Une brève histoire de Pi. Quel est le nombre "Pi", ou comment les mathématiciens jurent

Un des plus nombres mystérieux, connu de l'humanité, bien sûr, est le nombre Π (lire - pi). En algèbre, ce nombre reflète le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Auparavant, cette quantité s'appelait le nombre de Ludolf. Comment et d'où vient le nombre Pi n'est pas connu avec certitude, mais les mathématiciens divisent toute l'histoire du nombre Π en 3 étapes, dans l'ancien, le classique et l'ère des ordinateurs numériques.

Le nombre P est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être représenté comme une simple fraction, où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Par conséquent, un tel nombre n'a pas de fin et est périodique. Pour la première fois, l'irrationalité de P a été prouvée par I. Lambert en 1761.

En plus de cette propriété, le nombre P ne peut également être la racine d'aucun polynôme, et est donc une propriété de nombre, lorsqu'il a été prouvé en 1882, il a mis fin à la dispute presque sacrée des mathématiciens "sur la quadrature du cercle ”, qui a duré 2 500 ans.

On sait que le premier à introduire la désignation de ce nombre fut le Britannique Jones en 1706. Après la parution des travaux d'Euler, l'utilisation d'une telle désignation est devenue généralement acceptée.

Pour comprendre en détail ce qu'est Pi, il faut dire que son utilisation est si répandue qu'il est même difficile de nommer un domaine scientifique dans lequel on s'en passerait. L'un des plus simples et des plus familiers programme scolaire valeurs est la désignation de la période géométrique. Le rapport de la longueur d'un cercle à la longueur de son diamètre est constant et égal à 3, 14. Cette valeur était connue même des mathématiciens les plus anciens en Inde, en Grèce, à Babylone, en Égypte. La première version du calcul du ratio remonte à 1900 av. e. Plus près de sens contemporain P a été calculé par le scientifique chinois Liu Hui, en plus, il a inventé et manière rapide un tel calcul. Sa valeur est restée généralement acceptée pendant près de 900 ans.

La période classique du développement des mathématiques a été marquée par le fait que pour établir exactement ce qu'est le nombre Pi, les scientifiques ont commencé à utiliser des méthodes analyse mathematique. Dans les années 1400, le mathématicien indien Madhava a utilisé la théorie des séries pour calculer et déterminer la période du nombre P avec une précision de 11 chiffres après la virgule. Le premier Européen, après Archimède, qui a enquêté sur le nombre P et a contribué de manière significative à sa justification, était le Néerlandais Ludolf van Zeulen, qui a déjà déterminé 15 chiffres après la virgule et a écrit des mots très amusants dans son testament : ".. . celui qui est intéressé - qu'il aille plus loin." C'est en l'honneur de ce scientifique que le nombre P a reçu son premier et unique nom nominal dans l'histoire.

L'ère de l'informatique a apporté de nouveaux détails à la compréhension de l'essence du nombre P. Ainsi, afin de découvrir ce qu'est le nombre Pi, en 1949, l'ordinateur ENIAC a été utilisé pour la première fois, dont l'un des développeurs était le futur "père" de la théorie des ordinateurs modernes J. La première mesure a été effectuée pendant 70 heures et a donné 2037 chiffres après la virgule dans la période du nombre P. La barre du million de caractères a été atteinte en 1973 . De plus, pendant cette période, d'autres formules ont été établies qui reflètent le nombre P. Ainsi, les frères Chudnovsky ont pu en trouver une qui permettait de calculer 1 011 196 691 chiffres de la période.

De manière générale, il convient de noter que pour répondre à la question: "Quel est le nombre Pi?", De nombreuses études ont commencé à ressembler à des concours. Aujourd'hui, les supercalculateurs se posent déjà la question de savoir ce qu'il est réellement, le nombre Pi. Faits intéressants associés à ces études imprègnent presque toute l'histoire des mathématiques.

Aujourd'hui, par exemple, des championnats du monde de mémorisation du nombre P sont organisés et des records du monde sont établis, ce dernier appartient au Chinois Liu Chao, qui a nommé 67 890 caractères en un peu plus d'une journée. Dans le monde, il y a même une fête du nombre P, qui est célébrée comme "Pi Day".

En 2011, 10 billions de chiffres de la période numérique ont déjà été établis.

Depuis que les gens ont la capacité de compter et ont commencé à explorer les propriétés d'objets abstraits appelés nombres, des générations d'esprits curieux ont fait des découvertes fascinantes. Au fur et à mesure que notre connaissance des nombres augmentait, certains d'entre eux ont attiré Attention particulière, et certains ont même reçu des significations mystiques. Était, qui ne représente rien et qui, multiplié par un nombre quelconque, se donne. Il y avait, au commencement de tout, possédant aussi des propriétés rares, les nombres premiers. Ensuite, ils ont découvert qu'il existe des nombres qui ne sont pas des nombres entiers et qui sont parfois obtenus en divisant deux nombres entiers - des nombres rationnels. Nombres irrationnels, qui ne peut pas être obtenu comme un rapport d'entiers, et ainsi de suite. Mais s'il est un nombre qui a fasciné et provoqué l'écriture d'une masse d'ouvrages, c'est bien (pi). Un nombre qui malgré longue histoire, ne s'appelait pas comme nous l'appelons aujourd'hui, jusqu'au XVIIIe siècle.

Démarrer

Le nombre pi s'obtient en divisant la circonférence d'un cercle par son diamètre. Dans ce cas, la taille du cercle n'est pas importante. Grand ou petit, le rapport longueur/diamètre est le même. Bien qu'il soit probable que cette propriété était connue plus tôt, la première preuve de cette connaissance est le papyrus mathématique de Moscou de 1850 av. et le papyrus d'Ahmès, 1650 av. (bien qu'il s'agisse d'une copie d'un document plus ancien). Il a un grand nombre de problèmes mathématiques, dans certains desquels il se rapproche de , qui est légèrement différent de plus de 0,6% de la valeur exacte. Vers la même époque, les Babyloniens se considéraient comme égaux. DANS L'Ancien Testament, écrit plus de dix siècles plus tard, Yahweh ne complique pas la vie et établit par décret divin qu'il est exactement égal à .

