Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Rájöttünk, hogy általában mekkora egy szám fokszáma. Most meg kell értenünk, hogyan kell helyesen kiszámítani, pl. a számokat hatványokra emelni. Ebben az anyagban a fokszámítás alapvető szabályait elemezzük egész, természetes, tört, racionális és irracionális kitevő esetén. Minden definíciót példákkal illusztrálunk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A hatványozás fogalma

Kezdjük az alapvető definíciók megfogalmazásával.

1. definíció

Hatványozás valamely szám hatványértékének kiszámítása.

Vagyis a „fokozat értékének kiszámítása” és a „hatványozás” szavak ugyanazt jelentik. Tehát, ha a feladat "Emelje fel a 0 , 5 számot az ötödik hatványra", ezt úgy kell érteni, hogy "számítsa ki a (0 , 5) 5 hatvány értékét.

Most megadjuk azokat az alapvető szabályokat, amelyeket az ilyen számításoknál be kell tartani.

Emlékezzünk vissza, mekkora hatványa egy természetes kitevővel rendelkező számnak. Egy a bázisú és n kitevővel rendelkező hatvány esetén ez az n-edik tényező szorzata lesz, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezt így lehet írni:

A fok értékének kiszámításához el kell végezni a szorzás műveletét, vagyis meg kell szorozni a fokszám alapjait a megadott számú alkalommal. A természetes mutatójú diploma fogalma a gyors szorzás képességén alapul. Mondjunk példákat.

1. példa

Feltétel: Emelje a 2-t 4-es hatványra.

Döntés

A fenti definíciót használva a következőket írjuk: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ezután már csak követnünk kell ezeket a lépéseket, és megkapjuk a 16-ot.

Vegyünk egy bonyolultabb példát.

2. példa

Számítsa ki a 3 2 7 2 értéket!

Döntés

Ez a bejegyzés átírható a következőre: 3 2 7 · 3 2 7 . Korábban megvizsgáltuk, hogyan lehet helyesen szorozni a feltételben említett vegyes számokat.

Hajtsa végre az alábbi lépéseket, és kapja meg a választ: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ha a feladat megadja egy ir felépítésének szükségességét racionális számok természetes hatványra, először az alapjaikat kell számjegyre kerekítenünk, ami lehetővé teszi, hogy a kívánt pontosságú választ kapjuk. Vegyünk egy példát.

3. példa

Végezzük el a π szám négyzetre emelését.

Döntés

Először kerekítsük fel századokra. Ekkor π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ha π ≈ 3 . 14159, akkor pontosabb eredményt kapunk: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vegyük észre, hogy a gyakorlatban viszonylag ritkán merül fel az irracionális számok hatványainak kiszámítása. Ezután felírhatjuk a választ magának a hatványnak (ln 6) 3, vagy ha lehetséges átváltjuk: 5 7 = 125 5 .

Külön meg kell adni, hogy mi egy szám első hatványa. Itt emlékezhet arra, hogy az első hatványra emelt szám önmaga marad:

Ez egyértelműen kiderül a jegyzőkönyvből. .

Nem a végzettségtől függ.

4. példa

Tehát (− 9) 1 = − 9 , és az első hatványra emelt 7 3 egyenlő marad 7 3 -al.

Az egyszerűség kedvéért három esetet külön elemezünk: ha a kitevő pozitív egész szám, ha nulla és ha negatív egész szám.

Az első esetben ez ugyanaz, mint a természetes hatványra emelés: elvégre pozitív egész számok tartoznak a természetes számok halmazához. Fentebb már leírtuk, hogyan kell ilyen végzettséggel dolgozni.

Most lássuk, hogyan kell megfelelően emelni a nulla teljesítményre. Nem nulla bázis esetén ez a számítás mindig 1-es kimenetet ad. Korábban már kifejtettük, hogy a 0. hatványa bármely valós számra definiálható, amely nem egyenlő 0-val, és a 0 = 1.

