Solution des inégalités par la méthode des intervalles. Résolution des inégalités quadratiques par la méthode des intervalles

La méthode des intervalles est considérée comme universelle pour résoudre les inégalités. Parfois, cette méthode est également appelée la méthode de l'écart. Il peut être utilisé aussi bien pour résoudre des inégalités rationnelles à une variable que pour des inégalités d'autres types. Dans notre matériel, nous avons essayé de prêter attention à tous les aspects de la question.

Qu'est-ce qui vous attend dans cette rubrique ? Nous analyserons la méthode des écarts et considérerons les algorithmes de résolution des inégalités qui l'utilisent. touchons aspects théoriques sur lesquels repose l'application de la méthode.

Nous accordons une attention particulière aux nuances du sujet, qui ne sont généralement pas couvertes dans le programme scolaire. Par exemple, considérez les règles de placement des signes sur les intervalles et la méthode des intervalles dans vue générale sans le rattacher à des inégalités rationnelles.

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Algorithme

Qui se souvient comment la méthode des écarts est introduite dans le cours d'algèbre scolaire ? Généralement, tout commence par la résolution d'inéquations de la forme f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ou ≥). Ici f(x) peut être un polynôme ou un rapport de polynômes. Le polynôme, à son tour, peut être représenté par :

le produit de binômes linéaires avec un coefficient de 1 pour la variable x ;
le produit de trinômes carrés de coefficient dominant 1 et du discriminant négatif de leurs racines.

Voici quelques exemples de telles inégalités :

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x - 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Nous écrivons un algorithme de résolution d'inéquations de ce type, comme nous l'avons donné dans les exemples, en utilisant la méthode des intervalles :

nous trouvons les zéros du numérateur et du dénominateur, pour cela nous égalons le numérateur et le dénominateur de l'expression du côté gauche de l'inégalité à zéro et résolvons les équations résultantes;
déterminez les points qui correspondent aux zéros trouvés et marquez-les avec des tirets sur l'axe des coordonnées;
définir les signes d'expression f(x) du côté gauche de l'inégalité résolue sur chaque intervalle et placez-les sur le graphique ;
appliquer des hachures sur les sections souhaitées du graphique, guidé par règle suivante: si l'inégalité a des signes< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ou ≥ , puis on sélectionne en ombrant les zones marquées du signe « + ».

Le dessin avec lequel nous allons travailler peut avoir une vue schématique. Des détails excessifs peuvent surcharger le dessin et rendre la décision difficile. Nous nous intéresserons peu à l'échelle. Il suffira de coller emplacement correct points à mesure que les valeurs de leurs coordonnées augmentent.

Lorsque nous travaillons avec des inégalités strictes, nous utiliserons la notation d'un point sous la forme d'un cercle avec un centre non rempli (vide). Dans le cas d'inégalités non strictes, les points qui correspondent aux zéros du dénominateur seront affichés comme vides, et tout le reste en noir ordinaire.

Les points marqués divisent la ligne de coordonnées en plusieurs intervalles numériques. Cela nous permet d'obtenir une représentation géométrique de l'ensemble de nombres, qui est en fait la solution de l'inégalité donnée.

Base scientifique de la méthode des écarts

L'approche sous-jacente à la méthode des intervalles repose sur la propriété suivante d'une fonction continue : la fonction conserve un signe constant sur l'intervalle (a, b) sur lequel cette fonction est continue et ne s'annule pas. La même propriété est typique pour nombre de rayons(−∞ , a) et (un , +∞).

La propriété ci-dessus de la fonction est confirmée par le théorème de Bolzano-Cauchy, qui est donné dans de nombreux manuels de préparation aux examens d'entrée.

Il est également possible de justifier la constance du signe sur les intervalles à partir des propriétés des inégalités numériques. Par exemple, prenons l'inégalité x - 5 x + 1 > 0 . Si nous trouvons les zéros du numérateur et du dénominateur et les plaçons sur la droite numérique, nous obtenons une série d'écarts : (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) et (5 , + ∞) .

Prenons n'importe lequel des intervalles et montrons dessus que sur tout l'intervalle l'expression du côté gauche de l'inégalité aura un signe constant. Soit l'intervalle (− ∞ , − 1) . Prenons n'importe quel nombre t de cet intervalle. Il satisfera aux conditions t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

En utilisant à la fois les inégalités obtenues et la propriété des inégalités numériques, on peut supposer que t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t sur l'intervalle (− ∞ , − 1) .

