Quelle est la dérivée d'une fraction. Comment trouver la dérivée d'une fraction

Il est absolument impossible de résoudre des problèmes physiques ou des exemples en mathématiques sans connaître la dérivée et les méthodes pour la calculer. La dérivée est l'un des concepts les plus importants analyse mathematique. Nous avons décidé de consacrer l'article d'aujourd'hui à ce sujet fondamental. Qu'est-ce qu'un dérivé, quelle est sa physique et sens géométrique Comment calculer la dérivée d'une fonction ? Toutes ces questions peuvent être combinées en une seule : comment comprendre la dérivée ?

Signification géométrique et physique de la dérivée

Soit une fonction f(x) , donné dans un certain intervalle (un B) . Les points x et x0 appartiennent à cet intervalle. Lorsque x change, la fonction elle-même change. Changement d'argument - différence de ses valeurs x-x0 . Cette différence s'écrit delta x et est appelé incrément d'argument. Le changement ou l'incrément d'une fonction est la différence entre les valeurs de la fonction en deux points. Définition dérivée :

La dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction en un point donné à l'incrément de l'argument lorsque celui-ci tend vers zéro.

Sinon ça peut s'écrire comme ça :

Quel est l'intérêt de trouver une telle limite ? Mais lequel:

la dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle entre l'axe OX et la tangente au graphe de la fonction en un point donné.

signification physique dérivé: la dérivée temporelle de la trajectoire est égale à la vitesse du mouvement rectiligne.

En effet, depuis l'école, tout le monde sait que la vitesse est un chemin privé. x=f(t) et le temps t . vitesse moyenne pendant un certain temps :

Pour connaître la vitesse de déplacement à la fois t0 vous devez calculer la limite:

Première règle : supprimez la constante

La constante peut être extraite du signe de la dérivée. De plus, il faut le faire. Lorsque vous résolvez des exemples en mathématiques, prenez en règle générale - si vous pouvez simplifier l'expression, assurez-vous de simplifier .

Exemple. Calculons la dérivée :

Règle 2 : dérivée de la somme des fonctions

La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Il en est de même pour la dérivée de la différence des fonctions.

Nous ne donnerons pas une preuve de ce théorème, mais considérerons plutôt un exemple pratique.

Trouver la dérivée d'une fonction :

Règle trois : la dérivée du produit de fonctions

La dérivée du produit de deux fonctions différentiables est calculée par la formule :

Exemple : trouver la dérivée d'une fonction :

Décision:

Ici, il est important de parler du calcul des dérivées de fonctions complexes. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire par la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante.

Dans l'exemple ci-dessus, nous rencontrons l'expression :

Dans ce cas, l'argument intermédiaire est 8x à la cinquième puissance. Afin de calculer la dérivée d'une telle expression, nous considérons d'abord la dérivée de la fonction externe par rapport à l'argument intermédiaire, puis nous multiplions par la dérivée de l'argument intermédiaire lui-même par rapport à la variable indépendante.

Règle 4 : la dérivée du quotient de deux fonctions

Formule pour déterminer la dérivée d'un quotient de deux fonctions :

Nous avons essayé de parler de produits dérivés pour les nuls à partir de zéro. Ce sujet n'est pas aussi simple qu'il y paraît, alors soyez averti : il y a souvent des pièges dans les exemples, alors soyez prudent lorsque vous calculez des dérivées.

Pour toute question à ce sujet et sur d'autres sujets, vous pouvez contacter le service aux étudiants. En peu de temps, nous vous aiderons à résoudre le contrôle le plus difficile et à gérer les tâches, même si vous n'avez jamais traité le calcul des dérivées auparavant.

