द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके। द्विघातीय समीकरण

समस्या गणित से अच्छी तरह से जानी जाती है। यहां प्रारंभिक डेटा गुणांक ए, बी, सी हैं। सामान्य स्थिति में समाधान दो मूल x 1 और x 2 हैं, जिनकी गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

इस कार्यक्रम में उपयोग किए जाने वाले सभी मूल्य वास्तविक प्रकार के होते हैं।

शैवालद्विघात समीकरण की जड़ें

चीज़ए, बी, सी, एक्स 1, एक्स 2, डी

शीघ्रइनपुट ए, बी, सी

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

आउटपुट x1, x2

इस तरह के एल्गोरिदम की कमजोरी नग्न आंखों को दिखाई देती है। उसके पास नहीं है सबसे महत्वपूर्ण संपत्तिगुणात्मक एल्गोरिदम पर लागू: प्रारंभिक डेटा के संबंध में सार्वभौमिकता। प्रारंभिक डेटा के मूल्य जो भी हों, एल्गोरिथ्म को एक निश्चित परिणाम की ओर ले जाना चाहिए और अंत तक पहुंचना चाहिए।परिणाम एक संख्यात्मक उत्तर हो सकता है, लेकिन यह एक संदेश भी हो सकता है कि ऐसे डेटा के साथ समस्या का कोई समाधान नहीं है। कुछ ऑपरेशन करने की असंभवता के कारण एल्गोरिथ्म के बीच में रुकने की अनुमति नहीं है। प्रोग्रामिंग पर साहित्य में समान संपत्ति को एल्गोरिथम की प्रभावशीलता कहा जाता है (किसी भी मामले में, कुछ परिणाम प्राप्त किया जाना चाहिए)।

एक सार्वभौमिक एल्गोरिथम बनाने के लिए, सबसे पहले समस्या की गणितीय सामग्री का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करना आवश्यक है।

समीकरण का हल गुणांक a, b, c के मानों पर निर्भर करता है। यहां इस समस्या का विश्लेषण दिया गया है (हम खुद को केवल वास्तविक जड़ों को खोजने तक ही सीमित रखते हैं):

यदि a=0, b=0, c=0, तो कोई भी x समीकरण का हल है;

यदि a=0, b=0, c¹0, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

अगर a=0, b¹0, तो यह रेखीय समीकरण, जिसका एक हल है: x=–c/b;

यदि a¹0 और d=b 2 -4ac³0, तो समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं (सूत्र ऊपर दिए गए हैं);

अगर a¹0 और d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

एल्गोरिथम का ब्लॉक आरेख:

एल्गोरिथम भाषा में समान एल्गोरिथम:

शैवालद्विघात समीकरण की जड़ें

चीज़ए, बी, सी, डी, एक्स 1, एक्स 2

शीघ्रइनपुट ए, बी, सी

अगरए = 0

तो अगरबी = 0

तो अगरसी = 0

तबआउटपुट "कोई भी x एक समाधान है"

अन्यथाआउटपुट "कोई समाधान नहीं"

अन्यथाएक्स:= -सी/बी

अन्यथाघ:=b2–4ac

अगरऔर डी<0

तबआउटपुट "कोई वास्तविक जड़ें नहीं"

अन्यथाई x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

आउटपुट "x1 =", x1, "x2 =", x2

यह एल्गोरिथ्म पुन: उपयोग करता है शाखा संरचना आदेश।फ़्लोचार्ट और एल्गोरिथम भाषा में ब्रांच कमांड का सामान्य दृश्य इस प्रकार है:

सबसे पहले, "हालत" की जाँच की जाती है (संबंध, तार्किक अभिव्यक्ति की गणना की जाती है)। यदि स्थिति सत्य है, तो "श्रृंखला 1" निष्पादित की जाती है - तीर द्वारा इंगित आदेशों का अनुक्रम "हां" (सकारात्मक शाखा) के साथ। अन्यथा, "श्रृंखला 2" (नकारात्मक शाखा) निष्पादित की जाती है। ईएल में, सेवा शब्द "अगर", सकारात्मक शाखा के बाद - "फिर" शब्द के बाद, नकारात्मक शाखा - "अन्यथा" शब्द के बाद लिखा जाता है। "केवी" अक्षर शाखा के अंत का संकेत देते हैं।

