Az l egyenes irányvektora mindenkit hívnak nem nulla vektor (m, n) párhuzamos ezzel az egyenessel.

Legyen a lényeg M 1 (x 1 , y 1) és irányvektor ( m, n), akkor a ponton átmenő egyenes egyenlete M 1 a vektor irányában a következő alakú: . Ezt az egyenletet az egyenes kanonikus egyenletének nevezzük.

Példa. Határozzuk meg az (1, -1) irányvektorral és az A(1, 2) ponton áthaladó egyenes egyenletét!

Megkeressük a kívánt egyenes egyenletét a következő formában: Axe+By+C= 0. Írjuk fel az egyenes kanonikus egyenletét, alakítsuk át. Kap x + y - 3 = 0

Két ponton átmenő egyenes egyenlete

Legyen két pont adott a síkon M 1 (x 1 , y 1) és M 2 (x 2, y 2), akkor az ezeken a pontokon áthaladó egyenes egyenlete a következő: . Ha bármelyik nevező nullával egyenlő, akkor a megfelelő számlálót nullára kell állítani.

Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) és B(3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

A fenti képletet alkalmazva a következőket kapjuk:

Egy pont és egy meredek egyenes egyenlete

Ha egy egyenes általános egyenlete Ah + Wu + C= 0 hozzuk a formába: és jelöljük, akkor a kapott egyenletet a k meredekségű egyenes egyenletének nevezzük.

Egyenes egyenlete szakaszokban

Ha az általános egyenletben az egyenes Ah + Wu + C= 0 együttható TÓL TŐL¹ 0, akkor C-vel elosztva kapjuk: vagy hol

geometriai érzék együtthatók abban az együttható de az egyenes és a tengely metszéspontjának koordinátája Ó, de b- az egyenes és a tengely metszéspontjának koordinátája OU.

Példa. Adott egy egyenes általános egyenlete x – nál nél+ 1 = 0. Keresse meg ennek az egyenesnek az egyenletét szakaszokban! A = -1, B = 1, C = 1, akkor de = -1, b= 1. A szakaszokban lévő egyenes egyenlete a következő lesz: .

Példa. Az A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

A kívánt magassági egyenlet a következőképpen alakul: Axe+By+C= 0 vagy y = kx + b.

k= . Azután y= . Mivel a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: ahol b= 17. Összesen: .

Válasz: 3 x + 2y – 34 = 0.

7. gyakorlat

Osztály név: Másodrendű görbék.

Az óra célja: Tanuld meg, hogyan készíts 2. rendű görbéket, építsd fel őket.

Felkészülés a leckére: Ismétlés elméleti anyag a "Második rend görbéi" témában

Irodalom:

1. Dadayan A.A. „Matematika”, 2004

Feladat az órán:

Az óra sorrendje:

1. Kérjen engedélyt a munkára
2. Végezze el a feladatokat
3. Válaszold meg a biztonsági kérdéseket.

1. Az óra neve, célja, feladat;
2. Elvégzett feladat;
3. Válaszok az ellenőrző kérdésekre.

tesztkérdések beszámításhoz:

1. Határozza meg a másodrendű görbéket (kör, ellipszis, hiperbola, parabola), írja le kanonikus egyenleteiket!
2. Hogyan nevezzük egy ellipszis vagy hiperbola excentricitását? Hogyan lehet megtalálni?
3. Írd fel egy egyenlő oldalú hiperbola egyenletét!

FÜGGELÉK

körméret a sík egy ponttól egyenlő távolságra lévő pontjainak halmaza, amelyet középpontnak nevezünk.

Legyen a kör középpontja egy pont RÓL RŐL(a; b), valamint bármely pont távolságát M(x;y) kör egyenlő R. Azután ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – középpontos kör kanonikus egyenlete RÓL RŐL(a; b) és sugár R.

Példa. Határozza meg a kör középpontjának és sugarának koordinátáit, ha az egyenlete a következő: 2 x 2 + 2y 2-8x + 5 y – 4 = 0.

Egy kör középpontjának és sugarának koordinátáinak meghatározása adott egyenlet kanonikus formára kell redukálni. Ehhez válassza ki a teljes négyzeteket:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Innen megtaláljuk a középpont koordinátáit RÓL RŐL(2; -5/4); sugár R = 11/4.

Ellipszis egy síkban lévő pontok halmazát nevezzük, amelyek mindegyikétől két adott pontig (úgynevezett fókuszpontig) távolságok összege egy állandó érték, amely nagyobb, mint a fókuszpontok távolsága.

A fókuszokat betűk jelzik F 1 , F tól től, az ellipszis bármely pontja és a fókusz közötti távolság összege 2 de (2de > 2c), a- egy nagy féltengely; b- kis féltengely.

Az ellipszis kanonikus egyenlete: , ahol a, bÉs c egyenlőségekkel kapcsolódnak egymáshoz: a 2 - b 2 = c 2 (vagy b 2 - a 2 \u003d c 2).

Az ellipszis alakját egy jellemző határozza meg, amely a fókusztávolság és a főtengely hosszának aránya, és ezt excentricitásnak nevezik. vagy .

Mivel definíció szerint 2 de> 2c, akkor az excentricitást mindig megfelelő törtként fejezzük ki, azaz. .

Példa.Írjunk fel egyenletet egy ellipszisre, ha a fókuszpontjai F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), a főtengely 2.

Az ellipszis egyenlet alakja: .

A fókuszok közötti távolság: 2 c= , így, a 2 – b 2 = c 2 = . 2. feltétel szerint de= 2, szóval de = 1, b= Az ellipszis kívánt egyenlete a következő formában lesz: .

Túlzás a síkban lévő pontok halmazának nevezett pontok, amelyek távolságának különbsége két adott ponttól, úgynevezett gócoktól, állandó érték, kisebb, mint a fókuszpontok távolsága.

A hiperbola kanonikus egyenlete a következő alakú: vagy , ahol a, bÉs c az egyenlőség köti össze a 2 + b 2 = c 2 . A hiperbola szimmetrikus a gócokat összekötő szakasz közepére és a koordinátatengelyekre nézve. A fókuszokat betűk jelzik F 1 , F 2 , gócok közötti távolság - 2 tól től, a hiperbola bármely pontja és a fókusz közötti távolságok különbsége 2 de (2de < 2c). 2. tengely de a hiperbola valós tengelyének nevezzük, a 2. tengelyt b a hiperbola képzeletbeli tengelye. A hiperbolának két aszimptotája van, amelyek egyenletei:

A hiperbola excentricitása a fókuszpontok távolságának a valós tengely hosszához viszonyított aránya: vagy. Mivel definíció szerint 2 de < 2c, akkor a hiperbola excentricitását mindig nem megfelelő törtként fejezzük ki, azaz. .

Ha a valós tengely hossza megegyezik a képzeletbeli tengely hosszával, azaz. a = b, ε = , akkor a hiperbolát nevezzük egyenlő oldalú.

Példa.Írja fel egy hiperbola kanonikus egyenletét, ha excentricitása 2 és a fókuszok egybeesnek az egyenletű ellipszis fókuszaival

Találunk gyújtótávolság c 2 = 25 – 9 = 16.

Hiperbola esetén: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Ezután - a hiperbola kívánt egyenlete.

parabola-tól egyenlő távolságra lévő sík pontjainak halmaza adott pont, amelyet fókusznak neveznek, és egy adott egyenest, amelyet irányítónak neveznek.

A parabola fókuszát a betű jelöli F, rendező - d, a fókusz és a direktrix távolsága az R.

A parabola kanonikus egyenlete, amelynek fókusza az x tengelyen van, a következő:

y 2 = 2px vagy y 2 = -2px

x = -p/2, x = p/2

Az y tengelyre fókuszáló parabola kanonikus egyenlete:

x 2 = 2py vagy x 2 = -2py

Irányegyenletek, ill nál nél = -p/2, nál nél = p/2

Példa. Egy parabolán nál nél 2 = 8x keress egy pontot, amelynek távolsága az irányítótól 4.

A parabola egyenletből azt kapjuk R = 4. r=x + p/2 = 4; Következésképpen:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Keresési pontok: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

8. gyakorlat

Osztály név: Műveletek komplex számokon algebrai formában. Komplex számok geometriai értelmezése.

Az óra célja: Tanulja meg a komplex számok kezelését.

Felkészülés a leckére: Ismételje meg az elméleti anyagot a "Komplex számok" témában.

Irodalom:

1. Grigorjev V.P., Dubinsky Yu.A. "Elemek felsőbb matematika", 2008

Feladat az órán:

1. Kiszámítja:

1) én 145 + én 147 + én 264 + én 345 + én 117 ;

2) (én 64 + én 17 + én 13 + én 82)( én 72 – én 34);

Az egyenes menjen át az M 1 (x 1; y 1) és M 2 (x 2; y 2) pontokon. Az M 1 ponton átmenő egyenes egyenlete y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

ahol k - még ismeretlen együttható.

