A közös rendszer ax in nevezzük határozatlannak, ha. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása, megoldási módszerek, példák

A rendszer ún közös, vagy megoldható ha van legalább egy megoldása. A rendszer ún összeegyeztethetetlen, vagy oldhatatlan ha nincs megoldása.

Határozott, határozatlan SLAE.

Ha egy SLAE-nek van megoldása, és egyedi, akkor hívják bizonyosés ha a megoldás nem egyedi, akkor bizonytalan.

MÁTRIX EGYENLETEK

A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszer mátrixát valamint ismeretlen és szabad tagok mátrixoszlopai

Keressük meg a terméket

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ekkor a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer így írható fel

vagy rövidebb A∙X=B.

Itt a mátrixok Aés B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert. elemei ennek a rendszernek a megoldása. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.

Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Ekkor a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Amennyiben A -1 A = Eés E∙X=X, akkor a mátrixegyenlet megoldását a formában kapjuk meg X = A -1 B .

Vegye figyelembe, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra található, a mátrix módszer csak azokat a rendszereket tudja megoldani, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával.

Cramer-képletek

Cramer módszere szerint egymás után megtaláljuk fő rendszerazonosító, azaz az A mátrix determinánsa: D = det (a i j) és n segédhatározók D i (i= ), amelyeket a D determinánsból kapunk úgy, hogy az i-edik oszlopot szabad tagok oszlopával helyettesítjük.

A Cramer-képletek így néznek ki: D × x i = D i (i = ).

Ebből következik a Cramer-szabály, amely kimerítő választ ad a rendszerkompatibilitás kérdésére: ha a rendszer fő meghatározója nullától eltérő, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, amelyet a következő képletek határoznak meg: x i = D i / D.

Ha a D rendszer és az összes D i segéddetermináns fődeterminánsa = 0 (i= ), akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ha a rendszer fő determinánsa D = 0, és legalább egy segéddetermináns különbözik nullától, akkor a rendszer inkonzisztens.

Tétel (Cramer-szabály): Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyítás: Tekintsünk tehát egy 3 egyenletrendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet - be A21és 3. - on A 31:

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Tekintsük ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. A determináns 1. oszlop elemei szerinti bővítéséről szóló tétel szerint.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .

Végül is ezt könnyű belátni

Így megkapjuk az egyenlőséget: . Ennélfogva, .

A és egyenlőségeket hasonlóan levezetjük, ahonnan a tétel állítása következik.

Kronecker-Capelli tétel.

Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával.

Bizonyíték: Két szakaszra bomlik.

1. Legyen a rendszernek megoldása. Mutassuk meg azt.

Legyen a számok halmaza a megoldás a rendszerre. Jelölje a mátrix -edik oszlopával, . Ekkor , vagyis a szabad tagok oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Legyen . Tegyünk úgy, mintha . Aztán által . Alap mollban választunk . Rend van nála. A szabad tagok oszlopának ezen a minoron kell áthaladnia, különben ez lesz a mátrix alapmollja. A moll szabad kifejezések oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. A determináns tulajdonságai alapján hol az a determináns, amelyet a minorból kapunk, ha a szabad kifejezések oszlopát az oszlopra cseréljük. Ha az oszlop áthaladt a kisebb M-en, akkor -ben két egyforma oszlop lesz, ezért . Ha az oszlop nem ment át a mollon, akkor csak az oszlopok sorrendjében fog eltérni a mátrix r + 1 rendű molljától. Azóta . Ez tehát ellentmond a basic minor meghatározásának. Ezért hamis az a feltevés, hogy .

2. Hagyjuk . Mutassuk meg, hogy a rendszernek van megoldása. Mivel tehát a mátrix alapmollja a mátrix alapmollja. Hagyja, hogy az oszlopok átmenjenek a minoron . Ekkor a mátrix alap-moll tétele alapján a szabad tagok oszlopa a jelzett oszlopok lineáris kombinációja:

(1)

Beállítjuk , , , , és a maradék ismeretleneket nullával egyenlővé tesszük. Akkor ezekért az értékekért kapunk

Az egyenlőség (1) értelmében . Az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy a számok halmaza a megoldás a rendszerre. A megoldás megléte bebizonyosodott.

A fent tárgyalt rendszerben , és a rendszer konzisztens. A rendszerben , , és a rendszer inkonzisztens.

Megjegyzés: Bár a Kronecker-Capelli tétel lehetővé teszi annak meghatározását, hogy egy rendszer konzisztens-e, meglehetősen ritkán használják, főleg elméleti tanulmányok. Ennek az az oka, hogy a mátrix rangjának megállapítása során végzett számítások alapvetően megegyeznek a rendszer megoldása során végzett számításokkal. Ezért általában a és megtalálása helyett megoldást keresünk a rendszerre. Ha megtalálható, akkor megtanuljuk, hogy a rendszer konzisztens, és egyben megkapjuk a megoldását is. Ha nem találunk megoldást, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens.

Algoritmus egy tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldására (Gauss-módszer)

Legyen adott egy lineáris egyenletrendszer ismeretlenekkel. Meg kell találni annak általános megoldását, ha konzisztens, vagy megállapítani az inkonzisztenciát. Az ebben a részben bemutatott módszer közel áll a determináns számítási módszeréhez és a mátrix rangjának meghatározásához. A javasolt algoritmust ún Gauss módszer vagy az ismeretlenek egymást követő kiküszöbölésének módszere.

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát

A következő mátrixos műveleteket elemi műveleteknek nevezzük:

1. vonalak permutációja;

2. egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;

3. egy karakterlánc összeadása egy másik karakterlánccal, szorozva egy számmal.

Vegyük észre, hogy egy egyenletrendszer megoldásánál a determináns kiszámításával és a rang megállapításával ellentétben nem lehet oszlopokkal operálni. Ha az elemi műveletből kapott mátrixból visszaállítjuk az egyenletrendszert, akkor új rendszer egyenlő lesz az eredetivel.

Az algoritmus célja elemi műveletek sorozatának a mátrixra történő alkalmazásával annak biztosítása, hogy minden sor, kivéve talán az elsőt, nullákkal kezdődjön, és a nullák száma az első nem nulla elemig minden következőben. sor nagyobb, mint az előzőben.

Az algoritmus lépése a következő. Keresse meg a mátrix első nullától eltérő oszlopát. Legyen ez egy oszlop számmal. Találunk benne egy nem nulla elemet, és ezzel az elemmel felcseréljük a sort az első sorral. Annak érdekében, hogy ne halmozódjunk fel további jelölésekkel, feltételezzük, hogy a mátrixban ilyen sorváltás már megtörtént, azaz . Majd a második sorba az elsőt a számmal szorozva adjuk hozzá, a harmadikhoz az elsőt a számmal szorozva stb. Ennek eredményeként megkapjuk a mátrixot

(Az első null oszlopok általában hiányoznak.)

Ha a mátrixban van egy k számú sor, amelyben minden elem egyenlő nullával, és , akkor leállítjuk az algoritmus végrehajtását, és arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens. Valójában a kiterjesztett mátrixból visszaállítva az egyenletrendszert, azt kapjuk, hogy a -edik egyenlet alakja lesz

Ez az egyenlet nem felel meg egyetlen számkészletnek sem .

A mátrix felírható így

A mátrix vonatkozásában az algoritmus leírt lépését hajtjuk végre. Szerezd meg a mátrixot

ahol , . Ez a mátrix ismét felírható így

és az algoritmus fenti lépését ismét alkalmazzuk a mátrixra.

A folyamat leáll, ha a következő lépés végrehajtása után az új redukált mátrix csak nullákból áll, vagy ha az összes sor kimerült. Vegye figyelembe, hogy a rendszer inkompatibilitására vonatkozó következtetés még korábban is megállíthatja a folyamatot.

Ha nem redukálnánk a mátrixot, akkor a végén a forma mátrixához jutnánk

Ezt követően a Gauss-módszer úgynevezett fordított áthaladását hajtjuk végre. A mátrix alapján egyenletrendszert állítunk össze. A bal oldalon hagyjuk az ismeretleneket minden sorban az első nem nulla elemnek megfelelő számokkal, azaz . Vedd észre, hogy. A fennmaradó ismeretlenek átkerülnek a jobb oldalra. Ha a jobb oldali ismeretleneket fix mennyiségnek tekintjük, a bal oldalon lévő ismeretleneket könnyű kifejezni velük.

Most tetszőleges értékeket adva a jobb oldalon lévő ismeretleneknek, és kiszámítva a bal oldalon lévő változók értékét, meg fogjuk találni különféle megoldások eredeti rendszer Ax=b. Az általános megoldás felírásához szükséges a jobb oldalon lévő ismeretleneket betűkkel tetszőleges sorrendben jelölni , beleértve azokat az ismeretleneket is, amelyek a nulla együtthatók miatt nincsenek kifejezetten a jobb oldalra írva, majd az ismeretlenek oszlopa felírható oszlopként, ahol minden elem tetszőleges értékek lineáris kombinációja (különösen csak egy tetszőleges érték ). Ez a bejegyzés lesz a rendszer általános megoldása.

Ha a rendszer homogén volt, akkor a homogén rendszer általános megoldását kapjuk. Az általános megoldás oszlopának minden elemében felvett együtthatók alkotják az alapmegoldásrendszerből az első megoldást, az együtthatókat, a második megoldást stb.

2. módszer: Egy homogén rendszer alapvető megoldási rendszere más módon is előállítható. Ehhez az egyik, jobb oldalra átvitt változóhoz 1 értéket kell rendelni, a többihez pedig nullákat. A bal oldali változók értékét kiszámítva egy megoldást kapunk az alaprendszerből. Ha a jobb oldali másik változóhoz 1 értéket, a többihez nullát adunk, az alaprendszerből a második megoldást kapjuk, és így tovább.

Meghatározás: a rendszert együttesen hívják th, ha van legalább egy megoldása, és inkonzisztens - egyébként, vagyis abban az esetben, ha a rendszernek nincs megoldása. Az a kérdés, hogy egy rendszernek van-e megoldása, nem csak az egyenletek számának és az ismeretlenek számának az arányával függ össze. Például egy három egyenletrendszer két ismeretlennel

megoldása van, sőt végtelen sok megoldása van, de két egyenletrendszere három ismeretlennel.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Ez a rendszer mindig konzisztens, mivel van egy triviális megoldása x 1 =…=x n =0

A nem triviális megoldások létezéséhez szükséges és elegendő ez

feltételek r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Az SLAE megoldások halmaza egy lineáris dimenziójú (n-r) teret alkot. Ez azt jelenti, hogy megoldásának egy számmal való szorzata, valamint véges számú megoldásának összege és lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása. Bármely SLAE lineáris megoldástere az R n tér altere.

