द्विघात समीकरण की समस्याओं का भी अध्ययन किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रमऔर विश्वविद्यालयों में। उन्हें a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 के रूप के समीकरणों के रूप में समझा जाता है, जहाँ एक्स-चर, ए, बी, सी - स्थिरांक; ए<>0. समस्या समीकरण की जड़ों को खोजने की है।

द्विघात समीकरण का ज्यामितीय अर्थ

द्विघात समीकरण द्वारा दर्शाए गए फलन का आलेख एक परवलय होता है। द्विघात समीकरण के हल (मूल) x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यह इस प्रकार है कि तीन संभावित मामले हैं:
1) परवलय का x-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। इसका मतलब है कि यह ऊपरी तल में शाखाओं के साथ ऊपर या नीचे शाखाओं के साथ नीचे है। ऐसे मामलों में, द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है (इसकी दो जटिल जड़ें होती हैं)।

2) परवलय में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु होता है। ऐसे बिंदु को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, और इसमें द्विघात समीकरण अपना न्यूनतम या अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है। इस स्थिति में, द्विघात समीकरण का एक वास्तविक मूल (या दो समान मूल) होता है।

3) अंतिम मामला व्यवहार में अधिक दिलचस्प है - एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं। इसका मतलब है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं।

चरों की घातों पर गुणांकों के विश्लेषण के आधार पर, परवलय के स्थान के बारे में दिलचस्प निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं।

1) यदि गुणांक a शून्य से अधिक है, तो परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, यदि ऋणात्मक है, तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।

2) यदि गुणांक बी शून्य से अधिक है, तो परवलय का शीर्ष बाएं आधे तल में स्थित है, यदि यह ऋणात्मक मान लेता है, तो दाईं ओर।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए द्विघात समीकरण से स्थिरांक को स्थानांतरित करें

समान चिह्न के लिए, हमें व्यंजक प्राप्त होता है

दोनों पक्षों को 4a . से गुणा करें

बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, दोनों भागों में b ^ 2 जोड़ें और परिवर्तन करें

यहाँ से हम पाते हैं

विभेदक का सूत्र और द्विघात समीकरण की जड़ें

विवेचक मूलक व्यंजक का मान है। यदि यह धनात्मक है, तो समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है जब विवेचक शून्य होता है, तो द्विघात समीकरण का एक हल (दो संयोग मूल) होता है, जो D=0 के लिए उपरोक्त सूत्र से प्राप्त करना आसान होता है। जब विभेदक ऋणात्मक होता है, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं। हालांकि, जटिल विमान में द्विघात समीकरण के समाधान का अध्ययन करने के लिए, और उनके मूल्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

विएटा का प्रमेय

एक द्विघात समीकरण के दो मूलों पर विचार करें और उनके आधार पर एक द्विघात समीकरण की रचना करें। विएटा प्रमेय स्वयं आसानी से संकेतन का अनुसरण करता है: यदि हमारे पास रूप का द्विघात समीकरण है तब इसके मूलों का योग गुणांक p के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है, और समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद q के बराबर होता है। उपरोक्त के लिए सूत्र इस तरह दिखेगा यदि शास्त्रीय समीकरण में स्थिरांक अशून्य है, तो आपको इसके द्वारा संपूर्ण समीकरण को विभाजित करने की आवश्यकता है, और फिर विएटा प्रमेय लागू करें।

गुणनखंडों पर द्विघात समीकरण की अनुसूची

कार्य को सेट होने दें: द्विघात समीकरण को कारकों में विघटित करना। इसे करने के लिए, हम पहले समीकरण को हल करते हैं (मूल ज्ञात करें)। इसके बाद, हम द्विघात समीकरण के विस्तार के लिए पाए गए मूलों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। यह समस्या हल हो जाएगी।

द्विघात समीकरण के लिए कार्य

कार्य 1। द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

x^2-26x+120=0 ।

समाधान: विभेदक सूत्र में गुणांक और स्थानापन्न लिखिए

की जड़ दिया गया मूल्य 14 के बराबर, इसे कैलकुलेटर के साथ खोजना आसान है, या इसे लगातार उपयोग के साथ याद रखना, हालांकि, सुविधा के लिए, लेख के अंत में मैं आपको संख्याओं के वर्गों की एक सूची दूंगा जो अक्सर ऐसे कार्यों में पाई जा सकती हैं। .
पाया गया मान मूल सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है

और हमें मिलता है

कार्य 2. प्रश्न हल करें

2x2+x-3=0.