यदि एक शाखा की शाखाओं में अन्य शाखाएँ होती हैं, तो ऐसे एल्गोरिथम की संरचना होती है नेस्टेड शाखाएं. यह संरचना है कि एल्गोरिथ्म "एक द्विघात समीकरण की जड़ें" है। इसमें संक्षिप्तता के लिए क्रमशः "हाँ" और "नहीं" शब्दों के स्थान पर "+" और "-" शब्दों का प्रयोग किया गया है।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: एक धनात्मक पूर्णांक n दिया गया है। n की गणना करना आवश्यक है! (एन-फैक्टोरियल)। भाज्य की परिभाषा को याद कीजिए।

नीचे एल्गोरिथम का एक ब्लॉक आरेख है। यह तीन पूर्णांक प्रकार चर का उपयोग करता है: n एक तर्क है; मैं एक मध्यवर्ती चर है; एफ परिणाम है। एल्गोरिथम की शुद्धता की जांच के लिए एक ट्रेस टेबल बनाया गया था। ऐसी तालिका में, प्रारंभिक डेटा के विशिष्ट मूल्यों के लिए, एल्गोरिथम में शामिल चर में परिवर्तन चरणों द्वारा पता लगाया जाता है। यह तालिका केस n=3 के लिए संकलित की गई है।

ट्रेस एल्गोरिथ्म की शुद्धता को साबित करता है। अब इस एल्गोरिथम को एल्गोरिथम भाषा में लिखते हैं।

शैवालकारख़ाने का

पूरा का पूराएन, मैं, एफ

शीघ्रइनपुट नंबर

एफ: = 1; मैं: = 1

अलविदामैं £n, दोहराना

एनसीएफ: = फी

इस एल्गोरिथ्म में एक चक्रीय संरचना है। एल्गोरिथ्म "लूप-जबकि" या "पूर्व शर्त के साथ लूप" संरचनात्मक कमांड का उपयोग करता है। फ़्लोचार्ट और ईएल में "लूप-बाय" कमांड का सामान्य दृश्य इस प्रकार है:

आदेशों की एक श्रृंखला (लूप बॉडी) का निष्पादन दोहराया जाता है जबकि लूप की स्थिति सही होती है। जब स्थिति झूठी हो जाती है, तो लूप समाप्त हो जाता है। सेवा शब्द "एनटीएस" और "केटीएस" क्रमशः चक्र की शुरुआत और चक्र के अंत को दर्शाते हैं।

एक पूर्व शर्त के साथ एक लूप मुख्य है, लेकिन चक्रीय एल्गोरिदम के संगठन का एकमात्र रूप नहीं है। एक अन्य विकल्प है पोस्टकंडीशन के साथ लूप।आइए द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम पर लौटते हैं। इस स्थिति से संपर्क किया जा सकता है: यदि a = 0, तो यह अब द्विघात समीकरण नहीं है और इसे अनदेखा किया जा सकता है। इस मामले में, हम मान लेंगे कि डेटा दर्ज करते समय उपयोगकर्ता ने गलती की है और प्रविष्टि को दोहराने के लिए प्रेरित किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एल्गोरिथ्म प्रारंभिक डेटा की विश्वसनीयता के नियंत्रण के लिए प्रदान करेगा, उपयोगकर्ता को त्रुटि को ठीक करने का अवसर प्रदान करेगा। इस तरह के नियंत्रण की उपस्थिति अच्छी कार्यक्रम गुणवत्ता का एक और संकेत है।

सामान्य तौर पर, संरचनात्मक कमांड "लूप विथ पोस्टकंडिशन" या "लूप-बिफोर" को निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

यह वह जगह है जहाँ लूप टर्मिनेशन कंडीशन का उपयोग किया जाता है। जब यह सच हो जाता है, तो लूप समाप्त हो जाता है।

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म की रचना करें: दो प्राकृतिक संख्याएँ M और N दी गई हैं। उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करना आवश्यक है - gcd(M,N)।

इस समस्या को एक विधि का उपयोग करके हल किया जाता है जिसे के रूप में जाना जाता है यूक्लिड का एल्गोरिथम. उनका विचार संपत्ति पर आधारित है कि यदि M>N, तो gcd(M .)

1) यदि संख्याएँ समान हैं, तो उनके कुल मान को उत्तर के रूप में लें; अन्यथा, एल्गोरिथम का निष्पादन जारी रखें;

2) बड़ी संख्या निर्धारित करें;

3) बड़ी संख्या को बड़े और छोटे मानों के बीच के अंतर से बदलें;

4) पैराग्राफ 1 के कार्यान्वयन पर लौटें।

AL में ब्लॉक आरेख और एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

एल्गोरिथ्म में नेस्टेड ब्रांचिंग के साथ एक लूप संरचना है। M=18, N=12 मामले के लिए इस एल्गोरिथम का अपना अनुरेखण करें। परिणाम gcd=6 है, जो स्पष्ट रूप से सत्य है।

ग्रंथ सूची विवरण:गैसानोव ए.आर., कुरमशिन ए.ए., एल्कोव ए.ए., शिलनेकोव एन.वी., उलानोव डी.डी., श्मेलेवा ओ.वी. समाधान द्विघातीय समीकरण// युवा वैज्ञानिक। - 2016. - संख्या 6.1। - एस. 17-20..04.2019)।



हमारी परियोजना द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों के लिए समर्पित है। परियोजना का उद्देश्य: द्विघात समीकरणों को ऐसे तरीकों से हल करना सीखना जो स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं हैं। कार्य: द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सभी संभव तरीके खोजें और स्वयं उनका उपयोग करना सीखें और सहपाठियों को इन विधियों से परिचित कराएं।

"द्विघात समीकरण" क्या हैं?

द्विघात समीकरण- फॉर्म का समीकरण कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0, कहाँ पे ए, बी, सी- कुछ नंबर ( एक 0), एक्स- अनजान।

संख्याएँ a, b, c द्विघात समीकरण के गुणांक कहलाती हैं।

• ए को पहला गुणांक कहा जाता है;
• बी को दूसरा गुणांक कहा जाता है;
• सी - मुक्त सदस्य।

और द्विघात समीकरणों का "आविष्कार" करने वाला पहला व्यक्ति कौन था?

रेखीय और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कुछ बीजीय तकनीकों को प्राचीन बेबीलोन में 4000 साल पहले के रूप में जाना जाता था। 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच की प्राचीन बेबीलोनियाई मिट्टी की गोलियां, द्विघात समीकरणों के अध्ययन के शुरुआती प्रमाण हैं। उन्हीं गोलियों में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ होती हैं।

प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण थी। गणित ही।

बेबीलोन के ग्रंथों में वर्णित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए। बेबीलोन में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीकों का अभाव है।

लगभग चौथी शताब्दी ई.पू. के बेबीलोन के गणितज्ञ। सकारात्मक जड़ों वाले समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग पूरक विधि का उपयोग किया। लगभग 300 ई.पू. यूक्लिड एक अधिक सामान्य ज्यामितीय समाधान विधि के साथ आया। पहला गणितज्ञ जिसने बीजगणितीय सूत्र के रूप में नकारात्मक जड़ों वाले समीकरण का हल खोजा वह एक भारतीय वैज्ञानिक थे। ब्रह्मगुप्त:(भारत, 7वीं शताब्दी ई.)

ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम की रूपरेखा तैयार की:

ax2 + bx = c, a>0

इस समीकरण में, गुणांक ऋणात्मक हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन अनिवार्य रूप से हमारे साथ मेल खाता है।

भारत में, कठिन समस्याओं को हल करने में सार्वजनिक प्रतियोगिताएं आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में कहा गया है: "जैसे सूरज अपनी चमक के साथ सितारों को चमकाता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति सार्वजनिक सभाओं में, बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और हल करने में महिमा को चमकाएगा।" कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप में तैयार किया जाता था।

एक बीजीय ग्रंथ में अल-ख्वारिज्मीरैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग मूल के बराबर होते हैं", अर्थात ax2 = bx।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", यानी ax2 = c।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात ax2 = c।

4) "वर्ग और संख्याएँ मूल के बराबर हैं", अर्थात ax2 + c = bx।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात ax2 + bx = c।

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर होती हैं", अर्थात bx + c == ax2।

अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के प्रयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुकाबाला के तरीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। उनका निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह मेल नहीं खाता है। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी, 17 वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य को ध्यान में नहीं रखते हैं। समाधान, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करता है।

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के रूपों को पहली बार "अबेकस की पुस्तक" में वर्णित किया गया था, जिसे 1202 में लिखा गया था। इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फिबोनाची. लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इस पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। इस पुस्तक के कई कार्यों को 14वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में स्थानांतरित कर दिया गया था। संकेत और गुणांक b, c के सभी संभावित संयोजनों के साथ एकल विहित रूप x2 + bx = c में घटाए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम यूरोप में 1544 में तैयार किया गया था। एम स्टीफेल।

Vieta के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेलि 16 वीं शताब्दी में पहली बार। सकारात्मक, और नकारात्मक जड़ों के अलावा, ध्यान में रखें। केवल XVII सदी में। काम के लिए धन्यवाद गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटनऔर अन्य वैज्ञानिक, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर विचार करें।

स्कूली पाठ्यक्रम से द्विघात समीकरणों को हल करने के मानक तरीके:

1. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन।
2. पूर्ण वर्ग चयन विधि।
3. द्विघात समीकरणों का सूत्र द्वारा हल।
4. द्विघात समीकरण का आलेखीय हल।
5. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

आइए हम विएटा प्रमेय का उपयोग करके कम और गैर-घटित द्विघात समीकरणों के समाधान पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

याद रखें कि दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, दो संख्याओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, जिसका उत्पाद मुक्त पद के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर है।

उदाहरण।एक्स 2 -5x+6=0

आपको ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल 6 है और योग 5 है। ये संख्याएँ 3 और 2 होंगी।

उत्तर: x 1 =2,x 2 =3.

लेकिन आप इस पद्धति का उपयोग उन समीकरणों के लिए कर सकते हैं जिनका पहला गुणांक एक के बराबर नहीं है।

उदाहरण।3x 2 +2x-5=0

हम पहला गुणांक लेते हैं और इसे मुक्त पद से गुणा करते हैं: x 2 +2x-15=0

इस समीकरण के मूल वे संख्याएँ होंगी जिनका गुणनफल - 15 है, और योग - 2 है। ये संख्याएँ 5 और 3 हैं। मूल समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए, हम प्राप्त मूलों को पहले गुणांक से विभाजित करते हैं।

उत्तर: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "स्थानांतरण" की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें, जहाँ a≠0।

इसके दोनों भागों को a से गुणा करने पर, हमें समीकरण a 2 x 2 + abx + ac = 0 प्राप्त होता है।

माना कुल्हाड़ी = y, जहाँ से x = y/a; तब हम समीकरण y 2 + by + ac = 0 पर पहुँचते हैं, जो दिए गए समीकरण के बराबर है। हम वियत प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें 1 और 2 पर पाते हैं।

अंत में हमें x 1 = y 1 /a और x 2 = y 2 /a मिलता है।

इस पद्धति के साथ, गुणांक a को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, इसलिए इसे "स्थानांतरण" विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।2x 2 - 11x + 15 = 0.

आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर "स्थानांतरित करें" और प्रतिस्थापन करने पर हमें समीकरण y 2 - 11y + 30 = 0 प्राप्त होता है।

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3।

उत्तर: x 1 =2.5; एक्स 2 = 3.

7. द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण।

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0, a 0 दिया गया है।

1. यदि a + b + c \u003d 0 (अर्थात, समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 \u003d 1.

2. यदि a - b + c \u003d 0, या b \u003d a + c, तो x 1 \u003d - 1.

उदाहरण।345x 2 - 137x - 208 = 0.

चूंकि a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), फिर x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345।

उत्तर: x 1 = 1; एक्स 2 = -208/345 .

उदाहरण।132x 2 + 247x + 115 = 0

क्योंकि a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), फिर x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

उत्तर: x 1 = - 1; एक्स 2 =- 115/132

द्विघात समीकरण के गुणांकों के अन्य गुण भी होते हैं। लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल है।

8. एक नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

अंजीर 1. नोमोग्राम

संग्रह के पृष्ठ 83 पर रखे गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए यह एक पुरानी और वर्तमान में भूली हुई विधि है: ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ। - एम।, शिक्षा, 1990।

तालिका XXII। समीकरण हल करने के लिए नामांकन z2 + pz + q = 0. यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, इसके गुणांकों द्वारा समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्रीय पैमाना सूत्रों (चित्र 1) के अनुसार बनाया गया है:

यह मानते हुए ओएस = पी, ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), अंजीर से। 1 त्रिभुजों की समानता सैनऔर सीडीएफहमें अनुपात मिलता है

जहां से, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण इस प्रकार है जेड 2 + पीजेड + क्यू = 0,और पत्र जेडमतलब घुमावदार पैमाने पर किसी भी बिंदु का लेबल।

चावल। 2 एक नामांकित समीकरण का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9z + 8 = 0नॉमोग्राम जड़ों को z 1 = 8.0 और z 2 = 1.0 . देता है

उत्तर: 8.0; 1.0.

