kell memorizálnia a számítási módszert, elég, ha a háromszögeket a fejében tartja, és maga a gondolat, hogy mit adnak hozzá, és mit vonnak ki belőle).

Illusztráljuk a háromszög módszert egy példával:

1. Számítsa ki a determinánst:

Gondoljuk át, mit adunk hozzá és mit vonunk ki:

A "plusz" jelzéssel járó kifejezések:

Ez a főátló: az elemek szorzata az

Az első háromszög, "merőleges a főátlóra: az elemek szorzata:

A második háromszög, amely a főátlóra merőleges: az elemek szorzata:

Három számot adunk hozzá:

Olyan kifejezések, amelyek "mínuszos"

Ez egy oldalátló: az elemek szorzata az

Az első háromszög, "merőleges a másodlagos átlóra: az elemek szorzata:

A második háromszög, amely merőleges a másodlagos átlóra: az elemek szorzata:

Három számot adunk hozzá:

Már csak annyit kell tenni, hogy a plusz tagok összegéből kivonjuk a mínusz tagok összegét:

És így,

Mint látható, a harmadrendű determinánsok számításában nincs semmi bonyolult és természetfeletti. Egyszerűen fontos, hogy emlékezzen a háromszögekre, és ne kövess el számtani hibákat. Most próbáld kiszámolni magad:

Ellenőrizzük:

1. Az első háromszög, amely merőleges a főátlóra:
2. A második háromszög, amely merőleges a főátlóra:
3. A plusz feltételek összege:
4. Az oldalátlóra merőleges első háromszög:
5. A második háromszög, amely merőleges az oldalátlóra:
6. A mínuszos tagok összege:
7. Plusz kifejezések összege mínusz mínusz kifejezések összege:

Íme még néhány meghatározó tényező, számolja ki saját maga az értékeket, és hasonlítsa össze a válaszokkal:

Válaszok:

Nos, minden egyezett? Remek, akkor mehet tovább! Ha nehézségek adódnak, akkor a következőt tanácsolom: az interneten egy csomó program található a determináns online kiszámítására. Csak ki kell találnia a saját meghatározóját, ki kell számolnia, majd össze kell hasonlítania azzal, amit a program számol. És így tovább, amíg az eredmények el nem kezdenek egyezni. Biztos vagyok benne, hogy ez a pillanat nem fog sokáig várni!

Most térjünk vissza a determinánshoz, amit akkor írtam ki, amikor a háromon áthaladó sík egyenletéről beszéltem. adott pontokat:

Csak annyit kell tennie, hogy közvetlenül kiszámolja az értékét (háromszög módszerrel), és az eredményt nullára állítja. Természetesen, mivel ezek változók, kapsz valamilyen kifejezést, amely tőlük függ. Ez a kifejezés lesz az egyenlete annak a síknak, amely átmegy három megadott ponton, amelyek nem egy egyenesen fekszenek!

Illusztráljuk ezt egy egyszerű példával:

1. Szerkessze meg a pontokon átmenő sík egyenletét!

Ehhez a három ponthoz meghatározunk egy meghatározót:

Egyszerűsítés:

Most közvetlenül kiszámítjuk a háromszögek szabálya szerint:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(tömb)) \ jobb| = \left((x + 3) \jobb) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Így a pontokon áthaladó sík egyenlete:

Most próbáljon meg egyedül megoldani egy problémát, majd megbeszéljük:

2. Határozza meg a pontokon áthaladó sík egyenletét!

Nos, most beszéljük meg a megoldást:

Meghatározót teszünk:

És számítsa ki az értékét:

Ekkor a sík egyenlete a következőképpen alakul:

Vagy csökkentve a következőt kapjuk:

Most két feladat az önkontrollhoz:

1. Szerkesszük meg a három ponton áthaladó sík egyenletét:

Válaszok:

Minden egyezett? Ismét, ha vannak bizonyos nehézségek, akkor a tanácsom a következő: vegyél ki három pontot a fejedből (nagy valószínűséggel nem fognak egy egyenesen feküdni), építs rájuk egy síkot. És akkor ellenőrizze magát online. Például az oldalon:

Determinánsok segítségével azonban nem csak a sík egyenletét fogjuk megszerkeszteni. Ne feledje, mondtam, hogy a vektorok esetében nem csak a pontszorzat van meghatározva. Van vektor, valamint vegyes termék is. És ha két vektor skaláris szorzata egy szám lesz, akkor két vektor vektorszorzata lesz vektor, és ez a vektor merőleges lesz az adott vektorokra:

A modulja pedig az lesz területtel egyenlő vektorokra épített paralelogramma és. Erre a vektorra szükségünk lesz egy pont és egy egyenes távolságának kiszámításához. Hogyan számíthatjuk ki a vektorok keresztszorzatát, és adottak-e a koordinátáik? A harmadik rend meghatározója ismét segítségünkre van. Mielőtt azonban rátérnék a keresztszorzat kiszámításának algoritmusára, egy kis lírai kitérőt kell tennem.

Ez az eltérés a bázisvektorokra vonatkozik.

Sematikusan az ábrán láthatók:

Szerinted miért hívják alapnak? A tény az, hogy :

Vagy a képen:

A képlet érvényessége nyilvánvaló, mert:

vektor termék

Most elkezdhetem bemutatni a keresztterméket:

Két vektor vektorszorzata egy olyan vektor, amelyet a következő szabály szerint számítanak ki:

Most mondjunk néhány példát a keresztszorzat kiszámítására:

1. példa: Keresse meg a vektorok keresztszorzatát:

Megoldás: teszek egy meghatározót:

És kiszámolom:

Most, a bázisvektorokon keresztüli írásból, visszatérek a szokásos vektorjelöléshez:

És így:

Most próbáld.