हल: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है, गुणांक लिखिए और विवेचक ज्ञात कीजिए


द्वारा ज्ञात सूत्रद्विघात समीकरण की जड़ों का पता लगाएं

कार्य 3. प्रश्न हल करें

9x2 -12x+4=0.

हल: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है। विभेदक का निर्धारण करें

हमें मामला तब मिला जब जड़ें मेल खाती हैं। हम सूत्र द्वारा जड़ों के मान ज्ञात करते हैं

कार्य 4. प्रश्न हल करें

x^2+x-6=0 ।

समाधान: ऐसे मामलों में जहां x के लिए छोटे गुणांक हैं, विएटा प्रमेय को लागू करने की सलाह दी जाती है। इसकी स्थिति से, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं

दूसरी शर्त से, हम पाते हैं कि उत्पाद -6 के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। हमारे पास समाधानों की निम्नलिखित संभावित जोड़ी है(-3;2), (3;-2)। पहली शर्त को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान के दूसरे जोड़े को अस्वीकार करते हैं।
समीकरण की जड़ें हैं

टास्क 5. एक आयत की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि इसका परिमाप 18 सेमी और क्षेत्रफल 77 सेमी 2 है।

हल: एक आयत का आधा परिमाप आसन्न भुजाओं के योग के बराबर होता है। आइए x को निरूपित करें - बड़ा पक्ष, तो 18-x इसकी छोटी भुजा है। एक आयत का क्षेत्रफल इन लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है:
एक्स(18x)=77;
या
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
समीकरण के विभेदक का पता लगाएं

हम समीकरण की जड़ों की गणना करते हैं

यदि एक एक्स = 11,तब 18x=7 ,इसके विपरीत भी सत्य है (यदि x=7, तो 21-x=9)।

समस्या 6. द्विघात 10x 2 -11x+3=0 समीकरण का गुणनखंडन कीजिए।

हल: समीकरण की जड़ों की गणना करें, इसके लिए हम विवेचक पाते हैं

हम पाए गए मान को जड़ों के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं

हम द्विघात समीकरण को मूल के पदों में विस्तारित करने के लिए सूत्र लागू करते हैं

कोष्ठक का विस्तार करने पर, हमें पहचान मिलती है।

पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण

उदाहरण 1. पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए ए ,क्या समीकरण (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 का एक मूल है?

हल: मान a=3 के सीधे प्रतिस्थापन से हम देखते हैं कि इसका कोई हल नहीं है। इसके अलावा, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि शून्य विवेचक के साथ, समीकरण में बहुलता 2 का एक मूल होता है। आइए विवेचक को लिखें

इसे सरल करें और शून्य के बराबर करें

हमने पैरामीटर a के संबंध में एक द्विघात समीकरण प्राप्त किया है, जिसका समाधान Vieta प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त करना आसान है। जड़ों का योग 7 है और उनका गुणनफल 12 है। सरल गणना से, हम यह स्थापित करते हैं कि संख्या 3.4 समीकरण की जड़ें होंगी। चूँकि हमने गणना की शुरुआत में पहले ही समाधान a=3 को अस्वीकार कर दिया है, केवल सही समाधान होगा - ए = 4।इस प्रकार, a = 4 के लिए, समीकरण का एक मूल होता है।

उदाहरण 2. पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए ए ,समीकरण a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0एक से अधिक जड़ हैं?

समाधान: पहले एकवचन बिंदुओं पर विचार करें, वे मान a=0 और a=-3 होंगे। जब a=0, समीकरण को 6x-9=0 के रूप में सरल बनाया जाएगा; x=3/2 और एक मूल होगा। a= -3 के लिए हमें सर्वसमिका 0=0 प्राप्त होती है।
विभेदक की गणना करें

और a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए यह धनात्मक है

पहली शर्त से हमें एक>3 मिलता है। दूसरे के लिए, हम विभेदक और समीकरण की जड़ें पाते हैं


आइए उन अंतरालों को परिभाषित करें जहां फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है। बिंदु a=0 को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है 3>0 . अत: अंतराल के बाहर (-3; 1/3) फलन ऋणात्मक है। डॉट मत भूलना ए = 0जिसे बाहर रखा जाना चाहिए, क्योंकि मूल समीकरण में एक जड़ है।
नतीजतन, हमें दो अंतराल मिलते हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं

व्यवहार में कई समान कार्य होंगे, कार्यों को स्वयं करने का प्रयास करें और उन स्थितियों को ध्यान में रखना न भूलें जो परस्पर अनन्य हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्रों का अच्छी तरह से अध्ययन करें, विभिन्न समस्याओं और विज्ञानों में गणना में उनकी अक्सर आवश्यकता होती है।