5. példa

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nincs meghatározva.

Csak a negatív egész kitevővel rendelkező fok esete marad. Korábban már tárgyaltuk, hogy az ilyen fokok felírhatók 1 a z törtként, ahol a tetszőleges szám, z pedig negatív egész szám. Látjuk, hogy ennek a törtnek a nevezője nem más, mint rendes diploma pozitív egész számmal, és már megtanultuk, hogyan kell kiszámítani. Mondjunk példákat a feladatokra!

6. példa

Emelje fel a 3-at a -2 hatványra.

Döntés

A fenti definíciót használva ezt írjuk: 2 - 3 = 1 2 3

Kiszámoljuk ennek a törtnek a nevezőjét, és 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 kapjuk.

Ekkor a válasz: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7. példa

Emelje fel az 1, 43-at a -2 hatványra.

Döntés

Átfogalmazd: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kiszámoljuk a négyzetet a nevezőben: 1,43 1,43. A tizedesjegyeket a következőképpen lehet szorozni:

Ennek eredményeként (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Ezt az eredményt az űrlapba kell írnunk közönséges tört, amihez meg kell szorozni 10 ezerrel (lásd a törtek átszámításáról szóló anyagot).

Válasz: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Külön eset egy szám emelése a mínusz első hatványra. Egy ilyen fokozat értéke megegyezik az alap eredeti értékével ellentétes számmal: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8. példa

Példa: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hogyan emeljünk egy számot tört hatványra

Egy ilyen művelet végrehajtásához fel kell idéznünk a törtkitevővel rendelkező fok alapvető definícióját: a m n \u003d a m n bármely pozitív a, egész m és természetes n esetén.

2. definíció

Így a törtfok számítását két lépésben kell elvégezni: egész hatványra emelni és megkeresni az n-edik fok gyökerét.

Megvan az a m n = a m n egyenlőség, amelyet a gyökök tulajdonságainak ismeretében általában a m n = a n m alakban használunk feladatok megoldására. Ez azt jelenti, hogy ha az a számot m / n törthatványra emeljük, akkor először az n-edik fokú gyökét vonjuk ki a-ból, majd az eredményt m egész kitevőjű hatványra emeljük.

Illusztráljuk egy példával.

9. példa

Számíts ki 8 - 2 3 .

Döntés

1. módszer. Az alapdefiníció szerint ezt a következőképpen ábrázolhatjuk: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Most számítsuk ki a fokot a gyökér alatt, és vonjuk ki a harmadik gyökért az eredményből: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2. módszer. Alakítsuk át az alapegyenlőséget: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Ezután kivonjuk a 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 gyökért, és az eredményt négyzetre emeljük: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Látjuk, hogy a megoldások azonosak. Bármilyen módon használhatod.

Vannak esetek, amikor a fokozatnak van egy vegyes számmal vagy tizedes törttel kifejezett mutatója. A számítás megkönnyítése érdekében jobb, ha egy közönséges törtre cseréljük, és a fentiek szerint számolunk.

10. példa

Emelje fel 44,89-et 2,5 hatványára.

Döntés

A mutató értékét alakítsuk át közönséges törtté - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

És most végre kell hajtani az összes fent jelzett műveletet sorrendben: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 51050 = 201070 13 501, 25107

Válasz: 13501, 25107.

Ha egy törtkitevő számlálója és nevezője az nagy számok, akkor az ilyen kitevők kiszámítása racionális kitevőkkel meglehetősen nehéz feladat. Általában számítástechnikát igényel.

Külön-külön a nullabázisú és a törtkitevővel rendelkező fokon időzünk. Egy 0 m n alakú kifejezés a következő jelentéssel bírhat: ha m n > 0, akkor 0 m n = 0 m n = 0 ; ha m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hogyan emeljünk egy számot irracionális hatványra

A fokozat értékének kiszámításának szükségessége, amelynek mutatójában irracionális szám szerepel, nem olyan gyakran merül fel. A gyakorlatban a feladat általában egy közelítő érték kiszámítására korlátozódik (bizonyos számú tizedesjegyig). Ezt az ilyen számítások bonyolultsága miatt általában számítógépen számolják ki, ezért ebben nem térünk ki részletesen, csak a főbb rendelkezéseket jelezzük.