Cependant, les grands explorateurs de ce nombre étaient les anciens Grecs tels qu'Anaxagore, Hippocrate de Chios et Antiphon d'Athènes. Auparavant, la valeur était déterminée, presque certainement, en utilisant mesures expérimentales. Archimède a été le premier à comprendre comment évaluer théoriquement sa signification. L'utilisation des polygones circonscrits et inscrits (le plus grand est circonscrit près du cercle dans lequel s'inscrit le plus petit) a permis de déterminer ce qui est plus grand et plus petit que . Avec l'aide de la méthode d'Archimède, d'autres mathématiciens ont obtenu de meilleures approximations, et déjà en 480, Zu Chongzhi a déterminé que les valeurs sont comprises entre et . Néanmoins, la méthode du polygone demande beaucoup de calculs (rappelons que tout a été fait manuellement et non en système moderne compte), il n'avait donc pas d'avenir.

Représentation

Il a fallu attendre le 17ème siècle, quand avec la découverte des séries infinies, une révolution dans le calcul a eu lieu, bien que le premier résultat n'était pas proche, c'était un produit. Les séries infinies sont les sommes d'un nombre infini de termes qui forment une certaine séquence (par exemple, tous les nombres de la forme où prend des valeurs de à l'infini). Dans de nombreux cas, la somme est finie et peut être trouvée diverses méthodes. Il s'avère que certaines de ces séries convergent vers ou une quantité liée à . Pour que la série converge, il est nécessaire (mais pas suffisant) que les quantités sommables tendent vers zéro avec la croissance. Alors que plus de chiffres nous ajoutons, plus précisément nous obtenons la valeur de . Nous avons maintenant deux possibilités pour obtenir une valeur plus précise. Ajoutez plus de nombres ou trouvez une autre série qui converge plus rapidement afin d'ajouter moins de nombres.

Grâce à cette nouvelle approche, la précision du calcul augmenta considérablement et, en 1873, William Shanks publia le résultat de nombreuses années de travail, donnant une valeur avec 707 décimales. Heureusement, il n'a pas vécu assez longtemps pour voir 1945, quand on a découvert qu'il avait fait une erreur et que tous les chiffres, commençant par , étaient faux. Cependant, son approche était la plus précise avant l'avènement des ordinateurs. C'était l'avant-dernière révolution de l'informatique. Opérations mathématiques, dont l'exécution manuelle prendrait quelques minutes, sont désormais réalisées en une fraction de seconde, pratiquement sans erreur. John Wrench et L. R. Smith ont réussi à calculer 2000 chiffres en 70 heures sur le premier ordinateur électronique. La barrière du million de chiffres a été franchie en 1973.

Dernière sur ce moment) avance en informatique - la découverte d'algorithmes itératifs qui convergent vers des séries plus rapides qu'infinies, de sorte qu'une précision beaucoup plus élevée peut être obtenue pour la même puissance de calcul. Le record actuel est d'un peu plus de 10 000 milliards de chiffres corrects. Pourquoi calculer si précisément ? Considérant que, connaissant les 39 chiffres de ce nombre, il est possible de calculer le volume de l'Univers connu avec une précision d'un atome, il n'y a pas de raison... pour le moment.

Quelques faits intéressants

Cependant, le calcul d'une valeur n'est qu'une petite partie de son histoire. Ce nombre a les propriétés qui rendent cette constante si curieuse.

Peut-être le plus gros problème, associé à , est le problème bien connu de la quadrature d'un cercle, le problème de la construction, à l'aide d'un compas et d'une règle, d'un carré dont l'aire est égale à l'aire du cercle donné. La quadrature d'un cercle a tourmenté des générations de mathématiciens pendant vingt-quatre siècles, jusqu'à ce que von Lindemann prouve que c'est un nombre transcendantal (ce n'est une solution à aucune équation polynomiale à coefficients rationnels) et, par conséquent, il est impossible de saisir l'immensité. Jusqu'en 1761, il n'a pas été prouvé que le nombre est irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'y a pas deux nombres naturels et tel que . La transcendance n'a été prouvée qu'en 1882, mais on ne sait pas encore si les nombres ou ( est un autre nombre transcendantal irrationnel) sont irrationnels. De nombreuses relations apparaissent qui ne sont pas liées aux cercles. Cela fait partie du coefficient de normalisation de la fonction normale, apparemment la plus utilisée en statistique. Comme mentionné précédemment, le nombre apparaît comme la somme de plusieurs séries et est égal à des produits infinis, il est également important dans l'étude des nombres complexes. En physique, on peut la trouver (selon le système d'unités utilisé) dans la constante cosmologique (la plus grande erreur d'Albert Einstein) ou la constante constante champ magnétique. Dans un système numérique avec n'importe quelle base (décimal, binaire...), les chiffres passent tous les tests d'aléatoire, il n'y a pas d'ordre ni de séquence apparents. La fonction zêta de Riemann relie étroitement les nombres aux nombres premiers. Ce nombre a une longue histoire et réserve probablement encore de nombreuses surprises.

L'histoire du nombre "pi"

L'histoire du nombre p, qui exprime le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, commence dans l'Égypte ancienne. Aire du diamètre du cercle ré Les mathématiciens égyptiens définissent comme (j-j/9) 2(cette entrée est donnée ici dans symboles modernes). De l'expression ci-dessus, nous pouvons conclure qu'à ce moment-là, le nombre p était considéré égal à une fraction (16/9) 2 , ou 256/81 , c'est à dire. p= 3,160...
Dans le livre sacré du jaïnisme (l'un des religions anciennes qui existait en Inde et naquit au VIe siècle. BC) il y a une indication d'où il résulte que le nombre p à ce moment a été pris égal, ce qui donne une fraction 3,162...
Grecs anciens Eudoxe, Hippocrate et d'autres mesures du cercle ont été réduites à la construction d'un segment, et la mesure du cercle - à la construction d'un carré égal. Il convient de noter que pendant de nombreux siècles, des mathématiciens de différents pays et peuples ont tenté d'exprimer le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre par un nombre rationnel.

Archimède au 3ème siècle AVANT JC. étayé dans son court ouvrage "Mesure du cercle" trois positions :

Chaque cercle est égal triangle rectangle, dont les jambes sont respectivement égales à la circonférence et à son rayon ;

Les aires d'un cercle sont liées à un carré construit sur un diamètre, comme 11 à 14;

Le rapport d'un cercle à son diamètre est inférieur à 3 1/7 et plus 3 10/71 .

La dernière phrase Archimède justifiée par le calcul successif des périmètres de polygones réguliers inscrits et circonscrits en doublant le nombre de leurs côtés. Il doubla d'abord le nombre de côtés des hexagones réguliers inscrits et inscrits, puis des dodécagones, etc., ramenant les calculs aux périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits à 96 côtés. Selon des calculs précis Archimède le rapport de la circonférence au diamètre est entre les nombres 3*10/71 Et 3*1/7 , ce qui signifie que p = 3,1419... Le vrai sens de cette relation 3,1415922653...
Au Ve siècle AVANT JC. mathématicien chinois Zu Chongzhi une valeur plus précise de ce nombre a été trouvée : 3,1415927...
Dans la première moitié du XVe siècle. observatoires Oulougbek, près Samarcande, astronome et mathématicien al-Kashi calculé p avec 16 décimales. Il a fait 27 doublements du nombre de côtés des polygones et est venu avec un polygone avec 3*2 28 angles. Al-Kashi fait des calculs uniques qui ont été nécessaires pour compiler une table de sinus avec un pas de 1" . Ces tables ont joué un rôle important en astronomie.
Un demi-siècle plus tard en Europe F. Viet trouvé un nombre p avec seulement 9 décimales correctes en faisant 16 doublements du nombre de côtés des polygones. Mais en même temps F. Viet a été le premier à remarquer que p peut être trouvé en utilisant les limites de certaines séries. Cette découverte avait grande importance, puisqu'il nous a permis de calculer p avec n'importe quelle précision. Seulement 250 ans plus tard al-Kashi son résultat a été dépassé.
Le premier à introduire la notation du rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre avec le symbole moderne p était un mathématicien anglais W.Johnson en 1706. Comme symbole, il prit la première lettre mot grec "périphérie", ce qui signifie en traduction "cercle". Introduit W.Johnson l'appellation est devenue courante après la publication d'ouvrages L. Euler, qui a utilisé le caractère saisi pour la première fois dans 1736 G.
A la fin du XVIIIème siècle. AM Lazhandre basé sur des travaux IG Lambert prouvé que le nombre p est irrationnel. Puis le mathématicien allemand F. Lindeman basé sur la recherche Sh. Ermita, ont trouvé une preuve rigoureuse que ce nombre est non seulement irrationnel, mais aussi transcendantal, c'est-à-dire ne peut pas être une racine équation algébrique. Il résulte de ce dernier que, en n'utilisant qu'un compas et une règle, construisez un segment de longueur égale à un cercle, impossible, et donc il n'y a pas de solution au problème de la quadrature du cercle.
La recherche de l'expression exacte de p s'est poursuivie même après les travaux F. Vieta. Au début du XVIIe siècle. Mathématicien néerlandais de Cologne Ludolf van Zeulen(1540-1610) (certains historiens l'appellent L. van Keulen) trouvé 32 signes corrects. Depuis lors (année de publication 1615), la valeur du nombre p avec 32 décimales est appelée le nombre Ludolf.
POUR fin XIX c., après 20 ans de dur labeur, un Anglais William Shank trouvé 707 chiffres du nombre p. Cependant, en 1945, il a été découvert à l'aide d'un ordinateur qui Jarrets dans ses calculs, il a fait une erreur dans le 520e signe et ses calculs ultérieurs se sont avérés incorrects.
Après le développement des méthodes de calcul différentiel et intégral, de nombreuses formules contenant le nombre "pi" ont été trouvées. Certaines de ces formules vous permettent de calculer "pi" autrement que par la méthode Archimède et plus rationnel. Par exemple, le nombre "pi" peut être atteint en cherchant les bornes de certaines séries. Alors, G.Leibniz(1646-1716) reçut en 1674 un numéro

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

ce qui permettait de calculer p de manière plus courte que Archimède. Néanmoins, cette série converge très lentement et nécessite donc des calculs assez longs. Pour calculer "pi", il est plus pratique d'utiliser la série obtenue à partir de l'expansion arctg X avec la valeur X=1/ , pour lequel le développement de la fonction arctan 1/=p /6 dans une série donne l'égalité

p /6 = 1/,
celles.
p= 2

En partie, les sommes de cette série peuvent être calculées par la formule

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

tandis que "pi" sera limité par une double inégalité :

Une formule encore plus pratique pour calculer p a obtenu J. Machin. A l'aide de cette formule, il a calculé p(en 1706) avec une précision de 100 caractères corrects. Une bonne approximation de "pi" est donnée par

Cependant, il convient de rappeler que cette égalité doit être considérée comme approximative, car le côté droit de celui-ci est un nombre algébrique et le côté gauche est un nombre transcendantal, par conséquent, ces nombres ne peuvent pas être égaux.
Comme indiqué dans leurs articles E.Ya.Bakhmutskaya(années 60 du XXe siècle), retour aux XVe-XVIe siècles. Des scientifiques du sud de l'Inde, dont Nilakanta, en utilisant les méthodes de calculs approximatifs du nombre p , a trouvé un moyen d'étendre arctg X en une série de puissance similaire à la série trouvée Leibniz. Les mathématiciens indiens ont donné une formulation verbale des règles de développement en série sinus Et cosinus. Ils ont ainsi anticipé la découverte des mathématiciens européens du XVIIe siècle. Néanmoins, leur travail informatique isolé et limité par des besoins pratiques n'a aucun effet sur la poursuite du développement la science n'a pas été fournie.
A notre époque, le travail des calculatrices a été remplacé par celui des ordinateurs. Avec leur aide, le nombre "pi" a été calculé avec une précision de plus d'un million de décimales, et ces calculs n'ont duré que quelques heures.
En mathématiques modernes, le nombre p n'est pas seulement le rapport de la circonférence au diamètre, il est inclus dans un grand nombre de formules différentes, y compris les formules de la géométrie non euclidienne, et la formule L. Euler, qui établit un lien entre le nombre p et le nombre e de la manière suivante :

e 2 p je = 1 , où je = .

Cette interdépendance et d'autres ont permis aux mathématiciens de mieux comprendre la nature du nombre p.

Le 14 mars, une fête très inhabituelle est célébrée dans le monde entier - Pi Day. Tout le monde le sait depuis l'école. On explique immédiatement aux élèves que le nombre Pi est une constante mathématique, le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, qui a une valeur infinie. Il s'avère que beaucoup de faits intéressants sont liés à ce nombre.

1. L'histoire des nombres a plus d'un millénaire, presque aussi longtemps que la science des mathématiques existe. Certainement, valeur exacte les chiffres n'ont pas été calculés immédiatement. Au début, le rapport de la circonférence au diamètre était considéré comme égal à 3. Mais au fil du temps, lorsque l'architecture a commencé à se développer, il a fallu plus mesure précise. Soit dit en passant, le numéro existait, mais il n'a reçu une désignation de lettre qu'au début du XVIIIe siècle (1706) et provient des lettres initiales de deux mots grecs signifiant «circonférence» et «périmètre». La mathématicienne Jones a doté le nombre de la lettre "π", et elle est entrée fermement en mathématiques dès 1737.

2. Dans différentes époques et à différents peuples pi a signification différente. Par exemple, dans l'Égypte ancienne, il était de 3,1604, chez les hindous, il a acquis la valeur de 3,162, les Chinois ont utilisé le nombre égal à 3,1459. Au fil du temps, π a été calculé de plus en plus précisément, et lorsqu'il est apparu Ingénierie informatique, c'est-à-dire un ordinateur, il a commencé à avoir plus de 4 milliards de caractères.

3. Il existe une légende, plus précisément, les experts pensent que le nombre Pi a été utilisé dans la construction de la Tour de Babel. Cependant, ce n'est pas la colère de Dieu qui a causé son effondrement, mais des calculs incorrects lors de la construction. Comme, les anciens maîtres se sont trompés. Une version similaire existe concernant le temple de Salomon.

4. Il convient de noter qu'ils ont essayé d'introduire la valeur de Pi même au niveau de l'État, c'est-à-dire par le biais de la loi. En 1897, un projet de loi a été rédigé dans l'État de l'Indiana. Selon le document, Pi était de 3,2. Cependant, les scientifiques sont intervenus à temps et ont ainsi évité une erreur. En particulier, le professeur Purdue, qui était présent à l'Assemblée législative, s'est prononcé contre le projet de loi.

5. Il est intéressant de noter que plusieurs nombres de la suite infinie Pi ont leur propre nom. Ainsi, six neuf de Pi portent le nom d'un physicien américain. Une fois, Richard Feynman donnait une conférence et a stupéfié le public avec une remarque. Il a dit qu'il voulait apprendre les chiffres de pi jusqu'à six neuf par cœur, seulement pour dire "neuf" six fois à la fin de l'histoire, laissant entendre que sa signification était rationnelle. Alors qu'en fait c'est irrationnel.

6. Les mathématiciens du monde entier n'arrêtent pas de faire des recherches sur le nombre Pi. Il est littéralement entouré de mystère. Certains théoriciens croient même qu'il contient une vérité universelle. Afin de partager des connaissances et de nouvelles informations sur Pi, ils ont organisé le Pi Club. Y entrer n'est pas facile, il faut avoir une mémoire exceptionnelle. Ainsi, ceux qui souhaitent devenir membre du club sont examinés: une personne doit dire autant de signes du nombre Pi de mémoire que possible.

7. Ils ont même proposé diverses techniques pour se souvenir du nombre Pi après la virgule. Par exemple, ils proposent des textes entiers. En eux, les mots ont le même nombre de lettres que le chiffre correspondant après la virgule décimale. Pour simplifier encore la mémorisation d'un nombre aussi long, ils composent des vers selon le même principe. Les membres du Pi Club s'amusent souvent de cette façon, et en même temps entraînent leur mémoire et leur ingéniosité. Par exemple, Mike Keith avait un tel passe-temps, qui il y a dix-huit ans a inventé une histoire dans laquelle chaque mot était égal à près de quatre mille (3834) premiers chiffres de pi.

8. Il y a même des gens qui ont établi des records de mémorisation des signes Pi. Ainsi, au Japon, Akira Haraguchi a mémorisé plus de quatre-vingt-trois mille caractères. Mais le record national n'est pas si exceptionnel. Un habitant de Tcheliabinsk n'a pu mémoriser que deux mille cinq cents chiffres après la virgule décimale de Pi.

"Pi" en perspective

9. Le Pi Day est célébré depuis plus d'un quart de siècle, depuis 1988. Une fois, un physicien du Popular Science Museum de San Francisco, Larry Shaw, a remarqué que le 14 mars était orthographié de la même manière que pi. Dans une date, le mois et le jour forment 3.14.

10. Le Pi Day est célébré non seulement de manière originale, mais aussi de manière ludique. Bien sûr, les scientifiques impliqués dans les sciences exactes ne le manquent pas. Pour eux, c'est une façon de ne pas rompre avec ce qu'ils aiment, mais en même temps de se détendre. Ce jour-là, les gens se rassemblent et cuisinent différentes friandises à l'effigie de Pi. Surtout, il y a un endroit où les pâtissiers peuvent se promener. Ils peuvent faire des gâteaux pi et des biscuits forme similaire. Après avoir goûté aux friandises, les mathématiciens organisent divers quiz.

11. Il y a une coïncidence intéressante. Le 14 mars est né le grand scientifique Albert Einstein, qui, comme vous le savez, a créé la théorie de la relativité. Quoi qu'il en soit, les physiciens peuvent également participer à la célébration du Pi Day.

Pi- une constante mathématique égale au rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Le nombre pi est, dont la représentation numérique est une fraction décimale non périodique infinie - 3,141592653589793238462643 ... et ainsi de suite à l'infini.

