Sík egyenlet. Hogyan írjunk egyenletet egy síkra?
Kölcsönös megállapodás repülőgépek. Feladatok

A térgeometria nem sokkal bonyolultabb, mint a "lapos" geometria, és az űrben végzett repüléseink ezzel a cikkel kezdődnek. A téma megértéséhez jól kell érteni vektorok, ezen kívül kívánatos ismerni a sík geometriáját - sok hasonlóság, sok analógia lesz, így az információ sokkal jobban megemészthető lesz. Leckeim sorozatában a 2D-s világ egy cikkel nyit Egyenlet egy síkon. De most Batman lelépett a lapos képernyős tévéről, és elindul a Bajkonuri kozmodrómról.

Kezdjük rajzokkal és szimbólumokkal. Sematikusan a síkot paralelogrammaként is megrajzolhatjuk, ami a tér benyomását kelti:

A sík végtelen, de csak egy darabját van lehetőségünk ábrázolni. A gyakorlatban a paralelogramma mellett egy ovális vagy akár egy felhő is rajzolódik. Technikai okokból számomra kényelmesebb így és ebben a helyzetben ábrázolni a repülőt. Valódi repülőgépek, amelyeket figyelembe vesszük gyakorlati példák, tetszés szerint elrendezhető - gondolatban vedd a kezedbe a rajzot és csavard el a térben, így a sík bármilyen lejtőt, tetszőleges szöget ad.

Jelölés: a repülőgépeket kis görög betűkkel szokás jelölni, látszólag azért, hogy ne keverjük össze egyenesen a repülőn vagy azzal egyenesen a térben. Megszoktam a betű használatát. A rajzon a "szigma" betű látható, és egyáltalán nem lyuk. Bár egy lyukas repülőgép, minden bizonnyal nagyon vicces.

Bizonyos esetekben kényelmes ugyanazt használni Görög betűk alsó indexekkel, például .

Nyilvánvaló, hogy a síkot egyedileg három határozza meg különböző pontokat nem ugyanazon az egyenesen fekszik. Ezért a repülőgépek hárombetűs jelölései meglehetősen népszerűek - például a hozzájuk tartozó pontok szerint stb. A betűk gyakran zárójelben vannak: , hogy ne keverjük össze a síkot egy másik geometriai alakzattal.

Tapasztalt olvasóknak ajánlom helyi menü:

• Hogyan írjunk fel egyenletet egy síkra egy pont és két vektor felhasználásával?
• Hogyan írjunk fel egyenletet egy síkra egy pont és egy normálvektor segítségével?

és nem fogunk sokáig várni:

A sík általános egyenlete

A sík általános egyenlete alakja , ahol az együtthatók egyidejűleg nem nullák.

Számos elméleti számítás és gyakorlati probléma érvényes mind a szokásos ortonormális, mind a tér affin bázisára (ha az olaj olaj, térjünk vissza a leckéhez A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon). Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy minden esemény ortonormális alapon és derékszögű derékszögű koordinátarendszerben történik.

És most edzünk egy kis térbeli képzelőerőt. Nem baj, ha rossz, most fejlesztjük egy kicsit. Még az idegeken való játék is gyakorlást igényel.

A legáltalánosabb esetben, amikor a számok nem egyenlőek nullával, a sík mindhárom koordinátatengelyt metszi. Például így:

Még egyszer megismétlem, hogy a sík minden irányban a végtelenségig folytatódik, és ennek csak egy részét van lehetőségünk ábrázolni.

Tekintsük a síkok legegyszerűbb egyenleteit:

Hogyan kell megérteni adott egyenlet? Gondoljon bele: „Z” MINDIG, „X” és „Y” bármely értéke nullával egyenlő. Ez a "natív" koordinátasík egyenlete. Valójában formálisan az egyenlet a következőképpen írható át: , ahonnan jól látható, hogy nekünk mindegy, milyen értékeket vesz fel az „x” és az „y”, fontos, hogy „z” egyenlő legyen nullával.

Hasonlóképpen:
a koordinátasík egyenlete ;
a koordinátasík egyenlete.

Bonyolítsuk egy kicsit a problémát, tekintsünk egy síkot (itt és a továbbiakban a bekezdésben feltételezzük, hogy a numerikus együtthatók nem egyenlők nullával). Írjuk át az egyenletet a következő alakba: . Hogyan kell megérteni? Az „X” MINDIG, mert „y” és „z” bármely értéke egy bizonyos számmal egyenlő. Ez a sík párhuzamos a koordinátasíkkal. Például egy sík párhuzamos egy síkkal és áthalad egy ponton.

Hasonlóképpen:
- a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete;
- a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete.

