A vektorok közötti koszinusz megtalálásának képlete. Vektorok pontszorzata

Utasítás

Legyen adott a síkon két nullától eltérő vektor, egy pontból ábrázolva: A vektor koordinátákkal (x1, y1) B koordinátákkal (x2, y2). Injekció közöttük θ-vel jelöljük. A θ szög mértékének meghatározásához a skalárszorzat definícióját kell használni.

Két nem nulla vektor skaláris szorzata egy szám, amely egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával, azaz (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Most ebből kell kifejezni a szög koszinuszát: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

A skaláris szorzat az (A,B)=x1*x2+y1*y2 képlettel is megtalálható, mivel két szorzata nem nulla vektorok egyenlő a megfelelő vektorok szorzatainak összegével. Ha a nullától eltérő vektorok skaláris szorzata nullával egyenlő, akkor a vektorok merőlegesek (a szög közöttük 90 fok) és a további számítások elhagyhatók. Ha két vektor skaláris szorzata pozitív, akkor a köztük lévő szög vektorok hegyes, és ha negatív, akkor a szög tompaszögű.

Most számítsa ki az A és B vektorok hosszát a következő képletekkel: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). A vektor hosszát a következőképpen számítjuk ki Négyzetgyök koordinátáinak négyzeteinek összegéből.

Helyettesítse be a skaláris szorzat talált értékeit és a vektorok hosszát a 2. lépésben kapott szög képletébe, azaz cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Most az érték ismeretében keressük meg a közötti szög mértékét vektorok a Bradis táblát kell használnod, vagy ebből vegyél ki: θ=arccos(cos(θ)).

Ha az A és B vektorok háromdimenziós térben vannak megadva, és koordinátájuk (x1, y1, z1), illetve (x2, y2, z2) van, akkor a szög koszinuszának megkeresésekor még egy koordinátát adunk hozzá. Ebben az esetben koszinusz: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Hasznos tanács

Ha két vektor nincs egy pontból ábrázolva, akkor a köztük lévő szög párhuzamos fordítással történő meghatározásához össze kell kapcsolni ezeknek a vektoroknak a kezdeteit.
A két vektor közötti szög nem lehet nagyobb 180 foknál.

Források:

hogyan kell kiszámítani a vektorok közötti szöget
Szög a vonal és a sík között

A fizikában és a lineáris algebrában számos alkalmazott és elméleti probléma megoldásához ki kell számítani a vektorok közötti szöget. Ez az egyszerűnek tűnő feladat sok nehézséget okozhat, ha nem érti egyértelműen a skalárszorzat lényegét és azt, hogy milyen érték jelenik meg ennek a szorzatnak az eredményeként.

Utasítás

A vektorok közötti szög egy lineáris vektortérben az a minimális szög, amelynél a vektorok együttiránya megvalósul. Az egyik vektor a kiindulópontja körül van hordozva. A definícióból nyilvánvalóvá válik, hogy a szög értéke nem haladhatja meg a 180 fokot (lásd a lépést).

Ebben az esetben teljesen jogosan feltételezhető, hogy lineáris térben a vektorok párhuzamos átvitelekor a köztük lévő szög nem változik. Ezért a szög analitikus kiszámításához a vektorok térbeli orientációja nem számít.

A pontszorzat eredménye egy szám, egyébként skalár. Ne feledje (ezt fontos tudni), hogy elkerülje a hibákat a további számításokban. A skaláris szorzat képlete, amely egy síkon vagy a vektorok terében található, a következővel rendelkezik (lásd a lépést az ábrán).

Ha a vektorok térben helyezkednek el, akkor hasonló módon végezze el a számítást. Csak az lesz a dolog, hogy az osztalékban megjelenik a kifejezés - ez a jelentkezési kifejezés, azaz. a vektor harmadik komponense. Ennek megfelelően a vektorok moduljának számításakor a z komponenst is figyelembe kell venni, majd a térben elhelyezkedő vektorok esetében az utolsó kifejezést a következőképpen transzformáljuk (lásd a lépéshez 6. ábra).

A vektor egy adott irányú szakasz. A vektorok közötti szögnek van fizikai jelentése, például amikor egy vektor tengelyre vetített vetületének hosszát találjuk meg.