2) नॉमोग्राम का उपयोग करके समीकरण को हल करें

2z 2 - 9z + 2 = 0.

इस समीकरण के गुणांकों को 2 से भाग देने पर हमें समीकरण z 2 - 4.5z + 1 = 0 प्राप्त होता है।

नॉमोग्राम जड़ों को z 1 = 4 और z 2 = 0.5 देता है।

उत्तर - 4; 0.5.

9. द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय विधि।

उदाहरण।एक्स 2 + 10x = 39.

मूल में, इस समस्या को निम्नानुसार तैयार किया गया है: "वर्ग और दस जड़ें 39 के बराबर हैं।"

पक्ष x के साथ एक वर्ग पर विचार करें, इसके किनारों पर आयतें बनाई गई हैं ताकि उनमें से प्रत्येक का दूसरा भाग 2.5 हो, इसलिए प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। परिणामी आकृति फिर एक नए वर्ग ABCD के पूरक है, कोनों में चार बराबर वर्गों को पूरा करते हुए, उनमें से प्रत्येक की भुजा 2.5 है, और क्षेत्रफल 6.25 है

चावल। 3 समीकरण x 2 + 10x = 39 . को हल करने का ग्राफिकल तरीका

वर्ग एबीसीडी के क्षेत्र एस को क्षेत्रों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग x 2, चार आयत (4∙2.5x = 10x) और चार संलग्न वर्ग (6.25∙4 = 25), यानी। S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x को 39 की संख्या से बदलने पर, हमें वह S \u003d 39 + 25 \u003d 64 मिलता है, जिसका अर्थ है कि वर्ग ABCD का पक्ष, अर्थात। खंड AB \u003d 8. मूल वर्ग के वांछित पक्ष x के लिए, हम प्राप्त करते हैं

10. Bezout के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का हल।

बेजआउट का प्रमेय। बहुपद P(x) को द्विपद x - α से भाग देने के बाद शेषफल P(α) के बराबर होता है (अर्थात x = α पर P(x) का मान)।

यदि संख्या α बहुपद P(x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना शेषफल के x -α से विभाज्य है।

उदाहरण।x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) को (x-1) से भाग दें: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

एक्स-1 = 0; x=1, या x-3=0, x=3; उत्तर: x1 =2, एक्स2 =3.

निष्कर्ष:द्विघात समीकरणों को जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की क्षमता अधिक जटिल समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है, उदाहरण के लिए, आंशिक तर्कसंगत समीकरण, उच्च शक्तियों के समीकरण, द्विघात समीकरण, और हाई स्कूल त्रिकोणमितीय, घातीय और लॉगरिदमिक समीकरणों में। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए पाई गई सभी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम सहपाठियों को मानक विधियों के अलावा, स्थानांतरण विधि (6) द्वारा हल करने और गुणांक (7) की संपत्ति द्वारा समीकरणों को हल करने की सलाह दे सकते हैं, क्योंकि वे समझने के लिए अधिक सुलभ हैं। .

साहित्य:

1. ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ। - एम।, शिक्षा, 1990।
2. बीजगणित ग्रेड 8: कक्षा 8 के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान मकर्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. एड। एस ए तेल्याकोवस्की 15 वां संस्करण, संशोधित। - एम .: ज्ञानोदय, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। शिक्षकों के लिए एक गाइड। / ईडी। वी.एन. जवान। - एम .: ज्ञानोदय, 1964।

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8 वीं कक्षा में बीजगणित पाठों का द्विघात समीकरण चक्र पाठ्यपुस्तक के अनुसार ए.जी. मोर्दकोविच

शिक्षक MBOU ग्रुशेव्स्काया माध्यमिक विद्यालय किरीवा टी.ए.

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उद्देश्य: द्विघात समीकरण की अवधारणाओं का परिचय देना, द्विघात समीकरण का मूल; द्विघात समीकरणों के हल दिखाएँ; द्विघात समीकरणों को हल करने की क्षमता बनाने के लिए; द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करके पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने का एक तरीका दिखाएं।

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थोड़ा सा इतिहास प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण। न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​\u200b\u200bकि पुरातनता में भी, एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास के कारण हुआ था। और गणित ही। बेबीलोन के लोग हमारे विश्वास से लगभग 2000 साल पहले द्विघात समीकरणों को हल करना जानते थे। आधुनिक बीजगणितीय संकेतन को लागू करते हुए, कोई कह सकता है कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अपूर्ण लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

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बेबीलोन के ग्रंथों में उल्लिखित इन समीकरणों को हल करने का नियम आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए। बेबीलोनिया में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, एक ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अनुपस्थित हैं।

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परिभाषा 1. द्विघात समीकरण उस रूप का एक समीकरण होता है जिसमें गुणांक a, b, c कोई वास्तविक संख्या होती है और बहुपद को वर्ग त्रिपद कहा जाता है। a पहला या उच्चतम गुणांक है c दूसरा गुणांक है c एक मुक्त पद है

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परिभाषा 2. एक द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है यदि इसका प्रमुख गुणांक 1 के बराबर हो; एक द्विघात समीकरण को अपरिष्कृत कहा जाता है यदि अग्रणी गुणांक 1 से भिन्न हो। उदाहरण। 2 - 5 + 3 = 0 - असंक्रमित द्विघात समीकरण - घटा हुआ द्विघात समीकरण

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परिभाषा 3. एक पूर्ण द्विघात समीकरण एक द्विघात समीकरण है जिसमें तीनों पद मौजूद होते हैं। a + in + c \u003d 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें तीनों पद मौजूद नहीं होते हैं; एक समीकरण है जिसके लिए कम से कम एक गुणांक में, के साथ शून्य.

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अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ।

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कार्य संख्या 24.16 को हल करें (ए, बी) समीकरण हल करें: या उत्तर दें। या उत्तर।

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परिभाषा 4 द्विघात समीकरण का मूल चर x का कोई भी मान होता है जिस पर वर्ग त्रिपद लुप्त हो जाता है; चर x के ऐसे मान को वर्ग त्रिपद का मूल भी कहा जाता है। द्विघात समीकरण को हल करने का अर्थ है इसके सभी मूल ज्ञात करना या यह स्थापित करना कि कोई मूल नहीं है।

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द्विघात समीकरण का विभेदक D 0 D=0 समीकरण का कोई मूल नहीं है समीकरण के दो मूल हैं समीकरण में एक मूल है द्विघात समीकरण के मूल के लिए सूत्र

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D>0 द्विघात समीकरण के दो मूल हैं, जो सूत्रों के उदाहरण से ज्ञात होते हैं। समीकरण हल करें। ए \u003d 3, बी \u003d 8, सी \u003d -11, उत्तर: 1; -3

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द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम 1. सूत्र D = 2 का उपयोग करके विभेदक D की गणना करें। यदि D 0 है, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।

कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता जरूरी है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a , b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a 0।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. उनकी ठीक एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। कैसे निर्धारित करें कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।

इस सूत्र को दिल से जानना चाहिए। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D > 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, न कि उनके सभी संकेतों को, जैसा कि किसी कारण से बहुत से लोग सोचते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

हम पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखते हैं और विवेचक पाते हैं:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो, विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम दूसरे समीकरण का उसी तरह विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य के बराबर है - मूल एक होगा।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हां, यह लंबा है, हां, यह थकाऊ है - लेकिन आप बाधाओं को नहीं मिलाएंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियां नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 हल समीकरणों के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।

द्विघात समीकरण की जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D > 0 है, तो सूत्रों का उपयोग करके जड़ों को पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 − 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 1 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, त्रुटियाँ तब होती हैं जब सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को पेंट करें - और बहुत जल्द गलतियों से छुटकारा पाएं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b \u003d c \u003d 0. इस मामले में, समीकरण कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण में एक एकल होता है जड़: x \u003d 0.

आइए अन्य मामलों पर विचार करें। चलो बी \u003d 0, फिर हमें फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 का अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

क्योंकि अंकगणित वर्गमूलकेवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद है, अंतिम समानता केवल (−c /a ) ≥ 0 के लिए समझ में आता है। निष्कर्ष:

1. यदि ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण असमानता (−c / a ) 0 को संतुष्ट करता है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c / a ) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और समान चिह्न के दूसरी तरफ देखने के लिए पर्याप्त है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें निकलती हैं। अंत में, हम इनमें से कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

काम। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 \u003d -1.5।