A gyakorlati tevékenység során az embernek különféle mennyiségeket kell mérnie, figyelembe kell vennie a munkaanyagokat és termékeket, előállítania különféle számítások. A különféle mérések, számlálások és számítások eredményei számok. A mérés eredményeként kapott számok csak hozzávetőlegesen, bizonyos fokú pontossággal jellemzik a kívánt értékeket. Pontos mérés a pontatlanságok miatt nem lehetséges mérőműszerek, látószerveink tökéletlenségei, és maguk a mért tárgyak néha nem teszik lehetővé, hogy nagyságrendjüket pontosan meghatározzuk.

Így például ismert, hogy a Szuezi-csatorna hossza 160 km, a távolság mentén vasúti Moszkvától Leningrádig 651 km. Itt találjuk az akár kilométeres pontossággal végzett mérések eredményeit. Ha például a hossz téglalap alakú terület 29 m, szélesség 12 m, akkor valószínűleg méteres pontossággal történtek a mérések, és a méter töredékeit figyelmen kívül hagyták,

Bármilyen mérés előtt el kell dönteni, hogy milyen pontossággal kell azt elvégezni, pl. a mértékegység mely törtrészeit kell figyelembe venni, és melyeket elhanyagolni.

Ha van valami érték a, amelynek valódi értéke ismeretlen, és ennek az értéknek a közelítő értéke (közelítője) egyenlő X,ők írnak egy x.

Ugyanazon mennyiség különböző méréseivel különböző közelítéseket kapunk. Ezen közelítések mindegyike eltér a mért érték valódi értékétől, egyenlő például a, bizonyos összeggel, amit felhívunk hiba. Meghatározás. Ha az x szám egy olyan mennyiség közelítő értéke (közelítője), amelynek valódi értéke egyenlő a számmal a, akkor a számok különbségének modulusa, aés x hívott abszolút hiba adott közelítés és jelölve a x: vagy egyszerűen a. Tehát definíció szerint

a x = a-x (1)

Ebből a meghatározásból az következik

a = x a x (2)

Ha ismert, hogy milyen mennyiségről beszélünk, akkor a jelölésben a x index a kimarad, és a (2) egyenlőség a következőképpen íródik:

a = x x (3)

Mivel a kívánt érték valódi értéke legtöbbször ismeretlen, ennek az értéknek a közelítésében lehetetlen megtalálni az abszolút hibát. Minden konkrét esetben csak pozitív számot jelezhet, amelynél ez nagyobb abszolút hiba nem lehet. Ezt a számot a mennyiség közelítésének abszolút hibájának határának nevezzük aés jelöltük h a. Így ha x az a érték tetszőleges közelítése egy adott közelítési eljáráshoz, akkor

a x = a-x h a (4)

A fentiekből következik, hogy ha h a a mennyiség közelítésének abszolút hibájának határa a, akkor tetszőleges szám nagyobb, mint h a, a mennyiség közelítésének abszolút hibájának a határa is lesz a.

A gyakorlatban az a legkisebb számot szokás választani, amelyik kielégíti a (4) egyenlőtlenséget az abszolút hiba határaként.

Az egyenlőtlenség megoldása a-x h a azt kapjuk a határokon belül található

x-h a a x + h a (5)

Az abszolút hibahatár szigorúbb koncepciója a következőképpen adható meg.

Legyen x- sok lehetséges közelítés x mennyiségeket a egy adott közelítési eljáráshoz. Aztán tetszőleges szám h, megfelel a feltételnek a-x h a bármilyen xX, a halmazból származó közelítések abszolút hibája határának nevezzük x. Jelölje h a legkisebb ismert szám h. Ez a szám h aés a gyakorlatban az abszolút hiba határaként van kiválasztva.

Az abszolút közelítési hiba nem jellemzi a mérések minőségét. Valóban, ha bármilyen hosszúságot 1 cm-es pontossággal mérünk, akkor abban az esetben, amikor beszélgetünk a ceruza hosszának meghatározásáról rossz lesz a pontosság. Ha 1 cm-es pontossággal meghatározza a röplabdapálya hosszát vagy szélességét, akkor ez nagy pontosságú lesz.

A mérési pontosság jellemzésére bevezetjük a relatív hiba fogalmát.

Meghatározás. Ha egy a x: abszolút közelítési hiba van x valamilyen mennyiség, amelynek valódi értéke egyenlő a számmal a, akkor az arány a x egy szám modulusához x a közelítés relatív hibájának nevezzük és jelöljük a x vagy x.

Tehát definíció szerint

A relatív hibát általában százalékban fejezik ki.

Ellentétben az abszolút hibával, amely leggyakrabban dimenziós mennyiség, a relatív hiba dimenzió nélküli mennyiség.

A gyakorlatban nem a relatív hibát veszik figyelembe, hanem az úgynevezett relatív hibahatárt: ilyen számot E a, amely nem lehet nagyobb, mint a kívánt érték közelítésének relatív hibája.

És így, a x E a .

Ha egy h a-- a mennyiség közelítéseinek abszolút hibájának határa a, azután a x h aés innentől

Nyilván bármilyen szám E, amely kielégíti a feltételt, lesz a relatív hiba határa. A gyakorlatban általában ismert valamilyen közelítés x mennyiségeket aés az abszolút hibahatár. Aztán a szám

1. A számok pontosak és közelítőek. A gyakorlatban tapasztalt számok kétfélék. Egyesek a mennyiség valódi értékét adják meg, mások csak hozzávetőlegesen. Az elsőt pontosnak, a másodikat hozzávetőlegesnek nevezik. Leggyakrabban célszerű egy hozzávetőleges számot használni a pontos szám helyett, különösen mivel sok esetben pontos számáltalában lehetetlen megtalálni.

A számokkal végzett műveletek eredményei adják: közelítő számokkal közelítő számokat. Például. A járvány idején a szentpétervári lakosok 60%-a elkapja az influenzát. Ez körülbelül 3 millió embert jelent. pontos számokkal pontos számokkal Pl. Egy matematikai előadáson 65 fő van jelen. hozzávetőleges számok Pl. A beteg átlagos testhőmérséklete a nap folyamán 37,3: reggel: 37,2; nap: 36,8 ; este 38.

A közelítő számítások elmélete lehetővé teszi: 1) az adatok pontossági fokának ismeretében az eredmények pontosságának mértékét; 2) megfelelő fokú pontosságú adatfelvétel, amely elegendő az eredmény megkívánt pontosságának biztosításához; 3) racionalizálja a számítási folyamatot, megszabadítva azoktól a számításoktól, amelyek nem befolyásolják az eredmény pontosságát.

1) ha az eldobott számjegyek közül az első (bal) kisebb, mint 5, akkor az utolsó megmaradt számjegy nem változik (lefelé kerekítés); 2) ha az első eldobott számjegy nagyobb, mint 5 vagy egyenlő 5-tel, akkor az utolsó megmaradt számjegyet eggyel növeljük (felfelé kerekítés). Kerekítés: a) tizedekre 12,34 12,3; b) századig 3,2465 3,25; 1038,79. c) ezrelékig 3,4335 3,434. d) ezerig; Ez a következőket veszi figyelembe:

Az orvostudományban leggyakrabban mért mennyiségek: m tömeg, l hosszúság, v folyamat sebessége, t idő, hőmérséklet t, térfogat V stb. Fizikai mennyiség mérése azt jelenti, hogy összehasonlítjuk egy egységnek vett homogén mennyiséggel. 9 Fizikai mennyiségek mértékegysége: Alaphossz - 1 m - (méter) Idő - 1 s - (másodperc) Tömeg - 1 kg - (kilogramm) Termékek Térfogat - 1 m³ - (köbméter) Sebesség - 1 m/s - (méter per másodperc)

Előtagok az egységek nevéhez: Több előtag - növelje 10-zel, 100-zal, 1000-rel stb. szor g - hekto (×100) k - kilo (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilométer) 1 kg (kilogramm) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g 10-zel csökkentve , 100, 1000 stb. d - deci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - milli (× 0,001) 1 dm (deciméter) 1 dm = 0,1 m 1 cm (centiméter) 1 cm = 0,01 m 1 mm (milliméter) 1 mm = 0,001 m

A betegségek diagnosztizálására, kezelésére, megelőzésére az orvostudományban különféle mérőorvosi berendezéseket használnak.

Hőmérő. Először is figyelembe kell vennie a mérés felső és alsó határát. Az alsó határ a minimum, a felső határ a maximális mérhető érték. Ha a mért érték várható értéke ismeretlen, akkor jobb, ha „margóval” veszi a készüléket. Például hőmérsékletmérés forró víz ne végezze utcai vagy szobahőmérővel. Jobb olyan eszközt találni, amelynek felső határa 100 ° C. Másodszor, meg kell értenie, milyen pontosan kell mérni a mennyiséget. Mivel a mérési hiba az osztásértéktől függ, többre pontos mérések a legkisebb osztásértékkel rendelkező műszer kerül kiválasztásra.

Mérési hibák. Különféle diagnosztikai paraméterek méréséhez saját készülékre van szükség. Például a hosszt vonalzóval, a hőmérsékletet pedig hőmérővel mérjük. De a vonalzók, hőmérők, tonométerek és egyéb eszközök különböznek egymástól, ezért bármilyen fizikai mennyiség méréséhez olyan eszközt kell választani, amely alkalmas erre a mérésre.

A készülék felosztásának ára. Az emberi test hőmérsékletét pontosan meg kell határozni, a gyógyszereket szigorúan meghatározott mennyiségben kell beadni, ezért az egyes készülékek fontos jellemzője a mérőeszköz skálájának felosztási ára. A készülék árfelosztásának kiszámításának szabálya A mérleg felosztási árának kiszámításához: a) ki kell választani a skálán a két legközelebbi digitalizált vonást; b) számolja meg a köztük lévő osztások számát; c) Ossza el a kiválasztott ütések körüli értékek különbségét az osztások számával.

A készülék felosztásának ára. Osztási érték (50-30)/4=5 (ml) Osztásérték: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 hőmérséklet, (4-2)/10=0,2 s

Határozza meg az eszközök felosztásának árát: 16

Abszolút mérési hiba. Hibák minden mérésnél előfordulhatnak. Ezeket a hibákat különböző tényezők okozzák. Minden tényező három részre osztható: a műszerek tökéletlensége által okozott hibák; a mérési módszerek tökéletlensége által okozott hibák; véletlenszerű tényezők hatása miatti hibák, amelyeket nem lehet kiküszöbölni. Bármilyen érték mérésekor nem csak az értékét akarjuk tudni, hanem azt is, hogy ebben az értékben mennyire lehet megbízni, mennyire pontos. Ehhez tudni kell, hogy egy mennyiség valódi értéke mennyiben térhet el a mérttől. Ebből a célból bevezetik az abszolút és relatív hibák fogalmát.

Abszolút és relatív hibák. Az abszolút hiba azt mutatja meg, hogy mennyi a valós érték fizikai mennyiség különbözik a mérttől. Ez magától a készüléktől (műszerhiba) és a mérési folyamattól (a skála olvasási hibája) függ. A műszeres hibát fel kell tüntetni a műszer útlevelében (általában megegyezik a műszer skálaosztásával). Az olvasási hibát általában az osztásérték felével egyenlőnek veszik. Egy közelítő érték abszolút hibája a Δ x \u003d | x - x 0 | különbség, ahol x 0 közelítő érték, x pedig a mért érték pontos értéke, vagy néha x helyett A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Abszolút és relatív hibák. Példa. Ismeretes, hogy a -0,333 a -1/3 hozzávetőleges értéke. Ekkor az abszolút hiba definíciója szerint Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Sok gyakorlatilag fontos esetben lehetetlen megtalálni a közelítés abszolút hibáját, mivel a mennyiség pontos értéke nem ismert. Megadhat azonban pozitív számot, amelynél nagyobb ez az abszolút hiba nem lehet. Ez tetszőleges h szám, amely kielégíti a | egyenlőtlenséget ∆x | h Abszolút hibahatárnak nevezzük.

Ebben az esetben azt mondják, hogy x értéke megközelítőleg h-ig egyenlő x 0-val. x \u003d x 0 ± h vagy x 0 - h x x 0 + h

A mérőműszerek abszolút műszerhibái

A mért értékek műszeres hibáinak becslése. A legtöbb mérőműszernél a műszer hibája megegyezik a skálaosztásával. Kivételt képeznek a digitális műszerek és mérőórák. A digitális eszközök esetében a hiba az útlevelükben van feltüntetve, és általában többszöröse az eszköz skálaosztásának. A mutatós mérőműszereknél a hibát a műszer skáláján feltüntetett pontossági osztály és a mérési határ határozza meg. A pontossági osztályt a készülék skáláján olyan szám jelzi, amelyet semmilyen keret nem vesz körül. Például az ábrán a nyomásmérő pontossági osztálya 1,5. A pontossági osztály megmutatja, hogy a készülék hibája hány százaléka van a mérési határtól. Mutatós nyomásmérőnél a mérési határ 3 atm, illetve a nyomásmérési hiba a 3 atm 1,5%-a, azaz 0,045 atm. Meg kell jegyezni, hogy a legtöbb mutatóeszköz esetében a hibájuk megegyezik az eszköz osztásértékével. Mint a példánkban, ahol a barométer osztási ára 0,05 atm.

Abszolút és relatív hibák. Abszolút hiba szükséges annak meghatározásához, hogy a valós érték mekkora tartományba eshet, de az eredmény egészének pontosságának megítéléséhez ez nem túl jelzésértékű. Hiszen a 10 m-es hossz mérése 1 mm-es hibával bizony nagyon pontos, ugyanakkor a 2 mm-es hossz mérése 1 mm-es hibával nyilvánvalóan rendkívül pontatlan. Az abszolút mérési hibát általában egy szignifikáns számjegyre kerekítik fel ΔA 0,17 0,2. A mérési eredmény számértékét úgy kerekítjük, hogy az utolsó számjegye megegyezzen a hibajellel A=10,332 10,3

Abszolút és relatív hibák. Az abszolút hiba mellett szokás a relatív hibát is figyelembe venni, amely megegyezik az abszolút hiba és magának a mennyiségnek az értékének arányával. Egy közelítő szám relatív hibája egy közelítő szám abszolút hibájának magához a számhoz viszonyított aránya: E = Δx. 100% x 0 A relatív hiba azt mutatja meg, hogy magának az értéknek hány százalékában fordulhat elő hiba, és jelzésértékű a kísérleti eredmények minőségének értékelésekor.

Példa. A kapilláris hosszának és átmérőjének mérésekor l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm-t kaptunk. A mérések közül melyik a pontosabb? A kapilláris hosszának mérésénél 100 mm-enként 10 mm abszolút hiba megengedett, ezért az abszolút hiba 10/100=0,1=10%. A kapilláris átmérő mérésénél a megengedett abszolút hiba 0,1/2,5=0,04=4% Ezért a kapilláris átmérő mérése pontosabb.

Sok esetben abszolút hiba nem található. Innen a relatív hiba. De megtalálhatja a relatív hiba határát. Bármely δ szám, amely kielégíti a |. egyenlőtlenséget ∆x | / | x o | δ a relatív hiba határa. Különösen, ha h az abszolút hibahatár, akkor a δ= h/| x o |, az x o közelítés relatív hibájának határa. Innen. Ismerve a határ rel.p-i. δ, meg lehet találni a h abszolút hiba határát. h=δ | x o |

Példa. Ismeretes, hogy 2=1,41… Határozza meg a közelítő egyenlőség relatív pontosságát vagy a 2 közelítő egyenlőség relatív hibájának határát 1,41! Itt x \u003d 2, x o = 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Nyilvánvalóan 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, Abszolút hibahatár 0,01, relatív hibahatár 1/141

Példa. A skála leolvasásánál fontos, hogy a tekintete merőlegesen essen a műszer skálájára, miközben a hiba kisebb lesz. A hőmérő állásának meghatározásához: 1. határozza meg az osztások számát, 2. szorozza meg az osztás árával 3. vegye figyelembe a hibát 4. írja le a végeredményt. t = 20 °C ± 1,5 °C Ez azt jelenti, hogy a hőmérséklet 18,5° és 21,5° között van. Vagyis lehet például 19, illetve 20 és 21 Celsius-fok. A mérések pontosságának növelése érdekében a méréseket legalább háromszor meg kell ismételni, és kiszámítani a mért érték átlagértékét.

N A C O R D E N I A N E D E N G O N I N I O N I Mérési eredmények C 1 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33 ,5 C 4 \u003d 33 ,5 C 4 \u003d 33 ,5 C 3 p 5 átlagos értéke 1 d 33 ,5 C 3 p 5 d) 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Határozza meg az érték eltérését az átlagos értéktől Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Keresse meg az abszolút hibát Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Keresse meg a relatív hibát δ \u003d Δc: SR δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Írja le a végső választ c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

HÁZI FELADAT Felkészülés gyakorlati óra előadás alapján. Végezzen el egy feladatot. Keresse meg az átlagértéket és a hibát: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Készítsen előadásokat a következő témákban: „Értékek kerekítése az orvostudományban”, „Mérési hibák”, „Orvosi mérőberendezések”

Bevezetés

Abszolút hiba- az abszolút mérési hiba becslése. Számított különböző utak. A számítási módszert a valószínűségi változó eloszlása ​​határozza meg. Ennek megfelelően az abszolút hiba nagysága a valószínűségi változó eloszlásától függően eltérő lehet. Ha a mért érték és a valódi érték, akkor az egyenlőtlenségnek bizonyos valószínűséggel 1-hez közelinek kell lennie. véletlenszerű érték normáltörvény szerint eloszlik, akkor általában ennek szórását veszik abszolút hibának. Az abszolút hibát ugyanabban a mértékegységben mérjük, mint magát az értéket.

Számos módja van a mennyiségnek az abszolút hibájával együtt.

· Általában a ± jelű jelölést használják. Például az 1983-ban felállított 100 méteres rekord az 9,930±0,005 s.

· A nagyon nagy pontossággal mért értékek rögzítéséhez egy másik jelölést használnak: a mantissza utolsó számjegyeinek hibájának megfelelő számokat zárójelben adják hozzá. Például a Boltzmann-állandó mért értéke az 1,380 6488 (13)-10-23 J/K, ami sokkal hosszabban is írható, mint 1.380 6488?10?23 ±0.000 0013?10?23 J/K.

Relatív hiba- mérési hiba, az abszolút mérési hiba és a mért mennyiség tényleges vagy átlagos értékének arányában kifejezve (RMG 29-99):.

A relatív hiba dimenzió nélküli mennyiség, vagy százalékban mérjük.

Közelítés

Túl sok és túl kevés? A számítások során gyakran közelítő számokkal kell számolni. Legyen DE- egy bizonyos mennyiség pontos értéke, a továbbiakban a pontos szám a. A mennyiség hozzávetőleges értéke alatt DE, vagy hozzávetőleges számok hívott egy számot a, amely a mennyiség pontos értékét helyettesíti DE. Ha egy a< DE, azután a a szám közelítő értékének nevezzük És híján. Ha egy a> DE,- azután feleslegben. Például a 3,14 a szám közelítése R hiány, 3,15 pedig többlet. Ennek a közelítésnek a pontosságának jellemzésére a fogalmat használjuk hibákat vagy hibákat.

D hiba a hozzávetőleges szám a az alak különbségének nevezzük

D a = A-a,

ahol DE a megfelelő pontos szám.

Az ábrán látható, hogy az AB szakasz hossza 6 cm és 7 cm között van.

Ez azt jelenti, hogy a 6 az AB szegmens hosszának hozzávetőleges értéke (centiméterben)\u003e hiány esetén, a 7 pedig felesleggel.

A szakasz hosszát y betűvel jelölve a következőt kapjuk: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина szegmens AB (lásd: 149. ábra) közelebb van a 6 cm-hez, mint a 7 cm-hez. Körülbelül 6 cm-nek felel meg. Azt mondják, hogy a 6-os számot úgy kaptuk, hogy a szakasz hosszát egész számokra kerekítettük.

Abszolút érték különbségek egy mennyiség közelítő és pontos (valós) értéke között ún abszolút hiba hozzávetőleges érték. például ha a pontos szám 1,214 tizedekre kerekítve hozzávetőleges számot kapunk 1,2 . Ebben az esetben a közelítő szám abszolút hibája lesz 1,214 – 1,2 = 0,014 .

De a legtöbb esetben a szóban forgó mennyiség pontos értéke ismeretlen, de csak hozzávetőleges. Ekkor az abszolút hiba sem ismert. Ezekben az esetekben jelezze határ amelyet nem lép túl. Ezt a számot hívják határ abszolút hiba. Azt mondják, hogy egy szám pontos értéke egyenlő a hozzávetőleges értékével, a határhibánál kisebb hibával. például, szám 23,71 a szám hozzávetőleges értéke 23,7125 ig 0,01 , mivel az abszolút közelítési hiba egyenlő 0,0025 és kevesebb 0,01 . Itt a határ abszolút hiba egyenlő 0,01 .*

(* Abszolút a hiba pozitív és negatív is. például, 1,68 ≈ 1,7 . Az abszolút hiba 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Határ hiba mindig pozitív).

A közelítő szám határ abszolút hibája " a » szimbólummal jelöljük Δ a . Felvétel

x ≈ a ( Δ a)

így kell érteni: a mennyiség pontos értéke x között van a +Δ a és a –Δ a, amelyeket rendre elneveznek alsóés felső határ x és jelöljük H G x és NÁL NÉL G x .

például, ha x≈ 2,3 ( 0,1), azután 2,2 < x < 2,4 .

Ellenkezőleg, ha 7,3 < x < 7,4, azután x≈ 7,35 ( 0,05).

Abszolút vagy határ abszolút hiba nem jellemezze a mérés minőségét. Ugyanaz az abszolút hiba tekinthető jelentősnek és jelentéktelennek a mért értéket kifejező számtól függően.

például, ha két város távolságát egy kilométeres pontossággal mérjük, akkor ez a pontosság teljesen elegendő ehhez a méréshez, ugyanakkor az ugyanazon az utcán lévő két ház távolságának mérésekor ez a pontosság elfogadhatatlan lesz. .

Ezért egy mennyiség közelítő értékének pontossága nemcsak az abszolút hiba nagyságától, hanem a mért mennyiség értékétől is függ. Így a pontosság mértéke a relatív hiba.

Relatív hiba az abszolút hiba aránya a közelítő szám értékéhez. A határ abszolút hibájának a közelítő számhoz viszonyított arányát nevezzük határ relatív hiba; jelölje így: Δ a/a. A relatív és a határrelatív hibákat általában kifejezik százalékban.

például ha a mérések azt mutatják, hogy két pont távolsága nagyobb, mint 12,3 km, de kevésbé 12,7 km, majd a hozzávetőleges jelentését elfogadják átlagos ez a két szám, i.e. őket fél összeget, azután határ az abszolút hiba az félkülönbség ezeket a számokat. Ebben az esetben x≈ 12,5 ( 0,2). Itt a határ abszolút a hiba az 0,2 km, és a határ

Mert modern feladatokat komplex matematikai apparátus és kidolgozott módszerek alkalmazása szükséges ezek megoldására. Ilyenkor gyakran találkozunk olyan problémákkal, amelyekre az analitikus megoldás, pl. A kiindulási adatokat a kívánt eredményekkel összekapcsoló analitikus kifejezés formájú megoldás vagy egyáltalán nem lehetséges, vagy olyan nehézkes képletekben fejeződik ki, hogy gyakorlati célokra nem praktikus.

Ebben az esetben numerikus megoldási módszereket alkalmaznak, amelyek lehetővé teszik a probléma egyszerű numerikus megoldását. A numerikus módszereket számítási algoritmusok segítségével valósítják meg.

A numerikus módszerek teljes választéka két csoportra osztható:

Pontos - azt feltételezik, hogy ha a számításokat pontosan hajtják végre, akkor véges számú aritmetikai és logikai művelet segítségével a kívánt mennyiségek pontos értékei érhetők el.

Hozzávetőleges - amely még akkor is, ha a számításokat kerekítés nélkül végzik, csak adott pontossággal teszi lehetővé a probléma megoldását.

1. érték és szám. A mennyiség olyan dolog, amely bizonyos mértékegységekben számként fejezhető ki.

Amikor egy mennyiség értékéről beszélnek, akkor egy bizonyos számot értenek, amelyet a mennyiség számértékének és mértékegységének neveznek.

Így a mennyiség egy tárgy vagy jelenség olyan tulajdonságának jellemzője, amely sok objektumra jellemző, de mindegyikhez egyedi értékei vannak.

Az értékek lehetnek állandóak vagy változók. Ha bizonyos feltételek mellett egy mennyiség csak egy értéket vesz fel, és nem tudja megváltoztatni, akkor állandónak nevezzük, de ha felveheti különféle jelentések, akkor egy változó. Igen, gyorsulás szabadesés test be ez a hely a Föld felszíne állandó érték, egyetlen számértéket vesz fel g = 9,81 ... m / s2, míg az s út bejárva anyagi pont mozgása során változó.

2. a számok hozzávetőleges értékei. A mennyiség értékét, amelynek igazságában nem kételkedünk, egzaktnak nevezzük. Gyakran azonban, amikor egy mennyiség értékét keressük, csak a hozzávetőleges értékét kapjuk meg. A számítások gyakorlatában gyakran kell a számok hozzávetőleges értékeivel foglalkozni. Tehát p pontos szám, de irracionalitása miatt csak hozzávetőleges értéke használható.

Sok problémában a bonyolultság, és gyakran az egzakt megoldások megszerzésének lehetetlensége miatt közelítő megoldási módszereket alkalmaznak, ezek közé tartozik: egyenletek közelítő megoldása, függvények interpolációja, integrálok közelítő számítása stb.

A közelítő számítások fő követelménye a közbenső számítások meghatározott pontosságának és a végeredménynek való megfelelés. Ugyanakkor mind a hibák (hibák) növekedése a számítások indokolatlan elnagyolásával, mind a redundáns, a tényleges pontosságnak nem megfelelő számadatok megtartása egyaránt elfogadhatatlan.

A számításokból és a számok kerekítéséből származó hibáknak két osztálya van: abszolút és relatív.

1. Abszolút hiba (hiba).

Bemutatjuk a jelölést:

Legyen A valamilyen mennyiség pontos értéke, Record a » A Azt fogjuk olvasni, hogy "a körülbelül egyenlő A-val". Néha A = a-t írunk, szem előtt tartva, hogy közelítő egyenlőségről beszélünk.

Ha ismert, hogy a< А, то а называют A hozzávetőleges értéke egy hátránnyal. Ha a > A, akkor a-t hívjuk A hozzávetőleges többletérték.

Egy mennyiség pontos és közelítő értéke közötti különbséget nevezzük közelítési hibaés D-vel jelöljük, azaz.

D \u003d A - a (1)

A közelítés D hibája lehet pozitív és negatív is.

Egy mennyiség közelítő értéke és a pontos érték közötti különbség jellemzéséhez gyakran elegendő a pontos és közelítő érték különbségének abszolút értékét feltüntetni.

A közelítő közötti különbség abszolút értéke aés pontos DE számértékeket hívják meg a közelítés abszolút hibája (hibája).és D-vel jelöljük a:

D a = ½ a – DE½ (2)

1. példa Egy vonal mérésekor l vonalzót használtunk, melynek skálaosztási értéke 0,5 cm A szakasz hosszára egy hozzávetőleges értéket kaptunk a= 204 cm.

Nyilvánvaló, hogy a mérés során legfeljebb 0,5 cm-rel tévedhetnek el, pl. az abszolút mérési hiba nem haladja meg a 0,5 cm-t.

Általában az abszolút hiba ismeretlen, mivel az A szám pontos értéke nem ismert, ezért néhány értékelés abszolút hiba:

D a <= Da előtt. (3)

ahol D előtt. – határhiba (szám, több nulla), amelyet az a szám ismertségének figyelembevételével állítunk be.

A korlátozó abszolút hibát is nevezik hibahatár. Tehát az adott példában
D előtt. = 0,5 cm.

A (3)-ból ezt kapjuk: D a = ½ a – DE½<= Da előtt. . és akkor

a-D a előtt. ≤ DE≤ a+ D a előtt. . (4)

Eszközök, hirdetés a előtt. közelítés lesz DE hátránnyal és a + D a előtt – hozzávetőleges érték DE feleslegben. Gyorsírást is használnak: DE= a±D a előtt (5)

A korlátozó abszolút hiba definíciójából következik, hogy a D számok a előtt, kielégítve a (3) egyenlőtlenséget, végtelen halmaz lesz. A gyakorlatban igyekszünk választani esetleg kevesebbet a D számokból előtt, kielégítve a D egyenlőtlenséget a <= Da előtt.

2. példa Határozzuk meg a szám korlátozó abszolút hibáját a=3,14, amelyet a π szám közelítő értékeként veszünk.

Ismeretes, hogy 3,14<π<3,15. Ebből következik tehát

|a – π |< 0,01.

A D számot tekinthetjük korlátozó abszolút hibának a = 0,01.

Ha azonban ezt figyelembe vesszük 3,14<π<3,142 , akkor jobb becslést kapunk :D a= 0,002, akkor π ≈3,14 ±0,002.

Relatív hiba (hiba). A mérés minőségének jellemzéséhez nem elegendő az abszolút hiba ismerete.

Például két test megmérésekor a következő eredményeket kapjuk:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Bár mindkét eredmény abszolút mérési hibája megegyezik, a mérési minőség az első esetben jobb lesz, mint a másodiknál. Relatív hiba jellemzi.

Relatív hiba (hiba) számközelítés DE abszolút hibaaránynak nevezzük D a közelítés az A szám abszolút értékéhez:

Mivel egy mennyiség pontos értéke általában nem ismert, ezért egy hozzávetőleges értékre cseréljük, majd:

A relatív hiba korlátozása vagy a relatív közelítési hiba határa, hívta a d számot és azelőtt.>0, így:

d a<= d és azelőtt.

A korlátozó relatív hibához nyilvánvalóan felvehetjük a korlátozó abszolút hiba és a közelítő érték abszolút értékének arányát:

A (9)-ből könnyen levonható a következő fontos összefüggés:

∆és azelőtt. = |a| d és azelőtt.

A korlátozó relatív hibát általában százalékban fejezik ki:

Példa. A számítás természetes logaritmusának alapját egyenlőnek vesszük e=2,72. Pontos értéket vettünk e m = 2,7183. Keresse meg egy közelítő szám abszolút és relatív hibáját!

D e = ½ e – e t½=0,0017;

.

A relatív hiba értéke változatlan marad a legközelítőbb szám és annak abszolút hibájának arányos változásával. Tehát a D = 1,3 abszolút hibával számított 634,7 és a D = 13 hibával számolt 6347 szám esetén a relatív hibák megegyeznek: d= 0,2.