Az SLAE bármely (n-r) lineárisan független megoldásának halmaza (amely bázis a megoldási térben) az ún. alapvető megoldáskészlet (FSR).

Legyen х 1 ,…,х r alapvető ismeretlenek, х r +1 ,…,х n szabad ismeretlenek. Sorra megadjuk a szabad változókat a következő értékeket:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Egy S lineáris teret (megoldások terét) képez, amely R n alterét jelenti (n az ismeretlenek száma), és dims=k=n-r, ahol r a rendszer rangja. Az (x (1) ,…, x (k) ) megoldási térben lévő bázist a megoldások alapvető rendszerének nevezzük, és az általános megoldásnak van formája:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Felső matematika » Lineáris rendszerek algebrai egyenletek» Alapfogalmak. Mátrix jelölés.

Lineáris algebrai egyenletrendszer. Alapfogalmak. Mátrix jelölés.

1. Lineáris algebrai egyenletrendszer definíciója. Rendszermegoldás. A rendszerek osztályozása.
2. Lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrixformája.

Lineáris algebrai egyenletrendszer definíciója. Rendszermegoldás. A rendszerek osztályozása.

Alatt lineáris algebrai egyenletrendszer(SLAE) rendszert jelent

\begin(egyenlet) \left \( \begin(igazított) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ lpont \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(igazított) \jobbra.\end(egyenlet)

A $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) paraméterek az ún. együtthatók, és $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - ingyenes tagok SLAU. Néha az egyenletek és ismeretlenek számának hangsúlyozására azt mondják, hogy "$m\x n$ lineáris egyenletrendszer" - jelezve ezzel, hogy az SLAE $m$ egyenletet és $n$ ismeretlent tartalmaz.

Ha az összes szabad kifejezés $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), akkor az SLAE ún. homogén. Ha a szabad tagok között van legalább egy nullától eltérő, akkor az SLAE meghívásra kerül heterogén.

SLAU határozat(1) bármely rendezett számgyűjtemény ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) meghívásra kerül, ha ennek a gyűjteménynek az elemei adott sorrendben helyettesítve vannak az ismeretlenek $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , minden SLAE-egyenletet azonossá fordít.

Minden homogén SLAE-nek van legalább egy megoldása: nulla(más terminológiával - triviális), i.e. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Ha az SLAE-nek (1) van legalább egy megoldása, akkor azt hívják közös ha nincsenek megoldások, összeegyeztethetetlen. Ha egy közös SLAE-nek pontosan egy megoldása van, akkor ún bizonyos, ha végtelen számú megoldás - bizonytalan.

1. példa

Vegye figyelembe a SLAE-t

\begin(egyenlet) \left \( \begin(igazított) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4=6 0.\\ \end(igazított)\jobbra.\end(egyenlet)

Van egy lineáris algebrai egyenletrendszerünk, amely $3$ egyenleteket és $5$ ismeretleneket tartalmaz: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Azt mondhatjuk, hogy egy $3\x5$ lineáris egyenletrendszer adott.

A (2) rendszer együtthatói az ismeretlenek előtti számok. Például az első egyenletben ezek a számok: $3,-4,1,7,-1$. A rendszer ingyenes tagjait a $11,-65.0$ számok jelölik. Mivel a szabad tagok között van legalább egy, nem az nulla, akkor a SLAE (2) inhomogén.

A megrendelt $(4;-11;5;-7;1)$ gyűjtemény a megoldás erre az SLAE-re. Ez könnyen ellenőrizhető, ha behelyettesíti a $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ az adott rendszer egyenleteibe:

\begin(igazított) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(igazított)

Természetesen felmerül a kérdés, hogy vajon az ellenőrzött megoldás az egyetlen. Az SLAE megoldások számának kérdését a vonatkozó témakörben tárgyaljuk.

2. példa

Vegye figyelembe a SLAE-t

\begin(egyenlet) \left \( \begin(igazított) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(igazított) \jobbra.\end(egyenlet)

A (3) rendszer egy SLAE, amely $5$ egyenleteket és $3$ ismeretleneket tartalmaz: $x_1,x_2,x_3$. Mivel ennek a rendszernek minden szabad tagja nulla, az SLAE (3) homogén. Könnyen ellenőrizhető, hogy a $(0;0;0)$ gyűjtemény az adott SLAE megoldása. Ha például a (3) rendszer első egyenletébe behelyettesítjük az $x_1=0, x_2=0,x_3=0$ értékeket, megkapjuk a megfelelő egyenlőséget: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . A más egyenletekre való behelyettesítés hasonló módon történik.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrixformája.

Minden SLAE-hez több mátrix társítható; sőt maga az SLAE felírható mátrixegyenletként. Az SLAE (1) esetében vegye figyelembe a következő mátrixokat:

Az $A$ mátrixot hívjuk rendszermátrix. Ennek a mátrixnak az elemei az adott SLAE együtthatói.

A $\widetilde(A)$ mátrixot hívjuk kiterjesztett mátrix rendszer. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a rendszermátrixhoz hozzáadunk egy $b_1,b_2,…,b_m$ szabad tagokat tartalmazó oszlopot. Általában ezt az oszlopot függőleges vonal választja el - az áttekinthetőség érdekében.

A $B$ oszlopmátrixot hívjuk szabad kifejezések mátrixa, és a $X$ oszlopmátrix - ismeretlenek mátrixa.

A fent bemutatott jelöléssel az SLAE (1) felírható mátrixegyenlet formájában: $A\cdot X=B$.

jegyzet

A rendszerhez tartozó mátrixok felírhatók különböző utak: minden a vizsgált SLAE változóinak és egyenleteinek sorrendjétől függ. De mindenesetre az ismeretlenek sorrendjének egy adott SLAE minden egyenletében azonosnak kell lennie (lásd a 4. példát).

3. példa

Írja be: SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ mátrix formában, és adja meg a rendszer kiterjesztett mátrixát.

Négy ismeretlenünk van, amelyek minden egyenletben a következő sorrendben következnek: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Az ismeretlenek mátrixa a következő lesz: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Ennek a rendszernek a szabad tagjait a $-5,0,-11$ számok fejezik ki, ezért a szabad tagok mátrixának alakja: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.

Térjünk át a rendszer mátrixának összeállítására. Ennek a mátrixnak az első sora tartalmazza az első egyenlet együtthatóit: $2.3,-5.1$.

A második sorba írjuk a második egyenlet együtthatóit: $4.0,-1.0$. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a második egyenletben szereplő $x_2$ és $x_4$ változókkal rendelkező rendszer együtthatói nullával egyenlőek (mivel ezek a változók hiányoznak a második egyenletből).

A rendszer mátrixának harmadik sorába írjuk a harmadik egyenlet együtthatóit: $0.14.8.1$. Figyelembe vesszük az együttható nullával való egyenlőségét a $x_1$ változónál (ez a változó hiányzik a harmadik egyenletből). A rendszermátrix így fog kinézni:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

A rendszermátrix és maga a rendszer közötti kapcsolat egyértelműbbé tétele érdekében egymás mellé írom az adott SLAE-t és annak rendszermátrixát:

Mátrix formában az adott SLAE így fog kinézni: $A\cdot X=B$. A kibővített bejegyzésben:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(tömb) \jobbra) $$

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát. Ehhez a rendszermátrixhoz $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ adjon hozzá egy oszlopot a szabad kifejezésekből (azaz $-5,0,-11$). A következőt kapjuk: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(tömb) \jobbra) $.

4. példa

Írja be a következőt: SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ mátrix formában, és adja meg a rendszer kiterjesztett mátrixát.

Amint láthatja, az ismeretlenek sorrendje az SLAE egyenleteiben eltérő. Például a második egyenletben a sorrend: $a,y,c$, de a harmadik egyenletben: $c,y,a$. Mielőtt az SLAE-t mátrix formában írná ki, a változók sorrendjét minden egyenletben azonossá kell tenni.

A változókat egy adott SLAE egyenleteiben rendezheti különböző utak(három változó elrendezésének módjainak száma $3!=6$). Az ismeretlenek sorrendjének két módját fogom megvizsgálni.

1. számú módszer

Vezessük be a következő sorrendet: $c,y,a$. Írjuk át a rendszert, helyezzük bele az ismeretleneket szükséges sorrendet: $\left \(\begin(igazított) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(igazított)\jobbra.$

Az érthetőség kedvéért a következőképpen írom le a SLAE-t: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(igazított)\jobbra.$

A rendszermátrix a következő: $ A=\left(\begin(array) (cccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( tömb) \jobbra) $. Szabad tagmátrix: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Az ismeretlenek mátrixának felírásakor ne felejtsük el az ismeretlenek sorrendjét: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Tehát az adott SLAE mátrix alakja a következő: $A\cdot X=B$. Kiterjesztett:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tömb) \jobbra) $$

A kiterjesztett rendszermátrix a következő: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.

2. számú módszer

Vezessük be a következő sorrendet: $a,c,y$. Írjuk át a rendszert, az ismeretleneket a kívánt sorrendbe helyezve: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(igazított)\jobbra.$

Az egyértelműség kedvéért a következőképpen írom le a SLAE-t: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25, \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ vége(igazított)\jobbra.$

A rendszermátrix a következő: $ A=\left(\begin(array) (cccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( tömb)\right)$. Szabad tagmátrix: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Az ismeretlenek mátrixának felírásakor ne felejtsük el az ismeretlenek sorrendjét: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Tehát az adott SLAE mátrix alakja a következő: $A\cdot X=B$. Kiterjesztett:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tömb) \jobbra) $$

A kiterjesztett rendszermátrix a következő: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(tömb) \jobbra) $.

Mint látható, az ismeretlenek sorrendjének megváltoztatása egyenértékű a rendszermátrix oszlopainak átrendezésével. De bármilyen legyen is az ismeretlenek elrendezése, egy adott SLAE minden egyenletében meg kell egyeznie.

Lineáris egyenletek

Lineáris egyenletek- egy viszonylag egyszerű matematikai téma, amely gyakran megtalálható az algebrai feladatokban.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek: alapfogalmak, típusai

Nézzük meg, mi ez, és hogyan oldják meg a lineáris egyenleteket.