पर आधुनिक समाजवर्ग चर वाले समीकरणों के साथ संचालन करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और व्यापक रूप से वैज्ञानिक और अभ्यास में उपयोग की जाती है। तकनीकी विकास. इसका प्रमाण समुद्र और नदी के जहाजों, विमानों और मिसाइलों के डिजाइन से लगाया जा सकता है। इस तरह की गणनाओं की मदद से, अंतरिक्ष वस्तुओं सहित विभिन्न निकायों की गति के प्रक्षेपवक्र निर्धारित किए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान में, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। इनकी आवश्यकता हो सकती है लंबी पैदल यात्रा यात्राएं, खेलकूद में, दुकानों में खरीदारी करते समय और अन्य बहुत ही सामान्य स्थितियों में।

आइए अभिव्यक्ति को घटक कारकों में तोड़ें

किसी समीकरण की घात उस चर की घात के अधिकतम मान से निर्धारित होती है जिसमें दिए गए व्यंजक में होते हैं। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को द्विघात समीकरण कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा में बोलते हैं, तो ये अभिव्यक्तियाँ, चाहे वे कैसी भी दिखती हों, हमेशा उस रूप में लायी जा सकती हैं जब व्यंजक के बाएँ भाग में तीन पद हों। उनमें से: कुल्हाड़ी 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर वर्ग), बीएक्स (एक अज्ञात वर्ग के बिना इसके गुणांक के साथ) और सी (मुक्त घटक, यानी एक साधारण संख्या)। दायीं ओर यह सब 0 के बराबर है। उस स्थिति में जब ऐसे बहुपद में कुल्हाड़ी 2 के अपवाद के साथ इसका कोई घटक पद नहीं होता है, इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान के उदाहरण, जिनमें चरों का मान ज्ञात करना कठिन नहीं है, पहले विचार किया जाना चाहिए।

यदि व्यंजक ऐसा लगता है कि व्यंजक के दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो चर को कोष्ठक में रखकर x को खोजना सबसे आसान है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x(ax+b)। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x = 0, या समस्या निम्न अभिव्यक्ति से एक चर खोजने के लिए कम हो गई है: ax+b=0. यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित किया जाता है। नियम कहता है कि दो कारकों के गुणनफल का परिणाम 0 में तभी होता है जब उनमें से कोई एक हो शून्य.

उदाहरण

x=0 या 8x - 3 = 0

नतीजतन, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस प्रकार के समीकरण गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो एक निश्चित बिंदु से आगे बढ़ना शुरू हुआ, जिसे मूल माना गया। यहां गणितीय संकेतननिम्नलिखित रूप लेता है: y = v 0 t + gt 2 / 2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके, दाईं ओर को 0 से जोड़कर और संभावित अज्ञातों को ढूंढकर, आप शरीर के उठने के क्षण से लेकर गिरने तक के समय के साथ-साथ कई अन्य मात्राओं का पता लगा सकते हैं। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

एक अभिव्यक्ति फैक्टरिंग

ऊपर वर्णित नियम इन समस्याओं को और अधिक में हल करना संभव बनाता है मुश्किल मामले. इस प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

X2 - 33x + 200 = 0

यह वर्ग त्रिपदपूरा है। सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं और इसे कारकों में विघटित करते हैं। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. परिणामस्वरूप, हमारे पास दो मूल 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण इस पद्धति को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भी व्यंजकों में एक चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब एक चर वाले कारकों में दाहिनी ओर फ़ैक्टर करते हैं, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात (x + 1), (x-3) और (x + 3))।

नतीजतन, यह स्पष्ट हो जाता है कि दिया गया समीकरणतीन जड़ें हैं: -3; -एक; 3.

वर्गमूल निकालना

अपूर्ण दूसरे क्रम के समीकरण का एक अन्य मामला अक्षरों की भाषा में इस तरह से लिखा गया एक व्यंजक है कि दाहिनी ओर घटक कुल्हाड़ी 2 और सी से बनाया गया है। यहाँ, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त पद को स्थानांतरित किया जाता है दाईं ओर, और उसके बाद, समानता के दोनों भागों से, वर्गमूल. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद समानताएं हैं जिनमें सी शब्द बिल्कुल भी नहीं है, जहां चर शून्य के बराबर है, साथ ही अभिव्यक्ति के रूप भी हैं जब दायां पक्ष नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं हैं, क्योंकि उपरोक्त क्रियाओं को जड़ों से नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस मामले में, समीकरण की जड़ें संख्या -4 और 4 होंगी।

भूमि के क्षेत्रफल की गणना

इस तरह की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई दी, क्योंकि गणित का विकास काफी हद तक इन्हीं में है दूर का समयसबसे बड़ी सटीकता के साथ भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को निर्धारित करने की आवश्यकता के कारण था।

हमें इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर संकलित द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरणों पर भी विचार करना चाहिए।

तो चलिए बताते हैं आयताकार क्षेत्रभूमि, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। आपको साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि का पता लगाना चाहिए, यदि यह ज्ञात हो कि इसका क्षेत्रफल 612 मीटर 2 है।

व्यवसाय में उतरते हुए, सबसे पहले हम आवश्यक समीकरण बनाएंगे। चलो खंड की चौड़ाई को x के रूप में निरूपित करते हैं, तो इसकी लंबाई (x + 16) होगी। यह लिखा गया है कि क्षेत्र एक्स (x + 16) अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो कि हमारी समस्या की स्थिति के अनुसार 612 है। इसका मतलब है कि x (x + 16) \u003d 612।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल, और यह व्यंजक बस यही है, उसी तरह नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालाँकि इसके बाईं ओर अभी भी दो गुणनखंड हैं, लेकिन उनका गुणनफल 0 बिल्कुल नहीं है, इसलिए यहाँ अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है।

विभेदक

सबसे पहले, हम आवश्यक परिवर्तन करते हैं, फिर उपस्थितियह व्यंजक इस प्रकार दिखाई देगा: x 2 + 16x - 612 = 0. इसका अर्थ है कि हमें पहले निर्दिष्ट मानक के अनुरूप रूप में एक व्यंजक प्राप्त हुआ है, जहां a=1, b=16, c=-612.

यह विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहां आवश्यक गणनायोजना के अनुसार उत्पादित: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मूल्य न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में वांछित मूल्यों को खोजना संभव बनाता है, यह संख्या निर्धारित करता है विकल्प. मामले में D>0, उनमें से दो हैं; डी = 0 के लिए एक रूट है। मामले में डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक है: 256 - 4(-612) = 2704। यह इंगित करता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप जानते हैं, को, द्विघात समीकरणों का हल नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके जारी रखा जाना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 =18, x 2 =-34। इस दुविधा में दूसरा विकल्प समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड के आकार को ऋणात्मक मानों में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहाँ से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18+16=34, और परिधि 2(34+ 18) = 104 (एम 2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

आइए सब कुछ समानता के बाईं ओर स्थानांतरित करें, एक परिवर्तन करें, अर्थात, हमें समीकरण का रूप मिलता है, जिसे आमतौर पर मानक एक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने के बाद, हम विभेदक निर्धारित करते हैं: डी \u003d 49 - 48 \u003d 1. तो हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। हम उनकी गणना उपरोक्त सूत्र के अनुसार करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1.

2) अब हम एक अलग तरह की पहेलियों का खुलासा करेंगे।

आइए जानें कि क्या यहां x 2 - 4x + 5 = 1 मूल हैं? एक विस्तृत उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम बहुपद को संबंधित परिचित रूप में लाते हैं और विवेचक की गणना करते हैं। इस उदाहरण में, द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि समस्या का सार इसमें बिल्कुल नहीं है। इस मामले में, डी \u003d 16 - 20 \u003d -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक होता है, जब वर्गमूल को बाद वाले के मान से निकाला जाता है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है। हालांकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। इसका नाम एक ऐसे व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16वीं शताब्दी के फ्रांस में रहता था और अदालत में अपनी गणितीय प्रतिभा और कनेक्शन के कारण उसका शानदार करियर था। उनका चित्र लेख में देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी ने जो पैटर्न देखा वह इस प्रकार था। उन्होंने सिद्ध किया कि समीकरण के मूलों का योग -p=b/a के बराबर है, और उनका गुणनफल q=c/a के संगत है।

अब आइए विशिष्ट कार्यों को देखें।

3x2 + 21x - 54 = 0

सादगी के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

एक्स 2 + 7x - 18 = 0

विएटा प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह हमें निम्नलिखित देगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। यहां से हम पाते हैं कि समीकरण की जड़ें संख्या -9 और 2 हैं। एक जाँच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि चर के ये मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट हों।

