द्विघात समीकरण का प्रमुख गुणांक। अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण - हल करने में आसान! *आगे पाठ "केयू" में।दोस्तों, ऐसा लगता है कि गणित में इस तरह के समीकरण को हल करने से ज्यादा आसान हो सकता है। लेकिन कुछ ने मुझे बताया कि बहुत से लोगों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का फैसला किया कि यांडेक्स प्रति माह प्रति अनुरोध कितने इंप्रेशन देता है। यहाँ क्या हुआ, एक नज़र डालें:

इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि हर महीने करीब 70,000 लोग ढूंढ रहे हैं यह जानकारी, इस गर्मी का इससे क्या लेना-देना है, और इसके बीच क्या होगा स्कूल वर्ष- अनुरोध दोगुने बड़े होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे लड़के और लड़कियां जिन्होंने लंबे समय से स्कूल से स्नातक किया है और परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी अपनी याददाश्त को ताज़ा करने की कोशिश कर रहे हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि बहुत सारी साइटें हैं जो बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने सामग्री को योगदान और प्रकाशित करने का भी फैसला किया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध पर मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब भाषण "केयू" आएगा, तो मैं इस लेख का लिंक दूंगा; तीसरा, मैं आपको उनके समाधान के बारे में कुछ और बताऊंगा जो आमतौर पर अन्य साइटों पर कहा जाता है। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

जहां गुणांक ए,बीऔर मनमानी संख्या के साथ, a≠0 के साथ।

स्कूल पाठ्यक्रम में, सामग्री निम्नलिखित रूप में दी जाती है - समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित करना सशर्त रूप से किया जाता है:

1. दो जड़ें हों।

2. *केवल एक जड़ हो।

3. कोई जड़ नहीं है। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि उनकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? अभी-अभी!

हम विभेदक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के तहत एक बहुत ही सरल सूत्र है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

*इन सूत्रों को दिल से जानना चाहिए।

आप तुरंत लिख सकते हैं और निर्णय ले सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं।

2. यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण को देखें:

द्वारा इस अवसरजब भेदभाव करने वाला शून्य, स्कूल पाठ्यक्रम कहता है कि एक जड़ प्राप्त होती है, यहाँ यह नौ के बराबर है। यह सही है, यह है, लेकिन...

यह प्रतिनिधित्व कुछ हद तक गलत है। वास्तव में, दो जड़ें हैं। हाँ, हाँ, हैरान मत होइए, यह दो हो जाता है बराबर जड़, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, उत्तर में दो मूल लिखे जाने चाहिए:

एक्स 1 = 3 एक्स 2 = 3

लेकिन ऐसा है - एक छोटा विषयांतर। स्कूल में, आप लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि केवल एक जड़ है।

अब निम्नलिखित उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जाता है, इसलिए इस मामले में कोई समाधान नहीं है।

यह पूरी निर्णय प्रक्रिया है।

द्विघात फंक्शन।

यहां बताया गया है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। यह समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है (भविष्य में, हम एक लेख में द्विघात असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह प्रपत्र का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

ए, बी, सी - दिए गए नंबर, जहां एक ≠ 0

ग्राफ एक परवलय है:

यही है, यह पता चला है कि शून्य के बराबर "y" के साथ एक द्विघात समीकरण को हल करके, हम एक्स-अक्ष के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विभेदक सकारात्मक है), एक (विभेदक शून्य है) या कोई नहीं (विभेदक नकारात्मक है)। के बारे में विवरण द्विघात फंक्शन आप देख सकते हैंइन्ना फेल्डमैन द्वारा लेख।

उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1: निर्णय लें 2x 2 +8 एक्स–192=0

a=2 b=8 c= -192

डी = बी 2 -4ac = 8 2 -4∙2∙ (-192) = 64+1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

* आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात इसे सरल बना सकते हैं। गणना आसान हो जाएगी।

उदाहरण 2: निर्णय करना x2–22 एक्स+121 = 0

ए = 1 बी = -22 सी = 121

डी = बी 2 -4 एसी = (-22) 2 -4∙1∙121 = 484-484 = 0

हमें वह x 1 \u003d 11 और x 2 \u003d 11 . मिला

उत्तर में x = 11 लिखने की अनुमति है।

उत्तर: एक्स = 11

उदाहरण 3: निर्णय करना x 2 -8x+72 = 0

ए = 1 बी = -8 सी = 72

डी = बी 2 -4 एसी = (-8) 2 -4∙1∙72 = 64-288 = -224

विवेचक ऋणात्मक है, वास्तविक संख्या में कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं

विभेदक नकारात्मक है। एक समाधान है!

यहां हम उस मामले में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक विवेचक प्राप्त होता है। क्या आप सम्मिश्र संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहाँ विस्तार में नहीं जाऊँगा कि वे क्यों और कहाँ उत्पन्न हुए और गणित में उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है, यह एक बड़े अलग लेख का विषय है।

एक जटिल संख्या की अवधारणा।

थोड़ा सिद्धांत।

एक सम्मिश्र संख्या z, रूप की एक संख्या है

जेड = ए + द्वि

जहां ए और बी हैं वास्तविक संख्या, i तथाकथित काल्पनिक इकाई है।

a+bi एक एकल संख्या है, जोड़ नहीं।

काल्पनिक इकाई माइनस वन के मूल के बराबर होती है:

अब समीकरण पर विचार करें:

दो संयुग्मी जड़ें प्राप्त करें।

अधूरा द्विघात समीकरण।

विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब होता है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर होता है (या दोनों शून्य के बराबर होते हैं)। वे बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल हो जाते हैं।

स्थिति 1. गुणांक b = 0.

समीकरण रूप लेता है:

आइए रूपांतरित करें:

उदाहरण:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

स्थिति 2. गुणांक c = 0.

समीकरण रूप लेता है:

रूपांतरित करें, गुणनखंड करें:

*उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 या x-5 =0

एक्स 1 = 0 एक्स 2 = 5

स्थिति 3. गुणांक b = 0 और c = 0।

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल हमेशा x = 0 होगा।

गुणांक के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

ए + बी+ सी = 0,तब

— यदि समीकरण के गुणांकों के लिए एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता

ए+ के साथ =बी, तब

ये गुण एक निश्चित प्रकार के समीकरण को हल करने में मदद करते हैं।

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

गुणांकों का योग 5001+ है ( – 4995)+(– 6) = 0, तो

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता ए+ के साथ =बी, साधन

गुणांक की नियमितता।

1. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 +1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d -ए एक्स 2 \u003d -1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 6x 2 +37x+6 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6।

2. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स + सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" (ए 2 +1) है, और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 + 1) एक्स + ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 15x 2 -226x +15 = 0 पर विचार करें।

एक्स 1 = 15 एक्स 2 = 1/15।

3. यदि समीकरण मेंकुल्हाड़ी 2 + बीएक्स - सी = 0 गुणांक "बी" बराबर (एक 2 -1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर, तो इसकी जड़ें बराबर होती हैं

कुल्हाड़ी 2 + (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d - ए एक्स 2 \u003d 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 17x 2 + 288x - 17 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17।

4. यदि समीकरण कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स - सी \u003d 0 में, गुणांक "बी" बराबर है (ए 2 - 1), और गुणांक सी संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

कुल्हाड़ी 2 - (ए 2 -1) एक्स - ए \u003d 0 \u003d\u003e एक्स 1 \u003d ए एक्स 2 \u003d - 1 / ए।

उदाहरण। समीकरण 10x2 - 99x -10 = 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

विएटा का प्रमेय।

विएटा के प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक मनमाना KU की जड़ों के योग और गुणनफल को इसके गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये मूल हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को तुरंत मौखिक रूप से हल कर सकते हैं।

विएटा का प्रमेय, इसके अलावा। सुविधाजनक है क्योंकि द्विघात समीकरण को सामान्य तरीके से (विभेदक के माध्यम से) हल करने के बाद, परिणामी जड़ों की जाँच की जा सकती है। मैं इसे हर समय करने की सलाह देता हूं।

स्थानांतरण विधि

इस पद्धति के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, यही कारण है कि इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

यदि एक ए± बी+सी 0, तब स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11एक्स+ 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11एक्स+ 10 = 0 (2)

समीकरण (2) में वियत प्रमेय के अनुसार, यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

समीकरण की प्राप्त जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (चूंकि दोनों को x 2 से "फेंक" दिया गया था), हम प्राप्त करते हैं

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5।

तर्क क्या है? देखिए क्या हो रहा है।

समीकरणों के विभेदक (1) और (2) हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो केवल अलग-अलग हर प्राप्त होते हैं, और परिणाम x 2 पर गुणांक पर सटीक रूप से निर्भर करता है:

दूसरी (संशोधित) जड़ें 2 गुना बड़ी होती हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

*अगर हम एक तरह के तीन रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित करते हैं, और इसी तरह।

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

वर्ग उर-यानी और परीक्षा।

मैं इसके महत्व के बारे में संक्षेप में कहूंगा - आपको जल्दी से निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए और बिना सोचे-समझे आपको जड़ों के सूत्र और विवेचक को दिल से जानना होगा। बहुत सारे कार्य जो USE कार्यों का हिस्सा हैं, एक द्विघात समीकरण (ज्यामितीय सहित) को हल करने के लिए नीचे आते हैं।

क्या ध्यान देने योग्य है!

1. समीकरण का रूप "अंतर्निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि संभव है:

15+ 9x 2 - 45x = 0 या 15x+42+9x 2 - 45x=0 या 15 -5x+10x 2 = 0.

आपको इसे एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है (ताकि हल करते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात मान है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

एक अधूरा द्विघात समीकरण शास्त्रीय (पूर्ण) समीकरणों से इस मायने में भिन्न होता है कि इसके गुणनखंड या मुक्त पद शून्य के बराबर होते हैं। ऐसे कार्यों का ग्राफ परवलय हैं। सामान्य उपस्थिति के आधार पर, उन्हें 3 समूहों में विभाजित किया जाता है। सभी प्रकार के समीकरणों के हल के सिद्धांत समान होते हैं।

अपूर्ण बहुपद के प्रकार का निर्धारण करने में कुछ भी कठिन नहीं है। उदाहरण के उदाहरणों में मुख्य अंतरों पर विचार करना सबसे अच्छा है:

1. यदि b = 0 है, तो समीकरण ax 2 + c = 0 है।
2. यदि c = 0 है, तो व्यंजक ax 2 + bx = 0 को हल किया जाना चाहिए।
3. यदि b = 0 और c = 0, तो बहुपद ax 2 = 0 प्रकार की समानता बन जाता है।

उत्तरार्द्ध मामला एक सैद्धांतिक संभावना से अधिक है और ज्ञान परीक्षणों में कभी नहीं होता है, क्योंकि अभिव्यक्ति में x का एकमात्र सही मूल्य शून्य है। भविष्य में अधूरी समस्याओं को हल करने के तरीकों और उदाहरणों पर विचार किया जाएगा। द्विघातीय समीकरण 1) और 2) प्रजातियां।

समाधान के साथ चर और उदाहरण खोजने के लिए सामान्य एल्गोरिदम

समीकरण के प्रकार के बावजूद, समाधान एल्गोरिथ्म को निम्न चरणों में घटाया जाता है:

1. व्यंजक को मूल ज्ञात करने के लिए सुविधाजनक रूप में लाएं।
2. गणना करें।
3. उत्तर लिखिए।

अधूरे समीकरणों को बायीं ओर फैक्टर करके और दायीं ओर शून्य छोड़ कर हल करना सबसे आसान है। इस प्रकार, प्रत्येक कारक के लिए x के मान की गणना करने के लिए जड़ों को खोजने के लिए एक अपूर्ण द्विघात समीकरण का सूत्र कम हो जाता है।

आप केवल अभ्यास में हल करना सीख सकते हैं, इसलिए विचार करें विशिष्ट उदाहरणअपूर्ण समीकरण के मूल ज्ञात करना:

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस स्थिति में b = 0. हम बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और व्यंजक प्राप्त करते हैं:

4(x - 0.5) (x + 0.5) = 0.

जाहिर है, उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। इसी तरह की आवश्यकताएं चर x1 = 0.5 और (या) x2 = -0.5 के मानों से पूरी होती हैं।

आसानी से और जल्दी से अपघटन के कार्य से निपटने के लिए वर्ग त्रिपदगुणक, आपको निम्न सूत्र याद रखना चाहिए:

यदि अभिव्यक्ति में कोई मुक्त शब्द नहीं है, तो कार्य बहुत सरल हो जाता है। यह सामान्य भाजक को खोजने और निकालने के लिए पर्याप्त होगा। स्पष्टता के लिए, ax2 + bx = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण पर विचार करें।

आइए वेरिएबल x को कोष्ठक से बाहर निकालें और निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करें:

एक्स (एक्स + 3) = 0।

तर्क के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x1 = 0 और x2 = -3।

हल करने का पारंपरिक तरीका और अधूरा द्विघात समीकरण

यदि हम विभेदक सूत्र लागू करते हैं और शून्य के बराबर गुणांक वाले बहुपद के मूल ज्ञात करने का प्रयास करते हैं तो क्या होगा? आइए 2017 में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए विशिष्ट कार्यों के संग्रह से एक उदाहरण लेते हैं, हम इसे मानक सूत्रों और गुणन विधि का उपयोग करके हल करेंगे।

7x 2 - 3x = 0.

विभेदक के मूल्य की गणना करें: डी = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9। यह पता चला है कि बहुपद की दो जड़ें हैं:

अब, गुणनखंड द्वारा समीकरण को हल करें और परिणामों की तुलना करें।

एक्स (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
एक्स = -।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों विधियाँ समान परिणाम देती हैं, लेकिन समीकरण को हल करने का दूसरा तरीका बहुत आसान और तेज़ निकला।

विएटा का प्रमेय

लेकिन प्रिय विएटा प्रमेय के साथ क्या करना है? क्या इस विधि को अपूर्ण त्रिपद के साथ लागू किया जा सकता है? आइए अधूरे समीकरणों को शास्त्रीय रूप ax2 + bx + c = 0 में कम करने के पहलुओं को समझने की कोशिश करें।

वास्तव में, इस मामले में विएटा के प्रमेय को लागू करना संभव है। केवल लापता शब्दों को शून्य से बदलकर, अभिव्यक्ति को सामान्य रूप में लाना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, बी = 0 और ए = 1 के साथ, भ्रम की संभावना को खत्म करने के लिए, कार्य को फॉर्म में लिखा जाना चाहिए: ax2 + 0 + c = 0। फिर योग और जड़ों के उत्पाद का अनुपात और बहुपद के कारकों को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

सैद्धांतिक गणना समस्या के सार से परिचित होने में मदद करती है, और हल करते समय हमेशा कौशल विकास की आवश्यकता होती है विशिष्ट कार्यों. आइए फिर से परीक्षा के लिए विशिष्ट कार्यों की संदर्भ पुस्तक की ओर मुड़ें और एक उपयुक्त उदाहरण खोजें:

हम व्यंजक को Vieta प्रमेय को लागू करने के लिए सुविधाजनक रूप में लिखते हैं:

x2 + 0 - 16 = 0.

अगला कदम शर्तों की एक प्रणाली बनाना है:

जाहिर है, वर्ग बहुपद की जड़ें x 1 \u003d 4 और x 2 \u003d -4 होंगी।

अब, आइए समीकरण को सामान्य रूप में लाने का अभ्यास करें। निम्नलिखित उदाहरण लें: 1/4× x 2 – 1 = 0

वियत प्रमेय को व्यंजक पर लागू करने के लिए, आपको भिन्न से छुटकारा पाना होगा। बाएँ और दाएँ पक्षों को 4 से गुणा करें, और परिणाम देखें: x2– 4 = 0. परिणामी समानता Vieta प्रमेय द्वारा हल करने के लिए तैयार है, लेकिन c = को स्थानांतरित करके उत्तर प्राप्त करना बहुत आसान और तेज़ है समीकरण के दाईं ओर 4: x2 = 4।

संक्षेप में, यह कहा जाना चाहिए कि सबसे अच्छा तरीकाअधूरे समीकरणों का हल गुणनखंडन है, सरलतम है और तेज़ तरीका. यदि आप जड़ों को खोजने की प्रक्रिया में कठिनाइयों का सामना करते हैं, तो आप विवेचक के माध्यम से जड़ों को खोजने की पारंपरिक विधि का उल्लेख कर सकते हैं।

द्विघात समीकरण a*x^2 +b*x+c=0 रूप का एक समीकरण है, जहां a,b,c कुछ मनमानी वास्तविक (वास्तविक) संख्याएं हैं, और x एक चर है। और संख्या a 0 के बराबर नहीं है।

संख्याएँ a, b, c गुणांक कहलाती हैं। संख्या a - को प्रमुख गुणांक कहा जाता है, संख्या b x पर गुणांक है, और संख्या c को मुक्त सदस्य कहा जाता है। कुछ साहित्य में अन्य नाम भी मिलते हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, और संख्या b को दूसरा गुणांक कहा जाता है।

द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण

द्विघात समीकरणों का अपना वर्गीकरण होता है।

गुणांक की उपस्थिति से:

1. पूर्ण

2. अधूरा

अज्ञात की उच्चतम डिग्री के गुणांक के मूल्य से(अग्रणी गुणांक के मूल्य के लिए):

1. दिया गया

2. कम नहीं

द्विघात समीकरण पूर्ण कहा जाता हैयदि इसमें सभी तीन गुणांक हैं और वे शून्येतर हैं। सामान्य फ़ॉर्मपूर्ण द्विघात समीकरण: a*x^2 +b*x+c=0;

द्विघात समीकरण अधूरा कहा जाता हैयदि समीकरण में a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 गुणांक b या c में से एक शून्य (b \u003d 0 या c \u003d 0) के बराबर है, हालाँकि, एक अपूर्ण द्विघात समीकरण भी होगा एक समीकरण जिसमें दोनों गुणांक b और गुणांक c एक साथ शून्य के बराबर हैं (दोनों b=0 और c=0)।

यह ध्यान देने योग्य है कि अग्रणी गुणांक के बारे में यहां कुछ भी नहीं कहा गया है, क्योंकि द्विघात समीकरण की परिभाषा के अनुसार, यह शून्य से अलग होना चाहिए।

दिया गयायदि इसका प्रमुख गुणांक एक के बराबर(ए = 1)। दिए गए द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य: x^2 +d*x+e=0.

द्विघात समीकरण कहलाता है कम नहीं,यदि समीकरण में अग्रणी गुणांक शून्य नहीं है। कम न किए गए द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य: a*x^2 +b*x+c=0.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी गैर-कम द्विघात समीकरण को घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्रमुख गुणांक द्वारा द्विघात समीकरण के गुणांक को विभाजित करना आवश्यक है।

द्विघात उदाहरण

एक उदाहरण पर विचार करें:हमारे पास समीकरण 2*x^2 - 6*x+7 =0;

आइए इसे उपरोक्त समीकरण में बदलें। अग्रणी गुणांक 2 है। आइए इसके द्वारा हमारे समीकरण के गुणांकों को विभाजित करें और उत्तर लिखें।

x^2 - 3*x+3.5 =0;

जैसा कि आपने देखा, द्विघात समीकरण के दाईं ओर दूसरी डिग्री a * x ^ 2 + b * x + c का एक बहुपद है। इसे वर्ग त्रिपद भी कहते हैं।

कई गैर-सरल फ़ार्मुलों के कारण यह विषय पहली बार में जटिल लग सकता है। द्विघात समीकरणों में न केवल लंबी प्रविष्टियाँ होती हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल तीन नए सूत्र हैं। याद रखना बहुत आसान नहीं है। यह ऐसे समीकरणों के बारंबार हल के बाद ही संभव है। तब सारे सूत्र अपने आप याद आ जाएंगे।

द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य

यहां उनका स्पष्ट संकेतन प्रस्तावित है, जब सबसे बड़ी डिग्री पहले लिखी जाती है, और फिर - अवरोही क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियां होती हैं जब शर्तें अलग हो जाती हैं। फिर समीकरण को चर की डिग्री के अवरोही क्रम में फिर से लिखना बेहतर होता है।

आइए नोटेशन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

यदि हम इन संकेतन को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्न संकेतन में कम हो जाते हैं।

इसके अलावा, गुणांक a 0. मान लें कि इस सूत्र को नंबर एक द्वारा दर्शाया गया है।

जब समीकरण दिया जाता है, तो यह स्पष्ट नहीं होता है कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:

• समाधान की दो जड़ें होंगी;
• उत्तर एक नंबर होगा;
• समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

और जब निर्णय अंत तक नहीं लाया जाता है, तो यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन सा विकल्प बाहर हो जाएगा।

द्विघात समीकरणों के अभिलेखों के प्रकार

कार्यों में अलग-अलग प्रविष्टियां हो सकती हैं। वे हमेशा की तरह नहीं दिखते सामान्य सूत्रद्विघात समीकरण। कभी-कभी इसमें कुछ शर्तों की कमी होगी। ऊपर क्या लिखा था पूरा समीकरण. इसमें दूसरा या तीसरा टर्म हटा दें तो कुछ और मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, केवल अपूर्ण।

इसके अलावा, केवल वे शब्द जिनके लिए गुणांक "बी" और "सी" गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस स्थिति में सूत्र एक रेखीय समीकरण में बदल जाता है। समीकरणों के अधूरे रूप के सूत्र इस प्रकार होंगे:

तो, केवल दो प्रकार हैं, पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं। बता दें कि पहला फॉर्मूला नंबर दो और दूसरा नंबर तीन है।

विभेदक और उसके मूल्य पर जड़ों की संख्या की निर्भरता

समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए यह संख्या ज्ञात होनी चाहिए। इसकी गणना हमेशा की जा सकती है, चाहे द्विघात समीकरण का सूत्र कोई भी हो। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी गई समानता का उपयोग करना होगा, जिसकी संख्या चार होगी।

गुणांकों के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने के बाद, आप संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं विभिन्न संकेत. यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। एक ऋणात्मक संख्या के साथ, द्विघात समीकरण के मूल अनुपस्थित रहेंगे। यदि यह शून्य के बराबर है, तो उत्तर एक होगा।

पूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

दरअसल, इस मुद्दे पर विचार शुरू हो चुका है। क्योंकि पहले आपको विवेचक को खोजने की जरूरत है। यह स्पष्ट करने के बाद कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको ऐसा सूत्र लागू करने की आवश्यकता है।

चूंकि इसमें "±" चिन्ह है, इसलिए दो मान होंगे। हस्ताक्षरित अभिव्यक्ति वर्गमूलविभेदक है। इसलिए, सूत्र को एक अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।

सूत्र पाँच। एक ही रिकॉर्ड से यह देखा जा सकता है कि यदि विवेचक शून्य है, तो दोनों मूल समान मान लेंगे।

यदि द्विघात समीकरणों का हल अभी तक नहीं निकाला गया है, तो विवेचक और परिवर्तनशील सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिख लेना बेहतर है। बाद में यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही भ्रम होता है।

एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

यहां सब कुछ बहुत आसान है। यहां तक ​​कि अतिरिक्त सूत्रों की भी आवश्यकता नहीं है। और आपको उन लोगों की आवश्यकता नहीं होगी जो पहले से ही विवेचक और अज्ञात के लिए लिखे जा चुके हैं।

पहले विचार करें अधूरा समीकरणदूसरे नंबर पर। इस समानता में, अज्ञात मान को कोष्ठक से बाहर निकालना और रैखिक समीकरण को हल करना माना जाता है, जो कोष्ठक में रहेगा। उत्तर की दो जड़ें होंगी। पहला अनिवार्य रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि एक कारक है जिसमें स्वयं चर शामिल है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाता है।

नंबर तीन पर अधूरा समीकरण समीकरण के बाईं ओर से संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात के सामने गुणांक से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह केवल वर्गमूल निकालने के लिए रहता है और इसे दो बार विपरीत संकेतों के साथ लिखना न भूलें।

निम्नलिखित कुछ क्रियाएं हैं जो आपको द्विघात समीकरणों में बदलने वाली सभी प्रकार की समानताएं हल करने का तरीका सीखने में मदद करती हैं। वे असावधानी के कारण होने वाली गलतियों से बचने में छात्र की मदद करेंगे। व्यापक विषय "क्वाड्रिक समीकरण (ग्रेड 8)" का अध्ययन करते समय ये कमियां खराब ग्रेड का कारण हैं। इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर आदत होगी।

• सबसे पहले आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। यही है, पहला पद जिसमें चर की सबसे बड़ी डिग्री है, और फिर - बिना डिग्री और अंतिम - केवल एक संख्या।

• यदि गुणांक "ए" से पहले एक माइनस दिखाई देता है, तो यह शुरुआती के लिए द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने के लिए काम को जटिल कर सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है। इस प्रयोजन के लिए, सभी समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि सभी शब्द संकेत को विपरीत में बदल देंगे।

• उसी तरह, अंशों से छुटकारा पाने की सिफारिश की जाती है। बस समीकरण को उपयुक्त कारक से गुणा करें ताकि हर रद्द हो जाए।

उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:

एक्स 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

एक्स 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)।

पहला समीकरण: x 2 - 7x \u003d 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो के लिए वर्णित के अनुसार हल किया जाता है।

ब्रैकेटिंग के बाद, यह पता चला: x (x - 7) \u003d 0।

पहला मूल मान लेता है: x 1 = 0. दूसरा से मिलेगा रेखीय समीकरण: x - 7 = 0. यह देखना आसान है कि x 2 = 7।

दूसरा समीकरण: 5x2 + 30 = 0. फिर से अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र के लिए वर्णित के रूप में हल किया गया है।

समीकरण के दाईं ओर 30 स्थानांतरित करने के बाद: 5x 2 = 30. अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह पता चला है: x 2 = 6. उत्तर संख्याएँ होंगी: x 1 = √6, x 2 = - 6.

