एक समान रूप से समान अभिव्यक्ति को कैसे परिभाषित करें। अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन
संख्याओं के जोड़ और गुणा के मूल गुण।
जोड़ की क्रमागत संपत्ति: जब शर्तों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो योग का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a और b के लिए, समानता सत्य है
जोड़ का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी का योग जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है
गुणन का कम्यूटेटिव गुण: कारकों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद का मूल्य नहीं बदलता है। किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है
गुणन का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं।
किसी भी संख्या a, b और c के लिए, समानता सत्य है
वितरण गुण: किसी संख्या को योग से गुणा करने के लिए, आप उस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं। किसी भी संख्या a, b और c के लिए समानता सत्य है
यह जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से इस प्रकार है कि किसी भी राशि में आप अपनी पसंद के अनुसार शब्दों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और उन्हें मनमाने तरीके से समूहों में जोड़ सकते हैं।
उदाहरण 1 आइए 1.23+13.5+4.27 के योग की गणना करें।
ऐसा करने के लिए, पहले पद को तीसरे के साथ जोड़ना सुविधाजनक है। हम पाते हैं:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
यह गुणन के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से अनुसरण करता है: किसी भी उत्पाद में, आप कारकों को किसी भी तरह से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और मनमाने ढंग से उन्हें समूहों में जोड़ सकते हैं।
उदाहरण 2 आइए गुणनफल 1.8 0.25 64 0.5 का मान ज्ञात करें।
पहले कारक को चौथे के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ मिलाने पर, हमारे पास होगा:
1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4।
वितरण गुण तब भी मान्य होता है जब संख्या को तीन या अधिक पदों के योग से गुणा किया जाता है।
उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या a, b, c और d के लिए, समानता सत्य है
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
हम जानते हैं कि घटाव को घटाव में विपरीत संख्या जोड़कर घटाव द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
यह एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति की अनुमति देता है ए-बी टाइप करेंसंख्या a और -b के योग पर विचार करें, a + b-c-d के रूप की संख्यात्मक अभिव्यक्ति को संख्याओं a, b, -c, -d, आदि के योग के रूप में मानें। क्रियाओं के माने गए गुण भी ऐसे योगों के लिए मान्य हैं।
उदाहरण 3 आइए व्यंजक 3.27-6.5-2.5+1.73 का मान ज्ञात करें।
यह व्यंजक संख्या 3.27, -6.5, -2.5 और 1.73 का योग है। जोड़ गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4।
उदाहरण 4 आइए गुणनफल 36·() की गणना करें।
गुणक को संख्याओं और - के योग के रूप में माना जा सकता है। गुणन के वितरण गुण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
36()=36-36=9-10=-1.
पहचान
परिभाषा। दो व्यंजक जिनके संगत मान चर के किसी भी मान के लिए समान होते हैं, समान रूप से समान कहलाते हैं।
परिभाषा। एक समानता जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान कहलाती है।
आइए x=5, y=4 के लिए व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y के मान ज्ञात करें:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.
हमें वही परिणाम मिला। यह वितरण संपत्ति से इस प्रकार है कि, सामान्य रूप से, चर के किसी भी मूल्य के लिए, अभिव्यक्तियों के संबंधित मान 3(x+y) और 3x+3y बराबर हैं।
अब व्यंजकों 2x+y और 2xy पर विचार करें। x=1, y=2 के लिए वे समान मान लेते हैं:
हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जैसे कि इन भावों के मान समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि x=3, y=4, तो
व्यंजक 3(x+y) और 3x+3y समान रूप से समान हैं, लेकिन व्यंजक 2x+y और 2xy समान रूप से समान नहीं हैं।
समानता 3(x+y)=x+3y, x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है, एक पहचान है।
वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान मानी जाती हैं।
तो, सर्वसमिकाएँ संख्याओं पर क्रियाओं के मुख्य गुणों को व्यक्त करने वाली समानताएँ हैं:
ए+बी=बी+ए, (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
पहचान के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
ए 1=ए, ए (-बी)=-एबी, (-ए)(-बी)=एबी।
अभिव्यक्तियों की पहचान परिवर्तन
एक व्यंजक के स्थान पर दूसरे व्यंजक के स्थान पर, समान रूप से उसके समान, समरूप रूपांतरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है।
संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।
x, y, z दिए गए व्यंजक xy-xz का मान ज्ञात करने के लिए, आपको तीन चरण करने होंगे। उदाहरण के लिए, x=2.3, y=0.8, z=0.2 से हम पाते हैं:
xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.
यह परिणाम केवल दो चरणों में प्राप्त किया जा सकता है, अभिव्यक्ति x(y-z) का उपयोग करके, जो समान रूप से अभिव्यक्ति xy-xz के बराबर है:
xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.
हमने व्यंजक xy-xz को समरूप से प्रतिस्थापित करके परिकलन को सरल बनाया है समान अभिव्यक्तिएक्स (वाई-जेड)।
अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना और अन्य समस्याओं को हल करने में अभिव्यक्तियों के पहचान परिवर्तनों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुछ समान परिवर्तन पहले ही किए जा चुके हैं, उदाहरण के लिए, समान शब्दों की कमी, कोष्ठक का उद्घाटन। इन परिवर्तनों को करने के नियमों को याद करें:
समान पदों को लाने के लिए, आपको उनके गुणांकों को जोड़ना होगा और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करना होगा;
यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है;
यदि कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न है, तो कोष्ठक में संलग्न प्रत्येक पद के चिह्न को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।
उदाहरण 1 आइए योग 5x+2x-3x में समान पदों को जोड़ें।
हम समान पदों को कम करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x।
यह परिवर्तन गुणन के वितरण गुण पर आधारित है।
उदाहरण 2 आइए व्यंजक 2a+(b-3c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।
प्लस चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के नियम को लागू करना:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
किया गया परिवर्तन जोड़ की साहचर्य संपत्ति पर आधारित है।
उदाहरण 3 आइए व्यंजक a-(4b-c) में कोष्ठकों का विस्तार करें।
आइए ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक का विस्तार करने के लिए नियम का उपयोग करें:
a-(4b-c)=a-4b+c.
किया गया परिवर्तन गुणन के वितरण गुण और योग के साहचर्य गुण पर आधारित है। आइए इसे दिखाते हैं। आइए इस व्यंजक में दूसरे पद -(4b-c) को एक गुणनफल (-1)(4b-c) के रूप में निरूपित करें:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)।
क्रियाओं के इन गुणों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
2. पहचान भाव, पहचान। एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तन। पहचान प्रमाण
आइए चर x के दिए गए मानों के लिए व्यंजकों 2(x - 1) 2x - 2 के मान ज्ञात करें। हम एक तालिका में परिणाम लिखते हैं:
यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक के लिए भाव 2(x - 1) 2x - 2 के मान दिया गया मूल्यचर x एक दूसरे के बराबर हैं। घटाव 2(x - 1) = 2x - 2 के संबंध में गुणन के वितरण गुण के अनुसार। इसलिए, चर x के किसी अन्य मान के लिए, व्यंजक 2(x - 1) 2x - 2 का मान भी एक दूसरे के बराबर। इस तरह के भावों को समान रूप से समान कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, व्यंजक 2x + 3x और 5x पर्यायवाची हैं, क्योंकि चर x के प्रत्येक मान के लिए ये व्यंजक प्राप्त करते हैं। समान मूल्य(यह योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण से निकलता है, क्योंकि 2x + 3x = 5x)।
अब व्यंजकों 3x + 2y और 5xy पर विचार करें। यदि x \u003d 1 और b \u003d 1, तो इन भावों के संगत मान एक दूसरे के बराबर हैं:
3x + 2y \u003d 3 1 + 2 1 \u003d 5; 5xy = 5 1 ∙ 1 = 5।
हालाँकि, आप x और y मान निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके लिए इन भावों के मान एक दूसरे के बराबर नहीं होंगे। उदाहरण के लिए, यदि x = 2; y = 0, तब
3x + 2y = 3 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.
नतीजतन, चर के ऐसे मूल्य हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति 3x + 2y और 5xy के संबंधित मान एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। इसलिए, व्यंजक 3x + 2y और 5xy एकरूप नहीं हैं।
पूर्वगामी के आधार पर, सर्वसमिकाएँ, विशेष रूप से, समानताएँ हैं: 2(x - 1) = 2x - 2 और 2x + 3x = 5x।
एक पहचान हर समानता है, जो लिखा है ज्ञात गुणसंख्या पर कार्रवाई। उदाहरण के लिए,
ए + बी = बी + ए; (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी); ए (बी + सी) = एबी + एसी;
अब = बीए; (एबी) सी = ए (बीसी); ए (बी - सी) = एबी - एसी।
पहचान जैसी समानताएं भी हैं:
ए + 0 = ए; ए 0 = 0; ए (-बी) = -एबी;
ए + (-ए) = 0; ए 1 = ए; ए (-बी) = एबी।
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
यदि हम व्यंजक -5x + 2x - 9 में समान पदों को घटाते हैं, तो हमें वह 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9 प्राप्त होता है। इस स्थिति में, वे कहते हैं कि व्यंजक 5x + 2x - 9 को व्यंजक 7x द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था - 9, जो इसके समान है।
संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों को लागू करके चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं। विशेष रूप से, कोष्ठक के उद्घाटन के साथ समान परिवर्तन, समान शब्दों का निर्माण, और इसी तरह।
व्यंजक को सरल बनाते समय समान परिवर्तन करना पड़ता है, अर्थात्, कुछ व्यंजकों को ऐसे व्यंजक से प्रतिस्थापित करना जो उसके समान है, जो छोटा होना चाहिए।
उदाहरण 1. व्यंजक को सरल कीजिए:
1) -0.3 मीटर 5एन;
2) 2(3x - 4) + 3 (-4x + 7);
3) 2 + 5 ए - (ए - 2 बी) + (3 बी - ए)।
1) -0.3 मीटर 5एन = -0.3 ∙ 5 एमएन = -1.5 मिलियन;
2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 एक्स - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5 ए - (ए - 2 बी) + (3 बी - ए) = 2 + 5ए - ए + 2 बी + 3 बी - ए= 3ए + 5बी + 2.
यह साबित करने के लिए कि समानता एक पहचान है (दूसरे शब्दों में, पहचान साबित करने के लिए, अभिव्यक्ति के पहचान परिवर्तन का उपयोग किया जाता है।
आप निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से अपनी पहचान साबित कर सकते हैं:
- इसके बाईं ओर के समान परिवर्तन करें, जिससे यह दाईं ओर के रूप में कम हो जाए;
- इसके दाहिने हिस्से के समान परिवर्तन करें, जिससे यह बाईं ओर के रूप में कम हो जाए;
- अपने दोनों भागों के समान परिवर्तन करते हैं, जिससे दोनों भागों को एक ही भाव में ऊपर उठाया जाता है।
उदाहरण 2. पहचान साबित करें:
1) 2x - (एक्स + 5) - 11 \u003d एक्स - 16;
2) 206 - 4ए = 5(2ए - 3बी) - 7(2ए - 5बी);
3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.
विकास
1) आइए इस समानता के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - एक्स- 5 - 11 = x - 16.
समान परिवर्तनों से, समानता के बाईं ओर की अभिव्यक्ति को दाईं ओर के रूप में कम कर दिया गया और इस प्रकार यह साबित हो गया कि यह समानता एक पहचान है।
2) आइए इस समानता के दाहिने पक्ष को रूपांतरित करें:
5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10:00 पूर्वाह्न - 15 बी - 14ए + 35 बी= 20 बी - 4 ए।
समान परिवर्तनों से, समानता का दाहिना पक्ष वाम पक्ष के रूप में सिमट गया और इस प्रकार यह साबित हो गया कि यह समानता एक पहचान है।
3) इस मामले में, समानता के बाएँ और दाएँ दोनों भागों को सरल बनाना और परिणामों की तुलना करना सुविधाजनक है:
2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;
13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44।
समान परिवर्तनों से, समानता के बाएँ और दाएँ भाग एक ही रूप में कम हो गए: 26x - 44। इसलिए, यह समानता एक पहचान है।
किन भावों को समरूप कहा जाता है? समान भावों के उदाहरण दीजिए। किस समानता को पहचान कहा जाता है? पहचान का उदाहरण दें। किसी व्यंजक का पहचान परिवर्तन क्या कहलाता है? पहचान कैसे साबित करें?
- (मौखिक) या समान रूप से समान भाव हैं:
1) 2ए + ए और 3ए;
2) 7x + 6 और 6 + 7x;
3) एक्स + एक्स + एक्स और एक्स 3;
4) 2(x - 2) और 2x - 4;
5) एम - एन और एन - एम;
6) 2a r और 2p ∙ a?
- क्या भाव समान रूप से समान हैं:
1) 7x - 2x और 5x;
2) 5ए - 4 और 4 - 5ए;
3) 4m + n और n + 4m;
4) ए + ए और ए 2;
5) 3 (ए - 4) और 3 ए - 12;
6) 5m n और 5m + n?
- (मौखिक रूप से) समानता की पहचान है:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7r - 1 = -1 + 7r;
3) 3(x - y) = 3x - 5y?
- कोष्ठक खोलें:
- कोष्ठक खोलें:
- समान शब्दों को कम करें:
- ऐसे अनेक व्यंजकों के नाम लिखिए जो व्यंजकों 2a + 3a के समरूप हैं।
- गुणन के क्रमपरिवर्तन और संयोजक गुणों का उपयोग करके व्यंजक को सरल कीजिए:
1) -2.5 x 4;
2) 4पी (-1.5);
3) 0.2 x (0.3 ग्राम);
4)- एक्स<-7у).
- अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
1) -2p 3.5;
2) 7a (-1.2);
3) 0.2 x (-3y);
4) - 1 मीटर (-3n)।
- (मौखिक) अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4ए (-2 बी)।
- समान शब्दों को कम करें:
1) 56 - 8ए + 4बी - ए;
2) 17 - 2पी + 3पी + 19;
3) 1.8 ए + 1.9 बी + 2.8 ए - 2.9 बी;
4) 5 - 7s + 1.9 g + 6.9 s - 1.7 g।
1) 4(5x - 7) + 3x + 13;
2) 2(7 - 9ए) - (4 - 18 ए);
3) 3(2पी - 7) - 2(जी - 3);
4) -(3मी - 5) + 2(3मी - 7)।
- कोष्ठक खोलें और समान पदों को कम करें:
1) 3(8ए - 4) + 6ए;
2) 7पी - 2(3पी - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7));
4) 3(5मी - 7) - (15मी - 2)।
1) 0.6x + 0.4 (x - 20) यदि x = 2.4;
2) 1.3 (2ए - 1) - 16.4 अगर ए = 10;
3) 1.2 (एम - 5) - 1.8 (10 - एम), अगर एम = -3.7;
4) 2x - 3 (x + y) + 4y यदि x = -1, y = 1 है।
- व्यंजक को सरल कीजिए और उसका मान ज्ञात कीजिए:
1) 0.7 x + 0.3(x - 4) यदि x = -0.7;
2) 1.7 (वाई - 11) - 16.3, अगर वी \u003d 20;
3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1), यदि a = -1;
4) 5 (एम - एन) - 4 एम + 7 एन अगर एम = 1.8; एन = -0.9।
- पहचान साबित करें:
1) - (2x - y) \u003d y - 2x;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) एस - 2 = 5 (एस + 2) - 4 (एस + 3)।
- पहचान साबित करें:
1) -(एम - 3एन) = 3एन - एम;
2) 7(2 - पी) + 7पी = 14;
3) 5ए = 3(ए - 4) + 2(ए + 6);
4) 4(एम - 3) + 3 (एम + 3) = 7 मी - 3।
- त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई एक सेमी है, और अन्य दो भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई इससे 2 सेमी अधिक है। त्रिभुज के परिमाप को व्यंजक के रूप में लिखिए और व्यंजक को सरल कीजिए।
- आयत की चौड़ाई x सेमी है और लंबाई चौड़ाई से 3 सेमी अधिक है। आयत के परिमाप को व्यंजक के रूप में लिखिए और व्यंजक को सरल कीजिए।
1) एक्स - (एक्स - (2x - 3));
2) 5 मी - ((एन - एम) + 3 एन);
3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6 ए - बी) - (4 ए - 33 बी);
6) - (2.7 मीटर - 1.5 एन) + (2एन - 0.48 मीटर)।
- कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
1) ए - (ए - (3 ए - 1));
2) 12 मी - ((ए - एम) + 12 ए);
3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));
6) (2.1 ए - 2.8 बी) - (1 ए - 1 बी)।
- पहचान साबित करें:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3एक्स + 4);
2) - (- 3पी) - (-(8 - 5पी)) \u003d 2 (4 - जी);
3) 3 (ए - बी - सी) + 5 (ए - बी) + 3 सी = 8 (ए - बी)।
- पहचान साबित करें:
1) 12ए - ((8ए - 16)) \u003d -4 (4 - 5ए);
2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- सिद्ध कीजिए कि व्यंजक का मान
1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) चर के मान पर निर्भर नहीं करता है।
- सिद्ध कीजिए कि चर के किसी भी मान के लिए व्यंजक का मान
ए - (ए - (5 ए + 2)) - 5 (ए - 8)
एक ही संख्या है।
- सिद्ध कीजिए कि तीन क्रमागत सम संख्याओं का योग 6 से विभाज्य होता है।
- सिद्ध कीजिए कि यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो व्यंजक -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) का मान एक सम संख्या है।
दोहराने के लिए व्यायाम
- 1.6 किलो वजन वाली मिश्र धातु में 15% तांबा होता है। इस मिश्रधातु में कितने किलो तांबा है?