एक परवलय का ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन की अवधारणा और द्विघातीय समीकरणनिकट से कनेक्ट। इसके उदाहरण पहले भी दिए जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणितीय पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण को नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है। ग्राफ के रूप में खींची गई ऐसी निर्भरता को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात वह बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a>0, वे अनंत तक उच्च जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

कार्यों के दृश्य प्रतिनिधित्व द्विघात समीकरणों सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करते हैं। इस विधि को ग्राफिक कहा जाता है। और x चर का मान भुज निर्देशांक उन बिंदुओं पर होता है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक अभी दिए गए सूत्र द्वारा पाए जा सकते हैं x 0 = -b / 2a। और, परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, आप y 0 का पता लगा सकते हैं, जो कि y-अक्ष से संबंधित परवलय शीर्ष का दूसरा निर्देशांक है।

एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों को हल करने के कई उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि a>0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन तभी संभव है जब y 0 ऋणात्मक मान लेता है। और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

एक परवलय के ग्राफ से, आप जड़ों को भी निर्धारित कर सकते हैं। विपरीत भी सही है। अर्थात्, यदि द्विघात फलन का दृश्य निरूपण प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप व्यंजक के दाएँ पक्ष को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को जानना, प्लॉट करना आसान है।

इतिहास से

चुकता चर वाले समीकरणों की मदद से, पुराने दिनों में, न केवल गणितीय गणना की जाती थी और ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्र निर्धारित किया जाता था। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान बनाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिकों का सुझाव है, बाबुल के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग के आगमन से चार शताब्दी पहले हुआ था। बेशक, उनकी गणना मूल रूप से वर्तमान में स्वीकृत लोगों से अलग थी और बहुत अधिक आदिम निकली। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे हमारे समय के किसी भी छात्र को ज्ञात अन्य सूक्ष्मताओं से भी अपरिचित थे।

शायद बाबुल के वैज्ञानिकों से भी पहले भारत के ऋषि बौधायामा ने द्विघात समीकरणों का हल निकाला था। यह ईसा के युग के आगमन से लगभग आठ शताब्दी पहले हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के लिए जो तरीके उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, चीनी गणितज्ञ भी पुराने दिनों में इसी तरह के प्रश्नों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को 13वीं शताब्दी की शुरुआत में ही हल किया जाने लगा था, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों द्वारा उन्हें अपने काम में इस्तेमाल किया गया।

कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता जरूरी है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a , b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a 0।

हल करने की विशिष्ट विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. उनकी ठीक एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। कैसे निर्धारित करें कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।

इस सूत्र को दिल से जानना चाहिए। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D > 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, न कि उनके सभी संकेतों को, जैसा कि किसी कारण से बहुत से लोग सोचते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

हम पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखते हैं और विवेचक पाते हैं:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो, विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम दूसरे समीकरण का उसी तरह विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य के बराबर है - मूल एक होगा।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हां, यह लंबा है, हां, यह थकाऊ है - लेकिन आप बाधाओं को नहीं मिलाएंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियां नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 हल समीकरणों के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतने नहीं।

द्विघात समीकरण की जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D > 0 है, तो सूत्रों का उपयोग करके जड़ों को पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 − 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 1 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, त्रुटियाँ तब होती हैं जब सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को पेंट करें - और बहुत जल्द गलतियों से छुटकारा पाएं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b \u003d c \u003d 0. इस मामले में, समीकरण कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण में एक एकल होता है जड़: x \u003d 0.

आइए अन्य मामलों पर विचार करें। चलो बी \u003d 0, फिर हमें फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 का अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है, अंतिम समानता केवल तभी समझ में आती है जब (−c / a ) 0. निष्कर्ष:

1. यदि ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण असमानता (−c / a ) 0 को संतुष्ट करता है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c / a ) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और समान चिह्न के दूसरी तरफ देखने के लिए पर्याप्त है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें निकलती हैं। अंत में, हम इनमें से कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

काम। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 \u003d -1.5।

द्विघातीय समीकरण। भेदभाव करने वाला। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

द्विघात समीकरणों के प्रकार

द्विघात समीकरण क्या है? यह किस तरह का दिखता है? अवधि में द्विघात समीकरणकीवर्ड है "वर्ग"।इसका मतलब है कि समीकरण में आवश्यक रूप सेएक x वर्ग होना चाहिए। इसके अलावा, समीकरण में (या नहीं भी हो सकता है!) बस x (पहली डिग्री तक) और सिर्फ एक संख्या (स्वतंत्र सदस्य)।और दो से अधिक डिग्री में x नहीं होना चाहिए।

गणितीय शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

यहां ए, बी और सी- कुछ नंबर। बी और सी- बिल्कुल कोई, लेकिन ए- शून्य के अलावा कुछ भी। उदाहरण के लिए:

यहां ए =1; बी = 3; सी = -4

यहां ए =2; बी = -0,5; सी = 2,2

यहां ए =-3; बी = 6; सी = -18

खैर, आप विचार समझ गए...