तीसरा समीकरण: 15 - 2x - x 2 \u003d 0। यहाँ और नीचे, द्विघात समीकरणों का हल उन्हें फिर से लिखने से शुरू होगा मानक दृश्य: - x 2 - 2x + 15 = 0. अब दूसरा प्रयोग करने का समय आ गया है उपयोगी सलाहऔर सब कुछ माइनस एक से गुणा करें। यह x 2 + 2x - 15 \u003d 0 निकलता है। चौथे सूत्र के अनुसार, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64। यह एक है सकारात्मक संख्या। ऊपर जो कहा गया था, उससे यह पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। इसके अनुसार, यह पता चला है कि x \u003d (-2 ± 64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. फिर x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5।

चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x \u003d 0 इस में परिवर्तित हो गया है: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. इसका विवेचक इस मान के बराबर है: -23। चूंकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"

पाँचवाँ समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x 2 + 12x + 36 = 0। विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसकी एक जड़ होगी, जिसका नाम है: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6।

छठे समीकरण (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) को रूपांतरण की आवश्यकता होती है, जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि आपको कोष्ठक खोलने से पहले समान पदों को लाने की आवश्यकता है। पहले वाले के स्थान पर ऐसा व्यंजक होगा: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह प्रविष्टि दिखाई देगी: x 2 + 3x + 2. समान पदों की गणना के बाद, समीकरण रूप लेगा: x 2 - x \u003d 0. यह अधूरा हो गया है। इसके समान पहले से ही थोड़ा अधिक माना गया है। इसका मूल अंक 0 और 1 होगा।

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 या x - 4 = 0

एक्स = ± √ 25/4

पहली डिग्री के समीकरणों को हल करना सीखने के बाद, निश्चित रूप से, मैं दूसरों के साथ काम करना चाहता हूं, विशेष रूप से, दूसरी डिग्री के समीकरणों के साथ, जिन्हें अन्यथा द्विघात कहा जाता है।

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार के समीकरण होते हैं, जहाँ चर x है, संख्याएँ होंगी - a, b, c, जहाँ a शून्य के बराबर नहीं है।

यदि द्विघात समीकरण में एक या दूसरा गुणांक (c या b) शून्य के बराबर है, तो यह समीकरण एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को संदर्भित करेगा।

एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें यदि छात्र अभी तक केवल पहली डिग्री के समीकरणों को हल करने में सक्षम हैं? अपूर्ण द्विघात समीकरणों पर विचार करें अलग - अलग प्रकारऔर सरल तरीकेउनके निर्णय।

a) यदि गुणांक c 0 के बराबर है, और गुणांक b शून्य के बराबर नहीं है, तो ax + bx + 0 = 0 को ax + bx = 0 के रूप के समीकरण में घटा दिया जाता है।

इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, आपको एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र जानने की जरूरत है, जिसमें इसके बाईं ओर को कारकों में विघटित करना और बाद में इस शर्त का उपयोग करना कि उत्पाद शून्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 5x - 20x \u003d 0. हम सामान्य करते हुए समीकरण के बाईं ओर को कारकों में विघटित करते हैं गणितीय कार्य: सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

5x (x - 4) = 0

हम इस शर्त का उपयोग करते हैं कि उत्पाद शून्य के बराबर हों।

5 x = 0 या x - 4 = 0

उत्तर होगा: पहली जड़ 0 है; दूसरी जड़ 4 है।

बी) यदि बी \u003d 0, और मुक्त शब्द शून्य के बराबर नहीं है, तो समीकरण कुल्हाड़ी + 0x + सी \u003d 0 को कुल्हाड़ी + सी \u003d 0 के रूप में समीकरण में घटाया जाता है। दो में समीकरणों को हल करें तरीके: क) बाईं ओर समीकरण के बहुपद को कारकों में विघटित करना; बी) अंकगणितीय वर्गमूल के गुणों का उपयोग करना। इस तरह के समीकरण को एक विधि द्वारा हल किया जाता है, उदाहरण के लिए:

एक्स = ± √ 25/4

एक्स = ± 5/2। उत्तर है: पहली जड़ 5/2 है; दूसरी जड़ है - 5/2।

c) यदि b, 0 के बराबर है और c, 0 के बराबर है, तो ax² + 0 + 0 = 0, ax² = 0 के रूप के समीकरण में कम हो जाता है। ऐसे समीकरण में, x, 0 के बराबर होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अपूर्ण द्विघात समीकरणों के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं।