"valószínűségelmélet a vizsga és az oge ​​feladatokban". Egyszerű problémák a valószínűségszámításban

A mai napig a matematikai USE problémák nyílt bankjában (mathege.ru) került bemutatásra, amelynek megoldása egyetlen képletre épül, amely a valószínűség klasszikus definíciója.

A képlet megértésének legegyszerűbb módja a példák segítségével.
1. példa 9 piros és 3 kék golyó van a kosárban. A golyók csak színükben különböznek egymástól. Véletlenszerűen (nézegetés nélkül) kapunk egyet belőlük. Mennyi a valószínűsége, hogy az így kiválasztott labda kék lesz?

Megjegyzés. Valószínűségi problémák esetén történik valami (jelen esetben a labda elhúzása), aminek lehet eltérő eredmény- eredmény. Meg kell jegyezni, hogy az eredmény többféleképpen is megtekinthető. "Kihúztunk egy labdát" is eredmény. „Kihúztuk a kék labdát” – ez az eredmény. „Az összes lehetséges golyó közül ezt a bizonyos labdát húztuk ki” – ezt a legkevésbé általánosított eredményszemléletet nevezzük elemi eredménynek. A valószínűségszámítási képletben az elemi eredményeket értjük.

Döntés. Most kiszámítjuk a kék golyó kiválasztásának valószínűségét.
A esemény: "a kiválasztott labda kék lett"
Az összes lehetséges kimenetel száma: 9+3=12 (az összes húzható labda száma)
Az A eseményre kedvező kimenetelek száma: 3 (azoknak az eseményeknek a száma, amelyekben az A esemény bekövetkezett – vagyis a kék golyók száma)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Válasz: 0,25

Számítsuk ki ugyanerre a feladatra a piros golyó kiválasztásának valószínűségét.
A lehetséges kimenetelek száma változatlan marad, 12. A kedvező kimenetelek száma: 9. A kívánt valószínűség: 9/12=3/4=0,75

Bármely esemény valószínűsége mindig 0 és 1 között van.
Néha a mindennapi beszédben (de a valószínűségszámításban nem!) az események valószínűségét százalékban becsülik. A matematikai és a társalgási értékelés közötti átmenet 100%-kal való szorzással (vagy osztással) történik.
Így,
Ebben az esetben a valószínűsége nulla azoknak az eseményeknek, amelyek nem történhetnek meg – valószínűtlen. Például a mi példánkban ez annak a valószínűsége lenne, hogy zöldlabdát húzzunk a kosárból. (A kedvező kimenetelek száma 0, P(A)=0/12=0, ha a képlet szerint számoljuk)
Az 1. valószínűségnek vannak olyan eseményei, amelyek teljesen biztosan meg fognak történni, opciók nélkül. Például annak a valószínűsége, hogy "a kiválasztott labda piros vagy kék lesz" a mi problémánk. (Kedvező eredmények száma: 12, P(A)=12/12=1)

Megnéztünk egy klasszikus példát, amely illusztrálja a valószínűség meghatározását. Mindegyik hasonló HASZNÁLJON feladatokat a valószínűségszámítás szerint ennek a képletnek az alkalmazásával oldjuk meg.
Piros és kék golyók helyett lehetnek alma és körte, fiúk és lányok, tanult és nem tanult jegyek, adott témában kérdést tartalmazó és nem tartalmazó jegyek (prototípusok , ), hibás és jó minőségű táskák vagy kerti szivattyúk (prototípusok) , ) - az elv ugyanaz marad.

Kissé eltérnek egymástól az USE valószínűségelmélet problémájának megfogalmazásában, ahol ki kell számítani egy adott napon bekövetkező esemény valószínűségét. ( , ) Az előző feladatokhoz hasonlóan itt is meg kell határozni, hogy mi az elemi eredmény, majd alkalmazni kell ugyanazt a képletet.

2. példa A konferencia három napig tart. Az első és a második napon 15-15 előadó, a harmadik napon - 20. Mennyi a valószínűsége, hogy M. professzor beszámolója a harmadik napra esik, ha sorsolással határozzák meg a beszámolók sorrendjét?

Mi itt az elemi eredmény? - Professzori jelentés hozzárendelése egy beszéd lehetséges sorszámához. A sorsoláson 15+15+20=50 fő vesz részt. Így M. professzor jelentése az 50 szám egyikét kaphatja. Ez azt jelenti, hogy csak 50 elemi eredmény létezik.
Mik a kedvező eredmények? - Azok, amelyekben kiderül, hogy a professzor harmadnap fog megszólalni. Azaz az utolsó 20 szám.
A képlet szerint a valószínűség P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Válasz: 0.4

A sorsolás itt véletlenszerű levelezés létrehozása az emberek és a megrendelt helyek között. A 2. példában az egyeztetést abból a szempontból vettük figyelembe, hogy egy adott személy mely helyek közül kerülhet ki. Ugyanezt a helyzetet meg lehet közelíteni a másik oldalról is: az emberek közül ki milyen valószínűséggel juthat el egy adott helyre (prototípusok , , , ):

3. példa A sorsoláson 5 német, 8 francia és 3 észt vesz részt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első (/második/hetedik/utolsó - mindegy) francia lesz.

