सी 14 अंकगणितीय वर्गमूल। मैन्युअल रूप से किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें

गणित का जन्म तब हुआ जब एक व्यक्ति अपने बारे में जागरूक हो गया और खुद को दुनिया की एक स्वायत्त इकाई के रूप में स्थापित करने लगा। आपके आस-पास की चीज़ों को मापने, तुलना करने, गणना करने की इच्छा हमारे दिनों के मूलभूत विज्ञानों में से एक है। सबसे पहले, ये प्राथमिक गणित के टुकड़े थे, जिससे संख्याओं को उनके भौतिक अभिव्यक्तियों के साथ जोड़ना संभव हो गया, बाद में निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक रूप से (उनके अमूर्तता के कारण) प्रस्तुत किए जाने लगे, लेकिन थोड़ी देर बाद, जैसा कि एक वैज्ञानिक ने कहा, " गणित जटिलता की सीमा तक पहुँच गया जब सभी संख्याएँ।" संकल्पना " वर्गमूल"ऐसे समय में प्रकट हुआ जब इसे आसानी से अनुभवजन्य डेटा के साथ बैकअप लिया जा सकता था, गणना के विमान से परे जा रहा था।

यह सब कब प्रारंभ हुआ

जड़ का पहला उल्लेख, जिस पर इस पलके रूप में निरूपित, बेबीलोन के गणितज्ञों के लेखन में दर्ज किया गया, जिन्होंने आधुनिक अंकगणित की नींव रखी। बेशक, वे वर्तमान रूप की तरह थोड़े दिखते थे - उन वर्षों के वैज्ञानिकों ने पहले भारी गोलियों का इस्तेमाल किया था। लेकिन दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में। इ। वे एक अनुमानित गणना सूत्र के साथ आए, जिसमें दिखाया गया था कि वर्गमूल कैसे लिया जाता है। नीचे दी गई तस्वीर में एक पत्थर दिखाया गया है जिस पर बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने आउटपुट प्रक्रिया √2 को उकेरा है, और यह इतना सही निकला कि उत्तर में विसंगति केवल दसवें दशमलव स्थान पर पाई गई।

इसके अलावा, यदि त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना आवश्यक हो तो मूल का उपयोग किया जाता था, बशर्ते कि अन्य दो ज्ञात हों। खैर, द्विघात समीकरणों को हल करते समय, मूल निकालने से कोई बचता नहीं है।

बेबीलोनियन कार्यों के साथ, लेख के विषय का अध्ययन चीनी कार्य "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी किया गया था, और प्राचीन यूनानियों ने इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि कोई भी संख्या जिसमें से शेष के बिना रूट नहीं निकाला जाता है, एक तर्कहीन परिणाम देता है .

इस शब्द की उत्पत्ति संख्या के अरबी प्रतिनिधित्व से जुड़ी है: प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना ​​​​था कि एक मनमाना संख्या का वर्ग एक पौधे की तरह जड़ से बढ़ता है। लैटिन में, यह शब्द मूलांक की तरह लगता है (कोई एक पैटर्न का पता लगा सकता है - हर चीज जिसमें "रूट" सिमेंटिक लोड होता है, वह व्यंजन है, चाहे वह मूली हो या कटिस्नायुशूल)।

बाद की पीढ़ियों के वैज्ञानिकों ने इस विचार को आरएक्स के रूप में नामित किया। उदाहरण के लिए, 15वीं शताब्दी में, यह इंगित करने के लिए कि वर्गमूल एक मनमाना संख्या a से लिया गया है, उन्होंने R 2 a लिखा। अभ्यस्त आधुनिक रूप"टिक" केवल 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस के लिए धन्यवाद दिखाई दिया।

हमारे दिन

गणितीय रूप से, y का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग y है। दूसरे शब्दों में, z 2 =y y=z के बराबर है। हालाँकि, यह परिभाषा केवल अंकगणितीय मूल के लिए प्रासंगिक है, क्योंकि यह व्यंजक का एक गैर-ऋणात्मक मान दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, y=z, जहाँ z, 0 से बड़ा या उसके बराबर है।

सामान्य तौर पर, जो बीजीय मूल के निर्धारण के लिए मान्य है, व्यंजक का मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि z 2 =y और (-z) 2 =y, हमारे पास है: √y=±z या √y=|z|।

इस तथ्य के कारण कि विज्ञान के विकास के साथ ही गणित के प्रति प्रेम बढ़ा है, इसके लिए स्नेह की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं, शुष्क गणनाओं में व्यक्त नहीं की गई हैं। उदाहरण के लिए, पाई के दिन जैसी दिलचस्प घटनाओं के साथ, वर्गमूल की छुट्टियां भी मनाई जाती हैं। वे सौ वर्षों में नौ बार मनाए जाते हैं, और निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं: संख्याएं जो क्रम में दिन और महीने को दर्शाती हैं, उन्हें वर्ष का वर्गमूल होना चाहिए। हां अंदर अगली बारयह अवकाश 4 अप्रैल 2016 को मनाया जाएगा।

मैदान पर वर्गमूल के गुण R

लगभग सभी गणितीय व्यंजकों का एक ज्यामितीय आधार होता है, यह नियति समाप्त नहीं हुई और y, जिसे क्षेत्र y के साथ एक वर्ग की भुजा के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें?