Tagok hozzáadása: . Az egyenlet így is átírható: , azaz "Z" bármi lehet. Mit jelent? Az "X" és az "Y" egy olyan arányban van összekötve, amely egy bizonyos egyenest húz a síkban (felismerni fogja síkban lévő egyenes egyenlete?). Mivel Z bármi lehet, ez a vonal bármilyen magasságban "replikálódik". Így az egyenlet a koordinátatengellyel párhuzamos síkot határoz meg

Hasonlóképpen:
- a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete;
- a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete.

Ha a szabad tagok nullák, akkor a síkok közvetlenül áthaladnak a megfelelő tengelyeken. Például a klasszikus "egyenes arányosság":. Rajzolj egy egyenest a síkban, és gondolatban szorozd fel és le (mivel a „z” tetszőleges). Következtetés: az egyenlet által megadott sík átmegy a koordinátatengelyen.

Befejezzük az áttekintést: a sík egyenlete áthalad az origón. Nos, itt teljesen nyilvánvaló, hogy a pont kielégíti az adott egyenletet.

És végül a rajzon látható eset: - a sík minden koordinátatengellyel barátkozik, miközben mindig „levág” egy háromszöget, amely a nyolc oktáns bármelyikében elhelyezhető.

Lineáris egyenlőtlenségek a térben

Az információ megértéséhez jól kell tanulni lineáris egyenlőtlenségek a síkban mert sok minden hasonló lesz. A bekezdés egy rövid áttekintés lesz, néhány példával, mivel az anyag a gyakorlatban meglehetősen ritka.

Ha az egyenlet síkot határoz meg, akkor az egyenlőtlenségeket
kérdez félszóközök. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú (a lista utolsó kettője), akkor az egyenlőtlenség megoldása a féltéren kívül magát a síkot is tartalmazza.

5. példa

Keresse meg a sík egységnyi normálvektorát! .

Megoldás: Az egységvektor egy olyan vektor, amelynek hossza egy. Jelöljük ezt a vektort -vel. Teljesen világos, hogy a vektorok kollineárisak:

Először eltávolítjuk a normálvektort a sík egyenletéből: .

Hogyan találjuk meg az egységvektort? Az egységvektor megtalálásához szüksége van minden vektor koordináta osztva a vektor hosszával.

Írjuk át a normálvektort a formába, és keressük meg a hosszát:

A fentiek szerint:

Válasz:

Ellenőrzés: , amely ellenőrzéséhez szükséges volt.

Azok az olvasók, akik figyelmesen tanulmányozták a lecke utolsó bekezdését, valószínűleg észrevették ezt az egységvektor koordinátái pontosan a vektor iránykoszinuszai:

Térjünk ki a szétszedett problémától: amikor önkényes nem nulla vektor , és a feltétel alapján meg kell találni az iránykoszinuszait (lásd a lecke utolsó feladatait Vektorok pontszorzata), akkor valójában az adotthoz képest kollineáris egységvektort is talál. Valójában két feladat egy üvegben.

A matematikai elemzés egyes problémáinál felmerül az egységnyi normálvektor megtalálásának szükségessége.

Kitaláltuk a normál vektor halászatát, most az ellenkező kérdésre válaszolunk:

Hogyan írjunk fel egyenletet egy síkra egy pont és egy normálvektor segítségével?

A normálvektornak és egy pontnak ezt a merev konstrukcióját jól ismeri a darts célpontja. Kérjük, nyújtsa előre a kezét, és válasszon ki egy tetszőleges pontot a térben, például egy kis macskát a kredencben. Nyilvánvaló, hogy ezen a ponton keresztül egyetlen, a kezére merőleges síkot rajzolhat.

A vektorra merőleges ponton átmenő sík egyenletét a következő képlet fejezi ki:

Ez a cikk ötletet ad arról, hogyan írható fel egy sík egyenlete, amely egy adott ponton halad át egy adott egyenesre merőleges háromdimenziós térben. Elemezzük a fenti algoritmust a tipikus problémák megoldásának példáján.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Adott egyenesre merőleges térbeli ponton áthaladó sík egyenletének megtalálása

Legyen benne adott egy háromdimenziós tér és egy O x y z derékszögű koordináta-rendszer. Adott még az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont, az a egyenes és az M 1 ponton átmenő α sík az a egyenesre merőlegesen. Fel kell írni az α sík egyenletét.

Mielőtt nekilátnánk ennek a feladatnak a megoldásában, idézzük fel a geometria tételt a 10-11. osztályos programból, amely így szól:

1. definíció

Egy sík halad át a háromdimenziós tér adott pontján, és merőleges egy adott egyenesre.

Most nézzük meg, hogyan találjuk meg ennek az egyetlen síknak az egyenletét, amely átmegy a kezdőponton és merőleges az adott egyenesre.

Egy sík általános egyenletét akkor lehet felírni, ha ismerjük egy ehhez a síkhoz tartozó pont koordinátáit, valamint a sík normálvektorának koordinátáit.

A feladat feltételével megadjuk annak az M 1 pontnak az x 1, y 1, z 1 koordinátáit, amelyen az α sík áthalad. Ha meghatározzuk az α sík normálvektorának koordinátáit, akkor fel tudjuk írni a kívánt egyenletet.

Az α sík normálvektora, mivel nem nulla, és az a egyenesen fekszik, merőleges az α síkra, az a egyenes bármely irányító vektora lesz. Tehát az α sík normálvektorának koordinátáinak megtalálásának problémája átalakul az a egyenes irányítóvektorának koordinátái meghatározásának feladatává.

Az a egyenes irányítóvektorának koordinátáinak meghatározása elvégezhető különböző módszerek: az a egyenes megadásának lehetőségétől függ a kezdeti feltételekben. Például, ha a feladat feltételében lévő a egyenest a forma kanonikus egyenletei adják meg

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

vagy a következő alakú paraméteres egyenletek:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

akkor az egyenes irányítóvektorának a x, a y és a z koordinátája lesz. Abban az esetben, ha az a egyenest két M 2 (x 2, y 2, z 2) és M 3 (x 3, y 3, z 3) pont képviseli, akkor az irányvektor koordinátáit a következőképpen határozzuk meg: (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

2. definíció

Algoritmus egy adott egyenesre merőleges ponton átmenő sík egyenletének megtalálására:

Határozzuk meg az a egyenes irányítóvektorának koordinátáit: a → = (a x, a y, a z) ;

Az α sík normálvektorának koordinátáit az a egyenes irányítóvektorának koordinátáiként definiáljuk:

n → = (A , B , C) , ahol A = a x, B = a y, C = a z;

Felírjuk az M 1 (x 1, y 1, z 1) ponton áthaladó, normálvektorral rendelkező sík egyenletét n→=(A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 formában. Ez lesz a szükséges egyenlete annak a síknak, amely áthalad egy adott térbeli ponton, és merőleges egy adott egyenesre.

A kapott sík általános egyenlete: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 lehetővé teszi a sík egyenletének szegmensekben vagy a sík normálegyenletének meghatározását.

Oldjunk meg néhány példát a fent kapott algoritmus segítségével.

1. példa

Adott egy M 1 (3, - 4, 5) pont, amelyen a sík áthalad, és ez a sík merőleges az O z koordinátaegyenesre.

Megoldás

az O z koordinátaegyenes irányvektora a k ⇀ = (0 , 0 , 1) koordinátavektor lesz. Ezért a sík normálvektorának koordinátái (0 , 0 , 1) vannak. Írjuk fel egy adott M 1 (3, - 4, 5) ponton átmenő sík egyenletét, amelynek normálvektorának koordinátái (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - ( - 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Válasz: z-5 = 0.

Fontolja meg a probléma másik megoldásának módját:

2. példa

Az O z egyenesre merőleges síkot a sík С z + D = 0, C ≠ 0 alakú, hiányos általános egyenlete adja meg. Határozzuk meg C és D értékét: azokat, amelyeknél a sík átmegy egy adott ponton. Helyettesítsük be ennek a pontnak a koordinátáit a C z + D = 0 egyenletben, így kapjuk: C · 5 + D = 0 . Azok. számok, C és D kapcsolatban - D C = 5 . Ha C \u003d 1-et veszünk, D \u003d - 5-öt kapunk.

Helyettesítsük be ezeket az értékeket a C z + D = 0 egyenletbe, és kapjuk meg a szükséges egyenletet az O z egyenesre merőleges és az M 1 (3, - 4, 5) ponton átmenő síkra.

Így fog kinézni: z - 5 = 0.

Válasz: z-5 = 0.

3. példa

Írjon fel egyenletet az origón átmenő síkra, amely merőleges az x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 egyenesre

Megoldás

A feladat feltételei alapján állítható, hogy egy adott egyenes vezetővektora felvehető egy adott sík n → normálvektorának. Így: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Írjuk fel az O (0, 0, 0) ponton áthaladó, n → \u003d (- 3, - 7, 2) normálvektorral rendelkező sík egyenletét:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Megkaptuk a szükséges egyenletet az adott egyenesre merőleges origón átmenő síkra.

Válasz:- 3x - 7y + 2z = 0

4. példa

Adott egy O x y z derékszögű koordinátarendszer háromdimenziós térben, két A (2 , - 1 , - 2) és B (3 , - 2 , 4) pontot tartalmaz. Az α sík az AB egyenesre merőlegesen halad át az A ponton.. Az α sík egyenletét szakaszokban kell összeállítani.

Megoldás

Az α sík merőleges az A B egyenesre, ekkor az A B → vektor lesz az α sík normálvektora. Ennek a vektornak a koordinátáit a B (3, - 2, 4) és A (2, - 1, - 2) pontok megfelelő koordinátái közötti különbségként határozzuk meg:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

A sík általános egyenlete a következő formában lesz felírva:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Most összeállítjuk a sík kívánt egyenletét a szegmensekben:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Válasz:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Azt is meg kell jegyezni, hogy vannak olyan problémák, amelyeknek az a követelménye, hogy egy egyenletet írjunk egy adott ponton átmenő és két adott síkra merőleges síkra. Általában a probléma megoldása az, hogy egy egyenletet írunk egy adott ponton átmenő síkra merőlegesen egy adott egyenesre, mivel két egymást metsző sík egy egyenest határoz meg.

5. példa

Adott egy O x y z derékszögű koordináta-rendszer, benne egy M 1 (2, 0, - 5) pont. Két 3 x + 2 y + 1 = 0 és x + 2 z - 1 = 0 sík egyenlete is adott, amelyek az a egyenes mentén metszik egymást. Egyenletet kell alkotni az a egyenesre merőleges M 1 ponton átmenő síkra.

Megoldás

Határozzuk meg az a egyenes irányítóvektorának koordinátáit. Ez merőleges mind az n → (1,0,2) sík n 1 → (3, 2, 0) normálvektorára, mind az x + 2 z sík 3 x + 2 y + 1 = 0 normálvektorára. - 1 = 0.

Ekkor az α → egyenes a irányító vektort vesszük az n 1 → és n 2 → vektorok vektorszorzatát:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, -6, -2)

Így az n → = (4, - 6, - 2) vektor lesz az a egyenesre merőleges sík normálvektora. Felírjuk a sík kívánt egyenletét:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Válasz: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Meg kell találni egy olyan sík egyenletét, amely három olyan ponton megy át, amelyek nem egy egyenesen esnek. A sugárvektorukat -val, az aktuális sugárvektort pedig -vel jelölve könnyen megkaphatjuk a kívánt egyenletet vektor formában. Valójában a , vektoroknak egysíkúaknak kell lenniük (mind a kívánt síkban vannak). Ezért ezeknek a vektoroknak a vektor-skaláris szorzatának nullának kell lennie:

Ez egy három adott ponton átmenő sík egyenlete vektoros formában.

A koordinátákra térve megkapjuk az egyenletet koordinátákban:

Ha a három adott pont ugyanazon az egyenesen fekszik, akkor a vektorok kollineárisak lennének. Ezért a (18) egyenletben a determináns utolsó két sorának megfelelő elemei arányosak lennének, és a determináns azonosan egyenlő nullával. Ezért a (18) egyenlet azonossággá válna x, y és z bármely értékére. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a tér minden pontján áthalad egy sík, amelyben három adott pont is található.

Megjegyzés 1. Ugyanez a probléma vektorok használata nélkül is megoldható.

A három adott pont koordinátáit rendre jelölve felírjuk az első ponton áthaladó bármely sík egyenletét:

A kívánt sík egyenletének megszerzéséhez meg kell követelni, hogy a (17) egyenlet teljesüljön a másik két pont koordinátáival:

A (19) egyenletekből meg kell határozni két együttható arányát a harmadikhoz, és a talált értékeket be kell írni a (17) egyenletbe.

Példa 1. Írjon fel egyenletet egy pontokon átmenő síkra!

Az első ponton áthaladó sík egyenlete a következő lesz:

A (17) sík két másik ponton és az első ponton való áthaladásának feltételei a következők:

Ha a második egyenletet hozzáadjuk az elsőhöz, a következőt kapjuk:

A második egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

A (17) egyenletbe behelyettesítve A, B, C helyett 1, 5, -4 (ezekkel arányos számokat) kapjuk:

2. példa Írjon fel egyenletet a (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) pontokon átmenő síkra!

A (0, 0, 0) ponton áthaladó bármely sík egyenlete a következő lesz]

A sík (1, 1, 1) és (2, 2, 2) pontokon való áthaladásának feltételei a következők:

A második egyenletet 2-vel redukálva azt látjuk, hogy a két ismeretlen meghatározásához az összefüggésnek egy egyenlete van

Innentől kapunk. Ha most behelyettesítjük a síkegyenletbe az értéke helyett, azt kapjuk, hogy:

Ez a szükséges sík egyenlete; tetszőlegesen múlik

B, C mennyiségek (azaz az arányból, azaz végtelen sok sík megy át három adott ponton (három adott pont egy egyenesen fekszik).

Megjegyzés 2. Az a probléma, hogy három adott ponton keresztül rajzoljunk síkot, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el, könnyen megoldható Általános nézet ha determinánsokat használ. Valójában, mivel a (17) és (19) egyenletekben az A, B, C együtthatók egyidejűleg nem lehetnek egyenlőek nullával, ezért ezeket az egyenleteket homogén rendszernek tekintve három ismeretlennel A, B, C felírunk egy szükséges és elégséges. feltétele ennek a rendszernek a nullától eltérő megoldásának létezésének (1. rész, VI. fejezet, 6. §):

Ezt a determinánst kibővítve az első sor elemeivel, az aktuális koordinátákhoz képest egy elsőfokú egyenletet kapunk, amely különösen a három adott pont koordinátáival teljesül.

Ez utóbbi közvetlenül is ellenőrizhető, ha a determináns segítségével felírt egyenlet helyett bármelyik pont koordinátáit helyettesítjük be. A bal oldalon egy determinánst kapunk, amelyben vagy az első sor elemei nullák, vagy két egyforma sor van. Így a megfogalmazott egyenlet három adott ponton átmenő síkot reprezentál.

13. Síkok közötti szög, távolság egy ponttól a síkhoz.

Az α és β síkok metszék egymást a c egyenes mentén.
A síkok közötti szög az ezekre a síkokra húzott metszésvonaluk merőlegeseinek szöge.

Más szóval, az α síkban húzunk egy egyenest, amely merőleges a c-re. A β - b síkban, szintén merőleges c-re. Az α és β síkok közötti szög egyenlő az a és b egyenesek közötti szöggel.

Vegye figyelembe, hogy amikor két sík metszi egymást, akkor négy sarok alakul ki. Látod őket a képen? A síkok közötti szöget vesszük fűszeres injekció.

Ha a síkok közötti szög 90 fok, akkor a síkok merőleges,

Ez a síkok merőlegességének definíciója. A sztereometriai feladatok megoldásánál is alkalmazzuk síkok merőlegességének jele:

Ha az α sík átmegy a β síkra merőlegesen, akkor az α és β síkok merőlegesek.

pont-sík távolság

Tekintsünk egy T pontot a koordinátáival:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Vegye figyelembe az α síkot is, egyenlettel adott:

Ax + By + Cz + D = 0

Ekkor a T pont és az α sík közötti L távolság kiszámítható a következő képlettel:

Más szóval, behelyettesítjük a pont koordinátáit a sík egyenletébe, majd ezt az egyenletet elosztjuk a sík n normálvektorának hosszával:

A kapott szám a távolság. Nézzük meg, hogyan működik ez a tétel a gyakorlatban.

Egy síkban lévő egyenes paraméteres egyenleteit már levezettük, kapjuk meg egy egyenes paraméteres egyenleteit, amely háromdimenziós térben téglalap alakú koordinátarendszerben adott.

Legyen egy téglalap alakú koordináta-rendszer rögzítve a háromdimenziós térben Oxyz. Határozzuk meg az egyenest a(lásd az egyenes térbeli meghatározásáról szóló részt) az egyenes irányítóvektorának megadásával és az egyenes valamely pontjának koordinátái . Ezekből az adatokból indulunk ki, amikor egy térbeli egyenes paraméteres egyenleteit állítjuk össze.

Legyen tetszőleges pont a háromdimenziós térben. Ha a pont koordinátáiból kivonjuk M megfelelő pont koordinátáit M 1, akkor megkapjuk a vektor koordinátáit (lásd a vektor koordinátáit a vége és a kezdete pontjainak koordinátái alapján találó cikket), azaz .

Nyilvánvaló, hogy a pontok halmaza egy egyenest határoz meg de akkor és csak akkor, ha a és vektorok kollineárisak.

Írjuk fel a szükséges és elégséges feltételt, hogy a vektorok kollineárisak legyenek és : , hol van néhány valós szám. A kapott egyenletet ún egy egyenes vektor-paraméteres egyenlete derékszögű koordinátarendszerben Oxyz háromdimenziós térben. A koordináta alakú egyenes vektor-paraméteres egyenlete alakja és képviseli az egyenes paraméteres egyenletei a. A "parametrikus" elnevezés nem véletlen, mivel az egyenes minden pontjának koordinátája a paraméterrel van megadva.

Adjunk példát egy téglalap alakú koordinátarendszerben lévő egyenes paraméteres egyenleteire Oxyzűrben: . Itt

15. Szög egyenes és sík között. Egy egyenes és egy sík metszéspontja.

Bármely elsőfokú egyenlet a koordinátákhoz képest x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3,1)

síkot határoz meg, és fordítva: bármely síkot ábrázolhatjuk a (3.1) egyenlettel, amely ún. sík egyenlet.

Vektor n(A, B, C) a síkra merőleges ún normál vektor repülőgépek. A (3.1) egyenletben az A, B, C együtthatók egyszerre nem egyenlők 0-val.

A (3.1) egyenlet speciális esetei:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - a sík átmegy az origón.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - a sík párhuzamos az Oz tengellyel.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - a sík átmegy az Oz tengelyen.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - a sík párhuzamos az Oyz-síkkal.

Koordinátasík egyenletek: x = 0, y = 0, z = 0.

Adható egy egyenes a térben:

1) két sík metszésvonalaként, azaz. egyenletrendszer:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) két M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) pontját, majd a rajtuk áthaladó egyenest az egyenletek adják meg:

3) a hozzá tartozó M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pontot és a vektort a(m, n, p), s kollineáris. Ekkor az egyenest a következő egyenletek határozzák meg:

. (3.4)

A (3.4) egyenleteket nevezzük az egyenes kanonikus egyenletei.

Vektor a hívott útmutató vektor egyenes.

Az egyenes paraméteres egyenleteit úgy kapjuk meg, hogy a (3.4) összefüggések mindegyikét a t paraméterrel egyenlővé tesszük:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Megoldórendszer (3.2) mint rendszer lineáris egyenletek viszonylag ismeretlen xés y, elérkezünk az egyenes egyenleteihez előrejelzések vagy ahhoz redukált egyenes egyenletek:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

A (3.6) egyenletekből át lehet térni a kanonikus egyenletekre, megállapításra z az egyes egyenletekből és a kapott értékeket egyenlővé téve:

.

A (3.2) általános egyenletekből más módon is át lehet térni a kanonikus egyenletekre, ha megtaláljuk ennek az egyenesnek bármelyik pontját és irányvektorát. n= [n 1 , n 2], hol n 1 (A1, B1, C1) és n 2 (A 2, B 2, C 2) - az adott síkok normálvektorai. Ha az egyik nevező m,n vagy R a (3.4) egyenletekben az lesz nulla, akkor a megfelelő tört számlálóját nullára kell állítani, azaz. rendszer

rendszerrel egyenlő ; egy ilyen egyenes merőleges az x tengelyre.

Rendszer ekvivalens az x = x 1, y = y 1 rendszerrel; az egyenes párhuzamos az Óz tengellyel.

1.15. példa. Írja fel a sík egyenletét, tudva, hogy az A (1, -1,3) pont szolgál az origóból erre a síkra húzott merőleges alapjául.

Döntés. A probléma feltétele szerint a vektor OA(1,-1,3) a sík normálvektora, akkor az egyenlete így írható fel
x-y+3z+D=0. A síkhoz tartozó A(1,-1,3) pont koordinátáit behelyettesítve D-t találjuk: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Tehát x-y+3z-11=0.

1.16. példa. Írjon fel egyenletet az Óz tengelyen átmenő és a 2x+y-z-7=0 síkkal 60 fokos szöget bezáró síkra!

Döntés. Az Óz tengelyen átmenő síkot az Ax+By=0 egyenlet adja meg, ahol A és B nem tűnnek el egyszerre. Hagyja, hogy B ne
értéke 0, A/Bx+y=0. Két sík közötti szög koszinuszának képlete szerint

.

Döntés másodfokú egyenlet 3m 2 + 8m - 3 = 0, keresse meg a gyökereit
m 1 = 1/3, m 2 = -3, amiből két 1/3x+y = 0 és -3x+y = 0 síkot kapunk.

1.17. példa.Írja fel az egyenes kanonikus egyenleteit:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Döntés. Az egyenes kanonikus egyenletei a következő alakúak:

ahol m, n, p- az egyenes irányítóvektorának koordinátái, x1, y1, z1- az egyeneshez tartozó bármely pont koordinátái. Az egyenes két sík metszésvonalaként definiálható. Egy egyeneshez tartozó pont megtalálásához az egyik koordinátát rögzítjük (a legegyszerűbb, ha például x=0-t teszünk), és a kapott rendszert két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszerként oldjuk meg. Tehát legyen x=0, akkor y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, innen y=-1, z=1. Megtaláltuk az ehhez az egyeneshez tartozó M (x 1, y 1, z 1) pont koordinátáit: M (0,-1,1). Az egyenes irányítóvektorát az eredeti síkok normálvektorainak ismeretében könnyű megtalálni n 1 (5,1,1) és n 2(2,3,-2). Azután

Az egyenes kanonikus egyenletei: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z-1)/13.

1.18. példa. A 2x-y+5z-3=0 és x+y+2z+1=0 síkok által meghatározott nyalábban keressünk két merőleges síkot, amelyek közül az egyik átmegy az M(1,0,1) ponton.

Döntés. Az e síkok által definiált nyaláb egyenlete u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, ahol u és v nem tűnnek el egyszerre. A nyalábegyenletet a következőképpen írjuk át:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Ahhoz, hogy a nyalábból az M ponton átmenő síkot kiválasszuk, az M pont koordinátáit behelyettesítjük a nyalábegyenletbe. Kapunk:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, vagy v = -u.

Ezután megtaláljuk az M-et tartalmazó sík egyenletét úgy, hogy v = - u behelyettesítjük a nyalábegyenletbe:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Mert u¹0 (egyébként v=0, és ez ellentmond a nyaláb definíciójának), akkor megkapjuk az x-2y+3z-4=0 sík egyenletét. A gerendához tartozó második síknak merőlegesnek kell lennie rá. Felírjuk a síkok ortogonalitásának feltételét:

(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u + 2v) × 3 = 0, vagy v = -19/5u.

Ezért a második sík egyenlete a következőképpen alakul:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 vagy 9x +24y + 13z + 34 = 0

Ebben a leckében megvizsgáljuk, hogyan használhatjuk a determinánst az alkotáshoz sík egyenlet. Ha nem tudja, mi az a determináns, menjen a lecke első részéhez - " Mátrixok és determinánsok». Ellenkező esetben azt kockáztatja, hogy semmit sem fog megérteni a mai anyagból.

Egy sík egyenlete három ponttal

Miért van egyáltalán szükségünk a sík egyenletére? Egyszerű: ennek ismeretében könnyen kiszámolhatunk szögeket, távolságokat és egyéb baromságokat a C2 feladatban. Általában véve ez az egyenlet nélkülözhetetlen. Ezért megfogalmazzuk a problémát:

Egy feladat. Három olyan pont van a térben, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. A koordinátáik:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Fel kell írni az ezen a három ponton áthaladó sík egyenletét. És az egyenletnek így kell kinéznie:

Ax + By + Cz + D = 0

ahol az A , B , C és D számok azok az együtthatók, amelyeket valójában meg akar találni.

Nos, hogyan kapjuk meg a sík egyenletét, ha csak a pontok koordinátáit ismerjük? A legegyszerűbb, ha a koordinátákat behelyettesítjük az Ax + By + Cz + D = 0 egyenletbe. Egy három egyenletrendszert kapunk, amely könnyen megoldható.

Sok diák rendkívül fárasztónak és megbízhatatlannak tartja ezt a megoldást. A tavalyi matematika vizsga azt mutatta, hogy valóban nagy a valószínűsége a számítási hiba elkövetésének.

Ezért a legfejlettebb tanárok elkezdték keresni az egyszerűbb és elegáns megoldások. És megtalálták! Igaz, a kapott fogadtatás valószínűbb felsőbb matematika. Személy szerint át kellett turkálnom a szövetségi tankönyvek teljes listáját, hogy megbizonyosodjunk arról, jogunk van-e ezt a technikát minden indoklás és bizonyíték nélkül használni.

A determinánson átmenő sík egyenlete

Elég a csacsogásból, kezdjük az üzlettel. Kezdésként egy tétel arról, hogy a mátrixdetermináns és a sík egyenlete hogyan függ össze.

Tétel. Adjuk meg három pont koordinátáit, amelyeken keresztül a síkot meg kell rajzolni: M = (x 1, y 1, z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Ekkor ennek a síknak az egyenlete felírható a determinánssal:

Például próbáljunk meg találni egy síkpárt, amely valóban előfordul a C2 problémákban. Nézze meg, milyen gyorsan számít minden:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Összeállítjuk a determinánst és egyenlővé tesszük nullával:

A determináns megnyitása:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Amint látható, a d szám kiszámításakor egy kicsit "ecseteltem" az egyenletet, így az x , y és z változók bekerültek helyes sorrend. Ez minden! A sík egyenlete készen áll!

Egy feladat. Írj egyenletet a pontokon átmenő síkra:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Azonnal cserélje ki a determináns pontjainak koordinátáit:

Ismét kibővítve a determinánst:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Tehát ismét megkapjuk a síkegyenletet! Az utolsó lépésnél ismét meg kellett változtatnom benne a jeleket, hogy „szebb” formulát kapjak. Ebben a megoldásban ezt nem szükséges megtenni, de mégis ajánlott - a probléma további megoldásának egyszerűsítése érdekében.

Amint látja, ma már sokkal egyszerűbb felírni a sík egyenletét. Behelyettesítjük a pontokat a mátrixba, kiszámoljuk a determinánst - és kész az egyenlet.

Ez lehet a lecke vége. Sok diák azonban folyamatosan elfelejti, hogy mi van a determinánsban. Például melyik sorban van x 2 vagy x 3 , és melyik sorban csak x . Hogy végre foglalkozzunk ezzel, nézzük meg, honnan származnak az egyes számok.

Honnan származik a determinánst tartalmazó képlet?

Tehát nézzük meg, honnan származik egy ilyen kemény egyenlet egy determinánssal. Ez segít emlékezni rá és sikeresen alkalmazni.

A C2 feladatban előforduló összes síkot három pont határozza meg. Ezeket a pontokat mindig jelöljük a rajzon, vagy akár közvetlenül a feladatszövegben is jelezzük. Mindenesetre az egyenlet összeállításához ki kell írnunk a koordinátáikat:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Tekintsünk még egy pontot a síkon tetszőleges koordinátákkal:

T = (x, y, z)

Vegyünk bármelyik pontot az első háromból (például az M pontot), és abból vektorokat rajzolunk a fennmaradó három pont mindegyikébe. Három vektort kapunk:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Most készítsünk négyzetmátrixot ezekből a vektorokból, és egyenlősítsük a determinánsát nullával. A vektorok koordinátái a mátrix soraivá válnak - és ugyanazt a determinánst kapjuk, mint a tételben:

Ez a képlet azt jelenti, hogy az MN , MK és MT vektorokra épített doboz térfogata nullával egyenlő. Ezért mindhárom vektor ugyanabban a síkban van. Konkrétan egy tetszőleges T = (x, y, z) pont az, amit kerestünk.

A determináns pontjainak és sorainak cseréje

A meghatározók néhány csodálatos tulajdonsággal rendelkeznek, amelyek még könnyebbé teszik a C2 feladat megoldása. Például nem mindegy számunkra, hogy melyik pontból rajzoljunk vektorokat. Ezért a következő determinánsok ugyanazt a síkegyenletet adják, mint a fenti:

A determináns sorait is felcserélheti. Az egyenlet változatlan marad. Például sokan szeretnek olyan vonalat írni, amelynek legfelül a T = (x; y; z) pont koordinátái. Kérem, ha Önnek kényelmes:

Egyeseket zavar, hogy az egyik sor x , y és z változókat tartalmaz, amelyek nem tűnnek el a pontok helyettesítésekor. De nem szabad eltűnniük! A számokat a determinánsba behelyettesítve a következő konstrukciót kell kapnia:

Ezután a determinánst kibővítjük a lecke elején megadott séma szerint, és megkapjuk a sík standard egyenletét:

Ax + By + Cz + D = 0

Vessen egy pillantást egy példára. Ő az utolsó a mai órán. Szándékosan felcserélem a sorokat, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a válasz ugyanaz lesz, mint a sík egyenlete.

Egy feladat. Írj egyenletet a pontokon átmenő síkra:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Tehát 4 pontot veszünk figyelembe:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Először hozzunk létre egy standard determinánst, és egyenlővé tegyük nullával:

A determináns megnyitása:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ennyi, megkaptuk a választ: x + y + z − 2 = 0 .

Most rendezzünk át néhány sort a determinánsban, és nézzük meg, mi történik. Például írjunk egy sort az x, y, z változókkal ne alulra, hanem felülre:

Bővítsük ki ismét a kapott determinánst:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Pontosan ugyanazt a síkegyenletet kaptuk: x + y + z − 2 = 0. Tehát ez tényleg nem függ a sorok sorrendjétől. Már csak a választ le kell írni.

Tehát láttuk, hogy a sík egyenlete nem függ a vonalak sorrendjétől. Hasonló számításokat végezhetünk, és bebizonyíthatjuk, hogy a sík egyenlete nem függ attól a ponttól, amelynek koordinátáit kivonjuk a többi pontból.

A fenti feladatban a B 1 = (1, 0, 1) pontot használtuk, de teljesen felvehető volt a C = (1, 1, 0) vagy D 1 = (0, 1, 1) pont. Általában bármely ismert koordinátájú pont a kívánt síkon fekszik.