Dans les activités pratiques, une personne doit mesurer diverses quantités, prendre en compte les matériaux et les produits du travail, produire divers calculs. Les résultats de diverses mesures, comptages et calculs sont des nombres. Les nombres obtenus à la suite de la mesure, seulement approximativement, avec un certain degré de précision, caractérisent les valeurs souhaitées. Des mesures précises ne sont pas possibles en raison d'imprécisions instruments de mesure, les imperfections de nos organes de vision et les objets mesurés eux-mêmes ne permettent parfois pas de déterminer avec précision leur grandeur.

Ainsi, par exemple, on sait que la longueur du canal de Suez est de 160 km, la distance le long chemin de fer de Moscou à Leningrad 651 km. Nous avons ici les résultats de mesures effectuées avec une précision allant jusqu'au kilomètre. Si, par exemple, la longueur zone rectangulaire 29 m, largeur 12 m, puis, probablement, les mesures ont été faites avec une précision d'un mètre, et des fractions de mètre ont été négligées,

Avant d'effectuer une mesure, il est nécessaire de décider avec quelle précision elle doit être effectuée, c'est-à-dire quelles fractions de l'unité de mesure doivent être prises en compte et lesquelles doivent être négligées.

S'il y a une valeur un, dont la valeur réelle est inconnue, et la valeur approximative (approximation) de cette valeur est égale à X, ils écrivent un x.

Avec différentes mesures de la même quantité, nous obtiendrons différentes approximations. Chacune de ces approximations sera différente de la vraie valeur de la valeur mesurée, égale, par exemple, un, d'un certain montant, que nous appellerons Erreur. Définition. Si le nombre x est une valeur approximative (approximation) d'une certaine quantité, dont la vraie valeur est égale au nombre un, puis le module de la différence des nombres, un et X appelé erreur absolue approximation donnée et notée un X: ou simplement un. Ainsi, par définition,

un x = a-x (1)

De cette définition il résulte que

un = x un X (2)

Si l'on sait de quelle quantité on parle, alors dans la notation un X indice un est omis et l'égalité (2) s'écrit :

un = x x (3)

Comme la vraie valeur de la valeur désirée est le plus souvent inconnue, il est impossible de trouver l'erreur absolue dans l'approximation de cette valeur. Vous ne pouvez indiquer dans chaque cas spécifique qu'un nombre positif, supérieur à celui erreur absolueça ne peut pas être. Ce nombre est appelé la limite de l'erreur absolue de l'approximation de la quantité un et noté h un. Ainsi, si X est une approximation arbitraire de la valeur a pour une procédure donnée d'obtention d'approximations, alors

un x = a-x h un (4)

Il résulte de ce qui précède que si h un est la limite de l'erreur absolue de l'approximation de la quantité un, alors tout nombre supérieur à h un, sera également la borne de l'erreur absolue de l'approximation de la quantité un.

En pratique, il est d'usage de choisir le plus petit nombre qui satisfait l'inégalité (4) comme limite de l'erreur absolue.

Résoudre l'inégalité a-x h un on comprend ça un contenue dans les limites

x-h un un x + h un (5)

Un concept plus rigoureux de la limite d'erreur absolue peut être donné comme suit.

Laisser être X- de nombreuses approximations possibles X quantités un pour une procédure donnée pour obtenir une approximation. Alors n'importe quel nombre h, remplissant la condition a-x h un pour toute xX, est appelée borne de l'erreur absolue des approximations de l'ensemble X. Dénoter par h un plus petit nombre connu h. Ce nombre h un et est choisi en pratique comme borne de l'erreur absolue.

L'erreur d'approximation absolue ne caractérise pas la qualité des mesures. En effet, si on mesure n'importe quelle longueur avec une précision de 1 cm, alors dans le cas où nous parlons quant à la détermination de la longueur d'un crayon, ce sera une mauvaise précision. Si, avec une précision de 1 cm, déterminez la longueur ou la largeur du terrain de volley-ball, alors ce sera une grande précision.

Pour caractériser la précision de la mesure, le concept d'erreur relative est introduit.

Définition. Si un un X: il y a une erreur d'approximation absolue X une quantité dont la vraie valeur est égale au nombre un, alors le rapport un X au module d'un nombre X est appelée l'erreur relative d'approximation et est notée un X ou alors X.

Ainsi, par définition,

L'erreur relative est généralement exprimée en pourcentage.

Contrairement à l'erreur absolue, qui est le plus souvent une quantité dimensionnelle, l'erreur relative est une quantité sans dimension.

En pratique, ce n'est pas l'erreur relative qui est considérée, mais la limite dite d'erreur relative : un tel nombre E un, qui ne peut être supérieure à l'erreur relative de l'approximation de la valeur souhaitée.

Ainsi, un xE un .

Si un h un-- limite de l'erreur absolue des approximations de la grandeur un, alors un x h un et donc

Évidemment, n'importe quel nombre E, satisfaisant la condition, sera la limite de l'erreur relative. En pratique, une certaine approximation est généralement connue X quantités un et la limite d'erreur absolue. Puis le nombre

1. Les chiffres sont exacts et approximatifs. Les nombres que nous rencontrons dans la pratique sont de deux sortes. Certains donnent la vraie valeur de la quantité, d'autres seulement une approximation. Le premier est appelé exact, le second - approximatif. Le plus souvent, il est pratique d'utiliser un nombre approximatif au lieu d'un nombre exact, d'autant plus que dans de nombreux cas nombre exact généralement impossible à trouver.

Les résultats des opérations avec des nombres donnent : avec des nombres approximatifs des nombres approximatifs. Par example. Pendant l'épidémie, 60% des habitants de Saint-Pétersbourg attrapent la grippe. Cela représente environ 3 millions de personnes. avec des nombres exacts des nombres exacts Ex. Il y a 65 personnes dans le public lors d'une conférence sur les mathématiques. nombres approximatifs Par ex. Température corporelle moyenne du patient pendant la journée 37,3 : matin : 37,2 ; jour : 36,8 ; soir38.

La théorie des calculs approchés permet : 1) de connaître le degré de précision des données, d'évaluer le degré de précision des résultats ; 2) prendre des données avec un degré de précision approprié, suffisant pour garantir la précision requise du résultat ; 3) rationaliser le processus de calcul, en le libérant des calculs qui n'affecteront pas la précision du résultat.

1) si le premier (gauche) des chiffres rejetés est inférieur à 5, alors le dernier chiffre restant n'est pas modifié (arrondi vers le bas); 2) si le premier chiffre rejeté est supérieur à 5 ou égal à 5, alors le dernier chiffre restant est augmenté de un (arrondi). Arrondi : a) aux dixièmes 12,34 12,3 ; b) jusqu'aux centièmes 3,2465 3,25 ; 1038.79. c) jusqu'au millième 3,4335 3,434. d) jusqu'à des milliers ; Celui-ci prend en compte les éléments suivants :

Les grandeurs les plus couramment mesurées en médecine : masse m, longueur l, vitesse de traitement v, temps t, température t, volume V, etc. Mesurer une grandeur physique signifie la comparer à une grandeur homogène prise comme unité. 9 Unités de mesure des grandeurs physiques : Longueur de base - 1 m - (mètre) Temps - 1 s - (seconde) Masse - 1 kg - (kilogramme) Produits Volume - 1 m³ - (mètre cube) Vitesse - 1 m/s - (mètre par seconde)

Préfixes aux noms d'unités : Préfixes multiples - augmenter de 10, 100, 1000, etc. fois g - hecto (×100) k - kilo (× 1000) M - méga (×) 1 km (kilomètre) 1 kg (kilogramme) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g diminuer de 10 , 100, 1000, etc... fois d - déci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - milli (× 0,001) 1 dm (décimètre) 1dm = 0,1 m 1 cm (centimètre) 1cm = 0,01 m 1 mm (millimètre) 1mm = 0,001 m

Pour le diagnostic, le traitement, la prévention des maladies en médecine, divers équipements médicaux de mesure sont utilisés.

Thermomètre. Tout d'abord, vous devez prendre en compte les limites supérieure et inférieure de mesure. La limite inférieure est le minimum et la limite supérieure est la valeur maximale mesurable. Si la valeur attendue de la valeur mesurée est inconnue, il est préférable de prendre l'appareil avec une "marge". Par exemple, la mesure de la température eau chaude ne pas effectuer avec un thermomètre de rue ou d'ambiance. Il est préférable de trouver un appareil avec une limite supérieure de 100 ° C. Deuxièmement, vous devez comprendre avec quelle précision la quantité doit être mesurée. Étant donné que l'erreur de mesure dépend de la valeur de division, pour plus des mesures précises l'instrument avec le plus petit échelon est sélectionné.

Erreurs de mesure. Pour mesurer divers paramètres de diagnostic, vous avez besoin de votre propre appareil. Par exemple, la longueur est mesurée avec une règle et la température avec un thermomètre. Mais les règles, thermomètres, tonomètres et autres appareils sont différents, donc pour mesurer n'importe quelle quantité physique, vous devez choisir un appareil adapté à cette mesure.

Le prix de division de l'appareil. La température du corps humain doit être déterminée avec précision, les médicaments doivent être administrés en quantité strictement définie, par conséquent, le prix des divisions de l'échelle de l'appareil de mesure est une caractéristique importante de chaque appareil. La règle de calcul de la division de prix de l'appareil Pour calculer le prix des divisions de l'échelle, vous devez: a) sélectionner les deux traits numérisés les plus proches sur l'échelle; b) compter le nombre de divisions entre eux; c) Divisez la différence de valeurs autour des traits sélectionnés par le nombre de divisions.

Le prix de division de l'appareil. Valeur de division (50-30)/4=5 (ml) Valeur de division : (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temp, (4-2)/10=0,2 s

Déterminer le prix de la division des appareils : 16

Erreur de mesure absolue. Des erreurs sont inévitables dans toute mesure. Ces erreurs sont dues à divers facteurs. Tous les facteurs peuvent être divisés en trois parties : les erreurs causées par l'imperfection des instruments ; erreurs causées par l'imperfection des méthodes de mesure; erreurs dues à l'influence de facteurs aléatoires qui ne peuvent pas être éliminés. Lors de la mesure d'une valeur, on veut connaître non seulement sa valeur, mais aussi à quel point cette valeur peut être fiable, à quel point elle est précise. Pour ce faire, il est nécessaire de savoir de combien la vraie valeur d'une quantité peut différer de celle mesurée. À ces fins, le concept d'erreurs absolues et relatives est introduit.

Erreurs absolues et relatives. L'erreur absolue montre combien la valeur réelle quantité physique différent de celui mesuré. Cela dépend de l'appareil lui-même (erreur instrumentale) et du processus de mesure (erreur de lecture sur l'échelle). L'erreur instrumentale doit être indiquée dans le passeport de l'instrument (en règle générale, elle est égale à la division d'échelle de l'instrument). L'erreur de lecture est généralement prise égale à la moitié de la valeur de la division. L'erreur absolue d'une valeur approximative est la différence Δ x \u003d | x - x 0 |, où x 0 est une valeur approximative et x est la valeur exacte de la valeur mesurée, ou parfois au lieu de x ils utilisent A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Erreurs absolues et relatives. Exemple. On sait que -0,333 est une valeur approximative pour -1/3. Alors par définition de l'erreur absolue Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. Dans de nombreux cas pratiquement importants, il est impossible de trouver l'erreur absolue de l'approximation en raison du fait que la valeur exacte de la quantité est inconnue. Cependant, vous pouvez spécifier un nombre positif, supérieur à ce que cette erreur absolue ne peut pas être. C'est tout nombre h qui satisfait l'inégalité | ∆x | h C'est ce qu'on appelle la limite d'erreur absolue.

Dans ce cas, ils disent que la valeur de x est approximativement jusqu'à h égale à x 0. x \u003d x 0 ± h ou x 0 - h x x 0 + h

Erreurs instrumentales absolues des instruments de mesure

Estimation des erreurs instrumentales des grandeurs mesurées. Pour la plupart des instruments de mesure, l'erreur de l'instrument est égale à sa division d'échelle. L'exception concerne les instruments numériques et les comparateurs à cadran. Pour les appareils numériques, l'erreur est indiquée dans leur passeport et est généralement plusieurs fois supérieure à la division d'échelle de l'appareil. Pour les instruments de mesure à aiguille, l'erreur est déterminée par leur classe de précision, qui est indiquée sur l'échelle de l'instrument, et la limite de mesure. La classe de précision est indiquée sur l'échelle de l'appareil sous la forme d'un nombre qui n'est entouré d'aucun cadre. Par exemple, dans la figure illustrée, la classe de précision du manomètre est de 1,5. La classe de précision indique le pourcentage d'erreur de l'appareil par rapport à la limite de ses mesures. Pour un manomètre à aiguille, la limite de mesure est de 3 atm, respectivement, l'erreur de mesure de pression est de 1,5% de 3 atm, soit 0,045 atm. Il convient de noter que pour la plupart des dispositifs de pointage, leur erreur s'avère être égale à la valeur de division du dispositif. Comme dans notre exemple, où le prix de division du baromètre est de 0,05 atm.

Erreurs absolues et relatives. L'erreur absolue est nécessaire pour déterminer la plage dans laquelle la vraie valeur peut tomber, mais pour évaluer l'exactitude du résultat dans son ensemble, elle n'est pas très indicative. Après tout, mesurer une longueur de 10 m avec une erreur de 1 mm est certainement très précis, en même temps, mesurer une longueur de 2 mm avec une erreur de 1 mm est évidemment extrêmement imprécis. L'erreur de mesure absolue est généralement arrondie à un chiffre significatif ΔA 0,17 0,2. La valeur numérique du résultat de la mesure est arrondie de sorte que son dernier chiffre soit dans le même chiffre que le chiffre d'erreur A=10,332 10,3

Erreurs absolues et relatives. Parallèlement à l'erreur absolue, il est d'usage de considérer l'erreur relative, qui est égale au rapport de l'erreur absolue à la valeur de la quantité elle-même. L'erreur relative d'un nombre approché est le rapport de l'erreur absolue d'un nombre approché à ce nombre lui-même : E = Δx. 100% x 0 L'erreur relative montre combien de pourcentage de la valeur elle-même une erreur pourrait se produire et est indicative lors de l'évaluation de la qualité des résultats expérimentaux.

Exemple. Lors de la mesure de la longueur et du diamètre du capillaire, l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm ont été obtenus. Laquelle de ces mesures est la plus précise ? Lors de la mesure de la longueur du capillaire, une erreur absolue de 10 mm par 100 mm est autorisée, donc l'erreur absolue est de 10/100 = 0,1 = 10 %. Lors de la mesure du diamètre capillaire, l'erreur absolue tolérée est de 0,1/2,5 = 0,04 = 4 %. Par conséquent, la mesure du diamètre capillaire est plus précise.

Dans de nombreux cas, aucune erreur absolue ne peut être trouvée. D'où l'erreur relative. Mais vous pouvez trouver la limite de l'erreur relative. Tout nombre δ satisfaisant l'inégalité | ∆x | / | xo | δ, est la limite de l'erreur relative. En particulier, si h est la limite d'erreur absolue, alors le nombre δ= h/| x o |, est la borne de l'erreur relative de l'approximation x o. D'ici. Connaître la frontière rel.p-i. δ, on peut trouver la limite de l'erreur absolue h. h=δ | xo |

Exemple. On sait que 2=1.41… Trouver la précision relative de l'égalité approchée ou la limite de l'erreur relative de l'égalité approchée 2 1.41. Ici x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Évidemment 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, la limite d'erreur absolue est de 0,01, la limite d'erreur relative est de 1/141

Exemple. Lors de la lecture de la lecture de l'échelle, il est important que votre regard tombe perpendiculairement à l'échelle de l'instrument, tandis que l'erreur sera moindre. Pour déterminer la lecture du thermomètre : 1. déterminez le nombre de divisions, 2. multipliez-les par le prix de la division 3. tenez compte de l'erreur 4. notez le résultat final. t = 20 °C ± 1,5 °C Cela signifie que la température est comprise entre 18,5° et 21,5°. C'est-à-dire qu'il peut être, par exemple, de 19, 20 et 21 degrés Celsius. Pour augmenter la précision des mesures, il est d'usage de les répéter au moins trois fois et de calculer la valeur moyenne de la valeur mesurée

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Résultats des mesures C 1 \u003d 34,5 C 2 \u003d 33,8 C 3 \u003d 33,9 C 4 \u003d 33 ,5 C 5 \u003d 54,2 a) Trouvons la valeur moyenne de quatre quantités avec cp \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Trouvez l'écart de la valeur par rapport à la valeur moyenne Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Trouvez l'erreur absolue Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Trouvez l'erreur relative δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3 : 33,9) 100 % = 0,9 % e) Écrivez la réponse finale c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9 %

DEVOIRS Préparez-vous pour leçon pratique basé sur le cours magistral. Exécuter une tâche. Trouvez la valeur moyenne et l'erreur : a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Créer des présentations sur les sujets : « Arrondissement des valeurs en médecine », « Erreurs de mesure », « Appareils de mesure médicale »

Introduction

Erreur absolue- est une estimation de l'erreur de mesure absolue. Calculé différentes façons. La méthode de calcul est déterminée par la distribution de la variable aléatoire. En conséquence, l'ampleur de l'erreur absolue, selon la distribution de la variable aléatoire, peut être différente. Si est la valeur mesurée et est la vraie valeur, alors l'inégalité doit tenir avec une probabilité proche de 1. Si valeur aléatoire distribué selon la loi normale, alors généralement son écart type est considéré comme l'erreur absolue. L'erreur absolue est mesurée dans les mêmes unités que la valeur elle-même.

Il existe plusieurs façons d'écrire une quantité avec son erreur absolue.

· La notation avec le signe ± est généralement utilisée. Par exemple, le record du 100 m établi en 1983 est 9,930±0,005 s.

· Pour enregistrer des valeurs mesurées avec une très grande précision, une autre notation est utilisée : les nombres correspondant à l'erreur des derniers chiffres de la mantisse sont ajoutés entre parenthèses. Par exemple, la valeur mesurée de la constante de Boltzmann est 1.380 6488 (13)?10?23 J/K, qui peut aussi s'écrire beaucoup plus longtemps comme 1,380 6488?10?23 ±0,000 0013?10?23 J/K.

Erreur relative- erreur de mesure, exprimée comme le rapport de l'erreur de mesure absolue à la valeur réelle ou moyenne de la grandeur mesurée (RMG 29-99) :.

L'erreur relative est une quantité sans dimension ou est mesurée en pourcentage.

Approximation

Trop et trop peu ? Dans le processus de calcul, on a souvent affaire à des nombres approximatifs. Laisser être MAIS- la valeur exacte d'une certaine quantité, ci-après dénommée le nombre exact a. Sous la valeur approximative de la quantité MAIS, ou alors nombres approximatifs appelé un numéro un, qui remplace la valeur exacte de la quantité MAIS. Si un un< MAIS, alors un est appelée la valeur approchée du nombre Et par manque. Si un un> MAIS,- alors en excès. Par exemple, 3,14 est une approximation du nombre R par déficit et 3,15 par excès. Pour caractériser le degré de précision de cette approximation, on utilise le concept les erreurs ou alors les erreurs.

Erreur D un nombre approximatif un s'appelle la différence de la forme

ré un = un-un,

où MAIS est le nombre exact correspondant.

La figure montre que la longueur du segment AB est comprise entre 6 cm et 7 cm.

Cela signifie que 6 est la valeur approximative de la longueur du segment AB (en centimètres)\u003e avec un déficit, et 7 avec un excès.

En désignant la longueur du segment par la lettre y, on obtient : 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segment AB (voir fig. 149) est plus proche de 6 cm que de 7 cm, il est approximativement égal à 6 cm, on dit que le nombre 6 a été obtenu en arrondissant la longueur du segment à des nombres entiers.

Valeur absolue différences entre la valeur approximative et exacte (vraie) d'une quantité est appelée erreur absolue valeur approximative. par exemple si le nombre exact 1,214 arrondi au dixième, on obtient un nombre approximatif 1,2 . Dans ce cas, l'erreur absolue du nombre approximatif sera 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Mais dans la plupart des cas, la valeur exacte de la quantité considérée est inconnue, mais seulement approximative. Alors l'erreur absolue est également inconnue. Dans ces cas, indiquez frontière qu'il ne dépasse pas. Ce numéro s'appelle erreur absolue de frontière. Ils disent que la valeur exacte d'un nombre est égale à sa valeur approchée avec une erreur inférieure à l'erreur limite. par exemple, Numéro 23,71 est la valeur approximative du nombre 23,7125 jusqu'à 0,01 , puisque l'erreur d'approximation absolue est égale à 0,0025 et moins 0,01 . Ici, l'erreur absolue aux limites est égale à 0,01 .*

(* Absolu erreur est à la fois positive et négative. par exemple, 1,68 ≈ 1,7 . L'erreur absolue est 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Frontière l'erreur est toujours positive).

L'erreur absolue limite du nombre approximatif " un » est désigné par le symbole Δ un . Enregistrement

x ≈ un ( Δ un)

doit être comprise comme suit : la valeur exacte de la quantité X est entre un +Δ un et un –Δ un, qui sont nommés respectivement bas et borne supérieure X et dénoter H g X et À g X .

par exemple, si X≈ 2,3 ( 0,1), alors 2,2 < X < 2,4 .

Au contraire, si 7,3 < X < 7,4, alors X≈ 7,35 ( 0,05).

Erreur absolue ou limite absolue ne pas caractériser la qualité de la mesure. La même erreur absolue peut être considérée comme significative et non significative, selon le nombre qui exprime la valeur mesurée.

par exemple, si nous mesurons la distance entre deux villes avec une précision d'un kilomètre, alors une telle précision est tout à fait suffisante pour cette mesure, alors qu'en même temps, lors de la mesure de la distance entre deux maisons dans la même rue, une telle précision sera inacceptable .

Par conséquent, la précision de la valeur approximative d'une grandeur dépend non seulement de l'amplitude de l'erreur absolue, mais aussi de la valeur de la grandeur mesurée. Alors la mesure de la précision est l'erreur relative.

Erreur relative est le rapport de l'erreur absolue à la valeur du nombre approximatif. Le rapport de l'erreur absolue aux limites au nombre approximatif est appelé erreur relative aux limites; notez-le comme ceci: Δ un/une. Les erreurs relatives et relatives aux limites sont généralement exprimées en pourcentages.

par exemple si les mesures montrent que la distance entre deux points est supérieure à 12,3 km, mais moins 12,7 kilomètres, Puis pour approximatif sa signification est acceptée moyen ces deux nombres, c'est-à-dire eux demi-somme, alors frontière l'erreur absolue est semi-différence ces chiffres. Dans ce cas X≈ 12,5 ( 0,2). Voici la limite absolu l'erreur est 0,2 km, et la limite

Pour tâches modernes il est nécessaire d'utiliser un appareil mathématique complexe et des méthodes développées pour les résoudre. Dans ce cas, on rencontre souvent des problèmes dont la solution analytique, c'est-à-dire une solution sous la forme d'une expression analytique reliant les données initiales aux résultats requis est soit impossible du tout, soit exprimée dans des formules si lourdes qu'il est impossible de les utiliser à des fins pratiques.

Dans ce cas, on utilise des méthodes de résolution numérique qui permettent d'obtenir assez simplement une solution numérique au problème. Les méthodes numériques sont mises en œuvre à l'aide d'algorithmes de calcul.

Toute la variété des méthodes numériques est divisée en deux groupes :

Exact - ils supposent que si les calculs sont effectués avec précision, alors à l'aide d'un nombre fini d'opérations arithmétiques et logiques, les valeurs exactes des quantités souhaitées peuvent être obtenues.

Approché - qui, même dans l'hypothèse où les calculs sont effectués sans arrondi, vous permet d'obtenir une solution au problème uniquement avec une précision donnée.

1. valeur et nombre. Une quantité est quelque chose qui peut être exprimé par un nombre dans certaines unités.

Quand ils parlent de la valeur d'une quantité, ils veulent dire un certain nombre, appelé la valeur numérique de la quantité, et son unité de mesure.

Ainsi, une quantité est une caractéristique d'une propriété d'un objet ou d'un phénomène, qui est commune à de nombreux objets, mais qui a des valeurs individuelles pour chacun d'eux.

Les valeurs peuvent être constantes ou variables. Si, sous certaines conditions, la valeur ne prend qu'une valeur et ne peut pas la changer, alors elle est dite constante, si elle peut prendre diverses significations, alors est une variable. Oui, accélération chute libre corps dans cet endroit la surface de la terre est une valeur constante, prenant une seule valeur numérique g = 9,81 ... m / s2, tandis que le chemin s, parcouru point matériel pendant son mouvement, est une variable.

2. valeurs approximatives des nombres. La valeur de la quantité, dont nous ne doutons pas de la vérité, est dite exacte. Souvent, cependant, lors de la recherche de la valeur d'une quantité, seule sa valeur approximative est obtenue. Dans la pratique des calculs, on a souvent affaire à des valeurs approximatives de nombres. Ainsi, p est un nombre exact, mais en raison de son irrationalité, seule sa valeur approximative peut être utilisée.

Dans de nombreux problèmes, en raison de la complexité et souvent de l'impossibilité d'obtenir des solutions exactes, des méthodes de résolution approchées sont utilisées, notamment: solution approchée d'équations, interpolation de fonctions, calcul approché d'intégrales, etc.

La principale exigence pour les calculs approximatifs est le respect de la précision spécifiée des calculs intermédiaires et du résultat final. Dans le même temps, une augmentation des erreurs (erreurs) par un grossissement injustifié des calculs et la rétention de chiffres redondants qui ne correspondent pas à la précision réelle sont également inacceptables.

Il existe deux classes d'erreurs résultant des calculs et des nombres arrondis - absolues et relatives.

1. Erreur absolue (erreur).

Introduisons la notation :

Soit A la valeur exacte d'une certaine quantité, Record un » un Nous lirons "a est approximativement égal à A". Parfois, nous écrirons A = a, en gardant à l'esprit que nous parlons d'égalité approximative.

Si l'on sait qu'un< А, то а называют valeur approximative de A avec un inconvénient. Si a > A, alors a est appelé valeur approximative de A en excès.

La différence entre les valeurs exactes et approximatives d'une quantité s'appelle erreur d'approximation et est noté D, c'est-à-dire

D \u003d A - un (1)

L'erreur D de l'approximation peut être à la fois positive et négative.

Pour caractériser la différence entre la valeur approchée d'une grandeur et la valeur exacte, il suffit souvent d'indiquer la valeur absolue de la différence entre les valeurs exactes et approchées.