Kész? Ellenőrizzük:

És hagyományosan kettő irányítandó feladatok:

1. Keresse meg a következő vektorok keresztszorzatát:
2. Keresse meg a következő vektorok keresztszorzatát:

Válaszok:

Három vektor vegyes szorzata

Az utolsó konstrukció, amelyre szükségem van, három vektor vegyes szorzata. Ez, mint a skalár, egy szám. Kétféleképpen lehet kiszámítani. - a determinánson keresztül, - a vegyes terméken keresztül.

Tegyük fel, hogy három vektorunk van:

Ekkor három vektor vegyes szorzata, amelyet jelöl, a következőképpen számítható ki:

1. - vagyis a vegyes szorzat egy vektor skalárszorzata és két másik vektor vektorszorzata

Például három vektor vegyes szorzata:

Próbáld meg kiszámolni magad a vektorszorzat segítségével, és győződjön meg arról, hogy az eredmények egyeznek!

És ismét - két példa egy független döntésre:

Válaszok:

A koordinátarendszer kiválasztása

Nos, most már rendelkezünk minden szükséges alapismerettel ahhoz, hogy megoldjuk a geometriai összetett sztereometrikus problémákat. Mielőtt azonban közvetlenül a példákhoz és a megoldásukra szolgáló algoritmusokhoz kezdenék, úgy gondolom, hogy hasznos lesz elidőzni a következő kérdésen: hogyan pontosan válasszon koordinátarendszert egy adott ábrához. Hiszen a koordináta-rendszer és a térbeli ábra egymáshoz viszonyított helyzetének megválasztása határozza meg végső soron, hogy a számítások mennyire lesznek nehézkesek.

Emlékeztetjük, hogy ebben a részben a következő számadatokat vesszük figyelembe:

1. kocka alakú
2. Egyenes prizma (háromszög, hatszögletű…)
3. Piramis (háromszög, négyszög)
4. Tetraéder (ugyanaz, mint a háromszög alakú piramis)

Téglatesthez vagy kockához a következő konstrukciót ajánlom:

Vagyis a figurát „a sarokba” helyezem. A kocka és a doboz nagyon jó figurák. Számukra mindig könnyen megtalálhatja csúcsainak koordinátáit. Például, ha (a képen látható)

akkor a csúcskoordináták:

Természetesen erre nem kell emlékeznie, de érdemes megjegyezni, hogyan kell a legjobban elhelyezni egy kockát vagy egy téglalap alakú dobozt.

egyenes prizma

A prizma károsabb figura. Különféle módon elrendezheti a térben. Ennek ellenére szerintem a következő a legjobb megoldás:

Háromszög prizma:

Vagyis a háromszög egyik oldalát teljesen a tengelyre helyezzük, és az egyik csúcs egybeesik az origóval.

Hatszögletű prizma:

Vagyis az egyik csúcs egybeesik az origóval, és az egyik oldal a tengelyen fekszik.

Négyszögletű és hatszögletű piramis:

A kockához hasonló helyzet: az alap két oldalát a koordinátatengelyekkel kombináljuk, az egyik csúcsot az origóval. Az egyetlen apró nehézség a pont koordinátáinak kiszámítása lesz.

Hatszögletű piramis esetén ugyanaz, mint hatszögletű prizmánál. A fő feladat ismét a csúcs koordinátáinak megtalálása lesz.

Tetraéder (háromszög alakú piramis)

A helyzet nagyon hasonló ahhoz, amit a háromszögprizmánál adtam: az egyik csúcs egybeesik az origóval, az egyik oldal a koordinátatengelyen fekszik.

Nos, most végre közel vagyunk a problémák megoldásához. Abból, amit a cikk elején mondtam, a következő következtetést vonhatja le: a legtöbb C2 probléma 2 kategóriába sorolható: a szöggel és a távolsággal kapcsolatos problémák. Először is megvizsgáljuk a szög megtalálásának problémáit. Ezeket viszont a következő kategóriákra osztják (a bonyolultság növekedésével):

Problémák a sarkok megtalálásakor

1. Két egyenes közötti szög meghatározása
2. Két sík közötti szög meghatározása

Tekintsük ezeket a problémákat egymás után: kezdjük azzal, hogy keressük meg két egyenes közötti szöget. Ugyan már, emlékszel, megoldottunk már hasonló példákat? Emlékszel, mert volt már valami hasonlónk... Szöget kerestünk két vektor között. Emlékeztetlek, ha két vektort adunk meg: és, akkor a köztük lévő szöget a relációból találjuk meg:

Most van egy célunk - megtalálni a szöget két egyenes között. Térjünk rá a "lapos képre":

Hány szöget kapunk, ha két egyenes metszi egymást? Már dolgok. Igaz, közülük csak kettő nem egyenlő, míg mások függőlegesek (és ezért egybeesnek velük). Tehát milyen szögben tekintsük két egyenes közötti szöget: vagy? Itt a szabály: két egyenes közötti szög mindig nem nagyobb, mint fok. Vagyis két szögből mindig a legkisebb fokszámú szöget választjuk. Vagyis ezen a képen a két vonal közötti szög egyenlő. Annak érdekében, hogy ne fáradjon minden alkalommal a két szög közül a legkisebb megtalálásával, ravasz matematikusok javasolták a modul használatát. Így a két egyenes közötti szöget a következő képlet határozza meg:

Figyelmes olvasóként fel kellett volna tennie a kérdést: valójában honnan is vesszük ezeket a számokat, amelyekre szükségünk van egy szög koszinuszának kiszámításához? Válasz: ezeket a vonalak irányvektoraiból fogjuk átvenni! Így a két vonal közötti szög meghatározásának algoritmusa a következő:

1. Az 1-es formulát alkalmazzuk.

Vagy részletesebben:

1. Az első egyenes irányvektorának koordinátáit keressük
2. A második egyenes irányvektorának koordinátáit keressük
3. Számítsd ki a skalárszorzatuk modulusát!
4. Az első vektor hosszát keressük
5. A második vektor hosszát keressük
6. Szorozzuk meg a 4. pont eredményét az 5. pont eredményével
7. A 3. pont eredményét elosztjuk a 6. pont eredményével. Megkapjuk az egyenesek közötti szög koszinuszát
8. Ha egy adott eredményt lehetővé teszi a szög pontos kiszámítását, azt keressük
9. Ellenkező esetben az arckoszinuson keresztül írunk

Nos, most itt az ideje, hogy rátérjünk a feladatokra: az első kettő megoldását részletesen bemutatom, egy másik megoldását pedig a összefoglaló, és az utolsó két feladatra csak választ adok, minden számítást magának kell elvégeznie.

Feladatok:

1. A jobb oldali tet-ra-ed-re mezőben keresse meg a tet-ra-ed-ra és a me-di-a-noy bo-ko-how oldal közötti szöget.

2. A jobb oldali hat szén-pi-ra-mi-de-ben a száz-ro-na-os-no-va-niya valahogy egyenlő, és az oldalsó bordák egyenlőek, keresse meg az egyenes közötti szöget vonalak és.

3. A jobb oldali négy-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy összes élének hossza egyenlő egymással. Keresse meg az egyenesek közötti szöget, és ha from-re-zok - you-so-hogy adott pi-ra-mi-dy, a pont a se-re-di-on a bo-ko- th bordája

4. A kocka élén a-me-che-tól egy pontig úgy, hogy Find-di-te az egyenesek és az egyenesek közötti szöget

5. Pont - se-re-di-a kocka élein Nai-di-te az egyenesek közötti szöget és.

Nem véletlenül raktam ebbe a sorrendbe a feladatokat. Bár még nem volt ideje elkezdeni navigálni a koordináta-módszerben, én magam elemzem a „legproblémásabb” ábrákat, és hagyom, hogy a legegyszerűbb kockával foglalkozzon! Fokozatosan meg kell tanulni az összes figurával dolgozni, témáról témára növelem a feladatok összetettségét.

Kezdjük a problémák megoldásával:

1. Rajzolj egy tetraédert, helyezd el a koordinátarendszerben, ahogy korábban javasoltam. Mivel a tetraéder szabályos, ezért minden lapja (beleértve az alapot is) szabályos háromszög. Mivel nincs megadva az oldal hossza, egyenlőnek vehetem. Azt hiszem, megérted, hogy a szög nem igazán függ attól, hogy a tetraéderünk mennyire lesz "megnyúlva"?. A magasságot és a mediánt is megrajzolom a tetraéderben. Útközben lerajzolom az alapját (nekünk is jól fog jönni).

Meg kell találnom a szöget és között. Mit tudunk? Csak a pont koordinátáját ismerjük. Tehát meg kell találnunk a pontok több koordinátáját. Most azt gondoljuk: a pont egy háromszög magasságának (vagy felezőjének vagy mediánjának) metszéspontja. A pont egy emelkedett pont. A pont a szakasz felezőpontja. Aztán végül meg kell találnunk: a pontok koordinátáit: .

Kezdjük a legegyszerűbbel: pont koordinátákkal. Nézze meg az ábrát: Jól látható, hogy egy pont alkalmazása egyenlő nullával (a pont egy síkon fekszik). Az ordinátája egyenlő (mert ez a medián). Nehezebb megtalálni az abszcisszáját. Ez azonban könnyen megtehető a Pitagorasz-tétel alapján: Tekintsünk egy háromszöget. A befogója egyenlő, és az egyik lába egyenlő Ekkor:

Végül nálunk van:

Most keressük meg a pont koordinátáit. Jól látható, hogy alkalmazása ismét nulla, ordinátája pedig megegyezik egy pontéval, azaz. Keressük meg az abszcisszáját. Ez meglehetősen triviálisan történik, ha valaki emlékszik rá egyenlő oldalú háromszög magasságait elosztjuk a metszésponttal az arányban felülről számolva. Mivel:, akkor a pont kívánt abszcisszán, amely megegyezik a szakasz hosszával, egyenlő:. Így a pont koordinátái:

Keressük meg a pont koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy abszcisszája és ordinátája egybeesik a pont abszcisszájával és ordinátájával. És a rátét egyenlő a szegmens hosszával. - ez a háromszög egyik lába. A háromszög hipotenusza egy szegmens - egy láb. Az általam félkövérrel kiemelt okok alapján keresi:

A pont a szakasz felezőpontja. Ezután emlékeznünk kell a szegmens közepének koordinátáinak képletére:

Ennyi, most megkereshetjük az irányvektorok koordinátáit:

Nos, minden készen áll: az összes adatot behelyettesítjük a képletbe:

És így,

Válasz:

Nem kell félnie az ilyen "szörnyű" válaszoktól: C2 problémák esetén ez általános gyakorlat. Inkább meglepne a "szép" válasz ebben a részben. Továbbá, ahogy megjegyezted, gyakorlatilag nem folyamodtam máshoz, mint a Pitagorasz-tételhez és az egyenlő oldalú háromszög magasságának tulajdonságához. Vagyis a sztereometriai probléma megoldásához a legminimálisabb sztereometriát használtam. Az ebből származó nyereséget meglehetősen nehézkes számítások részben "kioltják". De elég algoritmikusak!