Ha az a fok értékét irrel kell kiszámolnunk racionális mutató a , akkor vesszük a mutató decimális közelítését és számolunk vele. Az eredmény hozzávetőleges válasz lesz. Minél pontosabb a decimális közelítés, annál pontosabb a válasz. Mutassuk meg egy példával:

11. példa

Számítson ki egy hozzávetőleges értéket: 21 , 174367 ....

Döntés

Korlátozzuk magunkat a n = 1, 17 decimális közelítésre. Végezzük el a számításokat ezzel a számmal: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ha vesszük például az a n = 1 , 1743 közelítést, akkor a válasz egy kicsit pontosabb lesz: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám többszöri szorzásának eredménye önmagában. Képzeljük el a képletet: a1 * a2 * ... * an = an.

Például a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Általában a hatványozást gyakran használják a matematika és a fizika különféle képleteiben. Ennek a funkciónak tudományosabb célja van, mint a négy alapfunkciónak: összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Szám hatványra emelése

Egy szám hatványra emelése nem nehéz művelet. A szorzáshoz kapcsolódik, mint például a szorzás és az összeadás kapcsolatához. Rögzítsen egy - az "a" számok n-edik számának rövid feljegyzését, szorozva egymással.

Fontolja meg legfeljebb a hatványozást egyszerű példákáttérve az összetettekre.

Például 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Négy négyzet (a második hatványhoz) tizenhat. Ha nem érti a 4 * 4 szorzást, akkor olvassa el a szorzásról szóló cikkünket.

Nézzünk egy másik példát: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Öt kocka (a harmadik hatványhoz) százhuszonötnek felel meg.

Egy másik példa: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Kilenc kocka hétszázhuszonkilencnek felel meg.

Hatványozási képletek

A hatványra való helyes emeléshez emlékeznie kell és ismernie kell az alábbi képleteket. Ebben nincs semmi természetesen túl, a lényeg, hogy megértsük a lényeget, és akkor nem csak emlékezni fognak rájuk, de könnyűnek is tűnnek.

Egy monom hatványra emelése

Mi az a monom? Ez a számok és változók szorzata bármilyen mennyiségben. Például a kettő egy monom. Ez a cikk pedig az ilyen monomok hatalommá emeléséről szól.

Hatványozási képletekkel nem lesz nehéz kiszámítani a monom hatványozását a hatványra.

Például, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ha egy monomit hatványra emel, akkor a monom minden komponense hatványra lesz emelve.

Ha olyan változót emelünk hatványra, amelynek már van foka, a fokok megszorozódnak. Például (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Negatív hatalommá emelés

A negatív kitevő egy szám reciproka. Mi az a kölcsönösség? Bármely X szám reciprok értéke 1/X. Ez X-1=1/X. Ez a negatív fokozat lényege.

Tekintsük a (3Y)^-3 példát:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miert van az? Mivel a fokban mínusz van, egyszerűen átvisszük ezt a kifejezést a nevezőbe, majd emeljük a harmadik hatványra. Pont jó?

Törthatványra emelés

Kezdjük a vitát konkrét példa. 43/2. Mit jelent a teljesítmény 3/2? 3 - számláló, egy szám (jelen esetben 4) kockává emelését jelenti. A 2-es szám a nevező, ez a szám második gyökének (jelen esetben 4) kinyerése.

Ekkor megkapjuk a 43 = 2^3 = 8 négyzetgyökét. Válasz: 8.

Tehát egy tört fok nevezője lehet 3 vagy 4, és a végtelenségig tetszőleges szám, és ez a szám határozza meg a fokot négyzetgyök kivonva valamiből adott szám. Természetesen a nevező nem lehet nulla.

