"la théorie des probabilités dans les tâches de l'examen et de l'oge". Problèmes simples en théorie des probabilités

Présenté à ce jour dans la banque ouverte de problèmes USE en mathématiques (mathege.ru), dont la solution est basée sur une seule formule, qui est une définition classique de la probabilité.

Le moyen le plus simple de comprendre la formule consiste à utiliser des exemples.
Exemple 1 Il y a 9 boules rouges et 3 bleues dans le panier. Les balles ne diffèrent que par la couleur. Au hasard (sans regarder) nous en obtenons un. Quelle est la probabilité que la balle ainsi choisie soit bleue ?

Commentaire. Dans les problèmes de probabilité, il se passe quelque chose (dans ce cas, notre action de tirer la balle) qui peut avoir résultat différent- résultat. Il convient de noter que le résultat peut être vu de différentes manières. "On a sorti un ballon" est aussi un résultat. "On a sorti la boule bleue" est le résultat. "Nous avons tiré cette balle particulière parmi toutes les balles possibles" - cette vue la moins généralisée du résultat s'appelle le résultat élémentaire. Ce sont les résultats élémentaires qui sont signifiés dans la formule de calcul de la probabilité.

La solution. Calculons maintenant la probabilité de choisir une boule bleue.
Evénement A : "la balle choisie s'est avérée être bleue"
Nombre total de tous les résultats possibles : 9 + 3 = 12 (nombre de toutes les balles que nous pourrions tirer)
Nombre de résultats favorables pour l'événement A : 3 (le nombre de tels résultats dans lesquels l'événement A s'est produit - c'est-à-dire le nombre de boules bleues)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Réponse : 0,25

Calculons pour le même problème la probabilité de choisir une boule rouge.
Le nombre total de résultats possibles restera le même, 12. Le nombre de résultats favorables : 9. La probabilité souhaitée : 9/12=3/4=0,75

La probabilité de tout événement est toujours comprise entre 0 et 1.
Parfois, dans le langage courant (mais pas dans la théorie des probabilités !), la probabilité des événements est estimée en pourcentage. La transition entre l'évaluation mathématique et conversationnelle se fait en multipliant (ou en divisant) par 100 %.
Alors,
Dans ce cas, la probabilité est nulle pour les événements qui ne peuvent pas se produire - improbable. Par exemple, dans notre exemple, ce serait la probabilité de tirer une boule verte du panier. (Le nombre de résultats favorables est 0, P(A)=0/12=0 si compté selon la formule)
La probabilité 1 a des événements qui se produiront absolument, sans options. Par exemple, la probabilité que "la boule choisie soit rouge ou bleue" correspond à notre problème. (Nombre d'issues favorables : 12, P(A)=12/12=1)

Nous avons examiné un exemple classique qui illustre la définition de la probabilité. Tous similaires UTILISER les tâches selon la théorie des probabilités sont résolus en appliquant cette formule.
Au lieu de balles rouges et bleues, il peut y avoir des pommes et des poires, des garçons et des filles, des tickets appris et non appris, des tickets contenant et ne contenant pas une question sur un certain sujet (prototypes , ), des sacs ou des pompes de jardin défectueux et de haute qualité (prototypes , ) - le principe reste le même.

Ils diffèrent légèrement dans la formulation du problème de la théorie des probabilités USE, où vous devez calculer la probabilité qu'un événement se produise un certain jour. ( , ) Comme dans les tâches précédentes, vous devez déterminer ce qu'est un résultat élémentaire, puis appliquer la même formule.

Exemple 2 La conférence dure trois jours. Les premier et deuxième jours, 15 orateurs chacun, le troisième jour - 20. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur M. tombe le troisième jour, si l'ordre des rapports est déterminé par tirage au sort ?

Quel est le résultat élémentaire ici ? - Affectation du rapport d'un professeur à l'un des numéros de série possibles pour un discours. 15+15+20=50 personnes participent au tirage au sort. Ainsi, le rapport du professeur M. peut recevoir l'un des 50 numéros. Cela signifie qu'il n'y a que 50 résultats élémentaires.
Quels sont les résultats favorables ? - Ceux dans lesquels il s'avère que le professeur parlera le troisième jour. C'est-à-dire les 20 derniers chiffres.
Selon la formule, la probabilité P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Réponse : 0,4

Le tirage au sort est ici l'établissement d'une correspondance aléatoire entre des personnes et des lieux ordonnés. Dans l'exemple 2, l'appariement a été considéré en fonction des places qu'une personne particulière pouvait occuper. Vous pouvez aborder la même situation de l'autre côté : laquelle des personnes avec quelle probabilité pourrait arriver à un endroit particulier (prototypes , , , ) :

Exemple 3 5 Allemands, 8 Français et 3 Estoniens participent au tirage au sort. Quelle est la probabilité que le premier (/deuxième/septième/dernier - peu importe) soit un Français.

