Les degrés avec des exposants rationnels et irrationnels en sont des exemples. Degré de nombre : définitions, désignation, exemples

Dans cet article, nous allons comprendre ce qui est diplôme de. Ici, nous donnerons des définitions du degré d'un nombre, en considérant en détail tous les exposants possibles du degré, en commençant par un exposant naturel, en terminant par un irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

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Degré avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons avec . Pour l'avenir, disons que la définition du degré de a d'exposant naturel n est donnée pour a , que nous appellerons base de diplôme, et n , que nous appellerons exposant. Notez également que le degré avec un indicateur naturel est déterminé par le produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez avoir une idée de la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance du nombre a avec exposant naturel n est une expression de la forme a n , dont la valeur est égale au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a , c'est-à-dire .
En particulier, le degré d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner immédiatement les règles de lecture des diplômes. Voie universelle lire l'entrée a n est : "a à la puissance n". Dans certains cas, de telles options sont également acceptables : "a à la puissance n" et "puissance n du nombre a". Par exemple, prenons le degré 8 12, c'est "huit puissance douze", ou "huit puissance douzième", ou "douzième puissance huit".

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle le carré d'un nombre, par exemple, 7 2 se lit comme "sept au carré" ou "carré du nombre sept". La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombre de cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme "cinq cubes" ou dire "cube du nombre 5".

Il est temps d'apporter exemples de diplômes avec indicateurs physiques. Commençons par la puissance de 5 7 , où 5 est la base de la puissance et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .

Attention, dans le dernier exemple, la base du degré 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les écarts, on prendra entre parenthèses toutes les bases du degré qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des indicateurs naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté à ce stade, nous allons montrer la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3 . L'expression (−2) 3 est la puissance de −2 d'exposant naturel 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour le degré de a avec un exposant n de la forme a^n . De plus, si n est un nombre naturel multivalué, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici d'autres exemples d'écriture de degrés en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation du degré de la forme a n .

L'un des problèmes inverses à l'exponentiation avec un exposant naturel est le problème de trouver la base du degré par valeur connue degré et exposant connu. Cette tâche conduit à .

On sait que l'ensemble des nombres rationnels est constitué d'entiers et de nombres fractionnaires, et chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons défini le degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, afin de compléter la définition du degré avec indicateur rationnel, vous devez donner la signification du degré du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété de degré dans un degré reste valide, l'égalité doit être vraie . Si l'on tient compte de l'égalité résultante et de la façon dont on a défini , alors il est logique d'accepter, à condition que pour m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que toutes les propriétés d'un degré avec un exposant entier sont valables pour as (ceci est fait dans la section sur les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si pour m, n et a donnés l'expression a un sens, alors la puissance du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n est appelée la racine du nième degré de a à la puissance m.

Cette déclaration nous rapproche de la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire pour quels m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m , n et a, il existe deux approches principales.

Le moyen le plus simple de contraindre a est de supposer a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (car m≤0 n'a pas de puissance de 0 m). Ensuite, nous obtenons la définition suivante du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n un entier naturel, est appelée la racine du nième du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

Le degré fractionnaire de zéro est également défini avec la seule mise en garde que l'exposant doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant positif fractionnaire m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas défini, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant négatif fractionnaire n'a pas de sens.

Il faut noter qu'avec une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire, il y a une nuance : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a du sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0 . Par exemple, il est logique d'écrire ou , et la définition ci-dessus nous oblige à dire que degrés avec un exposant fractionnaire de la forme n'ont pas de sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer le degré avec un exposant fractionnaire m / n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite condition supplémentaire: le degré du nombre a, dont l'exposant est, est considéré comme le degré du nombre a, dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée plus loin). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (la racine d'un degré pair d'un nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif, le nombre a doit toujours être différent de zéro (sinon il sera une division par zéro). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être n'importe quoi (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour moins m, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous conduit à une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un entier naturel. Pour toute fraction ordinaire réductible, le degré est remplacé par . La puissance de a avec un exposant fractionnaire irréductible m / n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissions simplement le degré comme , et ne faisions pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m / n , alors nous rencontrerions des situations similaires à la suivante : puisque 6/10=3/5 , alors l'égalité , mais , un .

La leçon vidéo "Diplôme avec un indicateur rationnel" contient un visuel Matériel pédagogique enseigner sur ce sujet. La leçon vidéo contient des informations sur le concept de diplôme avec un exposant rationnel, les propriétés, ces diplômes, ainsi que des exemples décrivant l'utilisation de matériel pédagogique pour résoudre des problèmes pratiques. La tâche de cette leçon vidéo est de présenter clairement et clairement le matériel pédagogique, de faciliter son développement et sa mémorisation par les étudiants, de former la capacité de résoudre des problèmes en utilisant les concepts appris.

Les principaux avantages de la leçon vidéo sont la possibilité d'effectuer des transformations visuelles et des calculs, la possibilité d'utiliser des effets d'animation pour améliorer l'efficacité de l'apprentissage. L'accompagnement vocal aide à développer un discours mathématique correct et permet également de remplacer l'explication de l'enseignant, le libérant pour un travail individuel.

Le didacticiel vidéo commence par introduire le sujet. Étude de liaison nouveau sujet avec le matériel étudié précédemment, il est suggéré de rappeler que n √ a est autrement noté a 1/n pour n naturel et a positif. Cette représentation de la n-racine s'affiche à l'écran. En outre, il est proposé de considérer ce que signifie l'expression a m / n, dans laquelle a est un nombre positif et m / n est une fraction. La définition du degré mis en évidence dans l'encadré est donnée avec un exposant rationnel sous la forme a m/n = n √ a m . Il est à noter que n peut être un nombre naturel et m - un nombre entier.

Après avoir déterminé le degré avec un exposant rationnel, sa signification est révélée par des exemples : (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Un exemple est également montré où une puissance représentée par un nombre décimal est convertie en une fraction commune pour être représentée comme une racine : (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 et un exemple de valeur négative degrés: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Séparément, une caractéristique d'un cas particulier est indiquée lorsque la base du degré est zéro. On note que ce degré n'a de sens qu'avec un exposant fractionnaire positif. Dans ce cas, sa valeur est égale à zéro : 0 m/n =0.

Une autre caractéristique du degré avec un exposant rationnel est notée - que le degré avec un exposant fractionnaire ne peut pas être considéré avec un exposant fractionnaire. Des exemples de notation incorrecte du degré sont donnés : (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Plus loin dans la leçon vidéo, les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel sont considérées. On note que les propriétés d'un degré à exposant entier seront également valables pour un degré à exposant rationnel. Il est proposé de rappeler la liste des propriétés également valables dans ce cas :

1. Lors de la multiplication des puissances avec les mêmes motifs leurs indicateurs s'additionnent : a p a q =a p+q .
2. La division des degrés de mêmes bases se réduit à un degré de base donnée et la différence des exposants : a p:a q =a p-q .
3. Si nous élevons la puissance à une certaine puissance, nous obtenons alors la puissance avec la base donnée et le produit des exposants : (a p) q =a pq .

Toutes ces propriétés sont valables pour des puissances d'exposants rationnels p, q et de base positive a>0. De plus, les transformations de degré restent vraies lors de l'ouverture des parenthèses :

1. (ab) p = a p b p - élever un produit de deux nombres à une certaine puissance avec un exposant rationnel est réduit à un produit de nombres, dont chacun est élevé à une puissance donnée.
2. (a/b) p =a p /b p - l'exponentiation avec un exposant rationnel d'une fraction est réduite à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont élevés à la puissance donnée.

Le didacticiel vidéo traite de la solution d'exemples qui utilisent les propriétés considérées des degrés avec un exposant rationnel. Dans le premier exemple, il est proposé de trouver la valeur d'une expression qui contient les variables x à une puissance fractionnaire : (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Malgré la complexité de l'expression, en utilisant les propriétés des degrés, elle est résolue assez simplement. La solution de la tâche commence par une simplification de l'expression, qui utilise la règle d'élever une puissance avec un exposant rationnel à une puissance, ainsi que de multiplier les puissances avec la même base. Après avoir remplacé la valeur donnée x=8 dans l'expression simplifiée x 1/3 +48, ​​il est facile d'obtenir la valeur - 50.

Dans le deuxième exemple, il s'agit de réduire une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des puissances avec un exposant rationnel. En utilisant les propriétés du degré, nous sélectionnons le facteur x 1/3 à partir de la différence, qui est ensuite réduite dans le numérateur et le dénominateur, et en utilisant la formule de la différence des carrés, le numérateur est décomposé en facteurs, ce qui donne plus de réductions du mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Le résultat de ces transformations est une courte fraction x 1/4 +3.

La leçon vidéo "Diplôme avec un indicateur rationnel" peut être utilisée à la place de l'enseignant expliquant le nouveau sujet de la leçon. De plus, ce manuel contient suffisamment d'informations pour auto-apprentissageélève. Le matériel peut être utile dans l'enseignement à distance.

MBOU "Sidorskaïa

école polyvalente»

Elaboration d'un schéma-plan cours ouvert

en algèbre en 11e année sur le sujet :

Préparé et conduit

prof de maths

Iskhakova E. F.

Esquisse d'une leçon ouverte d'algèbre en 11e année.

Matière : "Degré avec un exposant rationnel".

Type de leçon : Apprentissage de nouveau matériel

Objectifs de la leçon:

Familiariser les étudiants avec le concept d'un degré avec un indicateur rationnel et ses principales propriétés, sur la base d'un matériel déjà étudié (un degré avec un indicateur entier).

Développer des compétences en calcul et la capacité de convertir et de comparer des nombres avec un exposant rationnel.

Cultiver la littératie mathématique et l'intérêt pour les mathématiques chez les élèves.

Équipement : Des fiches de tâches, une présentation d'un étudiant sur un diplôme avec un indicateur entier, une présentation d'un enseignant sur un diplôme avec un indicateur rationnel, un ordinateur portable, un projecteur multimédia, un écran.

Pendant les cours :

Organisation du temps.

Vérification de l'assimilation du sujet couvert par les fiches de tâches individuelles.

Tâche numéro 1.

=2;

B) = x + 5 ;

Résoudre le système équations irrationnelles: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tâche numéro 2.

Résoudre l'équation irrationnelle : = - 3;

B) =x-2 ;

Résoudre un système d'équations irrationnelles : 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Présentation du sujet et des objectifs de la leçon.

Le sujet de notre leçon d'aujourd'hui Degré avec exposant rationnel».

Explication du nouveau matériel sur l'exemple de précédemment étudié.

Vous connaissez déjà le concept de degré avec un exposant entier. Qui peut m'aider à les mémoriser ?

Répétition avec présentation Degré avec exposant entier».

Pour tous les nombres a , b et tous les entiers m et n les égalités sont vraies :

une m * une n = une m + n ;

une m : une n = une m-n (une ≠ 0) ;

(suis) n = a mn ;

(une b) n = une n * b n ;

(a/b) n = une n / b n (b ≠ 0) ;

un 1 = un ; une 0 = 1(une ≠ 0)

Aujourd'hui, nous allons généraliser le concept de degré d'un nombre et donner un sens aux expressions qui ont un exposant fractionnaire. Présentons définition diplômes à indicateur rationnel (Présentation "Diplôme à indicateur rationnel") :

Le degré d'un > 0 avec un exposant rationnel r = , où m est un entier, et n - Naturel ( n > 1), appelé le numéro m .

Donc, par définition, on obtient que = m .

Essayons d'appliquer cette définition lors de l'exécution d'une tâche.