Définition. Soit la fonction \(y = f(x) \) définie dans un intervalle contenant le point \(x_0 \) à l'intérieur. Incrémentons \(\Delta x \) à l'argument pour ne pas sortir de cet intervalle. Trouver l'incrément correspondant de la fonction \(\Delta y \) (en passant du point \(x_0 \) au point \(x_0 + \Delta x \)) et composer la relation \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). S'il y a une limite de cette relation à \(\Delta x \rightarrow 0 \), alors la limite indiquée est appelée fonction dérivée\(y=f(x) \) au point \(x_0 \) et notons \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Le symbole y est souvent utilisé pour désigner la dérivée. Notez que y" = f(x) est nouvelle fonctionnalité, mais naturellement associée à la fonction y = f(x) définie en tout point x où la limite ci-dessus existe. Cette fonction s'appelle ainsi : dérivée de la fonction y \u003d f (x).

La signification géométrique de la dérivée se compose des éléments suivants. Si une tangente non parallèle à l'axe y peut être tracée sur le graphique de la fonction y \u003d f (x) en un point d'abscisse x \u003d a, alors f (a) exprime la pente de la tangente:
\(k = f"(a)\)

Puisque \(k = tg(a) \), l'égalité \(f"(a) = tg(a) \) est vraie.

Et maintenant nous interprétons la définition de la dérivée en termes d'égalités approchées. Soit la fonction \(y = f(x) \) avoir une dérivée en un point particulier \(x \) :
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Cela signifie que près du point x, l'égalité approchée \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), soit \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltaxe\). La signification significative de l'égalité approchée obtenue est la suivante : l'incrément de la fonction est "presque proportionnel" à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée dans point donné X. Par exemple, pour la fonction \(y = x^2 \) l'égalité approchée \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) est vraie. Si nous analysons attentivement la définition de la dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.

Formulons-le.

Comment trouver la dérivée de la fonction y \u003d f (x) ?

1. Fixez la valeur \(x \), trouvez \(f(x) \)
2. Incrémenter \(x \) argument \(\Delta x \), déplacer vers un nouveau point \(x+ \Delta x \), trouver \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trouvez l'incrément de la fonction : \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Composez la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculer $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction en x.

Si la fonction y = f(x) a une dérivée au point x, alors elle est dite différentiable au point x. La procédure pour trouver la dérivée de la fonction y \u003d f (x) s'appelle différenciation fonctions y = f(x).

Discutons la question suivante : comment la continuité et la dérivabilité d'une fonction en un point sont-elles liées ?

Soit la fonction y = f(x) dérivable au point x. Alors une tangente peut être tracée au graphe de la fonction au point M (x; f (x)) et, rappelons-le, la pente de la tangente est égale à f "(x). Un tel graphe ne peut pas " casser " en le point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue en x.

C'était raisonner "sur les doigts". Présentons un argument plus rigoureux. Si la fonction y = f(x) est différentiable au point x, alors l'égalité approchée \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) vaut zéro, alors \(\Delta y \ ) tendra également vers zéro, et c'est la condition de la continuité de la fonction en un point.

Alors, si une fonction est dérivable en un point x, alors elle est aussi continue en ce point.

L'inverse est pas vrai. Par exemple : fonction y = |x| est continue partout, en particulier au point x = 0, mais la tangente au graphe de la fonction au « point joint » (0 ; 0) n'existe pas. Si à un moment donné, il est impossible de tracer une tangente au graphe de la fonction, alors il n'y a pas de dérivée à ce stade.

Un autre exemple. La fonction \(y=\sqrt(x) \) est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x = 0. Et la tangente au graphe de la fonction existe en tout point, y compris au point x = 0 Mais à ce stade, la tangente coïncide avec l'axe y, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, son équation a la forme x \u003d 0. Il n'y a pas de pente pour une telle droite, ce qui signifie que \ ( f "(0) \) n'existe pas non plus

Ainsi, nous nous sommes familiarisés avec une nouvelle propriété d'une fonction - la dérivabilité. Comment savoir si une fonction est différentiable du graphe d'une fonction ?

La réponse est en fait donnée ci-dessus. Si, à un moment donné, une tangente peut être tracée sur le graphique d'une fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des x, alors à ce stade, la fonction est différentiable. Si à un moment donné la tangente au graphique de la fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des x, alors à ce stade la fonction n'est pas différentiable.

Règles de différenciation

L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation. Lors de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi qu'avec des "fonctions de fonctions", c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C est un nombre constant et f=f(x), g=g(x) sont des fonctions différentiables, alors ce qui suit est vrai règles de différenciation:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Dérivée de la fonction composée :
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tableau des dérivées de certaines fonctions

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Calcul dérivé est l'une des opérations les plus importantes du calcul différentiel. Voici un tableau pour trouver des dérivés fonctions simples. Pour des règles de différenciation plus complexes, voir d'autres leçons :

• Tableau des dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Utilisez les formules données comme valeurs de référence. Ils aideront à résoudre des équations différentielles et des problèmes. Dans l'image, dans le tableau des dérivées de fonctions simples, il y a une "aide-mémoire" des principaux cas de recherche de la dérivée sous une forme compréhensible pour l'utilisation, à côté se trouvent des explications pour chaque cas.

Dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'un nombre zéro
с´ = 0
Exemple:
5' = 0

Explication:
La dérivée indique la vitesse à laquelle la valeur de la fonction change lorsque l'argument change. Étant donné que le nombre ne change en aucune façon dans aucune condition, le taux de son changement est toujours égal à zéro.

2. Dérivée d'une variableégal à un
x' = 1

Explication:
A chaque incrément de un de l'argument (x), la valeur de la fonction (résultat du calcul) augmente du même montant. Ainsi, le taux de variation de la valeur de la fonction y = x est exactement égal au taux de variation de la valeur de l'argument.

3. La dérivée d'une variable et d'un facteur est égale à ce facteur
сx´ = с
Exemple:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explication:
Dans ce cas, chaque fois que l'argument de la fonction ( X) sa valeur (y) croît en avec une fois. Ainsi, le taux de variation de la valeur de la fonction par rapport au taux de variation de l'argument est exactement égal à la valeur avec.

D'où il suit que
(cx + b)" = c
c'est-à-dire que la différentielle de la fonction linéaire y=kx+b est égale à coefficient angulaire pente de la droite (k).

4. Dérivée modulo d'une variable est égal au quotient de cette variable par son module
|x|"=x / |x| à condition que x ≠ 0
Explication:
Puisque la dérivée de la variable (voir formule 2) est égale à un, la dérivée du module ne diffère que par le fait que la valeur du taux de variation de la fonction change en sens inverse lors du franchissement du point d'origine (essayez de tracer un graphique de la fonction y = |x| et voyez par vous-même. C'est exactement la valeur et renvoie l'expression x / |x| Lorsque x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - un. C'est-à-dire à valeurs négatives variable x, à chaque augmentation du changement d'argument, la valeur de la fonction diminue exactement de la même valeur, et pour les positives, au contraire, elle augmente, mais exactement de la même valeur.

5. Dérivée de puissance d'une variable est égal au produit du nombre de cette puissance et de la variable dans la puissance, diminué de un
(x c)"= cx c-1, à condition que x c ​​et cx c-1 soient définis et c ≠ 0
Exemple:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pour mémoriser la formule:
Prenez l'exposant de la variable "bas" comme multiplicateur, puis diminuez l'exposant lui-même de un. Par exemple, pour x 2 - deux était en avance sur x, puis la puissance réduite (2-1 = 1) nous a juste donné 2x. La même chose s'est produite pour x 3 - nous abaissons le triple, le réduisons de un et au lieu d'un cube, nous avons un carré, c'est-à-dire 3x 2 . Un peu "non scientifique", mais très facile à retenir.

6.Dérivé de fraction 1 fois
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemple:
Puisqu'une fraction peut être représentée comme augmentant à une puissance négative
(1/x)" = (x -1)" , alors vous pouvez appliquer la formule de la règle 5 du tableau des dérivées
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Dérivé de fraction avec une variable de degré arbitraire au dénominateur
(1/x c)" = - c / x c+1
Exemple:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. dérivé de racine(dérivée de la variable sous racine carrée)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemple:
(√x)" = (x 1/2)" pour pouvoir appliquer la formule de la règle 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Dérivée d'une variable sous une racine d'un degré arbitraire
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)