Az elemi eredmények száma az összes száma lehetséges emberek akik sorsolás útján bekerülhettek adott hely. 5+8+3=16 fő.
Kedvező eredmények - a franciák. 8 fő.
Kívánt valószínűség: 8/16=1/2=0,5
Válasz: 0,5

A prototípus kicsit más. Vannak az érmékkel () és a kockákkal () kapcsolatos feladatok, amelyek valamivel kreatívabbak. Ezekre a problémákra megoldások találhatók a prototípus oldalakon.

Íme néhány példa az érme- vagy kockafeldobásra.

4. példa Amikor feldobunk egy érmét, mekkora a valószínűsége annak, hogy farkat kapunk?
2. eredmény – fej vagy farok. (Úgy tartják, hogy az érme soha nem esik a szélére) Kedvező eredmény - farok, 1.
Valószínűség 1/2=0,5
Válasz: 0,5.

5. példa Mi van, ha kétszer feldobunk egy érmét? Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindkét alkalommal előkerül?
A lényeg az, hogy meghatározzuk, hogy két érme feldobásakor milyen alapvető eredményeket vesszük figyelembe. Két érme feldobása után a következő eredmények egyike következhet be:
1) PP - mindkét alkalommal feljött a farok
2) PO – először farok, másodszor fejek
3) OP - első alkalommal fejek, másodszor farok
4) OO – mindkétszer fejjel
Nincs más lehetőség. Ez azt jelenti, hogy 4 elemi kimenetel van, csak az első kedvező, 1.
Valószínűség: 1/4=0,25
Válasz: 0,25

Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy érme két feldobása a farokra esik?
Az elemi kimenetek száma megegyezik, 4. Kedvező eredmény a második és a harmadik, 2.
Egy farok megszerzésének valószínűsége: 2/4=0,5

Ilyen problémák esetén egy másik képlet jól jöhet.
Ha egy pénzfeldobással lehetőségek 2 eredményünk van, akkor két dobásnál 2 2=2 2 =4 lesz az eredmény (mint az 5. példában), három dobásnál 2 2 2=2 3 =8, négynél: 2 2 2 2 =2 4 = 16, … N dobásra 2·2·...·2=2 N lehetséges kimenetel van.

Tehát megtalálhatja annak valószínűségét, hogy 5 érmefeldobásból 5 farokot kap.
Az elemi eredmények száma összesen: 2 5 =32.
Kedvező eredmények: 1. (RRRRRR - mind az 5-ször farok)
Valószínűség: 1/32=0,03125

Ugyanez igaz a kockákra is. Egy dobással 6 eredmény lehetséges, tehát két dobásnál: 6 6=36, háromnál 6 6 6=216 stb.

6. példa Dobunk egy kockát. Mennyi a valószínűsége annak, hogy páros számot kapunk?

Összes eredmény: 6, az arcok számától függően.
Kedvező: 3 eredmény. (2, 4, 6)
Valószínűség: 3/6=0,5

7. példa Dobj két kockát. Mekkora a valószínűsége annak, hogy összesen 10-et dobnak? (kerekek századokig)

6 kimenetel lehetséges egy kockának. Így kettőre a fenti szabály szerint 6·6=36.
Milyen kimenetelek lesznek kedvezőek ahhoz, hogy összesen 10 kiessen?
A 10-et két szám összegére kell bontani 1-től 6-ig. Ezt kétféleképpen lehet megtenni: 10=6+4 és 10=5+5. Tehát a kockák esetében a következő lehetőségek állnak rendelkezésre:
(6 az elsőn és 4 a másodikon)
(4 az elsőn és 6 a másodikon)
(5 az elsőn és 5 a másodikon)
Összesen 3 lehetőség. Kívánt valószínűség: 3/36=1/12=0,08
Válasz: 0,08

A B6-problémák egyéb típusairól a következő „Hogyan lehet megoldás” című cikkben lesz szó.

A prezentáció leírása egyes diákon:

1 csúszda

A dia leírása:

A valószínűségszámítás kulcsfontosságú feladatai Felkészülés az OGE No. 9 MBOU "Gymnasium No. 4 névre. MINT. Puskin” Összeállította: Sofina N.Yu.

2 csúszda

A dia leírása:

A matematikai felkészülés igazolható alapkövetelményei 9. szám OGE matematikában Olyan gyakorlati feladatok megoldása, amelyek a lehetőségek szisztematikus felsorolását igénylik; véletlenszerű események bekövetkezési esélyeinek összehasonlítása, véletlen esemény valószínűségeinek értékelése, valós helyzet modelljei összehasonlítása és feltárása a valószínűségszámítás és a statisztika apparátusával. 9. szám - alapfeladat. A feladat teljesítésének maximális pontszáma 1.

3 csúszda

A dia leírása:

Az A esemény valószínűsége az esemény számára kedvező kimenetek m számának aránya teljes szám n minden egyformán lehetséges összeférhetetlen esemény, amely egy próba vagy megfigyelés eredményeként bekövetkezhet. A valószínűség klasszikus definíciója Emlékezzünk vissza egy véletlen esemény klasszikus valószínűségének kiszámítására szolgáló képletre Р = n m

4 csúszda

A dia leírása:

A valószínűség klasszikus meghatározása Példa: A Szülői Bizottság 40 színezőlapot vásárolt ballagási ajándékokhoz gyerekeknek tanév. Ebből 14 A.S. meséi alapján készült. Puskin és 26 G.Kh. Andersen meséi alapján. Az ajándékokat véletlenszerűen osztják szét. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Nastya kap egy kifestőkönyvet A.S. meséi alapján. Puskin. Megoldás: m = 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Válasz: 0,35.

5 csúszda

A dia leírása:

Példa: 60 kérdés volt a vizsgán. Iván nem tanult meg közülük 3-at. Mekkora valószínűséggel találkozik a tanult kérdéssel. Megoldás: Itt n=60. Iván nem tanult 3-at, így az összes többit megtanulta, i.e. m=60-3=57. P=57/60=0,95. A valószínűség klasszikus meghatározása Válasz: 0,95.

6 csúszda

A dia leírása:

„A sorrendet sorsolás határozza meg” Példa: A tornabajnokságon 20 sportoló vesz részt: 8 Oroszországból, 7 USA-ból, a többiek Kínából. A tornászok teljesítményének sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az ötödik sportoló Kínából származik. Megoldás: A probléma feltételében van egy „varázslatos” szó „sok”, ami azt jelenti, hogy elfelejtjük a beszéd sorrendjét. így m= 20-8-7=5 (Kínából); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Válasz: 0,25.

7 csúszda

A dia leírása:

Példa: 5 napon belül tudományos konferenciát tartanak. Összesen 75 bejelentést terveznek - az első 3 nap, egyenként 17 jelentés, a többi egyenlő arányban oszlik el a 4. és az 5. nap között. A beszámolók sorrendjét sorsolás határozza meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Ivanov professzor jelentését a konferencia utolsó napjára időzítik? Megoldás: Tegyük fel az adatokat a táblázatba. Azt kaptuk, hogy m=12; n=75. P=12/75=0,16. Válasz: 0,16. „sorsolással meghatározott sorrend” I. nap II III IV V Összesen előadások száma 17 17 17 12 12 75

8 csúszda

A dia leírása:

Eseménygyakoriság A valószínűséghez hasonlóan az esemény gyakoriságát is megtaláljuk, melynek feladatai szintén a prototípusokban vannak. Mi a különbség? A valószínűség egy előre megjósolható érték, a gyakoriság pedig egy tényállítás. Példa: 0,045 annak a valószínűsége, hogy egy új táblagépet egy éven belül megjavítanak. Egy adott városban az év során eladott 1000 tabletből 51 darab érkezett a garanciális műhelybe. Mennyiben tér el a „garanciális javítás” esemény gyakorisága a városban előforduló valószínűségétől? Megoldás: Keresse meg az esemény gyakoriságát: 51/1000=0,051. És ennek valószínűsége 0,045 (feltétel szerint), ami azt jelenti, hogy ebben a városban a vártnál gyakrabban fordul elő a „garanciális javítás”. Határozzuk meg a különbséget ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Ugyanakkor figyelembe kell vennünk, hogy számunkra NEM a különbség előjele a fontos, hanem csak az abszolút értéke. Válasz: 0,006.

9 csúszda

A dia leírása:

Problémák az opciók számbavételével ("érmék", "gyufák") Legyen k az érmefeldobások száma, majd a lehetséges kimenetelek száma: n = 2k. Példa: Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét kétszer dobnak fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fejek pontosan egyszer jelennek meg. Megoldás: Érmeledobási lehetőségek: OO; VAGY; RR; RO. így n=4. Kedvező eredmények: RR és RR. Azaz m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Válasz: 0,5.