Általában, lineáris egyenlet egy ax + c = 0 alakú egyenlet, ahol a és c tetszőleges számok vagy együtthatók, x pedig egy ismeretlen szám.

Például egy lineáris egyenlet a következő lenne:

Lineáris egyenletek megoldása.

Hogyan lehet lineáris egyenleteket megoldani?

A lineáris egyenletek megoldása meglehetősen egyszerű. Ehhez matematikai technikát alkalmaznak, mint pl identitás-átalakítás. Találjuk ki, mi az.

Példa egy lineáris egyenletre és megoldására.

Legyen ax + c = 10, ahol a = 4, c = 2.

Így a 4x + 2 = 10 egyenletet kapjuk.

A könnyebb és gyorsabb megoldás érdekében az első módszert alkalmazzuk identitás-átalakítás- vagyis az összes számot átvisszük az egyenlet jobb oldalára, az ismeretlent pedig 4x hagyjuk a bal oldalon.

Kap:

Így az egyenlet egy nagyon egyszerű feladattá redukálódik a kezdők számára. Csak az azonos transzformáció második módszerét kell használni - az egyenlet bal oldalán hagyva x-et, és a számokat át kell vinni a jobb oldalra. Kapunk:

Vizsgálat:

4x + 2 = 10, ahol x = 2.

A válasz helyes.

Lineáris egyenletgrafikon.

Kétváltozós lineáris egyenletek megoldásánál gyakran alkalmazzák az ábrázolási módszert is. A helyzet az, hogy az ax + wy + c \u003d 0 formájú egyenletnek általában sok megoldása van, mert sok szám illeszkedik a változók helyére, és az egyenlet minden esetben igaz marad.

Ezért a feladat megkönnyítése érdekében egy lineáris egyenlet grafikonját építjük fel.

Ennek felépítéséhez elegendő egy változó értékpárt venni - és a koordinátasíkon lévő pontokkal megjelölve egyenes vonalat húzni rajtuk. Ezen az egyenesen minden pont az egyenletünkben szereplő változók változata lesz.

Kifejezések, kifejezéskonverzió

A cselekvések sorrendje, szabályok, példák.

A numerikus, literális és változókat tartalmazó kifejezések rekordjukban különböző karaktereket tartalmazhatnak aritmetikai műveletek. A kifejezések konvertálásakor és a kifejezések értékének kiszámításakor a műveletek egy bizonyos sorrendben kerülnek végrehajtásra, más szóval meg kell figyelni a cselekvések sorrendje.

Ebben a cikkben kitaláljuk, mely műveleteket kell először végrehajtani, és melyeket utánuk. Kezdjük a legtöbbvel egyszerű esetek amikor a kifejezés csak számokat vagy változókat tartalmaz, amelyeket plusz, mínusz, szorzás és osztás kapcsol össze. Ezután elmagyarázzuk, hogy a műveletek végrehajtásának milyen sorrendjét kell követni a zárójeles kifejezésekben. Végezetül vegye figyelembe a műveletek végrehajtásának sorrendjét a hatványokat, gyököket és egyéb funkciókat tartalmazó kifejezésekben.

Először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás

Az iskola a következőket biztosítja egy szabály, amely meghatározza a műveletek végrehajtásának sorrendjét a zárójel nélküli kifejezésekben:

• a műveleteket balról jobbra haladva kell végrehajtani,
• ahol először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás történik.

A kimondott szabályt egészen természetesen érzékeljük. A balról jobbra haladó sorrendben történő műveletek végrehajtása azzal magyarázható, hogy nálunk általában balról jobbra haladva vezetünk nyilvántartást. És azt a tényt, hogy a szorzást és az osztást az összeadás és a kivonás előtt hajtják végre, azzal a jelentéssel magyarázható, amelyet ezek a műveletek magukban hordoznak.

Nézzünk néhány példát ennek a szabálynak az alkalmazására. Példákként a legegyszerűbb numerikus kifejezéseket vesszük, hogy a számítások ne zavarják el, hanem a műveletek végrehajtási sorrendjére összpontosítsunk.

Kövesse a 7-3+6 lépéseket.

Az eredeti kifejezés nem tartalmaz zárójeleket, és nem tartalmaz szorzást és osztást sem. Ezért az összes műveletet balról jobbra kell végrehajtani, azaz először 7-ből kivonunk 3-at, 4-et kapunk, majd a kapott 4-es különbséghez hozzáadunk 6-ot, és 10-et kapunk.

A megoldást röviden a következőképpen írhatjuk fel: 7−3+6=4+6=10.

Jelölje be a műveletek végrehajtásának sorrendjét a 6:2·8:3 kifejezésben.

A probléma kérdésének megválaszolásához forduljunk ahhoz a szabályhoz, amely a zárójel nélküli kifejezésekben a műveletek végrehajtásának sorrendjét jelzi. Az eredeti kifejezés csak a szorzás és osztás műveleteit tartalmazza, és a szabály szerint ezeket balról jobbra haladva kell végrehajtani.

Először osszuk el 6-ot 2-vel, szorozzuk meg ezt a hányadost 8-cal, végül osszuk el az eredményt 3-mal.

Alapfogalmak. Lineáris egyenletrendszerek

Számítsa ki a 17−5 6:3−2+4:2 kifejezés értékét!

Először is határozzuk meg, milyen sorrendben kell végrehajtani az eredeti kifejezésben szereplő műveleteket. Ez magában foglalja a szorzást és osztást, valamint az összeadást és kivonást is.

Először balról jobbra kell végrehajtania a szorzást és az osztást. Tehát megszorozzuk 5-öt 6-tal, 30-at kapunk, ezt a számot elosztjuk 3-mal, 10-et kapunk. Most 4-et osztunk 2-vel, így 2-t kapunk. és a 2-es érték 4:2 helyett 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Az így kapott kifejezésben már nincs szorzás és osztás, így marad a hátralévő műveletek balról jobbra haladó sorrendben történő végrehajtása: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

Először, hogy ne keverjük össze a műveletek végrehajtásának sorrendjét egy kifejezés értékének kiszámításakor, célszerű számokat elhelyezni a műveletek előjelei fölé, amelyek megfelelnek a végrehajtás sorrendjének. Az előző példa esetében ez így nézne ki: .

Ugyanezt a műveleti sorrendet - először szorzást és osztást, majd összeadást és kivonást - kell követni a szó szerinti kifejezésekkel végzett munka során.

Lap teteje

1. és 2. lépés

Egyes matematikai tankönyvekben az aritmetikai műveleteket az első és a második lépés műveleteire osztják fel. Foglalkozzunk ezzel.

Ezekben a feltételekben az előző bekezdésből származó szabály, amely meghatározza a műveletek végrehajtásának sorrendjét, a következőképpen lesz írva: ha a kifejezés nem tartalmaz zárójeleket, akkor balról jobbra sorrendben a második szakasz műveletei ( szorzás és osztás), majd az első szakasz műveleteit (összeadás és kivonás).

Lap teteje

Az aritmetikai műveletek végrehajtási sorrendje zárójeles kifejezésekben

A kifejezések gyakran tartalmaznak zárójeleket, amelyek jelzik a műveletek végrehajtásának sorrendjét. Ebben az esetben egy szabály, amely meghatározza a műveletek végrehajtásának sorrendjét a zárójeles kifejezésekben, a következőképpen fogalmazódik meg: először a zárójelben lévő műveleteket hajtjuk végre, miközben a szorzást és az osztást is balról jobbra sorrendben, majd az összeadást és a kivonást.

Tehát a zárójelben lévő kifejezéseket az eredeti kifejezés összetevőinek tekintjük, és a cselekvések általunk már ismert sorrendje megmarad bennük. Tekintsük a példák megoldásait a nagyobb érthetőség érdekében.

Hajtsa végre a jelzett lépéseket 5+(7-2 3) (6-4):2.

A kifejezés zárójeleket tartalmaz, ezért először hajtsuk végre a műveleteket a zárójelekbe zárt kifejezésekben. Kezdjük a 7−2 3 kifejezéssel. Ebben először a szorzást kell végrehajtani, és csak azután a kivonást, 7−2 3=7−6=1. A 6–4 zárójelben lévő második kifejezésre térünk át. Itt csak egy művelet van - kivonás, ezt 6−4=2-vel hajtjuk végre.

A kapott értékeket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. A kapott kifejezésben először balról jobbra szorzást és osztást, majd kivonást hajtunk végre, így 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 kapunk. Ezen az összes művelet befejeződött, a következő végrehajtási sorrendet tartottuk be: 5+(7−2 3) (6−4):2.

Írjuk fel rövid megoldás: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Előfordul, hogy egy kifejezés zárójeleket tartalmaz zárójelben. Ettől nem kell félnie, csak következetesen alkalmaznia kell a hangos szabályt a zárójeles kifejezésekben végzett műveletek végrehajtására. Mutassunk egy példamegoldást.

Hajtsa végre a műveleteket a 4+(3+1+4 (2+3)) kifejezésben.

Ez egy zárójeles kifejezés, ami azt jelenti, hogy a műveletek végrehajtását zárójelben lévő kifejezéssel kell kezdeni, azaz 3 + 1 + 4 (2 + 3) kifejezéssel.

Ez a kifejezés zárójeleket is tartalmaz, ezért először azokban kell végrehajtania a műveleteket. Tegyük így: 2+3=5. A talált értéket behelyettesítve 3+1+4 5-öt kapunk. Ebben a kifejezésben először szorzást, majd összeadást hajtunk végre, így van 3+1+4 5=3+1+20=24. A kezdeti érték ennek az értéknek a behelyettesítése után 4+24 alakot vesz fel, és már csak a műveletek befejezése marad hátra: 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

Általánosságban elmondható, hogy ha egy kifejezésben a zárójelben lévő zárójelek szerepelnek, gyakran célszerű a belső zárójelekkel kezdeni, és a külső zárójelek felé haladni.

Tegyük fel például, hogy műveleteket kell végrehajtanunk a (4+(4+(4−6:2))−1)−1 kifejezésben. Először belső zárójelben hajtjuk végre a műveleteket, mivel 4−6:2=4−3=1, majd ezután az eredeti kifejezés (4+(4+1)−1)−1 alakot ölt. Ismét a belső zárójelben hajtjuk végre a műveletet, mivel 4+1=5, így a következő (4+5−1)−1 kifejezéshez jutunk. Ismét zárójelben hajtjuk végre a műveleteket: 4+5−1=8, miközben a 8−1 különbséghez jutunk, ami 7-tel egyenlő.