En utilisant la règle de division des nombres négatifs, nous pouvons affirmer que la valeur de l'expression t - 5 t + 1 sera positive. Cela signifie que la valeur de l'expression x - 5 x + 1 sera positive pour toute valeur X de l'écart (− ∞ , − 1) . Tout ceci permet d'affirmer que sur l'intervalle pris en exemple, l'expression est de signe constant. Dans notre cas, il s'agit du signe "+".

Trouver les zéros du numérateur et du dénominateur

L'algorithme pour trouver des zéros est simple : nous assimilons les expressions du numérateur et du dénominateur à zéro et résolvons les équations résultantes. Si vous rencontrez des difficultés, vous pouvez vous référer au sujet "Résoudre des équations par factorisation". Dans cette section, nous nous limitons à un exemple.

Considérons la fraction x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Pour trouver les zéros du numérateur et du dénominateur, on les égalise à zéro afin d'obtenir et de résoudre les équations : x (x − 0, 6) = 0 et x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Dans le premier cas, on peut passer à l'ensemble des deux équations x = 0 et x − 0 , 6 = 0 , ce qui nous donne deux racines 0 et 0 , 6 . Ce sont les zéros du numérateur.

La deuxième équation est équivalente à l'ensemble des trois équations x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Nous effectuons une série de transformations et obtenons x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. La racine de la première équation est 0, la deuxième équation n'a pas de racine, puisqu'elle a un discriminant négatif, la racine de la troisième équation est 5. Ce sont les zéros du dénominateur.

0 dans ce cas est à la fois le zéro du numérateur et le zéro du dénominateur.

En général, lorsqu'il y a une fraction du côté gauche de l'inégalité, qui n'est pas nécessairement rationnelle, le numérateur et le dénominateur sont également égalés à zéro pour obtenir des équations. La résolution d'équations vous permet de trouver les zéros du numérateur et du dénominateur.

La détermination du signe de l'intervalle est simple. Pour ce faire, vous pouvez trouver la valeur de l'expression du côté gauche de l'inégalité pour tout point choisi arbitrairement dans l'intervalle donné. Le signe résultant de la valeur de l'expression à un point arbitrairement choisi de l'intervalle coïncidera avec le signe de l'intervalle entier.

Regardons cette déclaration avec un exemple.

Prenons l'inégalité x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . L'expression située sur le côté gauche de l'inégalité n'a pas de zéros au numérateur. Le dénominateur zéro sera le nombre -3. Nous obtenons deux écarts sur la droite numérique (− ∞ , − 3) et (− 3 , + ∞) .

Afin de déterminer les signes des intervalles, on calcule la valeur de l'expression x 2 - x + 4 x + 3 pour des points pris arbitrairement sur chacun des intervalles.

Dès le premier intervalle (− ∞ , − 3) prendre - 4 . À x = -4 on a (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Nous avons Sens négatif, donc tout l'intervalle sera avec le signe "-".

Pour la portée (− 3 , + ∞) effectuons des calculs avec un point ayant une coordonnée nulle. Pour x = 0 nous avons 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Nous avons obtenu une valeur positive, ce qui signifie que tout l'intervalle aura un signe "+".

Vous pouvez utiliser une autre méthode pour définir les signes. Pour ce faire, on peut trouver le signe sur l'un des intervalles et le sauvegarder ou le modifier lors du passage par zéro. Pour tout faire correctement, il faut suivre la règle: en passant par zéro du dénominateur, mais pas du numérateur, ou du numérateur, mais pas du dénominateur, on peut changer le signe en sens inverse si le degré du l'expression donnant ce zéro est impaire, et on ne peut pas changer de signe si le degré est pair. Si nous obtenons un point qui est à la fois zéro du numérateur et du dénominateur, alors il n'est possible de changer le signe en son contraire que si la somme des puissances des expressions donnant ce zéro est impaire.

Si nous rappelons l'inégalité que nous avons considérée au début du premier paragraphe de ce document, alors à l'extrême droite de l'intervalle, nous pouvons mettre un signe «+».

Passons maintenant aux exemples.

Prenez l'inégalité (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 et résolvez-la en utilisant la méthode des intervalles. Pour ce faire, nous devons trouver les zéros du numérateur et du dénominateur et les marquer sur la ligne de coordonnées. Les zéros du numérateur seront des points 2 , 3 , 4 , le dénominateur du point 1 , 3 , 4 . Nous les marquons sur l'axe des coordonnées avec des tirets.

Les zéros du dénominateur sont marqués de points vides.

Puisqu'il s'agit d'une inégalité non stricte, nous remplaçons les tirets restants par des points ordinaires.

Plaçons maintenant les points sur les intervalles. La plage la plus à droite (4, +∞) sera le signe +.

En nous déplaçant de droite à gauche, nous marquerons les lacunes restantes. Nous passons par le point de coordonnée 4 . C'est à la fois le zéro du numérateur et le dénominateur. En somme, ces zéros donnent les expressions (x - 4) 2 et x-4. Nous additionnons leurs puissances 2 + 1 = 3 et obtenons nombre impair. Cela signifie que le signe de la transition dans ce cas passe à l'opposé. Sur l'intervalle (3, 4) il y aura un signe moins.

On passe à l'intervalle (2 , 3) passant par le point de coordonnée 3 . C'est également zéro pour le numérateur et le dénominateur. On l'a obtenu grâce à deux expressions (x − 3) 3 et (x − 3) 5, dont la somme des puissances est 3 + 5 = 8 . Obtenir un nombre pair nous permet de laisser le signe de l'intervalle inchangé.

Le point de coordonnée 2 est le zéro du numérateur. Le degré d'expression x - 2 est égal à 1 (impair). Cela signifie qu'en passant par ce point, le signe doit être inversé.

Il nous reste le dernier intervalle (− ∞ , 1) . Le point de coordonnée 1 est le dénominateur zéro. Il est dérivé de l'expression (x − 1) 4, de degré pair 4 . Par conséquent, le signe reste le même. Le dessin final ressemblera à ceci :

L'utilisation de la méthode de l'intervalle est particulièrement efficace dans les cas où le calcul de la valeur d'une expression est associé à une grande quantité de travail. Un exemple serait la nécessité d'évaluer la valeur d'une expression

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

en tout point de l'intervalle 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Maintenant, appliquons les connaissances et compétences acquises dans la pratique.

Exemple 1

Résolvez l'inégalité (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Décision

Il est conseillé d'appliquer la méthode des intervalles pour résoudre l'inégalité. Trouvez les zéros du numérateur et du dénominateur. Les zéros du numérateur sont 1 et - 5 , les zéros du dénominateur sont 7 et 1 . Marquons-les sur la droite numérique. Nous avons affaire à une inégalité non stricte, nous marquerons donc les zéros du dénominateur avec des points vides, le zéro du numérateur - 5 sera marqué d'un point plein régulier.

Nous avons posé les signes des écarts en utilisant les règles de changement de signe lors du passage par zéro. Commençons par l'intervalle le plus à droite, pour lequel nous calculons la valeur de l'expression du côté gauche de l'inégalité en un point arbitrairement pris dans l'intervalle. Nous obtenons le signe "+". Passons séquentiellement à travers tous les points sur la ligne de coordonnées, en plaçant des signes, et obtenons :

On travaille avec une inégalité non stricte de signe ≤ . Cela signifie que nous devons marquer les espaces marqués du signe «-» avec un ombrage.

Répondre: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

La solution des inégalités rationnelles nécessite dans la plupart des cas leur transformation préalable en le bon genre. Ce n'est qu'alors qu'il devient possible d'utiliser la méthode des intervalles. Les algorithmes pour effectuer de telles transformations sont considérés dans le matériel "Solution des inégalités rationnelles".

Prenons un exemple de conversion de trinômes carrés en inégalités.

Exemple 2

Trouver une solution à l'inégalité (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Décision

Voyons si les discriminants des trinômes carrés dans l'enregistrement des inégalités sont vraiment négatifs. Cela nous permettra de déterminer si la forme de cette inégalité permet d'appliquer la méthode des intervalles à la solution.

Calculer le discriminant pour le trinôme X 2 + 3 X + 3 : ré = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Calculons maintenant le discriminant pour le trinôme x 2 + 2 x - 8 : D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Comme vous pouvez le voir, l'inégalité nécessite une transformation préalable. Pour ce faire, nous représentons le trinôme x 2 + 2 x − 8 comme (x + 4) (x - 2), puis appliquez la méthode des intervalles pour résoudre l'inégalité (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Répondre: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

La méthode des écarts généralisés est utilisée pour résoudre les inégalités de la forme f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , où f (x) est une expression arbitraire à une variable X.

Toutes les actions sont effectuées selon un certain algorithme. Dans ce cas, l'algorithme de résolution des inégalités par la méthode des intervalles généralisés sera quelque peu différent de ce que nous avons analysé précédemment :

trouver le domaine de la fonction f et les zéros de cette fonction ;
marquez les points de délimitation sur l'axe des coordonnées ;
tracer les zéros de la fonction sur la droite numérique ;
déterminer les signes d'intervalles;
nous appliquons des hachures;
écrivez la réponse.

Sur la droite numérique, il est également nécessaire de marquer des points individuels du domaine de définition. Par exemple, le domaine d'une fonction est l'ensemble (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Cela signifie que nous devons marquer des points avec des coordonnées − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 et 10 . points − 5 et 7 sont affichés comme vides, le reste peut être surligné avec un crayon de couleur afin de les distinguer des zéros de la fonction.

Les zéros de la fonction dans le cas des inégalités non strictes sont marqués par des points ordinaires (ombrés) et, pour les inégalités strictes, par des points vides. Si les zéros coïncident avec les points limites ou les points individuels du domaine de définition, ils peuvent être recolorés en noir, les rendant vides ou remplis, selon le type d'inégalité.

Le dossier de réponse est ensemble de nombres qui inclut:

lacunes hachurées;
séparer les points du domaine par un signe plus si on a affaire à une inégalité dont le signe est > ou ≥ ou par un signe moins s'il y a des signes dans l'inégalité< или ≤ .

Maintenant, il est devenu clair que l'algorithme que nous avons présenté au tout début du sujet est un cas particulier de l'algorithme d'application de la méthode de l'intervalle généralisé.

Prenons un exemple d'application de la méthode de l'intervalle généralisé.

Exemple 3

Résolvez l'inégalité x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Décision

Nous introduisons une fonction f telle que f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Trouver le domaine de la fonction F:

X 2 + 2 X - 24 ≥ 0 X ≠ 7 ré (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Trouvons maintenant les zéros de la fonction. Pour ce faire, nous allons résoudre l'équation irrationnelle :

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

On obtient la racine x = 12 .

Pour désigner les points limites sur l'axe des coordonnées, nous utilisons couleur orange. Points - 6, 4 seront remplis et 7 seront laissés vides. On a:

Nous marquons le zéro de la fonction avec un point noir vide, puisque nous travaillons avec une inégalité stricte.

Nous déterminons les signes sur des intervalles séparés. Pour ce faire, prenez un point de chaque intervalle, par exemple, 16 , 8 , 6 et − 8 , et calculez la valeur de la fonction en eux F:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Nous plaçons les signes que nous venons de définir, et nous appliquons des hachures sur les lacunes avec un signe moins :

La réponse sera l'union de deux intervalles avec le signe "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

En réponse, nous avons inclus un point de coordonnée - 6 . Ce n'est pas le zéro de la fonction, que l'on n'inclurait pas dans la réponse lors de la résolution d'une inégalité stricte, mais le point limite du domaine de définition, qui est inclus dans le domaine de définition. La valeur de la fonction à ce stade est négative, ce qui signifie qu'elle satisfait l'inégalité.

Nous n'avons pas inclus le point 4 dans la réponse, tout comme nous n'avons pas inclus l'intervalle entier [4, 7) . À ce stade, tout comme sur tout l'intervalle spécifié, la valeur de la fonction est positive, ce qui ne satisfait pas l'inégalité en cours de résolution.

Réécrivons-le pour une meilleure compréhension : des points de couleur doivent être inclus dans la réponse dans les cas suivants :

ces points font partie d'un espace hachuré,
ces points sont des points distincts du domaine de la fonction, les valeurs de la fonction dans lesquelles satisfont l'inégalité étant résolue.

Répondre: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

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Méthode d'espacement est un moyen simple de résoudre des inégalités rationnelles fractionnaires. C'est le nom des inégalités contenant des expressions rationnelles (ou fractionnelles-rationnelles) qui dépendent d'une variable.