Gyökért hatalommá emelni

Ha a gyököt olyan hatványra emeljük, mint magának a gyökérnek a hatványa, akkor a válasz a radikális kifejezés. Például (√x)2 = x. És így minden esetben egyenlő a gyökér foka és a gyökéremelés mértéke.

Ha (√x)^4. Ekkor (√x)^4=x^2. A megoldás ellenőrzéséhez a kifejezést tört fokú kifejezéssé fordítjuk. Mivel a gyök négyzet, a nevező 2. Ha pedig a gyököt a negyedik hatványra emeljük, akkor a számláló 4. Azt kapjuk, hogy 4/2=2. Válasz: x = 2.

Egyébként is a legjobb mód csak alakítsa át a kifejezést törthatékonyságú kifejezéssé. Ha a törtet nem csökkentjük, akkor ilyen válasz lesz, feltéve, hogy az adott szám gyökere nincs kiosztva.

Komplex szám hatványozása

Mi az a komplex szám? A komplex szám olyan kifejezés, amelynek képlete a + b * i; a, b valós számok. i az a szám, amely négyzetre vetve a -1 számot adja.

Vegyünk egy példát. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Iratkozzon fel a „Fejtesd fel a fejben számolást, NEM a fejszámolást” kurzusra, hogy megtanulja, hogyan kell gyorsan és helyesen összeadni, kivonni, szorozni, osztani, négyzetszámokat venni, sőt még gyökeret is venni. 30 nap alatt megtanulja, hogyan kell egyszerű trükköket használni az aritmetikai műveletek egyszerűsítésére. Minden lecke új technikákat, világos példákat és hasznos feladatokat tartalmaz.

Hatványozás online

Számológépünk segítségével kiszámolhatja egy szám hatványozását a hatványra:

Hatványozás 7. fokozat

A hatalomra emelés csak a hetedik osztályban kezdődik az iskolások előtt.

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám többszöri szorzásának eredménye önmagában. Képzeljük el a képletet: a1 * a2 * … * an=an .

Például, a=2, n=3: 2*2*2=2^3=8.

Megoldási példák:

Hatványozás bemutatása

Prezentáció a hatványozásról, hetedikesek számára készült. Az előadás talán tisztáz néhány érthetetlen pontot, de valószínűleg cikkünknek köszönhetően nem lesznek ilyenek.

Eredmény

Csak a jéghegy csúcsát vettük figyelembe, a matematika jobb megértése érdekében - iratkozzon fel tanfolyamunkra: Fejlesztési számolás felgyorsítása - NEM fejszámolás.

A tanfolyamon nem csak az egyszerűsített és gyors szorzáshoz, összeadáshoz, szorzáshoz, osztáshoz, százalékszámításhoz trükkök tucatjait tanulod meg, hanem speciális feladatokban, oktatójátékokban is kidolgozhatod! A mentális számolás is nagy figyelmet és koncentrációt igényel, amelyeket aktívan képeznek az érdekes problémák megoldásában.

A szám fokáról szóló beszélgetés folytatásaként logikus a fokozat értékének megtalálásával foglalkozni. Ezt a folyamatot elnevezték hatványozás. Ebben a cikkben csak azt tanulmányozzuk, hogyan történik a hatványozás, miközben érintjük az összes lehetséges kitevőt - természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különböző mértékű emelésének példáinak megoldásait.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a "hatványosítás"?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.

Meghatározás.

Hatványozás az, hogy megtaláljuk egy szám hatványának értékét.

Így az a hatvány értékét r kitevővel megkeresni és az a számot r hatványára emelni ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány értékét (0,5) 5”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5 számot 5 hatványára”.

Most közvetlenül léphet a szabályokhoz, amelyek szerint a hatványozás történik.