Mivel az egyenes áthalad az M 2 (x 2 y 2) ponton, ennek a pontnak a koordinátáinak meg kell felelniük a (10.6) egyenletnek: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Innen megtaláljuk a talált érték helyettesítése k a (10.6) egyenletbe az M 1 és M 2 pontokon átmenő egyenes egyenletét kapjuk:

Feltételezzük, hogy ebben az egyenletben x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ha x 1 \u003d x 2, akkor az M 1 (x 1, y I) és M 2 (x 2, y 2) pontokon áthaladó egyenes párhuzamos az y tengellyel. Az egyenlete az x = x 1 .

Ha y 2 \u003d y I, akkor az egyenes egyenlete y \u003d y 1-ként írható fel, az M 1 M 2 egyenes párhuzamos az x tengellyel.

Egyenes egyenlete szakaszokban

Az egyenes metsze az Ox tengelyt az M 1 (a; 0) pontban, és az Oy tengelyt - az M 2 (0; b) pontban. Az egyenlet a következő formában lesz:
azok.
. Ezt az egyenletet ún szakaszokban lévő egyenes egyenlete, mert az a és b számok azt jelzik, hogy az egyenes mely szakaszokat vágja le a koordinátatengelyeken.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete, merőleges egy adott vektorra

Keressük meg egy adott Mo (x O; y o) ponton átmenő egyenes egyenletét, amely merőleges egy adott n = (A; B) nem nulla vektorra.

Vegyünk egy tetszőleges M(x; y) pontot az egyenesen, és tekintsük az M 0 M (x - x 0; y - y o) vektort (lásd 1. ábra). Mivel az n és M o M vektorok merőlegesek, skaláris szorzatuk nulla: azaz

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

A (10.8) egyenletet nevezzük egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen .

Az egyenesre merőleges n = (A; B) vektort normálnak nevezzük ennek az egyenesnek a normálvektora .

A (10.8) egyenlet átírható így Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ahol A és B a normálvektor koordinátái, C \u003d -Ax o - Vu o - szabad tag. (10.9) egyenlet az egyenes általános egyenlete(lásd a 2. ábrát).

Fig.1 Fig.2

Az egyenes kanonikus egyenletei

,

Ahol
annak a pontnak a koordinátái, amelyen az egyenes áthalad, és
- irányvektor.

A másodrendű kör görbéi

A kör egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő sík összes pontjának halmaza, amelyet középpontnak nevezünk.

Sugárkör kanonikus egyenlete R egy pontra összpontosítva
:

Különösen, ha a tét közepe egybeesik az origóval, akkor az egyenlet így fog kinézni:

Ellipszis

Az ellipszis egy síkban lévő pontok halmaza, ezek távolságának összege két adott pontig És , amelyeket gócoknak neveznek, egy állandó érték
, nagyobb, mint a gócok közötti távolság
.

Annak az ellipszisnek a kanonikus egyenlete, amelynek fókuszai az ökör tengelyén vannak, és amelynek origója középen van a gócok között, a következő alakkal rendelkezik:
G de a a fő féltengely hossza; b a kis féltengely hossza (2. ábra).

A t.u.-n áthaladó egyenes egyenlete A(ha; wah)és lejtős k, formában van írva

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Két ponton átmenő egyenes egyenlete T. A (x 1; y 1) stb. B (x 2; y 2), a formája van

Ha a pontok DEÉs BAN BEN határozzon meg egy egyenest párhuzamos az Ox tengellyel (y 1 \u003d y 2) vagy y tengely (x 1 = x 2), akkor egy ilyen egyenes egyenletét rendre a következő formában írjuk fel:

y = y 1 vagy x = x 1(7)

Egy egyenes normálegyenlete

Legyen adott egy C egyenes, amely egy adott Mo(Xo; V0) ponton megy át, és merőleges az (A; B) vektorra. Egy adott egyenesre merőleges vektort annak nevezzük normál vektor. Válasszunk egy tetszőleges M pontot az egyenesen (x; y). Aztán , ami azt jelenti, hogy ők skaláris szorzat. Ez az egyenlőség koordinátákkal írható fel

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

A (8) egyenletet nevezzük egy egyenes normálegyenlete .

Egyenes paraméteres és kanonikus egyenletei

Hagyja a sort l a kiindulási pont adja meg M 0 (x 0; y 0)és irányvektor ( egy 1; a 2),. Legyen t. M(x; y)- a vonal bármely pontja l Ekkor a vektor kollineáris a vektorral. Ezért = . Ezt az egyenletet koordinátákba írva megkapjuk az egyenes paraméteres egyenletét

Zárjuk ki a t paramétert a (9) egyenletből. Ez azért lehetséges, mert a vektor, és ezért legalább egy koordinátája nem nulla.

Legyen és , akkor , és ezért

A (10) egyenletet nevezzük az egyenes kanonikus egyenlete útmutató vektorral

\u003d (a 1; a 2). Ha a 1 =0és , akkor a (9) egyenletek a következőt veszik fel

Ezek az egyenletek a tengellyel párhuzamos egyenest határoznak meg, OUés áthalad a ponton

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Ha , akkor a (9) egyenletek a következőt veszik fel

Ezek az egyenletek az O tengellyel párhuzamos egyenest határoznak meg xés áthalad a ponton

M 0 (x 0; y 0). Egy ilyen egyenes kanonikus egyenlete alakja

y=y 0(12)

Szög a vonalak között. Kettő párhuzamosságának és merőlegességének feltétele

közvetlen

Legyen két általános egyenlet által megadott egyenes:

És

Aztán a szög φ közöttük a következő képlet határozza meg:

(13)

Párhuzamos állapot 2 egyenes vonal: (14)

Merőleges állapot 2 egyenes vonal: (15)

Párhuzamos állapot ebben az esetben a következő formában van: (17)

Merőleges állapot egyenes: (18)

Ha két egyenest kanonikus egyenletek adnak meg:

És

akkor az ezen vonalak közötti φ szöget a következő képlet határozza meg:

(19)

Párhuzamos állapot egyenes: (20)

Merőleges állapot közvetlen: (21)

Távolság ponttól vonalig

Távolság d pontból M (x 1; y 1) egyenesre Ax+By+C=0 képlettel számítjuk ki

(22)

Megvalósítási példa praktikus munka

1. példaÉpíts egy vonalat 3 X- 2nál nél+6=0.

Megoldás: Egy egyenes megszerkesztéséhez elég ismerni bármelyik két pontját, például a koordinátatengelyekkel való metszéspontját. Az egyenes Ox tengellyel való metszéspontjának A pontját megkaphatjuk, ha az egyenes egyenletében y \u003d 0-t veszünk fel. Ekkor 3-at kapunk x+6=0, azaz x=-2. Ily módon DE(–2;0).

Azután BAN BEN egy egyenes metszéspontja egy tengellyel OU van abszcissza x=0; ezért a pont ordinátája BAN BEN a -2 egyenletből található y+ 6=0, azaz y=3. Ily módon BAN BEN(0;3).

2. példaÍrja fel a negatív félsíkon levágó egyenes egyenletét! OU egy szegmens, amely 2 egységgel egyenlő, és a tengellyel együtt alakul ki Óφ =30˚ szög.

Megoldás: A vonal keresztezi a tengelyt OU azon a ponton BAN BEN(0;–2) és lejtése van k=tg φ= = . Feltételezve a (2) egyenletben k= és b= –2, megkapjuk a kívánt egyenletet

Vagy .

3. példa DE(–1; 2) és

BAN BEN(0;–3). (nál nél bizonyság: az egyenes meredekségét a (3) képlet határozza meg)

Megoldás: .Innen már . A koordináták behelyettesítése ebbe az egyenletbe tévé, kapunk: , azaz kezdeti ordináta b= -3. Ekkor megkapjuk az egyenletet.

4. példa Egy egyenes általános egyenlete 2 x – 3nál nél– 6 = 0 szegmensekben vezet az egyenlethez.

Megoldás: ezt az egyenletet 2-es formában írjuk fel x– 3nál nél=6 és mindkét részét osszuk el a szabad taggal: . Ez az egyenlet ennek az egyenesnek a szakaszokban.

5. példa A ponton keresztül DE(1;2) rajzoljunk egy egyenest, amely egyenlő szakaszokat vág le a koordináták pozitív féltengelyein.

Megoldás: Legyen a kívánt egyenes egyenlete Feltétel szerint de=b. Ezért az egyenlet a következővé válik x+ nál nél= de. Mivel az A (1; 2) pont ehhez az egyeneshez tartozik, ezért a koordinátái kielégítik az egyenletet x + nál nél= de; azok. 1 + 2 = de, ahol de= 3. Tehát a kívánt egyenletet a következőképpen írjuk fel: x + y = 3, ill x + y - 3 = 0.

6. példa Egyenesre írd fel az egyenletet szegmensekre! Számítsa ki az ezen egyenes és a koordinátatengelyek által alkotott háromszög területét!

Megoldás: Alakítsuk át ezt az egyenletet a következőképpen: , vagy .

Ennek eredményeként megkapjuk az egyenletet , amely az adott egyenes egyenlete szakaszokban. Az adott egyenes és a koordinátatengelyek által alkotott háromszög az derékszögű háromszög 4-gyel és 3-mal egyenlő lábakkal, tehát területe S= (nm egység)

7. példaÍrjon fel egyenletet egy ponton (–2; 5) átmenő egyenesről és egy tengelyes generátorról Ó szög 45º.

Megoldás: A kívánt egyenes lejtése k= tg 45º = 1. Ezért az (5) egyenlet felhasználásával megkapjuk y - 5 = x- (-2), vagy x - y + 7 = 0.

8. példaÍrja fel a pontokon átmenő egyenes egyenletét! DE(–3; 5) és BAN BEN( 7; –2).

Megoldás: Használjuk a (6) egyenletet:

, vagy , honnan 7 x + 10nál nél – 29 = 0.

9. példa Ellenőrizze, hogy a pontok hazudnak-e DE(5; 2), BAN BEN(3; 1) és TÓL TŐL(–1; –1) egy egyenesen.

Megoldás: Állítsd össze a pontokon áthaladó egyenes egyenletét! DEÉs TÓL TŐL:

, vagy

Ebbe az egyenletbe behelyettesítve a pont koordinátáit BAN BEN (xB= 3 és y B = 1), kapjuk (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), azaz. helyes egyenlőséget kapunk. Így pont koordináták BAN BEN teljesítsük az egyenes egyenletet ( AC), azaz .

10. példa:Írjon egyenletet egy t-n átmenő egyenesre A (2; -3).

Merőleges =(-1;5)

Megoldás: A (8) képlet segítségével megtaláljuk ennek az egyenesnek az egyenletét -1(x-2)+5(y+3)=0,

vagy végül, x - 5 y - 17 \u003d 0.

11. példa: Pontokat adtak M 1(2;-1) és M 2(4; 5). Írd fel egy ponton átmenő egyenes egyenletét! M 1 merőleges a vektorra Megoldás: A kívánt egyenes normálvektorának koordinátái (2; 6) vannak, ezért a (8) képlet szerint megkapjuk az egyenletet 2(x-2)+6(y+1)=0 vagy x+3y +1=0.

12. példa: És .

Megoldás: ; .

13. példa:

Megoldás: a) ;

14. példa: Számítsa ki a vonalak közötti szöget

Megoldás:

15. példa: Utána járni kölcsönös megegyezés közvetlen:

Megoldás:

16. példa: keresse meg a vonalak közötti szöget és .

Megoldás: .

17. példa: megtudja a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:

Megoldás: a ) - a vonalak párhuzamosak;

b) azt jelenti, hogy az egyenesek merőlegesek.

18. példa: Számítsa ki az M(6; 8) pont és az egyenes távolságát!

Megoldás: a (22) képlet szerint kapjuk: .

Feladatok a gyakorlati foglalkozás:

1.opció

1. Állítsa be a 2x+3y-6=0 egyenes általános egyenletét szakaszosan az egyenletbe, és számítsa ki az ezen egyenes által levágott háromszög területét a megfelelő koordinátaszögből;

2. Az ∆ABC-ben a csúcsok A (-3;4), B (-4;-3), C pont (8;1) koordinátáival rendelkeznek. Állítsa össze az oldal (AB), magasság (VC) és medián (CM) egyenleteit;

3. Számítsa ki az M 0 (-2; 4) ponton átmenő és a (6; -1) vektorral párhuzamos egyenes meredekségét!

4. Számítsa ki a vonalak közötti szöget!

4. Számítsa ki a vonalak közötti szöget:

a) 2x - 3y + 7 = 0 és 3x - y + 5 = 0; b) és y = 2x – 4;

5. Határozza meg 2 egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét és;

, ha a t.A (18; 8) és t. B (-2; -6) szakasz végeinek koordinátái ismertek.