कई गणना एल्गोरिदम हैं। सबसे सरल, लेकिन एक ही समय में काफी बोझिल, सामान्य अंकगणितीय गणना है, जो इस प्रकार है:

1) जिस संख्या के मूल की हमें आवश्यकता है, उसमें से विषम संख्याओं को बारी-बारी से घटाया जाता है - जब तक कि शेष निर्गत घटाए गए एक या सम संख्या से कम न हो जाए शून्य. चालों की संख्या अंततः वांछित संख्या बन जाएगी। उदाहरण के लिए, 25 के वर्गमूल की गणना:

अगले विषम संख्या 11 है, हमारे पास निम्नलिखित शेषफल है: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ऐसे मामलों के लिए, टेलर श्रृंखला का विस्तार होता है:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , जहां n 0 से मान लेता है

+∞, और |y|≤1.

फ़ंक्शन z=√y . का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र में एक प्राथमिक फलन z=√y पर विचार करें, जहाँ y शून्य से बड़ा या उसके बराबर है। उसका चार्ट इस तरह दिखता है:

वक्र मूल बिंदु से बढ़ता है और अनिवार्य रूप से बिंदु (1; 1) को पार करता है।

वास्तविक संख्या R . के क्षेत्र में फलन z=√y के गुणधर्म

1. माना फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन शून्य से प्लस अनंत तक अंतराल है (शून्य शामिल है)।

2. विचाराधीन फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी शून्य से प्लस अनंत तक का अंतराल है (शून्य को फिर से शामिल किया गया है)।

3. फलन केवल बिंदु (0; 0) पर न्यूनतम मान (0) लेता है। कोई अधिकतम मूल्य नहीं है।

4. फलन z=√y न तो सम है और न ही विषम।

5. फलन z=√y आवर्त नहीं है।

6. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु है: (0; 0)।

7. फलन z=√y के ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु भी इस फलन का शून्य होता है।

8. फलन z=√y लगातार बढ़ रहा है।

9. फलन z=√y केवल धनात्मक मान लेता है, इसलिए इसका ग्राफ पहले निर्देशांक कोण पर कब्जा करता है।

फ़ंक्शन z=√y . प्रदर्शित करने के विकल्प

गणित में, जटिल भावों की गणना की सुविधा के लिए, कभी-कभी वे वर्गमूल लिखने के घातीय रूप का उपयोग करते हैं: y=y 1/2। यह विकल्प सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को घात तक बढ़ाने में: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 । यह विधि एकीकरण के साथ विभेदीकरण के लिए भी एक अच्छा प्रतिनिधित्व है, क्योंकि इसके लिए धन्यवाद वर्गमूल को एक साधारण शक्ति फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है।

और प्रोग्रामिंग में, प्रतीक √ का प्रतिस्थापन sqrt अक्षरों का संयोजन है।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस क्षेत्र में वर्गमूल बहुत मांग में है, क्योंकि यह गणना के लिए आवश्यक अधिकांश ज्यामितीय सूत्रों का हिस्सा है। गिनती एल्गोरिथ्म अपने आप में काफी जटिल है और यह रिकर्सन (एक फ़ंक्शन जो स्वयं को कॉल करता है) पर आधारित है।

जटिल क्षेत्र में वर्गमूल C

मोटे तौर पर, यह इस लेख का विषय था जिसने जटिल संख्या सी के क्षेत्र की खोज को प्रेरित किया, क्योंकि गणितज्ञ एक ऋणात्मक संख्या से एक समान डिग्री रूट प्राप्त करने के सवाल से प्रेतवाधित थे। इस प्रकार मैं काल्पनिक इकाई दिखाई दी, जो एक बहुत ही रोचक संपत्ति की विशेषता है: इसका वर्ग -1 है। इसके लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरण और एक नकारात्मक विवेचक के साथ एक समाधान मिला। सी में, वर्गमूल के लिए, वही गुण प्रासंगिक हैं जैसे आर में, केवल एक चीज यह है कि मूल अभिव्यक्ति पर प्रतिबंध हटा दिए जाते हैं।

इस लेख में, हम परिचय देंगे एक संख्या की जड़ की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से कार्य करेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, इससे हम विवरण पर आगे बढ़ेंगे घनमूल, उसके बाद हम nवीं डिग्री के मूल को परिभाषित करके मूल की अवधारणा को सामान्य करते हैं। साथ ही, हम परिभाषाएं, संकेतन, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियां देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, किसी के पास . इस बिंदु पर, हम अक्सर एक संख्या की दूसरी शक्ति का सामना करेंगे - एक संख्या का वर्ग।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएं.

परिभाषा

a . का वर्गमूलवह संख्या है जिसका वर्ग a है।

लाने के लिए उदाहरण वर्गमूल , कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5 , -0.3 , 0.3 , 0 , और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25 , 0.09 , 0.09 और 0 संख्याएँ मिलती हैं (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (-0.3) 2 =(-0.3) (-0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 और 0 2 =0 0=0 )। फिर ऊपर की परिभाषा के अनुसार, 5 25 का वर्गमूल है, -0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल है, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए मौजूद नहीं है, जिसका वर्ग एक के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या के लिए कोई नहीं है वास्तविक संख्या b , जिसका वर्ग a के बराबर होगा। वास्तव में, समानता a=b 2 किसी भी ऋणात्मक a के लिए असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।

यह एक तार्किक प्रश्न की ओर ले जाता है: "क्या किसी गैर-ऋणात्मक के लिए a का वर्गमूल है"? इसका जवाब है हाँ। इस तथ्य के औचित्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक रचनात्मक विधि माना जा सकता है।

फिर निम्नलिखित तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दिए गए गैर-ऋणात्मक संख्या के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक"? यहाँ इसका उत्तर है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि a कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a से वर्गमूलों की संख्या दो के बराबर है, और मूल हैं । आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

आइए मामले से शुरू करें a=0 । आइए पहले हम यह दिखाएं कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 = 0·0 = 0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि 0 ही शून्य का एक मात्र वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कोई शून्येतर संख्या b है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त बी 2 = 0 को संतुष्ट होना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य बी के लिए अभिव्यक्ति बी 2 का मान सकारात्मक है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।

आइए उन मामलों की ओर बढ़ते हैं जहां a एक धनात्मक संख्या है। ऊपर हमने कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा होता है, मान लीजिए कि b, a का वर्गमूल है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएं b 2 =a और c 2 =a मान्य हैं, जिससे यह निम्नानुसार है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूंकि b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , फिर (b−c) (b+c)=0 । बल में परिणामी समानता वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 । इस प्रकार संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्कों के समान तर्क से यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। तो, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो होती है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ होती हैं।

वर्गमूल के साथ काम करने की सुविधा के लिए, ऋणात्मक जड़ को धनात्मक से "अलग" किया जाता है। इस उद्देश्य के लिए, यह परिचय देता है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

संख्या a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए अंकन स्वीकार किया जाता है। इस चिन्ह को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह कहा जाता है। इसे रेडिकल का संकेत भी कहा जाता है। इसलिए, आप आंशिक रूप से "रूट" और "रेडिकल" दोनों को सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक - कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, जबकि "रेडिकल नंबर" शब्द को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन में, संख्या 151 एक मूलांक है, और संकेतन में, व्यंजक एक मूलांक है।

पढ़ते समय, "अंकगणित" शब्द को अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस सौवें का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का उच्चारण तभी किया जाता है जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल की बात कर रहे हैं।

प्रस्तुत संकेतन के आलोक में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से इस प्रकार है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए a .

एक धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न और के रूप में प्रयोग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 के वर्गमूल हैं और . शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं के लिए a, हम तब तक प्रविष्टियों का अर्थ नहीं जोड़ेंगे जब तक हम अध्ययन नहीं करते जटिल आंकड़े. उदाहरण के लिए, भाव और अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका प्रयोग प्रायः व्यवहार में किया जाता है।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम देखते हैं कि किसी संख्या के वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप के हल होते हैं।

का घनमूल

घनमूल की परिभाषासंख्या का वर्गमूल की परिभाषा के समान तरीके से दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग पर नहीं।

परिभाषा

a . का घनमूलवह संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

चलो लाते हैं घनमूलों के उदाहरण. ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7 , 0 , −2/3 , और उन्हें घन करें: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0 0=0 , . फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और -2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि वर्गमूल के विपरीत संख्या a का घनमूल हमेशा मौजूद होता है, और न केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए, बल्कि किसी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूल का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, दी गई संख्या a का केवल एक घनमूल होता है। आइए हम अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन मामलों पर अलग-अलग विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि धनात्मक a के लिए, a का घनमूल ऋणात्मक या शून्य नहीं हो सकता। वास्तव में, मान लीजिए b a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सही नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः एक धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अतिरिक्त संख्या a से एक और घनमूल है, आइए इसे c से निरूपित करें। फिर सी 3 = ए। इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0 , लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी) (बी 2 +बी सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), कहाँ से (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 । परिणामी समानता तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b c+c 2 =0 । पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि इसका बायां भाग किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए एक धनात्मक संख्या है, जो तीन धनात्मक पदों b 2 , b c और c 2 के योग के रूप में है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता को सिद्ध करता है।

a=0 के लिए, a का एकमात्र घनमूल शून्य है। वास्तव में, यदि हम मानते हैं कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 को धारण करना चाहिए, जो तभी संभव है जब b=0 ।

नकारात्मक a के लिए, कोई सकारात्मक a के मामले के समान तर्क दे सकता है। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल या तो धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और यह दर्शाता है कि यह आवश्यक रूप से पहले वाले से मेल खाएगा।

तो, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल होता है, और केवल एक।

चलो हम देते है अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय घनमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय घनमूल के रूप में निरूपित किया जाता है, संकेत को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को कहा जाता है मूल सूचक. मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के नीचे व्यंजक है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति.

यद्यपि अंकगणितीय घनमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, उन प्रविष्टियों का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिनमें ऋणात्मक संख्या अंकगणितीय घनमूल चिह्न के अंतर्गत हैं। हम उन्हें इस प्रकार समझेंगे: जहाँ a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

हम सामान्य आलेख में मूलों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

क्यूब रूट के मूल्य की गणना को क्यूब रूट निकालना कहा जाता है, इस क्रिया की चर्चा जड़ों को निकालने वाले लेख में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम कहते हैं कि a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक हल है।

वां मूल, n . का अंकगणितीय मूल

हम एक संख्या से मूल की अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं - हम परिचय देते हैं nth रूट का निर्धारणएन के लिए

परिभाषा

a . का nवां मूलएक संख्या है जिसकी nth घात a के बराबर है।

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि संख्या a से पहली डिग्री का मूल संख्या a ही है, क्योंकि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हमने 1 = a लिया।

ऊपर, हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवीं डिग्री के मूल के विशेष मामलों पर विचार किया। यानी वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n = 4, 5, 6, ... के लिए nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (अर्थात, n = 4, 6 के लिए) , 8, ...), दूसरा समूह - मूल विषम शक्तियाँ (अर्थात n=5, 7, 9, ... के लिए)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम अंशों की जड़ें वर्गमूल के समान होती हैं, और विषम अंशों की जड़ें घनमूल के समान होती हैं। आइए उनसे बारी-बारी से निपटें।

आइए जड़ों से शुरू करते हैं, जिनकी घातें सम संख्याएँ 4, 6, 8, ... हैं, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, वे संख्या a के वर्गमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी सम घात का मूल केवल अऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a=0, तो a का मूल अद्वितीय है और शून्य के बराबर है, और यदि a>0, तो संख्या a से सम अंश के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएं हैं।

आइए हम पिछले दावे को सही ठहराते हैं। मान लीजिए b सम घात का मूल है (हम इसे 2 m के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ m कुछ है प्राकृतिक संख्या) नंबर ए से। मान लीजिए कि एक संख्या c है - a का दूसरा 2 m मूल। तब b 2 m −c 2 m =a−a=0 । लेकिन हम b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) के रूप के बारे में जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), फिर (बी-सी) (बी+सी) (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2)=0. इस समानता से यह निम्नानुसार है कि b−c=0 , या b+c=0 , or b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहली दो समानता का मतलब है कि संख्या बी और सी बराबर हैं या बी और सी विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल के लिए मान्य है b=c=0 , क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-ऋणात्मक है।

विषम n के लिए nth डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए संख्या a से किसी भी विषम घात का मूल मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या के लिए यह अद्वितीय होता है।

संख्या a से विषम डिग्री 2·m+1 के मूल की विशिष्टता को a से घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध किया जाता है। समानता की जगह सिर्फ यहीं a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = . के रूप की समानता (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम). अंतिम कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: बी 2 एम +सी 2 एम +बी सी (बी 2 एम-2 +सी 2 एम-2 + बी सी (बी 2 एम−4 +सी 2 एम−4 +बी सी (…+(बी 2 +सी 2 +बी सी)))). उदाहरण के लिए, m=2 के लिए हमारे पास है b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (बी-सी) (बी 4 +सी 4 +बी सी (बी 2 +सी 2 +बी सी)). जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है, तो व्यंजक b 2 +c 2 +b·c , जो नेस्टिंग के उच्चतम स्तर के कोष्ठकों में होता है, धनात्मक के योग के रूप में धनात्मक होता है संख्याएं। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठकों में व्यंजकों की क्रमिक रूप से आगे बढ़ते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक हों। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0 , अर्थात, जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।

यह nth डिग्री की जड़ों के अंकन से निपटने का समय है। इसके लिए दिया जाता है nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल का निर्धारण.

परिभाषा

अंकगणितीय जड़एक गैर-ऋणात्मक संख्या की nth शक्ति aएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है, जिसकी nवीं घात a के बराबर होती है।

एक वर्गमूल क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह अवधारणा बहुत सरल है। स्वाभाविक, मैं कहूंगा। गणितज्ञ हर क्रिया के लिए प्रतिक्रिया खोजने की कोशिश करते हैं। जोड़ है और घटाव है। गुणा है और विभाजन है। वहाँ वर्ग है ... तो वहाँ भी है वर्गमूल निकालना!बस इतना ही। यह क्रिया ( वर्गमूल लेना) गणित में इस आइकन द्वारा दर्शाया गया है:

आइकन को ही कहा जाता है सुंदर शब्द "मौलिक".

जड़ कैसे निकालें?विचार करना बेहतर है उदाहरण.

9 का वर्गमूल क्या है? और कौन सी संख्या का वर्ग हमें 9 देगा? 3 चुकता हमें 9 देता है! वे:

शून्य का वर्गमूल क्या होता है? कोई बात नहीं! चुकता शून्य क्या संख्या देता है? हाँ, वह स्वयं शून्य देता है! माध्यम:

पकड़ा गया एक वर्गमूल क्या है?तब हम विचार करते हैं उदाहरण:

उत्तर (अव्यवस्था में): 6; एक; 4; नौ; 5.

तय? सच में, यह बहुत आसान है!

लेकिन... जब कोई व्यक्ति किसी कार्य को जड़ से देखता है तो वह क्या करता है?

एक व्यक्ति तरसने लगता है ... वह जड़ों की सादगी और हल्केपन में विश्वास नहीं करता है। हालांकि उसे पता लगता है वर्गमूल क्या है...

ऐसा इसलिए है क्योंकि एक व्यक्ति ने जड़ों का अध्ययन करते समय कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया है। फिर ये सनक टेस्ट और परीक्षा का बेरहमी से बदला लेती हैं...

बिंदु एक। जड़ों को नजर से पहचानना चाहिए!

49 का वर्गमूल क्या है? सात? सही! आपको कैसे पता चला कि सात थे? सात का वर्ग और 49 मिला? सही ढंग से! कृपया ध्यान दें कि जड़ निकालें 49 में से हमें उल्टा ऑपरेशन करना था - वर्ग 7! और सुनिश्चित करें कि हम चूकें नहीं। या वे चूक सकते हैं ...

इसमें कठिनाई है जड़ निष्कर्षण. बराबरीकोई भी संख्या बिना किसी समस्या के संभव है। एक कॉलम में संख्या को अपने आप से गुणा करें - और बस इतना ही। लेकिन के लिए जड़ निष्कर्षणऐसी कोई सरल और परेशानी मुक्त तकनीक नहीं है। के लिये उत्तरदयी होना उठानाउत्तर दें और इसे हिट बाय स्क्वेरिंग के लिए जांचें।

यह जटिल रचनात्मक प्रक्रिया - एक उत्तर चुनना - बहुत सरल है यदि आप याद रखनालोकप्रिय संख्याओं के वर्ग। गुणन तालिका की तरह। यदि, मान लें, आपको 4 को 6 से गुणा करने की आवश्यकता है - आप चार को 6 बार नहीं जोड़ते हैं, है ना? उत्तर तुरंत 24 आता है। हालाँकि, सभी के पास यह नहीं है, हाँ ...

जड़ों के साथ स्वतंत्र और सफल कार्य के लिए, 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है। इसके अलावा, वहाँऔर वापस।वे। आप दोनों को आसानी से नाम देने में सक्षम होना चाहिए, कहते हैं, 11 वर्ग और 121 का वर्गमूल। इस याद को प्राप्त करने के लिए, दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। यह उदाहरणों के साथ बहुत मदद करेगा। दूसरा, निर्णय लें और ज्यादा उदाहरण. वर्गों की तालिका को याद रखना बहुत अच्छा है।

और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल सत्यापन के लिए। नहीं तो परीक्षा के दौरान आप बेरहमी से धीमे हो जाएंगे...

इसलिए, वर्गमूल क्या हैऔर कैसे जड़ें निकालें- मुझे लगता है कि यह समझ में आता है। अब आइए जानें कि आप उन्हें किससे निकाल सकते हैं।

बिंदु दो। रूट, मैं तुम्हें नहीं जानता!

आप किन संख्याओं से वर्गमूल निकाल सकते हैं? हाँ, लगभग कोई भी। यह समझना आसान है क्या यह वर्जित हैउन्हें निकालें।

आइए इस रूट की गणना करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, आपको एक संख्या चुननी होगी जो चुकता हमें -4 देगा। हम चुनते हैं।

क्या नहीं चुना गया है? 2 2 +4 देता है। (-2) 2 फिर से +4 देता है! बस... ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या देगी! भले ही मैं संख्या जानता हूं। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा।) कॉलेज जाओ और खुद पता लगाओ।

यही कहानी किसी भी नेगेटिव नंबर की होगी। इसलिए निष्कर्ष:

एक व्यंजक जिसमें एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है - कोई मतलब नहीं! यह एक निषिद्ध ऑपरेशन है। जैसा कि शून्य से विभाजन के रूप में निषिद्ध है। इस तथ्य को ध्यान में रखें!या, दूसरे शब्दों में:

आप ऋणात्मक संख्याओं से वर्गमूल नहीं निकाल सकते!

लेकिन बाकी सब - आप कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गणना करना संभव है

पहली नज़र में, यह बहुत मुश्किल है। भिन्न उठाओ, लेकिन वर्ग बनाओ ... चिंता मत करो। जब हम जड़ों के गुणों के बारे में बात करते हैं, तो ऐसे उदाहरणों को उसी वर्ग तालिका में घटा दिया जाएगा। जीवन आसान हो जाएगा!

ठीक अंश। लेकिन हम अभी भी इस तरह के भावों में आते हैं:

ठीक है। सब एक जैसे। दो का वर्गमूल वह संख्या है, जिसका वर्ग करने पर हमें एक ड्यूस प्राप्त होता है। केवल संख्या पूरी तरह से असमान है ... यहाँ यह है:

दिलचस्प बात यह है कि यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होती... ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है। वर्गमूल में, यह सबसे आम बात है। वैसे, इसीलिए जड़ वाले व्यंजक कहलाते हैं तर्कहीन. यह स्पष्ट है कि इस तरह के अनंत अंश को हर समय लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, अनंत भिन्न के बजाय, वे इसे इस तरह छोड़ देते हैं:

यदि, उदाहरण को हल करते समय, आपको कुछ ऐसा मिलता है जो निकालने योग्य नहीं है, जैसे:

फिर हम इसे ऐसे ही छोड़ देते हैं। यह उत्तर होगा।

आपको स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है कि आइकन के नीचे क्या है

बेशक, अगर संख्या की जड़ ली जाती है निर्बाध, आपको ऐसा करना चाहिए। उदाहरण के लिए प्रपत्र में कार्य का उत्तर

काफी पूरा जवाब।

और, ज़ाहिर है, आपको स्मृति से अनुमानित मूल्यों को जानने की जरूरत है:

यह ज्ञान जटिल कार्यों में स्थिति का आकलन करने में बहुत मदद करता है।

बिंदु तीन। सबसे शातिर।

जड़ों के साथ काम करने में मुख्य भ्रम सिर्फ इस सनक द्वारा लाया जाता है। यह वह है जो विश्वास देता है खुद की सेना... आइए इस सनक से ठीक से निपटें!

शुरू करने के लिए, हम फिर से उनके चारों का वर्गमूल निकालते हैं। क्या, क्या मैं तुम्हें पहले ही इस जड़ से मिला चुका हूँ?) कुछ नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!

4 के वर्ग में क्या अंक आयेगा ? खैर, दो, दो - मैं असंतुष्ट उत्तर सुनता हूं ...

सही। दो। लेकिन घटा दो 4 वर्ग देगा ... इस बीच, उत्तर

सही और उत्तर

सबसे बड़ी गलती। इस प्रकार सं.

तो सौदा क्या है?

दरअसल, (-2) 2 = 4. और चार . के वर्गमूल की परिभाषा के तहत घटा दोकाफी उपयुक्त ... यह भी चार का वर्गमूल है।

लेकिन! गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में वर्गमूलों पर विचार करने की प्रथा है केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ!यानी शून्य और सभी सकारात्मक। यहां तक ​​कि एक विशेष शब्द गढ़ा गया था: संख्या से ए- यह गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग है ए. अंकगणितीय वर्गमूल निकालने पर नकारात्मक परिणाम आसानी से छोड़ दिए जाते हैं। स्कूल में, सभी वर्गमूल - अंकगणित. हालांकि इसका विशेष रूप से उल्लेख नहीं किया गया है।

ठीक है, यह समझ में आता है। नकारात्मक परिणामों के साथ खिलवाड़ न करना और भी बेहतर है... यह अभी भ्रम की स्थिति नहीं है।

द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम शुरू होता है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा सिखाया गया है):

यह उत्तर (बिल्कुल सही, वैसे) सिर्फ एक संक्षिप्त संकेतन है दोउत्तर:

रुक रुक! थोड़ा ऊपर मैंने लिखा कि वर्गमूल एक संख्या है हमेशागैर नकारात्मक! और यहाँ एक उत्तर है - नकारात्मक! विकार। यह पहली (लेकिन आखिरी नहीं) समस्या है जो जड़ों के अविश्वास का कारण बनती है ... आइए इस समस्या को हल करें। आइए उत्तर इस प्रकार लिखें (विशुद्ध रूप से समझने के लिए!):

