Équations exponentielles et exemples d'inégalités. inégalités exponentielles

Université d'État de Belgorod

CHAISE algèbre, théorie des nombres et géométrie

Thème de travail : Équations et inégalités à puissance exponentielle.

Travail de fin d'étudesétudiant de la Faculté de Physique et Mathématiques

Superviseur:

______________________________

Réviseur : _______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introduction			3
Matière JE.	Analyse de la littérature sur le sujet de recherche.
Matière II.	Fonctions et leurs propriétés utilisées pour résoudre des équations et des inégalités à puissance exponentielle.
	I.1.	Fonction de puissance et ses propriétés.
	I.2.	Fonction exponentielle et ses propriétés.
Matière III.	Solution d'équations à puissance exponentielle, algorithme et exemples.
Matière IV.	Résolution des inégalités de puissance exponentielle, plan de solution et exemples.
Matière v.	Expérience dans la conduite de cours avec des écoliers sur le thème: "Solution d'équations de puissance exponentielles et d'inégalités".
v. 1.	Matériel d'apprentissage.
v. 2.	Tâches pour une solution indépendante.
Conclusion.	Conclusions et offres.
Bibliographie.
Applications

Introduction.

"... la joie de voir et de comprendre..."

A.Einstein.

Dans cet ouvrage, j'ai essayé de transmettre mon expérience de professeur de mathématiques, de transmettre, au moins dans une certaine mesure, mon attitude à l'égard de son enseignement - une matière humaine dans laquelle la science mathématique, la pédagogie, la didactique, la psychologie et même la philosophie sont étonnamment entrelacés.

J'ai eu l'occasion de travailler avec des enfants et des diplômés, avec des enfants se tenant aux pôles du développement intellectuel : ceux qui étaient inscrits chez un psychiatre et qui s'intéressaient vraiment aux mathématiques

J'ai dû résoudre de nombreux problèmes méthodologiques. Je vais essayer de parler de ceux que j'ai réussi à résoudre. Mais plus encore - ce n'était pas possible, et dans ceux qui semblent être résolus, de nouvelles questions apparaissent.

Mais plus importantes encore que l'expérience elle-même sont les réflexions et les doutes de l'enseignant : pourquoi est-ce exactement comme ça, cette expérience ?

Et l'été est différent maintenant, et le tournant de l'éducation est devenu plus intéressant. "Sous les Jupiters" aujourd'hui n'est pas la recherche d'un système optimal mythique d'enseignement de "tout et chacun", mais l'enfant lui-même. Mais alors - avec nécessité - et le professeur.

Dans le cours scolaire d'algèbre et a commencé l'analyse, de la 10e à la 11e année, avec réussir l'examen par cours lycée et aux examens d'entrée aux universités, il y a des équations et des inégalités contenant l'inconnu à la base et des exposants - ce sont des équations et des inégalités à puissance exponentielle.

Peu d'attention leur est accordée à l'école, il n'y a pratiquement pas de tâches sur ce sujet dans les manuels. Cependant, maîtriser la technique pour les résoudre est, me semble-t-il, très utile : cela augmente les capacités mentales et Compétences créativesétudiants, de tout nouveaux horizons s'ouvrent devant nous. Lors de la résolution de problèmes, les élèves acquièrent les premières compétences travail de recherche, leur culture mathématique s'enrichit, leur capacité à pensée logique. Les écoliers développent des traits de personnalité tels que la détermination, l'établissement d'objectifs, l'indépendance, qui leur seront utiles plus tard dans la vie. Et il y a aussi une répétition, une expansion et une assimilation profonde du matériel pédagogique.

J'ai commencé à travailler sur ce sujet de ma recherche de thèse avec la rédaction d'un dissertation. Au cours de laquelle j'ai étudié et analysé plus en profondeur la littérature mathématique sur ce sujet, j'ai identifié la méthode la plus appropriée pour résoudre les équations et les inégalités à puissance exponentielle.

Elle réside dans le fait qu'en plus de l'approche généralement admise lors de la résolution d'équations à puissance exponentielle (la base est prise supérieure à 0) et lors de la résolution des mêmes inégalités (la base est prise supérieure à 1 ou supérieure à 0, mais inférieure à 1), les cas sont également considérés lorsque les bases sont négatives, sont 0 et 1.

Analyse écrite documents d'examenétudiants montre que le manque de couverture de la question de la valeur négative de l'argument de la fonction exponentielle-puissance dans les manuels scolaires leur cause un certain nombre de difficultés et conduit à des erreurs. Et aussi ils ont des problèmes au stade de la systématisation des résultats obtenus, où, en raison du passage à l'équation - une conséquence ou une inégalité - une conséquence, des racines étrangères peuvent apparaître. Afin d'éliminer les erreurs, nous utilisons une vérification de l'équation ou de l'inégalité d'origine et un algorithme pour résoudre les équations à puissance exponentielle, ou un plan pour résoudre les inégalités à puissance exponentielle.

Pour que les étudiants réussissent les examens finaux et d'entrée, je pense qu'il est nécessaire d'accorder plus d'attention à la résolution des équations et des inégalités à puissance exponentielle en classe, ou en plus dans les cours facultatifs et les cercles.

Ainsi matière , ma thèse est défini comme suit : "Equations et inégalités à puissance exponentielle".

Objectifs de ce travail sont :

1. Analysez la littérature sur ce sujet.

2. Donnez analyse complète solutions d'équations et d'inéquations à puissance exponentielle.

3. Donnez un nombre suffisant d'exemples sur ce sujet de différents types.

4. Vérifiez à la leçon, aux cours optionnels et au cercle comment les méthodes proposées pour résoudre les équations et les inégalités à puissance exponentielle seront perçues. Donner des recommandations appropriées pour l'étude de ce sujet.

Matière notre recherche consiste à développer une technique de résolution d'équations et d'inéquations à puissance exponentielle.

Le but et le sujet de l'étude ont nécessité la résolution des tâches suivantes :

1. Étudiez la littérature sur le sujet : "Équations et inégalités à puissance exponentielle".

2. Maîtriser les méthodes de résolution des équations et des inégalités à puissance exponentielle.

3. Sélectionnez le matériel de formation et développez un système d'exercices à différents niveaux sur le thème : "Résolution d'équations et d'inégalités à puissance exponentielle".

Au cours de la recherche de thèse, plus de 20 articles consacrés à l'application de diverses méthodes solutions d'équations et d'inéquations à puissance exponentielle. De là, nous obtenons.

Projet de thèse :

Introduction.

Chapitre I. Analyse de la littérature sur le sujet de recherche.

Chapitre II. Fonctions et leurs propriétés utilisées pour résoudre des équations et des inégalités à puissance exponentielle.

II.1. Fonction puissance et ses propriétés.

II.2. La fonction exponentielle et ses propriétés.

Chapitre III. Solution d'équations à puissance exponentielle, algorithme et exemples.

Chapitre IV. Résolution des inégalités de puissance exponentielle, plan de solution et exemples.

Chapitre V. Expérience dans la conduite de cours avec des écoliers sur ce sujet.

1. Matériel pédagogique.

2. Tâches pour une solution indépendante.

Conclusion. Conclusions et offres.

Liste de la littérature utilisée.

Littérature analysée au chapitre I

Dans cette leçon, nous examinerons diverses inégalités exponentielles et apprendrons à les résoudre en nous basant sur la méthode de résolution des inégalités exponentielles les plus simples.

1. Définition et propriétés de la fonction exponentielle

Rappeler la définition et les principales propriétés d'une fonction exponentielle. C'est sur les propriétés que repose la solution de toutes les équations et inégalités exponentielles.

Fonction exponentielle est une fonction de la forme , où la base est le degré et Ici x est une variable indépendante, un argument ; y - variable dépendante, fonction.

Riz. 1. Graphique de la fonction exponentielle

Le graphique montre un exposant croissant et décroissant, illustrant la fonction exponentielle à une base supérieure à un et inférieure à un, mais supérieure à zéro, respectivement.

Les deux courbes passent par le point (0;1)

Propriétés de la fonction exponentielle:

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone, croît comme , décroît comme .

Une fonction monotone prend chacune de ses valeurs avec une seule valeur d'argument.

Lorsque , lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction augmente de zéro, non inclus, à plus l'infini, c'est-à-dire que pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction monotone croissante (). Lorsque, au contraire, lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction diminue de l'infini à zéro, inclus, c'est-à-dire pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction monotone décroissante ().

2. Les inégalités exponentielles les plus simples, technique de résolution, exemple

Sur la base de ce qui précède, nous présentons une méthode de résolution des inégalités exponentielles les plus simples :

Méthode de résolution des inégalités :

Égalisez les bases des degrés;

Comparez les indicateurs, en gardant ou en changeant le signe opposé de l'inégalité.

La solution des inégalités exponentielles complexes consiste, en règle générale, dans leur réduction aux inégalités exponentielles les plus simples.

La base du degré est supérieure à un, ce qui signifie que le signe de l'inégalité est conservé :

Transformons le côté droit selon les propriétés du degré :

La base du degré est inférieure à un, le signe de l'inégalité doit être inversé :

Pour résoudre une inégalité quadratique, on résout l'équation quadratique correspondante :

Par le théorème de Vieta, on trouve les racines :

Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

On a donc une solution à l'inégalité :

Il est facile de deviner que le côté droit peut être représenté comme une puissance avec un exposant nul :

La base du degré est supérieure à un, le signe de l'inégalité ne change pas, on obtient :

Rappelons la procédure de résolution de telles inégalités.

Considérons une fonction rationnelle fractionnaire :

Recherche du domaine de définition :

On retrouve les racines de la fonction :

La fonction a une seule racine,

Nous distinguons des intervalles de constance de signe et déterminons les signes de la fonction sur chaque intervalle :

Riz. 2. Intervalles de constance des signes

Nous avons donc eu la réponse.

Répondre:

3. Solution des inégalités exponentielles typiques

Considérons les inégalités avec les mêmes exposants mais des bases différentes.

L'une des propriétés d'une fonction exponentielle est qu'elle prend des valeurs strictement positives pour toutes les valeurs de l'argument, ce qui signifie qu'elle peut être divisée en une fonction exponentielle. Divisons l'inégalité donnée par son côté droit :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité est conservé.

Illustrons la solution :

La figure 6.3 montre les graphiques des fonctions et . Évidemment, lorsque l'argument est supérieur à zéro, le graphe de la fonction est situé plus haut, cette fonction est plus grande. Lorsque les valeurs de l'argument sont négatives, la fonction passe en dessous, c'est moins. Si la valeur de l'argument est égale, alors le point donné est aussi une solution à l'inégalité donnée.

Riz. 3. Illustration de l'exemple 4

On transforme l'inégalité donnée selon les propriétés du degré :

Voici des membres similaires :

Divisons les deux parties en :

Maintenant, nous continuons à résoudre de manière similaire à l'exemple 4, nous divisons les deux parties par :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité est conservé :

4. Solution graphique des inégalités exponentielles

Exemple 6 - résoudre graphiquement l'inégalité :

Considérez les fonctions sur les côtés gauche et droit et tracez chacune d'elles.

La fonction est un exposant, elle est croissante sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

La fonction est linéaire, décroissante sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

Si ces fonctions se croisent, c'est-à-dire que le système a une solution, alors une telle solution est unique et peut être facilement devinée. Pour ce faire, itérez sur des entiers ()

Il est facile de voir que la racine de ce système est :

Ainsi, les graphes de fonctions se croisent en un point avec un argument égal à un.

Maintenant, nous devons obtenir une réponse. La signification de l'inégalité donnée est que l'exposant doit être supérieur ou égal à la fonction linéaire, c'est-à-dire qu'il doit être supérieur ou égal à celle-ci. La réponse est évidente : (Figure 6.4)

Riz. 4. Illustration par exemple 6

Ainsi, nous avons considéré la solution de diverses inégalités exponentielles typiques. Ensuite, nous passons à la considération d'inégalités exponentielles plus complexes.

Bibliographie

Mordkovich A. G. Algèbre et débuts analyse mathematique. - M. : Mnémosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Outarde. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al Algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Lumières.

Math. md. Mathématiques-répétition. com. Diffur. kemsu. ru.

Devoirs

1. Algèbre et débuts de l'analyse, 10e-11e années (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, n ° 472, 473;

2. Résolvez l'inégalité :

3. Résolvez l'inégalité.

Beaucoup de gens pensent que les inégalités exponentielles sont quelque chose de tellement compliqué et incompréhensible. Et qu'apprendre à les résoudre est presque un grand art, que seuls les Élus sont capables de comprendre...

Absurdité complète ! Les inégalités exponentielles sont faciles. Et ils sont toujours faciles à résoudre. Eh bien, presque toujours. :)

Aujourd'hui, nous allons analyser ce sujet en profondeur. Cette leçon sera très utile pour ceux qui commencent tout juste à comprendre cette partie des mathématiques scolaires. Commençons avec tâches simples et passons à plus questions difficiles. Il n'y aura pas de bidon aujourd'hui, mais ce que vous allez lire maintenant suffira à résoudre la plupart des inégalités sur toutes sortes de contrôle et travail indépendant. Et sur ce ton examen aussi.

Comme toujours, commençons par une définition. Une inégalité exponentielle est toute inégalité qui contient une fonction exponentielle. Autrement dit, on peut toujours la réduire à une inégalité de la forme

\[((a)^(x)) \gt b\]

Où le rôle de $b$ peut être un nombre ordinaire, ou peut-être quelque chose de plus difficile. Exemples? Oui s'il te plaît:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ carré ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16 ; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\fin(aligner)\]

Je pense que le sens est clair : il existe une fonction exponentielle $((a)^(x))$, elle est comparée à quelque chose, puis on lui demande de trouver $x$. Dans des cas particulièrement cliniques, au lieu de la variable $x$, ils peuvent mettre une fonction $f\left(x \right)$ et ainsi compliquer un peu l'inégalité. :)

Bien sûr, dans certains cas, l'inégalité peut sembler plus grave. Par example:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ou même ceci :

En général, la complexité de telles inégalités peut être très différente, mais au final elles se résument toujours à une simple construction $((a)^(x)) \gt b$. Et nous traiterons d'une manière ou d'une autre d'une telle conception (en particulier dans les cas cliniques, lorsque rien ne nous vient à l'esprit, les logarithmes nous aideront). Par conséquent, nous allons maintenant apprendre à résoudre ces constructions simples.

Solution des inégalités exponentielles les plus simples

Regardons quelque chose de très simple. Par exemple, le voici :

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Évidemment, le nombre de droite peut être réécrit comme une puissance de deux : $4=((2)^(2))$. Ainsi, l'inégalité d'origine est réécrite sous une forme très pratique :

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Et maintenant, les mains ont hâte de "barrer" les deux, debout dans les bases des degrés, afin d'obtenir la réponse $x \gt 2$. Mais avant de rayer quoi que ce soit, rappelons-nous les puissances de deux :

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Comme on voit quoi Suite est dans l'exposant, plus le nombre de sortie est grand. « Merci, Cap ! » s'exclame l'un des élèves. Est-ce que ça se passe différemment ? Malheureusement, cela arrive. Par example:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ droite))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Ici aussi, tout est logique: plus le degré est grand, plus le nombre 0,5 est multiplié par lui-même (c'est-à-dire qu'il est divisé en deux). Ainsi, la séquence de nombres résultante diminue et la différence entre les première et deuxième séquences n'est que dans la base :

• Si la base du degré $a \gt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ croît, le nombre $((a)^(n))$ croît également ;
• Inversement, si $0 \lt a \lt 1$, alors à mesure que l'exposant $n$ augmente, le nombre $((a)^(n))$ diminue.

En résumant ces faits, nous obtenons la déclaration la plus importante, sur laquelle repose toute la solution des inégalités exponentielles :

Si $a \gt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \gt n$. Si $0 \lt a \lt 1$, alors l'inégalité $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $x \lt n$.

En d'autres termes, si la base est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer - le signe d'inégalité ne changera pas. Et si la base est inférieure à un, elle peut également être supprimée, mais le signe de l'inégalité devra également être modifié.

Notez que nous n'avons pas considéré les options $a=1$ et $a\le 0$. Parce que dans ces cas, il y a de l'incertitude. Supposons comment résoudre une inégalité de la forme $((1)^(x)) \gt 3$ ? Un un à n'importe quelle puissance donnera à nouveau un un - nous n'obtiendrons jamais un trois ou plus. Ceux. il n'y a pas de solution.

