Határozza meg a szöget a közvetlen adott egyenletek között! Szög a vonalak között

Meghatározás. Ha két egyenest adunk y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 , akkor ezen egyenesek hegyesszöge a következőképpen lesz meghatározva

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2 . Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2 .

Tétel. Az Ax + Vy + C \u003d 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB együtthatók arányosak. Ha С 1 = λС is, akkor a vonalak egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete

Erre az egyenesre merőlegesen

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y \u003d kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság ponttól vonalig

Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Vy + C \u003d 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:

Bizonyíték. Legyen az M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból az adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

(1)

Az x 1 és y 1 koordináták az egyenletrendszer megoldásaként találhatók:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges egy adott egyenesre. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (1) egyenletbe, azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x - 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y - 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Döntés. Megtaláljuk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ezért a vonalak merőlegesek.

Példa. Az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Döntés. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ; 4 x = 6 y-6;

2x – 3 év + 3 = 0;

A kívánt magassági egyenlet: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái teljesülnek ezt az egyenletet: ahonnan b = 17. Összesen: .

Válasz: 3x + 2y - 34 = 0.

Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Szög két vonal között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet a sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2) így van leírva:

Két adott ponton áthaladó egyenes meredekségét a képlet határozza meg

3. Egyenesek közötti szög Aés B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségi egyenletekkel adunk meg

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első egyenes meredekségét kivonjuk a második egyenes meredekségéből.

Ha egy egyenes egyenleteit adjuk meg Általános nézet

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:

a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele a meredekségük egyenlősége:

k 1 = k 2 . (8)

b) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordinátákon lévő együtthatók arányosak legyenek, azaz.

5. Két egyenes merőlegességének feltételei:

a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenlet meredekséggel adja meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy lejtési tényezők reciprok nagyságrendűek és ellentétes előjelűek, azaz.

Ez a feltétel az űrlapba is beírható

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor merőlegességük feltétele (szükséges és elégséges) az egyenlőség teljesítése

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást

1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton keresztül húzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei ekvivalensek irányvektoraik párhuzamosságának és merőlegességének feltételeivel és:

Két egyenes párhuzamosak akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók arányosak, pl. l 1 párhuzamos l 2 akkor és csak akkor, ha párhuzamos .

Két egyenes merőleges akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók szorzatainak összege nulla: .

Nál nél cél vonal és sík között

Hagyja a sort d- nem merőleges a θ síkra;
d′− egy egyenes vetülete d a θ síkra;
Az egyenesek közötti szögek közül a legkisebb dés d– hívni fogjuk vonal és sík közötti szög.
Jelöljük φ=( d,θ)
Ha egy d⊥θ , akkor ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− derékszögű koordinátarendszer.
Sík egyenlet:

θ: Fejsze+Által+cz+D=0

Úgy tekintjük, hogy az egyenest egy pont és egy irányvektor adja meg: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Ezután meg kell találni a vektorok közötti szöget n→ és p→, jelölje γ=( n→,p→).

Ha a γ szög<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ha a szög γ>π/2 , akkor a szükséges szög φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Azután, vonal és sík közötti szög képlettel lehet kiszámítani:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

29. kérdés. A másodfokú forma fogalma. A másodfokú formák jel-határozottsága.

Másodfokú j (x 1, x 2, ..., x n) n valós változó x 1, x 2, ..., x n a forma összegének nevezzük
, (1)

ahol aij néhány számot együtthatónak nevezünk. Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük aij = a ji.

A másodfokú formát ún érvényes, ha aij О GR. Másodfokú mátrix együtthatóiból álló mátrixnak nevezzük. A kvadratikus forma (1) egy egyedi szimmetrikus mátrixnak felel meg
azaz A T = A. Ezért az (1) másodfokú alak j mátrix alakban írható ( x) = x T Ah, ahol x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

És fordítva, bármely szimmetrikus mátrix (2) egy egyedi másodfokú alaknak felel meg a változók jelöléséig.

A másodfokú alak rangja mátrixa rangjának nevezzük. A másodfokú formát ún nem degenerált, ha a mátrixa nem szinguláris DE. (emlékezzünk rá, hogy a mátrix DE nem degeneráltnak nevezzük, ha a determinánsa nem az nulla). Ellenkező esetben a másodfokú forma degenerált.

pozitív határozott(vagy szigorúan pozitív), ha

j ( x) > 0 , bárkinek x = (x 1 , x 2 , …, x n), kívül x = (0, 0, …, 0).

Mátrix DE pozitív határozott másodfokú j ( x) pozitív határozottnak is nevezik. Ezért egy pozitív határozott másodfokú forma egy egyedi pozitív határozott mátrixnak felel meg, és fordítva.

Az (1) másodfokú alakot ún negatív határozott(vagy szigorúan negatív), ha

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), Kívül x = (0, 0, …, 0).

A fentiekhez hasonlóan a negatív-definit másodfokú mátrixot negatív-definitnak is nevezik.

Ezért egy pozitívan (negatívan) határozott másodfokú j ( x) eléri a minimális (maximális) j ( X*) = 0 ehhez X* = (0, 0, …, 0).

Vegyük észre, hogy a kvadratikus alakok többsége nem előjel-határozott, azaz nem pozitív vagy nem negatív. Az ilyen másodfokú formák nemcsak a koordinátarendszer origójában tűnnek el, hanem más pontokon is.

Mikor n> 2, speciális kritériumok szükségesek a másodfokú alak előjel-határozottságának ellenőrzéséhez. Tekintsük őket.

Major Kiskorúak a másodfokú formákat minoroknak nevezzük:

vagyis ezek 1., 2., … rendű kiskorúak, n mátrixok DE bal oldalon található felső sarok, ezek közül az utolsó egybeesik a mátrix determinánsával DE.

A pozitív határozottság kritériuma (Sylvester kritérium)

x) = x T Ah pozitív határozott, szükséges és elégséges, hogy a mátrix összes fő minorja DE pozitívak voltak, vagyis: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. A negatív bizonyosság kritériuma Annak érdekében, hogy a j ( x) = x T Ah ha negatív határozott, akkor szükséges és elégséges, hogy páros rendű fő minorjai pozitívak, a páratlanok pedig negatívak legyenek, azaz: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket az egyenletek adnak meg:

Alatt szög két sík között fogjuk megérteni az egyiket kétszögek ezek a síkok alkotják. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a jelzett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Így . Mert és , azután

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik és párhuzamosak, és ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordinátákon az együtthatók arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, és ezért, vagy .

És így, .

Példák.

KÖZVETLENÜL A TÉRBEN.

VEKTOR EGYENLET KÖZVETLEN.

PARAMÉTERES EGYENLETEK KÖZVETLEN

Egy egyenes helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Az egyenessel párhuzamos vektort nevezzük irányító ennek az egyenesnek a vektora.

Szóval hagyd az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektorral párhuzamos egyenesen fekve.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrán látható, hogy .

A és vektorok kollineárisak, tehát van ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. A pontok sugárvektorainak jelölése M 1 és M illetőleg a és -n keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlet. Azt mutatja, hogy minden paraméter értéke t valamely pont sugárvektorának felel meg M egyenes vonalon fekve.

Ezt az egyenletet koordináta alakban írjuk fel. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletek.

A paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yés zés pont M egyenes vonalban mozog.

KANONIKUS EGYENLETEK KÖZVETLEN

Legyen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - egy egyenesen fekvő pont l, és az irányvektora. Ismét vegyünk egy tetszőleges pontot egy egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a és vektorok kollineárisak, tehát a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük

– kánoni egyenes egyenletek.

Megjegyzés 1. Vegye figyelembe, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával kaphatók meg. t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres módon.

Jelöli , ennélfogva x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. megjegyzés. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, ennélfogva, m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei alakot öltenek

A paraméter eltávolítása az egyenletekből t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan az alakba írjuk . Így ha az egyik tört nevezője nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóképpen a kanonikus egyenletek a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg Ökörés Oy vagy párhuzamos tengely Oz.

Példák.

ÁLTALÁNOS EGYENLETEK KÖZVETLEN VONAL, MINT KÉT SÍK MEGFELELŐ VONALA

A térben minden egyes egyenesen végtelen számú sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Ezért bármely két ilyen sík egyenlete együttesen ennek az egyenesnek az egyenlete.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

határozza meg a metszésvonalukat. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszünk egyenletekkel megadott egyenest!

Egy egyenes felépítéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb, ha kiválasztjuk az egyenes és a koordinátasík metszéspontjait. Például a síkkal való metszéspont xOy egy egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Ezt a rendszert megoldva megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből továbbléphetünk annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találnia egy pontot M 1 az egyenesen és az egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et kapunk ebből az egyenletrendszerből, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra és . Ezért az egyenes irányvektorához l felveheti a normálvektorok keresztszorzatát:

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressen egy pontot egy egyenesen. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Ennélfogva, l: .

JOGAK KÖZÖTTI SZÖG

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton keresztül húzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

Rövid leszek. Két egyenes közötti szög egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel. Így, ha sikerül megtalálni az a \u003d (x 1; y 1; z 1) és b \u003d (x 2; y 2; z 2) irányvektorok koordinátáit, megtalálhatja a szöget. Pontosabban a szög koszinusza a képlet szerint:

Nézzük meg, hogyan működik ez a képlet konkrét példákon:

Feladat. Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kockában E és F pontok vannak jelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja. Keresse meg az AE és BF egyenesek közötti szöget.

Mivel a kocka éle nincs megadva, ezért AB = 1-et állítunk be. Bevezetünk egy szabványos koordináta-rendszert: az origó az A pontban van, az x, y, z tengelyek pedig AB, AD, illetve AA 1 mentén vannak irányítva. . Az egységszakasz egyenlő: AB = 1. Most keressük meg egyeneseink irányvektorainak koordinátáit.

Keresse meg az AE vektor koordinátáit! Ehhez A = (0; 0; 0) és E = (0,5; 0; 1) pontokra van szükségünk. Mivel az E pont az A 1 B 1 szakasz közepe, koordinátái megegyeznek a végek koordinátáinak számtani átlagával. Figyeljük meg, hogy az AE vektor origója egybeesik az origóval, tehát AE = (0,5; 0; 1).

Most foglalkozzunk a BF vektorral. Hasonlóképpen elemezzük a B = (1; 0; 0) és F = (1; 0,5; 1) pontokat, mert F - a B 1 C 1 szakasz közepe. Nekünk van:
BF = (1-1; 0,5-0; 1-0) = (0; 0,5; 1).

Tehát az irányvektorok készen állnak. Az egyenesek közötti szög koszinusza az irányvektorok közötti szög koszinusza, így van:

Feladat. Az ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszögű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, D és E pontok vannak jelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja. Keresse meg az AD és a BE egyenesek közötti szöget.

Vezessünk be egy szabványos koordináta-rendszert: az origó az A pontban van, az x tengely AB, z - az AA 1 mentén. Az y tengelyt úgy irányítjuk, hogy az OXY sík egybeessen az ABC síkkal. Az egységszakasz egyenlő: AB = 1. Keresse meg a kívánt egyenesek irányvektorainak koordinátáit.

Először keressük meg az AD vektor koordinátáit. Tekintsük a pontokat: A = (0; 0; 0) és D = (0,5; 0; 1), mert D - az A 1 B 1 szakasz közepe. Mivel az AD vektor eleje egybeesik az origóval, így AD = (0,5; 0; 1) értéket kapunk.

Most keressük meg a BE vektor koordinátáit. A B pont = (1; 0; 0) könnyen kiszámítható. Az E ponttal - a C 1 B 1 szegmens közepe - egy kicsit bonyolultabb. Nekünk van:

Meg kell találni a szög koszinuszát:

Feladat. Az ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, a K és L pontok vannak kijelölve - az A 1 B 1 és B 1 C 1 élek felezőpontja, illetőleg. Határozza meg az AK és BL egyenesek közötti szöget.

Bevezetünk egy szabványos koordináta-rendszert a prizmára: a koordináták origóját az alsó alap közepére helyezzük, az x tengelyt az FC, az y tengelyt az AB és DE szakaszok felezőpontjain, a z tengelyt pedig a z tengelyen irányítjuk. függőlegesen felfelé. Az egységszegmens ismét egyenlő: AB = 1. Írjuk ki a számunkra érdekes pontok koordinátáit:

A K és L pont az A 1 B 1, illetve B 1 C 1 szakasz felezőpontja, így koordinátáikat a számtani átlagon keresztül találjuk meg. A pontok ismeretében megtaláljuk az AK és BL irányvektorok koordinátáit:

Most keressük meg a szög koszinuszát:

Feladat. Jobbra négyszög alakú piramis SABCD, amelynek minden éle 1, E és F pontok vannak jelölve - az SB és SC oldal felezőpontja. Keresse meg az AE és BF egyenesek közötti szöget.

Bevezetünk egy szabványos koordináta-rendszert: az origó az A pontban van, az x és y tengelyek AB, illetve AD mentén, a z tengely pedig függőlegesen felfelé. Az egységszegmens egyenlő: AB = 1.

Az E és F pont az SB és SC szakasz felezőpontja, így ezek koordinátáit a végek számtani középértékeként találjuk meg. Felírjuk a számunkra érdekes pontok koordinátáit:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)