1. Considérons, par exemple, l'inégalité suivante

La méthode de l'intervalle vous permet de le résoudre en quelques minutes.

Sur le côté gauche de cette inégalité se trouve une fonction rationnelle fractionnaire. Rationnel, car il ne contient ni racines, ni sinus, ni logarithmes - seulement des expressions rationnelles. A droite, zéro.

La méthode des intervalles est basée sur la propriété suivante d'une fonction rationnelle fractionnaire.

Une fonction rationnelle fractionnaire ne peut changer de signe qu'aux points où elle est égale à zéro ou n'existe pas.

Rappel comment factoriser trinôme carré, c'est-à-dire une expression de la forme .

Où et sont les racines équation quadratique.

Nous dessinons un axe et organisons les points où le numérateur et le dénominateur disparaissent.

Les zéros du dénominateur et sont des points perforés, car à ces points la fonction du côté gauche de l'inégalité n'est pas définie (vous ne pouvez pas diviser par zéro). Les zéros du numérateur et - sont grisés car l'inégalité n'est pas stricte. Car et notre inégalité est satisfaite, puisque ses deux parties sont égales à zéro.

Ces points divisent l'axe en intervalles.

Déterminons le signe de la fonction fractionnaire-rationnelle du côté gauche de notre inégalité sur chacun de ces intervalles. Rappelons qu'une fonction rationnelle fractionnaire ne peut changer de signe qu'aux points où elle est égale à zéro ou n'existe pas. Cela signifie que sur chacun des intervalles entre les points où le numérateur ou le dénominateur disparaît, le signe de l'expression du côté gauche de l'inégalité sera constant - soit "plus" soit "moins".

Et donc, pour déterminer le signe de la fonction sur chacun de ces intervalles, on prend n'importe quel point appartenant à cet intervalle. Celui qui nous convient.
. Prenons, par exemple, et vérifions le signe de l'expression à gauche de l'inégalité. Chacune des « parenthèses » est négative. Le côté gauche a un signe.

Intervalle suivant : . Vérifions le signe pour . Nous obtenons que le côté gauche a changé de signe en .

Prenons . Lorsque l'expression est positive - donc, elle est positive sur tout l'intervalle de à .

Pour , le côté gauche de l'inégalité est négatif.

Et enfin class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Nous avons trouvé sur quels intervalles l'expression est positive. Il reste à écrire la réponse :

Répondre: .

Attention : les panneaux alternent sur les intervalles. C'est arrivé parce que en passant par chaque point, exactement l'un des facteurs linéaires a changé de signe, et le reste l'a gardé inchangé.

On voit que la méthode des intervalles est très simple. Pour résoudre une inégalité fractionnaire-rationnelle par la méthode des intervalles, on la met sous la forme :

Ou alors class="tex" alt="(!LANG:\genfrac())()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ou ou .

(à gauche - une fonction fractionnaire-rationnelle, à droite - zéro).

Ensuite - nous marquons sur la droite numérique les points auxquels le numérateur ou le dénominateur disparaît.
Ces points divisent toute la droite numérique en intervalles, sur chacun desquels la fonction fractionnaire-rationnelle conserve son signe.
Il ne reste plus qu'à connaître son signe sur chaque intervalle.
Pour ce faire, nous vérifions le signe de l'expression en tout point de l'intervalle donné. Après cela, nous écrivons la réponse. C'est tout.

Mais la question se pose : les signes alternent-ils toujours ? Non pas toujours ! Il faut faire attention à ne pas placer les panneaux de manière mécanique et irréfléchie.

2. Regardons une autre inégalité.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac())()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \gauche(x-3\droite))>0"> !}

Nous plaçons à nouveau des points sur l'axe. Les points et sont piqués car ce sont les zéros du dénominateur. Le point est également poinçonné, puisque l'inégalité est stricte.

Lorsque le numérateur est positif, les deux facteurs du dénominateur sont négatifs. Ceci est facile à vérifier en prenant n'importe quel nombre d'un intervalle donné, par exemple, . Le côté gauche porte le signe :

Lorsque le numérateur est positif ; le premier facteur du dénominateur est positif, le second facteur est négatif. Le côté gauche porte le signe :

Quand la situation est la même ! Le numérateur est positif, le premier facteur du dénominateur est positif, le second est négatif. Le côté gauche porte le signe :

Enfin, avec class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Répondre: .