100 décimales : 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 347211.

L'histoire du raffinement de la valeur de pi

Dans chaque livre sur les mathématiques divertissantes, vous trouverez certainement une histoire de raffinement de la valeur de pi. Au début, dans la Chine ancienne, l'Égypte, Babylone et la Grèce, les fractions étaient utilisées pour les calculs, par exemple 22/7 ou 49/16. Au Moyen Âge et à la Renaissance, les mathématiciens européens, indiens et arabes ont affiné la valeur de pi à 40 chiffres après la virgule décimale, et au début de l'ère informatique, le nombre de chiffres a été porté à 500 grâce aux efforts de nombreux passionnés. .

Une telle précision est d'un intérêt purement académique (plus de détails ci-dessous), et pour les besoins pratiques sur Terre, 10 décimales suffisent. Avec un rayon de la Terre de 6400 km ou 6,4 10 9 mm, il s'avère qu'après avoir écarté le douzième chiffre de pi après la virgule décimale, on se trompera de plusieurs millimètres lors du calcul de la longueur du méridien. Et lors du calcul de la longueur de l'orbite de la Terre autour du Soleil (son rayon est de 150 millions de km = 1,5 10 14 mm), pour la même précision, il suffit d'utiliser le nombre pi avec quatorze décimales. La distance moyenne du Soleil à Pluton, la planète la plus éloignée système solaire- 40 fois la distance moyenne de la Terre au Soleil. Pour calculer la longueur de l'orbite de Pluton avec une erreur de quelques millimètres, seize chiffres de pi suffisent. Oui, il n'y a rien à dire, le diamètre de notre Galaxie est d'environ 100 000 années-lumière (1 année-lumière est approximativement égale à 10 13 km) ou 10 19 mm, et pourtant au 17ème siècle 35 signes pi ont été obtenus, redondants même pour de telles distances.

Quelle est la difficulté de calculer la valeur de pi ? Le fait est qu'il n'est pas seulement irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction p / q, où p et q sont des nombres entiers. De tels nombres ne peuvent pas être écrits exactement, ils ne peuvent être calculés que par la méthode des approximations successives, en augmentant le nombre d'étapes pour obtenir une plus grande précision. Le plus simple est de considérer des polygones réguliers inscrits dans un cercle avec un nombre croissant de côtés et de calculer le rapport du périmètre du polygone à son diamètre. Lorsque le nombre de côtés augmente, ce rapport tend vers pi. C'est ainsi qu'en 1593, Adrian van Romen calcule le périmètre d'un polygone régulier inscrit de 1073741824 (soit 2 30) côtés et détermine 15 signes de pi. En 1596, Ludolf van Zeulen obtient 20 signes en calculant un polygone inscrit de 60 x 2 33 côtés. Par la suite, il a porté les calculs à 35 caractères.

Une autre façon de calculer pi consiste à utiliser des formules avec un nombre infini de termes. Par exemple:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) + (1/9 - 1/11) + ...

Des formules similaires peuvent être obtenues en développant, par exemple, l'arc tangente dans une série de Maclaurin, sachant que

arctg(1) = π/4(car tg(45°) = 1)

ou en développant l'arc sinus dans une série, sachant que

arcsin(1/2) = π/6(jambe couchée contre un angle de 30°).

Dans les calculs modernes, encore plus méthodes efficaces. Avec leur aide aujourd'hui.

jour pi

Le jour du nombre pi est célébré par certains mathématiciens le 14 mars à 1h59 (dans le système de date américain - 3/14 ; les premiers chiffres du nombre π = 3,14159). Elle est généralement célébrée à 13h59 (dans le système de 12 heures), mais ceux qui adhèrent au système de lumière du temps de 24 heures considèrent qu'il est 13h59 et préfèrent célébrer la nuit. A cette époque, ils lisent des éloges en l'honneur du nombre pi, son rôle dans la vie de l'humanité, dessinent des images dystopiques du monde sans pi, mangent de la tarte ( tarte), buvez des boissons et jouez à des jeux qui commencent par "pi".

• Pi (nombre) — Wikipédia

Avant de parler de histoire de pi , on constate que le nombre Pi est l'une des quantités les plus mystérieuses en mathématiques. Vous allez maintenant voir par vous-même, mon cher lecteur...

Commençons notre histoire par une définition. Donc le nombre Pi est nombre abstrait , désignant le rapport de la circonférence d'un cercle à la longueur de son diamètre. Cette définition nous est familière depuis le banc de l'école. Mais c'est là que les mystères commencent...

Il est impossible de calculer cette valeur jusqu'au bout, elle est égale à 3,1415926535 , puis après la virgule décimale - à l'infini. Les scientifiques pensent que la séquence de nombres ne se répète pas, et cette séquence est absolument aléatoire...

Devinette Piça ne s'arrête pas là. Les astronomes sont convaincus que trente-neuf décimales dans ce nombre suffisent pour calculer la circonférence qui entoure les objets spatiaux connus dans l'Univers, avec une erreur dans le rayon d'un atome d'hydrogène ...

irrationnellement , c'est à dire. il ne peut pas être exprimé en fraction. Cette valeur transcendant - c'est à dire. il ne peut pas être obtenu en effectuant des opérations sur des nombres entiers….

Le nombre Pi est étroitement lié au concept du nombre d'or. Les archéologues ont découvert que la hauteur de la Grande Pyramide de Gizeh est liée à la longueur de sa base, tout comme le rayon d'un cercle est lié à sa longueur...

L'histoire du nombre P reste aussi un mystère. On sait que même les constructeurs ont utilisé cette valeur pour la conception. Conservé, vieux de plusieurs milliers d'années, qui contenait des problèmes dont la solution impliquait l'utilisation du nombre Pi. Cependant, l'opinion sur la valeur exacte de cette quantité parmi les scientifiques différents paysétait ambigu. Ainsi, dans la ville de Suse, située à deux cents kilomètres de Babylone, une tablette a été trouvée où le nombre Pi était indiqué comme 3¹/8 . Dans l'ancienne Babylone, on a découvert que le rayon d'un cercle lorsqu'une corde y pénètre six fois, c'est là qu'il a été proposé pour la première fois de diviser un cercle en 360 degrés. Notons, en passant, qu'une action géométrique similaire s'est produite avec l'orbite du Soleil, ce qui a conduit les anciens scientifiques à l'idée qu'il devrait y avoir environ 360 jours dans une année. Or, en Egypte, le nombre pi était égal à 3,16 , et en Inde ancienne – 3, 088 , dans l'Italie antique - 3,125 . pense que cette valeur est égale à la fraction 22/7 .

Pi a été calculé avec la plus grande précision par un astronome chinois. Zu Chun Zhi au 5ème siècle après JC. Pour cela, il a écrit deux fois nombres impairs 11 33 55, puis il les a divisés en deux, a mis la première partie au dénominateur de la fraction et la seconde partie au numérateur, obtenant ainsi une fraction 355/113 . Étonnamment, la signification coïncide avec les calculs modernes jusqu'au septième chiffre ...

Qui a donné le premier nom officiel cette valeur ?

On pense que en 1647 mathématicien Outtrade nommé lettre grecqueπ circonférence, en prenant pour cela la première lettre du mot grec περιφέρεια - "périphérie" . Mais en 1706 le travail est sorti professeur d'anglais Guillaume Jones "Revue des réalisations des mathématiques", dans laquelle il désignait déjà par la lettre Pi le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Enfin, ce symbole a été corrigé au 20ème siècle mathématicien Léonhard Euler .

Depuis que les gens ont la capacité de compter et ont commencé à explorer les propriétés d'objets abstraits appelés nombres, des générations d'esprits curieux ont fait des découvertes fascinantes. Au fur et à mesure que notre connaissance des nombres s'est accrue, certains d'entre eux ont attiré une attention particulière, et certains ont même reçu des significations mystiques. Était, qui ne veut rien dire, et qui, multiplié par un nombre quelconque, se donne. Il y avait, au commencement de tout, possédant aussi des propriétés rares, les nombres premiers. Ensuite, ils ont découvert qu'il existe des nombres qui ne sont pas des nombres entiers et qui sont parfois obtenus en divisant deux nombres entiers - des nombres rationnels. Nombres irrationnels qui ne peuvent pas être obtenus sous forme de rapport d'entiers, etc. Mais s'il est un nombre qui a fasciné et provoqué l'écriture d'une masse d'ouvrages, c'est bien (pi). Un numéro qui, malgré sa longue histoire, ne s'appelait comme on l'appelle aujourd'hui qu'au XVIIIe siècle.

Démarrer

Le nombre pi s'obtient en divisant la circonférence d'un cercle par son diamètre. Dans ce cas, la taille du cercle n'est pas importante. Grand ou petit, le rapport longueur/diamètre est le même. Bien qu'il soit probable que cette propriété était connue plus tôt, la première preuve de cette connaissance est le papyrus mathématique de Moscou de 1850 av. et le papyrus d'Ahmès, 1650 av. (bien qu'il s'agisse d'une copie d'un document plus ancien). Il comporte un grand nombre de problèmes mathématiques, dont certains se rapprochent de as, soit un peu plus de 0,6 % de la valeur exacte. Vers la même époque, les Babyloniens se considéraient comme égaux. Dans l'Ancien Testament, écrit plus de dix siècles plus tard, Yahweh ne complique pas la vie et établit par décret divin ce qui est exactement égal.

Cependant, les grands explorateurs de ce nombre étaient les anciens Grecs tels qu'Anaxagore, Hippocrate de Chios et Antiphon d'Athènes. Auparavant, la valeur était déterminée, presque certainement, à l'aide de mesures expérimentales. Archimède a été le premier à comprendre comment évaluer théoriquement sa signification. L'utilisation des polygones circonscrits et inscrits (le plus grand est circonscrit près du cercle dans lequel s'inscrit le plus petit) a permis de déterminer ce qui est plus grand et plus petit. Avec l'aide de la méthode d'Archimède, d'autres mathématiciens ont obtenu de meilleures approximations, et déjà en 480, Zu Chongzhi a déterminé que les valeurs se situent entre et. Cependant, la méthode du polygone nécessite beaucoup de calculs (rappelons que tout était fait à la main et non dans le système numérique moderne), elle n'avait donc pas d'avenir.

Représentation

Il a fallu attendre le 17ème siècle, quand avec la découverte de la série infinie une révolution dans le calcul a eu lieu, bien que le premier résultat n'était pas proche, c'était un produit. Les séries infinies sont les sommes d'un nombre infini de termes qui forment une certaine séquence (par exemple, tous les nombres de la forme où il prend des valeurs de à l'infini). Dans de nombreux cas, la somme est finie et peut être trouvée par diverses méthodes. Il s'avère que certaines de ces séries convergent vers ou vers une quantité liée à. Pour que la série converge, il est nécessaire (mais pas suffisant) que les quantités sommables tendent vers zéro avec la croissance. Ainsi, plus nous ajoutons de nombres, plus nous obtenons la valeur avec précision. Nous avons maintenant deux possibilités pour obtenir une valeur plus précise. Ajoutez plus de nombres ou trouvez une autre série qui converge plus rapidement afin d'ajouter moins de nombres.

Grâce à cette nouvelle approche, la précision du calcul augmenta considérablement et, en 1873, William Shanks publia le résultat de nombreuses années de travail, donnant une valeur avec 707 décimales. Heureusement, il n'a pas vécu assez longtemps pour voir 1945, quand on a découvert qu'il avait fait une erreur et que tous les chiffres, à commencer par, étaient faux. Cependant, son approche était la plus précise avant l'avènement des ordinateurs. C'était l'avant-dernière révolution de l'informatique. Les opérations mathématiques qui prendraient quelques minutes à effectuer manuellement sont désormais effectuées en une fraction de seconde, avec pratiquement aucune erreur. John Wrench et L. R. Smith ont réussi à calculer 2000 chiffres en 70 heures sur le premier ordinateur électronique. La barrière du million de chiffres a été franchie en 1973.

La dernière avancée (jusqu'à présent) en informatique est la découverte d'algorithmes itératifs qui convergent vers des séries plus rapides qu'infinies, de sorte qu'une précision beaucoup plus élevée peut être obtenue pour la même puissance de calcul. Le record actuel est d'un peu plus de 10 000 milliards de chiffres corrects. Pourquoi calculer si précisément ? Considérant que, connaissant les 39 chiffres de ce nombre, il est possible de calculer le volume de l'Univers connu avec une précision d'un atome, il n'y a pas de raison... pour le moment.

Quelques faits intéressants

Cependant, le calcul d'une valeur n'est qu'une petite partie de son histoire. Ce nombre a les propriétés qui rendent cette constante si curieuse.

Le plus gros problème associé est peut-être le problème bien connu de la quadrature du cercle, le problème de la construction avec un compas et une règle d'un carré dont l'aire est égale à l'aire d'un cercle donné. La quadrature d'un cercle a tourmenté des générations de mathématiciens pendant vingt-quatre siècles, jusqu'à ce que von Lindemann prouve que - est un nombre transcendantal (ce n'est la solution d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels) et, par conséquent, il est impossible de saisir l'immensité . Jusqu'en 1761, il n'a pas été prouvé que le nombre est irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'y a pas deux nombres naturels et tel que. La transcendance n'a été prouvée qu'en 1882, cependant, on ne sait pas encore si les nombres sont ou (est un autre nombre transcendantal irrationnel) irrationnels. De nombreuses relations apparaissent qui ne sont pas liées aux cercles. Cela fait partie du coefficient de normalisation de la fonction normale, apparemment la plus utilisée en statistique. Comme mentionné précédemment, le nombre apparaît comme la somme de plusieurs séries et est égal à des produits infinis, il est également important dans l'étude des nombres complexes. En physique, on peut la trouver (selon le système d'unités utilisé) dans la constante cosmologique (la plus grande erreur d'Albert Einstein) ou dans la constante de champ magnétique constant. Dans un système numérique avec n'importe quelle base (décimal, binaire...), les chiffres passent tous les tests d'aléatoire, il n'y a pas d'ordre ni de séquence apparents. La fonction zêta de Riemann relie étroitement les nombres aux nombres premiers. Ce nombre a une longue histoire et réserve probablement encore de nombreuses surprises.

Si nous comparons des cercles de tailles différentes, nous pouvons voir ceci : les tailles des différents cercles sont proportionnelles. Et cela signifie que lorsque le diamètre d'un cercle augmente d'un certain nombre de fois, la longueur de ce cercle augmente également du même nombre de fois. Mathématiquement, cela peut s'écrire ainsi :

C 1		C 2
	=
ré 1		ré 2	(1)

où C1 et C2 sont les longueurs de deux cercles différents, et d1 et d2 sont leurs diamètres.
Ce rapport fonctionne en présence d'un coefficient de proportionnalité - la constante π qui nous est déjà familière. De la relation (1) on peut conclure : la circonférence C est égale au produit du diamètre de ce cercle et du facteur de proportionnalité indépendant du cercle π :

C = πd.

De plus, cette formule peut être écrite sous une forme différente, exprimant le diamètre d en fonction du rayon R du cercle donné :

C \u003d 2π R.

Juste cette formule est un guide du monde des cercles pour les élèves de septième année.

Depuis les temps anciens, les gens ont essayé d'établir la valeur de cette constante. Ainsi, par exemple, les habitants de la Mésopotamie ont calculé l'aire d'un cercle à l'aide de la formule :

D'où π = 3.

Dans l'Égypte ancienne, la valeur de π était plus précise. En 2000-1700 av. J.-C., un scribe appelé Ahmes a compilé un papyrus dans lequel on trouve des recettes pour résoudre divers problèmes pratiques. Ainsi, par exemple, pour trouver l'aire d'un cercle, il utilise la formule :

			8			2
S	=	(		ré	)
			9

De quelles considérations tire-t-il cette formule ? - Inconnu. Probablement basé sur leurs observations, cependant, comme l'ont fait d'autres philosophes anciens.

Sur les traces d'Archimède

Lequel des deux nombres est supérieur à 22/7 ou 3,14 ?
- Ils sont égaux.
- Pourquoi?
- Chacun d'eux est égal à π .
A. A. VLASOV À partir du ticket d'examen.

Certains pensent que la fraction 22/7 et le nombre π sont identiques. Mais c'est une illusion. En plus de la réponse incorrecte ci-dessus à l'examen (voir épigraphe), un puzzle très amusant peut également être ajouté à ce groupe. La tâche dit : "déplacez une correspondance pour que l'égalité devienne vraie".

La solution sera la suivante : vous devez former un "toit" pour les deux correspondances verticales de gauche, en utilisant l'une des correspondances verticales du dénominateur de droite. Vous obtiendrez une image visuelle de la lettre π.

Beaucoup de gens savent que l'approximation π = 22/7 a déterminé ancien mathématicien grec Archimède. En l'honneur de cela, une telle approximation est souvent appelée le nombre "d'Archimède". Archimède a réussi non seulement à établir une valeur approximative pour π, mais aussi à trouver la précision de cette approximation, à savoir, à trouver un intervalle numérique étroit auquel appartient la valeur de π. Dans l'une de ses œuvres, Archimède prouve une chaîne d'inégalités, qui, d'une manière moderne, ressemblerait à ceci :

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

peut s'écrire plus simplement : 3.140 909< π < 3,1 428 265...

Comme nous pouvons le voir à partir des inégalités, Archimède a trouvé une valeur assez précise avec une précision de 0,002. Le plus surprenant est qu'il a trouvé les deux premières décimales : 3,14... C'est cette valeur que l'on utilise le plus souvent dans les calculs simples.

Utilisation pratique

Deux personnes sont dans le train :
- Regarde, les rails sont droits, les roues sont rondes.
D'où vient le coup ?
- Comment d'où ? Les roues sont rondes et la zone
cercle pi er carré, c'est le carré qui frappe !

En règle générale, ils se familiarisent avec ce nombre étonnant de la 6e à la 7e année, mais ils l'étudient plus en profondeur vers la fin de la 8e année. Dans cette partie de l'article, nous vous présenterons les formules principales et les plus importantes qui vous seront utiles pour résoudre des problèmes géométriques, mais pour commencer, nous conviendrons de prendre π à 3,14 pour faciliter le calcul.

Peut-être le plus célèbre formule chez les écoliers, dans lesquels π est utilisé, il s'agit de la formule de la longueur et de l'aire du cercle. La première - la formule de l'aire d'un cercle - s'écrit comme suit :

	π ré 2
S=π R 2 =
	4

où S est l'aire du cercle, R est son rayon, D est le diamètre du cercle.

La circonférence d'un cercle, ou, comme on l'appelle parfois, le périmètre d'un cercle, est calculée par la formule :

C = 2 π R = πd,

où C est la circonférence, R est le rayon, d est le diamètre du cercle.

Il est clair que le diamètre d est égal à deux rayons R.

À partir de la formule de la circonférence d'un cercle, vous pouvez facilement trouver le rayon d'un cercle :

où D est le diamètre, C est la circonférence, R est le rayon du cercle.

Ce sont les formules de base que chaque étudiant devrait connaître. De plus, vous devez parfois calculer l'aire non pas du cercle entier, mais seulement de sa partie - le secteur. Par conséquent, nous vous le présentons - une formule pour calculer l'aire d'un secteur d'un cercle. Il ressemble à ceci :

			α
S	=	π R 2
			360 ˚

où S est l'aire du secteur, R est le rayon du cercle, α est l'angle au centre en degrés.

Si mystérieux 3.14

En effet, c'est mystérieux. Parce qu'en l'honneur de ces numéros magiques, ils organisent des vacances, font des films, organisent des événements publics, écrivent de la poésie et bien plus encore.

Par exemple, en 1998, un film du réalisateur américain Darren Aronofsky intitulé "Pi" est sorti. Le film a reçu de nombreuses récompenses.

Chaque année, le 14 mars à 1 h 59 min 26 s, les personnes intéressées par les mathématiques célèbrent le "Pi Day". Pour les vacances, les gens préparent un gâteau rond, s'assoient à table ronde et discuter de pi, résoudre des problèmes et des énigmes liés à pi.

L'attention de ce nombre étonnant n'a pas non plus été ignorée par les poètes, un inconnu a écrit:
Vous devez juste essayer de vous souvenir de tout tel qu'il est - trois, quatorze, quinze, quatre-vingt-douze et six.

Amusons-nous !

Nous vous proposons des puzzles intéressants avec le nombre Pi. Devinez les mots qui sont cryptés ci-dessous.

1. π R

2. π L

3. π k

Réponses : 1. Fête ; 2. Classé ; 3. Couine.

L'histoire de pi commence par l'Egypte ancienne et va de pair avec le développement de toutes les mathématiques. Nous rencontrons cette valeur pour la première fois dans les murs de l'école.

Le nombre Pi est peut-être le plus mystérieux d'une infinité d'autres. Des poèmes lui sont dédiés, des artistes le dépeignent et un film a même été réalisé sur lui. Dans notre article, nous aborderons l'histoire du développement et de l'informatique, ainsi que les domaines d'application de la constante Pi dans nos vies.

Pi est une constante mathématique égale au rapport de la circonférence d'un cercle à la longueur de son diamètre. Initialement, il s'appelait le nombre de Ludolf, et il a été proposé de le désigner par la lettre Pi par le mathématicien britannique Jones en 1706. Après les travaux de Leonhard Euler en 1737, cette désignation est devenue généralement acceptée.

Le nombre Pi est irrationnel, c'est-à-dire que sa valeur ne peut pas être exprimée exactement comme une fraction m/n, où m et n sont des nombres entiers. Cela a été prouvé pour la première fois par Johann Lambert en 1761.

L'histoire du développement du nombre Pi remonte déjà à environ 4000 ans. Même les anciens mathématiciens égyptiens et babyloniens savaient que le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tout cercle et sa valeur est un peu plus de trois.

Archimède a proposé une méthode mathématique pour calculer Pi, dans laquelle il a inscrit dans un cercle et décrit des polygones réguliers autour de celui-ci. Selon ses calculs, Pi était approximativement égal à 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Au IIe siècle, Zhang Heng a proposé deux valeurs pour pi : ≈ 3,1724 et ≈ 3,1622.

Les mathématiciens indiens Aryabhata et Bhaskara ont trouvé une valeur approximative de 3,1416.

L'approximation la plus précise de pi pour 900 ans était un calcul du mathématicien chinois Zu Chongzhi dans les années 480. Il en déduit que Pi ≈ 355/113 et montre que 3,1415926< Пи < 3,1415927.

Jusqu'au 2e millénaire, pas plus de 10 chiffres de Pi étaient calculés. Ce n'est qu'avec le développement de l'analyse mathématique, et surtout avec la découverte des séries, que des progrès majeurs ont été réalisés par la suite dans le calcul de la constante.

Dans les années 1400, Madhava a pu calculer Pi=3,14159265359. Son record a été battu par le mathématicien persan Al-Kashi en 1424. Il dans son ouvrage "Traité sur la circonférence" a cité 17 chiffres de Pi, dont 16 se sont avérés corrects.

Le mathématicien néerlandais Ludolf van Zeulen a atteint 20 nombres dans ses calculs, donnant 10 ans de sa vie pour cela. Après sa mort, 15 autres chiffres de pi ont été découverts dans ses notes. Il a légué que ces figures étaient gravées sur sa pierre tombale.

Avec l'avènement des ordinateurs, le nombre Pi compte aujourd'hui plusieurs billions de chiffres et ce n'est pas la limite. Mais, comme indiqué dans Fractals for the Classroom, malgré toute l'importance de pi, "il est difficile de trouver des zones dans les calculs scientifiques qui nécessitent plus de vingt décimales".

Dans notre vie, le nombre Pi est utilisé dans de nombreux domaines scientifiques. La physique, l'électronique, la théorie des probabilités, la chimie, la construction, la navigation, la pharmacologie ne sont que quelques-uns d'entre eux qui ne peuvent tout simplement pas être imaginés sans ce nombre mystérieux.

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