2. Rajzolj egy szabályos hatszögletű piramist a koordinátarendszerrel és annak alapjával együtt:

Meg kell találnunk a és a vonalak közötti szöget. Így feladatunk a pontok koordinátáinak megtalálására redukálódik: . A kis rajzból megkeressük az utolsó három koordinátáját, a pont koordinátáján keresztül pedig a csúcs koordinátáját. Sok a munka, de el kell kezdeni!

a) Koordináta: egyértelmű, hogy az applikációja és az ordinátája nulla. Keressük meg az abszcisszát. Ehhez vegyünk egy derékszögű háromszöget. Sajnos benne csak a hipotenuszt ismerjük, ami egyenlő. Megpróbáljuk megtalálni a lábat (mert egyértelmű, hogy a láb hosszának kétszerese adja meg a pont abszcisszáját). Hogyan kereshetjük? Emlékezzünk rá, milyen alakunk van a piramis alján? Ez egy szabályos hatszög. Mit jelent? Ez azt jelenti, hogy minden oldal és minden szög egyenlő. Találnunk kell egy ilyen sarkot. Bármilyen ötletet? Sok ötlet van, de van egy képlet:

Egy szabályos n-szög szögeinek összege az .

Így egy szabályos hatszög szögeinek összege fok. Ekkor mindegyik szög egyenlő:

Nézzük újra a képet. Nyilvánvaló, hogy a szakasz a szög felezője. Ekkor a szög fok. Azután:

Akkor hol.

Tehát vannak koordinátái

b) Most könnyen megtaláljuk a pont koordinátáját: .

c) Keresse meg a pont koordinátáit! Mivel az abszcisszán egybeesik a szakasz hosszával, egyenlő. Az ordináta megtalálása sem túl nehéz: ha a pontokat és és jelöljük az egyenes metszéspontját, mondjuk for. (csináld magad egyszerű konstrukció). Ekkor tehát a B pont ordinátája egyenlő a szakaszok hosszának összegével. Nézzük újra a háromszöget. Azután

Majd mivel Akkor a pontnak vannak koordinátái

d) Most keresse meg a pont koordinátáit! Tekintsünk egy téglalapot, és bizonyítsuk be, hogy így a pont koordinátái:

e) Meg kell találni a csúcs koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy abszcisszája és ordinátája egybeesik a pont abszcisszájával és ordinátájával. Keressünk egy alkalmazást. Azóta. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget. A probléma feltétele szerint az oldalsó él. Ez az én háromszögem hipotenusza. Ekkor a piramis magassága a láb.

Ekkor a pontnak vannak koordinátái:

Ennyi, megvannak az összes számomra érdekes pont koordinátái. Az egyenesek irányítóvektorainak koordinátáit keresem:

Az alábbi vektorok közötti szöget keressük:

Válasz:

A feladat megoldása során ismét nem alkalmaztam semmilyen kifinomult trükköt, kivéve a szabályos n-szög szögösszegének képletét, valamint a derékszögű háromszög koszinuszának és szinuszának meghatározását.

3. Mivel a piramis éleinek hosszát megint nem adjuk meg, megszámolom őket egyenlő eggyel. Így, mivel MINDEN él, és nem csak az oldalsó, egyenlő egymással, akkor a piramis és én alján egy négyzet fekszik, és az oldallapok szabályos háromszögek. Ábrázoljunk egy ilyen piramist, valamint az alapját egy síkon, megjelölve a feladat szövegében megadott összes adatot:

A és közötti szöget keressük. Nagyon rövid számításokat fogok végezni, amikor pontok koordinátáit keresem. "Dekódolnia kell" őket:

b) - a szegmens közepe. A koordinátái:

c) Megkeresem a szakasz hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével egy háromszögben. A Pitagorasz-tétel alapján háromszögben fogom megtalálni.

Koordináták:

d) - a szegmens közepe. A koordinátái a következők

e) Vektor koordináták

f) Vektor koordináták

g) Szög keresése:

Kocka - legegyszerűbb figura. Biztos vagyok benne, hogy egyedül is rájön. A 4. és 5. feladatra a következők a válaszok:

Az egyenes és a sík közötti szög meghatározása

Nos, az egyszerű rejtvények ideje lejárt! Most a példák még nehezebbek lesznek. Az egyenes és a sík közötti szög meghatározásához a következőképpen járunk el:

1. Három pont segítségével elkészítjük a sík egyenletét
   ,
   harmadrendű determináns használatával.
2. Két pont alapján keressük az egyenes irányítóvektorának koordinátáit:
3. Az egyenes és a sík közötti szög kiszámításához a következő képletet alkalmazzuk:

Amint láthatja, ez a képlet nagyon hasonlít ahhoz, amelyet a két egyenes közötti szögek meghatározásához használtunk. A jobb oldal felépítése ugyanaz, a bal oldalon pedig most egy szinust keresünk, nem pedig koszinust, mint korábban. Nos, egy csúnya művelet került hozzáadásra - a sík egyenletének keresése.