EXEMPLE 1

J'exprime comme racine d'un nombre l'expression :

MAIS) B) À) .

Essayons maintenant d'appliquer cette définition à l'envers

II Exprimer l'expression sous la forme d'une puissance avec un exposant rationnel :

MAIS) 2 B) À) 5 .

La puissance de 0 n'est définie que pour les exposants positifs.

0 r= 0 pour tout r> 0.

En utilisant cette définition, Maisons vous compléterez #428 et #429.

Montrons maintenant que la définition ci-dessus d'un degré avec un exposant rationnel conserve les propriétés de base des degrés qui sont vraies pour tout exposant.

Pour tout nombre rationnel r et s et tout positif a et b, les égalités sont vraies :

1 0 . un r un s =un r+s ;

EXEMPLE: *

20 . une r : une s = une r-s ;

EXEMPLE: :

3 0 . (une r ) s = une rs ;

EXEMPLE: ( -2/3

4 0 . ( un B) r = un r b r ; 5 0 . ( = .

EXEMPLE : (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EXEMPLE sur l'utilisation de plusieurs propriétés à la fois : * : .

Fizkultminutka.

Nous avons posé des stylos sur le bureau, redressé le dos, et maintenant nous tendons la main vers l'avant, nous voulons toucher le tableau. Et maintenant nous avons soulevé et penché à droite, à gauche, en avant, en arrière. Ils m'ont montré les stylos, et maintenant montrez-moi comment vos doigts peuvent danser.

Travail sur la matière

Notons deux autres propriétés des puissances à exposants rationnels :

60 . Laisser être r est un nombre rationnel et 0< a < b . Тогда

un r < b rà r> 0,

un r < b rà r< 0.

7 0 . Pour tout nombre rationnelr et s de l'inégalité r> s s'ensuit que

un r> un r pour a > 1,

un r < а rà 0< а < 1.

EXEMPLE : Comparer des nombres :

Et ; 2 300 et 3 200 .

Résumé de la leçon :

Aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes souvenus des propriétés d'un degré avec un exposant entier, avons appris la définition et les propriétés de base d'un degré avec un exposant rationnel, avons considéré l'application de ce matériel théorique en pratique pendant l'exercice. Je veux attirer votre attention sur le fait que le sujet "Diplôme avec un indicateur rationnel" est obligatoire dans UTILISER les devoirs. Lors de la préparation des devoirs N° 428 et N° 429

Une fois le degré du nombre déterminé, il est logique de parler de propriétés de degré. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base du degré d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous donnerons des preuves de toutes les propriétés du degré et montrerons également comment ces propriétés sont appliquées lors de la résolution d'exemples.

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Propriétés des degrés avec des indicateurs naturels

Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance de a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a . Sur la base de cette définition et en utilisant propriétés de multiplication de nombres réels, nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés de degré avec exposant naturel:

1. la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n , sa généralisation ;
2. la propriété des puissances partielles de mêmes bases a m:a n =a m−n ;
3. produit degré propriété (a b) n =a n b n , son extension ;
4. propriété quotient en nature (a:b) n =a n:b n ;
5. exponentiation (a m) n =a m n , sa généralisation (((une n 1) n 2) ...) n k = une n 1 n 2 ... n k;
6. comparant le degré à zéro :
   • si a>0 , alors a n >0 pour tout naturel n ;
   • si a=0 , alors a n =0 ;
   • si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть nombre impair 2 m−1 , puis un 2 m−1<0 ;
7. si a et b sont des nombres positifs et a
8. si m et n sont entiers, que m>n , alors pour 0 0 l'inégalité a m >a n est vraie.

On remarque immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique dans les conditions spécifiées, et leurs parties droite et gauche peuvent être interchangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m a n = a m + n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n = a m a n .

Voyons maintenant chacun d'eux en détail.

Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.

Démontrons la propriété principale du degré. Par la définition d'un degré avec un exposant naturel, le produit de puissances de mêmes bases de la forme a m a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de la multiplication, l'expression résultante peut être écrite comme , et ce produit est la puissance de a d'exposant naturel m+n , c'est-à-dire a m+n . Ceci achève la preuve.

Donnons un exemple qui confirme la propriété principale du degré. Prenons des degrés avec les mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, selon la propriété principale du degré, on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Vérifions sa validité, pour laquelle nous calculons les valeurs des expressions 2 2 ·2 3 et 2 5 . En effectuant l'exponentiation, on a 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 et 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 2 3 \u003d 2 5 est correcte, et elle confirme la propriété principale du degré.

La propriété principale d'un degré basée sur les propriétés de la multiplication peut être généralisée au produit de trois degrés ou plus avec les mêmes bases et exposants naturels. Donc pour tout nombre k de nombres naturels n 1 , n 2 , …, n k l'égalité une n 1 une n 2 une n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Par example, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Vous pouvez passer à la propriété suivante des degrés avec un indicateur naturel - la propriété des puissances partielles avec les mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n vérifiant la condition m>n , l'égalité a m:a n =a m−n est vraie.

Avant de donner la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans la formulation. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et quand on s'est familiarisé avec la division, on a convenu qu'il est impossible de diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un entier naturel, sinon ce sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n ) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m

Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité obtenue a m−n ·a n =a m et il en résulte que a m−n est un quotient des puissances de a m et a n . Ceci prouve la propriété des puissances partielles avec les mêmes bases.

Prenons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, la propriété considérée du degré correspond à l'égalité π 5 : π 2 = π 5−3 = π 3.

Considérez maintenant propriété de degré de produit: le degré naturel n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égal au produit des degrés a n et b n , c'est-à-dire (a b) n =a n b n .

En effet, par définition d'un degré à exposant naturel, on a . Le dernier produit, basé sur les propriétés de la multiplication, peut être réécrit comme , qui est égal à a n b n .

Voici un exemple : .

Cette propriété s'étend au degré du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de puissance naturelle n du produit de k facteurs s'écrit (une 1 une 2 ... une k) n = une 1 n une 2 n ... une k n.

Pour plus de clarté, nous montrons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons .

La propriété suivante est propriété naturelle: le quotient des nombres réels a et b , b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n , soit (a:b) n =a n:b n .

La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Alors (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et l'égalité (a:b) n b n =a n implique que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n .

Écrivons cette propriété en utilisant l'exemple de nombres spécifiques : .

Maintenant, parlons propriété d'exponentiation: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance de n est égale à la puissance de a d'exposant m·n , c'est-à-dire (a m) n =a m·n .

Par exemple, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

La preuve de la propriété puissance en un degré est la chaîne d'égalités suivante : .

La propriété considérée peut être étendue de degré à degré à degré, et ainsi de suite. Par exemple, pour tous les nombres naturels p, q, r et s, l'égalité . Pour plus de clarté, voici un exemple avec des numéros spécifiques : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel.

Nous commençons par prouver la propriété de comparaison de zéro et de puissance avec un exposant naturel.

Tout d'abord, justifions que a n >0 pour tout a>0 .

Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme il ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication nous permettent d'affirmer que le résultat de la multiplication de n'importe quel nombre de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance de a d'exposant naturel n est, par définition, le produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Ces arguments nous permettent d'affirmer que pour toute base positive a le degré de a n est un nombre positif. En vertu de la propriété prouvée 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 et .

Il est bien évident que pour tout n naturel avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0 .

Passons aux bases négatives.

Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le comme 2 m , où m est un nombre naturel. Puis . Pour chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, donc, est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif. et degré a 2 m . Voici des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .

Enfin, lorsque la base de a est un nombre négatif et que l'exposant est un nombre impair 2 m−1, alors . Tous les produits a·a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le nombre négatif restant a donne un nombre négatif. En raison de cette propriété (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passons à la propriété de comparer des degrés avec les mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux degrés avec les mêmes exposants naturels, n est plus petit que celui dont la base est plus petite, et plus que celui dont la base est plus grande. Prouvons-le.

Inégalité a n propriétés des inégalités l'inégalité étant prouvée de la forme a n (2,2) 7 et .

Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées des puissances à exposants naturels. Formulons-le. Des deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases positives inférieures à un, le degré est plus grand, dont l'indicateur est moindre; et de deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases supérieures à un, le degré dont l'indicateur est plus grand est plus grand. Passons à la preuve de cette propriété.

Montrons que pour m>n et 0 0 à cause de la condition initiale m>n , d'où il suit qu'à 0

Il reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1, a m >a n est vrai. La différence a m −a n après avoir pris a n entre parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré de a n est un nombre positif, et la différence a m−n−1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1, le degré de a m−n est supérieur à un . Donc, a m − a n >0 et a m >a n , ce qui devait être prouvé. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2 .

Propriétés des degrés avec des exposants entiers

Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels, listées et prouvées dans le paragraphe précédent.

Le degré avec un exposant entier négatif, ainsi que le degré avec un exposant nul, nous avons défini de telle manière que toutes les propriétés des degrés avec des exposants naturels exprimés par des égalités restent valables. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables à la fois pour les exposants nuls et pour les exposants négatifs, alors que, bien sûr, les bases des degrés sont non nulles.

Ainsi, pour tous les nombres réels et non nuls a et b, ainsi que pour tous les entiers m et n, les éléments suivants sont vrais propriétés des degrés avec des exposants entiers:

1. une m une n \u003d une m + n;
2. une m : une n = une m−n ;
3. (une b) n = une n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (une m) n = une m n ;
6. si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b-n ;
7. si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0 1 l'inégalité a m >a n est satisfaite.

Pour a=0, les puissances a m et a n n'ont de sens que lorsque m et n sont des entiers positifs, c'est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d'être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.

Il n'est pas difficile de prouver chacune de ces propriétés, il suffit pour cela d'utiliser les définitions du degré avec un exposant naturel et entier, ainsi que les propriétés des actions avec des nombres réels. À titre d'exemple, montrons que la propriété de puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et les entiers non positifs. Pour cela, il faut montrer que si p est nul ou un entier naturel et q est nul ou un entier naturel, alors les égalités (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) et (a−p)−q =a (−p) (−q). Faisons le.

Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q =a p·q a été prouvée dans la sous-section précédente. Si p=0 , alors on a (a 0) q =1 q =1 et a 0 q =a 0 =1 , d'où (a 0) q =a 0 q . De même, si q=0 , alors (a p) 0 =1 et a p 0 =a 0 =1 , d'où (a p) 0 =a p 0 . Si p=0 et q=0 , alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0 0 =a 0 =1 , d'où (a 0) 0 =a 0 0 .

Montrons maintenant que (a −p) q =a (−p) q . Par définition d'un degré avec un exposant entier négatif , alors . Par la propriété du quotient en degré, on a . Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression est, par définition, une puissance de la forme a −(p q) , qui, en vertu des règles de multiplication, peut s'écrire a (−p) q .

De la même manière .

Et .

Par le même principe, on peut démontrer toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.

Dans l'avant-dernière des propriétés écrites, il convient de s'attarder sur la preuve de l'inégalité a −n >b −n , qui est vraie pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a . Puisque par condition un 0 . Le produit a n ·b n est aussi positif que le produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme quotient de nombres positifs b n − a n et a n b n . D'où a −n >b −n , qu'il fallait prouver.

La dernière propriété des degrés à exposants entiers se démontre de la même manière que la propriété analogue des degrés à exposants naturels.

Propriétés des puissances avec des exposants rationnels

Nous avons défini le degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d'autres termes, les degrés avec des exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les degrés avec des exposants entiers. À savoir:

La preuve des propriétés des degrés à exposants fractionnaires repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire, sur et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons la preuve.