La valeur absolue de la différence entre la valeur approximative un et précis MAIS les valeurs numériques sont appelées erreur absolue (erreur) d'approximation et noté D un:

ré un = ½ un – MAIS½ (2)

Exemple 1 Lors de la mesure d'une ligne je utilisé une règle dont la valeur de division d'échelle est de 0,5 cm.Nous avons obtenu une valeur approximative pour la longueur du segment un= 204cm.

Il est clair que lors de la mesure, ils ne pouvaient pas se tromper de plus de 0,5 cm, c'est-à-dire l'erreur de mesure absolue ne dépasse pas 0,5 cm.

Habituellement, l'erreur absolue est inconnue, car la valeur exacte du nombre A est inconnue. évaluation erreur absolue:

ré un <= Dun avant que. (3)

où d avant que. – erreur marginale (nombre, Suite zéro), qui est fixé en tenant compte de la certitude avec laquelle le nombre a est connu.

L'erreur absolue limite est aussi appelée marge d'erreur. Ainsi, dans l'exemple donné,
ré avant que. = 0,5 cm.

De (3) on obtient : D un = ½ un – MAIS½<= Dun avant que. . et puis

un- RÉ un avant que. ≤ MAIS≤ un+D un avant que. . (4)

Moyens, un d un avant que. sera une approximation MAIS avec un inconvénient et un + D un avant que – valeur approximative MAIS en excès. Ils utilisent également la sténographie : MAIS= un± D un avant que (5)

Il résulte de la définition de l'erreur absolue limite que les nombres D un avant que, satisfaisant l'inégalité (3), il y aura un ensemble infini. En pratique, nous essayons de choisir peut-être moinsà partir des nombres D avant que, vérifiant l'inégalité D un <= Dun avant que.

Exemple 2 Déterminons l'erreur absolue limite du nombre a=3.14, pris comme valeur approchée du nombre π.

Il est connu que 3,14<π<3,15. D'où il suit que

|un – π |< 0,01.

Le nombre D peut être pris comme erreur absolue limite un = 0,01.

Cependant, si l'on tient compte du fait que 3,14<π<3,142 , alors nous obtenons une meilleure estimation :D un= 0,002, alors π ≈3,14 ±0,002.

Erreur relative (erreur). Connaître uniquement l'erreur absolue ne suffit pas à caractériser la qualité de la mesure.

Soit, par exemple, lors de la pesée de deux corps, les résultats suivants sont obtenus:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Bien que les erreurs de mesure absolues des deux résultats soient les mêmes, la qualité de mesure dans le premier cas sera meilleure que dans le second. Elle se caractérise par une erreur relative.

Erreur relative (erreur) approximation des nombres MAIS est appelé le taux d'erreur absolu D un approximation de la valeur absolue du nombre A :

Comme la valeur exacte d'une grandeur est généralement inconnue, on la remplace par une valeur approchée puis :

Limitation de l'erreur relative ou alors limite d'erreur d'approximation relative, appelé le numéro d et avant.>0, tel que :

ré un<= ré et avant.

Pour l'erreur relative limite, on peut évidemment prendre le rapport de l'erreur absolue limite sur la valeur absolue de la valeur approchée :

De (9) on obtient facilement la relation importante suivante :

∆et avant. = |un| ré et avant.

L'erreur relative limite est généralement exprimée en pourcentage :

Exemple. La base des logarithmes naturels pour le calcul est prise égale à e=2,72. Nous avons pris comme valeur exacte e m = 2,7183. Trouver les erreurs absolues et relatives d'un nombre approximatif.

ré e = ½ e – e t ½ = 0,0017 ;

.

La valeur de l'erreur relative reste inchangée avec un changement proportionnel du nombre le plus approximatif et de son erreur absolue. Ainsi, pour le nombre 634,7, calculé avec une erreur absolue D = 1,3, et pour le nombre 6347 avec une erreur D = 13, les erreurs relatives sont les mêmes : ré= 0,2.