Ne álljunk polcra megoldási példák:

1. Os-no-va-ni-em egyenesen a nyereményem-la-et-xia egyenlőek vagyunk, de szegények-ren-ny háromszög-becsíp téged azzal a díjjal-egyenlőek vagyunk. Keresse meg az egyenes és a sík közötti szöget

2. Egy téglalap alakú pa-ral-le-le-pi-pe-de-ben Nyugat-Nai-di-te felől az egyenes és a sík közötti szög

3. A jobb oldali hatszén-prizmában minden él egyenlő. Keresse meg az egyenes és a sík közötti szöget.

4. A jobb háromszög alakú pi-ra-mi-de-ben az os-but-va-ni-em a borda nyugatáról Nai-di-te szög, az os ob-ra-zo-van -ny síkja -no-va-niya és egyenes-én, áthaladva a bordák se-re-di-nán és

5. A jobb oldali négyszögletű pi-ra-mi-dy összes élének hossza a tetejével egyenlő. Határozza meg az egyenes és a sík közötti szöget, ha a pont se-re-di-a pi-ra-mi-dy bo-ko-in-edik élén van.

Ismét az első két problémát fogom részletesen megoldani, a harmadikat - röviden, az utolsó kettőt pedig meghagyom önöknek. Ezen kívül már meg kellett küzdenie a háromszögletű ill négyszögletű piramisok, de prizmákkal – még nem.

Megoldások:

1. Rajzolj egy prizmát és az alapját. Kombináljuk a koordinátarendszerrel, és jelöljük meg az összes adatot, ami a problémafelvetésben szerepel:

Elnézést kérek az arányok néhány figyelmen kívül hagyásáért, de a probléma megoldásához ez valójában nem olyan fontos. A repülő csak " hátsó fal» az én prizmámból. Elég egyszerűen kitalálni, hogy egy ilyen sík egyenlete a következő:

Ez azonban közvetlenül is megjeleníthető:

Ezen a síkon tetszőleges három pontot választunk: például .

Készítsük el a sík egyenletét:

Gyakorlat az Ön számára: számolja ki ezt a meghatározót. Sikerült? Ekkor a sík egyenlete a következőképpen alakul:

Vagy egyszerűen

És így,

A példa megoldásához meg kell találnom az egyenes irányítóvektorának koordinátáit. Mivel a pont egybeesett az origóval, a vektor koordinátái egyszerűen egybeesnek a pont koordinátáival, ehhez először meg kell keresni a pont koordinátáit.

Ehhez vegyünk egy háromszöget. Rajzoljunk egy magasságot (ez egyben medián és egy felező is) felülről. Mivel, akkor a pont ordinátája egyenlő. Ahhoz, hogy megtaláljuk ennek a pontnak az abszcisszáját, ki kell számítanunk a szakasz hosszát. A Pitagorasz-tétel alapján a következőket kapjuk:

Ekkor a pontnak vannak koordinátái:

A pont egy ponton "emelkedett":

Ezután a vektor koordinátái:

Válasz:

Mint látható, az ilyen problémák megoldásában nincs alapvetően nehéz feladat. Valójában egy figura, például egy prizma „egyenessége” egy kicsit leegyszerűsíti a folyamatot. Most pedig térjünk át a következő példára:

2. Rajzolunk egy paralelepipedont, húzunk benne egy síkot és egy egyenest, és külön megrajzoljuk az alsó alapját is:

Először keressük meg a sík egyenletét: A benne fekvő három pont koordinátái:

(az első két koordinátát megkapjuk a kézenfekvő módon, és könnyen megtalálhatja az utolsó koordinátát a képről a pontból). Ezután összeállítjuk a sík egyenletét:

Kiszámoljuk:

Az irányvektor koordinátáit keressük: Világos, hogy a koordinátái egybeesnek a pont koordinátáival, nem? Hogyan lehet megtalálni a koordinátákat? Ezek a pont koordinátái, az alkalmazási tengely mentén eggyel emelve! . Ezután keressük a kívánt szöget:

Válasz:

3. Rajzolj egy szabályos hatszögletű gúlát, majd rajzolj bele egy síkot és egy egyenest.

Itt még a sík rajzolása is problémás, ennek a feladatnak a megoldásáról nem is beszélve, de a koordináta módszer nem számít! Fő előnye a sokoldalúságában rejlik!

A sík három ponton halad át: . Keressük a koordinátáikat:

egy) . Jelenítse meg saját maga az utolsó két pont koordinátáit. Ehhez egy hatszögletű piramis segítségével kell megoldania a feladatot!

2) Megszerkesztjük a sík egyenletét:

Keressük a vektor koordinátáit: . (Lásd újra a háromszög piramis problémát!)