Avec des bases négatives, c'est encore plus intéressant. Considérons, par exemple, l'inégalité suivante :

\[((\gauche(-2 \droite))^(x)) \gt 4\]

A première vue, tout est simple :

Correctement? Mais non! Il suffit de substituer au lieu de $x$ un couple de nombres pairs et un couple nombres impairs pour s'assurer que la solution est fausse. Regarde:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, les signes alternent. Mais il y a encore des degrés fractionnaires et d'autres étain. Comment, par exemple, ordonneriez-vous de compter $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (moins deux élevé à la racine de sept) ? Pas du tout!

Par conséquent, pour la définition, nous supposons que dans toutes les inégalités exponentielles (et les équations, d'ailleurs, aussi) $1\ne a \gt 0$. Et puis tout est résolu très simplement:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aligner) \right.\]

En général, rappelez-vous encore une fois la règle principale: si la base de l'équation exponentielle est supérieure à un, vous pouvez simplement la supprimer; et si la base est inférieure à un, elle peut également être supprimée, mais cela changera le signe de l'inégalité.

Exemples de solutions

Alors, considérons quelques inégalités exponentielles simples :

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01 ; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16 ; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\fin(aligner)\]

La tâche principale est la même dans tous les cas : réduire les inégalités à la forme la plus simple $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. C'est ce que nous allons faire maintenant avec chaque inégalité, et en même temps nous répéterons les propriétés des puissances et la fonction exponentielle. Alors allons-y!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Que peut-on faire ici ? Eh bien, à gauche, nous avons déjà une expression démonstrative - rien ne doit être changé. Mais à droite, il y a une sorte de merde : une fraction, et même une racine dans le dénominateur !

Cependant, rappelez-vous les règles pour travailler avec des fractions et des puissances :

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\fin(aligner)\]

Qu'est-ce que ça veut dire? Premièrement, nous pouvons facilement nous débarrasser de la fraction en la transformant en un exposant négatif. Et deuxièmement, puisque le dénominateur est la racine, ce serait bien de le transformer en degré - cette fois avec un exposant fractionnaire.

Appliquons ces actions séquentiellement au côté droit de l'inégalité et voyons ce qui se passe :

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

N'oubliez pas que lorsque vous élevez un degré à une puissance, les exposants de ces degrés sont ajoutés. Et en général, lorsque vous travaillez avec des équations et des inégalités exponentielles, il est absolument nécessaire de connaître au moins les règles les plus simples pour travailler avec des puissances :

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\fin(aligner)\]

Réellement, dernière règle nous venons de postuler. Par conséquent, notre inégalité originale sera réécrite comme suit :

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ fraction(1)(3)))\]

Maintenant, nous nous débarrassons du diable à la base. Puisque 2 > 1, le signe de l'inégalité reste le même :

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

C'est toute la solution ! La principale difficulté n'est pas du tout dans la fonction exponentielle, mais dans la transformation compétente de l'expression originale: vous devez l'amener soigneusement et aussi rapidement que possible à sa forme la plus simple.

Considérons la seconde inégalité :

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Comme ci comme ça. Ici, nous attendons les fractions décimales. Comme je l'ai dit à plusieurs reprises, dans toutes les expressions avec des puissances, vous devez vous débarrasser des fractions décimales - c'est souvent la seule façon de voir une solution rapide et facile. Voici ce dont nous allons nous débarrasser :

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ droite))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\fin(aligner)\]

Devant nous se trouve à nouveau l'inégalité la plus simple, et même avec la base 1/10, c'est-à-dire moins d'un. Eh bien, nous supprimons les bases, en changeant simultanément le signe de "moins" à "plus grand", et nous obtenons :

\[\begin(aligner) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\fin(aligner)\]

Nous avons obtenu la réponse finale : $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Veuillez noter que la réponse est exactement l'ensemble, et en aucun cas la construction de la forme $x \lt -1$. Car formellement, une telle construction n'est pas du tout un ensemble, mais une inégalité par rapport à la variable $x$. Oui, c'est très simple, mais ce n'est pas la réponse !

Note importante. Cette inégalité pourrait être résolue d'une autre manière - en réduisant les deux parties à une puissance avec une base supérieure à un. Regarde:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Après cette transformation, on obtient à nouveau inégalité exponentielle, mais avec la base 10 > 1. Et cela signifie que vous pouvez simplement barrer les dix - le signe de l'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2 ; \\ & x-1 \lt-2 ; \\ & x \lt -2+1=-1 ; \\ & x \lt -1. \\\fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, la réponse est exactement la même. En même temps, nous nous sommes épargnés de la nécessité de changer le signe et de nous souvenir généralement de certaines règles. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cependant, ne vous laissez pas effrayer. Quel que soit le contenu des indicateurs, la technologie pour résoudre l'inégalité elle-même reste la même. Par conséquent, notons d'abord que 16 = 2 4 . Réécrivons l'inégalité originale en tenant compte de ce fait :

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(aligner)\]

Hourra ! Nous avons l'habituel inégalité au carré! Le signe n'a changé nulle part, puisque la base est un deux - un nombre supérieur à un.

Fonction zéros sur la droite numérique

Nous organisons les signes de la fonction $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - évidemment, son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, donc il y aura des "plus " sur les côtés. Nous nous intéressons à la région où la fonction est inférieure à zéro, c'est-à-dire $x\in \left(2;5 \right)$ est la réponse au problème initial.

