Amit törtnek neveznek. Közönséges törtek
A tört számlálója és nevezője. A törtek fajtái. Folytassuk a törtekkel. Először is egy kis figyelmeztetés - mi, figyelembe véve a törteket és a hozzájuk tartozó példákat, egyelőre csak a numerikus ábrázolásával fogunk dolgozni. Vannak töredékesek is szó szerinti kifejezések(számokkal és anélkül).Az összes "elv" és szabály azonban rájuk is vonatkozik, de az ilyen kifejezésekről a jövőben külön lesz szó. Javaslom a törtek témakör felkeresését és tanulmányozását (emlékezését) lépésről lépésre.
A legfontosabb dolog megérteni, emlékezni és felismerni, hogy a TÖRT az egy SZÁM!!!
Közönséges tört a következő alak száma:
A felül található számot (ebben az esetben m) számlálónak, az alatta lévő számot (n szám) nevezőnek nevezzük. Aki most érintett a témában, gyakran összezavarodik – mi a neve.
Íme egy trükk az Ön számára, hogyan emlékezzen örökre – hol a számláló, hol a nevező. Ez a technika verbális-figuratív asszociációhoz kapcsolódik. Képzelj el egy üveg zavaros vizet. Ismeretes, hogy amikor a víz leülepedik, tiszta víz marad a tetején, és a zavarosság (szennyeződés) leüleped, ne feledje:
CHISSS olvadékvíz FELÜL (CHISSS kiöntő a tetején)
sár ZZZNNN th water BOTTOM (ZZZNN Amenator lent)
Tehát amint szükségessé válik emlékezni, hol van a számláló és hol a nevező, azonnal vizuálisan bemutattak egy tégely leülepedett vizet, amelyben Tiszta víz, és alatta koszos víz. Vannak más trükkök is, amelyeket érdemes megjegyezni, ha ezek segítenek, akkor jó.
Példák közönséges törtekre:
Mit jelent a számok közötti vízszintes vonal? Ez nem más, mint egy megosztottság jele. Kiderül, hogy egy tört példaként értelmezhető az osztás műveletével. Ez a művelet egyszerűen rögzítve van ebben a formában. Vagyis a felső számot (számlálót) elosztjuk az alsó számmal (nevezővel):
Ezenkívül van egy másik rögzítési forma is - a tört így írható (perjelen keresztül):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 és így tovább...
A fenti törteket a következőképpen írhatjuk fel:
Az osztás eredménye, mint tudod, a szám.
Tisztázva - TÖRTÉKEZZE EZT A SZÁMOT !!!
Amint azt már észrevette, egy közönséges törtben a számláló lehet kisebb, mint a nevező, nagyobb lehet, mint a nevező, és egyenlő is lehet vele. Itt sok van fontos pontokat, amelyek intuitív módon, minden elméleti sallang nélkül érthetők. Például:
1. Az 1. és 3. tört 0,5 és 0,01 értékként írható fel. Fussunk egy kicsit előre – ezek tizedes törtek, kicsit lejjebb beszélünk róluk.
2. A 4. és 6. tört egész számot ad 45:9=5, 11:1 = 11.
3. Az 5. tört eredményeként 155:155 = 1 egységet ad.
Milyen következtetések merülnek fel? A következő:
1. A számláló, ha elosztjuk a nevezővel, véges számot adhat. Lehet, hogy nem működik, ossza el a 7-es oszlopot 13-mal vagy a 17-et 11-gyel – dehogy! A végtelenségig lehet osztani, de erről egy kicsit lejjebb is beszélünk.
2. Egy tört egész számot eredményezhet. Ezért bármilyen egész számot ábrázolhatunk törtként, vagy inkább törtek végtelen sorozataként, nézd, ezek a törtek mindegyike egyenlő 2-vel:
Még! Bármilyen egész számot mindig felírhatunk törtként - ez a szám maga a számlálóban, egy a nevezőben van:
3. Egy egységet mindig ábrázolhatunk törtként bármilyen nevezővel:
*A feltüntetett pontok rendkívül fontosak a törtekkel végzett számítások és átalakítások során.
A törtek fajtái.
És most a közönséges törtek elméleti felosztásáról. Osztva vannak jó és rossz.
Azt a törtet, amelynek a számlálója kisebb, mint a nevező, megfelelő törtnek nevezzük. Példák:
Azt a törtet, amelynek a számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező, helytelen törtnek nevezzük. Példák:
vegyes frakció(vegyes szám).
A vegyes tört egy egész számként és megfelelő törtként felírt tört, és ennek a számnak és tört részének összegeként értendő. Példák:
A vegyes tört mindig ábrázolható nem megfelelő törtként és fordítva. Menjünk tovább!
Tizedesjegyek.
Fentebb már érintettük őket, ezek az (1) és (3) példák, most részletesebben. Példák a tizedesjegyekre: 0,3 0,89 0,001 5,345.
Azt a törtet, amelynek nevezője 10 hatványa, például 10, 100, 1000 és így tovább, tizedes törtnek nevezzük. Nem nehéz az első három jelzett törtet közönséges törtként írni:
A negyedik egy vegyes tört (vegyes szám):
A tizedes törtnek a következő jelölése van - -valkezdődik az egész rész, ekkor az egész és a tört részek elválasztója pont vagy vessző, majd a tört rész, a tört rész számjegyeinek számát szigorúan a tört rész mérete határozza meg: ha ezek tizedek, a a tört részt egy számjegyként írjuk fel; ha ezredrész - három; tízezrelék - négy stb.
Ezek a törtek végesek és végtelenek.
Befejező decimális példák: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.
A példák végtelenek. Például a Pi szám egy végtelen tizedes tört, mégis - 0,333333333333…... 0,16666666666…. és mások. Szintén a gyökér kinyerésének eredménye a 3, 5, 7 stb. számokból. végtelen töredéke lesz.
A tört rész lehet ciklikus (ciklus van benne), a fenti két példa teljesen megegyezik, több példa:
0,123123123123…. ciklus 123
0,781781781718…. ciklus 781
0,0250102501… ciklus 02501
0, (123) 0, (781) 0, (02501) alakban írhatók fel.
A Pi szám nem ciklikus tört, mint például a három gyöke.
Az alábbiakban a példákban olyan szavak hangzanak el, mint a tört „fordítása” – ez azt jelenti, hogy a számláló és a nevező felcserélődik. Valójában egy ilyen törtnek van neve - a reciprok tört. Példák reciprok törtekre:
Kis összefoglaló! A törtek a következők:
Közönséges (helyes és helytelen).
Tizedesjegyek (véges és végtelen).
Vegyes (vegyes számok).
Ez minden!
Üdvözlettel, Alexander.
A számláló, és az, amivel osztja, a nevező.
Tört írásához először írja be a számlálóját, majd húzzon vízszintes vonalat a szám alá, és írja be a nevezőt a sor alá. A számlálót és a nevezőt elválasztó vízszintes vonalat törtvonalnak nevezzük. Néha ferde „/” vagy „∕”-ként ábrázolják. Ebben az esetben a számlálót a sor bal oldalára, a nevezőt a jobbra írjuk. Így például a „kétharmad” tört 2/3-ként lesz írva. Az érthetőség kedvéért a számlálót általában a sor tetejére írjuk, a nevezőt pedig az aljára, vagyis a 2/3 helyett a következőt találjuk: ⅔.
A törtek szorzatának kiszámításához először meg kell szorozni az egyes számlálóját törtek egy másik számlálóhoz. Írja az eredményt az új számlálójába törtek. Ezután szorozd meg a nevezőket is. Adja meg a végső értéket az újban törtek. Például 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Egy tört egy másikkal való osztásához először szorozza meg az első számlálóját a második nevezőjével. Tegye ugyanezt a második törttel (osztóval). Vagy az összes lépés végrehajtása előtt először „fordítsa meg” az osztót, ha ez kényelmesebb az Ön számára: a nevezőnek a számláló helyén kell lennie. Ezután szorozza meg az osztalék nevezőjét az osztó új nevezőjével, és szorozza meg a számlálókat. Például 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Források:
- Alapfeladatok törtekhez
A törtszámok lehetővé teszik a kifejezést eltérő formában pontos érték mennyiségeket. Ugyanezt megteheti a törtekkel is. matematikai műveletek, mint az egész számoknál: kivonás, összeadás, szorzás és osztás. Hogy megtanuljak dönteni törtek, meg kell emlékezni néhány jellemzőjükről. A típustól függenek törtek, egy egész rész jelenléte, egy közös nevező. Néhány aritmetikai műveletek végrehajtás után az eredmény töredékének csökkentését igénylik.
Szükséged lesz
- - számológép
Utasítás
Figyelmesen nézze meg a számokat. Ha a törtek között vannak tizedesek és szabálytalanok, néha kényelmesebb először tizedesjegyekkel végrehajtani a műveleteket, majd rossz alakra konvertálni. Le tudod fordítani törtek ebben a formában kezdetben a tizedesvessző utáni értéket írva a számlálóba, és 10-et a nevezőbe. Ha szükséges, csökkentse a törtet úgy, hogy a fenti és alatti számokat elosztja egy osztóval. Azok a törtek, amelyekben a teljes rész kiemelkedik, rossz formához vezet, ha megszorozza a nevezővel, és hozzáadja a számlálót az eredményhez. Adott értékek lesz az új számláló törtek. Az egész részt kivonni az eredetileg helytelenből törtek, oszd el a számlálót a nevezővel. Írd le a teljes eredményt innen törtek. És az osztás maradéka lesz az új számláló, nevező törtek miközben nem változik. Az egész résszel rendelkező törteknél lehetőség van külön-külön is végrehajtani a műveleteket, először az egész számra, majd a tört részekre. Például 1 2/3 és 2 ¾ összege kiszámítható:
- Törtek átalakítása rossz formára:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- A tagok egész és tört részeinek összegzése külön:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Mert törtekkel. Tegye ugyanezt a nevezők esetében is. Amikor felosztunk egyet törtekírjon egy törtet a másikra, majd szorozza meg a számlálóját a második nevezőjével. Ugyanakkor az első nevezője törtek ennek megfelelően megszorozva a második számlálójával. Ugyanakkor egyfajta megfordítása a másodiknak törtek(osztó). A végső tört mindkét tört számlálóinak és nevezőinek szorzatából származik. Könnyű megtanulni törtek, "négyemeletes" formában írva törtek. Ha elválaszt kettőt törtek, írja át őket egy ":" határolóval, és folytassa a normál felosztással.
A végeredmény megszerzéséhez csökkentse a kapott törtet úgy, hogy a számlálót és a nevezőt elosztja egy egész számmal, amely ebben az esetben a lehető legnagyobb. Ebben az esetben a vonal felett és alatt egész számoknak kell lenniük.
jegyzet
Ne számoljon olyan törtekkel, amelyeknek különböző nevezője van. Válasszunk olyan számot, hogy ha minden tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vele, akkor mindkét tört nevezője egyenlő legyen.
Törtszámok írásakor az osztalékot a sor fölé írjuk. Ezt a mennyiséget a tört számlálójának nevezik. A sor alá írjuk a tört osztóját vagy nevezőjét. Például másfél kilogramm rizs töredék formájában a következőképpen lesz írva: 1 ½ kg rizs. Ha egy tört nevezője 10, akkor tizedes törtnek nevezzük. Ebben az esetben a számlálót (osztalék) a vesszővel elválasztott teljes rész jobb oldalára írjuk: 1,5 kg rizs. A számítások kényelme érdekében egy ilyen tört mindig rossz formában írható: 1 2/10 kg burgonya. Az egyszerűsítés kedvéért csökkentheti a számláló és a nevező értékeit egyetlen egész számmal osztva. BAN BEN ezt a példát 2-vel osztva 1 1/5 kg burgonya lesz az eredmény. Győződjön meg arról, hogy a számok, amelyekkel számolni fog, azonos formában vannak.
Egy egység részvényei, és mint \frac(a)(b).
Törtszámláló (a)- a tört sora feletti szám, amely a részvények számát mutatja, amelyekre az egységet felosztották.
Tört nevező (b)- a tört sora alatti szám, amely azt mutatja, hogy hány részre osztották az egységet.
Megjelenítés elrejtése
A tört alaptulajdonsága
Ha ad=bc , akkor két tört \frac(a)(b)És \frac(c)(d) egyenlőnek számítanak. Például a törtek egyenlőek lesznek \frac35És \frac(9)(15), mivel 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)És \frac(24)(14), mivel 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
A törtek egyenlőségének definíciójából az következik, hogy a törtek egyenlőek lesznek \frac(a)(b)És \frac(am)(bm), mivel a(bm)=b(am) egyértelmű példa a szorzás asszociatív és kommutatív tulajdonságainak használatára természetes számok Akcióban.
Eszközök \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- így néz ki tört alaptulajdonsága.
Más szóval, az eredeti tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a természetes számmal megszorozva vagy osztva az adott törtet kapjuk.
Frakciócsökkentés egy tört cseréjének folyamata, amelyben az új tört megegyezik az eredetivel, de kisebb számlálóval és nevezővel.
A törteket a tört fő tulajdonsága alapján szokás redukálni.
Például, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(a számláló és a nevező osztható 3-mal); a kapott tört ismét csökkenthető 5-tel osztva, azaz. \frac(15)(20)=\frac 34.
redukálhatatlan tört a forma töredéke \frac 34, ahol a számláló és a nevező viszonylag prímszámok. A frakcióredukció fő célja a tört redukálhatatlanná tétele.
Törtek közös nevezőre hozása
Vegyünk példának két törtet: \frac(2)(3)És \frac(5)(8) különböző nevezőkkel 3 és 8 . Annak érdekében, hogy ezeket a törteket közös nevezőre hozzuk, és először megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét \frac(2)(3) 8-ig. A következő eredményt kapjuk: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Ezután szorozza meg a tört számlálóját és nevezőjét \frac(5)(8)által 3 . Ennek eredményeként a következőket kapjuk: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Tehát az eredeti törtek 24 közös nevezőre redukálódnak.
Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel
Közönséges frakciók hozzáadása
a) Mikor ugyanazok a nevezők Az első tört számlálója hozzáadódik a második tört számlálójához, így a nevező változatlan marad. Ahogy a példában is látható:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) Mikor különböző nevezők a törteket először közös nevezőre redukáljuk, majd a számlálókat összeadjuk az a) szabály szerint:
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Közönséges törtek kivonása
a) Ugyanazokkal a nevezőkkel vonja ki a második tört számlálóját az első tört számlálójából úgy, hogy a nevező változatlan marad:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Ha a törtek nevezői eltérőek, akkor először a törteket redukáljuk közös nevezőre, majd ismételjük meg az a) bekezdésben leírt lépéseket.
Közönséges törtek szorzása
A törtek szorzása betartja a következő szabályt:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
vagyis a számlálókat és a nevezőket külön szorozzuk meg.
Például:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Közönséges törtek felosztása
A törteket a következőképpen osztjuk fel:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
ez egy töredék \frac(a)(b) törttel szorozva \frac(d)(c).
Példa: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Reciprok számok
Ha ab=1 , akkor a b szám az fordított szám az a számhoz.
Példa: a 9-es szám esetében fordítva \frac(1)(9), mivel 9 \cdot \frac(1)(9)=1, az 5-ös számhoz - \frac(1)(5), mivel 5 \cdot \frac(1)(5)=1.
Tizedesjegyek
Decimális egy megfelelő tört, amelynek nevezője 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .
Például: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.
Ugyanígy a 10 ^ n nevezővel hibás számokat vagy vegyes számokat írunk.
Például: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.
Tizedes tört formájában minden olyan közönséges tört szerepel, amelynek nevezője a 10-es szám bizonyos hatványának osztója.
Példa: 5 osztója 100-nak, tehát a tört \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.
Aritmetikai műveletek tizedes törtekkel
Tizedesjegyek hozzáadása
Két tizedes tört hozzáadásához úgy kell elrendeznie őket, hogy ugyanazok a számjegyek és a vessző alatti vessző jelenjenek meg egymás alatt, majd a törteket közönséges számként kell hozzáadni.
Tizedesjegyek kivonása
Ugyanúgy működik, mint az összeadás.
Tizedes szorzás
Szorzáskor decimális számok csak szaporodj adott számokat, nem figyelve a vesszőkre (mint természetes számokra), és a kapott válaszban a jobb oldali vessző annyi számjegyet választ el, ahány számjegy van a vessző után összesen mindkét tényezőben.
Szorozzuk meg 2,7-et 1,3-mal. Van 27 \cdot 13=351 . Jobbról két számjegyet vesszővel választunk el (az első és a második számban a tizedesvessző után egy számjegy áll; 1+1=2). Ennek eredményeként a következőt kapjuk: 2,7 \cdot 1,3=3,51 .
Ha az eredmény kevesebb számjegy, mint amennyi vesszővel elválasztandó, akkor a hiányzó nullákat írjuk elé, pl.
A 10, 100, 1000-zel való szorzáshoz a tizedesvesszőt 1, 2, 3 számjeggyel jobbra kell mozgatni tizedes törtben (ha szükséges, bizonyos szám nullák).
Például: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .
Tizedes osztás
A tizedes tört természetes számmal való osztása ugyanúgy történik, mint a természetes szám természetes számmal való osztása. Az egész rész felosztása után vessző kerül a privát mezőbe.
Ha az osztalék egész része kisebb, mint az osztó, akkor a válasz nulla egész szám, például:
.png)
Fontolja meg a tizedesjegy elosztását egy tizedessel. Tegyük fel, hogy 2,576-ot el kell osztanunk 1,12-vel. Először is megszorozzuk a tört osztóját és osztóját 100-zal, azaz a vesszőt jobbra mozgatjuk az osztóban és osztjuk annyi karakterrel, amennyi a tizedesvessző utáni osztóban van (ebben a példában , két). Ezután el kell osztania a 257,6 törtet a 112-es természetes számmal, vagyis a probléma a már megvizsgált esetre redukálódik:
.png)
Előfordul, hogy a végső tizedes törtet nem mindig kapjuk meg, ha egy számot osztunk egy másikkal. Az eredmény egy végtelen tizedes. Ilyen esetekben lépjen a közönséges törtekre.
2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1) (9).
Ez a cikk arról szól közönséges törtek. Itt megismerkedünk az egész töredékének fogalmával, ami elvezet bennünket a közönséges tört definíciójához. Ezután a közönséges törtek elfogadott jelölésén fogunk elidőzni, és példákat adunk a törtekre, mondjuk a tört számlálójáról és nevezőjéről. Ezt követően megadjuk a helyes és helytelen, pozitív és negatív törtek definícióit, valamint figyelembe vesszük a törtszámok helyzetét a koordinátasugáron. Végezetül felsoroljuk a fő műveleteket törtekkel.
Oldalnavigáció.
Az egész részvényei
Először bemutatjuk részesedés fogalma.
Tegyük fel, hogy van egy objektumunk, amely több abszolút azonos (vagyis egyenlő) részből áll. Az áttekinthetőség kedvéért elképzelhetünk például egy almát több részre vágva egyenlő részek, vagy egy narancs, amely több egyforma szeletből áll. A teljes objektumot alkotó egyenlő részek mindegyikét ún részesedése az egészből vagy egyszerűen megoszt.
Vegye figyelembe, hogy a részvények eltérőek. Magyarázzuk el ezt. Tegyük fel, hogy van két almánk. Vágjuk az első almát két egyenlő részre, a másodikat pedig 6 egyenlő részre. Nyilvánvaló, hogy az első alma részesedése eltér a második alma részesedésétől.
A teljes objektumot alkotó megosztások számától függően ezeknek a megosztásoknak saját nevük van. Elemezzük megosztani a neveket. Ha az objektum két részből áll, bármelyiket az egész objektum második részének nevezzük; ha az objektum három részből áll, akkor bármelyiket harmadik résznek nevezzük, és így tovább.
Egy másodperces ütemnek különleges neve van - fél. Egyharmadát hívják harmadik, és egy négyes - negyed.
A rövidség kedvéért a következőket részvény megjelöléseket. Egy második részvény vagy 1/2, egyharmad részvény - mint vagy 1/3; egynegyed rész - like vagy 1/4, és így tovább. Vegye figyelembe, hogy a vízszintes sávval ellátott jelölést gyakrabban használják. Az anyag egységesítése végett mondjunk még egy példát: a szócikk az egész százhatvanhetedét jelöli.
A részesedés fogalma természetesen a tárgyaktól a nagyságrendig terjed. Például a hosszúság egyik mértéke a méter. Egy méternél kisebb hosszúságok méréséhez a méter törtrészei használhatók. Így használhatsz például fél métert vagy tized vagy ezred métert. Az egyéb mennyiségek részesedését hasonlóan alkalmazzák.
Közönséges törtek, definíciók és példák a törtekre
A részvények számának leírására használják közönséges törtek. Adjunk egy példát, amely lehetővé teszi, hogy megközelítsük a közönséges törtek definícióját.
A narancs 12 részből álljon. Minden részvény ebben az esetben egy egész narancs tizenketted részét jelenti, azaz. Jelöljünk két ütemet -ként, három ütemet -ként, és így tovább, 12 ütemet -ként. Ezen bejegyzések mindegyikét közönséges törtnek nevezzük.
Most adjunk egy általánost közönséges törtek meghatározása.
A közönséges törtek hangos meghatározása lehetővé teszi számunkra, hogy hozzuk példák a közönséges törtekre: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . És itt vannak a rekordok 
nem illeszkednek a közönséges törtek hangos definíciójához, vagyis nem közönséges törtek.
Számláló és nevező
A kényelem kedvéért megkülönböztetjük a közönséges törteket számláló és nevező.
Meghatározás.
Számláló közönséges tört (m / n) egy természetes szám m.
Meghatározás.
Névadó a közönséges tört (m / n) egy n természetes szám.
Tehát a számláló a törtsáv felett található (a perjeltől balra), a nevező pedig a törtsáv alatt (a perjeltől jobbra). Például vegyünk egy 17/29-es közönséges törtet, ennek a törtnek a számlálója a 17, a nevezője pedig a 29.
Továbbra is meg kell beszélni a közönséges tört számlálójában és nevezőjében található jelentést. A tört nevezője azt mutatja, hogy egy tétel hány részvényből áll, a számláló pedig az ilyen részvények számát. Például a 12/5 tört 5 nevezője azt jelenti, hogy egy tétel öt részből áll, a 12 számláló pedig azt, hogy 12 ilyen részt veszünk.
A természetes szám törtként 1-es nevezővel
Közös tört nevezője lehet egyenlő eggyel. Ebben az esetben feltételezhetjük, hogy a tárgy oszthatatlan, vagyis valami egész. Az ilyen tört számlálója azt jelzi, hogy hány egész elemet vettünk. Így az m/1 alak közönséges történek m természetes szám jelentése van. Így igazoltuk az m/1=m egyenlőséget.
Írjuk át az utolsó egyenlőséget így: m=m/1 . Ez az egyenlőség lehetővé teszi, hogy bármely m természetes számot közönséges törtként ábrázoljunk. Például a 4-es szám a 4/1-es tört, az 103498-as pedig az 103498/1-es tört.
Így, bármely m természetes szám 1-es nevezőjű közönséges törtként ábrázolható m/1-ként, és az m/1 alakú bármely közönséges törtje helyettesíthető m természetes számmal.
Törtsáv osztásjelként
Az eredeti objektum ábrázolása n rész formájában nem más, mint n egyenlő részre való felosztás. Miután a tételt n részre osztották, egyenlő arányban oszthatjuk fel n ember között - mindegyik kap egy részvényt.
Ha kezdetben m azonos objektumunk van, amelyek mindegyike n részre van felosztva, akkor ezt az m tárgyat egyenlően feloszthatjuk n ember között, így minden személynek jut egy-egy rész az m objektum mindegyikéből. Ebben az esetben minden személynek m részesedése lesz 1/n, és m részesedése 1/n ad egy m/n közönséges törtet. Így az m/n közönséges tört felhasználható m elem n ember közötti megoszlásának ábrázolására.
Tehát egyértelmű kapcsolatot kaptunk a közönséges törtek és az osztás között (lásd a természetes számok osztásának általános elképzelését). Ez a kapcsolat a következőképpen fejeződik ki: A tört rúdja osztásjelként fogható fel, azaz m/n=m:n.
Egy közönséges tört segítségével felírhatja két olyan természetes szám osztásának eredményét, amelyeknél nem egész számmal történik az osztás. Például, ha 5 almát 8 személlyel osztunk fel, akkor 5/8-ként írható fel, azaz mindegyik kap egy alma öt nyolcad részét: 5:8=5/8.
Egyenlő és egyenlőtlen közönséges törtek, törtek összehasonlítása
Meglehetősen természetes cselekvés közönséges törtek összehasonlítása, mert jól látható, hogy a narancs 1/12-e különbözik 5/12-től, és az alma 1/6-a ennek az almának a másik 1/6-a.
Két közönséges tört összehasonlítása eredményeként az egyik eredményt kapjuk: a törtek vagy egyenlőek vagy nem egyenlőek. Az első esetben mi egyenlő köztört, és a másodikban egyenlőtlen közös törtek. Adjuk meg az egyenlő és egyenlőtlen közönséges törtek definícióját.
Meghatározás.
egyenlő, ha az a d=b c egyenlőség igaz.
Meghatározás.
Két közönséges tört a/b és c/d nem egyenlő, ha az a d=b c egyenlőség nem teljesül.
Íme néhány példa az egyenlő törtekre. Például az 1/2 közönséges tört egyenlő a 2/4 törttel, mivel 1 4=2 2 (ha szükséges, lásd a természetes számok szorzásának szabályait és példáit). Az egyértelműség kedvéért elképzelhet két egyforma almát, az elsőt félbe kell vágni, a másodikat pedig 4 részre. Nyilvánvaló, hogy egy alma kétnegyede 1/2 részesedés. További példák az egyenlő közönséges törtekre a 4/7 és 36/63, valamint a 81/50 és 1620/1000 törtpárok.
És a 4/13 és 5/14 közönséges törtek nem egyenlőek, mivel 4 14=56 és 13 5=65, azaz 4 14≠13 5. Egy másik példa az egyenlőtlen közös törtekre a 17/7 és 6/4 törtek.
Ha két közönséges tört összehasonlításakor kiderül, hogy nem egyenlők, akkor lehet, hogy meg kell találnia, hogy ezek közül melyik közönséges tört Kevésbé másik, és melyik több. Ennek kiderítésére a közönséges törtek összehasonlításának szabályát alkalmazzuk, melynek lényege, hogy az összehasonlított törteket közös nevezőre hozzuk, majd a számlálókat összehasonlítjuk. A témával kapcsolatos részletes információkat a törtek összehasonlítása című cikk tartalmazza: szabályok, példák, megoldások.
Törtszámok
Minden tört rekord törtszám. Vagyis a tört csak „héja” egy törtszámnak, annak kinézet, és a teljes szemantikai terhelést pontosan egy törtszám tartalmazza. A rövidség és az egyszerűség kedvéért azonban a tört és a törtszám fogalmát kombináljuk, és egyszerűen törtnek nevezzük. Itt illik átfogalmazni az ismert mondást: törtet mondunk - értjük törtszám, törtszámot mondunk - törtszámot értünk.
Törtek a koordináta-nyalábon
Minden, a közönséges törtnek megfelelő törtszámnak megvan a sajátja egyedülálló hely-on, azaz a koordináta-sugár töredékei és pontjai között egy az egyhez egyezés van.
Ahhoz, hogy a koordinátasugáron az m / n törtnek megfelelő ponthoz jussunk, m szegmenst kell elhalasztani az origóból pozitív irányban, amelyek hossza az egységszegmens 1 / n-e. Ilyen szegmenseket úgy kaphatunk, hogy egyetlen szegmenst n egyenlő részre osztunk, ami mindig megtehető iránytű és vonalzó segítségével.
Például mutassuk meg a koordinátasugáron az M pontot, amely a 14/10 törtnek felel meg. Az O pontban végződő szakasz és a hozzá legközelebb eső, kis kötőjellel jelölt szakasz hossza az egységszakasz 1/10-e. A 14/10 koordinátájú pontot 14 ilyen szakasz távolítja el az origóból.
Az egyenlő törtek ugyanannak a törtszámnak felelnek meg, azaz egyenlő törtek a koordinátasugár ugyanazon pontjának koordinátái. Például egy pont megfelel a koordináta sugár 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinátáinak, mivel minden írott tört egyenlő (az egységszakasz felénél található, elhalasztva az origó pozitív irányba).
Vízszintes és jobbra irányított koordinátasugáron az a pont, amelynek koordinátája nagy tört, attól a ponttól jobbra helyezkedik el, amelynek koordinátája kisebb. Hasonlóképpen, a kisebb koordinátájú pont a nagyobb koordinátájú ponttól balra fekszik.
Helyes és helytelen törtek, definíciók, példák
A közönséges törtek között vannak helyes és helytelen törtek. Ez a felosztás alapvetően a számláló és a nevező összehasonlítását tartalmazza.
Adjuk meg a megfelelő és nem megfelelő közönséges törtek definícióját.
Meghatározás.
Megfelelő tört közönséges tört, amelynek számlálója kisebb, mint a nevező, vagyis ha m Meghatározás.
Nem megfelelő tört olyan közönséges tört, amelyben a számláló nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező, azaz ha m≥n, akkor a közönséges tört helytelen. Íme néhány példa a helyes törtekre: 1/4 , , 32 765/909 003 . Valójában minden írott közönséges törtben a számláló kisebb, mint a nevező (ha szükséges, lásd a természetes számok cikk-összehasonlítását), tehát definíció szerint helyesek. És itt vannak példák a helytelen törtekre: 9/9, 23/4,. Valójában az írott közönséges törtek közül az első számlálója egyenlő a nevezővel, a többi törtben pedig a számláló nagyobb, mint a nevező. A megfelelő és nem megfelelő törtek definíciói is léteznek, amelyek a törtek eggyel való összehasonlításán alapulnak. Meghatározás. helyes ha egynél kisebb. Meghatározás. A közönséges tört ún rossz, ha egyenlő eggyel, vagy nagyobb 1-nél. Tehát a 7/11 közönséges tört helyes, mivel 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 , és 27/27=1 . Gondoljunk bele, hogy a nevezőnél nagyobb vagy azzal egyenlő számlálóval rendelkező közönséges törtek hogyan érdemelnek ilyen nevet - "rossz". Vegyük például a 9/9 helytelen törtet. Ez a tört azt jelenti, hogy egy tárgy kilenc részét veszik, amely kilenc részből áll. Vagyis a rendelkezésre álló kilenc megosztásból egy egész témát alkothatunk. Vagyis a 9/9 nem megfelelő tört lényegében egy egész objektumot ad, vagyis 9/9=1. Általában a nevezővel megegyező számlálójú helytelen törtek egy egész objektumot jelölnek, és az ilyen tört természetes 1-gyel helyettesíthető. Most vegyük figyelembe a 7/3 és 12/4 helytelen törteket. Nyilvánvaló, hogy ebből a hét harmadból két egész objektumot készíthetünk (egy egész objektum 3 megosztás, majd két egész objektum összeállításához 3 + 3 = 6 megosztás kell) és akkor is marad egy harmadik megosztás. Azaz a 7/3 nem megfelelő tört lényegében 2 tételt, sőt egy ilyen tétel részarányának 1/3-át jelenti. Tizenkét negyedből pedig három egész tárgyat készíthetünk (három darab négy részből álló tárgyat). Vagyis a 12/4 tört lényegében 3 egész objektumot jelent. A vizsgált példákból a következő következtetésre jutunk: a helytelen törtek helyettesíthetők természetes számokkal, ha a számlálót teljes egészében elosztjuk a nevezővel (például 9/9=1 és 12/4=3), vagy természetes szám és megfelelő tört, ha a számláló nem osztható egyenletesen a nevezővel (például 7/3=2+1/3 ). Talán éppen ez az, amiért a helytelen törtek megérdemlik ezt a nevet - „rossz”. Különösen érdekes egy helytelen tört ábrázolása egy természetes szám és egy megfelelő tört összegeként (7/3=2+1/3). Ezt a folyamatot egész rész kivonásának nevezzük egy nem megfelelő törtből, és külön és alaposabb megfontolást érdemel. Azt is érdemes megjegyezni, hogy nagyon szoros kapcsolat van a helytelen törtek és a vegyes számok között. Minden közönséges tört egy pozitív törtszámnak felel meg (lásd a pozitív és negatív számok cikket). Vagyis a közönséges törtek azok pozitív törtek. Például az 1/5, 56/18, 35/144 közönséges törtek pozitív törtek. Ha egy tört pozitívságát kell hangsúlyozni, akkor egy plusz jel kerül elé, például +3/4, +72/34. Ha mínuszjelet tesz egy közönséges tört elé, akkor ez a bejegyzés negatív törtszámnak felel meg. Ebben az esetben lehet beszélni negatív törtek. Íme néhány példa a negatív törtekre: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Az m/n és -m/n pozitív és negatív törtek ellentétes számok. Például az 5/7 és -5/7 törtek ellentétes törtek. A pozitív törtek, mint általában a pozitív számok, növekedést, jövedelmet, valamilyen érték felfelé történő változását stb. A negatív törtek megfelelnek a kiadásnak, az adósságnak, bármely érték változásának a csökkenés irányában. Például a negatív tört -3/4 adósságként értelmezhető, amelynek értéke 3/4. A vízszintes és jobb irányú negatív törtek a referenciaponttól balra helyezkednek el. A koordinátaegyenes azon pontjai, amelyek koordinátái az m/n pozitív tört és a negatív −m/n tört, az origótól azonos távolságra, de az O pont ellentétes oldalán helyezkednek el. Itt érdemes megemlíteni a 0/n alak törtjeit. Ezek a törtek egyenlőek a nullával, azaz 0/n=0 . A pozitív törtek, a negatív törtek és a 0/n törtek együttesen racionális számokat alkotnak. A közönséges törtekkel végzett műveletet - a törtek összehasonlítását - fentebb már megvizsgáltuk. Még négy aritmetika van meghatározva műveletek törtekkel- törtek összeadása, kivonása, szorzása és osztása. Időzzünk mindegyiknél. A törtekkel végzett műveletek általános lényege hasonló a természetes számokkal végzett megfelelő cselekvések lényegéhez. Vonjunk egy analógiát. Törtek szorzása olyan cselekvésnek tekinthető, amelyben törtből tört található. A tisztázás kedvéért vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy van egy almunk 1/6-a, és ennek a 2/3-át kell vennünk. A szükséges rész az 1/6 és 2/3 törtek szorzatának eredménye. Két közönséges tört szorzásának eredménye egy közönséges tört (amely adott esetben egyenlő egy természetes számmal). Javasoljuk továbbá, hogy tanulmányozza a törtek szorzása cikk információit - szabályokat, példákat és megoldásokat. Bibliográfia. Az egység egy részét vagy több részét egyszerű vagy közönséges törtnek nevezzük. Az egyenlő részek számát, amelyekre az egység fel van osztva, nevezőnek, a felvett részek számát pedig számlálónak nevezzük. A tört így íródik: Ebben az esetben a a számláló, b a nevező. Ha a számláló kisebb, mint a nevező, akkor a tört kisebb, mint 1, és megfelelő törtnek nevezzük. Ha a számláló nagyobb, mint a nevező, akkor a tört nagyobb, mint 1, akkor a törtet helytelen törtnek nevezzük. Ha egy tört számlálója és nevezője egyenlő, akkor a tört egyenlő. 1. Ha a számláló osztható a nevezővel, akkor ez a tört egyenlő az osztás hányadosával: Ha az osztást maradékkal hajtjuk végre, akkor ez a nem megfelelő tört vegyes számmal ábrázolható, például: Ekkor a 9 egy nem teljes hányados (a vegyes szám egész része), Vegyes szám törtté alakításához szorozza meg a vegyes szám egész részét a nevezővel, és adja hozzá a tört rész számlálóját. A kapott eredmény egy közönséges tört számlálója lesz, és a nevező változatlan marad. Frakcióbővítés. Egy tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától eltérő számmal megszorozzuk. Frakciócsökkentés. Egy tört értéke nem változik, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától eltérő számmal osztjuk. Tört összehasonlítás. Két azonos számlálójú tört közül a nagyobbik a kisebb nevezővel rendelkező: Két azonos nevezővel rendelkező tört közül a nagyobb számlálóval rendelkező nagyobb: A különböző számlálókkal és nevezőkkel rendelkező törtek összehasonlításához ki kell bővíteni őket, azaz közös nevezőre kell hozni őket. Vegyük például a következő törteket: Törtek összeadása és kivonása. Ha a törtek nevezői megegyeznek, akkor a törtek összeadásához össze kell adni a számlálóikat, a törtek kivonásához pedig a számlálóikat. A kapott összeg vagy különbség lesz az eredmény számlálója, míg a nevező változatlan marad. Ha a törtek nevezői eltérőek, először le kell redukálni a törteket közös nevezőre. Vegyes számok összeadásakor ezek egész és tört részei külön-külön kerülnek összeadásra. A vegyes számok kivonásakor először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtek formájává, majd ki kell vonni egymásból, majd az eredményt, ha szükséges, ismét vegyes szám alakjába kell hozni. Törtek szorzása. A törtek szorzásához külön meg kell szoroznia a számlálóikat és a nevezőit, és el kell osztania az első szorzatot a másodikkal. A törtek felosztása. Ha egy számot törttel szeretne osztani, meg kell szoroznia a számot a reciprokával. Decimális egy tízzel, százzal, ezerrel stb. való elosztás eredménye. alkatrészek. Először a szám egész részét írjuk be, majd a tizedesvesszőt a jobb oldalra. A tizedesvessző utáni első számjegy a tizedek számát jelenti, a második a századok számát, a harmadik az ezredek számát stb. A tizedesvessző utáni számokat tizedesjegyeknek nevezzük. Például: Tulajdonságok: A periodikus decimális számjegyek egy végtelenül ismétlődő csoportját tartalmazza, amelyet pontnak nevezünk: 0,321321321321…=0,(321) A tizedesjegyek összeadása és kivonása ugyanúgy történik, mint az egész számok összeadása és kivonása, csak a megfelelő tizedesjegyeket kell egymás alá írni. A tizedes törtek szorzása több szakaszban történik: Például: A tényezők tizedesjegyeinek összege: 2+1=3. Most meg kell számolnia 3 számjegyet a kapott szám végétől, és tizedesvesszőt kell tennie: 0,675. Tizedesjegyek osztása. Tizedes elosztása egész számmal: ha az osztó kisebb, mint az osztó, akkor a hányados egész részébe nullát kell írni, és utána tizedesvesszőt kell tenni. Ezután az osztalék tizedespontjának figyelembe vétele nélkül adja hozzá a törtrész következő számjegyét az egész részéhez, és ismét hasonlítsa össze az osztó eredményként kapott egész részét az osztóval. Ha az új szám ismét kisebb, mint az osztó, a műveletet meg kell ismételni. Ezt a folyamatot addig ismételjük, amíg a kapott osztalék nagyobb lesz, mint az osztó. Ezt követően az osztást úgy hajtjuk végre, mint az egész számoknál. Ha az osztó nagyobb vagy egyenlő, mint az osztó, először elosztjuk annak egész részét, az osztás eredményét a hányadosba írjuk, és tegyünk egy tizedesvesszőt. Ezt követően az osztás folytatódik, mint az egész számok esetében. Egy tizedes tört felosztása egy másikra: először az osztó és osztó tizedespontjait adjuk át az osztó tizedesjegyeinek számával, vagyis az osztóból egész számot készítünk, és végrehajtjuk a fent leírt műveleteket. Egy tizedes tört közönséges törtté alakításához számlálónak a tizedesvessző utáni számot kell venni, nevezőnek pedig tíz k-edik hatványát kell venni (k a tizedesjegyek száma). A nem nulla egész szám megmarad a közönséges törtben; a nulla egész szám kimarad. Ahhoz, hogy egy közönséges tört tizedesjegyre konvertálható legyen, a számlálót el kell osztani a nevezővel az osztás szabályai szerint. A százalék az egység századrésze, például: 5% azt jelenti, hogy 0,05. Az arány az egyik szám egy másikkal való osztásának hányadosa. Az arány két arány egyenlősége. Például: Az arány fő tulajdonsága: az arány szélső tagjainak szorzata egyenlő a középső tagjainak szorzatával, azaz 5x30 = 6x25. Két, egymástól függő mennyiséget arányosnak nevezünk, ha mennyiségeik aránya változatlan marad (arányossági együttható). Így a következő aritmetikai műveletek derülnek ki. A racionális számok halmaza pozitív és negatív számokat (egész és tört) és nullát tartalmaz. A racionális számok matematikában elfogadott pontosabb meghatározása a következő: egy számot racionálisnak nevezünk, ha a következő alak közönséges irreducibilis törtrészeként ábrázolható, ahol a és b egész számok. Negatív szám esetén az abszolút érték (modulus) egy pozitív szám, amelyet úgy kapunk, hogy az előjelét „-”-ról „+”-ra változtatjuk; pozitív szám és nulla esetén maga a szám. Egy szám modulusának megjelölésére két egyenest használnak, amelyekbe ez a szám be van írva, például: |–5|=5. Legyen adott egy szám modulusa A monom két vagy több tényező szorzata, amelyek mindegyike vagy egy szám, vagy egy betű, vagy egy betű hatványa: 3 x a x b. Az együtthatót leggyakrabban csak numerikus tényezőnek nevezik. A monomiálisokat hasonlónak mondjuk, ha azonosak, vagy csak az együtthatókban különböznek. A monom foka az összes betűjének kitevőinek összege. Ha a monomok összege között vannak hasonlók, akkor az összeg egyszerűbb formára redukálható: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Ezt a műveletet hasonló kifejezések vagy zárójelek kényszerítésének nevezik. A polinom a monomok algebrai összege. Egy polinom foka az adott polinomban szereplő monomok fokszáma közül a legnagyobb. A következő képletek vannak a rövidített szorzáshoz: Faktoring módszerek: Az algebrai tört az alak kifejezése, ahol A és B lehet szám, monom, polinom. Ha két kifejezést (numerikus és alfabetikus) a "=" jel köt össze, akkor azt mondjuk, hogy egyenlőséget alkotnak. Minden valódi egyenlőséget, amely a benne szereplő betűk minden megengedett számértékére érvényes, azonosságnak nevezzük. Az egyenlet egy szó szerinti egyenlőség, amely a benne szereplő betűk bizonyos értékeire érvényes. Ezeket a betűket ismeretleneknek (változóknak) nevezzük, értékeiket, amelyeknél az adott egyenlet azonossággá válik, az egyenlet gyökének. Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét. Két vagy több egyenletet ekvivalensnek mondunk, ha azonos gyökerekkel rendelkeznek. Az algebrai egyenletek fő típusai: A lineáris egyenlet ax + b = 0: xn = a, n N egyenlet: Alapvető azonos transzformációk: egy kifejezés helyettesítése egy másikkal, azzal azonosan egyenlővel; az egyenlet elemeinek átvitele egyik oldalról a másikra ellentétes előjellel; az egyenlet mindkét részének szorzása vagy osztása ugyanazzal a kifejezéssel (számmal), amely nem nulla. A lineáris egyenlet egy ismeretlennel a következő alakú egyenlet: ax+b=0, ahol a és b ismert számok, x pedig ismeretlen érték. A két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenlet rendszerének alakja: ahol a, b, c, d, e, f adott számok; x, y ismeretlenek. Számok a, b, c, d - együtthatók ismeretlenekre; e, f - ingyenes tagok. Erre az egyenletrendszerre két fő módszerrel lehet megoldást találni: a helyettesítési módszerrel: az egyik egyenletből az egyik ismeretlent az együtthatókon keresztül, a másikat pedig az ismeretlent fejezzük ki, majd behelyettesítjük a második egyenletbe, megoldva az utolsó egyenletet. , először találunk egy ismeretlent, majd a talált értéket behelyettesítjük az első egyenletbe, és megtaláljuk a második ismeretlent; egyik egyenlet összeadásának vagy kivonásának módszere a másikból. Gyökerekkel végzett műveletek: Egy a nem negatív szám n-edik fokának számtani gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek n-edik hatványa egyenlő a-val. Egy adott szám n-edik fokának algebrai gyöke az ebből a számból származó összes gyök halmaza. Az irracionális számok a racionális számokkal ellentétben nem ábrázolhatók az m/n alak közönséges irreducibilis törtrészeként, ahol m és n egész számok. Ezek új típusú számok, amelyek tetszőleges pontossággal számíthatók, de nem helyettesíthetők racionális számokkal. Megjelenhetnek geometriai mérések eredményeként, például: egy négyzet átlójának hosszának az oldala hosszához viszonyított aránya egyenlő. A másodfokú egyenlet egy másodfokú ax2+bx+c=0 algebrai egyenlet, ahol a, b, c numerikus vagy alfabetikus együtthatók, x ismeretlen. Ha ennek az egyenletnek az összes tagját elosztjuk a-val, akkor x2+px+q=0 - a p=b/a, q=c/a redukált egyenletet kapjuk. Gyökerei a következő képlettel kereshetők: Ha b2-4ac>0, akkor két különböző gyök van, b2-4ac=0, akkor kettő egyenlő gyökér; b2-4ac Modulokat tartalmazó egyenletek A modulokat tartalmazó egyenletek fő típusai: Pozitív és negatív törtek
Műveletek törtekkel
1 - maradék (a tört rész számlálója),
5 a nevező.Műveletek törtekkel
Például:
Például: 
Tizedesjegyek tulajdonságai
Műveletek tizedesjegyekkel
Például:
Például: 
Például:
Abszolút értékű tulajdonságok
, amelyre a tulajdonságok érvényesek: 
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, ahol f(x), g(x), fk(x), gk(x) adott függvények.
Azt is ajánljuk
Kapcsolt tápegység: javítás és finomítás
A fény távirányítója
Úszásoktatás óvodás korú gyermekek számára
Megjegyzések a mesternek - otthoni háztartási riasztók
Óracsavar az Atmega8-on
Példák az eszközre és a relé alkalmazására, hogyan válasszunk és csatlakoztassunk helyesen relét Mikrokontroller és relé egyszerű kapcsolóáramkörök
Betöltés...