Comment résoudre la racine carrée. Comment extraire rapidement des racines carrées

Parmi les nombreuses connaissances qui sont un signe d'alphabétisation, l'alphabet occupe la première place. Le suivant, le même élément "signe", sont les compétences d'addition-multiplication et, adjacentes à elles, mais de sens inverse, les opérations arithmétiques de soustraction-division. Les compétences acquises dans l'enfance à l'école lointaine servent fidèlement jour et nuit : TV, journal, SMS, Et partout où nous lisons, écrivons, comptons, additionnons, soustrayons, multiplions. Et, dis-moi, as-tu souvent dû t'enraciner dans la vie, sauf à la campagne ? Par exemple, un problème aussi amusant, comme la racine carrée du nombre 12345... Y a-t-il encore de la poudre à canon dans les flacons de poudre ? Pouvons-nous le faire? Oui, il n'y a rien de plus simple ! Où est ma calculatrice... Et sans elle, au corps à corps, faible ?

Tout d'abord, clarifions ce que c'est - Racine carrée Nombres. D'une manière générale, "extraire la racine d'un nombre" signifie effectuer l'opération arithmétique opposée à l'élévation à une puissance - ici vous avez l'unité des contraires dans l'application de la vie. disons qu'un carré est une multiplication d'un nombre par lui-même, c'est-à-dire, comme ils l'ont enseigné à l'école, X * X = A ou dans une autre notation X2 = A, et en mots - "X au carré est égal à A". Alors le problème inverse ressemble à ceci : la racine carrée du nombre A, est le nombre X, qui, mis au carré, est égal à A.

Extraction de la racine carrée

Depuis le cours scolaire d'arithmétique, on connaît des méthodes de calcul "dans une colonne", qui permettent d'effectuer tous les calculs en utilisant les quatre premiers opérations arithmétiques. Hélas ... Pour le carré, et pas seulement le carré, les racines de tels algorithmes n'existent pas. Et dans ce cas, comment extraire la racine carrée sans calculatrice ? Sur la base de la définition de la racine carrée, il n'y a qu'une seule conclusion - il est nécessaire de sélectionner la valeur du résultat par énumération séquentielle de nombres, dont le carré se rapproche de la valeur de l'expression racine. Seulement et tout ! Avant qu'une heure ou deux ne se soient écoulées, il peut être calculé en utilisant la méthode bien connue de multiplication dans une "colonne", n'importe quelle racine carrée. Si vous avez les compétences, quelques minutes suffisent pour cela. Même un utilisateur de calculatrice ou de PC pas tout à fait avancé le fait d'un seul coup - le progrès.

Mais sérieusement, le calcul de la racine carrée est souvent effectué à l'aide de la technique de la "fourchette d'artillerie": d'abord, ils prennent un nombre dont le carré correspond approximativement à l'expression de la racine. C'est mieux si "notre carré" est légèrement inférieur à cette expression. Ensuite, ils corrigent le nombre en fonction de leur propre compréhension des compétences, par exemple, multiplient par deux et ... le mettent au carré à nouveau. Si le résultat est supérieur au nombre sous la racine, ajustez successivement le nombre d'origine, en vous rapprochant progressivement de son "collègue" sous la racine. Comme vous pouvez le voir - pas de calculatrice, seulement la possibilité de compter "dans une colonne". Bien sûr, il existe de nombreux algorithmes scientifiquement raisonnés et optimisés pour calculer la racine carrée, mais pour un "usage domestique", la technique ci-dessus donne une confiance de 100% dans le résultat.

Oui, j'ai presque oublié, afin de confirmer notre augmentation de l'alphabétisation, nous calculons la racine carrée du nombre 12345 précédemment indiqué. Nous le faisons étape par étape :

1. Prenons, purement intuitivement, X=100. Calculons : X * X = 10000. L'intuition est au top - le résultat est inférieur à 12345.

2. Essayons, également de manière purement intuitive, X = 120. Alors : X * X = 14400. Et encore une fois, avec intuition, l'ordre - le résultat est supérieur à 12345.

3. Ci-dessus, on obtient une «fourchette» de 100 et 120. Choisissons de nouveaux nombres - 110 et 115. Nous obtenons respectivement 12100 et 13225 - la fourchette se rétrécit.

4. Nous essayons "peut-être" X = 111. On obtient X * X = 12321. Ce nombre est déjà assez proche de 12345. Conformément à la précision requise, le « montage » peut être poursuivi ou arrêté au résultat obtenu. C'est tout. Comme promis - tout est très simple et sans calculatrice.

Un peu d'histoire...

Penser à utiliser racines carrées encore les Pythagoriciens, élèves de l'école et disciples de Pythagore, pendant 800 ans av. et juste là, "est tombé sur" de nouvelles découvertes dans le domaine des nombres. Et d'où vient-il?

1. La solution du problème avec l'extraction de la racine, donne le résultat sous forme de nombres d'une nouvelle classe. Ils ont été qualifiés d'irrationnels, c'est-à-dire de "déraisonnables", parce que. ils ne sont pas écrits comme un nombre complet. L'exemple le plus classique de ce genre est la racine carrée de 2. Ce cas correspond au calcul de la diagonale d'un carré de côté égal à 1 - c'est là l'influence de l'école pythagoricienne. Il s'est avéré que dans un triangle avec une taille unitaire très spécifique des côtés, l'hypoténuse a une taille qui s'exprime par un nombre qui "n'a pas de fin". Ainsi en mathématiques est apparu

2. On sait qu'il s'est avéré que ce opération mathématique contient un autre piège - en extrayant la racine, nous ne savons pas quel carré d'un nombre, positif ou négatif, est l'expression de la racine. Cette incertitude, double résultat d'une opération, est écrite.

L'étude des problèmes associés à ce phénomène est devenue une direction des mathématiques appelée théorie d'une variable complexe, qui revêt une grande importance pratique en physique mathématique.

Il est curieux que la désignation racine - radical - ait été utilisée dans son "Arithmétique universelle" par le même I. Newton omniprésent, mais exactement aspect moderne L'enregistrement racine est connu depuis 1690 dans le livre du Frenchman Roll "Guide to Algebra".

Les mathématiques sont nées lorsqu'une personne a pris conscience de lui-même et a commencé à se positionner comme une unité autonome du monde. Le désir de mesurer, de comparer, de calculer ce qui vous entoure est ce qui sous-tend l'une des sciences fondamentales de nos jours. Au début, c'étaient des morceaux de mathématiques élémentaires, qui permettaient d'associer des nombres à leurs expressions physiques, plus tard les conclusions ont commencé à être présentées uniquement théoriquement (en raison de leur caractère abstrait), mais après un certain temps, comme l'a dit un scientifique, " les mathématiques ont atteint le plafond de la complexité lorsque tous les nombres." Le concept de "racine carrée" est apparu à une époque où il pouvait être facilement étayé par des données empiriques, dépassant le plan des calculs.

Comment tout a commencé

La première mention de la racine, qui sur ce moment noté √, a été enregistré dans les écrits des mathématiciens babyloniens, qui ont jeté les bases de l'arithmétique moderne. Bien sûr, ils ressemblaient un peu à la forme actuelle - les scientifiques de ces années ont d'abord utilisé des comprimés volumineux. Mais au deuxième millénaire av. e. ils ont proposé une formule de calcul approximative qui montrait comment prendre la racine carrée. La photo ci-dessous montre une pierre sur laquelle des scientifiques babyloniens ont gravé le processus de sortie √2, et il s'est avéré si correct que l'écart dans la réponse n'a été trouvé qu'à la dixième décimale.

De plus, la racine était utilisée s'il fallait trouver le côté d'un triangle, à condition que les deux autres soient connus. Eh bien, lors de la résolution d'équations quadratiques, il n'y a pas d'échappatoire à l'extraction de la racine.

Parallèlement aux travaux babyloniens, l'objet de l'article a également été étudié dans l'ouvrage chinois "Mathematics in Nine Books", et les anciens Grecs sont arrivés à la conclusion que tout nombre dont la racine n'est pas extraite sans reste donne un résultat irrationnel .

L'origine de ce terme est associée à la représentation arabe du nombre : les anciens scientifiques croyaient que le carré d'un nombre arbitraire pousse à partir de la racine, comme une plante. En latin, ce mot sonne comme radix (on peut tracer un schéma - tout ce qui a une charge sémantique "racine" est consonne, que ce soit radis ou sciatique).

Les scientifiques des générations suivantes ont repris cette idée, la désignant comme Rx. Par exemple, au XVe siècle, pour indiquer que la racine carrée est tirée d'un nombre arbitraire a, on écrivait R 2 a. Habituel aspect moderne"tique" √ n'est apparu qu'au 17ème siècle grâce à René Descartes.

Nos jours

Mathématiquement, la racine carrée de y est le nombre z dont le carré est y. Autrement dit, z 2 =y est équivalent à √y=z. Cependant, cette définition n'est pertinente que pour la racine arithmétique, puisqu'elle implique une valeur non négative de l'expression. En d'autres termes, √y=z, où z est supérieur ou égal à 0.

En général, ce qui est valable pour déterminer une racine algébrique, la valeur d'une expression peut être soit positive, soit négative. Ainsi, du fait que z 2 =y et (-z) 2 =y, on a : √y=±z ou √y=|z|.

En raison du fait que l'amour pour les mathématiques n'a fait qu'augmenter avec le développement de la science, il existe diverses manifestations d'affection pour elles, non exprimées dans des calculs secs. Par exemple, parallèlement à des événements aussi intéressants que le jour de Pi, les vacances de la racine carrée sont également célébrées. Elles sont célébrées neuf fois en cent ans, et sont déterminées selon le principe suivant : les nombres qui désignent le jour et le mois dans l'ordre doivent être la racine carrée de l'année. Oui, dans la prochaine fois Cette fête sera célébrée le 4 avril 2016.

Propriétés de la racine carrée sur le corps R

Presque toutes les expressions mathématiques ont une base géométrique, ce sort n'est pas passé et √y, qui est défini comme le côté d'un carré d'aire y.

Comment trouver la racine d'un nombre ?

Il existe plusieurs algorithmes de calcul. Le plus simple, mais en même temps assez lourd, est le calcul arithmétique habituel, qui est le suivant :

1) du nombre dont nous avons besoin, les nombres impairs sont soustraits à leur tour - jusqu'à ce que le reste de la sortie soit inférieur à celui soustrait ou même zéro. Le nombre de coups finira par devenir le nombre souhaité. Par exemple, en calculant la racine carrée de 25 :

Le prochain nombre impair est 11, le reste est : 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pour de tels cas, il existe un développement en série de Taylor :

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , où n prend des valeurs de 0 à

+∞, et |y|≤1.

Représentation graphique de la fonction z=√y

Considérons une fonction élémentaire z=√y sur le corps des nombres réels R, où y est supérieur ou égal à zéro. Son graphique ressemble à ceci :

La courbe croît à partir de l'origine et passe nécessairement par le point (1 ; 1).

Propriétés de la fonction z=√y sur le corps de nombres réels R

1. Le domaine de définition de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est inclus).

2. La plage de valeurs de la fonction considérée est l'intervalle de zéro à plus l'infini (zéro est à nouveau inclus).

3. La fonction prend la valeur minimale (0) uniquement au point (0; 0). Il n'y a pas de valeur maximale.

4. La fonction z=√y n'est ni paire ni impaire.

5. La fonction z=√y n'est pas périodique.

6. Il n'y a qu'un seul point d'intersection du graphe de la fonction z=√y avec les axes de coordonnées : (0 ; 0).

7. Le point d'intersection du graphique de la fonction z=√y est aussi le zéro de cette fonction.

8. La fonction z=√y croît continuellement.

9. La fonction z=√y ne prend que des valeurs positives, donc son graphique occupe le premier angle de coordonnées.

Options d'affichage de la fonction z=√y

En mathématiques, pour faciliter le calcul d'expressions complexes, on utilise parfois la forme puissance d'écriture de la racine carrée : √y=y 1/2. Cette option est pratique, par exemple, pour élever une fonction à une puissance : (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Cette méthode est également une bonne représentation pour la différenciation avec intégration, puisque grâce à elle la racine carrée est représentée par une fonction puissance ordinaire.

Et en programmation, le remplacement du symbole √ est la combinaison de lettres sqrt.

Il convient de noter que dans ce domaine, la racine carrée est très demandée, car elle fait partie de la plupart des formules géométriques nécessaires aux calculs. L'algorithme de comptage lui-même est assez compliqué et est basé sur la récursivité (une fonction qui s'appelle elle-même).

La racine carrée dans le corps complexe C

Dans l'ensemble, c'est le sujet de cet article qui a stimulé la découverte du corps des nombres complexes C, puisque les mathématiciens étaient hantés par la question d'obtenir une racine de degré pair à partir d'un nombre négatif. C'est ainsi qu'est apparue l'unité imaginaire i, qui se caractérise par une propriété très intéressante : son carré est -1. Grâce à cela, les équations quadratiques et avec un discriminant négatif ont obtenu une solution. En C, pour la racine carrée, les mêmes propriétés sont pertinentes que dans R, la seule chose est que les restrictions sur l'expression de la racine sont supprimées.

La superficie d'un terrain carré est de 81 dm². Trouvez son côté. Supposons que la longueur du côté du carré soit X décimètres. Ensuite, la superficie de la parcelle est X² décimètres carrés. Puisque, selon la condition, cette surface est de 81 dm², alors X² = 81. La longueur du côté d'un carré est un nombre positif. Un nombre positif dont le carré est 81 est le nombre 9. Lors de la résolution du problème, il fallait trouver le nombre x, dont le carré est 81, c'est-à-dire résoudre l'équation X² = 81. Cette équation a deux racines : X 1 = 9 et X 2 \u003d - 9, puisque 9² \u003d 81 et (- 9)² \u003d 81. Les nombres 9 et - 9 sont appelés les racines carrées du nombre 81.

Notez que l'une des racines carrées X= 9 est un nombre positif. Elle est appelée la racine carrée arithmétique de 81 et est notée √81, donc √81 = 9.

Racine carrée arithmétique d'un nombre mais est un nombre non négatif dont le carré est égal à mais.

Par exemple, les nombres 6 et -6 sont les racines carrées de 36. Le nombre 6 est la racine carrée arithmétique de 36, puisque 6 est un nombre non négatif et 6² = 36. Le nombre -6 n'est pas une racine arithmétique.

Racine carrée arithmétique d'un nombre mais noté comme suit : √ mais.

Le signe est appelé le signe racine carrée arithmétique ; mais est appelée expression racine. Expression √ mais lire comme ceci : la racine carrée arithmétique d'un nombre mais. Par exemple, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Dans les cas où il est clair que nous parlonsà propos de la racine arithmétique, ils disent brièvement : "la racine carrée de mais«.

Le fait de trouver la racine carrée d'un nombre s'appelle prendre la racine carrée. Cette action est l'inverse de la quadrature.

Tout nombre peut être élevé au carré, mais tous les nombres ne peuvent pas être des racines carrées. Par exemple, il est impossible d'extraire la racine carrée du nombre - 4. Si une telle racine existait, alors, en la désignant par la lettre X, nous aurions la mauvaise égalité x² \u003d - 4, car il y a un nombre non négatif à gauche et un nombre négatif à droite.

Expression √ mais n'a de sens que lorsque un ≥ 0. La définition de la racine carrée peut être brièvement écrite comme : √ un ≥ 0, (√mais)² = mais. Égalité (√ mais)² = mais valable un ≥ 0. Ainsi, pour s'assurer que la racine carrée d'un nombre non négatif maiséquivaut à b, c'est-à-dire que √ mais =b, vous devez vérifier que les deux conditions suivantes sont remplies : b ≥ 0, b² = mais.

La racine carrée d'une fraction

Calculons. Notez que √25 = 5, √36 = 6, et vérifiez si l'égalité est vraie.

Parce que et , alors l'égalité est vraie. Alors, .

Théorème: Si mais≥ 0 et b> 0, c'est-à-dire la racine de la fraction égal à la racine du numérateur divisé par la racine du dénominateur. Il est nécessaire de prouver que : et .

Depuis √ mais≥0 et √ b> 0, alors .

Par la propriété d'élever une fraction à une puissance et d'en déterminer la racine carrée le théorème est prouvé. Regardons quelques exemples.

Calculer , selon le théorème prouvé .

Deuxième exemple : prouver que , si mais ≤ 0, b < 0. .

Autre exemple : Calculer .

.

Transformation racine carrée

Sortir le multiplicateur sous le signe de la racine. Donnons une expression. Si mais≥ 0 et b≥ 0, alors par le théorème sur la racine du produit, on peut écrire :

Une telle transformation s'appelle factoriser le signe racine. Prenons un exemple ;

Calculer à X= 2. Substitution directe X= 2 dans l'expression radicale conduit à des calculs compliqués. Ces calculs peuvent être simplifiés si nous supprimons d'abord les facteurs sous le signe racine : . En substituant maintenant x = 2, nous obtenons :.

Ainsi, en retirant le facteur sous le signe racine, l'expression radicale est représentée comme un produit dans lequel un ou plusieurs facteurs sont des carrés de nombres non négatifs. Le théorème du produit racine est ensuite appliqué et la racine de chaque facteur est prise. Prenons un exemple : Simplifions l'expression A = √8 + √18 - 4√2 en retirant les facteurs sous le signe racine dans les deux premiers termes, nous obtenons :. Nous soulignons que l'égalité valable uniquement lorsque mais≥ 0 et b≥ 0. si mais < 0, то .

Très souvent, lors de la résolution de problèmes, nous sommes confrontés à de grands nombres dont nous devons extraire Racine carrée. De nombreux élèves décident qu'il s'agit d'une erreur et commencent à résoudre tout l'exemple. Cela ne doit en aucun cas être fait ! Il y a deux raisons à cela :

1. Racines de gros chiffres surviennent réellement dans les tâches. Surtout dans le texte;
2. Il existe un algorithme par lequel ces racines sont considérées presque verbalement.

Nous examinerons cet algorithme aujourd'hui. Peut-être que certaines choses vous sembleront incompréhensibles. Mais si vous prêtez attention à cette leçon, vous obtiendrez l'arme la plus puissante contre racines carrées.

Donc l'algorithme :

1. Limitez la racine souhaitée au-dessus et au-dessous à des multiples de 10. Ainsi, nous réduirons la plage de recherche à 10 nombres ;
2. De ces 10 nombres, éliminez ceux qui ne peuvent absolument pas être des racines. En conséquence, 1-2 numéros resteront;
3. Mettez au carré ces 1-2 nombres. Celui d'entre eux, dont le carré est égal au nombre d'origine, sera la racine.

Avant d'appliquer cet algorithme fonctionne dans la pratique, examinons chaque étape individuelle.

Contrainte de racines

Tout d'abord, nous devons savoir entre quels nombres se situe notre racine. Il est hautement souhaitable que les nombres soient un multiple de dix :

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

On obtient une suite de nombres :

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Que nous donnent ces chiffres ? C'est simple : nous obtenons des limites. Prenons par exemple le nombre 1296. Il est compris entre 900 et 1600. Sa racine ne peut donc être inférieure à 30 et supérieure à 40 :

[Légende de la figure]

Il en va de même pour tout autre nombre à partir duquel vous pouvez trouver la racine carrée. Par exemple, 3364 :

[Légende de la figure]

Ainsi, au lieu d'un nombre incompréhensible, nous obtenons une plage très spécifique dans laquelle se trouve la racine d'origine. Pour affiner davantage la portée de la recherche, passez à la deuxième étape.

Élimination des nombres manifestement superflus

Donc, nous avons 10 nombres - candidats pour la racine. Nous les avons reçus très rapidement, sans réflexion complexe et sans multiplication dans une colonne. Il est temps de passer à autre chose.

Croyez-le ou non, nous allons maintenant réduire le nombre de numéros candidats à deux - et encore une fois sans calculs compliqués ! assez pour savoir règle spéciale. C'est ici:

Le dernier chiffre du carré ne dépend que du dernier chiffre numéro d'origine.

En d'autres termes, il suffit de regarder le dernier chiffre du carré - et nous comprendrons immédiatement où se termine le nombre d'origine.

Il n'y a que 10 chiffres qui peuvent se tenir sur dernière place. Essayons de découvrir ce qu'ils deviennent lorsqu'ils sont au carré. Jetez un oeil au tableau:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ce tableau est une autre étape vers le calcul de la racine. Comme vous pouvez le voir, les nombres de la deuxième ligne se sont avérés symétriques par rapport aux cinq. Par exemple:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Comme vous pouvez le voir, le dernier chiffre est le même dans les deux cas. Et cela signifie que, par exemple, la racine de 3364 se termine nécessairement par 2 ou 8. Par contre, on se souvient de la restriction du paragraphe précédent. On a:

[Légende de la figure]

Les carrés rouges montrent que nous ne connaissons pas encore ce chiffre. Mais après tout, la racine se situe entre 50 et 60, sur laquelle il n'y a que deux nombres se terminant par 2 et 8 :

[Légende de la figure]

C'est tout! De toutes les racines possibles, nous n'avons laissé que deux options ! Et c'est dans le cas le plus difficile, car le dernier chiffre peut être 5 ou 0. Et alors le seul candidat pour les racines restera !

Calculs finaux

Il nous reste donc 2 numéros de candidats. Comment savoir laquelle est la racine ? La réponse est évidente : placez les deux nombres au carré. Celui qui est au carré donnera le nombre d'origine et sera la racine.

Par exemple, pour le nombre 3364, nous avons trouvé deux nombres candidats : 52 et 58. Mettons-les au carré :

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

C'est tout! Il s'est avéré que la racine est 58! En même temps, afin de simplifier les calculs, j'ai utilisé la formule des carrés de la somme et de la différence. Grâce à cela, vous n'avez même pas eu à multiplier les nombres dans une colonne ! C'est un autre niveau d'optimisation des calculs, mais, bien sûr, c'est complètement facultatif :)

Exemples de calcul de racine

La théorie est bonne, bien sûr. Mais testons-le dans la pratique.

[Légende de la figure]

Découvrons tout d'abord entre quels nombres se situe le nombre 576 :

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Regardons maintenant le dernier chiffre. Il est égal à 6. Quand cela se produit-il ? Uniquement si la racine se termine par 4 ou 6. On obtient deux nombres :

Il reste à mettre au carré chaque nombre et à comparer avec l'original :

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Amende! Le premier carré s'est avéré être égal au nombre d'origine. C'est donc la racine.

Une tâche. Calculez la racine carrée :

[Légende de la figure]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Regardons le dernier numéro :

1369 → 9;
33; 37.

Mettons-le au carré :

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Voici la réponse : 37.

Une tâche. Calculez la racine carrée :

[Légende de la figure]

Nous limitons le nombre :

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Regardons le dernier numéro :

2704 → 4;
52; 58.

Mettons-le au carré :

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704 ;

Nous avons eu la réponse : 52. Le deuxième nombre n'aura plus besoin d'être au carré.

Une tâche. Calculez la racine carrée :

[Légende de la figure]

Nous limitons le nombre :

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Regardons le dernier numéro :

4225 → 5;
65.

Comme vous pouvez le voir, après la deuxième étape, il ne reste qu'une seule option : 65. Il s'agit de la racine souhaitée. Mais restons au carré et vérifions:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225 ;

Tout est correct. Nous écrivons la réponse.

Conclusion

Hélas, pas mieux. Voyons les raisons. Il y a deux d'entre eux:

• Il est interdit d'utiliser des calculatrices à tout examen de mathématiques normal, que ce soit le GIA ou l'examen d'État unifié. Et pour avoir transporté une calculatrice dans la salle de classe, ils peuvent facilement être expulsés de l'examen.
• Ne soyez pas comme les Américains stupides. Qui ne sont pas comme des racines - ils ne peuvent pas additionner deux nombres premiers. Et à la vue des fractions, ils deviennent généralement hystériques.

Dans cet article, nous présenterons le concept de la racine d'un nombre. Nous agirons de manière séquentielle : nous commencerons par la racine carrée, à partir de laquelle nous passerons à la description racine cubique, on généralise ensuite la notion de racine en définissant la racine du nième degré. En même temps, nous introduirons des définitions, des notations, donnerons des exemples de racines et donnerons les explications et commentaires nécessaires.

Racine carrée, racine carrée arithmétique

Pour comprendre la définition de la racine d'un nombre, et de la racine carrée en particulier, il faut avoir . À ce stade, nous rencontrerons souvent la deuxième puissance d'un nombre - le carré d'un nombre.

Commençons avec définitions de racine carrée.

Définition

La racine carrée d'un est le nombre dont le carré est un .

Afin d'apporter exemples de racines carrées, prenons plusieurs nombres, par exemple, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , et élevons-les au carré, nous obtenons respectivement les nombres 25 , 0,09 , 0,09 et 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 et 0 2 =0 0=0 ). Ensuite, selon la définition ci-dessus, 5 est la racine carrée de 25, -0,3 et 0,3 sont les racines carrées de 0,09 et 0 est la racine carrée de zéro.

Il convient de noter qu'il n'existe pour aucun nombre a , dont le carré est égal à a . A savoir, pour tout nombre négatif a il n'y a pas nombre réel b , dont le carré serait égal à a . En effet, l'égalité a=b 2 est impossible pour tout a négatif, puisque b 2 est un nombre non négatif pour tout b . De cette façon, sur l'ensemble des nombres réels il n'y a pas de racine carrée d'un nombre négatif. Autrement dit, sur l'ensemble des nombres réels, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie et n'a pas de sens.

Cela conduit à une question logique : « Existe-t-il une racine carrée de a pour tout a non négatif » ? La réponse est oui. La justification de ce fait peut être considérée comme une méthode constructive utilisée pour trouver la valeur de la racine carrée.

Alors la question logique suivante se pose : "Quel est le nombre de toutes les racines carrées d'un nombre non négatif donné a - un, deux, trois, ou même plus" ? Voici la réponse : si a vaut zéro, alors la seule racine carrée de zéro est zéro ; si a est un nombre positif, alors le nombre de racines carrées du nombre a est égal à deux, et les racines sont . Justifions cela.

Commençons par le cas a=0 . Montrons d'abord que zéro est bien la racine carrée de zéro. Cela découle de l'égalité évidente 0 2 =0·0=0 et de la définition de la racine carrée.

Prouvons maintenant que 0 est la seule racine carrée de zéro. Utilisons la méthode inverse. Supposons qu'il existe un nombre b non nul qui soit la racine carrée de zéro. Alors la condition b 2 =0 doit être satisfaite, ce qui est impossible, puisque pour tout b non nul la valeur de l'expression b 2 est positive. Nous sommes arrivés à une contradiction. Cela prouve que 0 est la seule racine carrée de zéro.

Passons aux cas où a est un nombre positif. Ci-dessus, nous avons dit qu'il y a toujours une racine carrée de tout nombre non négatif, soit b la racine carrée de a. Disons qu'il existe un nombre c , qui est aussi la racine carrée de a . Alors, par la définition de la racine carrée, les égalités b 2 =a et c 2 =a sont valables, d'où il résulte que b 2 −c 2 =a−a=0, mais puisque b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , alors (b−c) (b+c)=0 . L'égalité résultante en vigueur propriétés des actions avec des nombres réels uniquement possible lorsque b−c=0 ou b+c=0 . Ainsi les nombres b et c sont égaux ou opposés.

Si nous supposons qu'il existe un nombre d, qui est une autre racine carrée du nombre a, alors par un raisonnement semblable à ceux déjà donnés, on prouve que d est égal au nombre b ou au nombre c. Ainsi, le nombre de racines carrées d'un nombre positif est deux et les racines carrées sont des nombres opposés.

Pour la commodité de travailler avec des racines carrées racine négative sépare du positif. A cet effet, il introduit définition de la racine carrée arithmétique.

Définition

Racine carrée arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le carré est égal à a .

Pour la racine carrée arithmétique du nombre a, la notation est acceptée. Le signe est appelé le signe racine carrée arithmétique. On l'appelle aussi le signe du radical. Par conséquent, vous pouvez en partie entendre à la fois "racine" et "radical", ce qui signifie le même objet.

Le nombre sous le signe de la racine carrée arithmétique s'appelle numéro racine, et l'expression sous le signe racine - expression radicale, tandis que le terme "nombre radical" est souvent remplacé par "expression radicale". Par exemple, dans la notation, le nombre 151 est un nombre radical, et dans la notation, l'expression a est une expression radicale.

Lors de la lecture, le mot "arithmétique" est souvent omis, par exemple, l'entrée est lue comme "la racine carrée de sept virgule vingt-neuf centièmes". Le mot "arithmétique" n'est prononcé que lorsqu'ils veulent souligner que nous parlons de la racine carrée positive d'un nombre.

A la lumière de la notation introduite, il résulte de la définition de la racine carrée arithmétique que pour tout nombre non négatif a .

Les racines carrées d'un nombre positif a s'écrivent en utilisant le signe arithmétique de la racine carrée comme et . Par exemple, les racines carrées de 13 sont et . La racine carrée arithmétique de zéro est zéro, c'est-à-dire . Pour les nombres négatifs a, nous n'attacherons pas de sens aux entrées tant que nous n'aurons pas étudié nombres complexes. Par exemple, les expressions et n'ont aucun sens.

Sur la base de la définition d'une racine carrée, les propriétés des racines carrées sont prouvées, qui sont souvent utilisées dans la pratique.

Pour conclure cette sous-section, notons que les racines carrées d'un nombre sont des solutions de la forme x 2 =a par rapport à la variable x .

racine cubique de

Définition de la racine cubique du nombre a est donnée de manière similaire à la définition de la racine carrée. Seulement, il est basé sur le concept d'un cube d'un nombre, pas d'un carré.

Définition

La racine cubique d'un un nombre dont le cube est égal à a est appelé.

Apportons exemples racines cubiques . Pour ce faire, prenez plusieurs nombres, par exemple, 7 , 0 , −2/3 , et mettez-les au cube : 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Ensuite, sur la base de la définition de la racine cubique, nous pouvons dire que le nombre 7 est la racine cubique de 343, 0 est la racine cubique de zéro et −2/3 est la racine cubique de −8/27.

On peut montrer que la racine cubique du nombre a, contrairement à la racine carrée, existe toujours, et pas seulement pour a non négatif, mais aussi pour tout nombre réel a. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la même méthode que celle que nous avons mentionnée lors de l'étude de la racine carrée.

De plus, il n'y a qu'une seule racine cubique d'un nombre a donné. Démontrons la dernière assertion. Pour cela, considérons trois cas séparément : a est un nombre positif, a=0 et a est un nombre négatif.

Il est facile de montrer que pour a positif, la racine cubique de a ne peut être ni négative ni nulle. En effet, soit b la racine cubique de a , alors par définition on peut écrire l'égalité b 3 =a . Il est clair que cette égalité ne peut pas être vraie pour b négatif et pour b=0, puisque dans ces cas b 3 =b·b·b sera un nombre négatif ou zéro, respectivement. Donc la racine cubique d'un nombre positif a est un nombre positif.

Supposons maintenant qu'en plus du nombre b, il y ait une autre racine cubique du nombre a, notons-la c. Alors c 3 =a. Donc, b 3 −c 3 =a−a=0 , mais b 3 -c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(c'est la formule de multiplication abrégée différence de cubes), d'où (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . L'égalité résultante n'est possible que lorsque b−c=0 ou b 2 +b c+c 2 =0 . De la première égalité, nous avons b=c , et la deuxième égalité n'a pas de solutions, puisque son côté gauche est un nombre positif pour tous les nombres positifs b et c comme la somme de trois termes positifs b 2 , b c et c 2 . Cela prouve l'unicité de la racine cubique d'un nombre positif a.

Pour a=0, la seule racine cubique de a est zéro. En effet, si nous supposons qu'il existe un nombre b , qui est une racine cubique non nulle de zéro, alors l'égalité b 3 =0 doit être vérifiée, ce qui n'est possible que lorsque b=0 .

Pour a négatif, on peut argumenter de la même manière que pour a positif. Premièrement, nous montrons que la racine cubique d'un nombre négatif ne peut être égale ni à un nombre positif ni à zéro. Deuxièmement, nous supposons qu'il existe une deuxième racine cubique d'un nombre négatif et montrons qu'elle coïncidera nécessairement avec la première.

Ainsi, il y a toujours une racine cubique d'un nombre réel donné a, et une seule.

Donne moi définition de la racine cubique arithmétique.

Définition

Racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a un nombre non négatif dont le cube est égal à a est appelé.

La racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est notée , le signe est appelé le signe de la racine cubique arithmétique, le nombre 3 dans cette notation est appelé indicateur racine. Le nombre sous le signe racine est numéro racine, l'expression sous le signe racine est expression radicale.

Bien que la racine cubique arithmétique ne soit définie que pour les nombres non négatifs a, il est également pratique d'utiliser des entrées dans lesquelles les nombres négatifs sont sous le signe de la racine cubique arithmétique. Nous les comprendrons comme suit : , où a est un nombre positif. Par exemple, .

Nous parlerons des propriétés des racines cubiques dans l'article général sur les propriétés des racines.

Calculer la valeur d'une racine cubique s'appelle extraire une racine cubique, cette action est abordée dans l'article extraction des racines : méthodes, exemples, solutions.

Pour conclure cette sous-section, on dit que la racine cubique de a est une solution de la forme x 3 =a.

Nième racine, racine arithmétique de n

Nous généralisons le concept de racine à partir d'un nombre - nous introduisons détermination de la nième racine pour n.

Définition

nième racine de a est un nombre dont la puissance n est égale à a.

D'après cette définition, il est clair que la racine du premier degré du nombre a est le nombre a lui-même, puisque lors de l'étude du degré avec un indicateur naturel, nous avons pris a 1 = a.

Ci-dessus, nous avons considéré des cas particuliers de la racine du nième degré pour n=2 et n=3 - la racine carrée et la racine cubique. Autrement dit, la racine carrée est la racine du deuxième degré et la racine cubique est la racine du troisième degré. Pour étudier les racines du nième degré pour n=4, 5, 6, ..., il convient de les diviser en deux groupes : le premier groupe - les racines des degrés pairs (c'est-à-dire pour n=4, 6 , 8, ...), le deuxième groupe - les degrés impairs des racines (c'est-à-dire pour n=5, 7, 9, ... ). Cela est dû au fait que les racines des degrés pairs sont similaires à la racine carrée et que les racines des degrés impairs sont similaires à la racine cubique. Traitons-les tour à tour.

Nous commençons avec des racines dont les pouvoirs sont nombres pairs 4, 6, 8, ... Comme nous l'avons déjà dit, ils sont analogues à la racine carrée de a. Autrement dit, la racine de tout degré pair du nombre a n'existe que pour a non négatif. De plus, si a=0, alors la racine de a est unique et égale à zéro, et si a>0, alors il y a deux racines de degré pair à partir du nombre a, et ce sont des nombres opposés.

Justifions la dernière affirmation. Soit b une racine de degré pair (on la note 2 m, où m est un entier naturel) du numéro a . Supposons qu'il existe un nombre c - une autre racine de 2 m de a . Alors b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Mais nous connaissons la forme b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), alors (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. De cette égalité il résulte que b−c=0 , ou b+c=0 , ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Les deux premières égalités signifient que les nombres b et c sont égaux ou b et c sont opposés. Et la dernière égalité n'est valable que pour b=c=0 , puisque son côté gauche contient une expression non négative pour tout b et c comme somme de nombres non négatifs.

Quant aux racines du nième degré pour n impair, elles sont similaires à la racine cubique. Autrement dit, la racine de tout degré impair du nombre a existe pour tout nombre réel a, et pour un nombre donné a, elle est unique.

L'unicité de la racine de degré impair 2·m+1 à partir du nombre a se prouve par analogie avec la preuve de l'unicité de la racine cubique à partir de a . Seulement ici au lieu de l'égalité une 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) une égalité de la forme b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). L'expression entre la dernière parenthèse peut être réécrite comme b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Par exemple, pour m=2 on a b 5 -c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Lorsque a et b sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, leur produit est un nombre positif, alors l'expression b 2 +c 2 +b·c , qui est entre parenthèses du plus haut degré d'emboîtement, est positive comme la somme des nombres positifs Nombres. Maintenant, en passant successivement aux expressions entre parenthèses des degrés d'imbrication précédents, on s'assure qu'elles sont aussi positives que les sommes de nombres positifs. Par conséquent, on obtient que l'égalité b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 possible uniquement lorsque b−c=0 , c'est-à-dire lorsque le nombre b est égal au nombre c .

Il est temps de s'occuper de la notation des racines du nième degré. Pour cela, il est donné détermination de la racine arithmétique du nième degré.

Définition

La racine arithmétique du nième degré d'un nombre non négatif a on appelle un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a.