Egy szám természetes hatványra emelése

A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz, amikor az a számot m / n törthatványra emeljük, először az a szám n-edik fokának gyökét vonjuk ki, majd az eredményt m egész hatványra emeljük.

Tekintsünk megoldásokat a törthatványra emelés példáira.

Példa.

Számítsa ki a fokozat értékét!

Döntés.

Két megoldást mutatunk be.

Első út. A fok definíciója szerint törtkitevővel. Kiszámoljuk a fok értékét a gyök jele alatt, majd kivonjuk köbgyök: .

A második út. A tört kitevővel rendelkező fok meghatározása és a gyökök tulajdonságai alapján az egyenlőségek igazak . Most vonja ki a gyökeret Végül egész hatványra emeljük .

Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.

Válasz:

Figyeljük meg, hogy a tört kitevő felírható tizedes törtként vagy vegyes számként is, ezekben az esetekben helyettesítsük a megfelelő közönséges törttel, majd végezzük el a hatványozást.

Példa.

Számítsd ki (44,89) 2,5 .

Döntés.

A kitevőt közönséges tört formájában írjuk (ha szükséges, lásd a cikket): . Most törthatványra emelünk:

Válasz:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a törtkitevő számlálója és nevezője meglehetősen nagy számok), amelyet általában számítástechnikával hajtanak végre.

Ennek a bekezdésnek a végén a nulla szám törthatványra való felépítésénél fogunk elidőzni. Az alak nulla törtfokának a következő jelentést adtuk: mert van , míg az m/n hatvány nulla nincs megadva. Tehát nullától pozitív törthatványig nulla, Például, . És a nullának egy tört negatív hatványban nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.

Irracionális hatalommá emelés

Néha szükségessé válik egy irracionális kitevővel rendelkező szám fokszámának kiderítése. Ilyenkor gyakorlati célból általában elég egy bizonyos előjelig megkapni a fokozat értékét. Rögtön megjegyezzük, hogy ezt az értéket a gyakorlatban elektronikus számítástechnikával számítják ki, mivel az ir-ra emelve racionális fok manuálisan megköveteli egy nagy szám nehézkes számítások. Azonban leírjuk általánosságban cselekvés lényege.

Ahhoz, hogy az a kitevőjének közelítő értékét kapjuk egy irracionális kitevővel, a kitevő tizedes közelítését veszik, és kiszámítják a kitevő értékét. Ez az érték az a szám fokszámának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb egy szám tízes közelítését veszik kezdetben, annál többet pontos érték diplomát a végén szereznek.

Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük egy irracionális mutató következő decimális közelítését: . Most felemeljük a 2-t 1,17-es racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈ 2,250116-ot kapunk. És így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha pontosabb decimális közelítést veszünk egy irracionális kitevőhöz, például, akkor az eredeti fok pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika Zh tankönyv 5 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8 cellához. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9 cellához. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános nevelési-oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra jelenik meg, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen leginkább navigátorunkra hasznos forrás számára

Miért van szükség diplomára? Hol van szükséged rájuk? Miért kell időt tölteni a tanulmányozásukkal?

Mindent megtudhat a diplomákról, mire valók, hogyan használhatja fel tudását Mindennapi élet olvassa el ezt a cikket.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az OGE vagy az egységes államvizsga sikeres letételéhez és álmai egyetemére való belépéshez.

Gyerünk... (Menjünk!)

ELSŐ SZINT

A hatványozás ugyanaz matematikai művelet mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent elmagyarázok emberi nyelv nagyon egyszerű példákkal. Figyelj. A példák alapvetőek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindegyikben van két üveg kóla. Mennyi kóla? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanez a példa a kólával másképp is felírható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják a módját, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben észrevették, hogy mind a nyolc embernek ugyanannyi üveg kólája van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Persze lehet mindent lassabban, keményebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És egy másik, szebb:

És mi más trükkös trükkök lusta matematikusok állították elő a számlákat? Helyesen - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek rá, hogy az ötödik hatvány kettő. És gondolatban oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Ehhez csak az kell ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványait tartalmazó táblázatban. Hidd el, sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják a másodfokút négyzet számok, és a harmadik kocka? Mit jelent? Magasan jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük egy négyzettel vagy egy szám második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete méter méter. A medence a hátsó udvarban van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De ... egy medence fenék nélkül! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence aljának területét.

