Le théorème de factorisation d'un trinôme carré. Factorisation de trinômes carrés : exemples et formules

Développer des polynômes pour obtenir un produit semble parfois déroutant. Mais ce n'est pas si difficile si vous comprenez le processus étape par étape. L'article détaille comment factoriser un trinôme carré.

Beaucoup ne comprennent pas comment factoriser un trinôme carré, et pourquoi cela est fait. Au début, il peut sembler que c'est un exercice inutile. Mais en mathématiques, rien ne se fait comme ça. La transformation est nécessaire pour simplifier l'expression et la commodité du calcul.

Un polynôme de la forme - ax² + bx + c, est appelé un trinôme carré. Le terme "a" doit être négatif ou positif. En pratique, cette expression s'appelle une équation quadratique. Par conséquent, parfois ils disent différemment : comment décomposer équation quadratique.

Intéressant! Un polynôme carré est appelé en raison de son plus grand degré - un carré. Et un trinôme - à cause des 3 termes composants.

Quelques autres types de polynômes :

• binôme linéaire (6x+8);
• quadrilatère cubique (x³+4x²-2x+9).

Factorisation d'un trinôme carré

Tout d'abord, l'expression est égale à zéro, puis vous devez trouver les valeurs des racines x1 et x2. Il peut n'y avoir aucune racine, il peut y avoir une ou deux racines. La présence de racines est déterminée par le discriminant. Sa formule doit être connue par cœur : D=b²-4ac.

Si le résultat de D est négatif, il n'y a pas de racine. S'il est positif, il y a deux racines. Si le résultat est zéro, la racine est un. Les racines sont également calculées par la formule.

Si le calcul du discriminant donne zéro, vous pouvez appliquer n'importe laquelle des formules. En pratique, la formule est simplement abrégée : -b/2a.

Formules pour différentes valeurs discriminant sont différents.

Si D est positif :

Si D est nul :

Calculatrices en ligne

Internet a calculateur en ligne. Il peut être utilisé pour factoriser. Certaines ressources offrent la possibilité de voir la solution étape par étape. Ces services aident à mieux comprendre le sujet, mais vous devez essayer de bien comprendre.

Vidéo utile : factoriser un trinôme carré

Exemples

Nous vous invitons à visionner exemples simples comment factoriser une équation quadratique.

Exemple 1

Ici, il est clairement montré que le résultat sera deux x, car D est positif. Ils doivent être remplacés dans la formule. Si les racines sont négatives, le signe dans la formule est inversé.

On connaît la formule de décomposition trinôme carré multiplicateurs : a(x-x1)(x-x2). Nous mettons les valeurs entre parenthèses : (x+3)(x+2/3). Il n'y a pas de chiffre avant le terme dans l'exposant. Cela signifie qu'il y a une unité, elle est abaissée.

Exemple 2

Cet exemple montre clairement comment résoudre une équation qui a une racine.

Remplacez la valeur résultante :

Exemple 3

Donné : 5x²+3x+7

Tout d'abord, nous calculons le discriminant, comme dans les cas précédents.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Le discriminant est négatif, ce qui signifie qu'il n'y a pas de racines.

Après avoir reçu le résultat, il vaut la peine d'ouvrir les crochets et de vérifier le résultat. Le trinôme original devrait apparaître.

Solution alternative

Certaines personnes n'ont jamais pu se lier d'amitié avec le discriminant. Il existe une autre façon de factoriser un trinôme carré. Pour plus de commodité, la méthode est illustrée dans un exemple.

Donné : x²+3x-10

Nous savons que nous devrions nous retrouver avec 2 parenthèses : (_)(_). Lorsque l'expression ressemble à ceci : x² + bx + c, on met x au début de chaque parenthèse : (x_) (x_). Les deux nombres restants sont le produit qui donne "c", c'est-à-dire -10 dans ce cas. Pour savoir quels sont ces chiffres, vous ne pouvez utiliser que la méthode de sélection. Les numéros remplacés doivent correspondre au terme restant.

Par exemple, multiplier les nombres suivants donne -10 :

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Non.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Non.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Non.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Convient.

Ainsi, la transformation de l'expression x2+3x-10 ressemble à ceci : (x-2)(x+5).

Important! Vous devez faire attention à ne pas confondre les signes.

