द्विघात समीकरण शून्य के बराबर नहीं होते हैं। द्विघातीय समीकरण

अभी-अभी। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में

दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात्। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात सही है

सभी गुणांक निर्धारित करें ए, बीऔर सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र।

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को कहते हैं विभेदक . जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए, हम

उपयोग केवल ए, बी और सी. वे। ऑड्स फ्रॉम द्विघात समीकरण. बस ध्यान से डालें

मूल्यों ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। के साथ प्रतिस्थापित करें उनकासंकेत!

उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी = -4.

मानों को प्रतिस्थापित करें और लिखें:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यही उत्तर है।

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बीऔर साथ. बल्कि, प्रतिस्थापन के साथ

जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मान। यहाँ विस्तृत सूत्र बचाता है

विशिष्ट संख्या के साथ। यदि गणना में कोई समस्या है, तो करें!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1

हम सब कुछ विस्तार से, ध्यान से, सभी संकेतों और कोष्ठक के साथ कुछ भी याद किए बिना पेंट करते हैं:

अक्सर द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं।

पहला स्वागत. पहले आलसी मत बनो द्विघात समीकरण को हल करनाइसे मानक रूप में लाएं।

इसका क्या मतलब है?

मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।

उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं।

आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत।अपनी जड़ों की जाँच करें! द्वारा विएटा का प्रमेय.

दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अर्थात्। यदि गुणांक

x2+bx+c=0,

तबएक्स 1 एक्स 2 = सी

x1 +x2 =−बी

एक पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए जिसमें ए≠1:

एक्स 2 +बीएक्स+सी=0,

पूरे समीकरण को से विभाजित करें ए:

→ →

कहाँ पे एक्स 1और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें।

रिसेप्शन तीसरा. यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! गुणा

एक सामान्य भाजक के लिए समीकरण।

निष्कर्ष। व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम सभी को गुणा करके इसे समाप्त करते हैं

-1 के लिए समीकरण।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत से गुणा करके भिन्नों को समाप्त करते हैं

कारक।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, इसके लिए गुणांक एक के बराबर है, तो समाधान को आसानी से जांचा जा सकता है

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र। वास्तविक, बहु और जटिल जड़ों के मामलों पर विचार किया जाता है। एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन। ज्यामितीय व्याख्या। मूल निर्धारण और गुणनखंडन के उदाहरण।

मूल सूत्र

द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात समीकरण की जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात हो जाते हैं, तब दूसरी डिग्री के बहुपद को कारकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है (तथ्यात्मक):
.

इसके अलावा, हम मानते हैं कि वास्तविक संख्याएं हैं।
विचार करना द्विघात समीकरण का विभेदक:
.
यदि विवेचक धनात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं:
; .
तब वर्ग त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.
यदि विवेचक शून्य है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणज (बराबर) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्म मूल हैं:
;
.
यहाँ काल्पनिक इकाई है;
और जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं:
; .
फिर

.

ग्राफिक व्याख्या

यदि हम फलन को रेखांकन करते हैं
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण के मूल होंगे
.
जब , ग्राफ भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
जब , ग्राफ एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।
जब , ग्राफ x-अक्ष को पार नहीं करता है।

नीचे ऐसे रेखांकन के उदाहरण दिए गए हैं।

द्विघात समीकरण से संबंधित उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(एफ.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

हम रूपांतरण करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ पे
; .

तो, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद के लिए सूत्र के रूप में मिला:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया
और ।
अर्थात्, और द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

फेसला

.
हमारे समीकरण (1.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

यहाँ से हम वर्ग त्रिपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:

.

फलन का ग्राफ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह दो बिंदुओं पर x-अक्ष (अक्ष) को पार करता है:
और ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) के मूल हैं।

जवाब

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

फेसला

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
.
मूल समीकरण (2.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो बहु (बराबर) मूल हैं:
;
.

फिर त्रिपद के गुणनखंड का रूप है:
.

फलन का ग्राफ y = x 2 - 4 x + 4एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह एक बिंदु पर x-अक्ष (अक्ष) को स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। चूँकि यह जड़ दो बार गुणनखंडित होती है:
,
तब ऐसे मूल को गुणज कहते हैं। अर्थात्, वे मानते हैं कि दो समान जड़ें हैं:
.

जवाब

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

फेसला

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
(1) .
आइए मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखें:
.
(1) की तुलना में, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
विभेदक ऋणात्मक है, . इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;
.

फिर


.

फलन का ग्राफ x-अक्ष को नहीं काटता है। कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज (अक्ष) को पार नहीं करता है। इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

जवाब

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। जटिल जड़ें:
;
;
.

द्विघात समीकरण - हल करने में आसान! *आगे पाठ "केयू" में।दोस्तों, ऐसा लगता है कि गणित में इस तरह के समीकरण को हल करने से ज्यादा आसान हो सकता है। लेकिन कुछ ने मुझे बताया कि बहुत से लोगों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का फैसला किया कि यांडेक्स प्रति माह प्रति अनुरोध कितने इंप्रेशन देता है। यहाँ क्या हुआ, एक नज़र डालें:

इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि हर महीने लगभग 70,000 लोग इस जानकारी की तलाश कर रहे हैं, और यह गर्मी है, और स्कूल वर्ष के दौरान क्या होगा - इसके लिए दोगुने अनुरोध होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे लड़के और लड़कियां जिन्होंने लंबे समय से स्कूल से स्नातक किया है और परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी अपनी याददाश्त को ताज़ा करने की कोशिश कर रहे हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि बहुत सारी साइटें हैं जो बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने सामग्री को योगदान और प्रकाशित करने का भी फैसला किया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध पर मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब भाषण "केयू" आएगा, तो मैं इस लेख का लिंक दूंगा; तीसरा, मैं आपको उनके समाधान के बारे में कुछ और बताऊंगा जो आमतौर पर अन्य साइटों पर कहा जाता है। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

जहां गुणांक ए,बीऔर मनमानी संख्या के साथ, a≠0 के साथ।

स्कूल पाठ्यक्रम में, सामग्री निम्नलिखित रूप में दी जाती है - तीन वर्गों में समीकरणों का विभाजन सशर्त रूप से किया जाता है:

1. दो जड़ें हों।

2. *केवल एक जड़ हो।

3. कोई जड़ नहीं है। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि उनकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? अभी-अभी!

हम विभेदक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के तहत एक बहुत ही सरल सूत्र है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

*इन सूत्रों को दिल से जानना चाहिए।

आप तुरंत लिख सकते हैं और निर्णय ले सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं।

2. यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण को देखें:

इस अवसर पर जब विवेचक शून्य होता है, तो स्कूल पाठ्यक्रम कहता है कि एक जड़ प्राप्त होती है, यहाँ यह नौ के बराबर है। यह सही है, यह है, लेकिन...

यह प्रतिनिधित्व कुछ हद तक गलत है। वास्तव में, दो जड़ें हैं। हाँ, हाँ, चौंकिए मत, इससे दो बराबर मूल निकलते हैं, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, उत्तर में दो मूल लिखे जाने चाहिए:

एक्स 1 = 3 एक्स 2 = 3

लेकिन ऐसा है - एक छोटा विषयांतर। स्कूल में, आप लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि केवल एक जड़ है।

अब निम्नलिखित उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जाता है, इसलिए इस मामले में कोई समाधान नहीं है।

यह पूरी निर्णय प्रक्रिया है।

द्विघात फंक्शन।

यहां बताया गया है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। यह समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है (भविष्य में, हम एक लेख में द्विघात असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह प्रपत्र का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

a, b, c दी गई संख्याएँ हैं, जहाँ a 0

ग्राफ एक परवलय है:

यही है, यह पता चला है कि शून्य के बराबर "y" के साथ एक द्विघात समीकरण को हल करके, हम एक्स-अक्ष के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विभेदक सकारात्मक है), एक (विभेदक शून्य है) या कोई नहीं (विभेदक नकारात्मक है)। द्विघात फलन के बारे में अधिक जानकारी आप देख सकते हैंइन्ना फेल्डमैन द्वारा लेख।

उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1: निर्णय लें 2x 2 +8 एक्स–192=0

a=2 b=8 c= -192

डी = बी 2 -4ac = 8 2 -4∙2∙ (-192) = 64+1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

* आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात इसे सरल बना सकते हैं। गणना आसान हो जाएगी।

उदाहरण 2: निर्णय करना x2–22 एक्स+121 = 0

ए = 1 बी = -22 सी = 121

डी = बी 2 -4 एसी = (-22) 2 -4∙1∙121 = 484-484 = 0

हमें वह x 1 \u003d 11 और x 2 \u003d 11 . मिला

उत्तर में x = 11 लिखने की अनुमति है।

उत्तर: एक्स = 11

उदाहरण 3: निर्णय करना x 2 -8x+72 = 0

ए = 1 बी = -8 सी = 72

डी = बी 2 -4 एसी = (-8) 2 -4∙1∙72 = 64-288 = -224

विवेचक ऋणात्मक है, वास्तविक संख्या में कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं

विभेदक नकारात्मक है। एक समाधान है!

यहां हम उस मामले में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक विवेचक प्राप्त होता है। क्या आप सम्मिश्र संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहाँ विस्तार में नहीं जाऊँगा कि वे क्यों और कहाँ उत्पन्न हुए और गणित में उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है, यह एक बड़े अलग लेख का विषय है।

एक जटिल संख्या की अवधारणा।

थोड़ा सिद्धांत।

एक सम्मिश्र संख्या z, रूप की एक संख्या है

जेड = ए + द्वि

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, i तथाकथित काल्पनिक इकाई है।

a+bi एक एकल संख्या है, जोड़ नहीं।

काल्पनिक इकाई माइनस वन के मूल के बराबर होती है:

अब समीकरण पर विचार करें:

दो संयुग्मी जड़ें प्राप्त करें।

अधूरा द्विघात समीकरण।

विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब होता है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर होता है (या दोनों शून्य के बराबर होते हैं)। वे बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल हो जाते हैं।

स्थिति 1. गुणांक b = 0.

समीकरण रूप लेता है:

आइए रूपांतरित करें:

उदाहरण:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

स्थिति 2. गुणांक c = 0.

समीकरण रूप लेता है:

रूपांतरण, गुणनखंड करना:

*उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) = 0 => x = 0 या x-5 =0

एक्स 1 = 0 एक्स 2 = 5

स्थिति 3. गुणांक b = 0 और c = 0।

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल हमेशा x = 0 होगा।

गुणांक के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

ए + बी+ सी = 0,तब

— यदि समीकरण के गुणांकों के लिए एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

ए+ के साथ =बी, तब

ये गुण एक निश्चित प्रकार के समीकरण को हल करने में मदद करते हैं।

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

गुणांकों का योग 5001+ है ( – 4995)+(– 6) = 0, तो

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता ए+ के साथ =बी, साधन

गुणांक की नियमितता।

1. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 +1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d -ए एक्स 2 \u003d -1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 6x 2 +37x+6 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6।

2. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स + सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 + 1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 15x 2 -226x +15 = 0 पर विचार करें।

एक्स 1 = 15 एक्स 2 = 1/15।

3. यदि समीकरण मेंकुल्हाड़ी 2 + बीएक्स - सी = 0 गुणांक "बी" बराबर (एक 2 -1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर, तो इसकी जड़ें बराबर होती हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d - ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 17x 2 + 288x - 17 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17।

4. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स - सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" बराबर है (ए 2 - 1), और गुणांक सी संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d - 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 10x2 - 99x -10 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

विएटा का प्रमेय।

विएटा के प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक मनमाना KU की जड़ों के योग और गुणनफल को इसके गुणांकों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये मूल हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को तुरंत मौखिक रूप से हल कर सकते हैं।

विएटा का प्रमेय, इसके अलावा। सुविधाजनक है क्योंकि द्विघात समीकरण को सामान्य तरीके से (विभेदक के माध्यम से) हल करने के बाद, परिणामी जड़ों की जाँच की जा सकती है। मैं इसे हर समय करने की सलाह देता हूं।

स्थानांतरण विधि

इस पद्धति के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, यही कारण है कि इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

यदि एक ए± बी+सी 0, तब स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11एक्स+ 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11एक्स+ 10 = 0 (2)

समीकरण (2) में वियत प्रमेय के अनुसार, यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

समीकरण की प्राप्त जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (चूंकि दोनों को x 2 से "फेंक" दिया गया था), हम प्राप्त करते हैं

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5।

तर्क क्या है? देखिए क्या हो रहा है।

समीकरणों के विभेदक (1) और (2) हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो केवल अलग-अलग हर प्राप्त होते हैं, और परिणाम x 2 पर गुणांक पर सटीक रूप से निर्भर करता है:

दूसरी (संशोधित) जड़ें 2 गुना बड़ी होती हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

*अगर हम एक तरह के तीन रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित करते हैं, और इसी तरह।

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

वर्ग उर-यानी और परीक्षा।

मैं संक्षेप में इसके महत्व के बारे में कहूंगा - आपको जल्दी से निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए और बिना सोचे समझे आपको जड़ों के सूत्र और विवेचक को दिल से जानना होगा। बहुत सारे कार्य जो USE कार्यों का हिस्सा हैं, एक द्विघात समीकरण (ज्यामितीय सहित) को हल करने के लिए नीचे आते हैं।

क्या ध्यान देने योग्य है!

1. समीकरण का रूप "अंतर्निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि संभव है:

15+ 9x 2 - 45x = 0 या 15x+42+9x 2 - 45x=0 या 15 -5x+10x 2 = 0.

आपको इसे एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है (ताकि हल करते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात मान है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

कई गैर-सरल फ़ार्मुलों के कारण यह विषय पहली बार में जटिल लग सकता है। द्विघात समीकरणों में न केवल लंबी प्रविष्टियाँ होती हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल तीन नए सूत्र हैं। याद रखना बहुत आसान नहीं है। यह ऐसे समीकरणों के बारंबार हल के बाद ही संभव है। तब सारे सूत्र अपने आप याद आ जाएंगे।

द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य

यहां उनका स्पष्ट संकेतन प्रस्तावित है, जब सबसे बड़ी डिग्री पहले लिखी जाती है, और फिर - अवरोही क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियां होती हैं जब शर्तें अलग हो जाती हैं। फिर समीकरण को चर की डिग्री के अवरोही क्रम में फिर से लिखना बेहतर होता है।

आइए नोटेशन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

यदि हम इन संकेतन को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्न संकेतन में कम हो जाते हैं।

इसके अलावा, गुणांक a 0. मान लें कि इस सूत्र को नंबर एक द्वारा दर्शाया गया है।

जब समीकरण दिया जाता है, तो यह स्पष्ट नहीं होता है कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:

• समाधान की दो जड़ें होंगी;
• उत्तर एक नंबर होगा;
• समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

और जब निर्णय अंत तक नहीं लाया जाता है, तो यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन सा विकल्प बाहर हो जाएगा।

द्विघात समीकरणों के अभिलेखों के प्रकार

कार्यों में अलग-अलग प्रविष्टियां हो सकती हैं। वे हमेशा द्विघात समीकरण के सामान्य सूत्र की तरह नहीं दिखेंगे। कभी-कभी इसमें कुछ शर्तों की कमी होगी। ऊपर जो लिखा गया वह पूरा समीकरण है। अगर आप इसमें दूसरा या तीसरा टर्म हटा दें तो आपको कुछ अलग ही मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, केवल अपूर्ण।

इसके अलावा, केवल वे शब्द जिनके लिए गुणांक "बी" और "सी" गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस स्थिति में सूत्र एक रेखीय समीकरण में बदल जाता है। समीकरणों के अधूरे रूप के सूत्र इस प्रकार होंगे:

तो, केवल दो प्रकार हैं, पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं। बता दें कि पहला फॉर्मूला नंबर दो और दूसरा नंबर तीन है।

विभेदक और उसके मूल्य पर जड़ों की संख्या की निर्भरता

समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए यह संख्या ज्ञात होनी चाहिए। इसकी गणना हमेशा की जा सकती है, चाहे द्विघात समीकरण का सूत्र कोई भी हो। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी गई समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है, जिसकी संख्या चार होगी।

गुणांकों के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने के बाद, आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। एक ऋणात्मक संख्या के साथ, द्विघात समीकरण के मूल अनुपस्थित रहेंगे। यदि यह शून्य के बराबर है, तो उत्तर एक होगा।

पूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

दरअसल, इस मुद्दे पर विचार शुरू हो चुका है। क्योंकि पहले आपको विवेचक को खोजने की जरूरत है। यह स्पष्ट करने के बाद कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको ऐसा सूत्र लागू करने की आवश्यकता है।

चूंकि इसमें "±" चिन्ह है, इसलिए दो मान होंगे। वर्गमूल चिह्न के नीचे का व्यंजक विवेचक है। इसलिए, सूत्र को एक अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।

सूत्र पाँच। एक ही रिकॉर्ड से यह देखा जा सकता है कि यदि विवेचक शून्य है, तो दोनों मूल समान मान लेंगे।

यदि द्विघात समीकरणों का हल अभी तक नहीं निकाला गया है, तो विवेचक और परिवर्तनशील सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिख लेना बेहतर है। बाद में यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही भ्रम होता है।

एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

यहां सब कुछ बहुत आसान है। यहां तक ​​कि अतिरिक्त सूत्रों की भी आवश्यकता नहीं है। और आपको उन लोगों की आवश्यकता नहीं होगी जो पहले से ही विवेचक और अज्ञात के लिए लिखे जा चुके हैं।

सबसे पहले, अपूर्ण समीकरण संख्या दो पर विचार करें। इस समानता में, अज्ञात मान को कोष्ठक से बाहर निकालना और रैखिक समीकरण को हल करना माना जाता है, जो कोष्ठक में रहेगा। उत्तर की दो जड़ें होंगी। पहला अनिवार्य रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि एक कारक है जिसमें स्वयं चर शामिल है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाता है।

नंबर तीन पर अधूरा समीकरण समीकरण के बाईं ओर से संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात के सामने गुणांक से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह केवल वर्गमूल निकालने के लिए रहता है और इसे दो बार विपरीत संकेतों के साथ लिखना न भूलें।

निम्नलिखित कुछ क्रियाएं हैं जो आपको द्विघात समीकरणों में बदल जाने वाली सभी प्रकार की समानताओं को हल करने का तरीका सीखने में मदद करती हैं। वे असावधानी के कारण होने वाली गलतियों से बचने में छात्र की मदद करेंगे। व्यापक विषय "क्वाड्रिक समीकरण (ग्रेड 8)" का अध्ययन करते समय ये कमियां खराब ग्रेड का कारण हैं। इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर आदत होगी।

• सबसे पहले आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। यही है, पहला पद चर की सबसे बड़ी डिग्री के साथ, और फिर - बिना डिग्री और अंतिम - केवल एक संख्या।

• यदि गुणांक "ए" से पहले एक माइनस दिखाई देता है, तो यह शुरुआती के लिए द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने के लिए काम को जटिल कर सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है। इस प्रयोजन के लिए, सभी समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि सभी शब्द संकेत को विपरीत में बदल देंगे।

• उसी तरह, अंशों से छुटकारा पाने की सिफारिश की जाती है। बस समीकरण को उपयुक्त कारक से गुणा करें ताकि हर रद्द हो जाए।

उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:

एक्स 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

एक्स 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)।

पहला समीकरण: x 2 - 7x \u003d 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो के लिए वर्णित के रूप में हल किया जाता है।

ब्रैकेटिंग के बाद, यह पता चला: x (x - 7) \u003d 0।

पहला रूट मान लेता है: x 1 \u003d 0. दूसरा रैखिक समीकरण से मिलेगा: x - 7 \u003d 0. यह देखना आसान है कि x 2 \u003d 7.

दूसरा समीकरण: 5x2 + 30 = 0. फिर से अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र के लिए वर्णित के रूप में हल किया गया है।

समीकरण के दाईं ओर 30 स्थानांतरित करने के बाद: 5x 2 = 30. अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह पता चला है: x 2 = 6. उत्तर संख्याएँ होंगी: x 1 = √6, x 2 = - 6.

तीसरा समीकरण: 15 - 2x - x 2 \u003d 0। यहाँ और नीचे, द्विघात समीकरणों का समाधान उन्हें एक मानक रूप में फिर से लिखकर शुरू होगा: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. अब दूसरे का उपयोग करने का समय है उपयोगी टिप और सब कुछ घटा एक से गुणा करें। यह x 2 + 2x - 15 \u003d 0 निकलता है। चौथे सूत्र के अनुसार, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64। यह एक है सकारात्मक संख्या। ऊपर जो कहा गया था, उससे यह पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। इसके अनुसार, यह पता चला है कि x \u003d (-2 ± 64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. फिर x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5।

चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x \u003d 0 इस में परिवर्तित हो गया है: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. इसका विवेचक इस मान के बराबर है: -23। चूंकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"

पाँचवाँ समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x 2 + 12x + 36 = 0। विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसकी एक जड़ होगी, जिसका नाम है: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6।

छठे समीकरण (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) को रूपांतरण की आवश्यकता होती है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि आपको कोष्ठक खोलने से पहले समान पदों को लाने की आवश्यकता है। पहले वाले के स्थान पर ऐसा व्यंजक होगा: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह प्रविष्टि दिखाई देगी: x 2 + 3x + 2. समान पदों की गणना के बाद, समीकरण रूप लेगा: x 2 - x \u003d 0. यह अधूरा हो गया है। इसके समान पहले से ही थोड़ा अधिक माना गया है। इसका मूल अंक 0 और 1 होगा।

आधुनिक समाज में, वर्ग चर वाले समीकरणों के साथ काम करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और इसका व्यापक रूप से वैज्ञानिक और तकनीकी विकास में उपयोग किया जाता है। इसका प्रमाण समुद्र और नदी के जहाजों, विमानों और मिसाइलों के डिजाइन से लगाया जा सकता है। इस तरह की गणना की मदद से, अंतरिक्ष वस्तुओं सहित विभिन्न निकायों की गति के प्रक्षेपवक्र निर्धारित किए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान में, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। कैंपिंग ट्रिप पर, खेल आयोजनों में, दुकानों में खरीदारी करते समय और अन्य बहुत ही सामान्य स्थितियों में उनकी आवश्यकता हो सकती है।

आइए अभिव्यक्ति को घटक कारकों में तोड़ें

किसी समीकरण की घात उस चर की घात के अधिकतम मान से निर्धारित होती है जिसमें दिए गए व्यंजक में होते हैं। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को द्विघात समीकरण कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा में बोलते हैं, तो ये अभिव्यक्तियाँ, चाहे वे कैसी भी दिखती हों, हमेशा उस रूप में लायी जा सकती हैं जब व्यंजक के बाएँ भाग में तीन पद हों। उनमें से: कुल्हाड़ी 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर वर्ग), बीएक्स (एक अज्ञात वर्ग के बिना इसके गुणांक के साथ) और सी (मुक्त घटक, यानी एक साधारण संख्या)। दायीं ओर यह सब 0 के बराबर है। उस स्थिति में जब ऐसे बहुपद में कुल्हाड़ी 2 के अपवाद के साथ इसका कोई घटक पद नहीं होता है, इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान के उदाहरण, जिनमें चरों का मान ज्ञात करना कठिन नहीं है, पहले विचार किया जाना चाहिए।

यदि व्यंजक इस प्रकार दिखता है कि व्यंजक के दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो चर को कोष्ठक में रखकर x को खोजना सबसे आसान है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x(ax+b)। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x = 0, या समस्या निम्न अभिव्यक्ति से एक चर खोजने के लिए कम हो गई है: ax+b=0. यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित किया जाता है। नियम कहता है कि दो कारकों के गुणनफल का परिणाम केवल तभी होता है जब उनमें से एक शून्य हो।

उदाहरण

x=0 या 8x - 3 = 0

नतीजतन, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस प्रकार के समीकरण गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो एक निश्चित बिंदु से आगे बढ़ना शुरू हुआ, जिसे मूल माना गया। यहाँ गणितीय संकेतन निम्नलिखित रूप लेता है: y = v 0 t + gt 2 /2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके, दाईं ओर को 0 से जोड़कर और संभावित अज्ञातों को ढूंढकर, आप शरीर के उठने के क्षण से लेकर गिरने तक के समय के साथ-साथ कई अन्य मात्राओं का पता लगा सकते हैं। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

एक अभिव्यक्ति फैक्टरिंग

ऊपर वर्णित नियम इन समस्याओं को अधिक जटिल मामलों में हल करना संभव बनाता है। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

X2 - 33x + 200 = 0

यह वर्ग त्रिपद पूर्ण है। सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं और इसे कारकों में विघटित करते हैं। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. परिणामस्वरूप, हमारे पास दो मूल 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण इस पद्धति को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भी व्यंजकों में एक चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब एक चर वाले कारकों में दाहिनी ओर फ़ैक्टर करते हैं, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात (x + 1), (x-3) और (x + 3))।

परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -एक; 3.

वर्गमूल निकालना

अपूर्ण दूसरे क्रम के समीकरण का एक अन्य मामला अक्षरों की भाषा में इस तरह से लिखा गया एक व्यंजक है कि दाहिनी ओर घटक कुल्हाड़ी 2 और सी से बनाया गया है। यहां, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त शब्द को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और उसके बाद, समानता के दोनों पक्षों से वर्गमूल निकाला जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद समानताएं हैं जिनमें सी शब्द बिल्कुल भी नहीं है, जहां चर शून्य के बराबर है, साथ ही अभिव्यक्ति के रूप भी हैं जब दायां पक्ष नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं हैं, क्योंकि उपरोक्त क्रियाओं को जड़ों से नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस मामले में, समीकरण की जड़ें संख्या -4 और 4 होंगी।

भूमि के क्षेत्रफल की गणना

इस तरह की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई दी, क्योंकि उन दूर के समय में गणित का विकास बड़े पैमाने पर भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को सबसे बड़ी सटीकता के साथ निर्धारित करने की आवश्यकता के कारण था।

हमें इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर संकलित द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरणों पर भी विचार करना चाहिए।

तो, मान लीजिए कि एक आयताकार भूमि है, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। आपको साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि का पता लगाना चाहिए, यदि यह ज्ञात हो कि इसका क्षेत्रफल 612 मीटर 2 है।

व्यवसाय में उतरते हुए, सबसे पहले हम आवश्यक समीकरण बनाएंगे। चलो खंड की चौड़ाई को x के रूप में निरूपित करते हैं, तो इसकी लंबाई (x + 16) होगी। यह लिखा गया है कि क्षेत्र एक्स (x + 16) अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो कि हमारी समस्या की स्थिति के अनुसार 612 है। इसका मतलब है कि x (x + 16) \u003d 612।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल, और यह व्यंजक बस यही है, उसी तरह नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालांकि इसके बाईं ओर अभी भी दो कारक हैं, उनका उत्पाद 0 के बराबर नहीं है, इसलिए यहां अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है।

विभेदक

सबसे पहले, हम आवश्यक परिवर्तन करेंगे, फिर इस अभिव्यक्ति की उपस्थिति इस तरह दिखेगी: x 2 + 16x - 612 = 0। इसका मतलब है कि हमें पहले से निर्दिष्ट मानक के अनुरूप रूप में एक अभिव्यक्ति प्राप्त हुई है, जहां ए = 1, बी = 16, सी = -612।

यह विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहाँ योजना के अनुसार आवश्यक गणनाएँ की जाती हैं: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मूल्य न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में वांछित मूल्यों को खोजना संभव बनाता है, यह संभावित विकल्पों की संख्या निर्धारित करता है। मामले में D>0, उनमें से दो हैं; डी = 0 के लिए एक रूट है। मामले में डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक है: 256 - 4(-612) = 2704। यह इंगित करता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप जानते हैं, को, द्विघात समीकरणों का हल नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके जारी रखा जाना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 =18, x 2 =-34। इस दुविधा में दूसरा विकल्प समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड के आकार को ऋणात्मक मानों में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहाँ से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18+16=34, और परिधि 2(34+ 18) = 104 (एम 2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

आइए सब कुछ समानता के बाईं ओर स्थानांतरित करें, एक परिवर्तन करें, अर्थात, हमें समीकरण का रूप मिलता है, जिसे आमतौर पर मानक एक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने के बाद, हम विभेदक निर्धारित करते हैं: डी \u003d 49 - 48 \u003d 1. तो हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। हम उनकी गणना उपरोक्त सूत्र के अनुसार करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1.

2) अब हम एक अलग तरह की पहेलियों का खुलासा करेंगे।

आइए जानें कि क्या यहां x 2 - 4x + 5 = 1 मूल हैं? एक विस्तृत उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम बहुपद को संबंधित परिचित रूप में लाते हैं और विवेचक की गणना करते हैं। इस उदाहरण में, द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि समस्या का सार इसमें बिल्कुल नहीं है। इस मामले में, डी \u003d 16 - 20 \u003d -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक होता है, जब वर्गमूल को बाद वाले के मान से निकाला जाता है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है। हालांकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। इसका नाम एक ऐसे व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16वीं शताब्दी के फ्रांस में रहता था और अदालत में अपनी गणितीय प्रतिभा और कनेक्शन के कारण उसका शानदार करियर था। उनका चित्र लेख में देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी ने जो पैटर्न देखा वह इस प्रकार था। उन्होंने सिद्ध किया कि समीकरण के मूलों का योग -p=b/a के बराबर है, और उनका गुणनफल q=c/a के संगत है।

अब आइए विशिष्ट कार्यों को देखें।

3x2 + 21x - 54 = 0

सादगी के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

एक्स 2 + 7x - 18 = 0

वीटा प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह हमें निम्नलिखित देगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। यहां से हम पाते हैं कि समीकरण की जड़ें संख्या -9 और 2 हैं। एक जाँच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि चर के ये मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट हों।

एक परवलय का ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन और द्विघात समीकरण की अवधारणाएँ आपस में घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले भी दिए जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणितीय पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण को नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है। ग्राफ के रूप में खींची गई ऐसी निर्भरता को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात वह बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a>0, वे अनंत तक उच्च जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

कार्यों के दृश्य प्रतिनिधित्व द्विघात समीकरणों सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करते हैं। इस विधि को ग्राफिक कहा जाता है। और x चर का मान भुज निर्देशांक उन बिंदुओं पर होता है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक अभी दिए गए सूत्र द्वारा पाए जा सकते हैं x 0 = -b / 2a। और, परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, आप y 0 का पता लगा सकते हैं, जो कि y-अक्ष से संबंधित परवलय शीर्ष का दूसरा निर्देशांक है।

एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों को हल करने के कई उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि a>0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन तभी संभव है जब y 0 ऋणात्मक मान लेता है। और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

एक परवलय के ग्राफ से, आप जड़ों को भी निर्धारित कर सकते हैं। विपरीत भी सही है। अर्थात्, यदि द्विघात फलन का दृश्य निरूपण प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप व्यंजक के दाएँ पक्ष को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को जानकर, प्लॉट करना आसान हो जाता है।

इतिहास से

चुकता चर वाले समीकरणों की मदद से, पुराने दिनों में, न केवल गणितीय गणना की जाती थी और ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्र निर्धारित किया जाता था। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान बनाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिकों का सुझाव है, बाबुल के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग के आगमन से चार शताब्दी पहले हुआ था। बेशक, उनकी गणना मूल रूप से वर्तमान में स्वीकृत लोगों से अलग थी और बहुत अधिक आदिम निकली। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे हमारे समय के किसी भी छात्र को ज्ञात अन्य सूक्ष्मताओं से भी अपरिचित थे।

शायद बाबुल के वैज्ञानिकों से भी पहले भारत के ऋषि बौधायामा ने द्विघात समीकरणों का हल निकाला था। यह ईसा के युग के आगमन से लगभग आठ शताब्दी पहले हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के लिए जो तरीके उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, चीनी गणितज्ञ भी पुराने दिनों में इसी तरह के प्रश्नों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को 13वीं शताब्दी की शुरुआत में ही हल किया जाने लगा था, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों द्वारा उन्हें अपने काम में इस्तेमाल किया गया।