Egyszerűen az ujjával bökve megszámolhatja, hogy a medence alja méterről méterre kockákból áll. Ha a csempe méterről méterre, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempét? A csempe inkább cm-ről cm-re lesz, és akkor az „ujjal számolva” fog gyötörni. Akkor szorozni kell. Tehát a medencefenék egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét fogunk felhelyezni. Ha megszorozzuk, akkor csempéket kapunk ().

Észrevette, hogy ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával, hogy meghatározzuk a medence aljának területét? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot megszorozzuk, használhatjuk a hatványozási technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb és a számítások során is kevesebb a hiba. A vizsga szempontjából ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második fokig lesz (). Vagy mondhatod, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. példa az életből

Íme egy feladat, számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másik oldalán is. Számuk megszámlálásához meg kell szoroznia nyolcat nyolccal, vagy ... ha ezt észreveszi Sakktábla egy oldallal rendelkező négyzet, akkor a nyolc négyzetet is megadhatja. Szerezzen sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként -ban mérik köbméter. Váratlanul, igaz?) Rajzolj egy medencét: egy méter nagyságú és egy méter mély fenéket, és próbáld meg kiszámolni, hogy összesen hány kocka kerül méterről méterre a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy… huszonkettő, huszonhárom… Mennyi lett? Nem tévedt el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal ... Könnyebb, igaz?

Képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt túlságosan megkönnyítik. Mindent egyetlen műveletre redukált. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanazt a számot megszorozzák magával... És ez mit jelent? Ez azt jelenti, hogy használhatja a diplomát. Tehát, amit egykor ujjal megszámoltál, azt egy művelettel megcsinálják: egy kockában három egyenlő. Így van írva:

Csak marad jegyezze meg a foktáblázatot. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, folyamatosan számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat naplopók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, nem pedig azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden év elején minden milliója megduplázódik. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és "ujjal számolsz", akkor nagyon szorgalmas ember vagy és .. hülye. De valószínűleg pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kétszer kettő... a második évben - mi történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám egyszer megszorozódik önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy van versenyed, és aki gyorsabban számol, az kapja meg ezeket a milliókat... Érdemes emlékezni a számok fokára, mit gondolsz?

Valós példa #5

Van egy milliód. Minden év elején minden millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű ugye? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatvány egy millió. Csak emlékezni kell arra, hogy a háromtól a negyedik hatványig vagy.

Most már tudod, hogy ha egy számot hatványra emelsz, sokkal könnyebb lesz az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne tévedjünk össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi a kitevő? Nagyon egyszerű – ez az a szám, amely a szám hatványának „tetején” van. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen alapfokú végzettség? Még egyszerűbb az a szám, amely alul, az alján van.

Itt van egy kép, hogy biztosra menjen.

No és be Általános nézetáltalánosítani és jobban emlékezni ... A "" bázist és a "" kitevőt tartalmazó fokot a "fok"-nak kell olvasni, és a következőképpen kell írni:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő az természetes szám. Igen, de mi van természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok, amelyeket a számolás során használnak az elemek felsorolásakor: egy, kettő, három ... Amikor tételeket számolunk, nem mondjuk azt, hogy „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad” vagy „nulla pont öt tized”. Ezek nem természetes számok. Szerinted mik ezek a számok?