Décomposition d'un trinôme complexe

Si "a" est supérieur à un, les difficultés commencent. Mais tout n'est pas aussi difficile qu'il y paraît.

Pour factoriser, il faut d'abord voir s'il est possible de factoriser quelque chose.

Par exemple, étant donné l'expression : 3x²+9x-30. Ici le chiffre 3 est sorti des parenthèses :

3(x²+3x-10). Le résultat est le trinôme déjà connu. La réponse ressemble à ceci : 3(x-2)(x+5)

Comment décomposer si le terme qui est au carré est négatif ? Dans ce cas, le nombre -1 est retiré de la parenthèse. Par exemple : -x²-10x-8. L'expression ressemblera alors à ceci :

Le schéma diffère peu du précédent. Il n'y a que quelques nouveautés. Disons que l'expression est donnée : 2x²+7x+3. La réponse est également écrite entre 2 crochets, qui doivent être remplis entre (_) (_). X est écrit dans la 2ème parenthèse, et ce qui reste dans la 1ère. Il ressemble à ceci : (2x_)(x_). Sinon, le schéma précédent est répété.

Le chiffre 3 donne les chiffres :

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Nous résolvons des équations en substituant les nombres donnés. La dernière option convient. Ainsi la transformation de l'expression 2x²+7x+3 ressemble à ceci : (2x+1)(x+3).

Autres cas

Il n'est pas toujours possible de transformer une expression. Dans la deuxième méthode, la solution de l'équation n'est pas requise. Mais la possibilité de convertir des termes en produit n'est vérifiée que par le discriminant.

Il vaut la peine de s'entraîner à résoudre des équations quadratiques afin qu'il n'y ait pas de difficultés lors de l'utilisation de formules.

Vidéo utile : factorisation d'un trinôme

Conclusion

Vous pouvez l'utiliser de n'importe quelle manière. Mais il vaut mieux travailler tous les deux à l'automatisme. De plus, ceux qui vont relier leur vie aux mathématiques doivent apprendre à bien résoudre les équations quadratiques et à décomposer les polynômes en facteurs. Tous les sujets mathématiques suivants sont construits sur cela.

La factorisation des trinômes carrés fait référence à devoirs scolaires que tout le monde devra affronter tôt ou tard. Comment faire? Quelle est la formule pour factoriser un trinôme carré ? Passons en revue étape par étape avec des exemples.

Formule générale

La factorisation des trinômes carrés s'effectue en résolvant une équation quadratique. C'est un problème simple qui peut être résolu par plusieurs méthodes - en trouvant le discriminant, en utilisant le théorème de Vieta, il existe et façon graphique solutions. Les deux premières méthodes sont étudiées au lycée.

La formule générale ressemble à ceci :lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorithme d'exécution des tâches

Pour factoriser des trinômes carrés, il faut connaître le théorème de Wit, avoir un programme de résolution sous la main, être capable de trouver une solution graphiquement ou chercher les racines d'une équation du second degré à travers la formule discriminante. Si un trinôme carré est donné et qu'il doit être factorisé, l'algorithme des actions est le suivant :

1) Égalez l'expression originale à zéro pour obtenir l'équation.

2) Donnez des termes similaires (si nécessaire).

3) Trouver les racines de n'importe quel manière connue. La méthode graphique est mieux utilisée si l'on sait à l'avance que les racines sont des entiers et des petits nombres. Il faut se rappeler que le nombre de racines est égal au degré maximum de l'équation, c'est-à-dire que l'équation quadratique a deux racines.

4) Valeur de remplacement X dans l'expression (1).

5) Écrivez la factorisation des trinômes carrés.

Exemples

La pratique vous permet de comprendre enfin comment cette tâche est effectuée. Des exemples illustrent la factorisation d'un trinôme carré :

vous devez développer l'expression:

Utilisons notre algorithme :

1)x2 -17x+32=0

2) les termes similaires sont réduits

3) selon la formule de Vieta, il est difficile de trouver les racines pour cet exemple, il est donc préférable d'utiliser l'expression pour le discriminant :

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Remplacez les racines que nous avons trouvées dans la formule principale de décomposition :

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Alors la réponse sera :

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Vérifions si les solutions trouvées par le discriminant correspondent aux formules de Vieta :

14,845 . 2,155=32

Pour ces racines, le théorème de Vieta est appliqué, elles ont été trouvées correctement, ce qui signifie que la factorisation que nous avons obtenue est également correcte.

De même, nous développons 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Dans le cas précédent, les solutions n'étaient pas entières, mais nombres réels, qui sont faciles à trouver avec une calculatrice devant vous. Considérez maintenant plus exemple complexe, dans lequel les racines seront complexes : factoriser x 2 + 4x + 9. Selon la formule de Vieta, les racines sont introuvables et le discriminant est négatif. Les racines seront sur le plan complexe.

J=-20

Sur cette base, nous obtenons les racines qui nous intéressent -4 + 2i * 5 1/2 et -4-2i * 5 1/2 car (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Nous obtenons l'expansion désirée en substituant les racines dans la formule générale.

Autre exemple : vous devez factoriser l'expression 23x 2 -14x + 7.

Nous avons l'équation 23x 2 -14x+7 =0

J=-448

Donc les racines sont 14+21,166i et 14-21,166i. La réponse sera :

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Donnons un exemple qui peut être résolu sans l'aide du discriminant.

Soit nécessaire de décomposer l'équation quadratique x 2 -32x + 255. Évidemment, il peut aussi être résolu par le discriminant, mais il est plus rapide dans ce cas de trouver les racines.

x1 =15

x2=17

Moyens x2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Le monde est immergé dans un grand nombre de chiffres. Tous les calculs se produisent avec leur aide.

Les gens apprennent les nombres afin de ne pas tomber dans la tromperie plus tard dans la vie. Il est nécessaire de consacrer énormément de temps à s'instruire et à calculer son propre budget.

Les mathématiques sont une science exacte qui joue un grand rôle dans la vie. À l'école, les enfants apprennent les nombres, puis des actions sur eux.

Les actions sur les nombres sont complètement différentes : multiplication, expansion, addition et autres. En plus des formules simples, des actions plus complexes sont également utilisées dans l'étude des mathématiques. Il existe un grand nombre de formules par lesquelles toutes les valeurs sont connues.

A l'école, dès que l'algèbre apparaît, des formules de simplification s'ajoutent à la vie d'un élève. Il y a des équations quand il y a deux nombres inconnus, mais trouvez d'une manière simple ne fonctionnera pas. Un trinôme est un composé de trois monômes, à l'aide de méthode simple soustractions et additions. Le trinôme est résolu à l'aide du théorème de Vieta et du discriminant.

La formule pour factoriser un trinôme carré en facteurs

Il y a deux bonnes et solutions simples Exemple:

• discriminant;
• Théorème de Vieta.

Un trinôme carré a un carré inconnu, ainsi qu'un nombre sans carré. La première option pour résoudre le problème utilise la formule de Vieta. C'est une formule simple si les chiffres qui précèdent l'inconnu seront la valeur minimale.

Pour les autres équations, où le nombre est devant l'inconnue, l'équation doit être résolue par le discriminant. C'est fini décision difficile, mais le discriminant est beaucoup plus utilisé que le théorème de Vieta.

Dans un premier temps, pour trouver toutes les variables de l'équation, il faut remonter l'exemple à 0. La solution de l'exemple peut être vérifiée et savoir si les nombres sont ajustés correctement.

Discriminant

1. Il est nécessaire d'égaliser l'équation à 0.

2. Chaque nombre avant x sera appelé les nombres a, b, c. Puisqu'il n'y a pas de nombre avant le premier carré x, cela équivaut à 1.

3. Maintenant, la solution de l'équation commence par le discriminant :

4. Nous avons maintenant trouvé le discriminant et trouvé deux x. La différence est que dans un cas b sera précédé d'un plus, et dans l'autre d'un moins :

5. En résolvant deux nombres, il s'est avéré -2 et -1. Remplacer sous l'équation d'origine :

6. Dans cet exemple, il s'est avéré que deux options correctes. Si les deux solutions sont correctes, alors chacune d'elles est vraie.

Des équations plus complexes sont également résolues par le discriminant. Mais si la valeur du discriminant lui-même est inférieure à 0, alors l'exemple est faux. Le discriminant dans la recherche est toujours sous la racine, et une valeur négative ne peut pas être dans la racine.