Le nombre de résultats élémentaires est le nombre de tous personnes possibles qui pourrait, par tirage au sort, entrer dans endroit donné. 5+8+3=16 personnes.
Des résultats favorables - les Français. 8 personnes.
Probabilité souhaitée : 8/16=1/2=0,5
Réponse : 0,5

Le prototype est légèrement différent. Certaines tâches concernant les pièces () et les dés () sont un peu plus créatives. Les solutions à ces problèmes peuvent être trouvées sur les pages prototypes.

Voici quelques exemples de tirage au sort ou de lancer de dés.

Exemple 4 Quand on lance une pièce, quelle est la probabilité d'avoir pile ?
Résultats 2 - pile ou face. (on pense que la pièce ne tombe jamais sur le bord) Résultat favorable - pile, 1.
Probabilité 1/2=0.5
Réponse : 0,5.

Exemple 5 Et si on lançait une pièce deux fois ? Quelle est la probabilité qu'il tombe face les deux fois ?
L'essentiel est de déterminer quels résultats élémentaires nous prendrons en compte lorsque nous lancerons deux pièces. Après avoir lancé deux pièces, l'un des résultats suivants peut se produire :
1) PP - les deux fois, c'est pile
2) PO - pile pour la première fois, face pour la deuxième fois
3) OP - la première fois pile, la deuxième fois pile
4) OO - tête haute les deux fois
Il n'y a pas d'autres options. Cela signifie qu'il y a 4 résultats élémentaires. Seul le premier est favorable, 1.
Probabilité : 1/4=0,25
Réponse : 0,25

Quelle est la probabilité que deux lancers de pièce tombent sur pile ?
Le nombre de résultats élémentaires est le même, 4. Les résultats favorables sont les deuxième et troisième, 2.
Probabilité d'obtenir une pile : 2/4=0,5

Dans de tels problèmes, une autre formule peut être utile.
Si d'un coup de pièce options on a 2 résultats, alors pour deux lancers les résultats seront 2 2=2 2 =4 (comme dans l'exemple 5), pour trois lancers 2 2 2=2 3 =8, pour quatre : 2 2 2 2 =2 4 = 16, … pour N lancers il y a 2·2·...·2=2 N issues possibles.

Ainsi, vous pouvez trouver la probabilité d'obtenir 5 piles sur 5 lancers de pièces.
Le nombre total de résultats élémentaires : 2 5 =32.
Résultats favorables : 1. (RRRRRR - tous les 5 fois pile)
Probabilité : 1/32=0,03125

Il en est de même pour les dés. Avec un lancer, il y a 6 résultats possibles, donc pour deux lancers : 6 6=36, pour trois 6 6 6=216, etc.

Exemple 6 Nous lançons un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Nombre total de résultats : 6, selon le nombre de visages.
Favorable : 3 résultats. (2, 4, 6)
Probabilité : 3/6=0,5

Exemple 7 Lancez deux dés. Quelle est la probabilité que le total obtienne 10 ? (arrondir au centième)

Il y a 6 résultats possibles pour un dé. Donc, pour deux, selon la règle ci-dessus, 6·6=36.
Quels résultats seront favorables pour qu'un total de 10 tombent?
10 doit être décomposé en la somme de deux nombres de 1 à 6. Cela peut se faire de deux manières : 10=6+4 et 10=5+5. Ainsi, pour les cubes, des options sont possibles :
(6 sur le premier et 4 sur le second)
(4 sur le premier et 6 sur le second)
(5 sur le premier et 5 sur le second)
Au total, 3 options. Probabilité souhaitée : 3/36=1/12=0,08
Réponse : 0,08

D'autres types de problèmes B6 seront abordés dans l'un des articles "Comment résoudre" suivants.

Description de la présentation sur des diapositives individuelles :

1 diapositive

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Tâches clés en théorie des probabilités Préparation à l'OGE n°9 MBOU "Gymnasium n°4 nommé d'après. COMME. Pouchkine” Compilé par : Sofina N.Yu.

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Exigences de base vérifiables pour la préparation mathématique n ° 9 OGE en mathématiques Résoudre des problèmes pratiques nécessitant une énumération systématique d'options; comparer les chances d'occurrence d'événements aléatoires, évaluer les probabilités d'un événement aléatoire, comparer et explorer des modèles d'une situation réelle en utilisant l'appareil des probabilités et des statistiques. N ° 9 - tâche de base. Le score maximum pour terminer la tâche est de 1.