Az olyan számok, mint a "mínusz öt", "mínusz hat", "mínusz hét" utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számokat (vagyis mínusz előjellel felvetve) és egy számot. A nullát könnyű megérteni – ilyenkor nincs semmi. És mit jelentenek a negatív ("mínusz") számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan jöttek létre, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nincs elegendő természetes számuk a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok… Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden: egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg a fok fogalmát, melynek kitevője egy természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése annyit tesz, mint önmagával szorozni:
3. Ha egy számot kockára szeretnénk vágni, akkor azt háromszor meg kell szorozni önmagával:

Meghatározás. Ha egy számot természetes hatványra emelünk, akkor a számot önmagával megszorozzuk:
.

Fokozat tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk, mi az és ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: faktorokat adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény faktorok.

De definíció szerint ez egy kitevős szám foka, vagyis: , amelyet bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Döntés: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen muszáj ugyanazon az alapon!
Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

csak erőtermékekre!

Semmi esetre sem szabad ilyet írni.

2. vagyis -egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat meghatározására:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni?

De ez nem igaz, tényleg.

Fokozat negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

fokban természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk végig, milyen jeleknek (" " vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor kiderül.

Döntse el saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5. példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

egész megnevezzük a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a "" jellel felvetve) és a számot.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Most pedig nézzünk új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, most is feltesszük magunknak a kérdést: miért van ez így?

Vegye figyelembe az alap teljesítményét. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot, és ugyanazt kaptuk, mint volt -. Milyen számmal kell megszorozni, hogy semmi ne változzon? Így van, tovább. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint minden nulla fokos számnak, egyenlőnek kell lennie. Tehát mi az igazság ebben? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most már nem csak oszthatjuk nullával, hanem emelhetjük is a nulla hatványra.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Hogy megértsük, mi a negatív fok, tegyük ugyanazt, mint legutóbb: valamilyen normál számot megszorozunk ugyanannak a negatív fokozatban:

Innen már könnyű kifejezni a kívántat:

Most kiterjesztjük a kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzuk meg a szabályt:

Egy szám negatív hatványhoz azonos szám pozitív hatványának fordítottja. De ugyanakkor az alap nem lehet null:(mert nem lehet osztani).

Összefoglaljuk:

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák egy független megoldásra:

Feladatok elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de a vizsgán mindenre készen kell állni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásukat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan kezelheti ezeket könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontolja meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: mindaz, ami törtként ábrázolható, ahol és az egész számok, ráadásul.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok" Tekintsünk egy töredéket:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzen a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th fok gyöke a hatványozás fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilván ezt különleges eset bővíthető: .

Most add hozzá a számlálót: mi az? A választ könnyen megtalálhatja a teljesítmény-hatalom szabályával:

De lehet az alap bármilyen szám? Végül is a gyökér nem kinyerhető minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból nem lehet páros fokú gyököket kivonni!

Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukált törtként is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, és ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor le tudod írni. De amint máshogy írjuk a mutatót, ismét bajba kerülünk: (vagyis teljesen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében fontolja meg csak pozitív alapkitevő töredékes kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

A racionális kitevővel rendelkező hatványok nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most - a legnehezebb. Most elemezzük fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoknál, kivéve

Valójában definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel.

Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat;

...nulla teljesítmény- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „előkészítés egy szám”, nevezetesen egy szám;

...negatív egész kitevő- mintha egy bizonyos „fordított folyamat” ment volna végbe, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett mutatójú fokozatot, vagyis egy mutató nem páros valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod az ilyen példák megoldását :))

Például:

Döntsd el magad:

A megoldások elemzése:

1. Kezdjük a fokozatba emelés már megszokott szabályával:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — végzettség alapja;
• - kitevő.

Fok természetes kitevővel (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Hatvány egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

erekció nulla teljesítményre:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az egész szám negatív szám:

(mert nem lehet osztani).

Még egyszer a nullokról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Fokozat racionális kitevővel

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

Fokozat tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Döntés : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen ugyanazon az alapon kell lennie. Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak az erők termékeinél!