- इसका अंक 20 कितना प्रतिशत है:
1) वर्ग;
- पर्यटक 2 घंटे चला और 3 घंटे साइकिल चलाई। कुल मिलाकर, पर्यटक ने 56 किमी की दूरी तय की। उस गति का पता लगाएं जिस पर पर्यटक साइकिल चलाता है यदि वह उस गति से 12 किमी/घंटा अधिक है जिस गति से वह चलता है।
आलसी छात्रों के लिए दिलचस्प कार्य
- सिटी फुटबॉल चैंपियनशिप में 11 टीमें हिस्सा लेती हैं। प्रत्येक टीम एक मैच दूसरे के साथ खेलती है। साबित करें कि प्रतियोगिता के किसी भी क्षण में एक टीम है जिसने सम संख्या में मैच खेले हैं या अभी तक नहीं खेले हैं।
दो समानताओं पर विचार करें:
1. ए 12 * ए 3 = ए 7 * ए 8
यह समानता चर a के किसी भी मान के लिए मान्य होगी। उस समानता के लिए मान्य मानों की सीमा वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समूह होगी।
2. ए 12: ए 3 = ए 2 * ए 7।
यह असमानता शून्य के बराबर को छोड़कर, चर a के सभी मानों के लिए मान्य होगी। इस असमानता के लिए स्वीकार्य मूल्यों की सीमा शून्य को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट होगी।
इनमें से प्रत्येक समानता के बारे में, यह तर्क दिया जा सकता है कि यह चर के किसी भी स्वीकार्य मूल्यों के लिए सही होगा। गणित में ऐसे समीकरण कहलाते हैं पहचान.
पहचान की अवधारणा
एक पहचान एक समानता है जो चर के किसी भी स्वीकार्य मूल्यों के लिए सही है। यदि चर के स्थान पर इस समानता में कोई मान्य मान प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की जानी चाहिए।
यह ध्यान देने योग्य है कि वास्तविक संख्यात्मक समानताएं भी पहचान हैं। पहचान, उदाहरण के लिए, संख्याओं पर क्रियाओं के गुण होंगे।
3. ए + बी = बी + ए;
4. ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी;
6. ए*(बी*सी) = (ए*बी)*सी;
7. ए*(बी + सी) = ए*बी + ए*सी;
11.ए*(-1) = -ए।
यदि किसी स्वीकार्य चर के लिए दो व्यंजक क्रमशः समान हों, तो ऐसे व्यंजक कहलाते हैं समान रूप से समान. नीचे समान रूप से समान भावों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
1. (ए 2) 4 और ए 8;
2. a*b*(-a^2*b) और -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) और x 10।
हम हमेशा एक व्यंजक को पहले व्यंजक के समान किसी अन्य व्यंजक से बदल सकते हैं। ऐसा प्रतिस्थापन एक समान परिवर्तन होगा।
पहचान उदाहरण
उदाहरण 1: क्या निम्नलिखित समानताएँ सर्वसमिकाएँ हैं:
1. ए + 5 = 5 + ए;
2. ए*(-बी) = -ए*बी;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
उपरोक्त सभी अभिव्यक्तियाँ सर्वसमिका नहीं होंगी। इन समानताओं में से केवल 1,2 और 3 समानताएँ सर्वसमिकाएँ हैं। हम उनमें जो भी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं, वे चर a और b के बजाय, हमें अभी भी सही संख्यात्मक समानताएँ मिलती हैं।
लेकिन 4 समानता अब कोई पहचान नहीं है। क्योंकि सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए यह समानता पूरी नहीं होगी। उदाहरण के लिए, मान a = 5 और b = 2 के साथ, आपको निम्न परिणाम मिलते हैं:
यह समानता सत्य नहीं है, क्योंकि संख्या 3 संख्या -3 के बराबर नहीं है।
पहचान रूपांतरण वे कार्य हैं जो हम संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ उन अभिव्यक्तियों के साथ करते हैं जिनमें चर होते हैं। हम मूल अभिव्यक्ति को एक ऐसे रूप में लाने के लिए इन सभी परिवर्तनों को अंजाम देते हैं जो समस्या को हल करने के लिए सुविधाजनक हो। हम इस विषय में मुख्य प्रकार के समान परिवर्तनों पर विचार करेंगे।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तन। यह क्या है?
पहली बार हम कक्षा 7 के बीजगणित पाठों में समरूप रूपांतरित हम की अवधारणा से मिले हैं। तब हम सबसे पहले समान रूप से समान व्यंजकों की अवधारणा से परिचित होते हैं। आइए विषय को आत्मसात करने की सुविधा के लिए अवधारणाओं और परिभाषाओं से निपटें।
परिभाषा 1
एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तनमूल अभिव्यक्ति को एक अभिव्यक्ति के साथ बदलने के लिए की जाने वाली क्रियाएं हैं जो समान रूप से मूल अभिव्यक्ति के बराबर होंगी।
अक्सर इस परिभाषा को संक्षिप्त रूप में प्रयोग किया जाता है, जिसमें "समान" शब्द छोड़ा जाता है। यह माना जाता है कि किसी भी मामले में हम अभिव्यक्ति के परिवर्तन को इस तरह से करते हैं कि मूल अभिव्यक्ति के समान अभिव्यक्ति प्राप्त हो, और इस पर अलग से जोर देने की आवश्यकता नहीं है।
आइए इस परिभाषा को उदाहरणों के साथ स्पष्ट करें।
उदाहरण 1
यदि हम व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स + 3 - 2समान रूप से समान अभिव्यक्ति के लिए एक्स+1, तब हम व्यंजक का समान परिवर्तन करते हैं एक्स + 3 - 2.
उदाहरण 2
व्यंजक 2 a 6 को व्यंजक से प्रतिस्थापित करना एक 3पहचान परिवर्तन है, जबकि अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन एक्सअभिव्यक्ति के लिए x2एक समान परिवर्तन नहीं है, क्योंकि भाव एक्सऔर x2समान रूप से समान नहीं हैं।
समान परिवर्तन करते समय हम आपका ध्यान अभिव्यक्ति के लेखन के रूप की ओर आकर्षित करते हैं। हम आम तौर पर मूल अभिव्यक्ति और परिणामी अभिव्यक्ति को समानता के रूप में लिखते हैं। अतः, x + 1 + 2 = x + 3 लिखने का अर्थ है कि व्यंजक x + 1 + 2 को x + 3 के रूप में घटा दिया गया है।
क्रियाओं का क्रमिक निष्पादन हमें समानता की एक श्रृंखला की ओर ले जाता है, जो कि कई लगातार समान परिवर्तन हैं। तो, हम दो परिवर्तनों के क्रमिक कार्यान्वयन के रूप में संकेतन x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x को समझते हैं: पहला, अभिव्यक्ति x + 1 + 2 को x + 3 के रूप में घटाया गया था, और इसे घटाया गया था फॉर्म 3 + एक्स।
पहचान परिवर्तन और ODZ
कई अभिव्यक्तियाँ जिनका हम कक्षा 8 में अध्ययन करना शुरू करते हैं, वेरिएबल के किसी भी मान के लिए कोई अर्थ नहीं रखते हैं। इन मामलों में समान परिवर्तन करने के लिए हमें चर (ODV) के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र पर ध्यान देने की आवश्यकता है। समान परिवर्तन करने से ODZ अपरिवर्तित रह सकता है या इसे छोटा कर सकता है।
उदाहरण 3
अभिव्यक्ति से संक्रमण करते समय ए + (-बी)अभिव्यक्ति के लिए ए-बीचर के अनुमत मूल्यों की सीमा एऔर बीवैसा ही रहता है।
उदाहरण 4
व्यंजक x से व्यंजक में संक्रमण एक्स 2 एक्ससभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा को संकुचित करता है, जिसमें से शून्य को बाहर रखा गया है।
उदाहरण 5
एक अभिव्यक्ति की पहचान परिवर्तन एक्स 2 एक्सव्यंजक x शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा के विस्तार की ओर ले जाता है।
समान परिवर्तन करते समय चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को कम करना या विस्तारित करना समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह गणना की सटीकता को प्रभावित कर सकता है और त्रुटियों को जन्म दे सकता है।
बुनियादी पहचान परिवर्तन
आइए अब देखें कि समान परिवर्तन क्या हैं और उन्हें कैसे किया जाता है। आइए हम उन प्रकार के समान परिवर्तनों को अलग करें जिन्हें हमें मुख्य समूह में सबसे अधिक बार निपटना पड़ता है।
मूल पहचान परिवर्तनों के अलावा, ऐसे कई परिवर्तन हैं जो किसी विशेष प्रकार के भावों से संबंधित हैं। भिन्नों के लिए, ये एक नए हर में कमी और कमी के तरीके हैं। जड़ों और शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के लिए, सभी क्रियाएं जो जड़ों और शक्तियों के गुणों के आधार पर की जाती हैं। लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के लिए, क्रियाएँ जो लघुगणक के गुणों के आधार पर की जाती हैं। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के लिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके सभी क्रियाएं। इन सभी विशेष परिवर्तनों पर अलग-अलग विषयों में विस्तार से चर्चा की गई है जो हमारे संसाधन पर पाए जा सकते हैं। इस कारण से, हम इस लेख में उन पर ध्यान नहीं देंगे।
आइए हम मुख्य समान परिवर्तनों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें।
शर्तों, कारकों की पुनर्व्यवस्था
आइए शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके शुरू करें। हम अक्सर इस समान परिवर्तन से निपटते हैं। और निम्नलिखित कथन को यहां मुख्य नियम माना जा सकता है: किसी भी योग में, स्थानों में शब्दों की पुनर्व्यवस्था परिणाम को प्रभावित नहीं करती है।
यह नियम योग के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों पर आधारित है। ये गुण हमें पदों को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करने की अनुमति देते हैं और साथ ही ऐसे भाव प्राप्त करते हैं जो मूल रूप से समान रूप से समान हैं। इसलिए योग के स्थानों में पदों की पुनर्व्यवस्था एक समान परिवर्तन है।
उदाहरण 6
हमारे पास तीन पदों का योग 3 + 5 + 7 है। यदि हम 3 और 5 पदों की अदला-बदली करते हैं, तो व्यंजक 5 + 3 + 7 का रूप लेगा। इस मामले में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए कई विकल्प हैं। वे सभी ऐसे भाव प्राप्त करने की ओर ले जाते हैं जो मूल रूप से समान रूप से समान हैं।
न केवल संख्याएँ, बल्कि व्यंजक भी योग में पदों के रूप में कार्य कर सकते हैं। वे, संख्याओं की तरह, गणना के अंतिम परिणाम को प्रभावित किए बिना पुनर्व्यवस्थित किए जा सकते हैं।
उदाहरण 7
तीन पदों 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 और - 12 a के योग में 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + (- 12) a पदों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3। बदले में, आप भिन्न 1 a + b के हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, जबकि भिन्न 1 b + a का रूप लेगा। और मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक ए 2 + 2 ए + 5एक योग भी है जिसमें शब्दों को आपस में बदला जा सकता है।
उसी तरह जैसे शब्दों में, मूल भावों में कोई भी गुणनखंडों को आपस में बदल सकता है और समान रूप से सही समीकरण प्राप्त कर सकता है। यह क्रिया निम्नलिखित नियम द्वारा नियंत्रित होती है:
परिभाषा 2
उत्पाद में, कारकों को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करने से गणना के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
यह नियम गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों पर आधारित है, जो समान परिवर्तन की शुद्धता की पुष्टि करते हैं।
उदाहरण 8
कार्य 3 5 7कारकों के क्रमपरिवर्तन को निम्नलिखित रूपों में से एक में दर्शाया जा सकता है: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 या 3 7 5.
उदाहरण 9
गुणनफल x + 1 x 2 - x + 1 x में गुणनखंडों का क्रमपरिवर्तन करने पर x 2 - x + 1 x x + 1 प्राप्त होगा।
ब्रैकेट विस्तार
कोष्ठक में संख्यात्मक अभिव्यक्तियों और चर के साथ अभिव्यक्तियों की प्रविष्टियां हो सकती हैं। इन भावों को समान रूप से समान भावों में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें कोई कोष्ठक नहीं होगा या मूल भावों की तुलना में उनमें से कम होंगे। व्यंजकों को परिवर्तित करने के इस तरीके को कोष्ठक विस्तार कहा जाता है।
उदाहरण 10
आइए फॉर्म की अभिव्यक्ति में ब्रैकेट के साथ क्रियाएं करें 3 + एक्स - 1 एक्ससमान रूप से सत्य अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए 3 + एक्स - 1 एक्स.
व्यंजक 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x को समान रूप से समान व्यंजक में बिना कोष्ठक 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x में बदला जा सकता है।
हमने "ब्रैकेट विस्तार" विषय में भावों को कोष्ठक में बदलने के नियमों पर विस्तार से चर्चा की, जो हमारे संसाधन पर पोस्ट किया गया है।
समूहीकरण शर्तें, कारक
ऐसे मामलों में जहां हम तीन या अधिक शर्तों के साथ काम कर रहे हैं, हम शब्दों के समूह के रूप में इस तरह के समान परिवर्तनों का सहारा ले सकते हैं। परिवर्तन की इस पद्धति से तात्पर्य कई पदों को एक समूह में पुनर्व्यवस्थित करके और उन्हें कोष्ठक में रखकर संघ से है।
समूहीकरण करते समय, शब्दों को इस तरह से आपस में बदल दिया जाता है कि समूहीकृत शब्द एक दूसरे के बगल में अभिव्यक्ति रिकॉर्ड में होते हैं। उसके बाद, उन्हें कोष्ठक में संलग्न किया जा सकता है।
उदाहरण 11
अभिव्यक्ति लें 5 + 7 + 1 . यदि हम पहले पद को तीसरे के साथ समूहित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है (5 + 1) + 7 .
कारकों का समूहन शर्तों के समूहीकरण के समान ही किया जाता है।
उदाहरण 12
काम में 2 3 4 5पहले कारक को तीसरे के साथ और दूसरे कारक को चौथे के साथ समूहित करना संभव है, इस मामले में हम व्यंजक पर पहुंचते हैं (2 4) (35). और अगर हम पहले, दूसरे और चौथे कारकों को समूहित करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होगा (2 3 5) 4.
समूहबद्ध किए गए पदों और कारकों को अभाज्य संख्याओं और व्यंजकों दोनों द्वारा निरूपित किया जा सकता है। "समूहीकरण नियम और कारक" विषय में समूहीकरण नियमों पर विस्तार से चर्चा की गई।
अंतर को रकम, आंशिक उत्पादों और इसके विपरीत से बदलना
विषम संख्याओं के साथ हमारे परिचित होने के कारण अंतरों को रकम से बदलना संभव हो गया। अब एक संख्या से घटाना एनंबर बीसंख्या के अतिरिक्त के रूप में देखा जा सकता है एनंबर बी. समानता ए - बी = ए + (- बी)इसे उचित माना जा सकता है और इसके आधार पर अंतरों को राशियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
उदाहरण 13
अभिव्यक्ति लें 4 + 3 − 2 , जिसमें संख्याओं का अंतर 3 − 2 हम योग के रूप में लिख सकते हैं 3 + (− 2) . पाना 4 + 3 + (− 2) .
उदाहरण 14
अभिव्यक्ति में सभी अंतर 5 + 2 एक्स - एक्स 2 - 3 एक्स 3 - 0, 2जैसे रकम से बदला जा सकता है 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).
हम किसी भी अंतर से रकम के लिए आगे बढ़ सकते हैं। इसी तरह, हम एक रिवर्स प्रतिस्थापन कर सकते हैं।
भाजक के व्युत्क्रम द्वारा गुणन द्वारा विभाजन का प्रतिस्थापन व्युत्क्रम संख्याओं की अवधारणा द्वारा संभव बनाया गया है। इस परिवर्तन को इस प्रकार लिखा जा सकता है ए: बी = ए (बी -1).
यह नियम साधारण भिन्नों को विभाजित करने के नियम का आधार था।
उदाहरण 15
निजी 1 2: 3 5 प्रपत्र के उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है 1 2 5 3.
इसी तरह, सादृश्य द्वारा, विभाजन को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
उदाहरण 16
अभिव्यक्ति के मामले में 1+5:x:(x+3)विभाजन को से बदलें एक्ससे गुणा किया जा सकता है 1 एक्स. डिवीजन द्वारा एक्स + 3हम से गुणा करके प्रतिस्थापित कर सकते हैं 1 एक्स + 3. परिवर्तन हमें एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने की अनुमति देता है जो मूल अभिव्यक्ति के समान है: 1 + 5 1 x 1 x + 3।
योजना के अनुसार गुणन को विभाजन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ए बी = ए: (बी -1).
उदाहरण 17
व्यंजक 5 x x 2 + 1 - 3 में, गुणा को 5: x 2 + 1 x - 3 के रूप में भाग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
संख्याओं के साथ क्रिया करना
संख्याओं के साथ संचालन करना संचालन के क्रम के नियम के अधीन है। सबसे पहले, संख्याओं की शक्तियों और संख्याओं की जड़ों के साथ संचालन किया जाता है। उसके बाद, हम लघुगणक, त्रिकोणमितीय और अन्य कार्यों को उनके मूल्यों से बदल देते हैं। फिर कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं। और फिर आप बाएँ से दाएँ अन्य सभी क्रियाओं को पहले से ही कर सकते हैं। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जोड़ और घटाव से पहले गुणा और भाग किया जाता है।
संख्याओं के साथ संचालन आपको मूल अभिव्यक्ति को इसके बराबर एक समान में बदलने की अनुमति देता है।
उदाहरण 18
आइए व्यंजक 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x को सभी संभावित संक्रियाओं को संख्याओं के साथ निष्पादित करके रूपांतरित करें।
फेसला
सबसे पहले, आइए डिग्री देखें 2 3 और रूट 4 और उनके मूल्यों की गणना करें: 2 3 = 8 और 4 = 2 2 = 2।
प्राप्त मानों को मूल व्यंजक में रखें और प्राप्त करें: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) ।
अब कोष्ठक करते हैं: 8 − 1 = 7 . और अब हम व्यंजक 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) की ओर बढ़ते हैं।
हमें बस गुणा करना है 3 और 7 . हम प्राप्त करते हैं: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) ।
जवाब: 3 2 3 - 1 ए + 4 एक्स 2 + 5 एक्स = 21 ए + 2 (एक्स 2 + 5 एक्स)
संख्याओं के साथ संचालन अन्य प्रकार के समान परिवर्तनों से पहले हो सकता है, जैसे समूह संख्याएं या कोष्ठक का विस्तार करना।
उदाहरण 19
अभिव्यक्ति लें 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.
फेसला
सबसे पहले, हम भागफल को कोष्ठकों में बदलेंगे 6: 3 इसके अर्थ पर 2 . हम पाते हैं: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11।
आइए कोष्ठक का विस्तार करें: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.
आइए उत्पाद में संख्यात्मक कारकों को समूहित करें, साथ ही वे शब्द जो संख्याएं हैं: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
आइए कोष्ठक करते हैं: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3
जवाब:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3
यदि हम संख्यात्मक भावों के साथ कार्य करते हैं, तो हमारे कार्य का उद्देश्य व्यंजक का मान ज्ञात करना होगा। यदि हम व्यंजकों को चरों से रूपांतरित करते हैं, तो हमारे कार्यों का लक्ष्य व्यंजक को सरल बनाना होगा।
सामान्य कारक को ब्रैकेट करना
ऐसे मामलों में जहां व्यंजक के पदों का गुणनखंड समान हो, तब हम इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से निकाल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें सबसे पहले मूल अभिव्यक्ति को एक सामान्य कारक के उत्पाद के रूप में और कोष्ठक में एक अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है, जिसमें एक सामान्य कारक के बिना मूल शब्द शामिल हैं।
उदाहरण 20
संख्यानुसार 2 7 + 2 3हम सामान्य कारक निकाल सकते हैं 2 कोष्ठक के बाहर और प्रपत्र की एक समान रूप से सही अभिव्यक्ति प्राप्त करें 2 (7 + 3).
आप हमारे संसाधन के संबंधित अनुभाग में सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखने के नियमों की स्मृति को ताज़ा कर सकते हैं। सामग्री कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के नियमों पर विस्तार से चर्चा करती है और कई उदाहरण प्रदान करती है।
समान शब्दों में कमी
अब आइए उन योगों पर चलते हैं जिनमें समान पद होते हैं। यहां दो विकल्प संभव हैं: समान पदों वाले योग, और वे योग जिनके पद एक संख्यात्मक गुणांक से भिन्न होते हैं। समान पदों वाले योगों वाले संक्रियाओं को समान पदों का अपचयन कहते हैं। इसे निम्नानुसार किया जाता है: हम सामान्य अक्षर भाग को कोष्ठक से बाहर रखते हैं और कोष्ठक में संख्यात्मक गुणांक के योग की गणना करते हैं।
उदाहरण 21
अभिव्यक्ति पर विचार करें 1 + 4 एक्स - 2 एक्स. हम कोष्ठक से x का शाब्दिक भाग निकाल सकते हैं और व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं 1 + एक्स (4 - 2). आइए कोष्ठकों में व्यंजक के मान की गणना करें और 1 + x · 2 के रूप का योग प्राप्त करें।
समान भावों के साथ संख्याओं और व्यंजकों को बदलना
मूल व्यंजक बनाने वाली संख्याओं और व्यंजकों को उन व्यंजकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो उनके समान रूप से समान हों। मूल अभिव्यक्ति के इस तरह के परिवर्तन से एक अभिव्यक्ति होती है जो समान रूप से इसके बराबर होती है।
उदाहरण 22 उदाहरण 23
अभिव्यक्ति पर विचार करें 1 + ए5, जिसमें हम डिग्री a 5 को समान रूप से समान उत्पाद से बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रपत्र एक 4. यह हमें अभिव्यक्ति देगा 1 + ए 4.
किया गया परिवर्तन कृत्रिम है। यह केवल अन्य परिवर्तनों की तैयारी में समझ में आता है।
उदाहरण 24
योग के परिवर्तन पर विचार करें 4 x 3 + 2 x 2. यहाँ शब्द 4x3हम एक उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व कर सकते हैं 2 एक्स 2 एक्स 2 एक्स. नतीजतन, मूल अभिव्यक्ति रूप लेती है 2 x 2 2 x + 2 x 2. अब हम उभयनिष्ठ गुणनखंड को पृथक कर सकते हैं 2x2और इसे कोष्ठक से बाहर निकालें: 2 x 2 (2 x + 1).
एक ही संख्या को जोड़ना और घटाना
एक ही समय में एक ही संख्या या व्यंजक को जोड़ना और घटाना एक कृत्रिम व्यंजक रूपांतरण तकनीक है।
उदाहरण 25
अभिव्यक्ति पर विचार करें एक्स 2 + 2 एक्स. हम इसमें से एक को जोड़ या घटा सकते हैं, जो हमें बाद में एक और समान परिवर्तन करने की अनुमति देगा - द्विपद के वर्ग का चयन करने के लिए: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.
यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं
पहचान के बारे में एक विचार प्राप्त करने के बाद, परिचित होने के लिए आगे बढ़ना तर्कसंगत है। इस लेख में, हम इस सवाल का जवाब देंगे कि समान रूप से समान भाव क्या हैं, और उदाहरणों का उपयोग करके, हम यह पता लगाएंगे कि कौन से भाव समान रूप से समान हैं और कौन से नहीं हैं।
पृष्ठ नेविगेशन।
समान रूप से समान भाव क्या हैं?
समान रूप से समान व्यंजकों की परिभाषा सर्वसमिका की परिभाषा के समानांतर दी गई है। यह 7वीं कक्षा में बीजगणित कक्षा में होता है। 7 कक्षाओं के लिए बीजगणित पर पाठ्यपुस्तक में, लेखक यू। एन। मकारिचेव निम्नलिखित शब्द देते हैं:
परिभाषा।
वे भाव हैं जिनके मूल्य उनमें शामिल चर के किसी भी मूल्य के बराबर हैं। समान मानों के अनुरूप संख्यात्मक भाव भी समान रूप से समान कहलाते हैं।
इस परिभाषा का उपयोग कक्षा 8 तक किया जाता है, यह पूर्णांक अभिव्यक्तियों के लिए मान्य है, क्योंकि वे उनमें शामिल चर के किसी भी मूल्य के लिए समझ में आते हैं। और ग्रेड 8 में, समान रूप से समान भावों की परिभाषा निर्दिष्ट की गई है। आइए बताते हैं कि यह किससे जुड़ा है।
ग्रेड 8 में, अन्य प्रकार के भावों का अध्ययन शुरू होता है, जो पूर्णांक अभिव्यक्तियों के विपरीत, चर के कुछ मूल्यों के लिए समझ में नहीं आता है। यह चर के स्वीकार्य और अमान्य मूल्यों की परिभाषाओं के साथ-साथ एक चर के ओडीवी के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को पेश करना आवश्यक बनाता है, और परिणामस्वरूप, समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए।
परिभाषा।
दो व्यंजक जिनके मान उनके चर के सभी स्वीकार्य मानों के लिए समान हैं, कहलाते हैं समान रूप से समान भाव. समान मान वाले दो अंकीय व्यंजकों को समान रूप से समान कहा जाता है।
समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की इस परिभाषा में, "उनमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए" वाक्यांश के अर्थ को स्पष्ट करना उचित है। इसका तात्पर्य चर के ऐसे सभी मूल्यों से है जिनके लिए दोनों समान रूप से समान भाव एक साथ समझ में आते हैं। उदाहरणों पर विचार करके इस विचार को अगले भाग में स्पष्ट किया जाएगा।
A. G. Mordkovich की पाठ्यपुस्तक में समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की परिभाषा को थोड़ा अलग तरीके से दिया गया है:
परिभाषा।
समान समान भावपहचान के बाएँ और दाएँ पक्षों पर भाव हैं।
अर्थ में, यह और पिछली परिभाषाएँ मेल खाती हैं।
समान रूप से समान भावों के उदाहरण
पिछले उपखंड में पेश की गई परिभाषाएं हमें लाने की अनुमति देती हैं समान रूप से समान अभिव्यक्तियों के उदाहरण.
आइए समान रूप से समान संख्यात्मक व्यंजकों से प्रारंभ करें। संख्यात्मक भाव 1+2 और 2+1 समान रूप से समान हैं क्योंकि वे समान मान 3 और 3 के अनुरूप हैं। व्यंजक 5 और 30:6 भी समान रूप से समान हैं, जैसे व्यंजक (2 2) 3 और 2 6 (अंतिम भावों के मान के कारण बराबर हैं)। लेकिन संख्यात्मक भाव 3+2 और 3−2 समान रूप से समान नहीं हैं, क्योंकि वे क्रमशः 5 और 1 के मूल्यों के अनुरूप हैं, लेकिन वे समान नहीं हैं।
अब हम चरों के साथ समरूप समान व्यंजकों के उदाहरण देते हैं। ये व्यंजक हैं a+b तथा b+a । दरअसल, चर a और b के किसी भी मान के लिए, लिखित भाव समान मान लेते हैं (जो संख्याओं से अनुसरण करते हैं)। उदाहरण के लिए, a=1 और b=2 के साथ हमारे पास a+b=1+2=3 और b+a=2+1=3 है। चर a और b के किसी अन्य मान के लिए, हमें इन व्यंजकों के समान मान भी प्राप्त होंगे। व्यंजक 0·x·y·z और 0 भी चर x , y और z के किसी भी मान के लिए समान रूप से समान हैं। लेकिन भाव 2 x और 3 x समान रूप से समान नहीं हैं, उदाहरण के लिए, x = 1 पर उनके मान समान नहीं हैं। वास्तव में, x=1 के लिए, व्यंजक 2 x 2 1=2 है, और व्यंजक 3 x 3 1=3 है।
जब भावों में चर के अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र मेल खाते हैं, उदाहरण के लिए, भावों में a+1 और 1+a , या a b 0 और 0 , या और, और इन भावों के मान समान हैं इन क्षेत्रों से चर के सभी मूल्य, तो यहाँ सब कुछ स्पष्ट है - ये भाव उनमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए समान रूप से समान हैं। तो a+1≡1+a किसी भी a के लिए, व्यंजक a b 0 और 0 चर a और b के किसी भी मान के लिए समान रूप से समान हैं, और व्यंजक और सभी x से समान रूप से समान हैं; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 17 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
हम भी अनुशंसा करते हैं
लोड हो रहा है...