A legegyszerűbb geometriai formák: pont, egyenes, szakasz, sugár, szaggatott vonal. "Közvetlen" lecke

1/3. oldal

§egy. tesztkérdések
Kérdés 1. Mondjon példákat geometriai alakzatokra!
Válasz. Példák geometriai alakzatokra: háromszög, négyzet, kör.

2. kérdés. Mik a főbbek geometriai alakzatok a felszínen.
Válasz. A síkon a fő geometriai alakzatok a pont és a vonal.

3. kérdés Hogyan határozzák meg a pontokat és az egyeneseket?
Válasz. A pontokat nagybetűvel jelöljük. latin betűkkel: A, B, C, D, … . Az egyenes vonalakat kisbetűs latin betűk jelölik: a, b, c, d, ....
Egy egyenest két, rajta fekvő ponttal jelölhetünk. Például a 4. ábra a sora AC jelöléssel, a b sor pedig BC jelöléssel szerepelhet.

4. kérdés. Fogalmazza meg a pontok és egyenesek tagságának alapvető tulajdonságait!
Válasz. Bármi legyen is a vonal, vannak pontok, amelyek ehhez az egyeneshez tartoznak, és olyan pontok, amelyek nem tartoznak hozzá.
Bármely két ponton keresztül húzhat egy vonalat, és csak egyet.
5. kérdés. Magyarázza el, mi az a szakasz, amelynek végei adott pontokban vannak!
Válasz. A szakasz egy egyenes része, amely ennek az egyenesnek az összes olyan pontjából áll, amelyek az egyenes két adott pontja között helyezkednek el. Ezeket a pontokat a szakasz végeinek nevezzük. Egy szakaszt a végei jelzik. Amikor azt mondják vagy írják: "AB szegmens", akkor olyan szakaszt jelentenek, amelynek végei az A és B pontban vannak.

6. kérdés. Fogalmazza meg az egyenes pontok elhelyezkedésének fő tulajdonságát!
Válasz. Az egyenes három pontja közül csak egy van a másik kettő között.
7. kérdés. Fogalmazza meg a mérőszakaszok főbb tulajdonságait!
Válasz. Minden szegmensnek egy bizonyos hossza nagyobb, mint nulla. Egy szakasz hossza megegyezik azon részek hosszának összegével, amelyekre bármely pontjával fel van osztva.
8. kérdés. Mekkora a távolság két megadott pont között?
Válasz. Az AB szakasz hosszát az A és B pontok közötti távolságnak nevezzük.
9. kérdés. Milyen tulajdonságai vannak annak, ha egy síkot két félsíkra osztunk?
Válasz. Egy sík két félsíkra való felosztása a következő tulajdonsággal rendelkezik. Ha bármely szakasz végei ugyanahhoz a félsíkhoz tartoznak, akkor a szakasz nem metszi az egyenest. Ha egy szakasz végpontjai különböző félsíkhoz tartoznak, akkor a szakasz metszi az egyenest.

Annak ellenére, hogy a geometria az egzakt tudományok közé tartozik, a tudósok nem tudják egyértelműen meghatározni az "egyenes" kifejezést. A nagyon Általános nézet adható ez a meghatározás: "Egy egyenes olyan egyenes, amelyen az út egyenlő két pont távolságával."

Mit jelent az egyenes a matematikában? Az egyenes definíciója a matematikában: az egyenesnek nincsenek végei, és mindkét irányban a végtelenségig folytatódhat.

A geometria alapfogalmai közé tartozik a pont, az egyenes és a sík, ezeket definíció nélkül adjuk meg, de más geometriai alakzatok definícióit ezeken a fogalmakon keresztül adjuk meg. A sík, akárcsak az egyenes, elsődleges fogalom, amelynek nincs definíciója. Ezt az állítást a következő axióma támasztja alá: ha egy egyenes két pontja egy bizonyos síkban van, akkor ennek az egyenesnek minden pontja ebben a síkban van. Magát a bizonyított állítást pedig tételnek nevezzük. A tétel kijelentése általában két részből áll.

Feladat: hol van az egyenes, sugár, szakasz, görbe? A vonallánc csúcsai (hasonlóan a hegyek csúcsaihoz) azok a pontok, ahonnan a vonallánc kezdődik, azok a pontok, ahol a vonalláncot alkotó szakaszok kapcsolódnak, és az a pont, ahol a vonallánc véget ér. Feladat: melyik vonallánc hosszabb és melyiknek több csúcsa? A sokszög szomszédos oldalai egy szaggatott vonal szomszédos linkjei. A sokszög csúcsai a vonallánc csúcsai. A szomszédos csúcsok a sokszög egyik oldalának végpontjai.

A matematika órákon a következő magyarázatot hallhatja: a matematikai szakasznak van hossza és vége. A szegmens a matematikában az összes olyan pont halmaza, amely egy szakasz végei között egy egyenesen fekszik.

A következőkben a következő definíciók lesznek különböző figurák kivéve kettőt – egy pontot és egy vonalat. Így néha kijelölhetünk egy egyenest két nagy latin betűvel, például egy egyenest\(AB\), mivel ezen a két ponton nem lehet más egyenest húzni. Szimbolikusan felírjuk az \(AB\) szakaszt.

Mi a lényeg a matematikában?

Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos az egyik oldalával, és egyenlő az oldal felével. C. Egy csúcsból húzott derékszögű háromszög magassága derékszög, a háromszöget két hasonló részre osztja derékszögű háromszög, amelyek mindegyike hasonló egy adott háromszöghöz. C. A félkörre alapozott beírt szög derékszög. Itt vannak összegyűjtve a főbb definíciók, tételek, a síkon lévő ábrák tulajdonságai.

A pont koordinátáival rendelkező vektort normálvektornak nevezzük, merőleges az egyenesre.

A geometria szisztematikus bemutatásánál általában az egyenest veszik az egyik kezdeti fogalomnak, amit csak közvetve határoznak meg a geometria axiómái.

4. Egy síkban két nem egybeeső egyenes vagy egyetlen pontban metszi egymást, vagy párhuzamosak. A sugár az egyik oldalon határolt egyenes része. Egy szakaszt, akárcsak egy egyenest, egy vagy két betű jelöl. Ez utóbbi esetben ezek a betűk a szegmens végeit jelzik.

A pont egy absztrakt objektum, amelynek nincsenek mérési jellemzői: nincs magassága, nincs hossza, nincs sugara. A feladat keretein belül csak az elhelyezkedése a fontos

A pontot szám vagy nagy (nagy) latin betű jelzi. Több pont - különböző számok ill különböző betűk hogy meg lehessen különböztetni őket

A pont, B pont, C pont

A B C

1. pont, 2. pont, 3. pont

1 2 3

Rajzolhat három "A" pontot egy papírra, és megkérheti a gyermeket, hogy húzzon egy vonalat a két "A" ponton keresztül. De hogyan lehet megérteni melyiken keresztül? A A A

A vonal pontok halmaza. Csak a hosszt méri. Nincs se szélessége, se vastagsága.

Kisbetűs (kis) latin betűkkel jelölve

sor a, b sor, c sor

a b c

A vonal lehet

1. zárt, ha a kezdete és a vége ugyanabban a pontban van,
2. megnyílik, ha eleje és vége nincs összekötve

zárt sorok

nyitott sorok

Kimentél a lakásból, vettél kenyeret a boltban, és visszatértél a lakásba. Milyen sort kaptál? Így van, zárva. Visszatért a kiindulóponthoz. Kimentél a lakásból, vettél kenyeret a boltban, bementél a bejáraton és beszéltél a szomszéddal. Milyen sort kaptál? Nyisd ki. Nem tértél vissza a kiindulóponthoz. Kimentél a lakásból, kenyeret vettél a boltban. Milyen sort kaptál? Nyisd ki. Nem tértél vissza a kiindulóponthoz.

1. önmagát metsző
2. önmetszéspontok nélkül

önmetsző vonalak

vonalak önmetszéspontok nélkül

1. egyenes
2. szaggatott vonal
3. görbe

egyenes vonalak

szaggatott vonalak

ívelt vonalak

Az egyenes az a vonal, amely nem görbül, nincs se eleje, se vége, mindkét irányba korlátlanul meghosszabbítható.

Még ha látják is kis telek egyenes, feltételezzük, hogy mindkét irányban végtelenül folytatódik

Kisbetűs (kis) latin betűvel jelöljük. Vagy két nagy (nagy) latin betű – egyenes vonalon fekvő pontok

egyenes vonal a

a

egyenes AB

B A

egyenes vonalak lehetnek

1. keresztezik egymást, ha van közös pontjuk. Két egyenes csak egy pontban metszi egymást.
   • merőlegesek, ha derékszögben (90°) metszik egymást.
2. párhuzamos, ha nem metszik egymást, nincs közös pontjuk.

párhuzamos vonalak

metsző vonalak

merőleges vonalak

A sugár egy egyenes része, amelynek van eleje, de vége nincs, korlátlanul kiterjeszthető csak egy irányba

A képen látható fénysugár kiindulópontja a nap.

Nap

A pont két részre osztja az egyenest - két A A sugárra

A gerendát kisbetűs (kis) latin betű jelzi. Vagy két nagy (nagy) latin betű, ahol az első az a pont, ahonnan a sugár kezdődik, a második pedig a sugáron fekvő pont

gerenda a

a

gerenda AB

B A

A gerendák egyeznek, ha

1. ugyanazon az egyenesen található
2. kezdje el egy ponton
3. az egyik oldalra irányítva

Az AB és AC sugarak egybeesnek

A CB és CA sugarak egybeesnek

C B A

A szakasz egy egyenes azon része, amelyet két pont határol, azaz van eleje és vége is, vagyis a hossza mérhető. Egy szakasz hossza a kezdő- és végpontja közötti távolság.

Egy ponton tetszőleges számú vonal húzható, beleértve az egyeneseket is.

Két ponton keresztül - korlátlan számú görbe, de csak egy egyenes

két ponton átmenő görbe vonalak

B A

egyenes AB

B A

Egy darabot „levágtak” az egyenesből, és egy szegmens maradt. A fenti példából láthatja, hogy hossza a két pont közötti legrövidebb távolság. ✂ B A ✂

A szakaszt két nagy (nagy) latin betűvel jelöljük, ahol az első az a pont, ahonnan a szakasz kezdődik, a második pedig az a pont, ahonnan a szakasz véget ér.

AB szegmens

B A

Feladat: hol van az egyenes, sugár, szakasz, görbe?

A szaggatott vonal egymást követő, nem 180°-os szöget bezáró szakaszokból álló vonal

Egy hosszú szakaszt több rövidre „bontottak”.

A vonallánc láncszemei ​​(hasonlóan a láncszemekhez) a vonalláncot alkotó szakaszok. A szomszédos hivatkozások olyan hivatkozások, amelyekben az egyik hivatkozás vége egy másik hivatkozás eleje. A szomszédos linkek nem lehetnek ugyanazon az egyenes vonalon.

A vonallánc csúcsai (hasonlóan a hegyek csúcsaihoz) azok a pontok, ahonnan a vonallánc kezdődik, azok a pontok, ahol a vonalláncot alkotó szakaszok kapcsolódnak, és a vonalvég végpontja.

A vonalláncot az összes csúcsának felsorolásával jelöljük.

szaggatott vonal ABCDE

az A vonallánc csúcsa, a B vonallánc csúcsa, a C vonallánc csúcsa, a D vonallánc csúcsa, az E vonallánc csúcsa

AB szaggatott vonal linkje, BC szaggatott vonal linkje, CD szaggatott vonal hivatkozása, DE szaggatott vonal hivatkozása

Az AB és a BC kapcsolat szomszédos

link BC és link CD szomszédos

A link CD és a DE hivatkozás szomszédos

A B C D E 64 62 127 52

Egy vonallánc hossza a linkjei hosszának összege: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Egy feladat: melyik szaggatott vonal hosszabb, de melyiknek van több csúcsa? Az első sorban az összes link azonos hosszúságú, mégpedig 13 cm. A második sorban az összes link azonos hosszúságú, nevezetesen 49 cm. A harmadik sorban az összes link azonos hosszúságú, mégpedig 41 cm.

A sokszög egy zárt vonallánc

A sokszög oldalai (ezek segítenek emlékezni a kifejezésekre: "menj mind a négy oldalra", "fuss a ház felé", "az asztal melyik oldalán ülsz?") a szaggatott vonal hivatkozásai. A sokszög szomszédos oldalai egy szaggatott vonal szomszédos linkjei.

A sokszög csúcsai a vonallánc csúcsai. A szomszédos csúcsok a sokszög egyik oldalának végpontjai.

A sokszöget az összes csúcsának felsorolásával jelöljük.

zárt vonallánc önmetszés nélkül, ABCDEF

ABCDEF sokszög

sokszög csúcs A, sokszög B csúcs, C sokszög csúcs, D sokszög csúcs, E sokszög csúcs, F sokszög csúcs

A csúcs és a B csúcs szomszédos

B csúcs és C csúcs szomszédos

a C és a D csúcs szomszédos

D csúcs és E csúcs szomszédos

az E csúcs és az F csúcs szomszédos

F csúcs és A csúcs szomszédos

sokszög oldal AB, sokszög oldal BC, sokszög oldal CD, sokszög oldal DE, sokszög oldal EF

Az AB oldal és a BC oldal szomszédos

oldal BC és oldal CD szomszédos

oldalsó CD és oldal DE szomszédos

DE oldal és EF oldal szomszédos

oldal EF és oldal FA szomszédos

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

A sokszög kerülete a vonallánc hossza: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

A három csúcsú sokszöget háromszögnek, négyből négyszögnek, öttel ötszögnek és így tovább.

A geometriában a fő geometriai alakzatok a pont és a vonal. A pontok kijelölésére nagybetűket szokás használni: A, B, C, D, E, F .... Az egyenes vonalak jelölésére kisbetűs latin betűket használnak: a, b, c, d, e, f .... Az alábbi ábra egy a egyenest és több A, B, C, D pontot mutat.

Az ábrán egy egyenes ábrázolásához vonalzót használunk, de nem a teljes vonalat ábrázoljuk, hanem csak egy darabját. Mivel nézetünk szerint a vonal mindkét irányban a végtelenig terjed, a vonal végtelen.

A fenti ábrán azt látjuk, hogy az A és C pontok egy egyenesen helyezkednek el. de. Ilyen esetekben azt mondjuk, hogy az A és C pont az a egyeneshez tartozik. Vagy azt mondják, hogy a vonal áthalad az A és C pontokon. Íráskor egy pont vonalhoz tartozását egy speciális ikon jelzi. Az pedig, hogy a pont nem tartozik a vonalhoz, ugyanazzal az ikonnal van jelölve, csak áthúzva.

Esetünkben a B és D pont nem tartozik az a egyeneshez.

Ahogy fentebb megjegyeztük, az ábrán az A és C pont az a egyeneshez tartozik. Az egyenesnek azt a részét, amely azon az egyenesen lévő összes olyan pontból áll, amely két adott pont között van, nevezzük szegmens. Más szóval a szakasz egy két pont által határolt egyenes része.

A mi esetünkben van egy szegmens AB. Az A és B pontokat a szakasz végeinek nevezzük. Egy szakasz kijelöléséhez annak végeit, esetünkben AB-t jelöljük. A pontok és vonalak tagságának egyik fő tulajdonsága a következő ingatlan: bármely két ponton keresztül húzhat egy vonalat, ráadásul csak egyet.

Ha két egyenesnek van közös pontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes metszi egymást. Az ábrán az a és b egyenesek az A pontban metszik egymást. Az a és c egyenesek nem metszik egymást.

Bármely két egyenesnek csak egy közös pontja van, vagy nincs közös pontja. Ha ennek ellenkezőjét feltételezzük, hogy két egyenesnek van két közös pontja, akkor két egyenes menne át rajtuk. De ez lehetetlen, mivel két ponton keresztül csak egy vonal húzható.