Lap teteje

A műveletek végrehajtásának sorrendje a gyökökkel, hatványokkal, logaritmusokkal és egyéb függvényekkel rendelkező kifejezésekben

Ha a kifejezés hatványokat, gyököket, logaritmusokat, szinuszokat, koszinuszokat, érintőket és kotangenseket, valamint egyéb függvényeket tartalmaz, akkor ezek értékét a program az egyéb műveletek végrehajtása előtt számítja ki, figyelembe véve az előző bekezdések szabályait is, amelyek meghatározzák a a műveletek végrehajtásának sorrendje. Vagyis a felsorolt ​​dolgokat durván zárójelbe tettnek tekinthetjük, és tudjuk, hogy a zárójelben szereplő műveleteket hajtjuk végre először.

Nézzünk példákat.

Hajtsa végre a műveleteket a (3+1) 2+6 2:3−7 kifejezésben.

Ez a kifejezés 6 2 hatványt tartalmaz, értékét a többi lépés végrehajtása előtt ki kell számítani. Tehát hatványozást hajtunk végre: 6 2 \u003d 36. Ezt az értéket behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe, ez a következő formában lesz: (3+1) 2+36:3−7.

Ekkor minden világos: zárójelben végezzük el a műveleteket, ami után egy zárójel nélküli kifejezés marad, amelyben balról jobbra haladva először szorzást és osztást, majd összeadást és kivonást hajtunk végre. Van (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

Mások, köztük több összetett példák Ha a gyökökkel, fokokkal stb. rendelkező kifejezésekben műveleteket hajt végre, a kifejezésértékek kiszámítását a cikkben láthatja.

Lap teteje

Első lépések cselekvéseiösszeadásnak és kivonásnak, szorzásnak és osztásnak nevezzük második lépés lépései.

• Matematika: tanulmányok. 5 cellához. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Írja fel általános formában a lineáris algebrai egyenletrendszert!

Mi az a SLAE megoldás?

Egy egyenletrendszer megoldása n számból álló halmaz,

Ha melyiket behelyettesítjük a rendszerbe, minden egyenlet azonossággá válik.

Milyen rendszert nevezünk ízületnek (nem ízületnek)?

Egy egyenletrendszert akkor nevezünk konzisztensnek, ha van legalább egy megoldása.

Egy rendszert inkonzisztensnek nevezünk, ha nincs megoldása.

Melyik rendszert nevezzük határozottnak (határozatlannak)?

Egy közös rendszert határozottnak nevezünk, ha egyedi megoldása van.

Egy közös rendszert határozatlannak nevezünk, ha egynél több megoldása van.

Egyenletrendszer felírásának mátrix formája

A vektorrendszer rangja

Egy vektorrendszer rangja a lineárisan független vektorok maximális száma.

Mátrix rang és megtalálásának módjai

Mátrix rang- ennek a mátrixnak a minorjainak a legmagasabb rendje, amelynek determinánsa különbözik a nullától.

Az első módszer, a szegélyezési módszer a következő:

Ha minden kiskorú I. rendű, i.e. mátrixelemek egyenlőek nullával, akkor r=0 .

Ha az 1. rendű mollok közül legalább egy nem egyenlő nullával, és a 2. rendű összes moll egyenlő nullával, akkor r=1.

Ha a 2. rendű kiskorú nem nulla, akkor a 3. rendű kiskorúakat vizsgáljuk. Ily módon megkeresik a k-edik rendű mollokat, és ellenőrzik, hogy a k+1-edik rendű mollok nem egyenlők-e nullával.

Ha minden k+1 rendű minor egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő a k számmal. Az ilyen k+1 rendű minorokat általában a k-edik rendű moll "szélezésével" találjuk meg.

A második módszer a mátrix rangjának meghatározására a mátrix elemi transzformációinak alkalmazása, amikor átlós alakra emeljük. Egy ilyen mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő átlós elemek számával.

Inhomogén lineáris egyenletrendszer általános megoldása, tulajdonságai.

1. tulajdonság. A lineáris egyenletrendszer bármely megoldásának és a megfelelő homogén rendszer bármely megoldásának összege a lineáris egyenletrendszer megoldása.

2. tulajdonság.

Lineáris egyenletrendszerek: alapfogalmak

Egy inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely két megoldásának különbsége a megfelelő homogén rendszer megoldása.

Gauss módszer az SLAE megoldására

Sorozat:

1) összeállítjuk az egyenletrendszer kiterjesztett mátrixát

2) elemi transzformációk segítségével a mátrixot lépcsős formára redukáljuk

3) meghatározzák a rendszer kiterjesztett mátrixának és a rendszer mátrixának rangját, és létrejönnek a rendszer kompatibilitási vagy inkompatibilitásának egyezménye

4) kompatibilitás esetén az ekvivalens egyenletrendszert írjuk fel

5) megtaláljuk a rendszer megoldását. A fő változókat szabadon fejezzük ki

Kronecker-Capelli tétel

Kronecker - Capelli tétel- a lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitási kritériuma:

Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha főmátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, és a rendszernek egyedi megoldása van, ha a rang egyenlő az ismeretlenek számával, és egy végtelen megoldáshalmaz, ha a rang számnál kisebb ismeretlen.

Ahhoz, hogy egy lineáris rendszer konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával.

Mikor nincs megoldása a rendszernek, mikor egyetlen megoldása van, sok megoldása van?

Ha a rendszeregyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával, és főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldása van, homogén rendszer esetén pedig minden ismeretlen változók egyenlőek nullával.

Egy olyan lineáris egyenletrendszert, amelynek legalább egy megoldása van, konzisztensnek nevezzük. Ellenkező esetben, pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor inkonzisztensnek nevezzük.

A lineáris egyenleteket konzisztensnek nevezzük, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldás. A 14. példában a rendszer kompatibilis, az oszlop a megoldása:

Ez a megoldás mátrixok nélkül is felírható: x = 2, y = 1.

Egy egyenletrendszert határozatlannak nevezünk, ha egynél több megoldása van, és határozottnak, ha a megoldás egyedi.

15. példa: A rendszer határozatlan. Például ... a megoldásai. Az olvasó sok más megoldást is találhat erre a rendszerre.

A vektorok koordinátáira vonatkozó képletek a régi és az új bázisban

Tanuljuk meg először a lineáris egyenletrendszerek megoldását egy adott esetben. Az AX = B egyenletrendszert Cramer-nek nevezzük, ha А főmátrixa négyzet alakú és nem degenerált. Más szóval, a crameri rendszerben az ismeretlenek száma egybeesik az egyenletek számával és |A| = 0.

6. Tétel (Cramer-szabály). A Cramer lineáris egyenletrendszer egyedi megoldást kínál a következő képletekkel:

ahol Δ = |A| a fő mátrix determinánsa, Δi az A-ból kapott determináns, ha az i-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.

A bizonyítást n = 3 esetén hajtjuk végre, mivel általános esetben az érvek hasonlóak.

Tehát van egy Cramer rendszer:

Először is tegyük fel, hogy létezik megoldás a rendszerre, azaz vannak

Szorozzuk meg az elsőt. egyenlőség az aii elem algebrai komplementerén, a második egyenlőség - az A2i-n, a harmadik - az A3i-n, és hozzáadjuk a kapott egyenlőségeket:

Lineáris egyenletrendszer ~ A rendszer megoldása ~ Konzisztens és inkonzisztens rendszerek ~ Homogén rendszer ~ Homogén rendszer kompatibilitása ~ A rendszermátrix rangja ~ A nem triviális kompatibilitás feltétele ~ Megoldások alapvető rendszere. Általános megoldás ~ Homogén rendszer vizsgálata

Fontolja meg a rendszert m lineáris algebrai egyenletek tekintetében n ismeretlen
x 1, x 2, …, x n :

Döntés rendszert totalitásnak nevezzük n ismeretlen értékek

x 1 \u003d x' 1, x 2 \u003d x' 2, ..., x n \u003d x' n,

amelyek behelyettesítésekor a rendszer összes egyenlete azonossággá alakul.

A lineáris egyenletrendszer felírható mátrix formában:

ahol A- rendszermátrix, b- jobb oldali rész, x- kívánt megoldás Ap - kiterjesztett mátrix rendszerek:

.

Az olyan rendszert, amelynek legalább egy megoldása van, ún közös; rendszer, amelyre nincs megoldás összeegyeztethetetlen.

A homogén lineáris egyenletrendszer olyan rendszer, amelynek jobb oldala nullával egyenlő:

Egy homogén rendszer mátrixnézete: ax=0.

Egy homogén rendszer mindig konzisztens, mivel minden homogén lineáris rendszernek van legalább egy megoldása:

x 1 = 0, x 2 = 0, ..., x n \u003d 0.

Ha egy homogén rendszernek egyedi megoldása van, akkor ez az egyedi megoldás nulla, és a rendszert ún triviálisan közös. Ha egy homogén rendszernek több megoldása is van, akkor ezek között vannak nem nulla megoldások is, és ebben az esetben a rendszer ún. nem triviális ízület.

Bebizonyosodott, hogy at m=n a nem triviális rendszerkompatibilitás érdekében szükséges és elégséges hogy a rendszer mátrixának determinánsa egyenlő legyen nullával.

1. PÉLDA Egy homogén lineáris egyenletrendszer nem triviális kompatibilitása négyzetmátrixszal.

A Gauss-eliminációs algoritmust a rendszermátrixra alkalmazva a rendszermátrixot lépésformára redukáljuk

.

Szám r nem nulla sorokat egy mátrix lépéses formájában hívják mátrix rang, jelöli
r=rg(A) vagy r=Rg(A).

A következő állítás igaz.

Lineáris algebrai egyenletrendszer

Ahhoz, hogy egy homogén rendszer nem triviálisan konzisztens legyen, szükséges és elégséges, hogy a rang r rendszermátrix kisebb volt, mint az ismeretlenek száma n.

2. PÉLDA Három, négy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletből álló homogén rendszer nem triviális kompatibilitása.

Ha egy homogén rendszer nem triviálisan konzisztens, akkor végtelen számú megoldása van, és a rendszer tetszőleges megoldásainak lineáris kombinációja a megoldása is.
Bebizonyosodott, hogy egy homogén rendszer végtelen megoldáshalmaza között pontosan n-r lineárisan független megoldások.
Összesített n-r egy homogén rendszer lineárisan független megoldásait ún alapvető döntési rendszer. A rendszer bármely megoldása lineárisan fejeződik ki az alaprendszerben. Így ha a rang r mátrixok A homogén lineáris rendszer ax=0 kevesebb az ismeretlen nés vektorok
e 1 , e 2 , …, e n-r kialakítja alapvető megoldási rendszerét ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), akkor bármilyen megoldás x rendszerek ax=0 formába írható

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

ahol c 1 , c 2 , …, c n-r tetszőleges állandók. Az írott kifejezést ún közös megoldás homogén rendszer .

Kutatás

A homogén rendszer azt jelenti, hogy megállapítjuk, hogy nem triviálisan konzisztens-e, és ha igen, akkor keressünk egy alapvető megoldási rendszert, és írjunk le egy kifejezést a rendszer általános megoldására.

Homogén rendszert vizsgálunk Gauss-módszerrel.

a vizsgált homogén rendszer mátrixa, melynek rangja az r< n .

Az ilyen mátrixot a Gauss-elimináció lépcsős formává redukálja

.

A megfelelő ekvivalens rendszernek van formája

Innen könnyű kifejezéseket szerezni a változókhoz x 1, x 2, …, x r keresztül x r+1, xr+2, …, x n. Változók
x 1, x 2, …, x r hívott alapvető változókés változók x r+1, xr+2, …, x n - szabad változók.

A szabad változókat a jobb oldalra áthelyezve megkapjuk a képleteket

amelyek meghatározzák a rendszer átfogó megoldását.

Állítsuk egymás után egyenlőnek a szabad változók értékeit

és számítsa ki az alapváltozók megfelelő értékeit. Megkapta n-r A megoldások lineárisan függetlenek, és ezért a vizsgált homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét alkotják:

Homogén rendszer kompatibilitási vizsgálata Gauss módszerrel.

A gyakorlatban azonban még két eset széles körben elterjedt:

– A rendszer inkonzisztens (nincs megoldása);
A rendszer konzisztens és végtelenül sok megoldást tartalmaz.

jegyzet : a "konzisztencia" kifejezés azt jelenti, hogy a rendszernek van legalább valami megoldása. Számos feladatnál előzetesen meg kell vizsgálni a rendszer kompatibilitását, hogyan kell ezt megtenni - lásd a cikket mátrix rang.

Ezeknél a rendszereknél a leguniverzálisabb megoldási módszereket alkalmazzák - Gauss módszer. Valójában az „iskolai” út is elvezet a válaszhoz, de be felsőbb matematika Szokásos a Gauss-módszert használni az ismeretlenek egymást követő eliminálására. Aki nem ismeri a Gauss-módszer algoritmust, kérem, először tanulmányozza át a leckét Gauss módszer próbabábukhoz.

Maguk az elemi mátrixtranszformációk pontosan ugyanazok, a különbség a megoldás végén lesz. Először nézzünk meg néhány példát, ahol a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens).

1. példa

Mi az, ami azonnal megakad ebben a rendszerben? Az egyenletek száma kevesebb, mint a változók száma. Ha az egyenletek száma kisebb, mint a változók száma, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a rendszer vagy inkonzisztens, vagy végtelen sok megoldása van. És már csak ki kell deríteni.

A megoldás eleje teljesen hétköznapi - felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal lépéses formába hozzuk:

(1) A bal felső lépésben +1-et vagy -1-et kell kapnunk. Az első oszlopban nincsenek ilyen számok, így a sorok átrendezése nem fog működni. Az egységet önállóan kell megszervezni, és ez többféleképpen is megtehető. Ezt tettem: Az első sorhoz adja hozzá a harmadik sort, megszorozva -1-gyel.

(2) Most két nullát kapunk az első oszlopban. A második sorhoz hozzáadjuk az első sort 3-mal szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort 5-tel szorozva.

(3) Az átalakítás után mindig célszerű megnézni, hogy lehetséges-e egyszerűsíteni a kapott karakterláncokat? Tud. A második sort elosztjuk 2-vel, ugyanakkor a második lépésben megkapjuk a kívánt -1-et. Osszuk el a harmadik sort -3-mal.

(4) Adja hozzá a második sort a harmadikhoz.

Valószínűleg mindenki felfigyelt a rossz vonalra, amely az elemi átalakítások eredményeként alakult ki: . Nyilvánvaló, hogy ez nem lehet így. Valójában átírjuk a kapott mátrixot vissza a lineáris egyenletrendszerhez:

Ha az elemi transzformációk eredményeként olyan alakú karakterláncot kapunk, ahol nem nulla szám, akkor a rendszer inkonzisztens (nincs megoldása) .

Hogyan rögzítsük egy feladat végét? Rajzoljuk le fehér krétával: "elemi átalakítások eredményeképpen egy alaksort kapunk, ahol" és adjuk meg a választ: a rendszernek nincsenek megoldásai (inkonzisztens).

Ha a feltételnek megfelelően a rendszer kompatibilitásának FELFEDEZÉSE szükséges, akkor a koncepciót magában foglaló, szolidabb stílusú megoldást kell kiadni. mátrix rang és a Kronecker-Capelli tétel.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt nincs a Gauss-algoritmus fordított mozgása - nincsenek megoldások, és egyszerűen nincs mit találni.

2. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

Ez egy „csináld magad” példa. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén. Ismételten emlékeztetlek arra, hogy az Ön megoldási útvonala eltérhet az én megoldási útvonalamtól, a Gauss-algoritmusnak nincs erős „merevsége”.

Másik műszaki jellemző megoldások: az elemi transzformációk leállíthatók Egyszerre, amint egy olyan sort, mint , hol . Fontolgat feltételes példa: tegyük fel, hogy az első transzformáció után egy mátrixot kapunk . A mátrix még nem redukálódott lépcsős formára, de nincs szükség további elemi transzformációkra, hiszen megjelent a formának egy sora, ahol . Azonnal azt kell válaszolni, hogy a rendszer nem kompatibilis.

Ha egy lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása, az szinte ajándék, mert rövid megoldást kapunk, néha szó szerint 2-3 lépésben.

De ezen a világon minden kiegyensúlyozott, és a probléma, amelyre a rendszernek végtelenül sok megoldása van, csak hosszabb.

3. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

4 egyenlet és 4 ismeretlen van, tehát a rendszernek lehet egyetlen megoldása, vagy nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása lehet. Bármi is volt, de a Gauss-módszer mindenképpen elvezet bennünket a válaszhoz. Ebben rejlik a sokoldalúsága.

A kezdet ismét szabványos. Felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal lépésformára hozzuk:

Ez minden, és féltél.

(1) Vegye figyelembe, hogy az első oszlopban lévő összes szám osztható 2-vel, így a 2 megfelelő a bal felső létrafokon. A második sorhoz hozzáadjuk az első sort, megszorozva -4-gyel. A harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort, megszorozva -2-vel. A negyedik sorhoz hozzáadjuk az első sort, megszorozva -1-gyel.

Figyelem! Sokan kísértésbe eshetnek a negyedik sorból kivonni első sor. Ezt meg lehet tenni, de nem szükséges, a tapasztalat azt mutatja, hogy a számítási hiba valószínűsége többszörösére nő. Csak add össze: a negyedik sorhoz adja hozzá az első sort, megszorozva -1-gyel - pontosan!

(2) Az utolsó három sor arányos, ebből kettő törölhető.

Itt ismét meg kell mutatni fokozott figyelem, de tényleg arányosak a vonalak? Viszontbiztosításnál (különösen teáskannánál) nem lenne felesleges a második sort -1-gyel megszorozni, a negyedik sort pedig 2-vel osztani, így három egyforma sort kapunk. És csak ezután távolítson el kettőt.

Az elemi átalakítások eredményeként a rendszer kiterjesztett mátrixa lépcsőzetes formára redukálódik:

A feladat füzetben való elkészítésekor az áttekinthetőség kedvéért célszerű ugyanezeket a jegyzeteket ceruzával elkészíteni.

Átírjuk a megfelelő egyenletrendszert:

A rendszer „szokásos” egyetlen megoldásának itt nincs szaga. Nincs rossz sor sem. Ez azt jelenti, hogy ez a harmadik fennmaradó eset – a rendszernek végtelen sok megoldása van. Néha, feltételek szerint, szükséges a rendszer kompatibilitásának vizsgálata (vagyis annak bizonyítása, hogy egyáltalán létezik megoldás), erről a cikk utolsó bekezdésében olvashat. Hogyan lehet megtalálni a mátrix rangját? De most bontsuk le az alapokat:

A rendszer végtelen megoldási halmazát röviden az ún általános rendszermegoldás .

A rendszer általános megoldását a Gauss-módszer fordított mozgásával fogjuk megtalálni.

Először is meg kell határoznunk, hogy milyen változóink vannak alapvető, és mely változók ingyenes. Nem kell a lineáris algebra feltételeivel bajlódni, elég emlékezni arra, hogy vannak ilyenek bázisváltozókés szabad változók.

Az alapváltozók mindig szigorúan a mátrix lépcsőin „ülnek”..
NÁL NÉL ezt a példát az alapváltozók és

A szabad változók minden többi változók, amelyek nem kaptak lépést. A mi esetünkben ezek közül kettő van: – szabad változók.

Most kell minden bázisváltozók Expressz csak keresztül szabad változók.

A Gauss-algoritmus fordított mozgása hagyományosan alulról felfelé működik.
A rendszer második egyenletéből az alapváltozót fejezzük ki:

Most nézzük meg az első egyenletet: . Először behelyettesítjük a talált kifejezést:

Az alapváltozót szabad változókkal kell kifejezni:

Az eredmény az, amire szüksége van - minden az alapváltozók ( és ) vannak kifejezve csak keresztül szabad változók:

Valójában az általános megoldás készen áll:

Hogyan írjuk le az általános megoldást?
A szabad változók "önmagukban" és szigorúan a helyükre kerülnek az általános megoldásba. Ebben az esetben a szabad változókat a második és a negyedik pozícióba kell írni:
.

Az eredményül kapott kifejezések az alapváltozókhoz és nyilván az első és a harmadik pozícióba kell írni:

Szabad változók megadása tetszőleges értékek, végtelenül sok van privát döntések. A legnépszerűbb értékek a nullák, mivel az adott megoldást a legkönnyebb megszerezni. Csere az általános megoldásban:

ez magándöntés.

Az egyik egy másik édes pár, cseréljük be az általános megoldásba:

egy másik speciális megoldás.

Könnyen belátható, hogy az egyenletrendszer rendelkezik végtelenül sok megoldás(mivel szabad változókat adhatunk Bármiértékek)

Minden egyes egy adott megoldásnak meg kell felelnie mindenkinek rendszeregyenlet. Ez az alapja a megoldás helyességének „gyors” ellenőrzésének. Vegyünk például egy adott megoldást, és cseréljük be az eredeti rendszer minden egyenletének bal oldalára:

Mindennek össze kell jönnie. És minden adott megoldásnál mindennek konvergálnia kell.

De szigorúan véve egy adott megoldás ellenőrzése néha csal; egy adott megoldás kielégítheti a rendszer minden egyenletét, és magát az általános megoldást valójában helytelenül találjuk meg.

Ezért az általános megoldás ellenőrzése alaposabb és megbízhatóbb. Hogyan ellenőrizhető a kapott általános megoldás ?

Könnyű, de elég fárasztó. Kifejezéseket kell vennünk alapvető változók, ebben az esetben és , és cserélje be őket a rendszer minden egyenletének bal oldalára.

A rendszer első egyenletének bal oldalán:

A rendszer második egyenletének bal oldalán:


Az eredeti egyenlet jobb oldalát kapjuk.

4. példa

Oldja meg a rendszert Gauss módszerrel! Keressen egy általános és két privát megoldást. Ellenőrizze az általános megoldást.

Ez egy „csináld magad” példa. Itt egyébként megint kevesebb az egyenletek száma, mint az ismeretleneké, ami azt jelenti, hogy azonnal világos, hogy a rendszer vagy inkonzisztens lesz, vagy végtelen számú megoldással. Mi a fontos magában a döntési folyamatban? Figyelem, és még egyszer figyelem. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

És még néhány példa az anyag megerősítésére

5. példa

Oldja meg a lineáris egyenletrendszert! Ha a rendszernek végtelen sok megoldása van, keressen két konkrét megoldást, és ellenőrizze az általános megoldást

Döntés: Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát és elemi transzformációk segítségével hozzuk lépésformába:

(1) Adja hozzá az első sort a másodikhoz. A harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort 2-vel szorozva. A negyedik sorhoz hozzáadjuk az első sort 3-mal szorozva.
(2) A harmadik sorhoz adja hozzá a második sort, megszorozva -5-tel. A negyedik sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva -7-tel.
(3) A harmadik és a negyedik sor megegyezik, az egyiket töröljük.

Íme egy ilyen szépség:

Az alapváltozók lépcsőkön helyezkednek el, tehát alapváltozók.
Csak egy szabad változó van, amely nem kapott lépést:

Fordított mozgás:
Az alapváltozókat a szabad változóval fejezzük ki:
A harmadik egyenletből:

Tekintsük a második egyenletet, és cseréljük be a talált kifejezést:

Tekintsük az első egyenletet, és cseréljük be a talált kifejezéseket:

Igen, a közönséges törteket számoló számológép továbbra is kényelmes.

Tehát az általános megoldás:

Még egyszer: hogyan történt? A szabad változó egyedül a jogos negyedik helyen áll. Az alapváltozók eredményül kapott kifejezései szintén sorszámú helyüket foglalták el.

Azonnal ellenőrizzük az általános megoldást. Dolgozz a feketéknek, de már megcsináltam, szóval fogd meg =)

A rendszer minden egyenletének bal oldalába behelyettesítünk három hőst , :

Az egyenletek megfelelő jobb oldalait megkapjuk, így az általános megoldás helyesen található.

Most a megtalált általános megoldásból két konkrét megoldást kapunk. A séf itt az egyetlen szabad változó. Nem kell törni a fejét.

Akkor hagyd ez magándöntés.
Legyen , akkor legyen egy másik konkrét megoldás.

Válasz: Közös döntés: , speciális megoldások: , .

Itt nem kellett volna a feketékre emlékeznem ... ... mert mindenféle szadista motívumok jutottak eszembe, és eszembe jutott a jól ismert fotozhaba, amiben Ku Klux Klansmen fehér overálban fut át ​​a pályán egy fekete foci után. játékos. Ülök és csendesen mosolygok. Tudod milyen zavaró…

A sok matematika káros, ezért egy hasonló végső példa egy független megoldáshoz.

6. példa

Keresse meg a lineáris egyenletrendszer általános megoldását!

Az általános megoldást már megnéztem, a válaszban meg lehet bízni. Az Ön megoldása eltérhet az én megoldásomtól, a lényeg, hogy az általános megoldások egyezzenek.

Valószínűleg sokan észrevettek egy kellemetlen momentumot a megoldásokban: nagyon gyakran a Gauss-módszer fordított lefolyása során kellett babrálni. közönséges törtek. A gyakorlatban ez igaz, sokkal ritkábban fordulnak elő olyan esetek, amikor nincs tört. Legyen felkészült lelkileg, és ami a legfontosabb, technikailag.

Kitérek a megoldás néhány olyan jellemzőjére, amelyek a megoldott példákban nem szerepeltek.

A rendszer általános megoldása néha tartalmazhat konstanst (vagy állandókat), például: . Itt az egyik alapváltozó egy állandó számmal egyenlő: . Ebben nincs semmi egzotikus, előfordul. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben minden konkrét megoldás ötöst tartalmaz az első helyen.

Ritkán, de vannak olyan rendszerek, amelyekben egyenletek száma több mennyiséget változók. A Gauss-módszer a legsúlyosabb körülmények között is működik, nyugodtan kell a rendszer kiterjesztett mátrixát lépcsőzetes formába hozni a szabványos algoritmus szerint. Lehet, hogy egy ilyen rendszer inkonzisztens, végtelenül sok megoldást tartalmazhat, és furcsa módon egyedi megoldása is lehet.

Szolgálati megbízás. Az online számológépet lineáris egyenletrendszer tanulmányozására tervezték. Általában a probléma állapotában kell megtalálni a rendszer általános és sajátos megoldása. A lineáris egyenletrendszerek tanulmányozásakor a következő problémákat kell megoldani:

1. hogy a rendszer együttműködő-e;
2. ha a rendszer konzisztens, akkor határozott vagy határozatlan (a rendszerkompatibilitás kritériumát a tétel határozza meg);
3. ha a rendszer definiált, akkor hogyan találjuk meg egyedi megoldását (a Cramer-módszert, az inverz mátrix módszert vagy a Jordan-Gauss-módszert használják);
4. ha a rendszer határozatlan, akkor hogyan írja le a megoldásainak halmazát.

Lineáris egyenletrendszerek osztályozása

Egy tetszőleges lineáris egyenletrendszer alakja:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. Lineáris inhomogén egyenletrendszerek (a változók száma megegyezik az egyenletek számával, m = n).
2. Tetszőleges lineáris inhomogén egyenletrendszerek (m > n vagy m< n).

Meghatározás. Egy rendszer megoldása bármely c 1 ,c 2 ,...,c n számhalmaz, amelynek a rendszerbe való behelyettesítése a megfelelő ismeretlenek helyett a rendszer minden egyenletét azonossággá változtatja.

Meghatározás. Két rendszert egyenértékűnek mondunk, ha az első megoldása a második megoldása, és fordítva.

Meghatározás. Az olyan rendszert, amelynek legalább egy megoldása van, ún közös. Az olyan rendszert, amelynek nincs megoldása, inkonzisztensnek nevezzük.

Meghatározás. Egy egyedi megoldású rendszert ún bizonyos, és ha több megoldás is van, az határozatlan.

Algoritmus lineáris egyenletrendszerek megoldására

1. Keresse meg a fő és a kiterjesztett mátrixok rangsorait! Ha ezek nem egyenlőek, akkor a Kronecker-Capelli tétel szerint a rendszer inkonzisztens, és itt a vizsgálat véget ér.
2. Legyen rang(A) = rang(B) . Kiválasztjuk az alapmollt. Ebben az esetben minden ismeretlen lineáris egyenletrendszer két osztályra oszlik. Azokat az ismeretleneket, amelyek együtthatói az alapmollban szerepelnek, függőnek, azokat az ismeretleneket, amelyek együtthatói az alapmollban nem tartalmazzák, szabadnak nevezzük. Vegye figyelembe, hogy a függő és szabad ismeretlenek kiválasztása nem mindig egyedi.
3. Áthúzzuk a rendszer azon egyenleteit, amelyek együtthatói nem szerepeltek az alapmollban, mivel ezek a többi következményei (az alapmoll tétel szerint).
4. A szabad ismeretleneket tartalmazó egyenletek feltételei átkerülnek a jobb oldalra. Ennek eredményeként egy r egyenletrendszert kapunk, amelyben az adott egyenlet egyenértékű r ismeretlennel, és amelynek determinánsa különbözik nullától.
5. Az így kapott rendszert a következő módok egyikével lehet megoldani: Cramer módszerrel, inverz mátrix módszerrel vagy Jordan-Gauss módszerrel. Olyan kapcsolatokat találunk, amelyek a függő változókat a szabad változókkal fejezik ki.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldása kétségtelenül a lineáris algebra tanfolyam legfontosabb témája. A matematika minden ágából származó feladatok nagy száma a lineáris egyenletrendszerek megoldására redukálódik. Ezek a tényezők magyarázzák a cikk létrehozásának okát. A cikk anyaga úgy van megválogatva és felépített, hogy segítségével Ön is meg tudja tenni

• válassza ki a lineáris algebrai egyenletrendszer optimális megoldási módját,
• tanulmányozza a választott módszer elméletét,
• oldja meg lineáris egyenletrendszerét, miután részletesen átgondolta a tipikus példák és problémák megoldásait.

A cikk anyagának rövid ismertetése.

Először adjunk meg mindent szükséges definíciókat, fogalmak és bevezetni a jelölést.

Ezután megvizsgáljuk azokat a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldási módszereit, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és amelyeknek egyedi megoldása van. Először a Cramer-módszerre összpontosítunk, másodszor bemutatjuk az ilyen egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrixmódszert, harmadszor pedig a Gauss-módszert (az ismeretlen változók egymást követő kiküszöbölésének módszerét) elemezzük. Az elmélet megszilárdítása érdekében mindenképpen számos SLAE-t fogunk különféle módon megoldani.

Ezt követően térjünk át a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Általános nézet, amelyben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával vagy a rendszer főmátrixa degenerált. Megfogalmazzuk a Kronecker-Capelli tételt, amely lehetővé teszi az SLAE kompatibilitásának megállapítását. Elemezzük a rendszerek megoldását (kompatibilitásuk esetén) egy mátrix base moll fogalmával. Megfontoljuk a Gauss-módszert is, és részletesen leírjuk a példák megoldásait.

Ügyeljen arra, hogy foglalkozzon a homogén és inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek általános megoldásának szerkezetével. Adjuk meg az alapvető megoldási rendszer fogalmát, és mutassuk meg, hogyan íródik le az SLAE általános megoldása az alapvető megoldási rendszer vektorai segítségével. A jobb megértés érdekében nézzünk meg néhány példát.

Végezetül figyelembe vesszük a lineárisra redukált egyenletrendszereket, valamint különféle problémákat, amelyek megoldásában SLAE-k merülnek fel.

Oldalnavigáció.

Definíciók, fogalmak, megnevezések.

P lineáris algebrai egyenletekből álló rendszereket fogunk figyelembe venni n ismeretlen változóval (p egyenlő lehet n ) alakú

Ismeretlen változók, - együtthatók (néhány valós vagy komplex szám), - szabad tagok (valós vagy komplex számok is).

A SLAE ezen formáját hívják koordináta.

NÁL NÉL mátrix forma ennek az egyenletrendszernek az alakja,
ahol - a rendszer főmátrixa, - az ismeretlen változók mátrixoszlopa, - a szabad tagok mátrixoszlopa.

Ha az A mátrixhoz (n + 1)-edik oszlopként hozzáadjuk a szabad tagok mátrixoszlopát, akkor megkapjuk az ún. kiterjesztett mátrix lineáris egyenletrendszerek. Általában a kibővített mátrixot T betűvel jelöljük, és a szabad tagok oszlopát függőleges vonal választja el a többi oszloptól, azaz

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával Ismeretlen változók értékkészletének nevezzük, amely a rendszer összes egyenletét azonossággá alakítja. Az ismeretlen változók adott értékeihez tartozó mátrixegyenlet is azonossággá alakul.

Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös.

Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ún összeegyeztethetetlen.

Ha egy SLAE-nek egyedi megoldása van, akkor azt hívják bizonyos; ha egynél több megoldás létezik, akkor - bizonytalan.

Ha a rendszer összes egyenletének szabad tagja nulla , akkor a rendszer meghívásra kerül homogén, másképp - heterogén.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek elemi megoldása.

Ha a rendszeregyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával, és a fő mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen SLAE-ket hívjuk. alapvető. Az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldásuk van, és homogén rendszer esetén minden ismeretlen változó nullával egyenlő.

Az ilyen SLAE-ket ben kezdtük el tanulmányozni Gimnázium. Megoldásuk során felvettünk egy egyenletet, egy ismeretlen változót kifejeztünk a többiekkel, és behelyettesítettük a többi egyenletbe, majd felvettük a következő egyenletet, a következő ismeretlen változót kifejeztük és más egyenletekkel helyettesítettük, és így tovább. Vagy az összeadás módszerét alkalmazták, vagyis két vagy több egyenletet adtak hozzá néhány ismeretlen változó kiküszöbölésére. Ezekkel a módszerekkel nem foglalkozunk részletesen, mivel ezek lényegében a Gauss-módszer módosításai.

Az elemi lineáris egyenletrendszerek megoldásának fő módszerei a Cramer-módszer, a mátrix-módszer és a Gauss-módszer. Tegyük rendbe őket.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével.

Meg kell oldanunk egy lineáris algebrai egyenletrendszert

amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával és a rendszer főmátrixának determinánsa nullától eltérő, azaz.

Legyen a rendszer főmátrixának determinánsa, és olyan mátrixok determinánsai, amelyeket A-ból cserével kapunk 1., 2., …, n-edik oszlop, illetve a szabad tagok oszlopa:

Ilyen jelöléssel az ismeretlen változókat a Cramer-féle as módszer képleteivel számítjuk ki . Így találjuk meg a Cramer-módszerrel egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását.

Példa.

Cramer módszer .

Döntés.

A rendszer fő mátrixának van formája . Számítsa ki a meghatározóját (ha szükséges, lásd a cikket):

Mivel a rendszer főmátrixának determinánsa különbözik a nullától, a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg.

Állítsa össze és számítsa ki a szükséges determinánsokat! (a determinánst úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix első oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, a determinánst - ha a második oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, - az A mátrix harmadik oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük ):

Ismeretlen változók keresése képletekkel :

Válasz:

A Cramer-módszer fő hátránya (ha hátránynak nevezhető) a determinánsok kiszámításának bonyolultsága, ha a rendszeregyenletek száma több mint három.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).

Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix formában, ahol az A mátrix mérete n x n, determinánsa pedig nem nulla.

Mivel , akkor az A mátrix invertálható, azaz van inverz mátrix. Ha az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk a bal oldalon, akkor egy képletet kapunk az ismeretlen változók oszlopmátrixának megkeresésére. Így megkaptuk a lineáris algebrai egyenletrendszer mátrix módszerrel történő megoldását.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása mátrix módszer.

Döntés.

Írjuk át az egyenletrendszert mátrix alakban:

Mint

akkor az SLAE mátrix módszerrel megoldható. Az inverz mátrix segítségével ennek a rendszernek a megoldása a következőképpen kereshető .

Építsünk inverz mátrixot az A mátrix elemeinek algebrai komplementereinek mátrixával (ha szükséges, lásd a cikket):

Ki kell számítani - az ismeretlen változók mátrixát az inverz mátrix szorzásával az ingyenes tagok mátrixoszlopán (ha szükséges, lásd a cikket):

Válasz:

vagy más jelöléssel x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrix módszerrel történő megoldásának fő problémája az inverz mátrix megtalálásának bonyolultsága, különösen a harmadiknál ​​magasabb rendű négyzetmátrixok esetében.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk egy n darab ismeretlen változós lineáris egyenletrendszerre
amelynek főmátrixának determinánsa nullától eltérő.

A Gauss-módszer lényege ismeretlen változók egymást követő kizárásából áll: először x 1 ki van zárva a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, majd x 2 ki van zárva minden egyenletből, a harmadiktól kezdve, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változóig x n az utolsó egyenletben marad. A rendszer egyenleteinek transzformációját az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésére az ún. közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrefutásának befejezése után az utolsó egyenletből x n, az utolsó előtti egyenletből x n-1 kerül kiszámításra ezzel az értékkel, és így tovább, x 1 az első egyenletből. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. fordított Gauss-módszer.

Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.

Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Az ismeretlen x 1 változót kizárjuk a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve. Ehhez adjuk hozzá az első egyenletet szorozva a rendszer második egyenletéhez, adjuk hozzá az első szorzatot a harmadik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá az első egyenletet szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol egy .

Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha x 1-et más ismeretlen változókkal fejeznénk ki a rendszer első egyenletében, és az így kapott kifejezést behelyettesítenénk az összes többi egyenletbe. Így az x 1 változót a másodiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután hasonlóan járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk

Ehhez adjuk hozzá a második egyenletet szorozva a rendszer harmadik egyenletéhez, adjuk hozzá a másodikat szorozva a negyedik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá a másodikat szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol egy . Így az x 2 változót a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután továbblépünk az ismeretlen x 3 kiküszöbölésére, miközben hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel

Folytatjuk tehát a Gauss-módszer közvetlen menetét, amíg a rendszer fel nem veszi a formát

Ettől a pillanattól kezdve elkezdjük a Gauss-módszer fordított lefolyását: az utolsó egyenletből kiszámoljuk x n-t, a kapott x n érték felhasználásával az utolsó előtti egyenletből x n-1-et, és így tovább, a első egyenlet.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-módszer.

Döntés.

Zárjuk ki a rendszer második és harmadik egyenletéből az ismeretlen x 1 változót. Ehhez a második és a harmadik egyenlet mindkét részéhez hozzáadjuk az első egyenlet megfelelő részét, szorozva ezzel:

Most kizárjuk az x 2-t a harmadik egyenletből úgy, hogy a bal és jobb részéhez hozzáadjuk a második egyenlet bal és jobb oldali részét, megszorozva:

Ezen a Gauss-módszer előremenete befejeződött, elkezdjük a fordított pályát.

A kapott egyenletrendszer utolsó egyenletéből x 3-at találunk:

A második egyenletből azt kapjuk, hogy .

Az első egyenletből megtaláljuk a fennmaradó ismeretlen változót, és ezzel teljessé válik a Gauss-módszer fordított menete.

Válasz:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Általános esetben a p rendszer egyenleteinek száma nem esik egybe az n ismeretlen változók számával:

Az ilyen SLAE-knek nincs megoldása, egyetlen megoldásuk van, vagy végtelen sok megoldásuk van. Ez az állítás azokra az egyenletrendszerekre is vonatkozik, amelyek fő mátrixa négyzetes és degenerált.

Kronecker-Capelli tétel.

Mielőtt megoldást találnánk egy lineáris egyenletrendszerre, meg kell állapítani annak kompatibilitását. Arra a kérdésre, hogy mikor kompatibilis az SLAE, és mikor nem kompatibilis, megadja a választ Kronecker–Capelli tétel:
Ahhoz, hogy egy p egyenletrendszer n ismeretlennel (p egyenlő n-nel) konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer főmátrixának rangja egyenlő legyen a kiterjesztett mátrix rangjával, azaz Rank( A)=Ranghely(T) .

Példaként tekintsük a Kronecker-Capelli-tétel alkalmazását egy lineáris egyenletrendszer kompatibilitásának meghatározására.

Példa.

Nézze meg, hogy a lineáris egyenletrendszer rendelkezik-e megoldásokat.

Döntés.

. Használjuk a kiskorúak határolásának módszerét. Másodrendű minor különbözik a nullától. Nézzük a körülötte lévő harmadrendű kiskorúakat:

Mivel az összes szomszédos harmadrendű kiskorú nulla, a főmátrix rangja kettő.

Viszont a kiterjesztett mátrix rangja egyenlő hárommal, mivel a harmadrendű moll

különbözik a nullától.

És így, Rang(A) , ezért a Kronecker-Capelli-tétel szerint azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti lineáris egyenletrendszer inkonzisztens.

Válasz:

Nincs megoldási rendszer.

Tehát megtanultuk megállapítani a rendszer inkonzisztenciáját a Kronecker-Capelli tétel segítségével.

De hogyan találjuk meg az SLAE megoldását, ha a kompatibilitás megvan?

Ehhez szükségünk van a mátrix base moll fogalmára és a mátrix rangjára vonatkozó tételre.