इन द्विघात समीकरणों में, बाईं ओर है पूरा स्थिरसदस्य। गुणांक के साथ x चुकता ए,गुणांक के साथ पहली शक्ति के लिए x बीऔर मुक्त सदस्य

ऐसे द्विघात समीकरण कहलाते हैं पूर्ण।

और अगर बी= 0, हमें क्या मिलेगा? हमारे पास है एक्स पहली डिग्री में गायब हो जाएगा।यह शून्य से गुणा करने पर होता है।) यह पता चलता है, उदाहरण के लिए:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-एक्स 2 +4x=0

आदि। और यदि दोनों गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर हैं, तो यह और भी आसान है:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

ऐसे समीकरण, जिनमें कुछ छूट जाता है, कहलाते हैं अपूर्ण द्विघात समीकरण।जो काफी तार्किक है।) कृपया ध्यान दें कि x वर्ग सभी समीकरणों में मौजूद है।

वैसे क्यों एशून्य नहीं हो सकता? और आप इसके बजाय स्थानापन्न करें एशून्य।) वर्ग में X गायब हो जाएगा! समीकरण रैखिक हो जाएगा। और यह अलग तरह से किया जाता है ...

यह सभी मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरण हैं। पूर्ण और अपूर्ण।

द्विघात समीकरणों का हल।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है। सूत्रों द्वारा और स्पष्ट सरल नियम. पहले चरण में, आपको चाहिए दिया गया समीकरणनेतृत्व करने के लिए मानक दृश्य, अर्थात। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है।) मुख्य बात यह है कि सभी गुणांक को सही ढंग से निर्धारित करना है, ए, बीऔर सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को कहते हैं विभेदक. लेकिन उसके बारे में नीचे। जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। बस मूल्यों को ध्यान से बदलें ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। विकल्प अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी= -4। यहाँ हम लिखते हैं:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यही उत्तर है।

सब कुछ बहुत सरल है। और आपको क्या लगता है, आप गलत नहीं हो सकते? अच्छा, हाँ, कैसे...

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बी और सी. या बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (भ्रमित होने के लिए कहां है?), लेकिन प्रतिस्थापन के साथ नकारात्मक मानजड़ों की गणना के सूत्र में। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का विस्तृत रिकॉर्ड सहेजा जाता है। यदि गणना में कोई समस्या है, इसलिए यह कर!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।

खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से गिरेगा. इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन लगता ही है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर है, तेज, या सही? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। थोड़ी देर बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह सिर्फ सही निकलेगा। खासकर यदि आप व्यावहारिक तकनीकों को लागू करते हैं, जिनका वर्णन नीचे किया गया है। Minuses के एक समूह के साथ यह बुरा उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जाएगा!

लेकिन, अक्सर, द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

क्या आप जानते हैं?) हाँ! ये है अपूर्ण द्विघात समीकरण.

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

उन्हें सामान्य सूत्र द्वारा भी हल किया जा सकता है। आपको बस सही ढंग से यह पता लगाने की जरूरत है कि यहां क्या बराबर है ए, बी और सी.

समझना? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;ए सी? यह बिल्कुल मौजूद नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका अर्थ है कि सी = 0 ! बस इतना ही। सूत्र में के स्थान पर शून्य रखिए सी,और सब कुछ हमारे लिए काम करेगा। इसी तरह दूसरे उदाहरण के साथ। केवल शून्य हमारे यहाँ नहीं है साथ, ए बी !

लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी सूत्र के। पहले पर विचार करें अधूरा समीकरण. बाईं ओर क्या किया जा सकता है? आप X को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें।

और इससे क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है, और केवल अगर कोई भी कारक शून्य के बराबर है! विश्वास मत करो? खैर, फिर दो गैर-शून्य संख्याएँ लेकर आएँ, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा!
काम नहीं करता? कुछ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 4.

हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही पहचान 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सामान्य सूत्र की तुलना में बहुत सरल है। मैं ध्यान देता हूं, वैसे, कौन सा एक्स पहला होगा, और कौन सा दूसरा - यह बिल्कुल उदासीन है। क्रम में लिखना आसान एक्स 1- जो भी कम हो एक्स 2- वह जो अधिक हो।

दूसरा समीकरण भी आसानी से हल किया जा सकता है। हम 9 को दाईं ओर ले जाते हैं। हम पाते हैं:

यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस। पाना:

भी दो जड़ें . एक्स 1 = -3, एक्स 2 = 3.