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La probabilité d'un événement A est le rapport du nombre m d'issues favorables à cet événement sur nombre total n de tous les événements incompatibles également possibles qui peuvent se produire à la suite d'un essai ou d'une observation Définition classique de la probabilité Rappeler la formule de calcul de la probabilité classique d'un événement aléatoire Р = n m

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Définition classique de la probabilité Exemple : Le comité de parents a acheté 40 pages à colorier pour les cadeaux de graduation des enfants année scolaire. Parmi ceux-ci, 14 sont basés sur les contes de fées d'A.S. Pouchkine et 26 basés sur les contes de fées de G.Kh. Andersen. Les cadeaux sont distribués au hasard. Trouvez la probabilité que Nastya reçoive un livre de coloriage basé sur les contes de fées d'A.S. Pouchkine. Solution : m= 14 ; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Réponse : 0,35.

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Exemple : Il y avait 60 questions pour l'examen. Ivan n'en a pas appris 3. Trouvez la probabilité qu'il rencontre la question apprise. Solution : Ici n=60. Ivan n'a pas appris 3, il a donc appris tout le reste, c'est-à-dire m=60-3=57. P=57/60=0,95. Définition classique de la probabilité Réponse : 0,95.

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"L'ordre est déterminé par un tirage au sort" Exemple : 20 athlètes participent au championnat de gymnastique : 8 de Russie, 7 des États-Unis, le reste de Chine. L'ordre de passage des gymnastes est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que le cinquième athlète soit originaire de Chine. Solution: Dans l'état du problème, il y a un mot «magique» «lot», ce qui signifie que nous oublions l'ordre de parler. Ainsi, m= 20-8-7=5 (de Chine); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Réponse : 0,25.

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Exemple : Une conférence scientifique se tient dans 5 jours. Au total, 75 rapports sont prévus - les 3 premiers jours, 17 rapports chacun, le reste est réparti également entre les 4e et 5e jours. L'ordre des rapports est déterminé par un tirage au sort. Quelle est la probabilité que le rapport du professeur Ivanov soit programmé pour le dernier jour de la conférence ? Solution : Mettons les données dans le tableau. Nous avons obtenu que m=12 ; n=75. P=12/75=0,16. Réponse : 0,16. « Ordre déterminé par tirage au sort » Jour I II III IV V Total Nombre de présentations 17 17 17 12 12 75

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Fréquence de l'événement Au même titre que la probabilité, on trouve la fréquence de l'événement dont les tâches sont également dans les prototypes. Quelle est la différence? La probabilité est une valeur prévisible et la fréquence est un état de fait. Exemple : La probabilité qu'une nouvelle tablette soit réparée dans l'année est de 0,045. Dans une certaine ville, sur 1000 tablettes vendues dans l'année, 51 pièces sont arrivées à l'atelier de garantie. Quelle est la différence entre la fréquence de l'événement de « réparation sous garantie » et sa probabilité dans cette ville ? Solution : Trouver la fréquence de l'événement : 51/1000=0,051. Et la probabilité est égale à 0,045 (par condition), ce qui signifie que dans cette ville l'événement « réparation sous garantie » se produit plus souvent que prévu. Trouvons la différence ∆= 0,051- 0,045= 0,006. En même temps, nous devons tenir compte du fait que le signe de la différence n'est PAS important pour nous, mais seulement sa valeur absolue. Réponse : 0,006.

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Problèmes d'énumération des options ("pièces", "matches") Soit k le nombre de lancers de pièces, puis le nombre de résultats possibles : n = 2k. Exemple : Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que face tombe exactement une fois. Solution : Options de dépôt de pièces : OO ; OU; RR ; RO. Ainsi, n=4. Résultats favorables : RR et RR. Autrement dit, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Réponse : 0,5.

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Exemple : Avant de commencer match de football L'arbitre lance une pièce pour déterminer quelle équipe aura le ballon en premier. L'équipe "Mercure" joue tour à tour avec les équipes "Mars", "Jupiter", "Uranus". Trouvez la probabilité que dans tous les matches, le droit de posséder le ballon soit remporté par l'équipe "Mercure" ? Problèmes avec l'énumération des options ("pièces", "matchs") Solution : Désignons le droit de possession de la première balle de l'équipe "Mercury" dans le match avec l'une des trois autres équipes comme "Tails". Ensuite, le droit de possession de la deuxième balle de cette équipe est "Eagle". Alors, notons tous les résultats possibles de lancer une pièce trois fois. "O" - pile, "R" - pile. ; c'est-à-dire n=8 ; m=1. P=1/8=0,125. Réponse : 0,125 n = 23 "Mars" "Jupiter" "Uranus"