Az A mátrix nullától eltérő legmagasabb rendű mollját hívjuk alapvető.

A base moll definíciójából következik, hogy sorrendje megegyezik a mátrix rangjával. Egy nem nulla A mátrixhoz több alapmoll is lehet, mindig van egy alapmoll.

Vegyük például a mátrixot .

Ennek a mátrixnak minden harmadrendű minorja nulla, mivel a mátrix harmadik sorának elemei az első és a második sor megfelelő elemeinek összege.

A következő másodrendű minorok alapvetőek, mivel nem nullák

Kiskorúak nem alapvetőek, mivel egyenlők nullával.

Mátrix rangtétel.

Ha egy p-rendű mátrix rangja r, akkor a mátrix sorainak (és oszlopainak) minden olyan eleme, amely nem képezi a választott bázis-mollt, lineárisan a sorok (és oszlopok) megfelelő elemeivel van kifejezve. ), amelyek a minor alapját képezik.

Mit ad nekünk a mátrix rangtétel?

Ha a Kronecker-Capelli tétellel megállapítottuk a rendszer kompatibilitását, akkor kiválasztjuk a rendszer főmátrixának tetszőleges alapmollját (sorrendje egyenlő r), és kizárunk a rendszerből minden olyan egyenletet, amely nem alkotják a választott alapmollt. Az így kapott SLAE ekvivalens lesz az eredetivel, mivel az eldobott egyenletek továbbra is redundánsak (a mátrix rangtétel szerint a fennmaradó egyenletek lineáris kombinációja).

Ennek eredményeként a rendszer túlzott egyenleteinek elvetése után két eset lehetséges.

Ha a kapott rendszerben az r egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor ez határozott lesz, és az egyetlen megoldás a Cramer-módszerrel, a mátrix-módszerrel vagy a Gauss-módszerrel érhető el.

Példa.

.

Döntés.

A rendszer főmátrixának rangja egyenlő kettővel, mivel a másodrendű moll különbözik a nullától. Kiterjesztett mátrix rang is egyenlő kettővel, mivel a harmadrendű egyetlen moll egyenlő nullával

és a fent vizsgált másodrendű moll eltér nullától. A Kronecker-Capelli tétel alapján megállapítható az eredeti lineáris egyenletrendszer kompatibilitása, hiszen Rank(A)=Rank(T)=2 .

Alapnak kisebbet vesszük . Az első és a második egyenlet együtthatói alkotják:


A rendszer harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért a mátrix rangtétel alapján kizárjuk a rendszerből:


Szóval megkaptuk elemi rendszer lineáris algebrai egyenletek. Oldjuk meg Cramer módszerével:


Válasz:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Ha az eredményül kapott SLAE-ben az r egyenletek száma kisebb, mint az n ismeretlen változók száma, akkor az alapmollt alkotó tagokat meghagyjuk az egyenletek bal oldali részeiben, a fennmaradó tagokat pedig átvisszük az egyenletek jobb oldali részébe. az ellenkező előjelű rendszer.

Az egyenletek bal oldalán maradó ismeretlen változókat (r darab van belőlük) ún. fő-.

A jobb oldalon kötött ismeretlen változókat (n - r van belőlük) hívjuk ingyenes.

Most feltételezzük, hogy a szabad ismeretlen változók tetszőleges értéket vehetnek fel, míg az r fő ismeretlen változót egyedi módon fejezzük ki a szabad ismeretlen változókkal. Kifejezésüket a kapott SLAE Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel történő megoldásával találhatjuk meg.

Vegyünk egy példát.

Példa.

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása .

Döntés.

Keresse meg a rendszer főmátrixának rangját! határos kiskorúak módszerével. Vegyünk egy 1 1 = 1-et nem nulla elsőrendű mollnak. Kezdjünk el keresni egy nem nulla másodrendű mollot, amely körülveszi ezt a minort:


Így találtunk egy nem nulla másodrendű mollot. Kezdjük el keresni egy nem nulla határos harmadrendű moll:


Így a fő mátrix rangja három. A kiterjesztett mátrix rangja szintén három, vagyis a rendszer konzisztens.

A megtalált, harmadrendű nem nulla moll alapnak számít.

Az érthetőség kedvéért bemutatjuk azokat az elemeket, amelyek a minor alapját képezik:


Az alapmollban részt vevő kifejezéseket a rendszer egyenleteinek bal oldalán hagyjuk, a többi ellentétes előjelű kifejezést pedig a jobb oldalra helyezzük át:


A szabad ismeretlen változóknak x 2 és x 5 tetszőleges értéket adunk, vagyis veszünk , ahol tetszőleges számok vannak. Ebben az esetben a SLAE a formát ölti


A kapott elemi lineáris algebrai egyenletrendszert Cramer módszerrel oldjuk meg:


Ennélfogva, .

A válaszban ne felejtse el feltüntetni a szabad ismeretlen változókat.

Válasz:

Hol vannak tetszőleges számok.

Összesít.

Egy általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához először a Kronecker-Capelli-tétel segítségével megtudjuk annak kompatibilitását. Ha a fő mátrix rangja nem egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens.

Ha a főmátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor az alapmollt választjuk, és elvetjük a rendszer azon egyenleteit, amelyek nem vesznek részt a választott alapmoll kialakításában.

Ha a base minor sorrendje megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor az SLAE-nek van egy egyedi megoldása, amely bármely általunk ismert módszerrel megtalálható.

Ha a bázis-moll sorrendje kisebb, mint az ismeretlen változók száma, akkor a rendszer egyenleteinek bal oldalán meghagyjuk a fő ismeretlen változókkal rendelkező tagokat, a fennmaradó tagokat áthelyezzük a jobb oldalra és tetszőleges értékeket adunk ​a szabad ismeretlen változókhoz. A kapott lineáris egyenletrendszerből a fő ismeretlen változókat Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel találjuk meg.

Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására.

A Gauss-módszerrel bármilyen típusú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldható anélkül, hogy előzetes kompatibilitási vizsgálatokat végeznénk. Az ismeretlen változók egymást követő kizárásának folyamata lehetővé teszi mind az SLAE kompatibilitására, mind inkonzisztenciájára vonatkozó következtetések levonását, és ha létezik megoldás, akkor azt megtalálni.

A számítási munka szempontjából a Gauss-módszer előnyösebb.

Nézd Részletes leírásés példákat elemzett a Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására című cikkben.

Homogén és inhomogén lineáris algebrai rendszerek általános megoldásának rögzítése az alapvető megoldási rendszer vektoraival.

Ebben a részben a végtelen számú megoldással rendelkező lineáris algebrai egyenletek együttes homogén és inhomogén rendszereire összpontosítunk.

Először foglalkozzunk a homogén rendszerekkel.

Alapvető döntési rendszer p lineáris algebrai egyenletekből álló, n ismeretlen változós homogén rendszer e rendszer (n – r) lineárisan független megoldásainak halmaza, ahol r a rendszer főmátrixának alapmoll rendje.

Ha egy homogén SLAE lineárisan független megoldásait X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) mátrixoszlopoknak jelöljük 1 ) , akkor ennek a homogén rendszernek az általános megoldását az alapvető megoldási rendszer vektorainak lineáris kombinációjaként ábrázoljuk, tetszőleges állandó együtthatójú С 1 , С 2 , …, С (n-r), azaz .

Mit jelent a homogén lineáris algebrai egyenletrendszer (oroslau) általános megoldása?

A jelentés egyszerű: a képlet mindent meghatároz lehetséges megoldások az eredeti SLAE, vagyis tetszőleges С 1 , С 2 , …, С (n-r) állandók értékkészletét véve a képlet szerint az eredeti homogén SLAE egyik megoldását kapjuk.

Így, ha találunk egy alapvető megoldási rendszert, akkor ennek a homogén SLAE-nek minden megoldását beállíthatjuk .

Mutassuk meg a homogén SLAE alapvető megoldási rendszerének felépítésének folyamatát.

Az eredeti lineáris egyenletrendszer alapmollját választjuk, a többi egyenletet kizárjuk a rendszerből, és az ellentétes előjelű rendszer egyenleteinek jobb oldalára visszük át az összes szabad ismeretlen változót tartalmazó tagot. Adjuk meg a szabad ismeretlen változóknak az 1,0,0,…,0 értékeket, és számítsuk ki a fő ismeretleneket úgy, hogy a kapott elemi lineáris egyenletrendszert bármilyen módon, például Cramer-módszerrel megoldjuk. Így X (1) lesz – az alaprendszer első megoldása. Ha a szabad ismeretleneknek megadjuk a 0,1,0,0,…,0 értékeket és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (2)-t kapunk. Stb. Ha a szabad ismeretlen változóknak 0,0,…,0,1 értékeket adunk, és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (n-r)-t kapunk. Így épül fel a homogén SLAE alapvető megoldási rendszere és írható fel általános megoldása a formába.

Inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek esetén az általános megoldást a következőképpen ábrázoljuk

Nézzünk példákat.

Példa.

Találja meg az alapvető megoldási rendszert és egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer általános megoldását .

Döntés.

A homogén lineáris egyenletrendszerek főmátrixának rangja mindig megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Határozzuk meg a főmátrix rangját a kiskorúak szegélyezésének módszerével. Elsőrendű nem nulla mollként a rendszer főmátrixának a 1 1 = 9 elemét vesszük. Keresse meg a másodrendű nem-nulla moll határvonalát:

A nullától eltérő másodrendű moll található. Nézzük végig a vele határos harmadrendű kiskorúakat, keresve egy nem nulla egyet:

A harmadrendű összes szomszédos kiskorú nullával egyenlő, ezért a fő és a kiterjesztett mátrix rangja kettő. Vegyük az alap minort. Az érthetőség kedvéért megjegyezzük a rendszer elemeit, amelyek azt alkotják:

Az eredeti SLAE harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért kizárható:

A fő ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket az egyenletek jobb oldalán hagyjuk, a szabad ismeretleneket tartalmazó tagokat pedig átvisszük a jobb oldalra:

Alkossunk egy alapvető megoldási rendszert az eredeti homogén lineáris egyenletrendszerre. Ennek az SLAE-nek az alapvető megoldási rendszere két megoldásból áll, mivel az eredeti SLAE négy ismeretlen változót tartalmaz, az alapmoll sorrendje pedig kettő. Az X (1) megtalálásához a szabad ismeretlen változóknak x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 értékeket adunk, majd az egyenletrendszerből megtaláljuk a fő ismeretleneket.
.