इस प्रकार सभी अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है। या तो कोष्ठक में से x निकालकर, या सरल स्थानांतरणसंख्याएँ दाईं ओर, उसके बाद रूट निष्कर्षण।
इन तरीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से रूट निकालना होगा, जो किसी भी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में ब्रैकेट से बाहर निकलने के लिए कुछ भी नहीं है ...

भेदभाव करने वाला। विभेदक सूत्र।

जादुई शब्द विभेदक ! हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विवेककर्ता के माध्यम से निर्णय लें" आश्वस्त और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से तरकीबों का इंतजार करने की जरूरत नहीं है! इसे संभालने में आसान और परेशानी से मुक्त है।) मैं आपको सबसे ज्यादा याद दिलाता हूं सामान्य सूत्रसमाधान के लिए कोई भीद्विघातीय समीकरण:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को विवेचक कहा जाता है। विवेचक को आमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है डी. विभेदक सूत्र:

डी = बी 2 - 4ac

और इस अभिव्यक्ति में ऐसा क्या खास है? यह एक विशेष नाम के लायक क्यों है? क्या विभेदक का अर्थ?आख़िरकार -बी,या 2एइस सूत्र में वे विशेष रूप से नाम नहीं ... अक्षर और अक्षर।

बात यह है। इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय, यह संभव है केवल तीन मामले।

1. विवेचक सकारात्मक है।इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। जड़ को अच्छी तरह से निकाला गया है या बुरी तरह से यह एक और सवाल है। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। दो अलग समाधान।

2. विवेचक शून्य है।तो आपके पास एक ही उपाय है। चूँकि अंश में शून्य जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक जड़ नहीं है, बल्कि दो समान. लेकिन, एक सरलीकृत संस्करण में, इसके बारे में बात करने की प्रथा है एक हल।

3. विवेचक ऋणात्मक है।एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल नहीं लेती है। चलो ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

सच कहूं तो सरल उपायद्विघात समीकरण, विभेदक की अवधारणा की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं है। हम सूत्र में गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, और हम विचार करते हैं। वहाँ सब कुछ अपने आप निकल जाता है, और दो जड़ें, और एक, और एक भी नहीं। हालाँकि, अधिक हल करते समय कठिन कार्य, ज्ञान के बिना अर्थ और विभेदक सूत्रपर्याप्त नहीं। विशेष रूप से - मापदंडों के साथ समीकरणों में। इस तरह के समीकरण जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए एरोबेटिक्स हैं!)

इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंआपके द्वारा याद किए गए विवेचक के माध्यम से। या सीखा है, जो बुरा भी नहीं है।) आप सही ढंग से पहचानना जानते हैं ए, बी और सी. क्या आप जानते हैं कैसे ध्यान सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और ध्यान सेपरिणाम गिनें। क्या आप समझ गए कि यहाँ मुख्य शब्द है - ध्यान से?

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं। वही जो असावधानी के कारण होते हैं... जिसके लिए यह फिर दर्दनाक और अपमानजनक होता है...

पहला स्वागत . द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए हल करने से पहले आलसी मत बनो। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

और फिर, जल्दी मत करो! x चुकता से पहले का माइनस आपको बहुत परेशान कर सकता है। इसे भूलना आसान है... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया था! हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत। अपनी जड़ों की जाँच करें! Vieta के प्रमेय के अनुसार। चिंता मत करो, मैं सब कुछ समझा दूंगा! चेकिंग आखिरी चीजसमीकरण। वे। जिसके द्वारा हमने मूलों का सूत्र लिख दिया। यदि (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों को आसानी से जांचें। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। आपको एक फ्री टर्म मिलना चाहिए, यानी। हमारे मामले -2 में। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य आपके संकेत के साथ . अगर यह काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि वे पहले ही कहीं गड़बड़ कर चुके हैं। एक त्रुटि की तलाश करें।

यदि यह काम करता है, तो आपको जड़ों को मोड़ना होगा। अंतिम और अंतिम जांच। अनुपात होना चाहिए बीसाथ विलोम संकेत। हमारे मामले में -1+2 = +1। एक गुणांक बी, जो x से पहले है, -1 के बराबर है। तो, सब ठीक है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उन उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग शुद्ध है, एक गुणांक के साथ ए = 1.लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों की जाँच करें! हर चीज़ कम गलतियाँमर्जी।

रिसेप्शन तीसरा . यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! "समीकरणों को कैसे हल करें? पहचान परिवर्तन" पाठ में वर्णित सामान्य हर से समीकरण को गुणा करें। अंशों, त्रुटियों के साथ काम करते समय, किसी कारण से चढ़ना ...

वैसे, मैंने एक बुरे उदाहरण का वादा किया था जिसमें मिनिस के एक समूह को सरल बनाया गया था। आपका स्वागत है! वो रहा वो।

Minuses में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बस इतना ही! निर्णय लेना मजेदार है!

तो चलिए विषय को फिर से समझते हैं।

व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत कारक से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।

4. यदि x वर्ग साफ है, तो उस पर गुणांक एक के बराबर, समाधान आसानी से Vieta के प्रमेय द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। कर दो!

अब आप तय कर सकते हैं।)

समीकरण हल करें:

8x 2 - 6x + 1 = 0

एक्स 2 + 3x + 8 = 0

एक्स 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

उत्तर (अव्यवस्था में):

एक्स 1 = 0
एक्स 2 = 5

एक्स 1.2 =2

एक्स 1 = 2
एक्स 2 \u003d -0.5

एक्स - कोई भी संख्या

एक्स 1 = -3
एक्स 2 = 3

कोई समाधान नहीं

एक्स 1 = 0.25
एक्स 2 \u003d 0.5

क्या सब कुछ ठीक है? बढ़िया! द्विघात समीकरण आपके नहीं हैं सरदर्द. पहले तीन निकले, लेकिन बाकी नहीं निकले? तब समस्या द्विघात समीकरणों में नहीं है। समस्या समीकरणों के समान परिवर्तनों में है। लिंक पर एक नज़र डालें, यह मददगार है।

काफी काम नहीं करता? या यह बिल्कुल काम नहीं करता है? तब धारा 555 आपकी सहायता करेगी।वहां, इन सभी उदाहरणों को हड्डियों द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। दिखा मुख्यसमाधान में त्रुटियां। बेशक, यह उपयोग के बारे में भी बात करता है समान परिवर्तनविभिन्न समीकरणों को हल करने में। बहुत मदद करता है!

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”, यानी पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में, हम पता लगाएंगे द्विघात समीकरण क्या हैऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है

जरूरी!

एक समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अज्ञात की अधिकतम डिग्री "2" है, तो आपके पास द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• एक्स 2 - 8 = 0

जरूरी! द्विघात समीकरण का सामान्य रूप इस तरह दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

"ए", "बी" और "सी" - दिए गए नंबर।

• "ए" - पहला या वरिष्ठ गुणांक;
• "बी" - दूसरा गुणांक;
• "सी" एक स्वतंत्र सदस्य है।

"ए", "बी" और "सी" खोजने के लिए आपको द्विघात समीकरण "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" के सामान्य रूप के साथ अपने समीकरण की तुलना करने की आवश्यकता है।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

समीकरण	कठिनाइयाँ
ए = 5 बी = -14 सी = 17
ए = -7 बी = −13 सी = 8

1

3

= 0

• ए = -1
• बी = 1
• सी =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

एक्स 2 - 8 = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

भिन्न रेखीय समीकरणद्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, एक विशेष जड़ों को खोजने का सूत्र.

याद है!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को में लाएं सामान्य दृष्टि से"कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0"। यानी दायीं तरफ सिर्फ "0" ही रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके यह पता लगाएं कि द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र को कैसे लागू किया जाए। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

एक्स 2 - 3x - 4 = 0

समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और इसके लिए अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए, हमें केवल आवेदन करने की आवश्यकता है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" परिभाषित करें।

एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =

इसकी सहायता से कोई भी द्विघात समीकरण हल किया जाता है।

सूत्र "x 1; 2 \u003d" में मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है
"बी 2 - 4ac" अक्षर "डी" के लिए और विवेचक कहा जाता है। "विभेदक क्या है" पाठ में विवेचक की अवधारणा पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

द्विघात समीकरण के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी", और "सी" को निर्धारित करना मुश्किल है। आइए पहले समीकरण को सामान्य रूप "कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0" में लाएं।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
एक्स 2 + 9 + एक्स - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
एक्स 2 - 6x + 9 = 0

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स =

6

2

एक्स = 3
उत्तर: एक्स = 3

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब मूल के नीचे सूत्र में ऋणात्मक संख्या दिखाई देती है।