10 csúszda

A dia leírása:

Példa: Indítás előtt labdarúgó mérkőzés A játékvezető feldob egy érmét, hogy eldöntse, melyik csapatnál lesz előbb a labda. A "Mercury" csapat felváltva játszik a "Mars", "Jupiter", "Uranus" csapatokkal. Mekkora a valószínűsége annak, hogy minden mérkőzésen a labda birtoklási jogát a "Mercury" csapat nyeri el? Problémák az opciók felsorolásával ("érmék", "mérkőzések") Megoldás: Jelöljük a "Mercury" csapat első labdájának birtoklási jogát a másik három csapat valamelyikével vívott mérkőzésen "Farkok"-ként. Ekkor ennek a csapatnak a második labdájának birtoklási joga „Sas”. Tehát írjuk fel egy érme háromszori feldobásának összes lehetséges kimenetelét. "O" - fejek, "R" - farok. ; azaz n=8; m=1. P=1/8=0,125. Válasz: 0,125 n = 23 "Mars" "Jupiter" "Uránusz"

11 csúszda

A dia leírása:

Feladatok "kockán" (kocka) Legyen k a kockadobások száma, majd a lehetséges kimenetelek száma: n = 6k. Példa: Dasha kétszer dob egy kockával. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összesített értéke 8-at dobott. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra. Válasz: 0,14. Megoldás: A két kocka összege 8 pont legyen. Ez akkor lehetséges, ha a következő kombinációk vannak: 2 és 6 6 és 2 3 és 5 5 és 3 4 és 4 m= 5 (5 megfelelő kombinációk) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

12 csúszda

A dia leírása:

Független események és a szorzás törvénye Az 1., 2. és n-edik esemény megtalálásának valószínűségét a következő képlet határozza meg: Р= Р1*Р2*…*Рn Példa: Egy biatlonos ötször lő célba. Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,8. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a biatlonos az első három alkalommal eltalálta a célokat, és az utolsó kettőt eltévesztette. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra. Válasz: 0,02. Megoldás: Minden következő felvétel eredménye nem függ az előzőektől. Ezért az események „eltalálják az első lövést”, „találják a második lövést” stb. független. Minden találat valószínűsége 0,8. Tehát a kihagyás valószínűsége 1 - 0,8 = 0,2. 1 lövés: 0,8 2 lövés: 0,8 3 lövés: 0,8 4 lövés: 0,2 5 lövés: 0,2 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 csúszda

A dia leírása:

Az "és" törvények és a "vagy" törvények kombinációi Példa: Egy iroda 3 különböző cég alkalmazottainak vásárol papírárut. Ráadásul az 1. cég termékei az összes szállítás 40%-át teszik ki, a 2. cég többi része pedig egyenlő arányban oszlik meg. Kiderült, hogy a 2. cég tollainak 2%-a hibás. A házasságkötések aránya az 1. és 3. cégeknél 1%, illetve 3%. A alkalmazott egy új szállítmányból vett egy tollat. Keresse meg annak valószínűségét, hogy helyes lesz. Megoldás: A 2. és 3. cég termékei (100%-40%):2=30%-a a kínálatnak. P (házasság) = 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (szervizelhető tollak) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Válasz: 0,981.

Könnyű feladatok

25 pite van az asztalon: 7 - lekvárral, 9 - burgonyával, a többi káposztával. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott pite káposztával lesz?

0,36

A taxiban 40 autó dolgozik: 14 Lada márkájú, 8 Renault márkájú, 2 Mercedes márkájú, a többi Skoda márkájú. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy Mercedes érkezik a hívására?

0,05

Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy kockadobáskor legalább három szám jön ki.

Ira, Dima, Vasya, Natasha és Andrey 60 méteren teljesítik a szabványt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a lány fut a leggyorsabban?

0,83 annak a valószínűsége, hogy egy aluljáróban vásárolt telefon hamis. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az átálláskor vásárolt telefon nem lesz hamisítvány?

0,17

A kosárlabda tornán 20 csapat vesz részt, köztük a „Srácok” csapata. Minden csapat 4 csoportra van osztva: A, B, C, D. Mennyi a valószínűsége, hogy a „Srácok” csapat az A csoportba kerül?

0,25

A lottózsák 5-től 94-ig számozott hordókat tartalmaz. Mennyi a valószínűsége, hogy a zsákból kivett hordó kétjegyű számot tartalmaz? Válaszát kerekítse a legközelebbi századra.

0,94

A vizsga előtt Igor elérte az utolsót, és csak 5 jegyet tudott megtanulni a 80-ból. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy tanult jeggyel találkozik!

0,0625

Anya bekapcsolja a rádiót, és véletlenszerűen kiválaszt egy rádióhullámot. A rádióvevője összesen 20 rádióhullámot fog fel, és ebből csak 7-et Ebben a pillanatban zene szól. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Anya zenei hullámra esik.

0,35

Minden huszadik üveg üdítőben a kupak alatt egy win kód van elrejtve. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megvásárolt palack kupakja alatt nyerőkód lesz.

0,05

A feladatok nehezebbek

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott háromjegyű szám osztható 5-tel?

0,2

Öt tanuló magasságát (cm-ben) rögzítjük: 166, 158, 132, 136, 170. Mennyiben tér el ennek a számhalmaznak a számtani középértéke a mediánjától?

Egy kis ország statisztikái alapján ismert, hogy 0,507 annak a valószínűsége, hogy fiú lesz a baba. 2017-ben 1000 csecsemőre átlagosan 486 lány jutott ebben az országban. Mennyiben tér el a női születések gyakorisága 2017-ben ebben az országban ennek az eseménynek a valószínűségétől?

0,007

Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a két kihúzott szám összege 3 vagy 7. A válaszát kerekítse a legközelebbi századra!

0,22

Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott háromjegyű szám osztható 2-vel?

0,5

Határozza meg annak valószínűségét, hogy két érmefeldobás pontosan egyszer ér fel.

0,5

Kétszer dobnak egy kockát. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy mindkét alkalommal háromnál nagyobb szám kerül elő. Válaszát kerekítse a legközelebbi századra.

0,31

Egy kis ország statisztikái szerint 0,594 annak a valószínűsége, hogy egy kisbaba fiú lesz. 2017-ben 1000 csecsemőre átlagosan 513 lány jutott ebben az országban. Mennyiben tér el a női születések gyakorisága 2017-ben ebben az országban ennek az eseménynek a valószínűségétől?

0,107

Öt tanuló magasságát (cm-ben) rögzítjük: 184, 145, 176, 192, 174. Mennyiben tér el ennek a számhalmaznak a számtani középértéke a mediánjától?

1,8

"Óriások" falu lakóinak átlagos magassága 194 cm. Nyikolaj Petrovics magassága 195 cm. Az alábbi állítások közül melyik igaz?

1) Az egyik falusi ember magassága 194 cm.

2) Nyikolaj Petrovics a falu legmagasabb lakója.

3) Biztosan lesz legalább egy ember ebből a faluból Nyikolaj Petrovics alatt.

4) Biztosan lesz legalább egy lakos ebből a faluból Nyikolaj Petrovics alatt.

4

Nehéz feladatok

A lövő 4-szer lő fegyverrel a célokra. Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel pontosan eltalálja a célpontot, 0,5. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő az első két alkalommal eltalálja a célt, és eltéveszti az utolsó kettőt.

0,0625

Annak a valószínűsége, hogy az akkumulátor hibás, 0,05. A vásárló az üzletben véletlenszerű csomagot választ két elemmel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét akkumulátor jó.

0,9025

A lövő egymás után 5-ször lő a célokra. A cél eltalálásának valószínűsége lövéskor 0,7. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő az első négy alkalommal eltalálta a célt, és utoljára eltévedt. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.

A valóságban vagy a képzeletünkben előforduló eseményeket 3 csoportba sorolhatjuk. Ezek bizonyos események, amelyeknek meg kell történniük, lehetetlen események és véletlenszerű események. A valószínűségszámítás véletlenszerű eseményeket vizsgál, pl. események, amelyek előfordulhatnak vagy nem. Ezt a cikket bemutatjuk összefoglaló valószínűségszámítási képletek és példák a valószínűségszámítási feladatok megoldására, ami a USE matematika 4. feladatában lesz (profilszint).

Miért van szükségünk a valószínűségelméletre?

Történelmileg e problémák tanulmányozásának igénye a 17. században merült fel, az ún. szerencsejátékés a kaszinó megjelenése. Valóságos jelenség volt, amely tanulmányozást és kutatást igényelt.

A kártyázás, a kocka, a rulett olyan helyzeteket teremtett, ahol a véges számú egyformán valószínű esemény bármelyike ​​bekövetkezhet. Számszerű becslést kellett adni egy esemény bekövetkezésének lehetőségére.

A 20. században világossá vált, hogy ez a látszólag komolytalan tudomány fontos szerepet játszik a mikrokozmoszban lezajló alapvető folyamatok megértésében. Elkészült modern elmélet valószínűségek.

A valószínűségszámítás alapfogalmai

A valószínűségszámítás vizsgálatának tárgya az események és azok valószínűségei. Ha az esemény összetett, akkor egyszerű komponensekre bontható, amelyek valószínűségét könnyű megtalálni.

Az A és B események összegét C eseménynek nevezzük, ami abból áll, hogy vagy A vagy B esemény, vagy A és B esemény egy időben történt.

Az A és B események szorzata a C esemény, ami abból áll, hogy az A és a B esemény is megtörtént.

Az A és B események összeegyeztethetetlennek mondhatók, ha nem történhetnek meg egyszerre.

Egy A eseményről azt mondjuk, hogy lehetetlen, ha nem következhet be. Az ilyen eseményt a szimbólum jelöli.

Egy A eseményt akkor nevezünk bizonyosnak, ha biztosan bekövetkezik. Az ilyen eseményt a szimbólum jelöli.

Minden A eseményhez legyen hozzárendelve egy P(A) szám. Ezt a P(A) számot az A esemény valószínűségének nevezzük, ha az alábbi feltételek teljesülnek egy ilyen megfeleltetés mellett.

Fontos speciális eset az a helyzet, amikor egyformán valószínű elemi kimenetelek vannak, és ezek közül tetszőleges kimenetelű események alkotják az A eseményeket. Ebben az esetben a valószínűséget a képlettel lehet bevezetni. Az így bevezetett valószínűséget ún klasszikus valószínűség. Bizonyítható, hogy ebben az esetben az 1-4.

A matematikai vizsgán fellelhető valószínűségszámítási problémák főként a klasszikus valószínűségszámításhoz kapcsolódnak. Az ilyen feladatok nagyon egyszerűek lehetnek. Különösen egyszerűek a valószínűségszámítási problémák demó verziók. Könnyen kiszámítható a kedvező kimenetelek száma, az összes kimenet száma közvetlenül a feltételbe van írva.

A választ a képlet szerint kapjuk.

Példa egy feladatra a matematika vizsgáról a valószínűség meghatározására

20 pite van az asztalon – 5 káposztával, 7 almával és 8 rizzsel. Marina pitét akar venni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy elviszi a rizstortát?

Döntés.

Összesen 20 kiegyenlíthető elemi eredmény van, vagyis Marina a 20 pite bármelyikét el tudja venni. De meg kell becsülnünk annak valószínűségét, hogy Marina elviszi a rizspogácsát, vagyis ahol A a rizspogácsát választja. Ez azt jelenti, hogy összesen 8 kedvező kimenetelünk van (rizses pite kiválasztása), majd a valószínűséget a következő képlet határozza meg:

Független, ellentétes és önkényes események

A feladatok nyitott bankjában azonban több mint nehéz feladatok. Ezért hívjuk fel az olvasó figyelmét a valószínűségszámításban vizsgált egyéb kérdésekre.

Az A és B eseményeket függetlennek nevezzük, ha mindegyik valószínűsége nem függ attól, hogy a másik esemény bekövetkezett-e.

B esemény abból áll, hogy A esemény nem következett be, azaz. B esemény ellentétes az A eseménnyel. Az ellenkező esemény valószínűsége egyenlő eggyel mínusz a közvetlen esemény valószínűsége, azaz. .

Összeadási és szorzási tételek, képletek

Tetszőleges A és B események esetén ezen események összegének valószínűsége megegyezik a közös eseményük valószínűsége nélküli valószínűségeik összegével, azaz. .

Az A és B független események esetében ezen események szorzatának valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával, azaz. ebben az esetben .

Az utolsó 2 állítást a valószínűségek összeadási és szorzási tételeinek nevezzük.

Nem mindig ilyen egyszerű megszámolni az eredmények számát. Bizonyos esetekben szükség van kombinatorikai képletekre. A legfontosabb az, hogy megszámoljuk a bizonyos feltételeknek megfelelő események számát. Néha az ilyen számítások önálló feladatokká válhatnak.

Hányféleképpen lehet 6 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen lehetőségek mindegyike a második tanuló elhelyezésének 5 módjának felel meg. A harmadik tanulónak 4 szabad hely van, a negyediknek - 3, az ötödiknek - 2, a hatodik az egyetlen megmaradt helyet. Az összes opció számának megtalálásához meg kell találnia a terméket, amelyet a 6-os szimbólum jelöl! és olvassa el a "hat faktoriális" kifejezést.

Általános esetben erre a kérdésre az n elem permutációinak számának képlete adja meg a választ, esetünkben .

Tekintsünk most egy másik esetet diákjainkkal. Hányféleképpen lehet 2 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen lehetőségek mindegyike a második tanuló elhelyezésének 5 módjának felel meg. Az összes lehetőség kiválasztásához meg kell találnia a terméket.

Általános esetben erre a kérdésre a választ az n elem k elemenkénti elhelyezésének képlete adja meg.

A mi esetünkben .

És az utolsó ebben a sorozatban. Hányféleképpen lehet kiválasztani 3 diákot a 6-ból? Az első tanulót 6, a másodikat 5, a harmadikat 4 módon lehet kiválasztani. De ezek között a lehetőségek között ugyanaz a három diák 6 alkalommal fordul elő. Az összes lehetőség számának meghatározásához ki kell számítania az értéket: . Általános esetben erre a kérdésre a választ az elemek elemenkénti kombinációinak számának képlete adja:

A mi esetünkben .

Példák a matematika vizsgán szereplő feladatok megoldására a valószínűség meghatározásához

Feladat 1. Gyűjteményből, szerk. Jascsenko.

Egy tányéron 30 pite van: 3 húsos, 18 káposzta és 9 cseresznye. Sasha véletlenszerűen választ egy pitét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy cseresznyével végez.

.

Válasz: 0.3.

2. feladat A gyűjteményből, szerk. Jascsenko.

Minden 1000 izzós tételben átlagosan 20 hibás. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy tételből véletlenszerűen kiválasztott villanykörte jó.

Megoldás: Az üzemképes izzók száma 1000-20=980. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a tételből véletlenszerűen vett izzó üzemképes lesz:

Válasz: 0,98.

0,67 annak a valószínűsége, hogy U. tanuló 9-nél több feladatot helyesen old meg egy matematikai teszten. Annak a valószínűsége, hogy U. több mint 8 feladatot helyesen old meg, 0,73. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy U. pontosan 9 feladatot old meg helyesen.

Ha elképzelünk egy számegyenest, és megjelöljük rajta a 8-as és 9-es pontot, akkor látni fogjuk, hogy az „U. pontosan 9 feladatot helyesen megoldani” szerepel az „U. több mint 8 feladatot helyesen megoldani", de nem vonatkozik a "W. több mint 9 feladatot helyesen megoldani.

Azonban az „U. több mint 9 feladatot helyesen megoldani" az „U. több mint 8 feladatot helyesen megoldani. Így, ha eseményeket jelölünk: „W. pontosan 9 feladatot old meg helyesen" - A-n keresztül, "U. több mint 8 feladatot helyesen megoldani" - B-n keresztül, "U. több mint 9 feladatot helyesen megoldani ”C-n keresztül. Ekkor a megoldás így fog kinézni:

Válasz: 0,06.

A geometria vizsgán a hallgató a vizsgakérdések listájából egy kérdésre válaszol. Annak a valószínűsége, hogy ez trigonometriai kérdés, 0,2. Annak a valószínűsége, hogy ez egy külső sarkok kérdés, 0,15. Ezzel a két témával egyszerre nincs kérdés. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hallgató a vizsgán e két téma valamelyikében kap kérdést.

Gondoljuk végig, milyen rendezvényeink vannak. Két összeférhetetlen eseményt kapunk. Vagyis a kérdés vagy a "Trigonometria", vagy a "Külső szögek" témához kapcsolódik. A valószínűségi tétel szerint az összeférhetetlen események valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével, meg kell találnunk ezen események valószínűségeinek összegét, azaz:

Válasz: 0,35.

A helyiséget három lámpás lámpa világítja meg. Annak a valószínűsége, hogy egy lámpa egy év alatt kiég, 0,29. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy lámpa nem ég ki egy éven belül.

Nézzük a lehetséges eseményeket. Három izzónk van, amelyek mindegyike más izzóktól függetlenül kiéghet, vagy nem. Ezek független események.

Ezután jelezzük az ilyen események változatait. Elfogadjuk a jelölést: - a villanykörte ég, - a villanykörte kiégett. És közvetlenül ezután kiszámítjuk egy esemény valószínűségét. Például egy olyan esemény valószínűsége, amelyben három független esemény „kiégett a villanykörte”, „bekapcsolt izzó”, „villanykörte bekapcsolva” történik: ahol a „villanykörte bekapcsolása” esemény valószínűségét a következő valószínűséggel számítjuk ki: a „villanykörte kikapcsol” eseménnyel ellentétes esemény, nevezetesen .

Vegyük észre, hogy csak 7 számunkra kedvező összeférhetetlen esemény van, ezek valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével: .

Válasz: 0,975608.

A képen egy másik probléma is látható:

Így Ön és én megértettük, mi az a valószínűségelmélet, képletek és problémamegoldási példák, amelyekhez a vizsga verziójában találkozhat.

Ez az előadás a valószínűségszámítási vizsgán leggyakrabban előforduló feladatokat mutatja be. Alapszintű feladatok. Az előadás segítséget nyújt mind a tanároknak az általánosító ismétlés óráin, mind a tanulóknak önképzés a vizsgára.

Letöltés:

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre fiókot magának ( fiókot) Google, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

VALÓSZÍNŰSÉG ELMÉLETI FŐFELADATOK Felkészülés az OGE-re

ÉRMEdobás

1. Egy érmét kétszer dobunk fel. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy fejet és egy farkot kapunk? Döntés: Egy érme feldobásakor két kimenetel lehetséges - „fejek” vagy „farok”. Két érme dobásakor - 4 eredmény (2 * 2 \u003d 4): „sas” - „farok” „farok” - „farok” „farok” - „sas” „sas” - „sas” Egy „sas” és egy A „farok” négyből két esetben esik ki. P(A)=2:4=0,5. Válasz: 0,5.

2. Háromszor dobunk fel egy érmét. Mennyi a valószínűsége, hogy két fejet és egy farkot kapunk? Megoldás: Ha eldobják három érme 8 kimenetel lehetséges (2*2*2=8): "sas" - "farok" - "farok" "farok" - "farok" - "farok" "farok" - "fejek" - "farok" "fejek" - "sas" - "farok" "farok" - "farok" - "fejek" "farok" - "sasok" - "sasok" "sasok" - "farok" - "sasok" "sasok" - "sasok" - " sasok" » Két "sas" és egy "farok" fog kiesni három eset nyolcból. P(A)=3:8=0,375. Válasz: 0,375.

3. Egy véletlenszerű kísérletben egy szimmetrikus érmét négyszer dobunk fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fejek soha nem jönnek fel. Megoldás: Négy érme dobásakor 16 kimenetel lehetséges: (2*2*2*2=16): Kedvező kimenetel - 1 (négy farok esik ki). P(A)=1:16=0,0625. Válasz: 0,0625.

KOCKAJÁTÉK

4. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kocka dobásakor háromnál több pontot dobtak. Megoldás: Összesen 6 lehetséges kimenetel van, a nagy számok 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Válasz: 0,5.

5. Egy kockát dobnak. Határozza meg a páros számú pont megszerzésének valószínűségét. Megoldás: Az összes lehetséges kimenetel - 6. 1, 3, 5 - páratlan számok; 2, 4, 6 páros számok. A páros számú pont megszerzésének valószínűsége 3:6=0,5. Válasz: 0,5.

6. Egy véletlenszerű kísérletben két kockát dobunk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy összesen 8 pontot kap. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra. Megoldás: Ennek az akciónak - két kocka dobása összesen 36 lehetséges kimenetelű, mivel 6² = 36. Kedvező eredmények: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 A nyolc pont megszerzésének valószínűsége 5:36 ≈ 0,14. Válasz: 0,14.

7. Dobj kétszer egy kockát. Összesen 6 pont esett ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az egyik dobáson 5-öt kap. Döntés: Összesen 6 pont – 5: 2 és 4; 4. és 2.; 3. és 3.; 1. és 5.; 5 és 1. Kedvező eredmények - 2. P(A)=2:5=0,4. Válasz: 0.4.

8. A vizsgán 50 jegy volt, ebből Timofey 5-öt nem tanult meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy megkapja a tanult jegyet. Megoldás: Timofey 45 jegyet tanult meg. P(A)=45:50=0,9. Válasz: 0.9.

VERSENYEK

9. A tornabajnokságon 20 sportoló vesz részt: 8 Oroszországból, 7 USA-ból, a többiek Kínából. A teljesítési sorrendet sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első versenyző Kínából származik. Megoldás: Összes eredmény 20. Kedvező eredmények 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Válasz: 0,25.

10. A lövöldözős versenyre Franciaországból 4, Angliából 5, Olaszországból 3 sportoló érkezett. Az előadások sorrendjét sorsolás határozza meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az ötödik sportoló Olaszországból származik. Megoldás: Az összes lehetséges kimenetel száma 12 (4 + 5 + 3 = 12). A kedvező kimenetelek száma 3. P(A)=3:12=0,25. Válasz: 0,25.

11. A tollaslabda bajnokság első fordulójának kezdete előtt a résztvevőket sorsolás útján véletlenszerűen játékpárokba osztják. Összesen 26 tollaslabdázó vesz részt a bajnokságban, köztük 12 oroszországi résztvevő, köztük Vladimir Orlov. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első körben Vlagyimir Orlov bármelyik oroszországi tollaslabdázóval fog játszani? Döntés: Összes végeredmény - 25 (Vlagyimir Orlov 25 tollaslabdázóval). Kedvező eredmények – (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Válasz: 0,44.

12. Az előadók versenye 5 napon belül kerül megrendezésre. Összesen 75 előadást hirdettek meg – minden országból egyet. Az első napon 27 előadás van, a többi egyenlő arányban oszlik el a hátralévő napokon. Az előadások sorrendjét sorsolás határozza meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Oroszország képviselőjének fellépése a harmadik versenynapon lesz? Döntés: Összes végeredmény - 75. A harmadik napon orosz előadók lépnek fel. Kedvező eredmények – (75-27): 4 = 12. P(A)=12:75=0,16. Válasz: 0,16.

13. Kolja kétjegyű számot választ. Mekkora a valószínűsége annak, hogy osztható 5-tel. Megoldás: Kétjegyű számok: 10;11;12;…;99. Összes végeredmény - 90. 5-tel osztható számok: 10; tizenöt; 20; 25; …; 90; 95. Kedvező eredmények - 18. P(A)=18:90=0,2. Válasz: 0.2.

KÜLÖNBÖZŐ FELADATOK A VALÓSZÍNŰSÉG MEGHATÁROZÁSÁRA

14. A gyár zacskókat gyárt. Átlagosan minden 170 minőségi táskára hat rejtett hibás táska jut. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megvásárolt táska jó minőségű lesz. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra. Megoldás: Összes kimenetel - 176. Kedvező kimenetel - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Válasz: 0,97.

15. Átlagosan minden 100 eladott akkumulátorból 94 akkumulátort töltenek fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vásárolt akkumulátor nincs feltöltve. Megoldás: Összes eredmény - 100. Kedvező kimenetel - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Válasz: 0,06.

FORRÁSOK http://mathgia.ru http://www.schoolmathematics.ru