कोष्ठक उत्तर के सार को नहीं बदलते हैं। मैं बस कोष्ठक के साथ अलग हो गया लक्षणसे जड़. अब यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि मूल स्वयं (कोष्ठक में) अभी भी एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम. आखिरकार, किसी भी समीकरण को हल करते समय हमें लिखना चाहिए सब x, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही परिणाम देगा। पांच (सकारात्मक!) की जड़ हमारे प्लस और माइनस दोनों के समीकरण के लिए उपयुक्त है।

इस प्रकार सं. अगर तुम बस वर्गमूल लेंआप किसी भी चीज़ से हमेशापाना एक गैर नकारात्मकनतीजा। उदाहरण के लिए:

क्योंकि यह - अंकगणित वर्गमूल.

लेकिन अगर आप तय करते हैं द्विघात समीकरण, प्रकार:

तब हमेशायह पता चला है दोउत्तर (प्लस और माइनस के साथ):

क्योंकि यह एक समीकरण का हल है।

आशा, वर्गमूल क्या हैआपने अपने अंक के साथ इसे सही पाया। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों का क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और सनक और पानी के नीचे के बक्से क्या हैं ... क्षमा करें, पत्थर!)

यह सब - अगले पाठों में।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

साक्षरता का प्रतीक अनेक ज्ञानों में वर्णमाला का प्रथम स्थान है। अगला, वही "चिह्न" तत्व, जोड़-गुणा के कौशल हैं और, उनके निकट, लेकिन अर्थ में विपरीत, घटाव-विभाजन के अंकगणितीय संचालन। दूर के स्कूली बचपन में सीखे गए कौशल दिन-रात ईमानदारी से काम करते हैं: टीवी, अखबार, एसएमएस, और हर जगह हम पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, जोड़ते हैं, घटाते हैं, गुणा करते हैं। और, मुझे बताओ, क्या आपको देश को छोड़कर अक्सर जीवन में जड़ें जमानी पड़ी हैं? उदाहरण के लिए, ऐसी मनोरंजक समस्या, जैसे, संख्या 12345 का वर्गमूल ... क्या पाउडर फ्लास्क में अभी भी बारूद है? क्या हम इसे कर सकते हैं? हाँ, कुछ भी आसान नहीं है! मेरा कैलकुलेटर कहाँ है ... और इसके बिना, हाथ से हाथ, कमजोर?

सबसे पहले, आइए स्पष्ट करें कि यह क्या है - किसी संख्या का वर्गमूल। सामान्यतया, "एक संख्या से जड़ निकालने के लिए" का अर्थ है एक शक्ति को बढ़ाने के विपरीत अंकगणितीय संचालन करना - यहां आपके पास जीवन के अनुप्रयोग में विरोधों की एकता है। मान लीजिए कि एक वर्ग अपने आप में एक संख्या का गुणन है, अर्थात, जैसा कि उन्होंने स्कूल में पढ़ाया था, X * X = A या किसी अन्य अंकन में X2 = A, और शब्दों में - "X वर्ग बराबर A"। फिर उलटा समस्या इस तरह लगती है: संख्या ए का वर्गमूल संख्या एक्स है, जो वर्ग होने पर ए के बराबर होता है।

वर्गमूल निकालना

अंकगणित के स्कूल पाठ्यक्रम से, "एक कॉलम में" गणना के तरीके ज्ञात हैं, जो पहले चार का उपयोग करके किसी भी गणना को करने में मदद करते हैं। अंकगणितीय आपरेशनस. काश ... वर्ग के लिए, और न केवल वर्ग के लिए, ऐसे एल्गोरिदम की जड़ें मौजूद नहीं होती हैं। और इस मामले में, कैलकुलेटर के बिना वर्गमूल कैसे निकालें? वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर, केवल एक निष्कर्ष है - संख्याओं की क्रमिक गणना द्वारा परिणाम के मूल्य का चयन करना आवश्यक है, जिसका वर्ग मूल अभिव्यक्ति के मूल्य तक पहुंचता है। केवल और सब कुछ! एक या दो घंटे बीतने का समय नहीं होगा, क्योंकि आप किसी भी वर्गमूल को "कॉलम" में गुणा करने की प्रसिद्ध विधि का उपयोग करके गणना कर सकते हैं। यदि आपके पास कौशल है, तो इसके लिए कुछ मिनट पर्याप्त हैं। यहां तक ​​​​कि एक उन्नत कैलकुलेटर या पीसी उपयोगकर्ता भी इसे एक झटके में नहीं करता - प्रगति।

