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Propriétés de la fonction y x n. Fonction exponentielle - propriétés, graphiques, formules

Fonction où X – variable, UN – numéro donné, est appelé fonction de puissance .

Si alors est une fonction linéaire, son graphique est une droite (voir Section 4.3, Figure 4.7).

Si donc- fonction quadratique, son graphe est une parabole (voir paragraphe 4.3, Fig. 4.8).

Si alors son graphe est une parabole cubique (voir Section 4.3, Figure 4.9).

Fonction de puissance

ce fonction inverse pour

1. Domaine:

2. Valeurs multiples :

3. Pair et impair: fonction impaire.

4. Périodicité de la fonction : non périodique.

5. Fonction nulle : X= 0 est le seul zéro.

6. La fonction n'a pas de valeur maximale ou minimale.

7.

8. Graphique de fonction Symétrique au graphique d'une parabole cubique par rapport à une droite Y=X et illustré à la Fig. 5.1.

Fonction de puissance

1. Domaine:

2. Valeurs multiples :

3. Pair et impair: la fonction est paire.

4. Périodicité de la fonction : non périodique.

5. Fonction nulle : zéro unique X = 0.

6. Les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction : prend la plus petite valeur pour X= 0, il est égal à 0.

7. Intervalles croissants et décroissants : la fonction est décroissante sur l'intervalle et croissante sur l'intervalle

8. Graphique de fonction(pour tout le monde N Î N) "ressemble" à un graphique parabole quadratique(les graphiques de fonction sont illustrés à la Fig. 5.2).

Fonction de puissance

1. Domaine:

2. Valeurs multiples :

3. Pair et impair: fonction impaire.

4. Périodicité de la fonction : non périodique.

5. Fonction nulle : X= 0 est le seul zéro.

6. Valeurs maximales et minimales :

7. Intervalles croissants et décroissants : la fonction est croissante sur tout le domaine de définition.

8. Graphique de fonction(pour chaque ) "ressemble" à un graphe d'une parabole cubique (les graphes de fonction sont montrés à la Fig. 5.3).

Fonction de puissance

1. Domaine:

2. Valeurs multiples :

3. Pair et impair: fonction impaire.

4. Périodicité de la fonction : non périodique.

5. Fonction nulle : n'a pas de zéros.

6. Les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction : la fonction n'a pas les valeurs les plus grandes et les plus petites pour tout

7. Intervalles croissants et décroissants : la fonction est décroissante dans le domaine de définition.

8. Asymptotes :(axe UO) est l'asymptote verticale ;

(axe Oh) est l'asymptote horizontale.

9. Graphique de fonction(pour tout le monde N) "ressemble" au graphe d'une hyperbole (les graphes des fonctions sont montrés à la Fig. 5.4).

Fonction de puissance

1. Domaine:

2. Valeurs multiples :

3. Pair et impair: la fonction est paire.

4. Périodicité de la fonction : non périodique.

5. Les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction : la fonction n'a pas les valeurs les plus grandes et les plus petites pour tout

6. Intervalles croissants et décroissants : la fonction est croissante sur et décroissante sur

7. Asymptotes : X= 0 (axe UO) est l'asymptote verticale ;

Oui= 0 (axe Oh) est l'asymptote horizontale.

8. Graphiques de fonctions Sont des hyperboles quadratiques (Fig. 5.5).

Fonction de puissance

1. Domaine:

2. Valeurs multiples :

3. Pair et impair: la fonction n'a pas la propriété pair et impair.

4. Périodicité de la fonction : non périodique.

5. Fonction nulle : X= 0 est le seul zéro.

6. Les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction : la plus petite valeur égale à 0, la fonction prend au point X= 0; la plus grande valeur n'a pas.

7. Intervalles croissants et décroissants : la fonction est croissante sur tout le domaine de définition.

8. Chacune de ces fonctions avec un certain indicateur est inverse pour la fonction, à condition

9. Graphique de fonction"ressemble" au graphe d'une fonction pour tout N et illustré à la Fig. 5.6.

Fonction de puissance

1. Domaine:

2. Valeurs multiples :

3. Pair et impair: fonction impaire.

4. Périodicité de la fonction : non périodique.

5. Fonction nulle : X= 0 est le seul zéro.

6. Les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction : la fonction n'a pas les valeurs les plus grandes et les plus petites pour tout

7. Intervalles croissants et décroissants : la fonction est croissante sur tout le domaine de définition.

8. Graphique de fonction Montré sur la fig. 5.7.

Rappelez les propriétés et les graphiques des fonctions puissance avec un exposant entier négatif.

Pour n pair, :

Exemple de fonction :

Tous les graphes de telles fonctions passent par deux points fixes : (1;1), (-1;1). Une caractéristique des fonctions de ce type est leur parité, les graphiques sont symétriques par rapport à l'axe op-y.

Riz. 1. Graphe d'une fonction

Pour n impair, :

Exemple de fonction :

Tous les graphes de telles fonctions passent par deux points fixes : (1;1), (-1;-1). Une caractéristique des fonctions de ce type est leur impair, les graphes sont symétriques par rapport à l'origine.

Riz. 2. Graphique de fonction

Rappelons la définition principale.

Le degré d'un nombre non négatif a avec un exposant rationnel positif est appelé un nombre.

Le degré d'un nombre positif a avec un exposant rationnel négatif est appelé un nombre.

Car l'égalité suivante vaut :

Par exemple: ; - l'expression n'existe pas par définition d'un degré avec un exposant rationnel négatif ; existe, puisque l'exposant est un entier,

Passons à l'examen des fonctions de puissance avec un exposant négatif rationnel.

Par exemple:

Pour tracer cette fonction, vous pouvez créer un tableau. Nous ferons autrement : dans un premier temps, nous allons construire et étudier le graphe du dénominateur - nous le connaissons (Figure 3).

Riz. 3. Graphe d'une fonction

Le graphe de la fonction dénominateur passe par un point fixe (1;1). Lors de la construction d'un graphique de la fonction d'origine, ce point reste, lorsque la racine tend également vers zéro, la fonction tend vers l'infini. Et, inversement, lorsque x tend vers l'infini, la fonction tend vers zéro (Figure 4).

Riz. 4. Graphique de fonction

Considérons une autre fonction de la famille de fonctions à l'étude.

Il est important que par définition

Considérons le graphe de la fonction au dénominateur : , on connaît le graphe de cette fonction, elle croît dans son domaine de définition et passe par le point (1 ; 1) (Figure 5).

Riz. 5. Graphique de fonction

Lors de la construction d'un graphique de la fonction d'origine, le point (1; 1) reste, lorsque la racine tend également vers zéro, la fonction tend vers l'infini. Et, inversement, lorsque x tend vers l'infini, la fonction tend vers zéro (Figure 6).

Riz. 6. Graphique de fonction

Les exemples considérés aident à comprendre comment se déroule le graphique et quelles sont les propriétés de la fonction étudiée - une fonction avec un exposant rationnel négatif.

Les graphes de fonctions de cette famille passent par le point (1;1), la fonction décroît sur tout le domaine de définition.

Portée de la fonction :

La fonction n'est pas bornée par le haut, mais bornée par le bas. La fonction n'a ni maximum ni la plus petite valeur.

La fonction est continue, elle prend toutes les valeurs positives de zéro à plus l'infini.

Fonction convexe vers le bas (Figure 15.7)

Les points A et B sont pris sur la courbe, un segment est tracé à travers eux, la courbe entière est en dessous du segment, cette condition est satisfaite pour deux points arbitraires sur la courbe, donc la fonction est convexe vers le bas. Riz. sept.

Riz. 7. Convexité d'une fonction

Il est important de comprendre que les fonctions de cette famille sont bornées par le bas par zéro, mais elles n'ont pas la plus petite valeur.

Exemple 1 - trouver le maximum et le minimum d'une fonction sur l'intervalle \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graphique (Fig. 2).

Figure 2. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=x^(2n)$

Propriétés d'une fonction puissance avec exposant naturel impair

    Le domaine de définition est tous les nombres réels.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ est une fonction impaire.

    $f(x)$ est continue sur tout le domaine de définition.

    La gamme est tous les nombres réels.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    La fonction croît sur tout le domaine de définition.

    $f\left(x\right)0$, pour $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \gauche(2n-1\droite)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    La fonction est concave pour $x\in (-\infty ,0)$ et convexe pour $x\in (0,+\infty)$.

    Graphique (Fig. 3).

Figure 3. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fonction puissance avec exposant entier

Pour commencer, nous introduisons le concept de degré avec un exposant entier.

Définition 3

Le degré d'un nombre réel $a$ avec un exposant entier $n$ est déterminé par la formule :

Figure 4

Considérons maintenant une fonction puissance avec un exposant entier, ses propriétés et son graphique.

Définition 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ est appelée une fonction puissance avec exposant entier.

Si le degré est supérieur à zéro, nous arrivons au cas d'une fonction puissance avec un exposant naturel. Nous l'avons déjà considéré plus haut. Pour $n=0$ on obtient une fonction linéaire $y=1$. Nous laissons son examen au lecteur. Il reste à considérer les propriétés d'une fonction puissance avec un exposant entier négatif

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant entier négatif

    La portée est $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Si l'exposant est pair, la fonction est paire, s'il est impair, la fonction est impaire.

    $f(x)$ est continue sur tout le domaine de définition.

    Plage de valeur :

    Si l'exposant est pair, alors $(0,+\infty)$, s'il est impair, alors $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Si l'exposant est impair, la fonction décroît comme $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pour un exposant pair, la fonction diminue comme $x\in (0,+\infty)$. et augmente comme $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ sur tout le domaine

Des données de référence sur la fonction exponentielle sont données - propriétés de base, graphiques et formules. Les problèmes suivants sont abordés : domaine de définition, ensemble de valeurs, monotonicité, fonction inverse, dérivée, intégrale, développement de séries de puissances et représentation au moyen de nombres complexes.

Définition

Fonction exponentielle est une généralisation du produit de n nombres égal à a :
y (n) = une n = une une une une,
à l'ensemble des nombres réels x :
y (x) = x.
Ici a est fixe nombre réel, qui est appelée la base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est aussi appelée exponentielle en base a.

La généralisation s'effectue comme suit.
Pour x naturel = 1, 2, 3,... , la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. A zéro et valeurs négatives entiers , la fonction exponentielle est déterminée par les formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour real , la fonction exponentielle est définie comme limite de séquence:
,
où est une suite arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout , et satisfait les propriétés (1.5-8), ainsi que pour x naturel.

Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et une preuve de ses propriétés sont données à la page "Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle".

Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1) est définie et continue, pour , pour tout ;
(1.2) quand un ≠ 1 a plusieurs significations;
(1.3) augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Autres formules utiles
.
La formule de conversion en une fonction exponentielle avec une base de puissance différente :

Pour b = e , on obtient l'expression de la fonction exponentielle en fonction de l'exposant :

Valeurs privées

, , , , .

La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
y (x) = x
pour quatre valeurs bases de diplômes:a= 2 , un = 8 , un = 1/2 et un = 1/8 . On voit que pour un > 1 fonction exponentielle est croissante de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus la croissance est forte. À 0 < a < 1 la fonction exponentielle est monotone décroissante. Comment moins d'indicateur degré a , plus la diminution est forte.

Ascendant descendant

La fonction exponentielle at est strictement monotone, elle n'a donc pas d'extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

y = une X , une > 1 y = x, 0 < a < 1
Domaine - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monotone augmente de façon monotone diminue de façon monotone
Zéros, y= 0 Non Non
Points d'intersection avec l'axe y, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction exponentielle de base de degré a est le logarithme de base a.

Si donc
.
Si donc
.

Différenciation de la fonction exponentielle

Pour dériver une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer le tableau des dérivées et la règle de dérivation d'une fonction complexe.

Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.

Donnons une fonction exponentielle :
.
Nous l'amenons à la base e:

On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe. Pour ce faire, nous introduisons une variable

Alors

D'après le tableau des dérivées, nous avons (remplacer la variable x par z ):
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est
.
Selon la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.

Dérivée de la fonction exponentielle

.
Dérivée du nième ordre :
.
Dérivation de formules > > >

Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle

Trouver la dérivée d'une fonction
y= 35x

La solution

Nous exprimons la base de la fonction exponentielle en fonction du nombre e.
3 = e log 3
Alors
.
Nous introduisons une variable
.
Alors

Du tableau des dérivées, nous trouvons:
.
Parce que le 5ln 3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est :
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe, on a :
.

Réponse

Intégral

Expressions en termes de nombres complexes

Considérez la fonction de nombre complexe z:
F (z) = az
où z = x + iy ; je 2 = - 1 .
Nous exprimons la constante complexe a en fonction du module r et de l'argument φ :
une = r e je φ
Alors


.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. À vue générale
φ = φ 0 + 2 pn,
où n est un entier. Par conséquent, la fonction f (z) est également ambigu. Souvent considéré comme son importance principale
.

Extension en série


.

Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.

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