Meghatározás. Prizma- ez egy poliéder, amelynek minden csúcsa két párhuzamos síkban található, és ugyanabban a két síkban van a prizma két lapja, amelyek egyenlő sokszögek, amelyeknek megfelelően párhuzamos oldalaik vannak, és minden olyan él, amely nem ezekben fekszik a síkok párhuzamosak.

Két egyenlő arcot hívnak prizma alapok(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

A prizma összes többi lapját hívják oldalsó arcok(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Minden oldalfelület kialakul a prizma oldalfelülete .

A prizma minden oldallapja paralelogramma .

Azokat az éleket, amelyek nem fekszenek az alapokon, a prizma oldalsó éleinek ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizma átlós szakaszt nevezünk, amelynek végei a prizma két olyan csúcsa, amelyek nem az egyik lapján fekszenek (AD 1).

A prizma alapjait összekötő és mindkét alapra egyidejűleg merőleges szakasz hosszát ún. prizma magassága .

Kijelölés:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Először az áthidalás sorrendjében az egyik alap csúcsait, majd ugyanabban a sorrendben a másiknak a csúcsait jelöljük; mindkét oldalél végeit ugyanazok a betűk jelölik, csak a benne lévő csúcsok az egyik alapot index nélküli betűk jelölik, a másikban pedig indexet)

A prizma nevéhez az alapjában fekvő ábra szögeinek számához kapcsolódik, például az 1. ábrán az alap egy ötszög, ezért a prizmát ún. ötszögletű prizma. De azóta egy ilyen prizmának 7 lapja van, akkor az heptaéder(2 lap a prizma alapja, 5 lap paralelogramma, oldallapja)

Az egyenes prizmák közül kiemelkedik privát nézet: szabályos prizmák.

Egyenes prizmát nevezünk helyes, ha alapjai szabályos sokszögek.

Paralelepipedon

kocka alakú- egy derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja téglalap.

Tulajdonságok és tételek:

,

ahol d a négyzet átlója;
a tér a - oldala.

A prizma ötletét a következő adja:

• különféle építészeti struktúrák;
• Gyerekjátékok;
• csomagoló dobozok;
• dizájner cikkek stb.

A prizma teljes és oldalfelülete

S teljes \u003d S oldal + 2S fő,

ahol S tele- teljes felület, S oldal- oldalfelület, S fő- alapterület

Az egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.

S oldal\u003d P fő * h,

ahol S oldal az egyenes prizma oldalfelületének területe,

P main - az egyenes prizma alapjának kerülete,

h az egyenes prizma magassága, egyenlő az oldaléllel.

Prizma kötet

A prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

Meghatározás.

Ez egy hatszög, melynek alapja két egyenlő négyzet, oldallapjai pedig egyenlő téglalapok.

Oldalsó borda két szomszédos oldallap közös oldala

Prizma magassága a prizma alapjaira merőleges szakasz

Prizma átlós- egy szegmens, amely összeköti az alapok két csúcsát, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz

Átlós sík- egy sík, amely átmegy a prizma átlóján és oldalélein

Átlós szakasz- a prizma és az átlósík metszéspontjának határai. Átlós metszete a helyes négyszögű prizma egy téglalap

Merőleges metszet (merőleges metszet)- ez a prizma és az oldaléleire merőleges sík metszéspontja

Szabályos négyszögű prizma elemei

Az ábrán két szabályos négyszög alakú prizma látható, amelyek a megfelelő betűkkel vannak jelölve:

• Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 bázisok egyenlőek és párhuzamosak egymással
• AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C és CC 1 D 1 D oldallapok, amelyek mindegyike téglalap
• Oldalfelület - a prizma összes oldalfelületének területeinek összege
• Teljes felület - az összes alap és oldalfelület területének összege (az oldalfelület és az alapok területének összege)
• Oldalbordák AA 1 , BB 1 , CC 1 és DD 1 .
• Átló B 1 D
• Alapátló BD
• Átlós metszet BB 1 D 1 D
• Merőleges metszet A 2 B 2 C 2 D 2 .