Utasítás

Két nullától eltérő vektor közötti szög pontszorzat számítással. Definíció szerint a szorzat egyenlő a hosszúságok és a köztük lévő szög szorzatával. Másrészt két a (x1; y1) koordinátájú és b (x2; y2) koordinátájú vektor belső szorzatát kiszámítjuk: ab = x1x2 + y1y2. E két mód közül a pontszorzat könnyen beállítható a vektorok között.

Keresse meg a vektorok hosszát vagy moduljait. A és b vektorainkra: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Határozzuk meg a vektorok belső szorzatát a koordinátáik páros szorzásával: ab = x1x2 + y1y2. Az ab = |a|*|b|*cos α pontszorzat definíciójából, ahol α a vektorok közötti szög. Ekkor azt kapjuk, hogy x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Ekkor cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Keresse meg az α szöget a Bradys-táblázatok segítségével.

Kapcsolódó videók

jegyzet

A skaláris szorzat a vektorok hosszának és a közöttük lévő szögnek skaláris karakterisztikája.

A sík a geometria egyik alapfogalma. A sík olyan felület, amelyre igaz az állítás - bármely egyenes, amely két pontját összeköti, teljes egészében ehhez a felülethez tartozik. A repülőgépek ki vannak jelölve görög betűkα, β, γ stb. Két sík mindig olyan egyenesben metszi egymást, amely mindkét síkhoz tartozik.

Utasítás

Tekintsük a metszéspontjában kialakult α és β félsíkot. Egy a egyenes és két α és β félsík által alkotott szög egy kétszög által alkotott szög. Ebben az esetben a lapokkal kétszöget alkotó félsíkokat élnek nevezzük azt a egyenest, amely mentén a síkok metszik egymást. kétszögű.

Kétszögű szög, mint egy lapos szög, fokban. Diéderszög kialakításához ki kell választani egy tetszőleges O pontot a lapján. Mindkét esetben két a sugarat húzunk át az O ponton. Az így kapott AOB szöget az a diéderszög lineáris szögének nevezzük.

Tehát legyen adott a V = (a, b, c) vektor és az A x + B y + C z = 0 sík, ahol A, B és C a normál N koordinátái. Ekkor a szög koszinusza α a V és N vektorok között: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

A szög fokban vagy radiánban kifejezett értékének kiszámításához az eredményül kapott kifejezésből a koszinuszra fordított függvényt kell kiszámítani, pl. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Példa: talál injekció között vektor(5, -3, 8) és repülőgép, amelyet a 2 x - 5 y + 3 z = 0 általános egyenlet ad meg. Megoldás: írjuk fel az N = (2, -5, 3) sík normálvektorának koordinátáit. Cserélj ki mindent ismert értékek a fenti képletben: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Kapcsolódó videók

Írj fel egy egyenletet, és izoláld belőle a koszinuszát! Az egyik képlet szerint a vektorok skaláris szorzata egyenlő a hosszuk és a koszinusz szorzatával. szög, másrészt az egyes tengelyek mentén a koordináták szorzatainak összege. Mindkét képletet egyenlővé téve megállapíthatjuk, hogy a koszinusz szög egyenlőnek kell lennie a koordináták szorzatainak összegének a vektorok hosszának szorzatával.

Írd fel a kapott egyenletet! Ehhez mindkét vektort ki kell jelölnünk. Tegyük fel, hogy 3D Descartes-rendszerben vannak megadva, és kiindulópontjaik egy rácsban vannak. Az első vektor irányát és nagyságát az (X1,Y1,Z1), a második - (X2,Y2,Z2) pont adja meg, a szöget pedig γ betűvel jelöljük. Ekkor az egyes vektorok hossza lehet például a Pitagorasz-tétel szerint, amelyet az egyes koordinátatengelyekre való vetületeikből kell kialakítani: √(X1² + Y1² + Z1²) és √(X₂² + Y₂² + Z²). Helyettesítse ezeket a kifejezéseket az előző lépésben megfogalmazott képletben, és megkapja az egyenlőséget: cos(γ) = (X1*X₂ + Y1*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X1² + Y1² + Z₁²) * √ +(X₂) Y2² + Z2² )).

Használja azt a tényt, hogy a négyzet összege sinusés társ sinus tól től szög egy érték mindig egyet ad. Ezért az előző lépésben kapott érték emelésével a co sinus négyzetre emelve és kivonva az egységből, majd

A geometria tanulmányozása során sok kérdés merül fel a vektorok témakörében. A tanuló különösen akkor tapasztal nehézséget, ha meg kell találni a vektorok közötti szögeket.

