प्रत्यक्ष दिए गए समीकरणों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर होती हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक होते हैं। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस लाइन के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया जाता है, तो रेखा Ax + Vy + C \u003d 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

प्रमाण।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; = पी /4।

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

फेसला. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। के =। फिर वाई =। क्योंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक संतुष्ट होते हैं यह समीकरण: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिसके द्वारा पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

आप = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तो उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्न के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सीधी रेखा के समीकरण दिए गए हैं सामान्य दृष्टि से

ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

ख) उस स्थिति के लिए जब रेखाएँ समीकरणों द्वारा सामान्य रूप (6) में दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

क) उस स्थिति में जब रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि वे ढलान कारकपरिमाण में पारस्परिक हैं और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात।

इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

b) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनके लंबवत (आवश्यक और पर्याप्त) के लिए शर्त समानता को पूरा करना है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक समीकरणों के निकाय (6) को हल करके ज्ञात किए जाते हैं। रेखाएँ (6) प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए जिनमें से एक समांतर है और दूसरी दी गई रेखा l के लंबवत है।

कोनाअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बने किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:

जाहिर है, रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा वैक्टर और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि , तब सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

दो रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की शर्तें उनके दिशा वैक्टर के समानांतरवाद और लंबवतता की शर्तों के बराबर हैं और:

दो सीधे समानांतर हैंयदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात। मैं 1 समानांतर मैं 2 यदि और केवल यदि समानांतर .

दो सीधे सीधायदि और केवल तभी, जब संगत गुणांकों के गुणनफलों का योग शून्य के बराबर हो: .

पर रेखा और समतल के बीच का लक्ष्य

चलो लाइन डी- विमान के लंबवत नहीं ;
डी′− एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण डीविमान के लिए ;
सीधी रेखाओं के बीच के कोणों में सबसे छोटा डीऔर डीहम फोन करेंगे रेखा और समतल के बीच का कोण.
आइए इसे =( के रूप में निरूपित करें डी,θ)
यदि एक डी, फिर ( डी,θ)=π/2

ओइस→जे→क→− आयताकार समन्वय प्रणाली।
समतल समीकरण:

θ: कुल्हाड़ी+द्वारा+सीज़+डी=0

हम मानते हैं कि रेखा एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा दी गई है: डी[एम 0,पी→]
वेक्टर एन→(ए,बी,सी)⊥θ
फिर यह वैक्टर के बीच के कोण का पता लगाना बाकी है एन→ और पी→, इसे =( के रूप में निरूपित करें) एन→,पी→).

यदि कोण<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

यदि कोण γ>π/2 , तो अभीष्ट कोण φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

फिर, रेखा और समतल के बीच का कोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

पापφ=∣cosγ∣=∣ एपी 1+बीपी 2+सीपी 3∣ ∣ √ए 2+बी 2+सी 2√पी 21+पी 22+पी 23

प्रश्न 29. द्विघात रूप की अवधारणा। द्विघात रूपों की संकेत-निश्चितता।

द्विघात रूप j (x 1, x 2, ..., x n) n वास्तविक चर x 1, x 2, ..., x nफॉर्म का योग कहा जाता है
, (1)

कहाँ पे ऐजो कुछ संख्याएँ हैं जिन्हें गुणांक कहा जाता है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम यह मान सकते हैं कि ऐजो = एक जिओ.

द्विघात रूप कहलाता है वैध,अगर ऐजो जीआर। द्विघात रूप का मैट्रिक्सइसके गुणांकों से बना मैट्रिक्स कहलाता है। द्विघात रूप (1) एक अद्वितीय सममित मैट्रिक्स से मेल खाता है
अर्थात। ए टी = ए. अत: द्विघात रूप (1) को आव्यूह रूप j में लिखा जा सकता है। एक्स) = एक्स टी आह, कहाँ पे एक्स टी = (एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन). (2)

और इसके विपरीत, कोई भी सममित मैट्रिक्स (2) चर के अंकन तक एक अद्वितीय द्विघात रूप से मेल खाता है।

द्विघात रूप का पदइसके मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है। द्विघात रूप कहलाता है गैर-पतित,यदि इसका मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है लेकिन. (याद रखें कि मैट्रिक्स लेकिनगैर-पतित कहा जाता है यदि इसका निर्धारक नहीं है शून्य) अन्यथा, द्विघात रूप पतित है।

सकारात्मक रूप से निश्चित(या सख्ती से सकारात्मक) यदि

जे ( एक्स) > 0 , किसी के लिए भी एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अलावा एक्स = (0, 0, …, 0).