Enfin, considérons une autre inégalité :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Encore une fois, nous voyons une fonction exponentielle avec une fraction décimale dans la base. Convertissons cette fraction en une fraction commune :

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(aligner)\]

Dans ce cas, nous avons profité de la remarque faite précédemment - nous avons réduit la base au nombre 5\u003e 1 afin de simplifier notre décision ultérieure. Faisons la même chose avec le côté droit :

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ droite))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Réécrivons l'inégalité d'origine en tenant compte des deux transformations :

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Les bases des deux côtés sont identiques et supérieures à un. Il n'y a pas d'autres termes à droite et à gauche, donc nous "rayons" simplement les cinq et nous obtenons une expression très simple :

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2 ; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2 ; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1 ; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\fin(aligner)\]

C'est là qu'il faut être prudent. De nombreux étudiants aiment simplement extraire Racine carrée les deux parties de l'inégalité et écrivez quelque chose comme $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Vous ne devriez jamais faire cela, puisque la racine d'un carré exact est module, et en aucun cas la variable d'origine :

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\droite|\]

Cependant, travailler avec des modules n'est pas l'expérience la plus agréable, n'est-ce pas ? Nous ne travaillerons donc pas. Au lieu de cela, nous déplaçons simplement tous les termes vers la gauche et résolvons l'inégalité habituelle en utilisant la méthode des intervalles :

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1 ; \\\fin(aligner)$

Encore une fois, nous marquons les points obtenus sur la droite numérique et regardons les signes :

Attention : les points sont grisés.

Puisque nous résolvions une inégalité non stricte, tous les points du graphique sont grisés. Par conséquent, la réponse sera : $x\in \left[ -1;1 \right]$ n'est pas un intervalle, mais un segment.

De manière générale, je voudrais noter qu'il n'y a rien de compliqué dans les inégalités exponentielles. La signification de toutes les transformations que nous avons effectuées aujourd'hui se résume à un algorithme simple :

• Trouvez la base à laquelle nous réduirons tous les degrés;
• Effectuez soigneusement les transformations pour obtenir une inégalité de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Bien sûr, à la place des variables $x$ et $n$, il peut y avoir des fonctions beaucoup plus complexes, mais cela ne change pas le sens ;
• Barrez les bases des degrés. Dans ce cas, le signe de l'inégalité peut changer si la base $a \lt 1$.

En fait, il s'agit d'un algorithme universel pour résoudre toutes ces inégalités. Et tout le reste qui vous sera dit sur ce sujet n'est que des trucs et astuces spécifiques pour simplifier et accélérer la transformation. Voici une de ces astuces dont nous allons parler maintenant. :)

méthode de rationalisation

Considérons un autre lot d'inégalités :

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1 ; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Eh bien, qu'est-ce qu'ils ont de si spécial? Ils sont également légers. Quoique, arrêtez ! Pi est-il élevé à une puissance ? Quel genre de bêtises ?

Et comment élever le nombre $2\sqrt(3)-3$ à une puissance ? Ou $3-2\sqrt(2)$ ? Les compilateurs des problèmes ont visiblement trop bu "Aubépine" avant de se mettre au travail. :)

En fait, il n'y a rien de mal à ces tâches. Je vous rappelle : une fonction exponentielle est une expression de la forme $((a)^(x))$, où la base $a$ est n'importe quel nombre positif, sauf un. Le nombre π est positif - nous le savons déjà. Les nombres $2\sqrt(3)-3$ et $3-2\sqrt(2)$ sont également positifs - c'est facile à voir si nous les comparons à zéro.

Il s'avère que toutes ces inégalités "terrifiantes" ne sont pas différentes des simples décrites ci-dessus ? Et ils le font de la même manière ? Oui, tout à fait raison. Cependant, en utilisant leur exemple, je voudrais considérer une astuce qui permet de gagner beaucoup de temps sur le travail indépendant et les examens. Nous parlerons de la méthode de rationalisation. Alors attention :

Toute inégalité exponentielle de la forme $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ est équivalente à l'inégalité $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ à droite) \gt 0 $.

C'est toute la méthode. :) Pensiez-vous qu'il y aurait une sorte de prochain jeu ? Rien de tel ! Mais ce simple fait, écrit littéralement en une seule ligne, simplifiera grandement notre travail. Regarde:

\[\begin(matrice) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrice)\]

Ici, il n'y a plus de fonctions exponentielles ! Et vous n'avez pas à vous rappeler si le signe change ou non. Mais un nouveau problème se pose : que faire du putain de multiplicateur \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] ? Nous ne savons pas ce que c'est valeur exacte nombres π. Cependant, le capitaine semble faire allusion à l'évidence :

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

En général, la valeur exacte de π ne nous dérange pas beaucoup - il est seulement important pour nous de comprendre que dans tous les cas $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. est une constante positive, et nous pouvons diviser les deux côtés de l'inégalité par celle-ci :

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, à un certain moment, nous avons dû diviser par moins un, et le signe de l'inégalité a changé. À la fin, j'ai développé le trinôme carré selon le théorème de Vieta - il est évident que les racines sont égales à $((x)_(1))=5$ et $((x)_(2))=- 1 $. Ensuite, tout est résolu par la méthode classique des intervalles :

On résout l'inégalité par la méthode des intervalles

Tous les points sont ponctionnés car l'inégalité d'origine est stricte. Nous nous intéressons à la zone avec des valeurs négatives, donc la réponse est $x\in \left(-1;5 \right)$. C'est la solution. :)

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tout est simple ici, car il y a une unité sur la droite. Et rappelons qu'une unité est tout nombre élevé à la puissance zéro. Même si ce nombre est une expression irrationnelle, debout en bas à gauche :

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\fin(aligner)\]

Alors rationalisons :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0 ; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Il ne reste plus qu'à s'occuper des signes. Le multiplicateur $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne contient pas la variable $x$ - c'est juste une constante, et nous devons trouver son signe. Pour ce faire, notez ce qui suit :

\[\begin(matrice) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Il s'avère que le second facteur n'est pas seulement une constante, mais une constante négative ! Et lors de la division par celle-ci, le signe de l'inégalité d'origine changera à l'opposé :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0 ; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Maintenant, tout devient assez évident. Racines trinôme carréà droite : $((x)_(1))=0$ et $((x)_(2))=2$. Nous les marquons sur la droite numérique et regardons les signes de la fonction $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ :

Le cas où l'on s'intéresse aux intervalles latéraux

Nous nous intéressons aux intervalles marqués d'un signe plus. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse:

Passons à l'exemple suivant :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ droite))^(16-x))\]

Eh bien, tout est assez évident ici : les bases sont des puissances du même nombre. Par conséquent, je vais tout écrire brièvement:

\[\begin(matrice) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ gauche(16-x\droite))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, dans le processus de transformations, nous avons dû multiplier par un nombre négatif, donc le signe d'inégalité a changé. À la toute fin, j'ai de nouveau appliqué le théorème de Vieta pour factoriser un trinôme carré. En conséquence, la réponse sera la suivante : $x\in \left(-8;4 \right)$ - ceux qui le souhaitent peuvent le vérifier en traçant une droite numérique, en marquant des points et en comptant les signes. En attendant, nous allons passer à la dernière inégalité de notre « set » :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Comme vous pouvez le voir, à la base se trouve à nouveau nombre irrationnel, et l'unité est de nouveau sur la droite. Par conséquent, nous réécrivons notre inégalité exponentielle comme suit :

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)\ droite))^(0))\]

Rationnalisons :

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0 ; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0 ; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cependant, il est bien évident que $1-\sqrt(2) \lt 0$, puisque $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Par conséquent, le deuxième facteur est à nouveau une constante négative par laquelle les deux parties de l'inégalité peuvent être divisées :

\[\begin(matrice) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]

\[\begin(aligner) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Changer de base

Un problème distinct dans la résolution des inégalités exponentielles est la recherche de la base "correcte". Malheureusement, au premier coup d'œil à la tâche, il est loin d'être toujours évident de savoir quoi prendre comme base et que faire selon le degré de cette base.

Mais ne vous inquiétez pas: il n'y a pas de technologie magique et "secrète" ici. En mathématiques, toute compétence qui ne peut pas être algorithmisée peut être facilement développée par la pratique. Mais pour cela, vous devez résoudre des problèmes différents niveaux des difficultés. Par exemple, ce sont :

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1 ; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ fin (aligner)\]

Compliqué? Angoissant? Oui, c'est plus facile qu'un poulet sur l'asphalte ! Essayons. Première inégalité :

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Eh bien, je pense que tout est clair ici:

Nous réécrivons l'inégalité d'origine, en réduisant tout à la base "deux":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Oui, oui, vous avez bien compris : je viens d'appliquer la méthode de rationalisation décrite ci-dessus. Maintenant, nous devons travailler avec soin : nous avons une inégalité fractionnaire-rationnelle (c'est celle qui a une variable dans le dénominateur), donc avant d'assimiler quelque chose à zéro, vous devez tout réduire à un dénominateur commun et vous débarrasser du facteur constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0 ; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(aligner)\]

Maintenant, nous utilisons la méthode d'intervalle standard. Zéros du numérateur : $x=\pm 4$. Le dénominateur ne va à zéro que lorsque $x=0$. Au total, il y a trois points qui doivent être marqués sur la droite numérique (tous les points sont poinçonnés, car le signe d'inégalité est strict). On a:

Suite cas difficile: trois racines

Comme vous pouvez le deviner, les hachures marquent les intervalles auxquels l'expression de gauche prend valeurs négatives. Par conséquent, deux intervalles entreront dans la réponse finale à la fois :

Les extrémités des intervalles ne sont pas incluses dans la réponse car l'inégalité d'origine était stricte. Aucune autre validation de cette réponse n'est requise. À cet égard, les inégalités exponentielles sont beaucoup plus simples que les inégalités logarithmiques : pas de DPV, pas de restrictions, etc.

Passons à la tâche suivante :

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Il n'y a pas de problème ici non plus, puisque nous savons déjà que $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, donc toute l'inégalité peut être réécrite comme ceci :

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0 ; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\gauche(-2\droite)\droite. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(aligner)\]

Attention : dans la troisième ligne, j'ai décidé de ne pas perdre de temps sur des bagatelles et de tout diviser immédiatement par (−2). Minul est entré dans la première tranche (maintenant il y a des plus partout), et le deux a été réduit avec un multiplicateur constant. C'est exactement ce que vous devez faire lorsque vous effectuez de vrais calculs sur des travail de contrôle- pas besoin de peindre directement chaque action et transformation.

Ensuite, la méthode familière des intervalles entre en jeu. Zéros du numérateur : mais il n'y en a pas. Car le discriminant sera négatif. À son tour, le dénominateur est mis à zéro uniquement lorsque $x=0$ — comme la dernière fois. Eh bien, il est clair que la fraction prendra des valeurs positives à droite de $x=0$, et négatives à gauche. Puisque seules les valeurs négatives nous intéressent, la réponse finale est $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Et que faire des fractions décimales dans les inégalités exponentielles ? C'est vrai : débarrassez-vous d'eux en les convertissant en ordinaires. Ici, nous traduisons :

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\fin(aligner)\]

Eh bien, qu'avons-nous obtenu dans les bases des fonctions exponentielles ? Et nous avons obtenu deux nombres mutuellement réciproques :

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ droite))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ gauche(\frac(4)(25) \droite))^(-x))\]

