Théorie des fonctions d'une variable. Analyse mathematique

Laissez la variable X n prend une suite infinie de valeurs

X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)

et la loi de variation de la variable est connue X n, c'est à dire. pour tout nombre naturel n vous pouvez spécifier la valeur correspondante X n. On suppose donc que la variable X n est une fonction de n:

X n = f(n)

Définissons l'un des concepts les plus importants de l'analyse mathématique - la limite d'une séquence, ou, ce qui revient au même, la limite d'une variable X n séquence d'exécution X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .

Définition. nombre constant un appelé limite de séquence X 1 , X 2 , ..., X n , ... . ou la limite d'une variable X n, si pour un nombre positif arbitrairement petit e il existe un tel nombre naturel N(c'est-à-dire le nombre N) que toutes les valeurs de la variable X n, commençant par X N, différer un moins en valeur absolue que e. Cette définition s'écrit succinctement comme suit :

| X n -un |< (2)

pour tous n  N, ou, ce qui revient au même,

Définition de la limite de Cauchy. Un nombre A est appelé limite d'une fonction f (x) en un point a si cette fonction est définie dans un voisinage du point a, sauf peut-être pour le point a lui-même, et pour chaque ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tout x satisfaisant la condition |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Définition de la limite Heine. Un nombre A est appelé limite d'une fonction f (x) en un point a si cette fonction est définie dans un voisinage du point a, sauf peut-être pour le point a lui-même, et pour toute suite telle que convergeant vers le nombre a, la séquence de valeurs correspondante de la fonction converge vers le nombre A.

Si la fonction f(x) a une limite au point a, alors cette limite est unique.

Le nombre A 1 est appelé limite gauche de la fonction f (x) au point a si pour tout ε > 0 il existe δ >

Le nombre A 2 est appelé limite droite de la fonction f (x) au point a si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que l'inégalité

La limite à gauche est notée limite à droite - Ces limites caractérisent le comportement de la fonction à gauche et à droite du point a. Elles sont souvent appelées limites à sens unique. Dans la notation des limites unilatérales comme x → 0, le premier zéro est généralement omis : et . Alors, pour la fonction

Si pour tout ε > 0 il existe un δ-voisinage d'un point a tel que pour tout x satisfaisant la condition |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, alors on dit que la fonction f (x) a une limite infinie au point a :

Ainsi, la fonction a une limite infinie au point x = 0. Les limites égales à +∞ et –∞ sont souvent distinguées. Alors,

Si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tout x > δ l'inégalité |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Théorème d'existence pour la plus petite borne supérieure

Définition: AR mR, m - face supérieure (inférieure) de A, si аА аm (аm).

Définition: L'ensemble A est borné par le haut (par le bas), s'il existe m tel que аА, alors аm (аm) est satisfait.

Définition: SupA=m, si 1) m - borne supérieure de A

2) m' : m' m' n'est pas une face supérieure de A

InfA = n si 1) n est l'infimum de A

2) n’ : n’>n => n’ n’est pas un infimum de A

Définition: SupA=m est un nombre tel que : 1)  aA am

2) >0 a  A, tel que a  a-

InfA = n est appelé un nombre tel que :

2) >0 a  A, tel que a E a+

Théorème: Tout ensemble non vide АR borné par le haut a une meilleure borne supérieure, et une unique en plus.

Preuve:

Nous construisons un nombre m sur la droite réelle et prouvons que c'est la plus petite borne supérieure de A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - face supérieure de A

Segment [[m],[m]+1] - divisé en 10 parties

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m à =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - face supérieure A

Montrons que m=[m],m 1 ...m K est le plus petit majorant et qu'il est unique :

à : .

Riz. 11. Graphique de la fonction y arcsin x.

Introduisons maintenant le concept de fonction complexe ( compositions d'affichage). Soient trois ensembles D, E, M donnés et soit f : D→E, g : E→M. Évidemment, il est possible de construire une nouvelle application h : D→M, appelée composition d'applications f et g ou fonction complexe (Fig. 12).

Une fonction complexe est notée comme suit : z =h(x)=g(f(x)) ou h = f o g.

Riz. 12. Illustration du concept de fonction complexe.

La fonction f (x) est appelée fonction interne, et la fonction g ( y ) - fonction externe.

1. Fonction interne f (x) = x², externe g (y) sin y. Fonction complexe z= g(f(x))=sin(x²)

2. Maintenant vice versa. Fonction interne f (x)= sinx, externe g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)