Alapfogalmak

A vektorok közötti szögek figyelembevétele előtt meg kell ismerkedni a vektor definíciójával és a vektorok közötti szög fogalmával.

A vektor egy olyan szegmens, amelynek van egy iránya, vagyis olyan szakasz, amelynek eleje és vége meg van határozva.

Egy síkon két közös origóval rendelkező vektor közötti szög a kisebbik szög, amellyel az egyik vektort egy közös pont körül kell mozgatni olyan helyzetbe, ahol az irányuk egybeesik.

Megoldási képlet

Miután megértette, mi a vektor, és hogyan kell meghatározni a szögét, kiszámíthatja a vektorok közötti szöget. Ennek megoldási képlete meglehetősen egyszerű, alkalmazásának eredménye a szög koszinuszának értéke lesz. Definíció szerint egyenlő a vektorok skaláris szorzatának és hosszuk szorzatának hányadosával.

A vektorok skaláris szorzatát a szorzóvektorok megfelelő koordinátáinak egymással szorzott összegeként tekintjük. Egy vektor hosszát vagy modulusát a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökeként számítjuk ki.

Miután megkapta a szög koszinuszának értékét, kiszámíthatja magának a szögnek az értékét egy számológép segítségével vagy trigonometrikus táblázat.

Példa

Miután rájött, hogyan kell kiszámítani a vektorok közötti szöget, a megfelelő probléma megoldása egyszerűvé és egyértelművé válik. Példaként tekintsük a szög nagyságának meghatározásának egyszerű problémáját.

Először is kényelmesebb lesz kiszámítani a vektorok hosszának értékét és a megoldáshoz szükséges skaláris szorzatát. A fenti leírást felhasználva a következőket kapjuk:

A kapott értékeket behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a kívánt szög koszinuszának értékét:

Ez a szám nem tartozik az öt közös koszinusz érték közé, így a szög értékének kiszámításához számológépet vagy Bradis trigonometrikus táblázatot kell használnia. De a vektorok közötti szög meghatározása előtt a képlet egyszerűsíthető, hogy megszabaduljunk az extra negatív előjeltől:

A végső válasz a pontosság megőrzése érdekében ebben a formában meghagyható, vagy kiszámolhatja a szög értékét fokban. A Bradis táblázat szerint ennek értéke hozzávetőlegesen 116 fok és 70 perc lesz, a számológép pedig 116,57 fokos értéket mutat.

Szögszámítás n-dimenziós térben

Ha két vektort vizsgálunk a háromdimenziós térben, sokkal nehezebb megérteni, hogy melyik szögről beszélünk, ha nem fekszenek ugyanabban a síkban. Az érzékelés egyszerűsítése érdekében rajzolhat két egymást metsző szegmenst, amelyek a legkisebb szöget alkotják közöttük, és ez lesz a kívánt. Annak ellenére, hogy a vektorban van egy harmadik koordináta, a vektorok közötti szögek kiszámításának folyamata nem változik. Számítsa ki a vektorok skaláris szorzatát és moduljait, hányadosuk arckoszinuszát, és ez lesz a válasz erre a problémára.

A geometriában gyakran előfordulnak problémák a háromnál több dimenziójú terekkel. De számukra hasonlónak tűnik a válasz megtalálásának algoritmusa.

0 és 180 fok közötti különbség

Az egyik gyakori hiba a vektorok közötti szög kiszámítására tervezett feladat megválaszolásakor az a döntés, hogy a vektorok párhuzamosak, vagyis a kívánt szög 0 vagy 180 fok. Ez a válasz helytelen.

Miután a megoldás eredményeként 0 fokos szögértéket kaptunk, a helyes válasz az lenne, ha a vektorokat társirányúnak jelölnénk ki, vagyis a vektorok azonos irányúak lesznek. 180 fok elérése esetén a vektorok ellentétes irányú természetűek lesznek.

Specifikus vektorok

A vektorok közötti szögek megkeresésével a fentebb leírt együtt- és ellentétes irányúak mellett az egyik speciális típus is megtalálható.

Egy síkkal párhuzamos több vektort koplanárisnak nevezünk.
Az azonos hosszúságú és irányú vektorokat egyenlőnek nevezzük.
Azokat a vektorokat, amelyek iránytól függetlenül ugyanazon az egyenesen fekszenek, kollineárisnak nevezzük.
Ha a vektor hossza nulla, azaz eleje és vége egybeesik, akkor nullának, ha pedig egy, akkor egynek nevezzük.

Két vektor közötti szög:

Ha két vektor közötti szög hegyes, akkor a pontszorzatuk pozitív; ha a vektorok közötti szög tompaszögű, akkor ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata negatív. Két nem nulla vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha ezek a vektorok ortogonálisak.

Gyakorlat. Keresse meg a vektorok és az közötti szöget

Döntés. A kívánt szög koszinusza

16. Az egyenesek, az egyenes és a sík közötti szög kiszámítása

Szög a vonal és a sík között ezt az egyenest metszi, és nem merőleges rá, az egyenes és az erre a síkra való vetülete közötti szög.

Az egyenes és a sík közötti szög meghatározása arra enged következtetni, hogy az egyenes és a sík közötti szög két egymást metsző egyenes: maga az egyenes és a síkra való vetülete közötti szög. Ezért az egyenes és a sík közötti szög hegyesszög.

A merőleges egyenes és a sík közötti szöget egyenlőnek tekintjük, a párhuzamos egyenes és a sík közötti szöget pedig vagy egyáltalán nem határozzuk meg, vagy egyenlőnek tekintjük.

69. § Az egyenesek közötti szög kiszámítása.

Két egyenes térbeli szögszámításának problémája ugyanúgy megoldott, mint a síkban (32. §). Jelölje φ-vel a vonalak közötti szöget l 1 és l 2 , és ψ-n keresztül - az irányvektorok közötti szög a és b ezeket az egyenes vonalakat.

Aztán ha

ψ 90° (206.6. ábra), akkor φ = 180° - ψ. Nyilvánvaló, hogy mindkét esetben igaz a cos φ = |cos ψ| egyenlőség. Az (1) képlet 20. §-a szerint megvan

ennélfogva,

Adják meg az egyeneseket a kanonikus egyenleteik

Ezután a képlet segítségével meghatározzuk a vonalak közötti φ szöget

Ha az egyik egyenest (vagy mindkettőt) nem kanonikus egyenletek adják meg, akkor a szög kiszámításához meg kell találni ezen egyenesek irányvektorainak koordinátáit, majd az (1) képletet kell használni.

17. Párhuzamos egyenesek, Tételek párhuzamos egyenesekről

Meghatározás. Egy síkban két egyenest hívnak párhuzamos ha nincsenek közös pontjaik.

Két vonalat három dimenzióban hívnak párhuzamos ha egy síkban fekszenek és nincs közös pontjuk.

Szög két vektor között.

A pontszorzat definíciójából:

Két vektor ortogonalitásának feltétele:

Kollinearitási feltétel két vektorra:

Az 5 - definícióból következik. Valójában egy vektor számmal való szorzatának meghatározásából az következik. Ezért a vektoregyenlőségi szabály alapján , , -t írunk, amiből következik . De a vektor egy számmal való szorzásából származó vektor kollineáris a vektorral.

Vektorról vektorra vetítés:

4. példa. Adott pontok , , , .

Keresse meg a skalárszorzatot.

Döntés. vektorok koordinátáival megadott skaláris szorzatának képletével találjuk meg. Amennyiben

, ,

5. példa Adott pontok , , , .

Projekció keresése.

Döntés. Amennyiben

, ,

A vetítési képlet alapján megvan

6. példa Adott pontok , , , .

Határozza meg a szöget az és a vektorok között.

Döntés. Vegye figyelembe, hogy a vektorok

, ,

nem kollineárisak, mivel koordinátáik nem arányosak:

Ezek a vektorok sem merőlegesek, mivel pontszorzatuk .

Találjuk ki,

Injekció keresse meg a képletből:

7. példa Határozza meg, mely vektorokhoz és kollineáris.

Döntés. Kollinearitás esetén a vektorok megfelelő koordinátái és arányosnak kell lennie, azaz:

Innen és .

8. példa. Határozza meg a vektor értékét! és merőlegesek.

Döntés. Vektor és merőlegesek, ha pontszorzatuk nulla. Ebből a feltételből kapjuk: . Azaz,.

9. példa. Megtalálni , ha , , .

Döntés. A skalárszorzat tulajdonságaiból adódóan a következőkkel rendelkezünk:

10. példa. Keresse meg az és a vektorok közötti szöget, ahol és - egységvektorok és a vektorok közötti szög és egyenlő 120o.

Döntés. Nekünk van: , ,

Végül nálunk van: .

5 B. vektor termék.

21. meghatározás.vektoros művészet vektort vektornak nevezzük vektornak, vagy , amelyet a következő három feltétel határoz meg:

1) A vektor modulja , ahol az és a vektorok közötti szög, azaz. .

Ebből következik, hogy a vektorszorzat modulusa numerikus területtel egyenlő vektorokra és oldalakra épített paralelogramma.

2) A vektor merőleges az egyes vektorokra és ( ; ), azaz. a vektorokra épített paralelogramma síkjára merőleges és.

3) A vektor úgy van irányítva, hogy ha a végéről nézzük, akkor a legrövidebb fordulat vektorból vektorba az óramutató járásával ellentétes lenne (a , vektorok jobb oldali hármast alkotnak).

Hogyan kell kiszámítani a vektorok közötti szögeket?

A geometria tanulmányozása során sok kérdés merül fel a vektorok témakörében. A tanuló különösen akkor tapasztal nehézséget, ha meg kell találni a vektorok közötti szögeket.

Alapfogalmak

A vektorok közötti szögek figyelembevétele előtt meg kell ismerkedni a vektor definíciójával és a vektorok közötti szög fogalmával.

A vektor egy olyan szegmens, amelynek van egy iránya, vagyis olyan szakasz, amelynek eleje és vége meg van határozva.

Egy síkon két közös origóval rendelkező vektor közötti szög a kisebbik szög, amellyel az egyik vektort egy közös pont körül kell mozgatni olyan helyzetbe, ahol az irányuk egybeesik.

Megoldási képlet

Miután megkapta a szög koszinuszának értékét, kiszámíthatja magának a szögnek az értékét egy számológép vagy egy trigonometrikus táblázat segítségével.

Példa

Először is kényelmesebb lesz kiszámítani a vektorok hosszának értékét és a megoldáshoz szükséges skaláris szorzatát. A fenti leírást felhasználva a következőket kapjuk:

A kapott értékeket behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a kívánt szög koszinuszának értékét:

Szögszámítás n-dimenziós térben

A geometriában gyakran előfordulnak problémák a háromnál több dimenziójú terekkel. De számukra hasonlónak tűnik a válasz megtalálásának algoritmusa.

0 és 180 fok közötti különbség

Specifikus vektorok

A vektorok közötti szögek megkeresésével a fentebb leírt együtt- és ellentétes irányúak mellett az egyik speciális típus is megtalálható.

Egy síkkal párhuzamos több vektort koplanárisnak nevezünk.
Az azonos hosszúságú és irányú vektorokat egyenlőnek nevezzük.
Azokat a vektorokat, amelyek iránytól függetlenül ugyanazon az egyenesen fekszenek, kollineárisnak nevezzük.
Ha a vektor hossza nulla, azaz eleje és vége egybeesik, akkor nullának, ha pedig egy, akkor egynek nevezzük.

Hogyan találjuk meg a vektorok közötti szöget?

segíts kérlek! Ismerem a képletet, de nem tudok rájönni
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Sándor Titov

A koordinátáikkal megadott vektorok közötti szöget a szabványos algoritmus szerint találjuk meg. Először meg kell találni az a és b vektor skaláris szorzatát: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Helyettesítjük itt ezeknek a vektoroknak a koordinátáit, és figyelembe vesszük:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ezután meghatározzuk az egyes vektorok hosszát. Egy vektor hossza vagy modulusa a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyöke:
|a| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) gyöke = (8^2 + 10^2 + 4^2) = (64 + 100 + 16) gyökere = 180 gyökere = 6 gyöke 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2 négyzetgyöke) = (25 + 400 + 100) négyzetgyöke ) = négyzetgyök az 525-ből = 5 gyök a 21-ből.
Ezeket a hosszúságokat megszorozzuk. 105-ből 30 gyökeret kapunk.
Végül pedig elosztjuk a vektorok skaláris szorzatát ezen vektorok hosszának szorzatával. -200 / (105-ből 30 gyökér) kapunk, ill
- (105 4 gyöke) / 63. Ez a vektorok közötti szög koszinusza. És maga a szög egyenlő ennek a számnak az ív koszinuszával
f \u003d arccos (-4 gyökér 105-ből) / 63.
Ha jól számoltam.