Ainsi, l'inégalité d'origine peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1 ; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\fin(aligner)\]

Bien sûr, lors de la multiplication des puissances avec la même base, leurs indicateurs s'additionnent, ce qui s'est produit dans la deuxième ligne. De plus, nous avons représenté l'unité à droite, également comme une puissance en base 4/25. Il ne reste plus qu'à rationaliser :

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Notez que $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, c'est-à-dire le deuxième facteur est une constante négative, et lorsqu'il est divisé par lui, le signe de l'inégalité changera :

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1 ; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Enfin, la dernière inégalité de "l'ensemble" actuel :

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

En principe, l'idée d'une solution ici aussi est claire : toutes les fonctions exponentielles qui composent l'inégalité doivent être ramenées à la base « 3 ». Mais pour cela il faut bricoler un peu les racines et les degrés :

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\fin(aligner)\]

Compte tenu de ces faits, l'inégalité d'origine peut être réécrite comme suit:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\fin(aligner)\]

Faites attention aux 2e et 3e lignes de calcul : avant de faire quelque chose avec l'inégalité, assurez-vous de la mettre sous la forme dont nous avons parlé au tout début de la leçon : $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Tant que vous avez des multiplicateurs gauche ou droit gauche, des constantes supplémentaires, etc., aucune rationalisation et "rayure" des motifs ne peut être effectuée! D'innombrables tâches ont été mal faites en raison d'une mauvaise compréhension de ce simple fait. J'observe moi-même constamment ce problème avec mes élèves lorsque nous commençons tout juste à analyser les inégalités exponentielles et logarithmiques.

Mais revenons à notre tâche. Essayons cette fois de faire sans rationalisation. Nous rappelons: la base du degré est supérieure à un, donc les triplets peuvent simplement être barrés - le signe de l'inégalité ne changera pas. On a:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x ; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12 ; \\ & x \lt 3. \\\end(aligner)\]

C'est tout. Réponse finale : $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Mettre en surbrillance une expression stable et remplacer une variable

En conclusion, je propose de résoudre quatre inégalités plus exponentielles, qui sont déjà assez difficiles pour des étudiants non préparés. Pour y faire face, vous devez vous rappeler les règles de travail avec les diplômes. En particulier, mettre les facteurs communs entre parenthèses.

Mais le plus important est d'apprendre à comprendre : qu'est-ce qui peut être mis entre parenthèses exactement. Une telle expression est appelée stable - elle peut être désignée par une nouvelle variable et ainsi se débarrasser de la fonction exponentielle. Alors, regardons les tâches:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6 ; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90 ; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500 ; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Commençons par la toute première ligne. Écrivons cette inégalité séparément :

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Notez que $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, donc le côté droit peut être réécrit :

Notez qu'il n'y a pas d'autres fonctions exponentielles à l'exception de $((5)^(x+1))$ dans l'inégalité. Et en général, la variable $x$ n'apparaît nulle part ailleurs, introduisons donc une nouvelle variable : $((5)^(x+1))=t$. On obtient la construction suivante :

\[\begin(aligner) & 5t+t\ge 6 ; \\ & 6t\ge 6 ; \\ & t\ge 1. \\\end(aligner)\]

Nous revenons à la variable d'origine ($t=((5)^(x+1))$), et en même temps rappelons que 1=5 0 . Nous avons:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0 ; \\ & x\ge -1. \\\fin(aligner)\]

C'est toute la solution ! Réponse : $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Passons à la seconde inégalité :

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tout est pareil ici. Notez que $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Ensuite, le côté gauche peut être réécrit :

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90 ; \\ & 10t\ge 90 ; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\fin(aligner)\]

C'est à peu près ainsi que vous devez rédiger une décision sur le contrôle réel et le travail indépendant.

Eh bien, essayons quelque chose de plus difficile. Par exemple, voici une inégalité :

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Quel est le problème ici? Tout d'abord, les bases des fonctions exponentielles de gauche sont différentes : 5 et 25. Cependant, 25 \u003d 5 2, donc le premier terme peut être transformé :

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Comme vous pouvez le voir, au début, nous avons tout ramené à la même base, puis nous avons remarqué que le premier terme se réduit facilement au second - il suffit simplement d'étendre l'exposant. Nous pouvons maintenant introduire en toute sécurité une nouvelle variable : $((5)^(2x+2))=t$, et toute l'inégalité sera réécrite comme ceci :

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500 ; \\ & 4t\ge 2500 ; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4 ; \\ & 2x\ge 2 ; \\ & x\ge 1. \\\end(aligner)\]

Encore une fois, pas de problème ! Réponse finale : $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Passons à la dernière inégalité dans la leçon d'aujourd'hui :

\[((\gauche(0,5 \droite))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

La première chose à laquelle vous devez faire attention est, bien sûr, la fraction décimale dans la base du premier degré. Il faut s'en débarrasser, et en même temps ramener toutes les fonctions exponentielles sur la même base - le nombre "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\fin(aligner)\]

Super, nous avons fait le premier pas - tout a conduit à la même fondation. Il faut maintenant mettre en évidence définir l'expression. Notez que $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Si nous introduisons une nouvelle variable $((2)^(4x+6))=t$, alors l'inégalité originale peut être réécrite comme suit :

\[\begin(aligner) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768 ; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8 ; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\fin(aligner)\]

Naturellement, la question peut se poser : comment avons-nous découvert que 256 = 2 8 ? Malheureusement, ici, il vous suffit de connaître les puissances de deux (et en même temps les puissances de trois et de cinq). Eh bien, ou divisez 256 par 2 (vous pouvez diviser, puisque 256 est un nombre pair) jusqu'à ce que nous obtenions le résultat. Cela ressemblera à ceci :

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Il en va de même avec les trois (les numéros 9, 27, 81 et 243 sont ses puissances), et avec les sept (les numéros 49 et 343 seraient également agréables à retenir). Eh bien, les cinq ont aussi de « beaux » diplômes que vous devez connaître :

\[\begin(aligner) & ((5)^(2))=25 ; \\ & ((5)^(3))=125 ; \\ & ((5)^(4))=625 ; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\fin(aligner)\]

Bien sûr, tous ces nombres, si on le souhaite, peuvent être restaurés dans l'esprit, simplement en les multipliant successivement les uns par les autres. Cependant, lorsque vous devez résoudre plusieurs inégalités exponentielles et que chacune est plus difficile que la précédente, la dernière chose à laquelle vous voulez penser est la puissance de certains nombres. Et en ce sens, ces problèmes sont plus complexes que les inégalités "classiques", qui sont résolues par la méthode des intervalles.

Cours et présentation sur le thème : "Équations exponentielles et inégalités exponentielles"

Matériaux additionnels
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, réactions, suggestions ! Tous les matériaux sont vérifiés par un programme antivirus.

Aides pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne "Integral" pour la 11e année
Manuel interactif pour les années 9-11 "Trigonométrie"
Manuel interactif pour les classes 10-11 "Logarithmes"

Définition des équations exponentielles

Les gars, nous avons étudié les fonctions exponentielles, appris leurs propriétés et construit des graphiques, analysé des exemples d'équations dans lesquelles des fonctions exponentielles ont été rencontrées. Aujourd'hui, nous allons étudier les équations et les inégalités exponentielles.

Définition. Les équations de la forme : $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ sont appelées équations exponentielles.

En se souvenant des théorèmes que nous avons étudiés dans le sujet "Fonction exponentielle", nous pouvons introduire un nouveau théorème :
Théorème. L'équation exponentielle $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ est équivalente à l'équation $f(x)=g(x) $.

Exemples d'équations exponentielles

Exemple.
Résoudre des équations :
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Décision.
a) On sait bien que $27=3^3$.
Réécrivons notre équation : $3^(3x-3)=3^3$.
En utilisant le théorème ci-dessus, nous obtenons que notre équation se réduit à l'équation $3x-3=3$, en résolvant cette équation, nous obtenons $x=2$.
Réponse : $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Alors notre équation peut être réécrite : $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.

C) L'équation originale est équivalente à l'équation : $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ et $x_2=-3$.
Réponse : $x_1=6$ et $x_2=-3$.

Exemple.
Résolvez l'équation : $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Décision:
Nous allons effectuer séquentiellement une série d'actions et amener les deux parties de notre équation aux mêmes bases.
Effectuons une série d'opérations sur le côté gauche :
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Passons au côté droit :
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
L'équation d'origine est équivalente à l'équation :
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.

Exemple.
Résolvez l'équation : $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Décision:
Réécrivons notre équation : $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Faisons un changement de variables, soit $a=3^x$.
Dans les nouvelles variables, l'équation prendra la forme : $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ et $a_2=3$.
Effectuons le changement inverse des variables : $3^x=-12$ et $3^x=3$.
Dans la dernière leçon, nous avons appris que les expressions exponentielles ne peuvent prendre que des valeurs positives, souvenez-vous du graphique. Cela signifie que la première équation n'a pas de solution, la deuxième équation a une solution : $x=1$.
Réponse : $x=1$.

Faisons un mémo des façons de résoudre des équations exponentielles :
1. Méthode graphique. Nous représentons les deux parties de l'équation sous forme de fonctions et construisons leurs graphiques, trouvons les points d'intersection des graphiques. (Nous avons utilisé cette méthode dans la dernière leçon).
2. Le principe d'égalité des indicateurs. Le principe repose sur le fait que deux expressions avec les mêmes motifs sont égaux si et seulement si les degrés (exposants) de ces bases sont égaux. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Méthode de changement de variables. Cette méthode doit être utilisée si l'équation, lors du changement de variables, simplifie sa forme et est beaucoup plus facile à résoudre.

Exemple.
Résolvez le système d'équations : $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Décision.
Considérez les deux équations du système séparément :
$27^y*3^x=1$.
$3^(3a)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Considérez la deuxième équation :
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Utilisons la méthode de changement de variables, soit $y=2^(x+y)$.
L'équation prendra alors la forme :
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ et $y_2=-3$.
Passons aux variables initiales, à partir de la première équation nous obtenons $x+y=2$. La deuxième équation n'a pas de solutions. Alors notre système d'équations initial est équivalent au système : $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Soustrayez la seconde équation de la première équation, nous obtenons : $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (cas) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Réponse : $(3;-1)$.

inégalités exponentielles

Passons aux inégalités. Lors de la résolution des inégalités, il faut faire attention à la base du degré. Il existe deux scénarios possibles pour le développement des événements lors de la résolution des inégalités.

Théorème. Si $a>1$, alors l'inégalité exponentielle $a^(f(x))>a^(g(x))$ est équivalente à l'inégalité $f(x)>g(x)$.
Si 0 $ a^(g(x))$ est équivalent à $f(x)

Exemple.
Résoudre les inégalités :
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Décision.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Notre inégalité est équivalente à l'inégalité :
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dans notre équation, la base avec un degré en moins supérieur à 1, alors lorsqu'on remplace une inégalité par une équivalente, il faut changer de signe.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Notre inégalité est équivalente à l'inégalité :
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
utilisons méthode d'intervalle solutions:
Réponse : $(-∞;-5]U)