लेकिन गंभीरता से, वर्गमूल की गणना अक्सर "आर्टिलरी फोर्क" तकनीक का उपयोग करके की जाती है: सबसे पहले, वे एक संख्या लेते हैं जिसका वर्ग लगभग मूल अभिव्यक्ति से मेल खाता है। "हमारा वर्ग" इस अभिव्यक्ति से थोड़ा कम है तो बेहतर है। फिर वे अपने कौशल-समझ के अनुसार संख्या को सही करते हैं, उदाहरण के लिए, दो से गुणा करें, और ... इसे फिर से वर्ग करें। यदि परिणाम अधिक संख्याजड़ के नीचे, मूल संख्या को क्रमिक रूप से समायोजित करना, धीरे-धीरे जड़ के नीचे अपने "सहयोगी" के पास पहुंचना। जैसा कि आप देख सकते हैं - कोई कैलकुलेटर नहीं, केवल "एक कॉलम में" गिनने की क्षमता। बेशक, वर्गमूल की गणना के लिए कई वैज्ञानिक रूप से तर्कपूर्ण और अनुकूलित एल्गोरिदम हैं, लेकिन "घरेलू उपयोग" के लिए उपरोक्त तकनीक परिणाम में 100% विश्वास देती है।

हां, मैं लगभग भूल गया था, हमारी बढ़ी हुई साक्षरता की पुष्टि करने के लिए, हम पहले बताई गई संख्या 12345 के वर्गमूल की गणना करते हैं। हम इसे चरण दर चरण करते हैं:

1. विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X=100 लें। आइए गणना करें: एक्स * एक्स = 10000। अंतर्ज्ञान शीर्ष पर है - परिणाम 12345 से कम है।

2. आइए कोशिश करें, विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X = 120। फिर: X * X = 14400। और फिर, अंतर्ज्ञान के साथ, क्रम - परिणाम 12345 से अधिक है।

3. ऊपर, 100 और 120 का "कांटा" प्राप्त होता है। आइए नई संख्या चुनें - 110 और 115। हमें क्रमशः 12100 और 13225 मिलते हैं - कांटा संकरा होता है।

4. हम "शायद" X = 111 पर प्रयास करते हैं। हमें X * X = 12321 मिलता है। यह संख्या पहले से ही 12345 के काफी करीब है। आवश्यक सटीकता के अनुसार, प्राप्त परिणाम पर "फिटिंग" को जारी या रोका जा सकता है। बस इतना ही। जैसा कि वादा किया गया था - सब कुछ बहुत सरल और कैलकुलेटर के बिना है।

थोड़ा सा इतिहास...

यहां तक ​​​​कि पाइथागोरस, स्कूल के छात्र और पाइथागोरस के अनुयायी, वर्गमूल का उपयोग करने के बारे में सोचते थे, 800 ई.पू. और वहीं, संख्याओं के क्षेत्र में "नई खोजों" में भाग गया। और यह कहाँ से आया?

1. जड़ निकालने से समस्या का समाधान, एक नए वर्ग की संख्या के रूप में परिणाम देता है। उन्हें तर्कहीन कहा जाता था, दूसरे शब्दों में, "अनुचित", क्योंकि। उन्हें पूर्ण संख्या के रूप में नहीं लिखा जाता है। इस तरह का सबसे क्लासिक उदाहरण 2 का वर्गमूल है। यह मामला 1 के बराबर एक वर्ग के विकर्ण की गणना से मेल खाता है - यहाँ यह है, पाइथागोरस स्कूल का प्रभाव। यह पता चला कि पक्षों के एक बहुत विशिष्ट इकाई आकार वाले त्रिभुज में, कर्ण का एक आकार होता है जिसे एक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है जिसका "कोई अंत नहीं है।" तो गणित में दिखाई दिया

2. यह ज्ञात है कि यह पता चला है कि गणितीय कार्यइसमें एक और कैच शामिल है - रूट निकालने पर, हम नहीं जानते कि किस संख्या का वर्ग, धनात्मक या ऋणात्मक, मूल व्यंजक है। यह अनिश्चितता, एक ऑपरेशन से दोहरा परिणाम, नीचे लिखा गया है।

इस घटना से जुड़ी समस्याओं का अध्ययन गणित में एक दिशा बन गया है जिसे जटिल चर का सिद्धांत कहा जाता है, जिसका गणितीय भौतिकी में बहुत व्यावहारिक महत्व है।

यह उत्सुक है कि मूल पदनाम - कट्टरपंथी - का उपयोग उनके "सार्वभौमिक अंकगणित" में उसी सर्वव्यापी आई। न्यूटन द्वारा किया गया था, लेकिन वास्तव में आधुनिक रूपरूट रिकॉर्ड 1690 से फ्रेंचमैन रोल "गाइड टू अलजेब्रा" की किताब से जाना जाता है।