Hogyan számítsuk ki a vektorok közötti szög szinuszát a vektorok koordinátáiból

Mihail Tkacsov

Ezeket a vektorokat megszorozzuk. Pontszorzatuk egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával.
A szög ismeretlen számunkra, de a koordináták ismertek.
Írjuk le matematikailag így.
Legyen adott a(x1;y1) és b(x2;y2) vektorok
Azután

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Vitatkozunk.
vektorok a*b-skaláris szorzata egyenlő ezen vektorok koordinátáinak megfelelő koordinátáinak szorzatának összegével, azaz egyenlő x1*x2+y1*y2-vel

|a|*|b|-vektorhosszak szorzata egyenlő √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Tehát a vektorok közötti szög koszinusza:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Egy szög koszinuszának ismeretében ki tudjuk számítani a szinuszát. Beszéljük meg, hogyan kell csinálni:

Ha egy szög koszinusza pozitív, akkor ez a szög 1 vagy 4 negyedben van, tehát a szinusza pozitív vagy negatív. De mivel a vektorok közötti szög kisebb vagy egyenlő, mint 180 fok, akkor a szinusza pozitív. Hasonlóan érvelünk, ha a koszinusz negatív.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ez az)))) sok sikert a kitaláláshoz)))

Dmitrij Leviscsev

Az a tény, hogy lehetetlen közvetlenül szinuszozni, nem igaz.
A képlet mellett:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Van ilyen is:
||=|a|*|b|*sin A
Vagyis a skalárszorzat helyett a vektorszorzat modulját vehetjük fel.

"Vektor skalárszorzat" - A vektorok skaláris szorzata. Az 1-es oldalú ABC egyenlő oldalú háromszögben megrajzoljuk a BD magasságot. Értelemszerűen jellemezni egy szöget? vektorok között és ha: a) b) c) d). Mekkora t értéknél merőleges a vektor a vektorra, ha (2, -1), (4, 3). A és vektorok skaláris szorzatát jelöljük.

"Geometry 9 class "Vectors"" - Két pont távolsága. A koordináták legegyszerűbb feladatai. Ellenőrizd le magadat! Vektor koordináták. 1903-ban O. Henrichi azt javasolta, hogy a skalárszorzatot az (a, c) szimbólummal jelöljék. A vektor egy irányított szegmens. Egy vektor bontása koordináta vektorokban. A vektor fogalma. Egy vektor bontása síkon két nem kollineáris vektorban.

"Problémamegoldó vektor" - Az AM, DA, CA, MB, CD vektorok expresszálása a és b vektorban. № 2 Fejezd ki a DP, DM, AC vektorokat az a és b vektorokon keresztül. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Fejezzük ki a CK, RK vektorokat az a és b vektorokon keresztül. BE:EC = 3:1. K a DC közepe. VK: KС = 3: 4. Fejezd ki az AK, DK vektorokat az a és b vektorokon keresztül! Vektorok alkalmazása a problémamegoldásban (1. rész).

"Problémák a vektorokkal" - Tétel. Keresse meg a koordinátákat. Három pontot adnak. A háromszög csúcsai. Keresse meg a vektorok koordinátáit! Keresse meg a pont koordinátáit. Keresse meg a vektor koordinátáit és hosszát! Fejezze ki a vektor hosszát! Vektor koordináták. Vektor koordináták. Keresse meg a vektor koordinátáit. Vektorok adottak. Nevezze meg a vektorok koordinátáit! A vektornak vannak koordinátái.

"Sík koordinátáinak módszere" - Egy kört rajzolunk. Merőlegesek. Koordináta tengely. A szinusz értéke. Téglalap alakú koordinátarendszer a síkon. Keresse meg a csúcs koordinátáit. Vegyünk egy példát. A megoldás erre a problémára. A pontokat a repülőn adják. A paralelogramma csúcsai. Bontsa ki a vektorokat. Kiszámítja. Sok pont. Oldja meg grafikusan az egyenletrendszert!

"Vektorok összeadása és kivonása" - 1. Az óra céljai. 2. A fő rész. Ön nagyon, a legtöbb legjobb barát Alvajáró! Ismerje meg a vektorok kivonását. 2. Adja meg az a és b vektorok összegének vektorát! A barátom!! Lássuk, mi van itt. Céljaink: Összegzés. 3. A fej áttekintése. 4. Irodalomjegyzék. Utazás Lunatic-kal. Az A pontból mindkét vektort elhalasztjuk.

A témában összesen 29 előadás hangzik el