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Problèmes sur les "dés" (dés) Soit k le nombre de lancers de dés, puis le nombre de résultats possibles : n = 6k. Exemple : Dasha lance un dé deux fois. Trouvez la probabilité que son total ait obtenu 8. Arrondis le résultat au centième près. Réponse : 0,14. Solution : La somme des deux dés doit être de 8 points. Ceci est possible s'il y a les combinaisons suivantes : 2 et 6 6 et 2 3 et 5 5 et 3 4 et 4 m= 5 (5 combinaisons appropriées) n \u003d 36 P \u003d 5/36 \u003d 0,13 (8)

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Événements indépendants et loi de multiplication La probabilité de trouver à la fois le 1er, le 2e et le n-ième événement est trouvée par la formule : Р= Р1*Р2*…*Рn Exemple : Un biathlète tire cinq fois sur des cibles. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. Trouvez la probabilité que le biathlète atteigne les cibles les trois premières fois et rate les deux dernières. Arrondis le résultat au centième près. Réponse : 0,02. Solution : Le résultat de chaque tir suivant ne dépend pas des précédents. Par conséquent, les événements « touché au premier coup », « touché au deuxième coup », etc. indépendant. La probabilité de chaque succès est de 0,8. La probabilité d'un échec est donc de 1 - 0,8 = 0,2. 1 coup : 0,8 2 coups : 0,8 3 coups : 0,8 4 coups : 0,2 5 coups : 0,2 .8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

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Combinaisons de lois « et » et de lois « ou » Exemple : Un bureau achète des articles de papeterie pour les employés de 3 entreprises différentes. De plus, les produits de la 1ère société représentent 40% de toutes les livraisons, et le reste de la 2ème société est également divisé. Il s'est avéré que 2% des stylos de la 2ème société sont défectueux. Le pourcentage de mariage dans les 1ère et 3ème entreprises est respectivement de 1% et 3%. L'employé A a pris un stylo dans une nouvelle livraison. Trouvez la probabilité qu'elle soit correcte. Solution : Les produits des 2e et 3e entreprises sont (100 % - 40 %) : 2 = 30 % des fournitures. P(mariage) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (stylos réparables) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Réponse : 0,981.

Tâches faciles

Il y a 25 tartes sur la table : 7 - avec de la confiture, 9 - avec des pommes de terre, le reste avec du chou. Quelle est la probabilité qu'une tarte choisie au hasard soit avec du chou ?

0,36

Le taxi emploie 40 voitures : 14 sont des marques Lada, 8 sont des marques Renault, 2 sont des marques Mercedes et le reste sont des marques Skoda. Quelle est la probabilité qu'une Mercedes réponde à votre appel ?

0,05

Déterminez la probabilité qu'un nombre d'au moins trois sorte lorsqu'un dé est lancé.

Ira, Dima, Vasya, Natasha et Andrey passent la norme à 60 mètres. Quelle est la probabilité que la fille court le plus vite ?

La probabilité qu'un téléphone acheté dans un passage souterrain soit un faux est de 0,83. Quelle est la probabilité que le téléphone acheté lors de la transition ne soit pas un faux ?

0,17

20 équipes participent au tournoi de basket, dont l'équipe des "Guys". Toutes les équipes sont réparties en 4 groupes : A, B, C, D. Quelle est la probabilité que l'équipe "Mecs" soit dans le groupe A ?

0,25

Le sac de loterie contient des fûts numérotés de 5 à 94 inclus. Quelle est la probabilité que le fût extrait du sac contienne un nombre à deux chiffres ? Arrondissez votre réponse au centième près.

0,94

Avant l'examen, Igor a atteint le dernier et n'a réussi à apprendre que 5 tickets sur 80. Déterminez la probabilité qu'il tombe sur un ticket appris.

0,0625

Anya allume la radio et sélectionne au hasard une onde radio. Au total, son récepteur radio capte 20 ondes radio et seulement 7 d'entre elles dans ce moment la musique joue. Trouvez la probabilité qu'Anya tombe sur une vague musicale.

0,35

Dans chaque vingtième bouteille de soda, un code avec un gain est caché sous le bouchon. Déterminez la probabilité que la bouteille achetée ait un code gagnant sous le bouchon.

0,05

Les tâches sont plus difficiles

Quelle est la probabilité qu'un nombre à 3 chiffres choisi au hasard soit divisible par 5 ?

0,2

La taille (en cm) de cinq élèves est enregistrée : 166, 158, 132, 136, 170. De combien la moyenne arithmétique de cet ensemble de nombres diffère-t-elle de sa médiane ?

Selon les statistiques d'un petit pays, on sait que la probabilité que le bébé né soit un garçon est de 0,507. En 2017, il y avait en moyenne 486 filles pour 1 000 bébés nés dans ce pays. Quelle est la différence entre la fréquence des naissances féminines en 2017 dans ce pays et la probabilité de cet événement ?

0,007

Un dé est lancé deux fois. Trouvez la probabilité que la somme des deux nombres tirés soit 3 ou 7. Arrondissez votre réponse au centième près.

0,22

Quelle est la probabilité qu'un nombre à trois chiffres choisi au hasard soit divisible par 2 ?

0,5

Trouvez la probabilité que deux lancers de pièces donnent pile exactement une fois.

0,5

Un dé est lancé deux fois, trouvez la probabilité qu'un nombre supérieur à trois sorte deux fois. Arrondissez votre réponse au centième près.

0,31

Selon les statistiques d'un petit pays, on sait que la probabilité que le bébé né soit un garçon est de 0,594. En 2017, il y avait en moyenne 513 filles pour 1 000 bébés nés dans ce pays. Quelle est la différence entre la fréquence des naissances féminines en 2017 dans ce pays et la probabilité de cet événement ?

0,107

La taille (en cm) de cinq élèves est enregistrée : 184, 145, 176, 192, 174. De combien la moyenne arithmétique de cet ensemble de nombres diffère-t-elle de sa médiane ?

1,8

La taille moyenne des habitants du village "Géants" est de 194 cm.La taille de Nikolai Petrovich est de 195 cm. Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

1) La taille d'un des villageois doit être de 194 cm.

2) Nikolai Petrovitch est le plus grand résident du village.

3) Il y aura certainement au moins un homme de ce village en dessous de Nikolai Petrovitch.

4) Il y aura certainement au moins un habitant de ce village en dessous de Nikolai Petrovitch.

4

Tâches difficiles

Le tireur tire 4 fois avec une arme à feu sur les cibles. La probabilité de son coup exact sur la cible avec un seul tir est de 0,5. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible les deux premières fois et rate les deux dernières.

0,0625

La probabilité que la batterie soit défectueuse est de 0,05. Le client dans le magasin choisit un paquet au hasard avec deux batteries. Trouvez la probabilité que les deux batteries soient bonnes.

0,9025

Le tireur tire sur les cibles 5 fois de suite. La probabilité d'atteindre la cible lors du tir est de 0,7. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible les quatre premières fois et la rate la dernière fois. Arrondis le résultat au centième près.

Les événements qui se produisent dans la réalité ou dans notre imagination peuvent être divisés en 3 groupes. Ce sont certains événements qui doivent se produire, des événements impossibles et des événements aléatoires. La théorie des probabilités étudie les événements aléatoires, c'est-à-dire événements qui peuvent ou non se produire. Cet article sera présenté dans sommaire des formules de théorie des probabilités et des exemples de résolution de problèmes en théorie des probabilités, qui seront dans la tâche 4 de l'USE en mathématiques (niveau profil).

Pourquoi avons-nous besoin de la théorie des probabilités

Historiquement, la nécessité d'étudier ces problèmes est apparue au XVIIe siècle en lien avec le développement et la professionnalisation des jeux d'argent et l'avènement du casino. C'était un phénomène réel qui nécessitait son étude et ses recherches.

Jouer aux cartes, aux dés, à la roulette créait des situations où n'importe lequel d'un nombre fini d'événements également probables pouvait se produire. Il était nécessaire de donner des estimations numériques de la possibilité de survenance d'un événement.

Au XXe siècle, il est devenu clair que cette science apparemment frivole joue un rôle important dans la compréhension des processus fondamentaux se produisant dans le microcosme. A été créé théorie moderne probabilités.

Concepts de base de la théorie des probabilités

L'objet d'étude de la théorie des probabilités est les événements et leurs probabilités. Si l'événement est complexe, alors il peut être décomposé en éléments simples, dont les probabilités sont faciles à trouver.

La somme des événements A et B est appelée événement C, qui consiste dans le fait que soit l'événement A, soit l'événement B, soit les événements A et B se sont produits en même temps.

Le produit des événements A et B est l'événement C, qui consiste dans le fait que l'événement A et l'événement B se sont produits.

Les événements A et B sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Un événement A est dit impossible s'il ne peut pas se produire. Un tel événement est désigné par le symbole .

Un événement A est dit certain s'il va certainement se produire. Un tel événement est désigné par le symbole .

Attribuons à chaque événement A un numéro P(A). Ce nombre P(A) est appelé la probabilité de l'événement A si les conditions suivantes sont satisfaites avec une telle correspondance.

Un cas particulier important est la situation où il existe des résultats élémentaires également probables, et arbitraires de ces résultats forment les événements A. Dans ce cas, la probabilité peut être introduite par la formule . La probabilité ainsi introduite est appelée probabilité classique. On peut prouver que les propriétés 1 à 4 sont vérifiées dans ce cas.

Les problèmes de la théorie des probabilités, que l'on retrouve à l'examen de mathématiques, sont principalement liés à la probabilité classique. Ces tâches peuvent être très simples. Les problèmes de la théorie des probabilités sont particulièrement simples dans versions de démonstration. Il est facile de calculer le nombre de résultats favorables, le nombre de tous les résultats est écrit directement dans la condition.

Nous obtenons la réponse selon la formule.

Un exemple d'une tâche de l'examen en mathématiques pour déterminer la probabilité

Il y a 20 tartes sur la table - 5 avec du chou, 7 avec des pommes et 8 avec du riz. Marina veut prendre une tarte. Quelle est la probabilité qu'elle prenne le gâteau de riz ?

La solution.

Il y a 20 résultats élémentaires équiprobables au total, c'est-à-dire que Marina peut prendre n'importe laquelle des 20 tartes. Mais nous devons estimer la probabilité que Marina prenne la galette de riz, c'est-à-dire où A est le choix de la galette de riz. Cela signifie que nous avons un total de 8 résultats favorables (choisir des tartes au riz), puis la probabilité sera déterminée par la formule :

Événements indépendants, opposés et arbitraires

Cependant, dans la banque ouverte de tâches, plus de tâches difficiles. Attirons donc l'attention du lecteur sur d'autres questions étudiées en théorie des probabilités.

Les événements A et B sont dits indépendants si la probabilité de chacun d'eux ne dépend pas de la survenance ou non de l'autre événement.

L'événement B consiste dans le fait que l'événement A ne s'est pas produit, c'est-à-dire l'événement B est opposé à l'événement A. La probabilité de l'événement opposé est égale à un moins la probabilité de l'événement direct, c'est-à-dire .

Théorèmes d'addition et de multiplication, formules

Pour des événements arbitraires A et B, la probabilité de la somme de ces événements est égale à la somme de leurs probabilités sans la probabilité de leur événement conjoint, c'est-à-dire .

Pour les événements indépendants A et B, la probabilité du produit de ces événements est égale au produit de leurs probabilités, c'est-à-dire dans ce cas .

Les 2 derniers énoncés sont appelés les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités.

Ne pas toujours compter le nombre de résultats est si simple. Dans certains cas, il est nécessaire d'utiliser des formules combinatoires. Le plus important est de compter le nombre d'événements qui remplissent certaines conditions. Parfois, ces calculs peuvent devenir des tâches indépendantes.

De combien de façons peut-on asseoir 6 élèves sur 6 sièges vides ? Le premier étudiant prendra l'une des 6 places. Chacune de ces options correspond à 5 façons de placer le deuxième élève. Pour le troisième étudiant il y a 4 places libres, pour le quatrième - 3, pour le cinquième - 2, le sixième occupera la seule place restante. Pour trouver le nombre de toutes les options, vous devez trouver le produit, qui est désigné par le symbole 6 ! et lisez "six factoriel".

Dans le cas général, la réponse à cette question est donnée par la formule du nombre de permutations de n éléments : dans notre cas, .

Considérons maintenant un autre cas avec nos étudiants. De combien de façons peut-on asseoir 2 élèves sur 6 sièges vides ? Le premier étudiant prendra l'une des 6 places. Chacune de ces options correspond à 5 façons de placer le deuxième élève. Pour trouver le nombre de toutes les options, vous devez trouver le produit.

Dans le cas général, la réponse à cette question est donnée par la formule du nombre de placements de n éléments par k éléments

Dans notre cas .

Et le dernier de cette série. Combien y a-t-il de façons de choisir 3 élèves sur 6 ? Le premier étudiant peut être choisi de 6 manières, le deuxième de 5 manières et le troisième de 4 manières. Mais parmi ces options, les trois mêmes élèves se présentent 6 fois. Pour trouver le nombre de toutes les options, vous devez calculer la valeur : . Dans le cas général, la réponse à cette question est donnée par la formule du nombre de combinaisons d'éléments par éléments :

Dans notre cas .

Exemples de résolution de problèmes de l'examen en mathématiques pour déterminer la probabilité

Tâche 1. De la collection, éd. Iachtchenko.

Il y a 30 tartes dans une assiette : 3 à la viande, 18 au chou et 9 aux cerises. Sasha choisit au hasard une tarte. Trouvez la probabilité qu'il se retrouve avec une cerise.

.

Réponse : 0,3.

Problème 2. De la collection, éd. Iachtchenko.

Dans chaque lot de 1000 ampoules, une moyenne de 20 défectueuses. Trouver la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard dans un lot soit bonne.

Solution : Le nombre d'ampoules utilisables est de 1000-20=980. Alors la probabilité qu'une ampoule prise au hasard dans le lot soit utilisable est :

Réponse : 0,98.

La probabilité que l'élève U. résolve correctement plus de 9 problèmes lors d'un test de mathématiques est de 0,67. La probabilité que U. résolve correctement plus de 8 problèmes est de 0,73. Trouvez la probabilité que U. résolve correctement exactement 9 problèmes.

Si nous imaginons une droite numérique et marquons les points 8 et 9 dessus, alors nous verrons que la condition "U. résoudre correctement exactement 9 problèmes » est inclus dans la condition « U. résoudre correctement plus de 8 problèmes », mais ne s'applique pas à la condition « W. résoudre correctement plus de 9 problèmes.

Cependant, la condition "U. résoudre correctement plus de 9 problèmes » est contenu dans la condition « U. résoudre correctement plus de 8 problèmes. Ainsi, si nous désignons des événements : « W. résoudre correctement exactement 9 problèmes" - à A, "U. résoudre correctement plus de 8 problèmes" - à B, "U. résoudre correctement plus de 9 problèmes ”via C. Ensuite, la solution ressemblera à ceci:

Réponse : 0,06.

Dans l'examen de géométrie, l'étudiant répond à une question de la liste des questions d'examen. La probabilité qu'il s'agisse d'une question de trigonométrie est de 0,2. La probabilité qu'il s'agisse d'une question sur les coins extérieurs est de 0,15. Il n'y a pas de questions liées à ces deux sujets en même temps. Trouvez la probabilité que l'étudiant obtienne une question sur l'un de ces deux sujets à l'examen.

Réfléchissons aux événements que nous avons. On nous donne deux événements incompatibles. Autrement dit, soit la question portera sur le sujet "Trigonométrie", soit sur le sujet "Angles externes". D'après le théorème des probabilités, la probabilité d'événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de chaque événement, il faut trouver la somme des probabilités de ces événements, soit :

Réponse : 0,35.

La salle est éclairée par une lanterne à trois lampes. La probabilité qu'une lampe brûle en un an est de 0,29. Trouvez la probabilité qu'au moins une lampe ne grille pas en un an.

Considérons les événements possibles. Nous avons trois ampoules, dont chacune peut ou non griller indépendamment de toute autre ampoule. Ce sont des événements indépendants.

Ensuite, nous indiquerons les variantes de tels événements. Nous acceptons la notation : - l'ampoule est allumée, - l'ampoule est grillée. Et immédiatement après, nous calculons la probabilité d'un événement. Par exemple, la probabilité d'un événement dans lequel trois événements indépendants « ampoule grillée », « ampoule allumée », « ampoule allumée » se sont produits : .

Notez qu'il n'y a que 7 événements incompatibles qui nous sont favorables, la probabilité de tels événements est égale à la somme des probabilités de chacun des événements : .

Réponse : 0,975608.

Vous pouvez voir un autre problème sur l'image :

Ainsi, vous et moi avons compris ce qu'est la théorie des probabilités, des formules et des exemples de résolution de problèmes pour lesquels vous pouvez vous rencontrer dans la version de l'examen.

Cette présentation présente les tâches les plus fréquemment rencontrées à l'examen de théorie des probabilités. Tâches de niveau de base. La présentation aidera à la fois les enseignants dans les leçons de généralisation de la répétition et les élèves dans Auto entrainementà l'examen.

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TÂCHES CLÉS DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS Se préparer pour l'OGE

JETER DE MONNAIE

1. Une pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d'avoir une face et une face ? Décision : Lorsque vous lancez une pièce, deux résultats sont possibles : « pile » ou « pile ». Lors du lancement de deux pièces - 4 résultats (2 * 2 \u003d 4): "aigle" - "queue" "queue" - "queue" "queue" - "aigles" "aigles" - "aigles" Un "aigle" et un « pile » tombera dans deux cas sur quatre. P(A)=2:4=0,5. Réponse : 0,5.

2. Une pièce est lancée trois fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux faces et une pile ? Solution : Lorsqu'il est lancé trois pièces 8 issues sont possibles (2*2*2=8) : "eagle" - "tails" - "tails" "tails" - "tails" - "tails" "tails" - "heads" - "tails" "heads" - "aigle" - "queues" "queues" - "queues" - "têtes" "queues" - "aigles" - "aigles" "aigles" - "queues" - "aigles" "aigles" - "aigles" - " aigles" » Deux "aigles" et une "queue" tomberont dans trois cas sur huit. P(A)=3:8=0,375. Réponse : 0,375.

3. Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée quatre fois. Trouvez la probabilité que Face ne tombe jamais. Solution : Lorsque vous lancez quatre pièces, 16 résultats sont possibles : (2*2*2*2=16) : résultats favorables - 1 (quatre queues tomberont). P(A)=1:16=0,0625. Réponse : 0,0625.

JEU DE DÉS

4. Déterminez la probabilité que plus de trois points tombent lorsque le dé a été lancé. Solution : Il y a 6 résultats possibles au total. Les grands nombres sont 3 - 4, 5, 6. P(A)=3:6=0,5. Réponse : 0,5.

5. Un dé est lancé. Trouvez la probabilité d'obtenir un nombre pair de points. Solution : Total des résultats possibles - 6. 1, 3, 5 - nombres impairs; 2, 4, 6 sont des nombres pairs. La probabilité d'obtenir un nombre pair de points est de 3:6=0,5. Réponse : 0,5.

6. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité d'obtenir 8 points au total. Arrondis le résultat au centième près. Solution : Cette action - lancer deux dés a un total de 36 résultats possibles, puisque 6² = 36. Résultats favorables : 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 La probabilité d'obtenir huit points est de 5:36 ≈ 0,14. Réponse : 0,14.

7. Lancez un dé deux fois. Au total, 6 points sont tombés. Trouvez la probabilité d'obtenir 5 sur l'un des lancers. Décision : Résultats totaux de 6 points - 5 : 2 et 4 ; 4 et 2 ; 3 et 3 ; 1 et 5 ; 5 et 1. Résultats favorables - 2. P(A)=2:5=0.4. Réponse : 0,4.

8. Il y avait 50 tickets à l'examen, Timofey n'en a pas appris 5. Trouvez la probabilité qu'il obtienne le ticket appris. Solution : Timofey a appris 45 tickets. P(A)=45:50=0,9. Réponse : 0,9.

CONCURRENCE

9. 20 athlètes participent au championnat de gymnastique : 8 de Russie, 7 des États-Unis, le reste de Chine. L'ordre d'exécution est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que l'athlète qui concourt en premier soit originaire de Chine. Solution : Résultats totaux 20. Résultats favorables 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Réponse : 0,25.

10. 4 athlètes de France, 5 d'Angleterre et 3 d'Italie sont venus à la compétition de lancer de poids. L'ordre des représentations est déterminé par tirage au sort. Trouvez la probabilité que le cinquième athlète soit italien. Solution : Le nombre de tous les résultats possibles est 12 (4 + 5 + 3 = 12). Le nombre de résultats favorables est de 3. P(A)=3:12=0,25. Réponse : 0,25.

11. Avant le début du premier tour du championnat de badminton, les participants sont répartis au hasard en paires de jeu par tirage au sort. Au total, 26 joueurs de badminton participent au championnat, dont 12 participants de Russie, dont Vladimir Orlov. Trouvez la probabilité qu'au premier tour Vladimir Orlov joue avec n'importe quel joueur de badminton de Russie ? Décision: Total des résultats - 25 (Vladimir Orlov avec 25 joueurs de badminton). Résultats favorables - (12-1) = 11. P(A)=11:25=0,44. Réponse : 0,44.

12. Le concours d'interprètes se déroule en 5 jours. Au total, 75 représentations ont été annoncées - une de chaque pays. Il y a 27 représentations le premier jour, le reste est réparti également entre les jours restants. L'ordre des représentations est déterminé par tirage au sort. Quelle est la probabilité que la performance du représentant de la Russie ait lieu le troisième jour de la compétition ? Décision : Nombre total de résultats - 75. Des artistes russes se produisent le troisième jour. Résultats favorables - (75-27) : 4 = 12. P(A)=12 : 75=0,16. Réponse : 0,16.

13. Kolya choisit un nombre à deux chiffres. Trouvez la probabilité qu'il soit divisible par 5. Solution : Nombres à deux chiffres : 10;11;12;…;99. Résultats totaux - 90. Nombres divisibles par 5 : 10 ; quinze; vingt; 25; …; 90 ; 95. Résultats favorables - 18. P(A)=18:90=0.2. Réponse : 0,2.

DIFFÉRENTES TÂCHES POUR DÉTERMINER LA PROBABILITÉ

14. L'usine produit des sacs. En moyenne, pour 170 sacs de qualité, il y a six sacs avec des vices cachés. Trouvez la probabilité que le sac acheté soit de haute qualité. Arrondis le résultat au centième près. Solution : Total des résultats - 176. Résultats favorables - 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Réponse : 0,97.

15. En moyenne, sur 100 piles vendues, 94 piles sont chargées. Trouvez la probabilité que la batterie achetée ne soit pas chargée. Solution : Total des résultats - 100. Résultats favorables - 100-94=6. P(A)=6:100=0,06. Réponse : 0,06.

SOURCES http://mathgia.ru http://www.schoolmathematics.ru