आव्यूह लेकिनसकारात्मक निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) को सकारात्मक निश्चित भी कहा जाता है। इसलिए, एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप एक अद्वितीय सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स से मेल खाता है और इसके विपरीत।

द्विघात रूप (1) कहलाता है नकारात्मक निश्चित(या सख्ती से नकारात्मक) अगर

जे ( एक्स) < 0, для любого एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अलावा एक्स = (0, 0, …, 0).

इसी तरह ऊपर के रूप में, एक ऋणात्मक-निश्चित द्विघात मैट्रिक्स को ऋणात्मक-निश्चित भी कहा जाता है।

इसलिए, एक धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) न्यूनतम (अधिकतम) मान j तक पहुँचता है ( एक्स*) = 0 के लिए एक्स* = (0, 0, …, 0).

ध्यान दें कि अधिकांश द्विघात रूप संकेत-निश्चित नहीं हैं, अर्थात वे न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। इस तरह के द्विघात रूप न केवल समन्वय प्रणाली के मूल में, बल्कि अन्य बिंदुओं पर भी गायब हो जाते हैं।

कब एन> 2, द्विघात रूप की चिह्न-निश्चितता की जांच करने के लिए विशेष मानदंड की आवश्यकता होती है। आइए उन पर विचार करें।

प्रमुख नाबालिगद्विघात रूप को अवयस्क कहा जाता है:

यानी ये क्रम 1, 2,…, के अवयस्क हैं एनमैट्रिक्स लेकिनबाईं ओर स्थित ऊपरी कोना, उनमें से अंतिम मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है लेकिन.

सकारात्मक निश्चितता के लिए मानदंड (सिलवेस्टर मानदंड)

एक्स) = एक्स टी आहसकारात्मक निश्चित है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स के सभी प्रमुख नाबालिग लेकिनसकारात्मक थे, अर्थात्: एम 1 > 0, एम 2 > 0, …, एम ना > 0. नकारात्मक निश्चितता का मानदंड द्विघात रूप j के क्रम में ( एक्स) = एक्स टी आहऋणात्मक निश्चित है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सम क्रम के इसके प्रमुख अवयस्क धनात्मक हों, और विषम क्रम वाले ऋणात्मक हों, अर्थात्: एम 1 < 0, एम 2 > 0, एम 3 < 0, …, (–1)एन

विमानों के बीच का कोण

आइए समीकरणों द्वारा दिए गए दो विमानों α 1 और α 2 पर विचार करें:

नीचे कोणदो तलों के बीच हम इनमें से एक को समझेंगे विकर्ण कोणइन विमानों द्वारा निर्मित। यह स्पष्ट है कि सामान्य वैक्टर और विमानों α 1 और α 2 के बीच का कोण संकेतित आसन्न डायहेड्रल कोणों में से एक के बराबर है या . इसलिए . क्योंकि और , तब

उदाहरण।विमानों के बीच का कोण निर्धारित करें एक्स+2आप-3जेड+4=0 और 2 एक्स+3आप+जेड+8=0.

दो तलों की समांतरता की स्थिति।

दो विमान α 1 और α 2 समानांतर हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वैक्टर और समानांतर हैं, और इसलिए .

तो, दो विमान एक दूसरे के समानांतर होते हैं यदि और केवल यदि संबंधित निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं:

या

विमानों के लंबवत होने की स्थिति।

यह स्पष्ट है कि दो विमान लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वेक्टर लंबवत हैं, और इसलिए, या।

इस प्रकार, ।

उदाहरण।

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष।

सदिश समीकरण प्रत्यक्ष।

पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की स्थिति उसके किसी निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से निर्धारित होती है एम 1 और इस रेखा के समानांतर एक वेक्टर।

एक सीधी रेखा के समानांतर एक वेक्टर को कहा जाता है गाइडिंगइस लाइन का वेक्टर।

तो चलो सीधे मैंएक बिंदु से गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) वेक्टर के समानांतर एक सीधी रेखा पर लेटना।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम (एक्स, वाई, जेड)एक सीधी रेखा पर। चित्र से यह देखा जा सकता है कि .