Théorème de Vieta

Il est utilisé pour résoudre des problèmes faciles, où le premier x n'est pas précédé d'un nombre, c'est-à-dire a=1. Si l'option correspond, le calcul est effectué via le théorème de Vieta.

Pour résoudre n'importe quel trinôme il faut élever l'équation à 0. Les premières étapes pour le discriminant et le théorème de Vieta sont les mêmes.

2. Maintenant, il existe des différences entre les deux méthodes. Le théorème de Vieta utilise non seulement le calcul "sec", mais aussi la logique et l'intuition. Chaque nombre a sa propre lettre a, b, c. Le théorème utilise la somme et le produit de deux nombres.

Se souvenir! Le nombre b est toujours ajouté avec le signe opposé, et le nombre c reste inchangé !

Substitution des valeurs de données dans l'exemple , on a:

3. En utilisant la méthode logique, nous substituons les nombres les plus appropriés. Envisagez toutes les solutions possibles :

1. Les nombres sont 1 et 2. Lorsqu'ils sont additionnés, nous obtenons 3, mais si nous multiplions, nous n'obtenons pas 4. Ne convient pas.
2. Valeur 2 et -2. Lorsqu'il est multiplié, il sera -4, mais lorsqu'il est ajouté, il s'avère 0. Ne convient pas.
3. Numéros 4 et -1. Puisque la multiplication contient une valeur négative, cela signifie que l'un des nombres sera avec un moins. Convient pour l'addition et la multiplication. Choix correct.

4. Il ne reste plus qu'à vérifier, à disposer les chiffres et à voir si l'option choisie est correcte.

5. Grâce à une vérification en ligne, nous avons découvert que -1 ne correspond pas à la condition de l'exemple, ce qui signifie qu'il s'agit de la mauvaise solution.

Lors de l'ajout valeur négative dans l'exemple, vous devez mettre le nombre entre parenthèses.

En mathématiques, il y aura toujours tâches simples et complexe. La science elle-même comprend une variété de problèmes, de théorèmes et de formules. Si vous comprenez et appliquez correctement les connaissances, toute difficulté de calcul sera insignifiante.

Les mathématiques n'ont pas besoin d'une mémorisation constante. Vous devez apprendre à comprendre la solution et apprendre quelques formules. Progressivement, selon des conclusions logiques, il est possible de résoudre des problèmes similaires, des équations. Une telle science peut sembler très difficile à première vue, mais si l'on plonge dans le monde des nombres et des tâches, alors la vue changera radicalement dans meilleur côté.

Spécialités techniques restent toujours les plus recherchés au monde. Maintenant, dans le monde technologies modernes Les mathématiques sont devenues un attribut indispensable de n'importe quel domaine. Vous devez toujours vous souvenir de propriétés utiles mathématiques.

Décomposition d'un trinôme avec parenthèses

En plus de résoudre de la manière habituelle, il en existe une autre - la décomposition entre parenthèses. Utilisé avec la formule de Vieta.

1. Égalez l'équation à 0.

hache 2 + bx+ c= 0

2. Les racines de l'équation restent les mêmes, mais au lieu de zéro, elles utilisent maintenant des formules d'expansion entre parenthèses.

hache 2 + bx + c = une (x-x 1) (x-x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Résolution x=-1, x=3

Factorisation d'un trinôme carré peut être utile pour résoudre les inégalités du problème C3 ou du problème avec le paramètre C5. En outre, de nombreux problèmes de mots B13 seront résolus beaucoup plus rapidement si vous connaissez le théorème de Vieta.

Ce théorème, bien sûr, peut être considéré du point de vue de la 8e année, dans laquelle il est d'abord réussi. Mais notre tâche est de bien se préparer à l'examen et d'apprendre à résoudre les tâches d'examen aussi efficacement que possible. Par conséquent, dans cette leçon, l'approche est légèrement différente de celle de l'école.

La formule des racines de l'équation selon le théorème de Vieta en connaissent (ou du moins en ont vu) plusieurs :

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

où `a, b` et `c` sont les coefficients du trinôme carré `ax^2+bx+c`.

Pour apprendre à utiliser le théorème facilement, comprenons d'où il vient (ce sera vraiment plus facile à retenir de cette façon).