Pourquoi l'alternance des caractères a-t-elle été rompue ? Parce qu'en passant par le point, le multiplicateur "responsable" de celui-ci n'a pas changé de signe. Par conséquent, tout le membre de gauche de notre inégalité n'a pas non plus changé de signe.

Conclusion: si le facteur linéaire est dans une puissance paire (par exemple, dans un carré), alors en passant par un point, le signe de l'expression sur le côté gauche ne change pas. Dans le cas d'un degré impair, le signe, bien sûr, change.

3. Envisagez plus cas difficile. Elle diffère de la précédente en ce que l'inégalité n'est pas stricte :

Le côté gauche est le même que dans le problème précédent. L'image des signes sera la même:

Peut-être que la réponse sera la même ? Pas! La solution est ajoutée C'est parce que les parties gauche et droite de l'inégalité sont égales à zéro - par conséquent, ce point est une solution.

Répondre: .

Dans le problème de l'examen de mathématiques, cette situation est souvent rencontrée. Ici, les candidats tombent dans un piège et perdent des points. Fais attention!

4. Que se passe-t-il si le numérateur ou le dénominateur ne peut pas être factorisé en facteurs linéaires ? Considérez cette inégalité :

Le trinôme carré ne peut pas être factorisé : le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines. Mais c'est bon ! Cela signifie que le signe de l'expression est le même pour tous, et plus précisément, il est positif. Vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans l'article sur les propriétés. fonction quadratique.

Et maintenant nous pouvons diviser les deux côtés de notre inégalité par une valeur qui est positive pour tous. On arrive à une inégalité équivalente :

Ce qui est facilement résolu par la méthode des intervalles.

Faites attention - nous avons divisé les deux côtés de l'inégalité par la valeur, dont nous savions avec certitude qu'elle était positive. Bien sûr, dans le cas général, il ne faut pas multiplier ou diviser l'inégalité par variable, dont le signe est inconnu.

5 . Considérons une autre inégalité, apparemment assez simple :

Je veux donc le multiplier par . Mais nous sommes déjà intelligents et nous ne le ferons pas. Après tout, cela peut être à la fois positif et négatif. Et nous savons que si les deux parties de l'inégalité sont multipliées par une valeur négative, le signe de l'inégalité change.

Nous agirons différemment - nous rassemblerons tout en une seule partie et le ramènerons à un dénominateur commun. Zéro restera sur le côté droit :

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Et après cela - applicable méthode d'intervalle.

1. Considérons, par exemple, l'inégalité suivante

La méthode de l'intervalle vous permet de le résoudre en quelques minutes.

La méthode des intervalles est basée sur la propriété suivante d'une fonction rationnelle fractionnaire.

Une fonction rationnelle fractionnaire ne peut changer de signe qu'aux points où elle est égale à zéro ou n'existe pas.

Rappelez-vous comment un trinôme carré est factorisé, c'est-à-dire une expression de la forme .

Où et sont les racines de l'équation quadratique.

Nous dessinons un axe et organisons les points où le numérateur et le dénominateur disparaissent.

Ces points divisent l'axe en intervalles.

Intervalle suivant : . Vérifions le signe pour . Nous obtenons que le côté gauche a changé de signe en .

Prenons . Lorsque l'expression est positive - donc, elle est positive sur tout l'intervalle de à .

Pour , le côté gauche de l'inégalité est négatif.

Nous avons trouvé sur quels intervalles l'expression est positive. Il reste à écrire la réponse :

Répondre: .

On voit que la méthode des intervalles est très simple. Pour résoudre une inégalité fractionnaire-rationnelle par la méthode des intervalles, on la met sous la forme :

Ou alors class="tex" alt="(!LANG:\genfrac())()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ou ou .

(à gauche - une fonction fractionnaire-rationnelle, à droite - zéro).

Mais la question se pose : les signes alternent-ils toujours ? Non pas toujours ! Il faut faire attention à ne pas placer les panneaux de manière mécanique et irréfléchie.

2. Regardons une autre inégalité.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac())()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \gauche(x-3\droite))>0"> !}

Nous plaçons à nouveau des points sur l'axe. Les points et sont piqués car ce sont les zéros du dénominateur. Le point est également poinçonné, puisque l'inégalité est stricte.

Lorsque le numérateur est positif ; le premier facteur du dénominateur est positif, le second facteur est négatif. Le côté gauche porte le signe :

Quand la situation est la même ! Le numérateur est positif, le premier facteur du dénominateur est positif, le second est négatif. Le côté gauche porte le signe :

Enfin, avec class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Répondre: .

3. Prenons un cas plus compliqué. Elle diffère de la précédente en ce que l'inégalité n'est pas stricte :

Le côté gauche est le même que dans le problème précédent. L'image des signes sera la même:

Répondre: .

Dans le problème de l'examen de mathématiques, cette situation est souvent rencontrée. Ici, les candidats tombent dans un piège et perdent des points. Fais attention!

4. Que se passe-t-il si le numérateur ou le dénominateur ne peut pas être factorisé en facteurs linéaires ? Considérez cette inégalité :

Et maintenant nous pouvons diviser les deux côtés de notre inégalité par une valeur qui est positive pour tous. On arrive à une inégalité équivalente :

Ce qui est facilement résolu par la méthode des intervalles.

Faites attention - nous avons divisé les deux côtés de l'inégalité par la valeur, dont nous savions avec certitude qu'elle était positive. Bien sûr, dans le cas général, il ne faut pas multiplier ou diviser une inégalité par une variable dont le signe est inconnu.

5 . Considérons une autre inégalité, apparemment assez simple :

Nous agirons différemment - nous rassemblerons tout en une seule partie et le ramènerons à un dénominateur commun. Zéro restera sur le côté droit :

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Et après cela - applicable méthode d'intervalle.

Comment résoudre des inégalités à l'aide de la méthode des intervalles (algorithme avec exemples)

Exemple . (tâche de l'OGE) Résolvez l'inégalité par la méthode d'intervalle \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Décision:

Répondre : \((7;7+\sqrt(11))\)

Exemple . Résolvez l'inégalité par la méthode d'intervalle \(≥0\)
Décision:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Ici, à première vue, tout semble normal, et l'inégalité est d'abord réduite à la forme souhaitée. Mais ce n'est pas le cas - après tout, dans les première et troisième parenthèses du numérateur, x est accompagné d'un signe moins. Nous transformons les crochets en tenant compte du fait que le quatrième degré est pair (c'est-à-dire qu'il supprimera le signe moins) et que le troisième est impair (c'est-à-dire qu'il ne le supprimera pas). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Comme ça. Maintenant, nous remettons les crochets "en place" déjà convertis.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Maintenant, toutes les parenthèses ont l'aspect qu'elles devraient avoir (d'abord vient le costume non signé, et ensuite seulement le nombre). Mais il y avait un moins devant le numérateur. On le supprime en multipliant l'inégalité par \(-1\), sans oublier d'inverser le signe de comparaison
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Prêt. Maintenant, l'inégalité semble correcte. Vous pouvez utiliser la méthode des intervalles.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		Plaçons des points sur l'axe, des signes et peignons sur les espaces nécessaires.
		Dans l'intervalle de \(4\) à \(6\), le signe n'a pas besoin d'être changé, car la parenthèse \((x-6)\) est à un degré pair (voir paragraphe 4 de l'algorithme) . Le drapeau rappellera que le six est aussi une solution aux inégalités. Écrivons la réponse.

Répondre : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\gauche\(6\droite\)\)

Exemple.(Affectation de l'OGE) Résolvez l'inégalité en utilisant la méthode d'intervalle \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Décision:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Gauche et droite sont les mêmes - ce n'est clairement pas accidentel. Le premier souhait est de diviser par \(-x^2-64\), mais c'est une erreur, car il y a une chance de perdre la racine. Au lieu de cela, déplacez \(64(-x^2-64)\) vers côté gauche
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Retirez le moins dans la première parenthèse et factorisez la seconde
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Notez que \(x^2\) est égal à zéro ou supérieur à zéro. Cela signifie que \(x^2+64\) est uniquement positif pour toute valeur de x, c'est-à-dire que cette expression n'affecte en aucune façon le signe du côté gauche. Par conséquent, nous pouvons diviser en toute sécurité les deux parties de l'inégalité par cette expression. Divisons également l'inégalité par \(-1\) pour éliminer le moins.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Vous pouvez maintenant appliquer la méthode d'intervalle
\(x=8;\) \(x=-8\)		Écrivons la réponse