सदिश और संरेख हैं, इसलिए ऐसी संख्या है टी, क्या , गुणक कहाँ है टीबिंदु की स्थिति के आधार पर कोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है एमएक सीधी रेखा पर। कारक टीएक पैरामीटर कहा जाता है। बिन्दुओं की त्रिज्या सदिशों को निरूपित करना एम 1 और एमक्रमशः, के माध्यम से और , हम प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरसीधी रेखा समीकरण। यह दर्शाता है कि प्रत्येक पैरामीटर मान टीकिसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से मेल खाती है एमएक सीधी रेखा पर लेटना।

हम इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखते हैं। नोटिस जो , और यहाँ से

परिणामी समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिकसीधी रेखा समीकरण।

पैरामीटर बदलते समय टीनिर्देशांक परिवर्तन एक्स, आपऔर जेडऔर डॉट एमएक सीधी रेखा में चलता है।

विहित समीकरण प्रत्यक्ष

रहने दो एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) - एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु मैं, और इसकी दिशा वेक्टर है। फिर से, एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें एम (एक्स, वाई, जेड)और वेक्टर पर विचार करें।

यह स्पष्ट है कि सदिश और संरेख हैं, इसलिए उनके संबंधित निर्देशांक समानुपाती होने चाहिए, इसलिए

– कैनन कासीधी रेखा समीकरण।

टिप्पणी 1.ध्यान दें कि लाइन के विहित समीकरणों को पैरामीटर को समाप्त करके पैरामीट्रिक समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है टी. वास्तव में, पैरामीट्रिक समीकरणों से हम प्राप्त करते हैं या .

उदाहरण।एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए पैरामीट्रिक तरीके से।

निरूपित , इस तरह एक्स = 2 + 3टी, आप = –1 + 2टी, जेड = 1 –टी.

टिप्पणी 2.रेखा को निर्देशांक अक्षों में से एक के लंबवत होने दें, उदाहरण के लिए, अक्ष बैल. तब रेखा का दिशा सदिश लंबवत है बैल, इस तरह, एम= 0। नतीजतन, सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण रूप लेते हैं

समीकरणों से पैरामीटर को हटाना टी, हम रूप में सीधी रेखा के समीकरण प्राप्त करते हैं

हालाँकि, इस मामले में भी, हम औपचारिक रूप से सीधी रेखा के विहित समीकरणों को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं . इस प्रकार, यदि भिन्नों में से किसी एक का हर शून्य है, तो इसका अर्थ है कि रेखा संगत निर्देशांक अक्ष के लंबवत है।

इसी प्रकार, विहित समीकरण अक्षों के लंबवत सीधी रेखा से मेल खाती है बैलऔर ओएया समानांतर अक्ष आउंस.

उदाहरण।

सामान्य समीकरण दो योजनाओं के अंतःक्षेपण की एक रेखा के रूप में एक सीधी रेखा

अंतरिक्ष में प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से अनंत विमानों की संख्या गुजरती है। उनमें से कोई दो, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं। अतः ऐसे किन्हीं दो तलों के समीकरण, जिन्हें एक साथ माना जाए, इस रेखा के समीकरण हैं।

सामान्य तौर पर, सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए कोई भी दो गैर-समानांतर विमान

उनके चौराहे की रेखा निर्धारित करें। इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरणसीधा।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा दी गई एक सीधी रेखा की रचना कीजिए

एक रेखा बनाने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है। निर्देशांक विमानों के साथ रेखा के चौराहे के बिंदुओं को चुनना सबसे आसान तरीका है। उदाहरण के लिए, समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु xOyहम एक सीधी रेखा के समीकरणों से प्राप्त करते हैं, यह मानते हुए जेड= 0:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम बिंदु पाते हैं एम 1 (1;2;0).

इसी प्रकार, मान कर आप= 0, हमें समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है xOz:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से, कोई इसके विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों पर आगे बढ़ सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ बिंदु खोजने की जरूरत है एम 1 रेखा पर और रेखा की दिशा सदिश।

बिंदु निर्देशांक एम 1 हम समीकरणों की इस प्रणाली से प्राप्त करते हैं, निर्देशांक में से एक को मनमाना मान देते हैं। दिशा वेक्टर खोजने के लिए, ध्यान दें कि यह वेक्टर दोनों सामान्य वैक्टरों के लंबवत होना चाहिए और . इसलिए, सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के लिए मैंआप सामान्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद ले सकते हैं:

उदाहरण।सरल रेखा के सामान्य समीकरण दीजिए विहित रूप में।

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने ढंग से निर्देशांक में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, आप= 0 और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

रेखा को परिभाषित करने वाले विमानों के सामान्य वैक्टर में निर्देशांक होते हैं इसलिए, दिशा वेक्टर सीधा होगा

. इसलिये, मैं: .

अधिकारों के बीच का कोण

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:

मैं संक्षिप्त रहूंगा। दो रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। इस प्रकार, यदि आप दिशा वैक्टर a \u003d (x 1; y 1; z 1) और b \u003d (x 2; y 2; z 2) के निर्देशांक खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो आप कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र के अनुसार कोण की कोज्या:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे काम करता है:

काम। अंक ई और एफ को क्रमशः एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1 में चिह्नित किया गया है। रेखा AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूंकि घन का किनारा निर्दिष्ट नहीं है, हम AB = 1 सेट करते हैं। हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु A पर है, और x, y, z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के साथ निर्देशित होते हैं। . इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। अब आइए अपनी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

सदिश AE के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हमें अंक ए = (0; 0; 0) और ई = (0.5; 0; 1) की आवश्यकता है। चूंकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर AE की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसलिए AE = (0.5; 0; 1)।

अब बीएफ वेक्टर से निपटते हैं। इसी प्रकार, हम बिंदुओं B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) का विश्लेषण करते हैं, क्योंकि एफ - खंड बी 1 सी 1 के बीच में। हमारे पास है:
बीएफ = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)।

तो, दिशा वैक्टर तैयार हैं। रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है, इसलिए हमारे पास है:

काम। एक नियमित त्रिभुज प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु D और E अंकित हैं - किनारों के मध्य बिंदु क्रमशः A 1 B 1 और B 1 C 1, हैं। AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स-अक्ष एबी के साथ निर्देशित है, जेड - एए 1 के साथ। हम y अक्ष को इस प्रकार निर्देशित करते हैं कि OXY तल ABC तल के साथ संपाती हो। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। वांछित रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए AD वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: ए = (0; 0; 0) और डी = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - खंड ए 1 बी 1 के बीच में। चूँकि सदिश AD की शुरुआत मूल बिंदु से मेल खाती है, हमें AD = (0.5; 0; 1) मिलता है।

आइए अब सदिश BE के निर्देशांक ज्ञात करें। प्वाइंट बी = (1; 0; 0) की गणना करना आसान है। बिंदु ई के साथ - खंड सी 1 बी 1 के मध्य - थोड़ा और कठिन। हमारे पास है:

यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

काम। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक के और एल चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1, क्रमश। रेखा AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: हम निचले आधार के केंद्र में निर्देशांक की उत्पत्ति रखते हैं, एफसी के साथ एक्स-अक्ष को निर्देशित करते हैं, वाई-अक्ष सेगमेंट एबी और डीई के मध्य बिंदुओं के माध्यम से, और जेड-अक्ष लंबवत ऊपर की ओर। इकाई खंड फिर से AB = 1 के बराबर है। आइए हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AK और BL के निर्देशांक पाते हैं:

आइए अब कोण की कोज्या ज्ञात करें:

काम। सही चतुर्भुज पिरामिडएसएबीसीडी, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक ई और एफ चिह्नित हैं - क्रमशः एसबी और एससी के मध्य बिंदु। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स और वाई अक्ष क्रमशः एबी और एडी के साथ निर्देशित हैं, और जेड अक्ष लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अंक ई और एफ क्रमशः एसबी और एससी खंडों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। हम अपने लिए रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखते हैं:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)