3. lehetőség

1. Állítsa be a 4x-5y+20=0 egyenes általános egyenletét szakaszosan az egyenletbe, és számítsa ki az ezen egyenes által levágott háromszög területét a megfelelő koordinátaszögből;

2. Az ∆ABC-ben a csúcsok az A (3;-2), a B pont (7;3), a pontok koordinátái

C(0;8). Állítsa össze az oldal (AB), magasság (VC) és medián (CM) egyenleteit;

3. Számítsa ki az M 0 ponton átmenő egyenes meredekségét (-1;-2) és

párhuzamos a vektorral (3;-5);

4. Számítsa ki a vonalak közötti szöget!

a) 3x + y-7 = 0 és x - y + 4 = 0; Zenekar;

5. Határozza meg 2 egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét és y = 5x + 3;

6. Számítsa ki az AB szakasz közepe és az egyenes távolságát! , ha a t.A (4; -3) és t.B (-6; 5) szakasz végeinek koordinátái ismertek.

4. lehetőség

1. Állítsa be a 12x-5y+60=0 egyenes általános egyenletét szakaszokban az egyenletbe, és számítsa ki annak a szakasznak a hosszát, amelyet a megfelelő koordinátaszög levág ebből az egyenesből!

2. Az ∆ABC-ben a csúcsok az A (0;-2), a B pont (3;6), a C pont (1;-4) koordinátáival rendelkeznek. Állítsa össze az oldal (AB), magasság (VC) és medián (CM) egyenleteit;

3. Számítsa ki az M 0 (4;4) ponton átmenő és a vektorral párhuzamos (-2;7) egyenes meredekségét!

4. Számítsa ki a vonalak közötti szöget!

a) x +4 y + 8 = 0 és 7x - 3y + 5 = 0; Zenekar;

5. Határozza meg 2 egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét és;

6. Számítsa ki az AB szakasz közepe és az egyenes távolságát! , ha a t.A (-4; 8) és t.B (0; 4) szakasz végeinek koordinátái ismertek.

tesztkérdések

1. Nevezze meg egy síkban lévő egyenes egyenleteit, ha ismert a pont, amelyen áthalad, és az irányítóvektora!

2. Mi a normál, általános egyenlete egy síkon lévő egyenesnek;

3. Nevezze meg a két ponton áthaladó egyenes egyenletét, a szakaszonkénti egyenes egyenletét, a meredekségű egyenes egyenletét!

4. Sorolja fel a képleteket a vonalak közötti szög kiszámításához, adott egyenletek szögtényezővel. Fogalmazza meg két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételeit!

5. Hogyan találjuk meg egy pont és egy egyenes távolságát?

Legyen két pont megadva M(x 1 ,Nál nél 1) és N(x 2,y 2). Keressük meg az ezeken a pontokon áthaladó egyenes egyenletét.

Mivel ez az egyenes átmegy a ponton M, akkor az (1.13) képlet szerint az egyenletének alakja van

Nál nél – Y 1 = K(X-x 1),

Ahol K az ismeretlen lejtő.

Ennek az együtthatónak az értékét abból a feltételből határozzuk meg, hogy a kívánt egyenes áthalad a ponton N, ami azt jelenti, hogy a koordinátái megfelelnek az (1.13) egyenletnek.

Y 2 – Y 1 = K(x 2 – x 1),

Innen megtekintheti ennek a vonalnak a lejtését:

,

Vagy átalakítás után

(1.14)

Az (1.14) képlet meghatározza Két ponton átmenő egyenes egyenlete M(x 1, Y 1) és N(x 2, Y 2).

Abban az esetben, ha a pontok M(A, 0), N(0, B), DE ¹ 0, B¹ 0, a koordináta tengelyein fekszik, az (1.14) egyenlet egyszerűbb formát ölt

(1.15) egyenlet hívott Egyenes egyenlete szakaszokban, itt DEÉs B jelöljük a tengelyeken egyenes vonallal levágott szakaszokat (1.6. ábra).

1.6. ábra

1.10. példa. Írja fel a pontokon átmenő egyenes egyenletét! M(1, 2) és B(3, –1).

. Az (1.14) szerint a kívánt egyenes egyenletének alakja van

2(Y – 2) = -3(x – 1).

Az összes tagot áthelyezve a bal oldalra, végül megkapjuk a kívánt egyenletet

3x + 2Y – 7 = 0.

Példa 1.11. Írj egyenletet egy ponton átmenő egyenesre! M(2, 1) és az egyenesek metszéspontja x+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Az egyenesek metszéspontjának koordinátáit ezen egyenletek együttes megoldásával találjuk meg

Ha ezeket az egyenleteket tagonként összeadjuk, 2-t kapunk x+ 1 = 0, ahonnan . A talált értéket bármely egyenletbe behelyettesítve megkapjuk az ordináta értékét Nál nél:

Most írjuk fel a (2, 1) és pontokon áthaladó egyenes egyenletét:

vagy .

Ezért vagy -5( Y – 1) = x – 2.

Végül megkapjuk a kívánt egyenes egyenletét a formában x + 5Y – 7 = 0.

Példa 1.12. Határozzuk meg a pontokon átmenő egyenes egyenletét! M(2.1) és N(2,3).

Az (1.14) képlet segítségével megkapjuk az egyenletet

Ennek nincs értelme, mert a második nevező nulla. A feladat feltételéből látható, hogy mindkét pont abszcisszája azonos értékű. Ezért a szükséges egyenes párhuzamos a tengellyel OYés az egyenlete: x = 2.

Megjegyzés . Ha egy egyenes egyenletének felírásakor az (1.14) képlet szerint az egyik nevező a következőnek bizonyul nulla, akkor a kívánt egyenletet a megfelelő számláló nullával való egyenlővé tételével kaphatjuk meg.

Nézzünk más módokat az egyenes beállítására egy síkon.

1. Legyen egy nem nulla vektor merőleges egy adott egyenesre L, és a lényeg M 0(x 0, Y 0) ezen a vonalon fekszik (1.7. ábra).

1.7. ábra

Jelöli M(x, Y) egy tetszőleges pont az egyenesen L. Vektorok és Ortogonális. Az ezekre a vektorokra vonatkozó ortogonalitási feltételeket felhasználva megkapjuk, vagy DE(x – x 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Megkaptuk egy ponton átmenő egyenes egyenletét M 0 merőleges a vektorra. Ezt a vektort nevezzük Normál vektor egyenesre L. A kapott egyenlet átírható a következőre:

Ó + Wu + TÓL TŐL= 0, ahol TÓL TŐL = –(DEx 0 + Által 0), (1.16),

Ahol DEÉs BAN BEN a normálvektor koordinátái.

Megkapjuk az egyenes általános egyenletét paraméteres formában.

2. Egy síkon lévő egyenes a következőképpen definiálható: legyen egy nem nulla vektor párhuzamos egy adott egyenessel Lés pont M 0(x 0, Y 0) ezen a vonalon fekszik. Ismét vegyünk egy tetszőleges pontot M(x, y) egyenesen (1.8. ábra).

1.8. ábra

Vektorok és kollineáris.

Írjuk fel ezeknek a vektoroknak a kollinearitási feltételét: , ahol T egy tetszőleges szám, amelyet paraméternek neveznek. Írjuk fel ezt az egyenlőséget koordinátákkal:

Ezeket az egyenleteket ún Paraméteres egyenletek Egyenes. Zárjuk ki ezekből az egyenletekből a paramétert T:

Ezeket az egyenleteket a formába írhatjuk fel

. (1.18)

A kapott egyenletet ún Az egyenes kanonikus egyenlete. Vektor hívás Irányvektor egyenes .

Megjegyzés . Könnyen belátható, hogy ha az egyenes normálvektora L, akkor irányvektora lehet a vektor, hiszen , azaz .

1.13. példa. Írd fel egy ponton átmenő egyenes egyenletét! M 0(1, 1) párhuzamos a 3. egyenessel x + 2Nál nél– 8 = 0.

Megoldás . A vektor az adott és a kívánt egyenesek normálvektora. Használjuk egy ponton átmenő egyenes egyenletét M 0 adott normálvektorral 3( x –1) + 2(Nál nél– 1) = 0 vagy 3 x + 2y- 5 \u003d 0. Megkaptuk a kívánt egyenes egyenletét.

Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Szög két vonal között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet a sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2) így van leírva:

Két adott ponton áthaladó egyenes meredekségét a képlet határozza meg

3. Egyenesek közötti szög AÉs B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségi egyenletekkel adunk meg

y = k 1 x + B 1 ,