3) Szöget keresünk:

Válasz:

Mint látható, ezekben a feladatokban nincs semmi természetfeletti nehézség. Csak nagyon óvatosnak kell lennie a gyökerekkel. Az utolsó két problémára csak a választ adok:

Mint látható, a feladatok megoldásának technikája mindenhol ugyanaz: a fő feladat a csúcsok koordinátáinak megtalálása és behelyettesítése néhány képletbe. A szögszámításhoz még egy problémacsoportot kell figyelembe vennünk, nevezetesen:

Szögek számítása két sík között

A megoldási algoritmus a következő lesz:

1. Három pontra keressük az első sík egyenletét:
2. A másik három ponthoz a második sík egyenletét keressük:
3. A képletet alkalmazzuk:

Mint látható, a képlet nagyon hasonlít az előző kettőhöz, aminek segítségével egyenesek, illetve egyenes és sík közötti szögeket kerestünk. Szóval erre nem fogsz tudni emlékezni speciális munka. Ugorjunk rögtön a problémába:

1. A derékszögű háromszög prizma alapján a száz-ro- egyenlő, és az oldallap átmérője egyenlő. Határozza meg a sík és a nyeremény alapsíkja közötti szöget!

2. A jobb oldali négy-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de-ben valakinek minden éle egyenlő, keresse meg a sík és a Ko-Stu sík közötti szög szinuszát, amely áthalad. a lényeg a per-pen-di-ku-lyar-de egyenesen-my.

3. Szabályos négyszén-prizmában az os-no-va-nia oldalai egyenlőek, az oldalélek egyenlőek. A szélén-én-che-a pontig úgy, hogy. Keresse meg a és a síkok közötti szöget

4. A jobb oldali négyszögű prizmában az alapok oldalai egyenlőek, az oldalélek egyenlőek. Az élén-én-che-egy pontig úgy, hogy Keresse meg a síkok közötti szöget és.

5. A kockában keresse meg a síkok és a síkok közötti szög együtt-szinuszát

Probléma megoldások:

1. Megrajzolom a megfelelőt (az alapnál egy egyenlő oldalú háromszög van) háromszög prizmaés megjelölöm rajta a probléma feltételében megjelenő síkokat:

Meg kell találnunk két sík egyenletét: Az alapegyenletet triviálisan kapjuk meg: három pontra meg lehet adni a megfelelő determinánst, de én azonnal elkészítem az egyenletet:

Most nézzük meg az egyenletet A Pontnak vannak koordinátái Pont - Mivel - a háromszög mediánja és magassága, a Pitagorasz-tétel segítségével könnyű megtalálni egy háromszögben. Ekkor a pontnak vannak koordinátái: Keressük meg a pont alkalmazását. Ehhez vegyünk egy derékszögű háromszöget

Ekkor a következő koordinátákat kapjuk: Összeállítjuk a sík egyenletét.

Kiszámoljuk a síkok közötti szöget:

Válasz:

2. Rajz készítése:

A legnehezebb megérteni, milyen titokzatos síkról van szó, amely merőlegesen halad át egy ponton. Nos, a lényeg az, hogy mi az? A lényeg a figyelmesség! Valójában a vonal merőleges. A vonal is merőleges. Ekkor az ezen a két egyenesen áthaladó sík merőleges lesz az egyenesre, és mellesleg átmegy a ponton. Ez a sík is áthalad a piramis tetején. Aztán a kívánt gép – És a gép már adott is nekünk. Pontok koordinátáit keressük.

A ponton keresztül megtaláljuk a pont koordinátáját. Egy kis rajzból könnyű kikövetkeztetni, hogy a pont koordinátái a következők lesznek: Mit kell most megtalálni ahhoz, hogy megtaláljuk a piramis csúcsának koordinátáit? Még mindig ki kell számítani a magasságát. Ezt ugyanazzal a Pitagorasz-tétellel tesszük: először bizonyítsuk be ezt (triviálisan az alapnál négyzetet alkotó kis háromszögekből). Azóta a következő feltételekkel rendelkezünk:

Most minden készen áll: csúcskoordináták:

Összeállítjuk a sík egyenletét:

Ön már szakértő a meghatározó tényezők kiszámításában. Könnyen megkapja:

Vagy másképp (ha mindkét részt megszorozzuk kettő gyökével)

Most keressük meg a sík egyenletét:

(Nem felejtetted el, hogyan kapjuk meg a sík egyenletét? Ha nem érted, honnan jött ez a mínusz egy, akkor térj vissza a sík egyenletének definíciójához! Csak előtte mindig kiderült hogy a gépem az origóhoz tartozott!)

Kiszámoljuk a determinánst:

(Észreveheti, hogy a sík egyenlete egybeesett a pontokon átmenő egyenes egyenletével és! Gondolja át, miért!)

Most kiszámítjuk a szöget:

Meg kell találnunk a szinust:

Válasz:

3. Egy trükkös kérdés: mi az derékszögű hasáb, mit gondolsz? Ez csak egy jól ismert paralelepipedon neked! Rajzolj azonnal! Az alapot külön nem is lehet ábrázolni, itt kevés haszna van belőle:

A sík, mint korábban megjegyeztük, egyenletként van felírva:

Most repülőt készítünk

Azonnal összeállítjuk a sík egyenletét:

Szöget keresek

Most a válaszok az utolsó két problémára:

Nos, itt az ideje egy kis szünetet tartani, mert te és én nagyszerűek vagyunk, és nagyszerű munkát végeztünk!

Koordináták és vektorok. Haladó szint

Ebben a cikkben a koordináta-módszerrel megoldható problémák egy másik osztályáról fogunk beszélni: a távolsági feladatokról. Nevezetesen a következő eseteket vesszük figyelembe:

1. A ferde vonalak közötti távolság kiszámítása.

Az adott feladatokat a bonyolultságuk növekedésével rendeltem meg. A legegyszerűbb megtalálni pont-sík távolságés a legnehezebb megtalálni metsző vonalak közötti távolság. Bár természetesen semmi sem lehetetlen! Ne halogassuk, és azonnal folytassuk a problémák első osztályának mérlegelését:

Egy pont és egy sík távolságának kiszámítása

Mire van szükségünk a probléma megoldásához?

1. Pontkoordináták

Tehát amint megkapjuk az összes szükséges adatot, alkalmazzuk a képletet:

Azt már tudnia kell, hogyan építjük fel a sík egyenletét az előző részben elemzett problémákból. Azonnal térjünk az üzletre. A séma a következő: 1, 2 - segítek dönteni, és kicsit részletesebben, 3, 4 - csak a válasz, te magad hozod meg a döntést és hasonlítsd össze. Elindult!

Feladatok:

1. Adott egy kocka. A kocka élének hossza a Find-di-te távolság a se-re-di-ny-tól a vágástól a laposig

2. Adott a jobb-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe él száz-ro-on az os-no-va-nia egyenlő. Keresse meg azokat a távolságokat egy ponttól egy síkig, ahol - se-re-di-az éleken.

3. A jobb háromszög alakú pi-ra-mi-de-ben az os-but-va-ni-em másik éle egyenlő, és egy száz-ro-on os-no-vaniya egyenlő. Keresse meg ezeket a távolságokat a csúcstól a síkig.

4. A jobb oldali hatszén-prizmában minden él egyenlő. Keresse meg ezeket a távolságokat egy ponttól egy síkig.

Megoldások:

1. Rajzolj egy élű kockát, építs fel egy szegmenst és egy síkot, a szakasz közepét jelöld betűvel

.

Először is kezdjük egy egyszerűvel: keressük meg egy pont koordinátáit. Azóta (emlékezz a szakasz közepének koordinátáira!)

Most három ponton állítjuk össze a sík egyenletét

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Most kezdhetem keresni a távolságot:

2. Kezdjük újra egy rajzzal, amelyen minden adatot bejelölünk!

Egy piramis esetében hasznos lenne külön megrajzolni az alapját.

Még az sem akadályoz meg bennünket, hogy könnyedén megoldjuk ezt a problémát, hogy úgy rajzolok, mint egy csirkemancs!

Most már könnyű megtalálni egy pont koordinátáit

Mivel a pont koordinátái

2. Mivel az a pont koordinátái a szakasz közepe, akkor

Könnyen megkereshetjük a síkon további két pont koordinátáit.. Összeállítjuk a sík egyenletét és leegyszerűsítjük:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Mivel a pont koordinátái: , akkor kiszámítjuk a távolságot:

Válasz (nagyon ritka!):

Nos, megértetted? Számomra úgy tűnik, hogy itt minden ugyanolyan technikai jellegű, mint azokban a példákban, amelyeket az előző részben megvizsgáltunk. Tehát biztos vagyok benne, hogy ha elsajátította ezt az anyagot, akkor nem lesz nehéz megoldania a fennmaradó két problémát. Csak a válaszokat adom:

Egy egyenes és egy sík távolságának kiszámítása

Valójában nincs itt semmi új. Hogyan helyezkedhet el egy egyenes és egy sík egymáshoz képest? Minden lehetőségük megvan: metszeni, vagy egy egyenes párhuzamos a síkkal. Szerinted mekkora az egyenes távolsága attól a síktól, amellyel az adott egyenes metszi? Számomra egyértelmű, hogy egy ilyen távolság nullával egyenlő. Érdektelen eset.

A második eset trükkösebb: itt a távolság már nem nulla. Mivel azonban az egyenes párhuzamos a síkkal, akkor az egyenes minden pontja egyenlő távolságra van ettől a síktól:

És így:

Ez pedig azt jelenti, hogy a feladatom az előzőre redukálódott: megkeressük az egyenes bármely pontjának koordinátáit, megkeressük a sík egyenletét, kiszámoljuk a pont és a sík távolságát. Valójában az ilyen feladatok a vizsgán rendkívül ritkák. Egyetlen problémát sikerült találnom, és a benne lévő adatok olyanok voltak, hogy a koordináta módszer nem nagyon volt alkalmazható rá!

Most térjünk át a problémák egy másik, sokkal fontosabb osztályára:

Pont és egyenes távolság kiszámítása

Mire lesz szükségünk?

1. Annak a pontnak a koordinátái, ahonnan a távolságot keressük:

2. Bármely egyenesen fekvő pont koordinátái

3. Az egyenes irányvektor koordinátái

Milyen képletet használjunk?

Mit jelent számodra ennek a törtnek a nevezője, és így világosnak kell lennie: ez az egyenes irányítóvektorának hossza. Itt van egy nagyon trükkös számláló! A kifejezés a vektorok vektorszorzatának modulját (hosszát) jelenti, és Hogyan számítsuk ki a vektorszorzatot, azt a munka előző részében tanulmányoztuk. Frissítse fel tudását, most nagyon hasznos lesz számunkra!

Így a problémák megoldásának algoritmusa a következő lesz:

1. Keressük annak a pontnak a koordinátáit, ahonnan a távolságot keressük:

2. Keressük azon egyenes bármely pontjának koordinátáit, amelytől a távolságot keressük:

3. Vektor felépítése

4. Megszerkesztjük az egyenes irányvektorát

5. Számítsa ki a keresztszorzatot!

6. Keressük a kapott vektor hosszát:

7. Számítsa ki a távolságot:

Nagyon sok munkánk van, és a példák meglehetősen összetettek lesznek! Tehát most összpontosítsd minden figyelmedet!