Szabályos négyszögű prizma tulajdonságai

• Az alap két egyenlő négyzet
• Az alapok párhuzamosak egymással
• Az oldalak téglalap alakúak.
• Az oldallapok egyenlőek egymással
• Az oldallapok merőlegesek az alapokra
• Az oldalsó bordák egymással párhuzamosak és egyenlőek
• Merőleges metszet, amely merőleges az összes oldalbordára és párhuzamos az alapokkal
• Merőleges metszetszögek – jobbra
• A szabályos négyszög alakú prizma átlós metszete egy téglalap
• Az alapokra merőleges (merőleges metszet) párhuzamos

Szabályos négyszögű prizma képletei

Útmutató a problémák megoldásához

Helyes prizma- prizma, amelynek alapjában szabályos sokszög fekszik, és az oldalélek merőlegesek az alap síkjaira. Vagyis egy szabályos négyszögletű prizma az alján van négyzet. (lásd fent a szabályos négyszögű prizma tulajdonságait) jegyzet. Ez a lecke része a geometriai feladatokkal (metszet szilárd geometria - prizma). Itt vannak azok a feladatok, amelyek megoldása nehézséget okoz. Ha meg kell oldania egy geometriai problémát, amely nincs itt - írjon róla a fórumban. A kivonás műveletének jelzésére négyzetgyök szimbólumot használják a problémamegoldásban√ .

Feladat.

A szabályos prizma átlója az alap átlójával és a prizma magasságával alakul ki derékszögű háromszög. Ennek megfelelően a Pitagorasz-tétel szerint egy adott szabályos négyszögű prizma átlója egyenlő lesz:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Válasz: 22 cm

Feladat

Döntés.
Mivel egy szabályos négyszögű prizma alapja négyzet, ezért az alap oldalát (a-val jelöljük) a Pitagorasz-tétel határozza meg:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Az oldallap magassága (h-val jelölve) ekkor egyenlő lesz:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

A teljes felület egyenlő lesz az oldalfelület és az alapterület kétszeresének összegével

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Válasz: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

A matematika olyan ága, amely a különféle alakzatok (pontok, vonalak, szögek, két- és háromdimenziós objektumok tulajdonságait, méretét, ill. relatív pozíció. A tanítás kényelme érdekében a geometriát planimetriára és szilárd geometriára osztják. NÁL NÉL… … Collier Encyclopedia

Háromnál nagyobb méretű terek geometriája; a kifejezés azokra a terekre vonatkozik, amelyek geometriáját eredetileg három dimenzió esetére fejlesztették ki, és csak ezután általánosították n> 3 méretszámra, elsősorban euklideszi térre, ... ... Matematikai Enciklopédia

N dimenziós euklideszi geometria Az euklideszi geometria térbeli általánosítása több mérések. Bár a fizikai tér háromdimenziós, és az emberi érzékszervek úgy vannak kialakítva, hogy három dimenziót észleljenek, az N dimenziós ... ... Wikipédia

Ennek a kifejezésnek más jelentései is vannak, lásd: Pyramidatsu (jelentések). A cikk ezen részének megbízhatósága megkérdőjeleződött. Ellenőrizni kell az ebben a szakaszban közölt tények pontosságát. Lehetnek magyarázatok a vitalapon... Wikipédia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) a modellezésben alkalmazott technológia szilárd anyagok. A szerkezeti blokkgeometria gyakran, de nem mindig, modellezési technika a 3D grafikában és a CAD-ben. Lehetővé teszi egy összetett jelenet vagy ... Wikipédia létrehozását

A Constructive Solid Geometry (CSG) a szilárdtestek modellezésére használt technológia. A szerkezeti blokkgeometria gyakran, de nem mindig, modellezési technika a 3D grafikában és a CAD-ben. Ő ... ... Wikipédia

Ennek a kifejezésnek más jelentései is vannak, lásd: Hatály (jelentések). A térfogat egy halmaz (mérték) additív függvénye, amely az általa elfoglalt térrégió kapacitását jellemzi. Kezdetben felmerült, és szigorú ... ... Wikipédia nélkül alkalmazták

Kocka Típus Szabályos poliéder Lap négyzet Csúcsok Élek Lapok ... Wikipédia

A térfogat egy halmaz (mérték) additív függvénye, amely az általa elfoglalt térrégió kapacitását jellemzi. Kezdetben a háromdimenziós euklideszi tér háromdimenziós testeivel kapcsolatban merült fel és alkalmazták szigorú definíció nélkül. ... ... Wikipédia

A tér egy része, amelyet véges számú sík sokszög halmaza határol (lásd GEOMETRIA), amelyek oly módon kapcsolódnak egymáshoz, hogy bármely sokszög minden oldala pontosan egy másik sokszög oldala (úgynevezett ... ... Collier Encyclopedia

Könyvek

• Asztalkészlet. Geometria. 10-es fokozat. 14 táblázat + módszertan, . A táblázatok vastag, 680 x 980 mm méretű poligrafikus kartonra vannak nyomtatva. Prospektus iránymutatásokat a tanár számára. 14 lapból álló tanulmányalbum...

Prizma. Paralelepipedon

prizma poliédernek nevezzük, amelynek két lapja egyenlő n-szöggel (indoklás) , párhuzamos síkban fekszik, és a maradék n lap paralelogramma (oldalsó arcok) . Oldalsó borda A prizma az oldallapnak az az oldala, amely nem tartozik az alaphoz.

Olyan prizmát nevezünk, amelynek oldalélei merőlegesek az alapok síkjaira egyenes prizma (1. ábra). Ha az oldalélek nem merőlegesek az alapok síkjaira, akkor a prizmát hívjuk ferde . Helyes A prizma olyan egyenes prizma, amelynek alapjai szabályos sokszögek.

Magasság prizmának nevezzük az alapok síkjai közötti távolságot. Átlós A prizma egy olyan szakasz, amely két olyan csúcsot köt össze, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz. átlós szakasz A prizmának egy olyan síkmetszete, amely két nem ugyanahhoz a laphoz tartozó oldalélen megy át. Merőleges metszet a prizma oldalélére merőleges síkkal a prizma metszetét nevezzük.

Oldalfelület A prizma az összes oldalfelület területének összege. Teljes felület a prizma összes lapja területének összegét nevezzük (azaz az oldallapok és az alapok területének összegét).

Egy tetszőleges prizmára a képletek igazak:

ahol l az oldalborda hossza;

H- magasság;

P

K

S oldal

S tele

S fő az alapok területe;

V a prizma térfogata.

Egy egyenes prizmára a következő képletek igazak:

ahol p- az alap kerülete;

l az oldalborda hossza;

H- magasság.

Paralelepipedon Olyan prizmát, amelynek alapja paralelogramma, nevezzük. Olyan paralelepipedont nevezünk, amelynek oldalélei merőlegesek az alapokra közvetlen (2. ábra). Ha az oldalélek nem merőlegesek az alapokra, akkor a paralelepipedon ún ferde . Olyan derékszögű paralelepipedont nevezünk, amelynek alapja téglalap négyszögletes. Olyan téglalap alakú paralelepipedont nevezünk, amelynek minden éle egyenlő kocka.

A paralelepipedon azon lapjait nevezzük, amelyeknek nincs közös csúcsuk szemben . Az egyik csúcsból kiinduló élek hosszát nevezzük mérések paralelepipedon. Mivel a doboz egy prizma, fő elemei ugyanúgy vannak meghatározva, mint a prizmák esetében.

Tételek.

1. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást és felezik azt.

2. Egy téglalap alakú paralelepipedonban az átló hosszának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzetösszegével:

3. A négyszögletes paralelepipedon mind a négy átlója egyenlő egymással.

Egy tetszőleges paralelepipedonra a következő képletek igazak:

ahol l az oldalborda hossza;

H- magasság;

P a merőleges szakasz kerülete;

K– a merőleges metszet területe;

S oldal az oldalsó felület;

S tele a teljes felület;

S fő az alapok területe;

V a prizma térfogata.

Egy jobb oldali paralelepipedonra a következő képletek igazak:

ahol p- az alap kerülete;

l az oldalborda hossza;

H a jobb oldali paralelepipedon magassága.

Téglalap alakú paralelepipedonra a következő képletek igazak:

(3)

ahol p- az alap kerülete;

H- magasság;

d- átlós;

ABC– paralelepipedon mérései.

A kocka helyes képlete a következő:

ahol a a borda hossza;

d a kocka átlója.

1. példa Egy téglalap alakú téglatest átlója 33 dm, és a méretei 2:6:9 arányban állnak egymással.

Döntés. A paralelepipedon méreteinek meghatározásához a (3) képletet használjuk, azaz. az a tény, hogy egy téglatest befogójának négyzete egyenlő a méretei négyzeteinek összegével. Jelölje k arányossági együttható. Ekkor a paralelepipedon mérete 2 lesz k, 6kés 9 k. A probléma adatához írjuk a (3) képletet:

Ennek az egyenletnek a megoldása a k, kapunk:

Ezért a paralelepipedon méretei 6 dm, 18 dm és 27 dm.

Válasz: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2. példa Határozzuk meg egy ferde háromszög alakú prizma térfogatát, amelynek alapja egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala 8 cm, ha az oldalél egyenlő az alap oldalával és 60°-os szöget zár be az alappal.

Döntés . Készítsünk rajzot (3. ábra).

A ferde prizma térfogatának meghatározásához ismernie kell alapterületét és magasságát. Ennek a prizmának a területe egy egyenlő oldalú háromszög területe, amelynek oldala 8 cm. Számítsuk ki:

A prizma magassága az alapjai közötti távolság. A tetejéről DE A felső alap 1. pontján leengedjük a merőlegest az alsó alap síkjára DE 1 D. A hossza a prizma magassága lesz. Vegye figyelembe D DE 1 HIRDETÉS: mivel ez az oldalborda hajlásszöge DE 1 DE az alapsíkhoz DE 1 DE= 8 cm. Ebből a háromszögből azt találjuk DE 1 D:

Most kiszámítjuk a térfogatot az (1) képlet segítségével:

Válasz: 192 cm3.

3. példa Egy szabályos hatszögletű prizma oldaléle 14 cm. A legnagyobb átlós szakasz területe 168 cm 2. Határozza meg a prizma teljes felületét.

Döntés. Készítsünk rajzot (4. ábra)

A legnagyobb átlós szakasz egy téglalap AA 1 DD 1 , mivel az átló HIRDETÉS szabályos hatszög ABCDEF a legnagyobb. A prizma oldalfelületének kiszámításához ismerni kell az alap oldalát és az oldalsó borda hosszát.

Az átlós szakasz (téglalap) területének ismeretében megtaláljuk az alap átlóját.

Azóta

Azóta AB= 6 cm.

Ekkor az alap kerülete:

Keresse meg a prizma oldalfelületének területét:

A szabályos hatszög 6 cm-es oldala:

Keresse meg a prizma teljes felületét:

Válasz:

4. példa A jobb oldali paralelepipedon alapja egy rombusz. Az átlós szakaszok területe 300 cm 2 és 875 cm 2. Keresse meg a paralelepipedon oldalfelületének területét.

Döntés. Készítsünk rajzot (5. ábra).

Jelölje a rombusz oldalát a, a rombusz átlói d 1 és d 2, a doboz magassága h. Az egyenes paralelepipedon oldalsó felületének meghatározásához meg kell szorozni az alap kerületét a magassággal: ((2) képlet). Alap kerülete p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, mint ABCD- rombusz. H = AA 1 = h. Hogy. Meg kell találni aés h.

Vegye figyelembe az átlós szakaszokat. AA 1 SS 1 - egy téglalap, amelynek egyik oldala egy rombusz átlója AC = d 1 , második oldalsó él AA 1 = h, azután

Hasonlóan a szakaszhoz is BB 1 DD 1 kapjuk:

A paralelogramma azon tulajdonságát felhasználva, hogy az átlók négyzetösszege egyenlő az összes oldalának négyzetösszegével, megkapjuk az egyenlőséget A következőt kapjuk.

Poliéder

A sztereometria tanulmányozásának fő tárgya a háromdimenziós testek. Test a tér valamely felület által határolt része.

poliéder Olyan testet, amelynek felülete véges számú sík sokszögből áll, ún. Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha a felületén lévő összes sík sokszög síkjának egyik oldalán fekszik. Egy ilyen sík és egy poliéder felületének közös részét ún él. A konvex poliéder lapjai lapos konvex sokszögek. Az arcok oldalait ún a poliéder élei, és a csúcsok a poliéder csúcsai.

Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek a lapjai. 12 élt (négyzetek oldalát) és 8 csúcsot (négyzetek csúcsait) tartalmaz.

A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk vizsgálni.

Prizma

A prizma meghatározása és tulajdonságai

prizma poliédernek nevezzük, amely két párhuzamos síkban fekvő sík sokszögből áll, amelyek párhuzamos transzlációval kombinálódnak, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szakaszból. A sokszögeket ún prizma alapok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok a prizma oldalélei.

Prizma magassága alapjai síkjai közötti távolságnak nevezzük (). A prizma két olyan csúcsát összekötő szakaszt nevezzük, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz prizma átlós(). A prizmát ún n-szén ha alapja n-szög.

Bármely prizma rendelkezik a következő tulajdonságokkal, amelyek abból a tényből következnek, hogy a prizma alapjait párhuzamos fordítással kombinálják:

1. A prizma alapjai egyenlők.

2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.

A prizma felületét alapok és oldalsó felület. A prizma oldalfelülete paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területének összege.

egyenes prizma

A prizmát ún egyenes ha oldalélei merőlegesek az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát ún ferde.

Az egyenes prizma lapjai téglalapok. Egy egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.

teljes felület prizmák az oldalfelület és az alapterületek összege.

Helyes prizma derékszögű prizmának nevezzük, amelynek alapjában szabályos sokszög található.

13.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő a prizma kerületének és magasságának szorzatával (vagy ennek megfelelően az oldalsó élével).

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok, amelyek alapjai a prizma alapjain lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalsó felület:

,

ahol az egyenes prizma alapjának kerülete.

Paralelepipedon

Ha egy prizma alapjain paralelogrammák fekszenek, akkor az ún paralelepipedon. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. Ebben az esetben a paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.

13.2. Tétel. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot kettéosztjuk.

Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és . Mert a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, akkor és , ami azt jelenti, hogy T szerint körülbelül két, a harmadikkal párhuzamos egyenes. Ezenkívül ez azt jelenti, hogy a vonalak és a vonalak ugyanabban a síkban (a síkban) fekszenek. Ez a sík párhuzamos síkokat metszi és párhuzamos egyenesek mentén és . Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága alapján átlói és metszéspontjai kettéosztják a metszéspontot, amit be kellett bizonyítani.

Olyan derékszögű paralelepipedont nevezünk, amelynek alapja téglalap kocka alakú. A téglatest minden lapja téglalap. Egy téglatest nem párhuzamos éleinek hosszát nevezzük annak lineáris méretek(mérések). Három méret van (szélesség, magasság, hosszúság).

13.3. Tétel. Egy téglatestben bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével (a Pythagorean T kétszeri alkalmazásával bizonyítva).

Olyan téglalap alakú paralelepipedont nevezünk, amelynek minden éle egyenlő kocka.

Feladatok

13.1 Hány átlót tesz n- karbon prizma

13.2 Egy ferde háromszög prizmában az oldalélek közötti távolságok 37, 13 és 40. Határozzuk meg a nagyobb oldallap és a szemközti oldalél közötti távolságot!

13.3 Egy szabályos háromszög alakú prizma alsó alaplapjának oldalán keresztül egy síkot húzunk, amely metszi az oldallapokat szegmensek mentén, amelyek szöge . Határozza meg ennek a síknak a dőlésszögét a prizma alapjához képest.