Quels nombres sont naturels. Étudier le sujet exact: les nombres naturels sont ce que les nombres, exemples et propriétés

Les nombres naturels sont l'un des concepts mathématiques les plus anciens.

Dans un passé lointain, les gens ne connaissaient pas les nombres, et lorsqu'ils avaient besoin de compter des objets (animaux, poissons, etc.), ils le faisaient différemment que nous le faisons maintenant.

Le nombre d'objets a été comparé avec des parties du corps, par exemple avec les doigts de la main, et ils ont dit: "J'ai autant de noix qu'il y a de doigts sur la main."

Au fil du temps, les gens ont réalisé que cinq noix, cinq chèvres et cinq lièvres avaient une propriété commune - leur nombre était de cinq.

Se souvenir!

Entiers sont des nombres, commençant par 1, obtenus lors du comptage d'objets.

1, 2, 3, 4, 5…

plus petit nombre naturel — 1 .

plus grand nombre naturel n'existe pas.

Lors du comptage, le nombre zéro n'est pas utilisé. Par conséquent, zéro n'est pas considéré comme un nombre naturel.

Les gens ont appris à écrire des nombres beaucoup plus tard qu'à compter. Tout d'abord, ils ont commencé à représenter l'unité avec un bâton, puis avec deux bâtons - le numéro 2, avec trois - le numéro 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Ensuite, il y avait aussi des signes spéciaux pour désigner les nombres - les précurseurs des nombres modernes. Les nombres que nous utilisons pour écrire les nombres sont originaires de l'Inde il y a environ 1 500 ans. Les Arabes les ont amenés en Europe, on les appelle donc chiffres arabes.

Il y a dix chiffres au total : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ces chiffres peuvent être utilisés pour écrire n'importe quel nombre naturel.

Se souvenir!

série naturelle est la suite de tous les nombres naturels :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Dans la série naturelle, chaque nombre est supérieur au précédent de 1.

La série naturelle est infinie, il n'y a pas de plus grand nombre naturel en elle.

Le système de comptage que nous utilisons s'appelle position décimale.

Décimal car 10 unités de chaque chiffre forment 1 unité du chiffre le plus significatif. Positionnel car la valeur d'un chiffre dépend de sa place dans la notation d'un nombre, c'est-à-dire du chiffre dans lequel il est écrit.

Important!

Les classes qui suivent le milliard sont nommées selon les noms latins des nombres. Chaque unité suivante contient mille unités précédentes.

• 1 000 milliards = 1 000 000 000 000 = 1 billion (« trois » est le mot latin pour « trois »)
• 1 000 billions = 1 000 000 000 000 000 = 1 quadrillion (« quadra » signifie en latin « quatre »)
• 1 000 quadrillion = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 quintillion (« quinta » signifie « cinq » en latin)

Cependant, les physiciens ont trouvé un nombre qui dépasse le nombre de tous les atomes (les plus petites particules de matière) dans l'univers entier.

Ce numéro a un nom spécial - googol. Un googol est un nombre composé de 100 zéros.

Entiers- Les nombres naturels sont des nombres qui sont utilisés pour compter des objets. L'ensemble de tous les nombres naturels est parfois appelé la série naturelle : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, etc. .

Pour écrire des nombres naturels, dix chiffres sont utilisés: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Avec eux, vous pouvez écrire n'importe quel nombre naturel. Cette notation est appelée décimale.

La série naturelle des nombres peut se continuer indéfiniment. Il n'y a pas de nombre qui serait le dernier, car on peut toujours être ajouté au dernier nombre et on obtiendra un nombre déjà supérieur à celui souhaité. Dans ce cas, on dit qu'il n'y a pas de plus grand nombre dans la série naturelle.

Chiffres des nombres naturels

En écrivant n'importe quel nombre en utilisant des nombres, l'endroit où se trouve le nombre dans le nombre est crucial. Par exemple, le chiffre 3 signifie : 3 unités s'il vient en dernier dans le chiffre ; 3 dizaines s'il sera dans le nombre à l'avant-dernière place ; 4 centaines, si elle sera dans le nombre à la troisième place à partir de la fin.

Le dernier chiffre signifie le chiffre des unités, l'avant-dernier - le chiffre des dizaines, 3 à partir de la fin - le chiffre des centaines.

Chiffres simples et multiples

S'il y a un 0 dans n'importe quel chiffre du nombre, cela signifie qu'il n'y a pas d'unités dans ce chiffre.

Le chiffre 0 signifie zéro. Zéro est "aucun".

Zéro n'est pas un nombre naturel. Bien que certains mathématiciens pensent le contraire.

Si un nombre se compose d'un chiffre, il est appelé un chiffre, deux - deux chiffres, trois - trois chiffres, etc.

Les nombres qui ne sont pas à un seul chiffre sont également appelés plusieurs chiffres.

Classes de chiffres pour lire de grands nombres naturels

Pour lire les grands nombres naturels, le nombre est divisé en groupes de trois chiffres, en partant du bord droit. Ces groupes sont appelés classes.

Les trois premiers chiffres à partir du bord droit constituent la classe des unités, les trois suivants la classe des milliers, les trois suivants la classe des millions.

Un million c'est mille mille, pour mémoire ils utilisent l'abréviation million 1 million = 1 000 000.

Un milliard = mille millions. Pour l'enregistrement, l'abréviation milliard 1 milliard = 1 000 000 000 est utilisée.

Exemple d'écriture et de lecture

Ce nombre a 15 unités dans la classe des milliards, 389 unités dans la classe des millions, zéro unité dans la classe des milliers et 286 unités dans la classe des unités.

Ce nombre se lit comme suit : 15 milliards 389 millions 286.

Lire les nombres de gauche à droite. À son tour, le nombre d'unités de chaque classe est appelé, puis le nom de la classe est ajouté.

Les nombres naturels sont familiers à l'homme et intuitifs, car ils nous entourent depuis l'enfance. Dans l'article ci-dessous, nous donnerons une idée de base de la signification des nombres naturels, décrirons les compétences de base pour les écrire et les lire. Toute la partie théorique sera accompagnée d'exemples.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Idée générale des nombres naturels

À un certain stade du développement de l'humanité, la tâche s'est posée de compter certains objets et de désigner leur quantité, ce qui, à son tour, a nécessité de trouver un outil pour résoudre ce problème. Les nombres naturels sont devenus un tel outil. Le but principal des nombres naturels est également clair - donner une idée du nombre d'objets ou du numéro de série d'un objet particulier, si nous parlons d'un ensemble.

Il est logique que pour qu'une personne utilise des nombres naturels, il soit nécessaire d'avoir un moyen de les percevoir et de les reproduire. Ainsi, un nombre naturel peut être exprimé ou représenté, qui sont des moyens naturels de transmettre des informations.

Considérez les compétences de base de la voix (lecture) et des images (écriture) des nombres naturels.

Notation décimale d'un nombre naturel

Rappelons comment sont affichés les caractères suivants (nous les indiquons séparés par des virgules) : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ces caractères sont appelés nombres.

Prenons maintenant comme règle que lors de la représentation (écriture) d'un nombre naturel, seuls les chiffres indiqués sont utilisés sans la participation d'aucun autre symbole. Laissez les chiffres lors de l'écriture d'un nombre naturel avoir la même hauteur, sont écrits les uns après les autres sur une ligne, et il y a toujours un chiffre à gauche qui est différent de zéro.

Indiquons des exemples de la notation correcte des nombres naturels : 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Les retraits entre les chiffres ne sont pas toujours les mêmes, cela sera discuté plus en détail ci-dessous lors de l'étude des classes de nombres. Les exemples donnés montrent que lors de l'écriture d'un nombre naturel, il n'est pas nécessaire d'avoir tous les chiffres de la série ci-dessus. Certains ou tous peuvent être répétés.

Définition 1

Les enregistrements de la forme : 065 , 0 , 003 , 0791 ne sont pas des enregistrements de nombres naturels, car à gauche se trouve le chiffre 0.

La notation correcte d'un nombre naturel, faite en tenant compte de toutes les exigences décrites, est appelée notation décimale d'un nombre naturel.

Signification quantitative des nombres naturels

Comme déjà mentionné, les nombres naturels portent initialement, entre autres, une signification quantitative. Les nombres naturels, en tant qu'outil de numérotation, sont abordés dans le sujet de la comparaison des nombres naturels.

Commençons par les nombres naturels dont les entrées coïncident avec les entrées de chiffres, c'est-à-dire : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Imaginez un certain objet, par exemple ceci : Ψ . Nous pouvons écrire ce que nous voyons 1 chose. Le nombre naturel 1 se lit comme "un" ou "un". Le terme « unité » a aussi un autre sens : quelque chose qui peut être considéré comme un tout. S'il existe un ensemble, alors n'importe quel élément de celui-ci peut être désigné par un. Par exemple, parmi de nombreuses souris, n'importe quelle souris en est une ; toute fleur d'un ensemble de fleurs est une unité.

Imaginez maintenant : Ψ Ψ . Nous voyons un objet et un autre objet, c'est-à-dire dans le dossier, ce sera - 2 éléments. Le nombre naturel 2 se lit comme "deux".

De plus, par analogie : Ψ Ψ Ψ - 3 items ("trois"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("quatre"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("cinq"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("six"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sept"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("huit"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 (" neuf").

A partir de la position indiquée, la fonction d'un nombre naturel est d'indiquer quantitééléments.

Définition 1

Si l'entrée d'un numéro correspond à l'entrée du chiffre 0, alors un tel numéro est appelé "zéro". Zéro n'est pas un nombre naturel, mais il est considéré avec d'autres nombres naturels. Zéro signifie non, c'est-à-dire zéro élément signifie aucun.

Nombres naturels à un chiffre

C'est un fait évident que lors de l'écriture de chacun des nombres naturels discutés ci-dessus (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), nous utilisons un signe - un chiffre.

Définition 2

Nombre naturel à un chiffre- un nombre naturel, qui s'écrit avec un signe - un chiffre.

Il existe neuf nombres naturels à un chiffre : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Nombres naturels à deux et trois chiffres

Définition 3

Nombres naturels à deux chiffres- les nombres naturels, qui s'écrivent à l'aide de deux signes - deux chiffres. Dans ce cas, les numéros utilisés peuvent être identiques ou différents.

Par exemple, les nombres naturels 71, 64, 11 sont à deux chiffres.

Considérez la signification des nombres à deux chiffres. Nous nous appuierons sur la signification quantitative des nombres naturels à valeur unique que nous connaissons déjà.

Introduisons un concept tel que "dix".

Imaginez un ensemble d'objets, qui se compose de neuf et un de plus. Dans ce cas, on peut parler d'une douzaine ("une douzaine") d'articles. Si vous imaginez une douzaine et une de plus, alors on parlera de 2 dizaines (« deux dizaines »). En ajoutant une dizaine de plus à deux dizaines, nous obtenons trois dizaines. Et ainsi de suite : en continuant d'ajouter une douzaine, on obtient quatre dizaines, cinq dizaines, six dizaines, sept dizaines, huit dizaines et enfin neuf dizaines.

Considérons un nombre à deux chiffres comme un ensemble de nombres à un chiffre, dont l'un est écrit à droite, l'autre à gauche. Le nombre à gauche indiquera le nombre de dizaines dans le nombre naturel, et le nombre à droite indiquera le nombre d'unités. Dans le cas où le chiffre 0 est situé à droite, on parle alors d'absence d'unités. Ce qui précède est la signification quantitative des nombres naturels à deux chiffres. Il y en a 90 au total.

Définition 4

Nombres naturels à trois chiffres- les nombres naturels, qui sont écrits en utilisant trois caractères - trois chiffres. Les nombres peuvent être différents ou répétés dans n'importe quelle combinaison.

Par exemple, 413, 222, 818, 750 sont des nombres naturels à trois chiffres.

Pour comprendre la signification quantitative des nombres naturels à trois valeurs, nous introduisons le concept "cent".

Définition 5

Cent (1 cent) est un ensemble de dix dizaines. Cent plus cent font deux cents. Ajoutez une autre centaine et obtenez 3 centaines. En ajoutant progressivement cent, on obtient : quatre cents, cinq cents, six cents, sept cents, huit cents, neuf cents.

Considérez l'enregistrement d'un nombre à trois chiffres lui-même : les nombres naturels à un chiffre qui y sont inclus sont écrits les uns après les autres de gauche à droite. Le chiffre unique le plus à droite indique le nombre d'unités; le nombre à un chiffre suivant à gauche - par le nombre de dizaines; le chiffre unique le plus à gauche est le nombre de centaines. Si le chiffre 0 intervient dans la saisie, il indique l'absence d'unités et/ou de dizaines.

Ainsi, le nombre naturel à trois chiffres 402 signifie : 2 unités, 0 dizaines (il n'y a pas de dizaines qui ne se combinent pas en centaines) et 4 centaines.

Par analogie, la définition des nombres naturels à quatre chiffres, à cinq chiffres, etc. est donnée.

Nombres naturels multivalués

De tout ce qui précède, il est maintenant possible de passer à la définition des nombres naturels multivalués.

Définition 6

Nombres naturels multivalués- les nombres naturels, qui s'écrivent à l'aide de deux caractères ou plus. Les nombres naturels à plusieurs chiffres sont des nombres à deux chiffres, à trois chiffres, etc.

Mille est un ensemble qui comprend dix cents; un million est composé de mille mille; un milliard - un milliard de dollars ; un billion est un millier de milliards. Des ensembles encore plus grands ont également des noms, mais leur utilisation est rare.

De manière similaire au principe ci-dessus, nous pouvons considérer tout nombre naturel à plusieurs chiffres comme un ensemble de nombres naturels à un chiffre, dont chacun, étant à un certain endroit, indique la présence et le nombre d'unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers, millions, dizaines de millions, centaines de millions, milliards, etc. (respectivement de droite à gauche).

Par exemple, le nombre à plusieurs chiffres 4 912 305 contient : 5 unités, 0 dizaines, trois centaines, 2 milliers, 1 dizaines de milliers, 9 centaines de milliers et 4 millions.

En résumé, nous avons examiné l'habileté de regrouper les unités en divers ensembles (dizaines, centaines, etc.) et avons vu que les nombres dans l'enregistrement d'un nombre naturel à plusieurs chiffres sont une désignation du nombre d'unités dans chacun de ces ensembles.

Lecture des nombres naturels, classes

Dans la théorie ci-dessus, nous avons noté les noms des nombres naturels. Dans le tableau 1, nous indiquons comment utiliser correctement les noms des nombres naturels à un chiffre dans la parole et en notation alphabétique :

Numéro	masculin	Féminin	Genre neutre
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Une Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit Neuf	Une Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit Neuf	Une Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit Neuf

Numéro	cas nominatif	Génitif	Datif	Accusatif	Mallette instrumentale	prépositionnel
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Une Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit Neuf	Une Deux Trois quatre Cinq six Semi huit Neuf	à une deux Trem quatre Cinq six Semi huit Neuf	Une Deux Trois Quatre Cinq Six Sept Huit Neuf	Une deux Trois quatre Cinq six famille huit Neuf	Environ un Environ deux À propos de trois Environ quatre De nouveau Environ six Environ sept Environ huit Environ neuf

Pour lire et écrire avec compétence des nombres à deux chiffres, vous devez apprendre les données du tableau 2 :

Numéro	Masculin, féminin et neutre
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Dix Onze Douze Treize Quatorze Quinze Seize Dix-sept Dix-huit Dix-neuf Vingt Trente Quarante Cinquante Soixante Soixante-dix Quatre-vingts Quatre-vingt-dix

Numéro	cas nominatif	Génitif	Datif	Accusatif	Mallette instrumentale	prépositionnel
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Dix Onze Douze Treize Quatorze Quinze Seize Dix-sept Dix-huit Dix-neuf Vingt Trente Quarante Cinquante Soixante Soixante-dix Quatre-vingts Quatre-vingt-dix	Dix Onze Douze treize Quatorze quinze seize dix-sept dix-huit dix-neuf vingt trente Pie cinquante soixante Soixante-dix quatre-vingts quatre-vingt-dix	Dix Onze Douze treize Quatorze quinze seize dix-sept dix-huit dix-neuf vingt trente Pie cinquante soixante Soixante-dix quatre-vingts quatre-vingt-dix	Dix Onze Douze Treize Quatorze Quinze Seize Dix-sept Dix-huit Dix-neuf Vingt Trente Quarante Cinquante Soixante Soixante-dix Quatre-vingts Quatre-vingt-dix	Dix Onze Douze treize Quatorze quinze seize dix-sept dix-huit dix-neuf vingt trente Pie cinquante soixante Soixante-dix quatre-vingts Quatre-vingt-dix	Environ dix Vers onze Environ douze Environ treize Environ quatorze Une quinzaine Environ seize Environ dix-sept Environ dix-huit Environ dix-neuf À peu près vingt Environ trente Oh pie Environ cinquante Une soixantaine Environ soixante-dix Environ quatre-vingts Environ quatre-vingt-dix

Pour lire d'autres nombres naturels à deux chiffres, nous utiliserons les données des deux tables, considérons cela avec un exemple. Disons que nous devons lire un nombre naturel à deux chiffres 21. Ce nombre contient 1 unité et 2 dizaines, c'est-à-dire 20 et 1. En ce qui concerne les tableaux, nous lisons le nombre indiqué comme "vingt et un", tandis que l'union "et" entre les mots n'a pas besoin d'être prononcée. Supposons que nous ayons besoin d'utiliser le nombre indiqué 21 dans une phrase, indiquant le nombre d'objets dans le cas génitif : "il n'y a pas 21 pommes". Dans ce cas, la prononciation ressemblera à ceci : "il n'y a pas vingt et une pommes".

Donnons un autre exemple pour plus de clarté : le nombre 76, qui se lit « soixante-seize » et, par exemple, « soixante-seize tonnes ».

Numéro	Nominatif	Génitif	Datif	Accusatif	Mallette instrumentale	prépositionnel
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Cent Deux cent Trois cents Quatre cents Cinq cents Six cent Sept cent Huit cent Neuf centaines	Sta deux cent trois cents quatre cents cinq cents six cent Sept cent huit cent neuf cent	Sta deux cent Tremstam quatre cents cinq cents Six cent sept cent huit cent Neuf cent	Cent Deux cent Trois cents Quatre cents Cinq cents Six cent Sept cent Huit cent Neuf centaines	Sta deux cent Trois cents quatre cents cinq cents six cent sept cent huit cent Neuf cent	Environ une centaine Environ deux cents Environ trois cents Environ quatre cents Environ cinq cents Environ six cents Environ sept cents Environ huit cents Environ neuf cents

Pour lire entièrement un nombre à trois chiffres, nous utilisons également les données de toutes les tables spécifiées. Par exemple, étant donné un nombre naturel 305 . Ce nombre correspond à 5 unités, 0 dizaines et 3 centaines : 300 et 5. En prenant le tableau comme base, on lit : « trois cent cinq » ou en déclinaison par cas, par exemple, comme ceci : « trois cent cinq mètres ».

Lisons un autre nombre : 543. Selon les règles des tables, le nombre indiqué ressemblera à ceci: "cinq cent quarante-trois" ou en cas de déclinaison, par exemple, comme ceci: "pas de cinq cent quarante-trois roubles".

Passons au principe général de lecture des nombres naturels à plusieurs chiffres : pour lire un nombre à plusieurs chiffres, il faut le décomposer de droite à gauche en groupes de trois chiffres, et le groupe le plus à gauche peut avoir 1, 2 ou 3 chiffres . Ces groupes sont appelés classes.

La classe d'extrême droite est la classe des unités ; puis la classe suivante, à gauche - la classe des milliers; plus loin - la classe des millions; vient ensuite la classe des milliards, suivie de la classe des trillions. Les classes suivantes ont aussi un nom, mais les nombres naturels composés d'un grand nombre de caractères (16, 17 et plus) sont rarement utilisés en lecture, il est assez difficile de les percevoir à l'oreille.

Pour faciliter la perception de l'enregistrement, les classes sont séparées les unes des autres par un petit tiret. Par exemple, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Classe mille milliards	Classe milliard	Classe million	Mille classe	Classe d'unité
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Pour lire un nombre à plusieurs chiffres, on appelle tour à tour les nombres qui le composent (de gauche à droite, par classe, en ajoutant le nom de la classe). Le nom de la classe d'unités n'est pas prononcé et les classes qui composent les trois chiffres 0 ne sont pas non plus prononcées. Si un ou deux chiffres 0 sont présents à gauche dans une classe, ils ne sont en aucun cas utilisés lors de la lecture. Par exemple, 054 est lu comme "cinquante-quatre" ou 001 comme "un".

Exemple 1

Examinons en détail la lecture du nombre 2 533 467 001 222 :

Nous lisons le nombre 2, en tant que composant de la classe des trillions - "deux" ;

En ajoutant le nom de la classe, nous obtenons : "deux trillions" ;

On lit le nombre suivant, en ajoutant le nom de la classe correspondante : « cinq cent trente-trois milliards » ;

On continue par analogie, en lisant la classe suivante à droite : « quatre cent soixante-sept millions » ;

Dans la classe suivante, on voit deux chiffres 0 situés à gauche. Selon les règles de lecture ci-dessus, les chiffres 0 sont ignorés et ne participent pas à la lecture de l'enregistrement. Alors nous obtenons : « mille » ;

Nous lisons la dernière classe d'unités sans ajouter son nom - "deux cent vingt-deux".

Ainsi, le nombre 2 533 467 001 222 ressemblera à ceci : deux billions cinq cent trente-trois milliards quatre cent soixante-sept millions mille deux cent vingt-deux. En utilisant ce principe, on peut aussi lire les autres nombres donnés :

31 013 736 - trente et un millions treize mille sept cent trente six ;

134 678 - cent trente-quatre mille six cent soixante-dix-huit ;

23 476 009 434 - vingt-trois milliards quatre cent soixante-seize millions neuf mille quatre cent trente-quatre.

Ainsi, la base de la lecture correcte des nombres à plusieurs chiffres est la capacité de diviser un nombre à plusieurs chiffres en classes, la connaissance des noms correspondants et la compréhension du principe de lecture des nombres à deux et trois chiffres.

Comme il ressort déjà de tout ce qui précède, sa valeur dépend de la position sur laquelle se trouve le chiffre dans l'enregistrement du nombre. C'est-à-dire, par exemple, le nombre 3 dans le nombre naturel 314 désigne le nombre de centaines, à savoir 3 centaines. Le nombre 2 est le nombre de dizaines (1 dizaine) et le nombre 4 est le nombre d'unités (4 unités). Dans ce cas, nous dirons que le nombre 4 est à la place des unités et est la valeur de la place des unités dans le nombre donné. Le nombre 1 est à la position des dizaines et sert de valeur à la position des dizaines. Le nombre 3 est situé à la place des centaines et est la valeur de la place des centaines.

Définition 7

Décharge est la position d'un chiffre dans la notation d'un nombre naturel, ainsi que la valeur de ce chiffre, qui est déterminée par sa position dans un nombre donné.

Les rejets ont leurs propres noms, nous les avons déjà utilisés ci-dessus. De droite à gauche, les chiffres se succèdent : unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers, etc.

Pour faciliter la mémorisation, vous pouvez utiliser le tableau suivant (nous indiquons 15 chiffres) :

Clarifions ce détail : le nombre de chiffres dans un nombre à plusieurs chiffres donné est le même que le nombre de caractères dans l'entrée du nombre. Par exemple, ce tableau contient les noms de tous les chiffres d'un nombre de 15 caractères. Les décharges ultérieures ont également des noms, mais sont utilisées extrêmement rarement et sont très gênantes pour l'écoute.

À l'aide d'un tel tableau, il est possible de développer l'habileté de déterminer le rang en écrivant un nombre naturel donné dans le tableau de sorte que le chiffre le plus à droite soit écrit dans le chiffre des unités puis dans chaque chiffre par chiffre. Par exemple, écrivons un nombre naturel à plusieurs chiffres 56 402 513 674 comme ceci :

Faites attention au chiffre 0, situé dans la décharge de dizaines de millions - cela signifie l'absence d'unités de cette catégorie.

Nous introduisons également les concepts des chiffres les plus bas et les plus hauts d'un nombre à plusieurs chiffres.

Définition 8

Rang le plus bas (junior) tout nombre naturel à valeurs multiples est le chiffre des unités.

Catégorie la plus élevée (senior) de tout nombre naturel à plusieurs chiffres - le chiffre correspondant au chiffre le plus à gauche dans la notation du nombre donné.

Ainsi, par exemple, dans le nombre 41 781 : le rang le plus bas est le rang des unités ; le rang le plus élevé est le chiffre des dizaines de milliers.

Il s'ensuit logiquement qu'il est possible de parler de l'ancienneté des chiffres les uns par rapport aux autres. Chaque chiffre suivant lors du déplacement de gauche à droite est inférieur (plus jeune) que le précédent. Et vice versa : lors du déplacement de droite à gauche, chaque chiffre suivant est plus élevé (plus ancien) que le précédent. Par exemple, le chiffre des milliers est plus ancien que le chiffre des centaines, mais plus jeune que le chiffre des millions.

Précisons que lors de la résolution de quelques exemples pratiques, ce n'est pas le nombre naturel lui-même qui est utilisé, mais la somme des termes de bits d'un nombre donné.

En bref sur le système de numération décimale

Définition 9

Notation- une méthode d'écriture des nombres à l'aide de signes.

Systèmes de numérotation positionnelle- ceux dans lesquels la valeur d'un chiffre dans le nombre dépend de sa position dans la notation du nombre.

Selon cette définition, nous pouvons dire que, tout en étudiant les nombres naturels et la façon dont ils sont écrits ci-dessus, nous avons utilisé le système de nombre positionnel. Le numéro 10 joue ici une place particulière. Nous continuons à compter par dizaines : dix unités font dix, dix dizaines forment une centaine, et ainsi de suite. Le nombre 10 sert de base à ce système de numération, et le système lui-même est également appelé décimal.

En plus de cela, il existe d'autres systèmes de numération. Par exemple, l'informatique utilise le système binaire. Lorsque nous gardons une trace du temps, nous utilisons le système de numération sexagésimal.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Les mathématiques ont émergé de la philosophie générale vers le VIe siècle av. e., et à partir de ce moment a commencé sa marche victorieuse autour du monde. Chaque étape de développement a introduit quelque chose de nouveau - le comptage élémentaire a évolué, s'est transformé en calcul différentiel et intégral, les siècles ont changé, les formules sont devenues de plus en plus confuses, et le moment est venu où "les mathématiques les plus complexes ont commencé - tous les nombres en ont disparu". Mais quelle était la base ?

Le début du temps

Les nombres naturels sont apparus avec les premières opérations mathématiques. Autrefois une épine, deux épines, trois épines... Elles sont apparues grâce à des scientifiques indiens qui en ont déduit la première position

Le mot "positionnalité" signifie que l'emplacement de chaque chiffre dans un nombre est strictement défini et correspond à sa catégorie. Par exemple, les nombres 784 et 487 sont les mêmes nombres, mais les nombres ne sont pas équivalents, puisque le premier comprend 7 centaines, tandis que le second n'en compte que 4. L'innovation des Indiens a été reprise par les Arabes, qui ont apporté les nombres au forme que nous connaissons maintenant.

Dans les temps anciens, les nombres avaient une signification mystique, Pythagore croyait que le nombre sous-tendait la création du monde avec les principaux éléments - le feu, l'eau, la terre, l'air. Si nous considérons tout uniquement du côté mathématique, alors qu'est-ce qu'un nombre naturel ? Le corps des nombres naturels est noté N et est une suite infinie de nombres entiers et positifs : 1, 2, 3, … + ∞. Zéro est exclu. Il est principalement utilisé pour compter les articles et indiquer la commande.

Qu'y a-t-il en mathématiques ? Les axiomes de Peano

Le champ N est le champ de base sur lequel s'appuient les mathématiques élémentaires. Au fil du temps, les champs d'entiers, rationnels,

Les travaux du mathématicien italien Giuseppe Peano ont rendu possible la structuration plus poussée de l'arithmétique, ont atteint sa formalité et ont ouvert la voie à d'autres conclusions qui allaient au-delà du domaine N.

Qu'est-ce qu'un nombre naturel, a été précédemment clarifié dans un langage simple, ci-dessous nous considérerons une définition mathématique basée sur les axiomes de Peano.

• Un est considéré comme un nombre naturel.
• Le nombre qui suit un nombre naturel est un nombre naturel.
• Il n'y a pas de nombre naturel avant un.
• Si le nombre b suit à la fois le nombre c et le nombre d, alors c=d.
• L'axiome d'induction, qui à son tour montre ce qu'est un nombre naturel : si une déclaration qui dépend d'un paramètre est vraie pour le nombre 1, alors nous supposons qu'elle fonctionne également pour le nombre n du champ de nombres naturels N. Alors la déclaration est également vraie pour n = 1 du corps des nombres naturels N.

Opérations de base pour le corps des nombres naturels

Depuis que le champ N est devenu le premier pour les calculs mathématiques, les domaines de définition et les plages de valeurs d'un certain nombre d'opérations ci-dessous s'y réfèrent. Ils sont fermés et non. La principale différence est que les opérations fermées sont garanties de laisser un résultat dans l'ensemble N, quels que soient les nombres impliqués. Il suffit qu'ils soient naturels. Le résultat des interactions numériques restantes n'est plus aussi univoque et dépend directement du type de nombres impliqués dans l'expression, car il peut contredire la définition principale. Donc, opérations fermées :

• addition - x + y = z, où x, y, z sont inclus dans le champ N ;
• multiplication - x * y = z, où x, y, z sont inclus dans le champ N ;
• exponentiation - x y , où x, y sont inclus dans le champ N.

Les opérations restantes, dont le résultat peut ne pas exister dans le contexte de la définition "qu'est-ce qu'un nombre naturel", sont les suivantes :

Propriétés des nombres appartenant au champ N

Tout autre raisonnement mathématique sera basé sur les propriétés suivantes, les plus triviales, mais non les moins importantes.

• La propriété commutative de l'addition est x + y = y + x, où les nombres x, y sont inclus dans le champ N. Ou le bien connu "la somme ne change pas à partir d'un changement de place des termes".
• La propriété commutative de la multiplication est x * y = y * x, où les nombres x, y sont inclus dans le corps N.
• La propriété associative de l'addition est (x + y) + z = x + (y + z), où x, y, z sont inclus dans le champ N.
• La propriété associative de la multiplication est (x * y) * z = x * (y * z), où les nombres x, y, z sont inclus dans le champ N.
• propriété de distribution - x (y + z) = x * y + x * z, où les nombres x, y, z sont inclus dans le champ N.

Tableau de Pythagore

L'une des premières étapes de la connaissance de toute la structure des mathématiques élémentaires par les écoliers, après qu'ils ont compris par eux-mêmes quels nombres sont appelés naturels, est la table de Pythagore. Il peut être considéré non seulement du point de vue de la science, mais aussi comme un monument scientifique précieux.

Cette table de multiplication a subi un certain nombre de modifications au fil du temps : le zéro y a été supprimé, et les nombres de 1 à 10 se désignent eux-mêmes, sans tenir compte des ordres (centaines, milliers...). C'est un tableau dans lequel les en-têtes des lignes et des colonnes sont des nombres, et le contenu des cellules de leur intersection est égal à leur produit.

Dans la pratique de l'enseignement au cours des dernières décennies, il y a eu un besoin de mémoriser la table de Pythagore "dans l'ordre", c'est-à-dire que la mémorisation est passée en premier. La multiplication par 1 a été exclue car le résultat était égal ou supérieur à 1. Pendant ce temps, dans le tableau à l'œil nu, vous pouvez voir un schéma : le produit des nombres augmente d'un pas, ce qui équivaut au titre de la ligne. Ainsi, le deuxième facteur nous montre combien de fois nous devons prendre le premier pour obtenir le produit souhaité. Ce système est beaucoup plus pratique que celui pratiqué au Moyen Âge : même en comprenant ce qu'est un nombre naturel et à quel point il est trivial, les gens ont réussi à compliquer leur comptage quotidien en utilisant un système basé sur les puissances de deux.

Le sous-ensemble comme berceau des mathématiques

À l'heure actuelle, le corps de nombres naturels N n'est considéré que comme l'un des sous-ensembles de nombres complexes, mais cela ne les rend pas moins précieux en science. Un nombre naturel est la première chose qu'un enfant apprend en étudiant lui-même et le monde qui l'entoure. Un doigt, deux doigts ... Grâce à lui, une personne développe la pensée logique, ainsi que la capacité de déterminer la cause et d'en déduire l'effet, ouvrant la voie à de grandes découvertes.

Définition

Les nombres naturels sont appelés nombres destinés à compter des objets. Pour enregistrer les nombres naturels, 10 chiffres arabes (0–9) sont utilisés, qui constituent la base du système de numération décimale généralement accepté pour les calculs mathématiques.

Suite de nombres naturels

Les nombres naturels constituent une série commençant à 1 et couvrant l'ensemble de tous les entiers positifs. Une telle séquence se compose des nombres 1,2,3, ... . Cela signifie que dans la série naturelle :

1. Il y a un plus petit nombre et pas de plus grand.
2. Chaque nombre suivant est supérieur au précédent de 1 (l'exception est l'unité elle-même).
3. Comme les nombres vont à l'infini, ils croissent indéfiniment.

Parfois on introduit aussi 0 dans une suite de nombres naturels, c'est permis, et alors on parle de élargi série naturelle.

Classes de nombres naturels

Chaque chiffre d'un nombre naturel exprime un certain chiffre. Le dernier est toujours le nombre d'unités dans le nombre, celui qui le précède est le nombre de dizaines, le troisième à partir de la fin est le nombre de centaines, le quatrième est le nombre de milliers, et ainsi de suite.

• dans le nombre 276 : 2 centaines, 7 dizaines, 6 unités
• dans le nombre 1098 : 1 mille, 9 dizaines, 8 unités ; la place des centaines est absente ici, puisqu'elle est exprimée par zéro.

Pour les nombres grands et très grands, vous pouvez voir une tendance constante (si vous examinez le nombre de droite à gauche, c'est-à-dire du dernier chiffre au premier) :

• les trois derniers chiffres du nombre sont des unités, des dizaines et des centaines ;
• les trois précédents sont des unités, des dizaines et des centaines de milliers ;
• les trois devant eux (c'est-à-dire les 7e, 8e et 9e chiffres du nombre, en partant de la fin) sont des unités, des dizaines et des centaines de millions, etc.

Autrement dit, chaque fois que nous avons affaire à trois chiffres, c'est-à-dire des unités, des dizaines et des centaines d'un nom plus grand. Ces groupes forment des classes. Et si vous devez gérer plus ou moins souvent les trois premières classes dans la vie de tous les jours, alors d'autres devraient être répertoriées, car tout le monde ne se souvient pas de leur nom par cœur.

• La 4ème classe, suivant la classe des millions et représentant des nombres de 10 à 12 chiffres, s'appelle un milliard (ou un milliard) ;
• 5e année - trillion ;
• 6e année - quadrillion ;
• 7e année - quintillion ;
• 8e année - sextillion ;
• 9e année - septillion.

Addition de nombres naturels

L'addition des nombres naturels est une opération arithmétique qui permet d'obtenir un nombre contenant autant d'unités qu'il y en a dans les nombres additionnés.

Le signe de l'addition est le signe "+". Les nombres additionnés sont appelés des termes, le résultat est appelé la somme.

De petits nombres sont ajoutés (résumés) oralement, par écrit, de telles actions sont écrites sur une ligne.

Les nombres à plusieurs chiffres, difficiles à additionner mentalement, sont généralement ajoutés dans une colonne. Pour cela, les nombres sont écrits les uns sous les autres, alignés sur le dernier chiffre, c'est-à-dire qu'ils écrivent le chiffre des unités sous le chiffre des unités, le chiffre des centaines sous le chiffre des centaines, et ainsi de suite. Ensuite, vous devez ajouter les chiffres par paires. Si l'addition de chiffres se produit avec une transition par dix, alors cette dizaine est fixée comme une unité au-dessus du chiffre de gauche (c'est-à-dire après) et est additionnée avec les chiffres de ce chiffre.

Si ce n'est pas 2, mais plus de chiffres sont ajoutés à la colonne, alors lors de la somme des chiffres de la catégorie, pas 1 douzaine, mais plusieurs, peuvent être redondants. Dans ce cas, le nombre de ces dizaines est transféré au chiffre suivant.

Soustraction de nombres naturels

La soustraction est une opération arithmétique, l'inverse de l'addition, qui se résume au fait que, compte tenu de la quantité et de l'un des termes, il faut en trouver un autre - un terme inconnu. Le nombre qui est soustrait s'appelle la diminution de la fin ; le nombre qui est soustrait est le soustrait. Le résultat de la soustraction s'appelle la différence. Le signe qui désigne l'opération de soustraction est "-".

Dans le passage à l'addition, le soustrait et la différence se transforment en termes, et le réduit en somme. L'addition vérifie généralement l'exactitude de la soustraction effectuée, et vice versa.

Ici, 74 est la diminution, 18 est la soustraction, 56 est la différence.

Une condition préalable pour soustraire des nombres naturels est la suivante : la diminution de la fin doit nécessairement être supérieure à la soustraction. Seulement dans ce cas, la différence résultante sera également un nombre naturel. Si l'action de soustraction est effectuée pour une série naturelle étendue, alors il est permis que la diminutrice soit égale à la soustraction. Et le résultat de la soustraction dans ce cas sera 0.

Remarque : si la soustraction est égale à zéro, l'opération de soustraction ne modifie pas la valeur de la diminution de la fin.

La soustraction de nombres à plusieurs chiffres est généralement effectuée dans une colonne. Notez les nombres de la même manière que pour l'addition. La soustraction est effectuée pour les chiffres correspondants. S'il s'avère que la diminution de la fin est inférieure à la soustraction, alors un est tiré du chiffre précédent (situé à gauche), qui, après le transfert, se transforme naturellement en 10. Cette dizaine est résumée avec le chiffre de la réduction chiffre donné, puis soustrait. De plus, lors de la soustraction du chiffre suivant, il est nécessaire de tenir compte du fait que la réduction est devenue 1 de moins.

Produit de nombres naturels

Le produit (ou multiplication) de nombres naturels est une opération arithmétique, qui consiste à trouver la somme d'un nombre arbitraire de termes identiques. Pour enregistrer l'opération de multiplication, utilisez le signe "·" (parfois "×" ou "*"). Par exemple : 3 5=15.

L'action de multiplication est indispensable lorsqu'il faut additionner un grand nombre de termes. Par exemple, si vous devez additionner le nombre 4 7 fois, multiplier 4 par 7 est plus facile que de faire cette addition : 4+4+4+4+4+4+4.

Les nombres multipliés sont appelés facteurs, le résultat de la multiplication est le produit. Ainsi, le terme « travail » peut, selon le contexte, exprimer à la fois le processus de multiplication et son résultat.

Les nombres à plusieurs chiffres sont multipliés dans une colonne. Car ce nombre s'écrit de la même manière que pour l'addition et la soustraction. Il est recommandé d'écrire en premier (au-dessus) lequel des 2 chiffres est le plus long. Dans ce cas, le processus de multiplication sera plus simple, et donc plus rationnel.

Lors de la multiplication dans une colonne, les chiffres de chacun des chiffres du deuxième nombre sont multipliés séquentiellement par les chiffres du 1er nombre, en commençant par sa fin. Après avoir trouvé le premier travail de ce type, ils notent le nombre d'unités et gardent à l'esprit le nombre de dizaines. Lors de la multiplication du chiffre du 2e nombre par le chiffre suivant du 1er nombre, le nombre retenu est ajouté au produit. Et encore une fois, ils notent le nombre d'unités du résultat obtenu et se souviennent du nombre de dizaines. Lors de la multiplication par le dernier chiffre du 1er nombre, le nombre ainsi obtenu est écrit en toutes lettres.

Les résultats de la multiplication des chiffres du 2e chiffre du deuxième nombre sont écrits dans la deuxième ligne, en le décalant d'une cellule vers la droite. Etc. En conséquence, une "échelle" sera obtenue. Toutes les lignes de nombres résultantes doivent être additionnées (selon la règle d'addition dans une colonne). Les cellules vides doivent être considérées comme remplies de zéros. La somme résultante est le produit final.

Noter

1. Le produit de tout nombre naturel par 1 (ou 1 par un nombre) est égal au nombre lui-même. Par exemple : 376 1=376 ; 1 86=86.
2. Lorsque l'un des facteurs ou les deux facteurs sont égaux à 0, alors le produit est égal à 0. Par exemple : 32·0=0 ; 0 845=845 ; 0 0=0.

Division des nombres naturels

La division s'appelle une opération arithmétique, à l'aide de laquelle, selon un produit connu et l'un des facteurs, on peut trouver un autre facteur - inconnu. La division est l'inverse de la multiplication et sert à vérifier si une multiplication a été effectuée correctement (et vice versa).

Le nombre qui est divisé s'appelle le divisible; le nombre par lequel il est divisé est le diviseur ; le résultat d'une division s'appelle un quotient. Le signe de division est ":" (parfois, moins souvent - "÷").

Ici 48 est le dividende, 6 est le diviseur et 8 est le quotient.

Tous les nombres naturels ne peuvent pas être divisés entre eux. Dans ce cas, la division est effectuée avec un reste. Elle consiste dans le fait que pour le diviseur un tel facteur est choisi de sorte que son produit par le diviseur soit un nombre aussi proche que possible en valeur du dividende, mais inférieur à lui. Le diviseur est multiplié par ce facteur et soustrait du dividende. La différence sera le reste de la division. Le produit d'un diviseur par un facteur s'appelle un quotient incomplet. Attention : le reste doit être inférieur au multiplicateur sélectionné ! Si le reste est plus grand, cela signifie que le multiplicateur est mal choisi et qu'il doit être augmenté.

Nous sélectionnons un facteur pour 7. Dans ce cas, ce nombre est 5. Nous trouvons un quotient incomplet : 7 5 \u003d 35. Calculez le reste : 38-35=3. Depuis 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Les nombres à plusieurs chiffres sont divisés en une colonne. Pour ce faire, le dividende et le diviseur sont écrits côte à côte, en séparant le diviseur par une ligne verticale et horizontale. Dans le dividende, le premier chiffre ou les premiers chiffres (à droite) sont sélectionnés, ce qui doit être un nombre minimum suffisant pour diviser par un diviseur (c'est-à-dire que ce nombre doit être supérieur au diviseur). Pour ce nombre, un quotient incomplet est sélectionné, comme décrit dans la règle de division avec un reste. Le nombre du multiplicateur utilisé pour trouver le quotient partiel est écrit sous le diviseur. Le quotient incomplet est écrit sous le nombre qui a été divisé, aligné à droite. Trouvez leur différence. Le chiffre suivant du dividende est démoli en l'écrivant à côté de cette différence. Pour le nombre résultant, un quotient incomplet est à nouveau trouvé en écrivant le chiffre du facteur sélectionné, à côté du précédent sous le diviseur. Etc. De telles actions sont effectuées jusqu'à ce que les chiffres du dividende soient épuisés. Après cela, la division est considérée comme terminée. Si le dividende et le diviseur sont divisés entièrement (sans reste), alors la dernière différence donnera zéro. Sinon, le nombre restant sera renvoyé.

Exponentiation

L'exponentiation est une opération mathématique qui consiste à multiplier un nombre arbitraire de nombres identiques. Par exemple : 2 2 2 2.

De telles expressions s'écrivent : un x,

où un est un nombre multiplié par lui-même X est le nombre de tels facteurs.

Nombres naturels premiers et composés

Tout nombre naturel, sauf 1, peut être divisé par au moins 2 nombres - un et lui-même. Sur la base de ce critère, les nombres naturels sont divisés en nombres premiers et composés.

Les nombres premiers sont des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et lui-même. Les nombres divisibles par plus de ces 2 nombres sont appelés nombres composés. Une unité divisible uniquement par elle-même n'est ni première ni composée.

Les nombres sont premiers : 2,3,5,7,11,13,17,19, etc. Exemples de nombres composés : 4 (divisible par 1,2,4), 6 (divisible par 1,2,3,6), 20 (divisible par 1,2,4,5,10,20).

Tout nombre composé peut être décomposé en facteurs premiers. Dans ce cas, on entend par facteurs premiers ses diviseurs, qui sont des nombres premiers.

Un exemple de factorisation en facteurs premiers :

Diviseurs de nombres naturels

Un diviseur est un nombre par lequel un nombre donné peut être divisé sans reste.

Conformément à cette définition, les nombres naturels simples ont 2 diviseurs, les nombres composés ont plus de 2 diviseurs.

De nombreux nombres ont des diviseurs communs. Le diviseur commun est le nombre par lequel les nombres donnés sont divisibles sans reste.

• Les nombres 12 et 15 ont pour diviseur commun 3
• Les nombres 20 et 30 ont des diviseurs communs 2,5,10

Le plus grand diviseur commun (PGCD) revêt une importance particulière. Ce nombre, en particulier, est utile pour pouvoir le trouver pour réduire les fractions. Pour le trouver, il faut décomposer les nombres donnés en facteurs premiers et le présenter comme le produit de leurs facteurs premiers communs, pris dans leurs plus petites puissances.

Il est nécessaire de trouver le PGCD des nombres 36 et 48.

Divisibilité des nombres naturels

Il est loin d'être toujours possible de déterminer "à l'œil nu" si un nombre est divisible par un autre sans reste. Dans de tels cas, le test de divisibilité correspondant est utile, c'est-à-dire la règle par laquelle, en quelques secondes, vous pouvez déterminer s'il est possible de diviser des nombres sans reste. Le signe "" est utilisé pour indiquer la divisibilité.

Multiple moins commun

Cette valeur (notée LCM) est le plus petit nombre divisible par chacun des nombres donnés. Le LCM peut être trouvé pour un ensemble arbitraire de nombres naturels.

LCM, comme GCD, a une signification appliquée importante. C'est donc le LCM qu'il faut trouver en réduisant les fractions ordinaires à un dénominateur commun.

Le LCM est déterminé en factorisant les nombres donnés en facteurs premiers. Pour sa formation, un produit est pris, composé de chacun des facteurs premiers (au moins pour 1 nombre) représentés au degré maximum.

Il est nécessaire de trouver le LCM des nombres 14 et 24.

Moyen

La moyenne arithmétique d'un nombre arbitraire (mais fini) de nombres naturels est la somme de tous ces nombres divisée par le nombre de termes :

La moyenne arithmétique est une valeur moyenne pour un ensemble de nombres.

Les nombres 2,84,53,176,17,28 sont donnés. Il faut trouver leur moyenne arithmétique.