Soit l'équation `ax^2+ bx+ c = 0`. Pour plus de commodité, nous le divisons par `a` et obtenons `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Une telle équation est appelée une équation quadratique réduite.

Points de leçon importants : tout polynôme carré qui a des racines peut être décomposé entre parenthèses. Supposons que le nôtre puisse être représenté par `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, où `k` et `l` - quelques constantes.

Voyons comment les parenthèses s'ouvrent :

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Ainsi, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ceci est légèrement différent de l'interprétation classique Théorèmes de Vieta- nous y cherchons les racines de l'équation. Je propose de chercher des termes pour extensions de support- vous n'avez donc pas besoin de vous souvenir du moins de la formule (ce qui signifie `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Il suffit de choisir deux de ces nombres, dont la somme est égale au coefficient moyen et dont le produit est égal au terme libre.

Si nous avons besoin d'une solution à l'équation, alors c'est évident : les racines `x=-k` ou `x=-l` (puisque dans ces cas l'une des parenthèses est mise à zéro, cela signifie que l'expression entière sera être égal à zéro).

Par exemple, je vais montrer l'algorithme, comment décomposer un polynôme carré entre parenthèses.

Exemple un. Algorithme de factorisation d'un trinôme carré

Le chemin que nous avons est le trinôme carré `x^2+5x+4`.

Il est réduit (coefficient de `x^2` égal à un). Il a des racines. (Pour être sûr, vous pouvez estimer le discriminant et vous assurer qu'il est supérieur à zéro.)

Prochaines étapes (elles doivent être apprises en faisant tout tâches de formation):

1. Faites la notation suivante : $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Laissez un espace libre à la place des points, nous y ajouterons les chiffres et les signes appropriés.
2. Voir tout options possibles, comment décomposer le nombre "4" en produit de deux nombres. Nous obtenons des paires de "candidats" pour les racines de l'équation : `2, 2` et `1, 4`.
3. Estimez à partir de quelle paire vous pouvez obtenir le coefficient moyen. Évidemment, c'est '1, 4'.
4. Écrivez $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. L'étape suivante consiste à placer des signes devant les numéros insérés.

   Comment comprendre et se rappeler à jamais quels signes doivent figurer devant les chiffres entre parenthèses? Essayez de les agrandir (crochets). Le coefficient avant `x` à la première puissance sera `(± 4 ± 1)` (nous ne connaissons pas encore les signes - nous devons choisir), et il devrait être égal à `5`. Évidemment, il y aura deux avantages ici $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Effectuez cette opération plusieurs fois (bonjour, les tâches d'entraînement !) et il n'y aura plus jamais de problèmes avec cela.

Si vous avez besoin de résoudre l'équation `x ^ 2 + 5x + 4`, alors sa solution n'est plus difficile. Ses racines sont `-4, -1`.

Deuxième exemple. Factorisation d'un trinôme carré avec des coefficients de signes différents

Essayons de résoudre l'équation `x^2-x-2=0`. De prime abord, le discriminant est positif.

Nous suivons l'algorithme.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Il n'y a qu'une seule factorisation entière de 2 : '2 · 1'.
3. Nous sautons le point - il n'y a rien à choisir.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Le produit de nos nombres est négatif (`-2` est un terme libre), ce qui signifie que l'un d'eux sera négatif et l'autre positif.
   Puisque leur somme est égale à `-1` (coefficient de `x`), alors `2` sera négatif (explication intuitive - deux est le plus grand des deux nombres, il « tirera » davantage dans le sens négatif). On obtient $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Troisième exemple. Factorisation d'un trinôme carré

Équation `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Décomposition de 84 en facteurs entiers : `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Puisque nous avons besoin que la différence (ou la somme) des nombres soit 5, la paire "7, 12" fera l'affaire.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Espoir, décomposition de ce trinôme carré entre parenthèses compréhensible.

Si vous avez besoin d'une solution à l'équation, alors la voici : '12, -7'.

Tâches pour la formation

Voici quelques exemples faciles à sont résolus à l'aide du théorème de Vieta.(Exemples tirés de Mathematics, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Quelques années après la rédaction de l'article, une collection de 150 tâches est apparue pour développer un polynôme quadratique à l'aide du théorème de Vieta.

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