Par définition du degré avec un exposant fractionnaire et , alors . Les propriétés de la racine arithmétique nous permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété du degré avec un exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, on a , et l'exposant du degré obtenu peut être converti comme suit : . Ceci achève la preuve.

La seconde propriété des puissances à exposants fractionnaires se démontre exactement de la même manière :

Les autres égalités sont démontrées par des principes similaires :

Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Nous écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n , où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditions p<0 и p>0 dans ce cas sera équivalent aux conditions m<0 и m>0 respectivement. Pour m>0 et a

De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où , c'est-à-dire et a p >b p .

Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q , p>q pour 0 0 – inégalité a p >a q . Nous pouvons toujours réduire les nombres rationnels p et q à un dénominateur commun, prenons des fractions ordinaires et, où m 1 et m 2 sont des entiers, et n est un nombre naturel. Dans ce cas, la condition p>q correspondra à la condition m 1 >m 2, qui découle de . Puis, par la propriété de comparer des puissances de mêmes bases et d'exposants naturels en 0 1 – inégalité a m 1 >a m 2 . Ces inégalités en termes de propriétés des racines peuvent être réécrites, respectivement, comme et . Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, respectivement. Nous en tirons la conclusion finale : pour p>q et 0 0 – inégalité a p >a q .

Propriétés des degrés avec des exposants irrationnels

De la façon dont un degré avec un exposant irrationnel est défini, on peut conclure qu'il a toutes les propriétés des degrés avec des exposants rationnels. Donc pour tout a>0 , b>0 et nombres irrationnels p et q propriétés des degrés avec des exposants irrationnels:

1. une p une q = une p + q ;
2. une p:une q = une p−q ;
3. (une b) p = une p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (une p) q = une p q ;
6. pour tout nombre positif a et b , a 0 l'inégalité a p b p ;
7. pour les nombres irrationnels p et q , p>q en 0 0 – inégalité a p >a q .

De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec tous les exposants réels p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Manuel de mathématiques Zh pour 5 cellules. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre: un manuel pour 7 cellules. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre: manuel pour 8 cellules. les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre: un manuel de 9 cellules. les établissements d'enseignement.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques).

Degré avec exposant rationnel

Khasyanova T.G.,

professeur de mathématiques

Le matériel présenté sera utile aux enseignants de mathématiques lors de l'étude du sujet "Diplôme avec un indicateur rationnel".

Le but du matériel présenté: divulgation de mon expérience dans la conduite d'une leçon sur le thème "Diplôme avec un indicateur rationnel" programme de travail discipline "Mathématiques".

La méthodologie de la leçon correspond à son type - une leçon dans l'étude et la consolidation primaire de nouvelles connaissances. Les connaissances et compétences de base ont été mises à jour sur la base de l'expérience acquise antérieurement; mémorisation primaire, consolidation et application des nouvelles informations. La consolidation et l'application du nouveau matériel ont eu lieu sous la forme de résolution de problèmes de complexité variable que j'ai testés, donnant résultat positif maîtriser le sujet.

Au début de la leçon, j'ai fixé les objectifs suivants pour les élèves : éducation, développement, éducation. En classe, j'ai utilisé différentes manières activités : frontale, individuelle, hammam, indépendante, test. Les tâches étaient différenciées et permettaient d'identifier, à chaque étape de la leçon, le degré d'assimilation des connaissances. Le volume et la complexité des tâches correspondent à caractéristiques d'âgeétudiants. Selon mon expérience - devoirs, similaire aux problèmes résolus dans salle de cours permet de consolider en toute sécurité les connaissances et compétences acquises. À la fin de la leçon, une réflexion a été menée et le travail de chaque élève a été évalué.

Les objectifs ont été atteints. Les étudiants ont étudié le concept et les propriétés d'un diplôme avec un exposant rationnel, ont appris à utiliser ces propriétés pour résoudre des problèmes pratiques. Derrière travail indépendant les notes sont annoncées dans la leçon suivante.

Je crois que la méthodologie que j'utilise pour diriger des cours de mathématiques peut être appliquée par des professeurs de mathématiques.

Sujet de la leçon : Diplôme avec un indicateur rationnel

Le but de la leçon :

Identification du niveau de maîtrise par les étudiants d'un ensemble de connaissances et de compétences et, sur sa base, l'application de certaines solutions pour améliorer le processus éducatif.

Objectifs de la leçon:

Tutoriels : former de nouvelles connaissances parmi les étudiants sur les concepts de base, les règles, les lois pour déterminer le degré avec un indicateur rationnel, la capacité d'appliquer indépendamment les connaissances dans des conditions standard, dans des conditions modifiées et non standard;

développement: penser logiquement et mettre en œuvre Compétences créatives;

éducateurs : s'intéresser aux mathématiques, reconstituer le vocabulaire avec de nouveaux termes, acquérir Informations Complémentaires sur le monde qui l'entoure. Cultivez la patience, la persévérance, la capacité à surmonter les difficultés.

Organisation du temps

Actualisation des connaissances de base

Lors de la multiplication de puissances avec la même base, les exposants sont ajoutés et la base reste la même :

Par example,

2. Lors de la division de puissances avec les mêmes bases, les exposants sont soustraits et la base reste la même :

Par example,

3. Lorsque vous élevez un degré à une puissance, les exposants sont multipliés et la base reste la même :

Par example,

4. Le degré du produit est égal au produit des puissances des facteurs :

Par example,

5. Le degré du quotient est égal au quotient des puissances du dividende et du diviseur :

Par example,

Exercices de résolution

Trouver la valeur d'une expression :

Décision:

Dans ce cas, aucune des propriétés d'un degré avec un exposant naturel ne peut être appliquée explicitement, puisque tous les degrés ont motifs différents. Écrivons quelques degrés sous une forme différente :

(le degré du produit est égal au produit des degrés des facteurs);

(lorsque vous multipliez des puissances avec la même base, les exposants sont ajoutés et la base reste la même, lorsque vous élevez un degré à une puissance, les exposants sont multipliés, mais la base reste la même).

Alors on obtient :

À cet exemple les quatre premières propriétés du degré avec un exposant naturel ont été utilisées.

Racine carrée arithmétique
est un nombre non négatif dont le carré estun,
. À
- expression
pas défini, parce que il n'y a pas de nombre réel dont le carré est égal à un nombre négatifun.

Dictée mathématique(8-10 min.)

Option

II. Option

1. Trouver la valeur de l'expression

un)

b)

1. Trouver la valeur de l'expression

un)

b)

2. Calculer

un)

b)

À)

2. Calculer

un)

b)

dans)

Auto-test(sur le revers):

Matrice de réponse :

№ option/tâche

Tache 1

Tâche 2

Option 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

dans)

Option 2

a) 1,5

b)

un)

b)

à 4 heures

II. Formation de nouvelles connaissances

Considérez le sens de l'expression, où - nombre positif– nombre fractionnaire et m-entier, n-naturel (n>1)

Définition : degré du nombre a›0 avec exposant rationnelr = , m-entier, n- Naturel ( n›1) un numéro est appelé.

Alors:

Par example:

Remarques:

1. Pour tout a positif et tout r rationnel, le nombre positivement.

2. Quand
puissance rationnelle d'un nombreunnon défini.

Des expressions telles que
n'a pas de sens.

3.Si nombre positif fractionnaire
.

Si un fractionnaire nombre négatif, alors -n'a pas de sens.

Par example: - n'a pas de sens.

Considérez les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel.

Soit a>0, в>0 ; r, s - n'importe lequel nombres rationnels. Alors un degré avec n'importe quel exposant rationnel a les propriétés suivantes :

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidation. Formation de nouvelles compétences et capacités.

Les cartes à tâches fonctionnent en petits groupes sous forme de test.

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