Semmi esetre sem szabad ilyet írnom.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat meghatározására:

Rendezzük át így:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám -edik hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:!

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni? De ez nem igaz, tényleg.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen indikátor fokozat. De mi legyen az alap? fokban természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk végig, milyen jeleknek (" " vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha (-vel) megszorozzuk, - kapjuk.

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. Lehet ilyeneket megfogalmazni egyszerű szabályok:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Döntse el saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5. példában minden nem olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mivel egyenlő az alap - a fok páros, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszel, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap kisebb, mint nulla. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és felosztjuk őket egymásra, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Szétszerelés előtt utolsó szabály Nézzünk néhány példát.

Számítsa ki a kifejezések értékét:

Megoldások :

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki a diploma fogalmát és egyszerűsítsük:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány levél lesz? alkalommal szorzókkal – hogyan néz ki? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: összesen kiderült, hogy szorzók vannak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokozataira vonatkozó információk mellett a fokozatot egy irracionális mutatóval elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel. Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat; egy nullafokú szám mintegy önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „szám előkészítése”, nevezetesen egy szám; egy fok negatív egész számmal - olyan, mintha egy bizonyos „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Inkább egy tisztán matematikai objektumról van szó, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

A tudomány egyébként sokszor összetett kitevős fokot használ, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetősége megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk mindent megtenni, hogy megszabaduljunk tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

SZAKASZ ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLET

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Fokozat racionális kitevővel

fok, melynek mutatója a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

kitevő, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

Fokozat tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST VAN EGY SZAVAD...

Hogy tetszik a cikk? Az alábbi megjegyzésekben tudassa velem, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk az erőtulajdonságokkal kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikerességért a vizsga letétele, az intézetbe való felvételért költségvetési és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben megoldja a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

A számológép segítségével gyorsan online hatványra emelheti a számokat. A fokszám alapja tetszőleges szám lehet (egész és valós). A kitevő lehet egész vagy valós, valamint pozitív és negatív is. Emlékeztetni kell arra, hogy negatív számok esetén a nem egész hatványra való emelés nincs meghatározva, ezért a számológép hibát jelez, ha mégis megpróbálja ezt megtenni.

Fokozat-kalkulátor

Emelje fel hatalomra

Hatványozás: 24601

Mi egy szám természetes hatványa?

A p számot az a szám n-edik hatványának nevezzük, ha p egyenlő az a szám n-szeres szorzatával: p \u003d a n \u003d a ... a
n - hívott kitevő, és az a szám fokozat alapja.

Hogyan emeljünk egy számot természetes hatványra?

Hogy megértsük, hogyan kell építeni különféle számok a természetes erők, nézzünk meg néhány példát:

1. példa. Emelje fel a hármas számot a negyedik hatványra. Vagyis ki kell számolni 3 4-et
Döntés: mint fentebb említettük, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Válasz: 3 4 = 81 .

2. példa. Emelje fel az ötös számot az ötödik hatványra. Azaz 5 5-öt kell kiszámolni
Döntés: hasonlóan 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Válasz: 5 5 = 3125 .

Így ahhoz, hogy egy számot természetes hatványra emeljünk, elegendő önmagával n-szer megszorozni.

Mi egy szám negatív hatványa?

Az a negatív -n hatványa osztva a-val n hatványával: a -n = .

Ebben az esetben csak a nullától eltérő számoknál létezik negatív fokozat, mert különben nullával való osztás történne.

Hogyan emeljünk egy számot negatív egész számra?

Egy nem nullától eltérő szám negatív hatványra emeléséhez ki kell számítania ennek a számnak az értékét ugyanarra a pozitív hatványra, és el kell osztania egyet az eredménnyel.

1. példa. Emelje fel a kettes számot a mínusz negyedik hatványra. Vagyis 2 -4-et kell kiszámítani

Döntés: mint fentebb említettük, 2 -4 = = = 0,0625 .

Válasz: 2 -4 = 0.0625 .