1. A Dana egy jobb oldali háromszög alakú pi-ra-mi-da, amelynek csúcsa van. Száz-ro-on az os-no-va-niya pi-ra-mi-dy egyenlő, te-so-ta egyenlő. Keresse meg azokat a távolságokat a bo-ko-ik él se-re-di-ny-jétől az egyenesig, ahol a pontok és a bordák és a társ-tól származó se-re-di-ny. -stven-but.

2. A bordák hossza és a derékszögű-no-para-ral-le-le-pi-pe-da rendre egyenlő, és a Find-di-te távolság a top-shi-ny és az egyenes-my között.

3. A jobb oldali hatszén-prizmában a raj minden éle egyenlő - keresse meg azt a távolságot egy ponttól az egyenesig

Megoldások:

1. Készítünk egy ügyes rajzot, amelyen megjelöljük az összes adatot:

Rengeteg dolgunk van számodra! Először szavakkal szeretném leírni, hogy mit fogunk keresni és milyen sorrendben:

1. A pontok koordinátái és

2. Pontkoordináták

3. A pontok koordinátái és

4. A vektorok koordinátái és

5. Keresztszorzatuk

6. Vektor hossza

7. A vektorszorzat hossza

8. Távolság -tól -ig

Nos, sok dolgunk van! Tegyük fel az ingujjunkat!

1. A gúla magasságának koordinátáinak meghatározásához ismernünk kell a pont koordinátáit, melynek alkalmazása nulla, az ordináta pedig egyenlő az abszcisszájával. Végül megkaptuk a koordinátákat:

Pont koordinátái

2. - a szegmens közepe

3. - a szegmens közepe

középpont

4. Koordináták

Vektor koordináták

5. Számítsa ki a vektorszorzatot:

6. A vektor hossza: a legegyszerűbb úgy helyettesíteni, hogy a szakasz a háromszög középvonala, ami azt jelenti, hogy egyenlő az alap felével. Szóval azt.

7. Tekintsük a vektorszorzat hosszát:

8. Végül keresse meg a távolságot:

Fú, ennyi! Őszintén megmondom: ennek a problémának a megoldása hagyományos módszerekkel (konstrukciók segítségével) sokkal gyorsabb lenne. De itt mindent leredukáltam egy kész algoritmusra! Gondolom, a megoldási algoritmus egyértelmű számodra? Ezért arra kérem, hogy a fennmaradó két problémát egyedül oldja meg. Hasonlítsa össze a válaszokat?

Ismétlem: könnyebb (gyorsabb) ezeket a problémákat konstrukciókkal megoldani, nem pedig a koordináta módszerhez folyamodni. Ezt a megoldási módot csak azért mutattam be, hogy megmutassam egy univerzális módszert, amely lehetővé teszi, hogy "semmit ne fejezz be".

Végül nézzük a problémák utolsó osztályát:

A ferde vonalak közötti távolság kiszámítása

Itt a problémák megoldásának algoritmusa hasonló lesz az előzőhöz. Amink van:

3. Bármely vektor, amely összeköti az első és a második egyenes pontjait:

Hogyan találjuk meg a vonalak közötti távolságot?

A képlet a következő:

A számláló a vegyes szorzat modulja (az előző részben bemutattuk), a nevező pedig - mint az előző képletben (a vonalak irányítóvektorainak vektorszorzatának modulja, a távolság, amely között nézünk számára).

Emlékeztetlek erre

azután a távolságképlet átírható így:

Osszuk el ezt a determinánst a determinánssal! Bár, hogy őszinte legyek, itt nincs kedvem poénkodni! Ez a képlet Valójában nagyon nehézkes, és meglehetősen bonyolult számításokhoz vezet. A helyedben csak végső esetben használnám!

Próbáljunk meg néhány problémát megoldani a fenti módszerrel:

1. A derékszögű háromszög prizmában az összes él valahogy egyenlő, keresse meg az egyenesek közötti távolságot és.

2. Adott egy jobb elő alakú háromszög prizma, ha valaki os-no-va-niya minden éle egyenlő a Se-che-tionnal, áthalad a másik bordán és a se-re-di-nu bordák yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie egyenes-we-mi és között

Én döntök az elsőről, és ez alapján döntsd el te a másodikat!

1. Rajzolok egy prizmát és megjelölöm a vonalakat és

A C pont koordinátái: akkor

Pont koordinátái

Vektor koordináták

Pont koordinátái

Vektor koordináták

Vektor koordináták

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(tömb))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tömb))\end(tömb)) \jobbra| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

A és vektorok közötti keresztszorzatot tekintjük

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(tömb) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Most nézzük a hosszát:

Válasz:

Most próbálja meg óvatosan végrehajtani a második feladatot. A válasz a következő lesz:.

Koordináták és vektorok. Rövid leírás és alapképletek

A vektor egy irányított szegmens. - a vektor eleje, - a vektor vége.
A vektort vagy jelöli.

Abszolút érték vektor - a vektort képviselő szakasz hossza. Kijelölve mint.

Vektor koordináták:

,
hol vannak a \displaystyle a vektor végei.

A vektorok összege: .

A vektorok szorzata:

A vektorok pontszorzata: