Tulajdonságai és gráfja inverz függvényének meghatározása. Kölcsönösen inverz függvények

Legyen az $X$ és $Y$ halmaz a valós számok halmazában. Vezessük be az invertálható függvény fogalmát.

1. definíció

A $f:X\to Y$ függvényt, amely egy $X$ halmazt leképez egy $Y$ halmazra, invertálhatónak nevezzük, ha az X$ bármely $x_1,x_2\elemére abból a tényből következik, hogy $x_1\ne x_2$ $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Most bevezethetjük az inverz függvény fogalmát.

2. definíció

Legyen megfordítható az $f:X\to Y$ függvény, amely az $X$ halmazt leképezi a $Y$ halmazra. Ezután a $f^(-1):Y\to X$ függvény leképezi a $Y$ halmazt a $X$ halmazba, és a $f^(-1)\left(y\right)=x$ feltétellel határozza meg. $f( x)$ inverzének nevezzük.

Fogalmazzuk meg a tételt:

1. tétel

Legyen az $y=f(x)$ függvény definiálva, monoton növekvő (csökkenő) és folytonos valamilyen $X$ intervallumban. Ekkor ennek a függvénynek az értékeinek megfelelő $Y$ intervallumában van egy inverz függvénye, amely szintén monoton növekvő (csökkenő) és folyamatos a $Y$ intervallumon.

Vezessük most be közvetlenül a kölcsönösen inverz függvények fogalmát.

3. definíció

A 2. definíció keretein belül az $f(x)$ és $f^(-1)\left(y\right)$ függvényeket kölcsönösen inverz függvényeknek nevezzük.

Kölcsönösen inverz függvények tulajdonságai

Legyen a $y=f(x)$ és $x=g(y)$ függvény kölcsönösen inverz, akkor

$y=f(g\left(y\right))$ és $x=g(f(x))$

A $y=f(x)$ függvény tartománya megegyezik a $\ x=g(y)$ függvény értékének tartományával. A $x=g(y)$ függvény tartománya pedig egyenlő a $\ y=f(x)$ függvény értékének tartományával.

A $y=f(x)$ és $x=g(y)$ függvények grafikonjai szimmetrikusak az $y=x$ egyenesre.

Ha az egyik függvény növekszik (csökken), akkor a másik függvény is növekszik (csökken).

Az inverz függvény megkeresése

A $y=f(x)$ egyenlet a $x$ változóra vonatkozóan megoldott.

A kapott gyökökből megtaláljuk azokat, amelyek a $X$ intervallumhoz tartoznak.

A talált $x$ a $y$ számhoz van rendelve.

1. példa

Keresse meg az inverz függvényt az $y=x^2$ függvényhez a $X=[-1,0]$ intervallumon

Mivel ez a függvény a $X$ intervallumon csökkenő és folytonos, így a $Y=$ intervallumon, amely szintén csökkenő és folytonos ezen az intervallumon (1. tétel).

Számolja ki $x$:

\ \

Válassza ki a megfelelő $x$-t:

Válasz: inverz függvény $y=-\sqrt(x)$.

Inverz függvények megtalálásának problémái

Ebben a részben néhány elemi függvény inverz függvényeit vizsgáljuk. A feladatok megoldása a fent megadott séma szerint történik.

2. példa

Keresse meg az $y=x+4$ függvény inverz függvényét

Keresse meg az $x$ értéket a $y=x+4$ egyenletből:

3. példa

Keresse meg az $y=x^3$ függvény inverz függvényét

Döntés.

Mivel a függvény a teljes definíciós tartományon növekvő és folytonos, ezért az 1. Tétel szerint van rajta egy inverz folytonos és növekvő függvény.

Keresse meg az $x$ értéket a $y=x^3$ egyenletből:

$x$ megfelelő értékeinek megtalálása

Esetünkben az érték megfelelő (mivel a hatókör minden szám)

Újradefiniáljuk a változókat, megkapjuk, hogy az inverz függvénynek van alakja

4. példa

Keresse meg a $y=cosx$ függvény inverz függvényét a $$ intervallumon

Döntés.

Tekintsük a $y=cosx$ függvényt a $X=\left$ halmazon. Folyamatos és csökkenő a $X$ halmazon, és leképezi a $X=\left$ halmazt a $Y=[-1,1]$ halmazra, ezért az inverz folytonos monoton függvény létezésére vonatkozó tétel alapján, a $y=cosx$ függvény a $ Y$ halmazban van egy inverz függvény, ami szintén folytonos és növekszik a $Y=[-1,1]$ halmazban és leképezi a $[-1,1]$ halmazt a $\left$ halmazba.

Keresse meg a $x$ értéket a $y=cosx$ egyenletből:

$x$ megfelelő értékeinek megtalálása

Újradefiniáljuk a változókat, megkapjuk, hogy az inverz függvénynek van alakja

5. példa

Keresse meg a $y=tgx$ függvény inverz függvényét a $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ intervallumban.

Döntés.

Tekintsük a $y=tgx$ függvényt a $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ halmazon. Folyamatos és növekvő a $X$ halmazon, és leképezi a $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ halmazt a $Y halmazra =R$, ezért az inverz folytonos monoton függvény létezésére vonatkozó tétel szerint a $y=tgx$ függvénynek a $Y$ halmazban van egy inverz függvénye, amely szintén folytonos és növekszik a $Y=R halmazban. $ és leképezi a $R$ halmazt a $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ halmazra

Keresse meg a $x$ értéket a $y=tgx$ egyenletből:

$x$ megfelelő értékeinek megtalálása

Újradefiniáljuk a változókat, megkapjuk, hogy az inverz függvénynek van alakja

Mi az inverz függvény? Hogyan találjuk meg egy adott függvény inverzét?

Meghatározás .

Legyen az y=f(x) függvény a D halmazon definiálva, az értékeinek halmaza pedig E. Inverz függvény a Az y=f(x) függvény egy x=g(y) függvény, amely az E halmazon van definiálva, és minden y∈E-hez hozzárendel egy x∈D értéket úgy, hogy f(x)=y.

Így az y=f(x) függvény tartománya az inverz függvény tartománya, az y=f(x) tartomány pedig az inverz függvény tartománya.

Az adott y=f(x) függvény inverzének megkereséséhez meg kell találni :

1) A függvényképletben y helyett x, x helyett y -t helyettesítsünk:

2) A kapott egyenlőségből fejezzük ki y-t x-szel:

Keresse meg az y=2x-6 függvény függvény inverzét.

Az y=2x-6 és y=0,5x+3 függvények kölcsönösen inverzek.

A direkt és inverz függvények grafikonjai szimmetrikusak az y=x egyeneshez képest(I. és III. koordinátanegyedek felezőszögei).

y=2x-6 és y=0,5x+3-. Egy lineáris függvény grafikonja a következő. Egy egyenes rajzolásához két pontot veszünk.



Lehetőség van y-t egyedileg kifejezni x-ben, ha az x=f(y) egyenletnek egyedi megoldása van. Ez akkor tehető meg, ha az y=f(x) függvény minden értékét a definíciós tartományának egyetlen pontjában veszi fel (egy ilyen függvényt ún. megfordítható).

Tétel (szükséges és elégséges feltétel, hogy egy függvény invertálható legyen)

Ha az y=f(x) függvény numerikus intervallumon definiált és folytonos, akkor ahhoz, hogy a függvény invertálható legyen, szükséges és elegendő, hogy f(x) szigorúan monoton legyen.

Sőt, ha y=f(x) növekszik az intervallumon, akkor a vele fordított függvény is növekszik ezen az intervallumon; ha y=f(x) csökken, akkor az inverz függvény is csökken.

Ha a reverzibilitási feltétel nem teljesül a teljes definíciós tartományban, akkor ki lehet választani egy olyan intervallumot, ahol a függvény csak növekszik vagy csak csökken, és ezen az intervallumon keresni az adott függvénysel inverz függvényt.

A klasszikus példa a . Közte

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - páratlan függvény, a grafikon szimmetrikus az O pontra (0; 0).

arcsin x = 0, x = 0.

arcsin x > 0 x є-nél (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x növekszik bármely x є esetén [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Ív koszinusz

A koszinuszfüggvény a szakaszon csökken, és minden értéket felvesz -1-től 1-ig. Ezért minden olyan a számhoz, amelyhez |a|1, egyetlen gyöke van a cosx=a egyenletben a szakaszon. Ezt a számot az a szám arkoszinuszának nevezzük, és arcos a-nak jelöljük.

Meghatározás . Az a szám arc koszinusza, ahol -1 a 1, egy szám abból a szakaszból, amelynek koszinusza egyenlő a-val.

Tulajdonságok.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - a függvény se nem páros, se nem páratlan.

   arccos x = 0 x = 1-nél

   arccos x > 0 x є-nél [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x bármely x є esetén csökken [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - csökkenő.

Arktangens

Az érintőfüggvény növekszik a szakaszon -
, ezért a gyöktétel szerint a tgx \u003d a egyenletnek, ahol a bármely valós szám, egyedi x gyöke van a - intervallumon. Ezt a gyöket az a szám arctangensének nevezzük, és arctga-val jelöljük.

Meghatározás. Egy szám ívtangense aR ezt a számot x-nek hívják , amelynek érintője a.

Tulajdonságok.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - a függvény páratlan, a grafikon szimmetrikus az O pontra (0; 0).

arctg x = 0 x = 0-nál

A függvény bármely x є R esetén növekszik

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Ív érintő

A kotangens függvény a (0;) intervallumon csökken, és az összes értéket felveszi R-ből. Ezért a (0;) intervallum bármely a számára egyetlen gyöke van a ctg x \u003d a egyenletnek. Ezt az a számot az a szám arctangensének nevezzük, és arcctg a-val jelöljük.

Meghatározás. Egy a szám arctangense, ahol egy R, egy ilyen szám a (0;) intervallumból. , amelynek kotangense a.

Tulajdonságok.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - a függvény se nem páros, se nem páratlan.

arcctg x = 0- nem létezik.

Funkció y = arcctg x csökken bármely х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

A függvény bármely x є R esetén folytonos.

2.3 Inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezések identitástranszformációi

1. példa. Egyszerűsítse a kifejezést:

a)
ahol

Döntés. Tegyük fel
. Azután
és
Megtalálni
, a relációt használjuk
Kapunk
De . Ezen a szegmensen a koszinusz csak pozitív értékeket vesz fel. És így,
, azaz
ahol
.

b)

Döntés.

ban ben)

Döntés. Tegyük fel
. Azután
és
Először keressük meg, amelyre a képletet használjuk
, ahol
Mivel a koszinusz ezen az intervallumon csak pozitív értékeket vesz fel, akkor
.

Az óra céljai:

Nevelési:

• a programanyagnak megfelelően új témában ismereteket formálni;
• egy függvény invertibilitási tulajdonságának tanulmányozása és egy adott függvény inverzének megtanítása;

Fejlesztés:

• fejleszteni az önkontroll készségeket, a tárgyi beszédet;
• sajátítsa el az inverz függvény fogalmát, és tanulja meg az inverz függvény megtalálásának módszereit;

Nevelés: kommunikációs kompetencia kialakítása.

Felszerelés: számítógép, projektor, vetítővászon, SMART Board interaktív tábla, szóróanyag (önálló munka) csoportos munkához.

Az órák alatt.

1. Szervezési mozzanat.

Cél – a tanulók felkészítése az osztálytermi munkára:

A hiányzó definíciója,

A tanulók munkához való hozzáállása, figyelemszervezése;

Üzenet az óra témájával és céljával kapcsolatban.

2. A tanulók alapismereteinek felfrissítése. első szavazás.

Cél - a tanult elméleti anyag helyességének, tudatosságának megállapítására, a lefedett anyag ismétlődésére.<Приложение 1 >

A függvény grafikonja az interaktív táblán látható a tanulók számára. A tanár megfogalmazza a feladatot - vegye figyelembe a függvény grafikonját, és sorolja fel a függvény vizsgált tulajdonságait. A hallgatók felsorolják egy függvény tulajdonságait a kutatási terv szerint. A tanár a függvény grafikonjától jobbra felírja a megnevezett tulajdonságokat egy markerrel az interaktív táblára.

Funkció tulajdonságai:

A tanulmány végén a tanár beszámol arról, hogy ma az órán megismerkednek a funkció még egy tulajdonságával - a visszafordíthatósággal. Az új anyagok értelmes tanulmányozása érdekében a tanár felkéri a gyerekeket, hogy ismerkedjenek meg azokkal a fő kérdésekkel, amelyekre a tanulóknak meg kell válaszolniuk az óra végén. A kérdéseket egy közönséges táblára írják, és minden tanulónak van egy szóróanyaga (az óra előtt szétosztva)

1. Mi az a reverzibilis függvény?
2. Minden funkció visszafordítható?
3. Mi az inverz adott függvény?
4. Hogyan függ össze egy függvény definíciós tartománya, értékkészlete és inverz függvénye?
5. Ha a függvényt analitikusan adjuk meg, hogyan definiáljuk az inverz függvényt egy képlettel?
6. Ha egy függvényt grafikusan adunk meg, hogyan ábrázoljuk az inverz függvényét?

3. Új anyag magyarázata.

Cél - a programanyagnak megfelelően új témában ismereteket formálni; egy függvény invertibilitási tulajdonságának tanulmányozása és egy adott függvény inverzének megtanítása; témát dolgozzon ki.

A tanár az anyag bemutatását a bekezdés anyagának megfelelően vezeti. Az interaktív táblán a tanár összehasonlítja két olyan függvény grafikonját, amelyek definíciós tartománya és értékkészlete megegyezik, de az egyik függvény monoton, a másik nem, így a tanulók az invertálható függvény fogalma alá kerülnek. .

A tanár ezután megfogalmazza az invertálható függvény definícióját, és az interaktív táblán a monoton függvény grafikonjával bizonyítja az invertálható függvény tételét.

1. definíció: Az y=f(x), x X függvényt meghívjuk megfordítható, ha valamelyik értékét az X halmaznak csak egy pontjában veszi fel.

Tétel: Ha az y=f(x) függvény monoton az X halmazon, akkor invertálható.

Bizonyíték:

1. Hagyja a függvényt y=f(x)által növekszik x hadd menjen x 1 ≠ x 2- a halmaz két pontja x.
2. A határozottság kedvéért hagyjuk x 1< x 2.
   Akkor miből x 1< x 2 ezt követi f(x 1) < f(x 2).
3. Így az argumentum különböző értékei a függvény különböző értékeinek felelnek meg, pl. a funkció reverzibilis.

(A tétel bizonyítása során a tanár minden szükséges magyarázatot a rajzon markerrel elkészít)

Az inverz függvény definíciójának megfogalmazása előtt a tanár megkéri a tanulókat, hogy határozzák meg, hogy a javasolt függvények közül melyik reverzibilis? Az interaktív tábla függvénygrafikonokat jelenít meg, és számos analitikusan definiált függvényt írunk:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

A tanár bemutatja az inverz függvény definícióját.

2. definíció: Legyen egy invertálható függvény y=f(x) meghatározva a készleten xés E(f)=Y. Párosítsuk mindegyiket y tól től Y akkor az egyetlen értelme x, ahol f(x)=y. Ekkor kapunk egy függvényt, amelyen van definiálva Y, a x a függvény tartománya

Ezt a funkciót jelöljük x=f -1 (y)és a függvény inverzének nevezzük y=f(x).

A hallgatókat arra kérik, hogy vonjanak le következtetést a definíciós tartomány és az inverz függvények értékkészlete közötti kapcsolatról.

Annak a kérdésnek a mérlegeléséhez, hogyan találhatjuk meg egy adott inverz függvényét, a tanár két diákot vont be. Előző nap a gyerekek azt a feladatot kapták a tanártól, hogy önállóan elemezzék az inverz adott függvény megtalálásának analitikai és grafikus módszereit. A tanár tanácsadóként működött közre a tanulók leckére való felkészítésében.

Üzenet az első diáktól.

Megjegyzés: egy függvény monotonitása az elegendő inverz függvény létezésének feltétele. De nem szükséges feltétel.

A hallgató példákat hozott különböző helyzetekre, amikor a funkció nem monoton, hanem reverzibilis, amikor a funkció nem monoton és nem reverzibilis, amikor monoton és reverzibilis.

Ezután a hallgató megismerteti a hallgatókkal az analitikusan megadott inverz függvény megtalálásának módszerét.

Algoritmus keresése

1. Ügyeljen arra, hogy a funkció monoton legyen.
2. Fejezd ki x-et y-val.
3. Változók átnevezése. Az x \u003d f -1 (y) helyett y \u003d f -1 (x)

Majd megold két példát, hogy megtalálja az adott inverzének függvényét.

1. példa: Mutassuk meg, hogy van inverz függvény az y=5x-3 függvényre, és keressük meg annak analitikai kifejezését.

Döntés. Az y=5x-3 lineáris függvény R-en van definiálva, R-en növekszik, és tartománya R-en van. Így az inverz függvény létezik R-en. Az analitikus kifejezésének megtalálásához az y=5x-3 egyenletet oldjuk meg. x; kapunk Ez a kívánt inverz függvény. R határozza meg és növeli.

2. példa: Mutassuk meg, hogy van inverz függvény az y=x 2 , x≤0 függvényre, és keressük meg annak analitikus kifejezését.

A függvény folytonos, definíciós tartományában monoton, ezért invertálható. A definíciós tartományok és a függvény értékkészletének elemzése után megfelelő következtetést vonunk le az inverz függvény analitikai kifejezéséről.

A második tanuló előadást tart kb grafikus hogyan találjuk meg az inverz függvényt. Magyarázata során a hallgató az interaktív tábla lehetőségeit használja.

Ahhoz, hogy az y=f -1 (x) függvény grafikonját az y=f(x) függvényre fordítottan megkapjuk, az y=f(x) függvény grafikonját az egyeneshez képest szimmetrikusan kell átalakítani. y=x.

Az interaktív táblán történő magyarázat során a következő feladatot hajtjuk végre:

Szerkesszük meg egy függvény gráfját és inverz függvényének grafikonját ugyanabban a koordinátarendszerben. Írjon fel egy analitikus kifejezést az inverz függvényre!

4. Az új anyag elsődleges rögzítése.

Cél - a tanult anyag megértésének helyességének, tudatosságának megállapítása, a tananyag elsődleges megértésének hiányosságainak azonosítása, javítása.

A tanulókat párokra osztják. Lapokat kapnak feladatokkal, amelyekben párban dolgoznak. A munka elvégzésének ideje korlátozott (5-7 perc). Egy tanulópár dolgozik a számítógépen, a projektor ki van kapcsolva erre az időre, a többi gyerek pedig nem látja, hogyan dolgoznak a számítógépen.

Az idő végén (feltételezzük, hogy a tanulók többsége elvégezte a munkát) az interaktív tábla (a projektor újra bekapcsol) mutatja a tanulók munkáját, ahol a teszt során tisztázódik, hogy a feladatot párok. Szükség esetén a tanár javító, magyarázó munkát végez.

Önálló munka párban<2. függelék >

5. Az óra eredménye. Az előadás előtt feltett kérdésekről. Az óra érdemjegyeinek kihirdetése.

Házi feladat 10. §. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Az algebra és az elemzés kezdetei. 10. évfolyam 2 részben oktatási intézmények számára (profilszint) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova és mások; szerk. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Kölcsönösen inverz függvények.

Legyen a függvény szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő) és folytonos a definíciós tartományon, ennek a függvénynek a tartományán, majd az intervallumon egy folytonos szigorúan monoton függvényt definiálunk értéktartománnyal, amely inverz a .

Más szóval, akkor van értelme inverz függvényről beszélni egy adott intervallumon, ha az ezen az intervallumon nő vagy csökken.

Funkciók f és g kölcsönösnek nevezik.

Miért érdemes egyáltalán figyelembe venni az inverz függvények fogalmát?

Ezt az egyenletek megoldásának problémája okozza. A megoldásokat csak inverz függvényekkel írjuk.

Fontolgat néhány példa inverz függvények keresésére .

Kezdjük a lineáris, kölcsönösen inverz függvényekkel.

Keresse meg a függvény inverzét.

Ez a függvény lineáris, grafikonja egyenes. Ezért a függvény monoton a teljes definíciós tartományon. Ezért a vele fordított függvényt a teljes definíciós tartományon fogjuk keresni.

.

Expressz x keresztül y (más szóval, oldja meg az egyenletet x ).

- ez az inverz függvény, az igazság itt van y egy érv, és x ennek az érvnek a funkciója. A jelölési szokások megtörése érdekében (ez nem alapvető fontosságú), a betűk átrendezése x és y , írni fog .

Így és kölcsönösen inverz függvények.

Adjuk meg grafikusan a kölcsönösen inverz lineáris függvényeket.

Nyilvánvaló, hogy a grafikonok szimmetrikusak az egyeneshez képest. (első és harmadik negyedév felezői). Ez a kölcsönösen inverz függvények egyik tulajdonsága, amelyet az alábbiakban tárgyalunk.

Keresse meg az inverz függvényt.

Ez a függvény négyzet, a gráf egy parabola, amelynek csúcsa egy pontban van.

.

A függvény növekszik és csökken, ahogy . Ez azt jelenti, hogy egy adott függvény inverz függvényét a két intervallum valamelyikén lehet keresni.

Legyen tehát, és x és y felcserélésével egy adott intervallumon egy inverz függvényt kapunk: .

Keresse meg az inverz függvényt.

Ez a függvény köbös, a gráf egy köbös parabola, amelynek csúcsa egy pontban van.

.

A funkció ekkor növekszik. Ez azt jelenti, hogy a teljes definíciós tartományban lehet inverz függvényt keresni egy adott függvényhez.

, és x és y felcserélésével megkapjuk az inverz függvényt.

Illusztráljuk ezt egy grafikonon.

Soroljuk fel kölcsönösen inverz függvények tulajdonságai és.

és.

Az első tulajdonságból látható, hogy a függvény hatóköre egybeesik a funkció hatókörével és fordítva.

A kölcsönösen inverz függvények grafikonjai szimmetrikusak az egyeneshez képest.

Ha nő, akkor nő, ha csökken, akkor csökken.

Adott függvényhez keresse meg az inverz függvényt:

Adott függvényhez keresse meg az inverzet, és ábrázolja az adott és inverz függvényeket: Nézze meg, van-e inverz függvény az adott függvényhez. Ha igen, akkor definiálja analitikusan az inverz függvényt, ábrázolja az adott és az inverz függvényt: Keresse meg a függvény tartományát és tartományát a függvény fordítottjával, ha:

1. Határozza meg az egyes kölcsönösen inverz függvények tartományát, és ha a tartományok adottak:

A függvények kölcsönösen fordítottak-e, ha:

1. Keresse meg az adott függvény inverzét! Rajzolja fel ugyanazon a koordináta-rendszeren ezen kölcsönösen inverz függvények grafikonjait:

   Ez a függvény önmagával fordított: Határozzon meg egy függvényt az adott függvényhez képest, és ábrázolja a grafikonját: