Le système articulaire ax dans est appelé si indéfini. Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires, méthodes de résolution, exemples

Le système s'appelle découper, ou alors soluble s'il a au moins une solution. Le système s'appelle incompatible, ou alors insoluble s'il n'a pas de solutions.

SLAE défini, indéfini.

Si un SLAE a une solution et est unique, alors il est appelé certain et si la solution n'est pas unique, alors incertain.

ÉQUATIONS MATRICIELLES

Les matrices permettent d'écrire brièvement un système d'équations linéaires. Soit un système de 3 équations à trois inconnues :

Considérons la matrice du système et les colonnes matricielles des membres inconnus et libres

Trouvons le produit

ceux. par suite du produit, on obtient les membres gauches des équations de ce système. Ensuite, en utilisant la définition de l'égalité matricielle, ce système peut être écrit comme

ou plus court UN∙X=B.

Ici les matrices UN et B sont connus, et la matrice X inconnue. Elle doit être trouvée, parce que. ses éléments sont la solution de ce système. Cette équation s'appelle équation matricielle.

Soit le déterminant de la matrice différent de zéro | UN| ≠ 0. Ensuite, l'équation matricielle est résolue comme suit. Multipliez les deux côtés de l'équation de gauche par la matrice A-1, l'inverse de la matrice UN: . Dans la mesure où A -1 A = E et E∙X=X, on obtient alors la solution de l'équation matricielle sous la forme X = A -1 B .

Notez que puisque la matrice inverse ne peut être trouvée que pour les matrices carrées, la méthode matricielle ne peut résoudre que les systèmes dans lesquels le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues.

Les formules de Cramer

La méthode de Cramer consiste à trouver successivement identifiant du système maître, c'est à dire. déterminant de la matrice A : D = det (a i j) et n déterminants auxiliaires D i (i= ), qui sont obtenus à partir du déterminant D en remplaçant la ième colonne par une colonne de membres libres.

Les formules de Cramer ressemblent à : D × x i = D i (i = ).

Cela implique la règle de Cramer, qui donne une réponse exhaustive à la question de la compatibilité du système : si le déterminant principal du système est différent de zéro, alors le système a une solution unique, déterminée par les formules : x i = D i / D.

Si le déterminant principal du système D et tous les déterminants auxiliaires D i = 0 (i= ), alors le système a un nombre infini de solutions. Si le déterminant principal du système D = 0, et au moins un déterminant auxiliaire est différent de zéro, alors le système est incohérent.

Théorème (règle de Cramer): Si le déterminant du système est Δ ≠ 0, alors le système considéré a une et une seule solution, et

Preuve : Considérons donc un système de 3 équations à trois inconnues. Multiplier la 1ère équation du système par le complément algébrique Un 11élément un 11, 2ème équation - sur A21 et 3ème - le Un 31:

Ajoutons ces équations :

Considérez chacune des parenthèses et le côté droit de cette équation. D'après le théorème sur le développement du déterminant en fonction des éléments de la 1ère colonne.

De même, on peut montrer que et .

Enfin, il est facile de voir que

Ainsi, on obtient l'égalité : . Ainsi, .

Les égalités et se dérivent de la même manière, d'où l'assertion du théorème.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Un système d'équations linéaires est cohérent si et seulement si le rang de la matrice du système est égal au rang de la matrice augmentée.

Preuve: Il se décompose en deux étapes.

1. Laissez le système avoir une solution. Montrons cela.

Soit l'ensemble des nombres est la solution du système. Désignons par la -ième colonne de la matrice , . Alors , c'est-à-dire que la colonne des termes libres est une combinaison linéaire des colonnes de la matrice . Laisser être . Faisons comme si . Puis par . Nous choisissons dans la mineure de base. Il a de l'ordre. La colonne des membres libres doit passer par ce mineur, sinon ce sera le mineur de base de la matrice. La colonne des termes libres en mineur est une combinaison linéaire des colonnes de la matrice. En vertu des propriétés du déterminant , où est le déterminant obtenu à partir du mineur en remplaçant la colonne des termes libres par la colonne . Si la colonne est passée par le mineur M, alors dans , il y aura deux colonnes identiques et donc . Si la colonne n'est pas passée par le mineur, alors elle ne différera du mineur d'ordre r + 1 de la matrice que par l'ordre des colonnes. Depuis . Ainsi, ce qui contredit la définition d'une base mineure. Par conséquent, l'hypothèse selon laquelle , est fausse.

2. Laissez . Montrons que le système admet une solution. Puisque , alors la base mineure de la matrice est la base mineure de la matrice . Laissez les colonnes passer par le mineur . Ensuite, d'après le théorème mineur de base dans une matrice, la colonne de termes libres est une combinaison linéaire des colonnes indiquées :

(1)

Nous posons , , , , et prenons les inconnues restantes égales à zéro. Alors pour ces valeurs on obtient

En vertu de l'égalité (1) . La dernière égalité signifie que l'ensemble des nombres est la solution du système. L'existence d'une solution est prouvée.

Dans le système décrit ci-dessus , et le système est cohérent. Dans le système , , et le système est incohérent.

Remarque : Bien que le théorème de Kronecker-Capelli permette de déterminer si le système est cohérent, il est assez rarement utilisé, principalement dans études théoriques. La raison en est que les calculs effectués lors de la recherche du rang d'une matrice sont fondamentalement les mêmes que les calculs lors de la recherche d'une solution au système. Par conséquent, généralement au lieu de trouver et , on cherche une solution au système. S'il peut être trouvé, alors nous apprenons que le système est cohérent et obtenons simultanément sa solution. Si aucune solution ne peut être trouvée, nous concluons que le système est incohérent.

Algorithme pour trouver des solutions à un système arbitraire d'équations linéaires (méthode de Gauss)

Soit un système d'équations linéaires à inconnues. Il est nécessaire de trouver sa solution générale si elle est cohérente, ou d'établir son incohérence. La méthode qui sera présentée dans cette section est proche de la méthode de calcul du déterminant et de la méthode de recherche du rang d'une matrice. L'algorithme proposé s'appelle Méthode de Gauss ou alors méthode d'élimination successive des inconnues.

Écrivons la matrice augmentée du système

On appelle les opérations suivantes avec matrices opérations élémentaires :

1. permutation des lignes ;

2. multiplier une chaîne par un nombre non nul ;

3. addition d'une chaîne avec une autre chaîne multipliée par un nombre.

Notez que lors de la résolution d'un système d'équations, contrairement au calcul du déterminant et à la recherche du rang, on ne peut pas opérer avec des colonnes. Si le système d'équations est restitué à partir de la matrice obtenue à partir de l'opération élémentaire, alors nouveau système sera égal à l'original.

Le but de l'algorithme est, en appliquant une séquence d'opérations élémentaires à la matrice, de s'assurer que chaque ligne, sauf peut-être la première, commence par des zéros, et que le nombre de zéros jusqu'au premier élément non nul de chaque élément suivant rangée est supérieure à la précédente.

Le pas de l'algorithme est le suivant. Trouvez la première colonne non nulle de la matrice. Soit une colonne avec un nombre . Nous y trouvons un élément non nul et échangeons la ligne avec cet élément avec la première ligne. Afin de ne pas accumuler de notation supplémentaire, nous supposerons qu'un tel changement de lignes dans la matrice a déjà été effectué, c'est-à-dire . Ensuite, à la deuxième ligne, nous ajoutons le premier multiplié par le nombre, à la troisième ligne, nous ajoutons le premier multiplié par le nombre, etc. En conséquence, nous obtenons la matrice

(Les premières colonnes nulles sont généralement manquantes.)

S'il y a une ligne avec le numéro k dans la matrice, dans laquelle tous les éléments sont égaux à zéro, et , alors nous arrêtons l'exécution de l'algorithme et concluons que le système est incohérent. En effet, en restaurant le système d'équations à partir de la matrice étendue, on obtient que la -ième équation aura la forme

Cette équation ne satisfait aucun ensemble de nombres .

La matrice peut s'écrire sous la forme

En ce qui concerne la matrice, nous effectuons l'étape décrite de l'algorithme. Obtenir la matrice

où , . Cette matrice peut encore s'écrire sous la forme

et l'étape ci-dessus de l'algorithme est à nouveau appliquée à la matrice.

Le processus s'arrête si après l'exécution de l'étape suivante la nouvelle matrice réduite ne contient que des zéros ou si toutes les lignes sont épuisées. Notez que la conclusion sur l'incompatibilité du système pourrait arrêter le processus encore plus tôt.

Si nous ne réduisions pas la matrice, nous arriverions finalement à une matrice de la forme

Ensuite, la passe dite inverse de la méthode gaussienne est effectuée. Sur la base de la matrice, nous composons un système d'équations. Sur le côté gauche, nous laissons les inconnues avec des nombres correspondant aux premiers éléments non nuls de chaque ligne, c'est-à-dire . Remarquerez que . Les inconnues restantes sont transférées sur le côté droit. Considérant les inconnues du côté droit comme des quantités fixes, il est facile d'exprimer les inconnues du côté gauche en fonction de celles-ci.

Maintenant, en donnant des valeurs arbitraires aux inconnues du côté droit et en calculant les valeurs des variables du côté gauche, nous trouverons diverses solutions système d'origine Ax=b. Pour écrire la solution générale, il est nécessaire de désigner les inconnues du côté droit dans n'importe quel ordre par des lettres , y compris les inconnues qui ne sont pas explicitement écrites sur le côté droit en raison de coefficients nuls, puis la colonne d'inconnues peut être écrite sous forme de colonne, où chaque élément est une combinaison linéaire de valeurs arbitraires (en particulier, juste une valeur arbitraire). Cette entrée sera la solution générale du système.

Si le système était homogène, alors on obtient la solution générale du système homogène. Les coefficients at pris dans chaque élément de la colonne de la solution générale constitueront la première solution du système fondamental de solutions, les coefficients at - la deuxième solution, et ainsi de suite.

Méthode 2 : Le système fondamental de solutions d'un système homogène peut être obtenu d'une autre manière. Pour ce faire, une variable, transférée sur le côté droit, doit recevoir la valeur 1 et le reste - des zéros. En calculant les valeurs des variables du côté gauche, nous obtenons une solution du système fondamental. En attribuant la valeur 1 à l'autre variable du côté droit, et des zéros aux autres, on obtient la deuxième solution du système fondamental, et ainsi de suite.

Définition: le système est appelé conjointementème, s'il a au moins une solution, et incohérent - sinon, c'est-à-dire dans le cas où le système n'a pas de solutions. La question de savoir si un système a une solution ou non n'est pas seulement liée au rapport du nombre d'équations et du nombre d'inconnues. Par exemple, un système de trois équations à deux inconnues

a une solution , et a même une infinité de solutions, mais un système de deux équations à trois inconnues.

……. … ……

Une m 1 x 1 + … + une mn x n = 0

Ce système est toujours cohérent puisqu'il admet une solution triviale x 1 =…=x n =0

Pour que des solutions non triviales existent, il faut et il suffit que

condition r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

E L'ensemble des solutions SLAE forme un espace linéaire de dimension (n-r). Cela signifie que le produit de sa solution par un nombre, ainsi que la somme et la combinaison linéaire d'un nombre fini de ses solutions, sont des solutions de ce système. L'espace de solution linéaire de tout SLAE est un sous-espace de l'espace R n .

Tout ensemble de (n-r) solutions linéairement indépendantes d'un SLAE (qui est une base dans l'espace des solutions) est appelé ensemble fondamental de solutions (FSR).

Soient х 1 ,…,х r des inconnues de base, х r +1 ,…,х n des inconnues libres. On donne tour à tour les variables libres les valeurs suivantes:

……. … ……

Une m 1 x 1 + … + une mn x n = 0

Forme un espace linéaire S (espace des solutions), qui est un sous-espace dans R n (n est le nombre d'inconnues), et dims=k=n-r, où r est le rang du système. La base dans l'espace des solutions (x (1) ,…, x (k) ) est appelée le système fondamental de solutions, et la solution générale est de la forme:

X=c 1 X (1) + … + c k X (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

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Système d'équations algébriques linéaires. Termes de base. Notation matricielle.

1. Définition d'un système d'équations algébriques linéaires. Solution système. Classement des systèmes.
2. Forme matricielle des systèmes d'écriture d'équations algébriques linéaires.

Définition d'un système d'équations algébriques linéaires. Solution système. Classement des systèmes.

En dessous de système d'équations algébriques linéaires(SLAE) impliquent un système

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2 ;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equation)

Les paramètres $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) sont appelés coefficients, et $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - membres gratuits SLAU. Parfois, pour souligner le nombre d'équations et d'inconnues, ils disent "$m\fois n$ système d'équations linéaires" - indiquant ainsi que le SLAE contient $m$ équations et $n$ inconnues.

Si tous les termes libres $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), alors le SLAE est appelé homogène. Si parmi les membres libres il y en a au moins un autre que zéro, la SLAE est dite hétérogène.

Décision SLAU(1) toute collection ordonnée de nombres ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) est appelée si les éléments de cette collection, substitués dans un ordre donné aux inconnues $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , inversez chaque équation SLAE en identité.

Tout SLAE homogène a au moins une solution : zéro(dans une terminologie différente - triviale), c'est-à-dire $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Si SLAE (1) a au moins une solution, elle est appelée découper s'il n'y a pas de solutions, incompatible. Si une SLAE commune a exactement une solution, elle est appelée certain, si un nombre infini de solutions - incertain.

Exemple 1

Considérez SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(aligned)\right.\end(equation)

Nous avons un système d'équations algébriques linéaires contenant $3$ équations et $5$ inconnues : $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. On peut dire qu'un système de $3\fois 5$ équations linéaires est donné.

Les coefficients du système (2) sont les nombres devant les inconnues. Par exemple, dans la première équation ces nombres sont : $3,-4,1,7,-1$. Les membres gratuits du système sont représentés par les nombres $11,-65.0$. Puisqu'il y en a au moins un parmi les membres libres, il n'est pas zéro, alors SLAE (2) est inhomogène.

La collection ordonnée $(4;-11;5;-7;1)$ est la solution à ce SLAE. Ceci est facile à vérifier si vous substituez $x_1=4 ; x_2=-11 ; x_3=5 ; x_4=-7 ; x_5=1$ dans les équations du système donné :

\begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(aligné)

Naturellement, la question se pose de savoir si la solution vérifiée est la seule. La question du nombre de solutions SLAE sera abordée dans la rubrique correspondante.

Exemple #2

Considérez SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(aligné) \right.\end(équation)

Le système (3) est un SLAE contenant $5$ équations et $3$ inconnues : $x_1,x_2,x_3$. Puisque tous les termes libres de ce système sont égaux à zéro, alors SLAE (3) est homogène. Il est facile de vérifier que la collection $(0;0;0)$ est une solution au SLAE donné. En substituant $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, par exemple, dans la première équation du système (3), on obtient l'égalité correcte : $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . La substitution dans d'autres équations se fait de la même manière.

Forme matricielle des systèmes d'écriture d'équations algébriques linéaires.

Plusieurs matrices peuvent être associées à chaque SLAE ; de plus, le SLAE lui-même peut être écrit comme une équation matricielle. Pour SLAE (1), considérez les matrices suivantes :

La matrice $A$ est appelée matrice système. Les éléments de cette matrice sont les coefficients du SLAE donné.

La matrice $\widetilde(A)$ est appelée système matriciel étendu. Il est obtenu en ajoutant à la matrice système une colonne contenant les membres libres $b_1,b_2,…,b_m$. Habituellement, cette colonne est séparée par une ligne verticale - pour plus de clarté.

La matrice colonne $B$ est appelée matrice des membres libres, et la matrice de colonne $X$ - matrice des inconnues.

En utilisant la notation introduite ci-dessus, SLAE (1) peut s'écrire sous la forme d'une équation matricielle : $A\cdot X=B$.

Noter

Les matrices associées au système peuvent s'écrire différentes façons: tout dépend de l'ordre des variables et des équations du SLAE considéré. Mais dans tous les cas, la séquence des inconnues dans chaque équation d'un SLAE donné doit être la même (voir exemple n° 4).

Exemple #3

Ecrire SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ sous forme matricielle et spécifiez la matrice augmentée du système.

Nous avons quatre inconnues, qui dans chaque équation suivent dans cet ordre : $x_1,x_2,x_3,x_4$. La matrice des inconnues sera : $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Les membres libres de ce système sont exprimés par les nombres $-5,0,-11$, donc la matrice des membres libres a la forme : $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(tableau )\droite)$.

Passons à la compilation de la matrice du système. La première ligne de cette matrice contiendra les coefficients de la première équation : $2.3,-5.1$.

Dans la deuxième ligne, nous écrivons les coefficients de la deuxième équation : $4.0,-1.0$. Dans ce cas, il faut tenir compte du fait que les coefficients du système avec les variables $x_2$ et $x_4$ dans la deuxième équation sont égaux à zéro (car ces variables sont absentes dans la deuxième équation).

Dans la troisième ligne de la matrice du système, on écrit les coefficients de la troisième équation : $0.14.8.1$. On tient compte de l'égalité à zéro du coefficient à la variable $x_1$ (cette variable est absente dans la troisième équation). La matrice du système ressemblera à :

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

Pour clarifier la relation entre la matrice système et le système lui-même, j'écrirai côte à côte le SLAE donné et sa matrice système :

Sous forme de matrice, le SLAE donné ressemblera à $A\cdot X=B$. Dans l'entrée développée :

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(tableau) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(tableau) \right) = \left(\begin(tableau) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(tableau) \right) $$

Écrivons la matrice augmentée du système. Pour cela, à la matrice système $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ ajoute une colonne de termes libres (c'est-à-dire $-5,0,-11$). On obtient : $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(tableau) \right) $.

Exemple #4

Ecrire SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ sous forme matricielle et spécifiez la matrice augmentée du système.

Comme vous pouvez le voir, l'ordre des inconnues dans les équations de ce SLAE est différent. Par exemple, dans la deuxième équation l'ordre est : $a,y,c$, mais dans la troisième équation : $c,y,a$. Avant d'écrire le SLAE sous forme de matrice, l'ordre des variables dans toutes les équations doit être le même.

Vous pouvez ordonner les variables dans les équations d'un SLAE donné différentes façons(le nombre de façons d'arranger trois variables est $3!=6$). Je considérerai deux manières d'ordonner les inconnues.

Méthode numéro 1

Introduisons l'ordre suivant : $c,y,a$. Réécrivons le système en plaçant les inconnues dans commande nécessaire: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4 .\end(aligned)\right.$

Pour plus de clarté, j'écrirai le SLAE comme suit : $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10 ;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25 ; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(aligned)\right.$

La matrice système est : $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( tableau) \right) $. Matrice de membre libre : $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Lorsque vous écrivez la matrice des inconnues, souvenez-vous de l'ordre des inconnues : $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Ainsi, la forme matricielle du SLAE donné est la suivante : $A\cdot X=B$. Étendu:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tableau) \right) $$

La matrice système étendue est : $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(tableau) \right) $.

Méthode numéro 2

Introduisons l'ordre suivant : $a,c,y$. Réécrivons le système en mettant les inconnues dans l'ordre requis : $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25 ; \ \ & 5a-c=-4.\end(aligned)\right.$

Pour plus de clarté, j'écrirai le SLAE comme suit : $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10 ;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25 ; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(aligned)\right.$

La matrice système est : $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( tableau)\right)$. Matrice de membre libre : $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Lorsque vous écrivez la matrice des inconnues, souvenez-vous de l'ordre des inconnues : $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Ainsi, la forme matricielle du SLAE donné est la suivante : $A\cdot X=B$. Étendu:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(tableau) \right) $$

La matrice système étendue est : $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(tableau) \right) $.

Comme vous pouvez le voir, changer l'ordre des inconnues équivaut à réorganiser les colonnes de la matrice système. Mais quel que soit cet arrangement d'inconnues, il doit correspondre dans toutes les équations d'un SLAE donné.

Équations linéaires

Équations linéaires- un sujet mathématique relativement simple, que l'on retrouve assez souvent dans les devoirs d'algèbre.

Systèmes d'équations algébriques linéaires : concepts de base, types

Voyons ce que c'est et comment les équations linéaires sont résolues.

Habituellement, équation linéaire est une équation de la forme ax + c = 0, où a et c sont des nombres arbitraires, ou coefficients, et x est un nombre inconnu.

Par exemple, une équation linéaire serait :

Solution d'équations linéaires.

Comment résoudre des équations linéaires ?

Résoudre des équations linéaires est assez facile. Pour cela, une technique mathématique est utilisée, telle que transformation identitaire. Voyons ce que c'est.

Un exemple d'équation linéaire et sa solution.

Soit ax + c = 10, où a = 4, c = 2.

Ainsi, nous obtenons l'équation 4x + 2 = 10.

Afin de le résoudre plus facilement et plus rapidement, nous utiliserons la première méthode transformation identitaire- c'est-à-dire que nous transférons tous les nombres du côté droit de l'équation et laissons l'inconnu 4x du côté gauche.

Avoir:

Ainsi, l'équation est réduite à un problème très simple pour les débutants. Il ne reste plus qu'à utiliser la deuxième méthode de transformation identique - en laissant x sur le côté gauche de l'équation, transférez les nombres sur le côté droit. On a:

Examen:

4x + 2 = 10, où x = 2.

La réponse est correcte.

Graphique d'équation linéaire.

Lors de la résolution d'équations linéaires à deux variables, la méthode de traçage est également souvent utilisée. Le fait est qu'une équation de la forme ax + wy + c \u003d 0, en règle générale, a de nombreuses solutions, car de nombreux nombres tiennent à la place des variables, et dans tous les cas, l'équation reste vraie.

Par conséquent, pour faciliter la tâche, un graphique d'une équation linéaire est construit.

Pour le construire, il suffit de prendre une paire de valeurs variables - et, en les marquant avec des points sur le plan de coordonnées, tracez une ligne droite à travers eux. Tous les points sur cette ligne seront des variantes des variables de notre équation.

Expressions, conversion d'expressions

L'ordre des actions, des règles, des exemples.

Les expressions numériques, littérales et avec des variables dans leur enregistrement peuvent contenir des caractères de différentes opérations arithmétiques. Lors de la conversion d'expressions et du calcul des valeurs d'expressions, les actions sont effectuées dans un certain ordre, en d'autres termes, vous devez observer ordre des actions.

Dans cet article, nous déterminerons quelles actions doivent être effectuées en premier et lesquelles après. Commençons par le plus cas simples lorsque l'expression ne contient que des nombres ou des variables reliées par des signes plus, moins, multiplier et diviser. Ensuite, nous expliquerons quel ordre d'exécution des actions doit être suivi dans les expressions entre parenthèses. Enfin, considérez la séquence dans laquelle les actions sont effectuées dans des expressions contenant des puissances, des racines et d'autres fonctions.

D'abord multiplication et division, puis addition et soustraction

L'école offre ce qui suit une règle qui détermine l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans des expressions sans parenthèses:

• les actions sont exécutées dans l'ordre de gauche à droite,
• où la multiplication et la division sont effectuées en premier, puis l'addition et la soustraction.

La règle énoncée est perçue assez naturellement. L'exécution des actions dans l'ordre de gauche à droite s'explique par le fait qu'il est de coutume pour nous de tenir des registres de gauche à droite. Et le fait que la multiplication et la division s'effectuent avant l'addition et la soustraction s'explique par le sens que ces actions portent en elles-mêmes.

Voyons quelques exemples d'application de cette règle. Pour exemples, nous prendrons les expressions numériques les plus simples afin de ne pas être distrait par des calculs, mais de nous concentrer sur l'ordre dans lequel les actions sont effectuées.

Suivez les étapes 7−3+6.

L'expression originale ne contient pas de parenthèses, ni de multiplication et de division. Par conséquent, nous devons effectuer toutes les actions dans l'ordre de gauche à droite, c'est-à-dire que nous soustrayons d'abord 3 de 7, nous obtenons 4, après quoi nous ajoutons 6 à la différence 4 obtenue, nous obtenons 10.

Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit : 7−3+6=4+6=10.

Indiquez l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans l'expression 6:2·8:3.

Pour répondre à la question du problème, passons à la règle qui indique l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans des expressions sans parenthèses. L'expression originale ne contient que les opérations de multiplication et de division, et selon la règle, elles doivent être effectuées dans l'ordre de gauche à droite.

Premièrement, divisez 6 par 2, multipliez ce quotient par 8, et enfin, divisez le résultat par 3.

Concepts de base. Systèmes d'équations linéaires

Calculez la valeur de l'expression 17−5 6:3−2+4:2.

Tout d'abord, déterminons dans quel ordre les actions de l'expression d'origine doivent être effectuées. Il comprend à la fois la multiplication et la division et l'addition et la soustraction.

Tout d'abord, de gauche à droite, vous devez effectuer la multiplication et la division. Donc on multiplie 5 par 6, on obtient 30, on divise ce nombre par 3, on obtient 10. Maintenant on divise 4 par 2, on obtient 2. On substitue la valeur trouvée 10 au lieu de 5 6 : 3 dans l'expression originale, et la valeur 2 au lieu de 4 : 2, on a 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Dans l'expression résultante, il n'y a plus de multiplication et de division, il reste donc à effectuer les actions restantes dans l'ordre de gauche à droite : 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5 6:3−2+4:2=7.

Dans un premier temps, afin de ne pas confondre l'ordre d'exécution des actions lors du calcul de la valeur d'une expression, il convient de placer des nombres au-dessus des signes d'actions correspondant à l'ordre dans lequel elles sont effectuées. Pour l'exemple précédent, cela ressemblerait à ceci : .

Le même ordre d'opérations - d'abord la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction - doit être suivi lorsque vous travaillez avec des expressions littérales.

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Étapes 1 et 2

Dans certains manuels de mathématiques, il existe une division des opérations arithmétiques en opérations des première et deuxième étapes. Traitons cela.

En ces termes, la règle du paragraphe précédent, qui détermine l'ordre dans lequel les actions sont effectuées, s'écrira comme suit : si l'expression ne contient pas de parenthèses, alors dans l'ordre de gauche à droite, les actions de la deuxième étape ( multiplication et division) sont effectuées en premier, puis les actions de la première étape (addition et soustraction).

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Ordre d'exécution des opérations arithmétiques dans les expressions entre parenthèses

Les expressions contiennent souvent des parenthèses pour indiquer l'ordre dans lequel les actions doivent être effectuées. Dans ce cas une règle qui spécifie l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions entre parenthèses, est formulé comme suit : d'abord, les actions entre parenthèses sont effectuées, tandis que la multiplication et la division sont également effectuées dans l'ordre de gauche à droite, puis l'addition et la soustraction.

Ainsi, les expressions entre parenthèses sont considérées comme des composants de l'expression originale, et l'ordre des actions déjà connu de nous y est conservé. Considérez les solutions des exemples pour plus de clarté.

Effectuez les étapes indiquées 5+(7−2 3) (6−4):2.

L'expression contient des crochets, donc commençons par effectuer les opérations dans les expressions entre crochets. Commençons par l'expression 7−2 3. Dans celui-ci, vous devez d'abord effectuer la multiplication, et ensuite seulement la soustraction, nous avons 7−2 3=7−6=1. On passe à la seconde expression entre parenthèses 6−4. Il n'y a qu'une seule action ici - la soustraction, nous l'effectuons 6−4=2.

Nous substituons les valeurs obtenues dans l'expression originale : 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. Dans l'expression résultante, nous effectuons d'abord la multiplication et la division de gauche à droite, puis la soustraction, nous obtenons 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Sur ce, toutes les actions sont terminées, nous avons respecté l'ordre suivant de leur exécution : 5+(7−2 3) (6−4):2.

Écrivons solution courte: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

5+(7−2 3)(6−4):2=6.

Il arrive qu'une expression contienne des parenthèses entre parenthèses. Vous ne devriez pas avoir peur de cela, il vous suffit d'appliquer systématiquement la règle vocale pour effectuer des actions dans des expressions entre parenthèses. Montrons un exemple de solution.

Effectuez des actions dans l'expression 4+(3+1+4 (2+3)).

Il s'agit d'une expression entre parenthèses, ce qui signifie que l'exécution des actions doit commencer par une expression entre parenthèses, c'est-à-dire par 3 + 1 + 4 (2 + 3).

Cette expression contient également des parenthèses, vous devez donc d'abord y effectuer des actions. Faisons ceci : 2+3=5. En substituant la valeur trouvée, nous obtenons 3+1+4 5. Dans cette expression, on effectue d'abord la multiplication, puis l'addition, on a 3+1+4 5=3+1+20=24. La valeur initiale, après substitution de cette valeur, prend la forme 4+24, et il ne reste plus qu'à compléter les actions : 4+24=28.

4+(3+1+4 (2+3))=28.

En général, lorsque des parenthèses entre parenthèses sont présentes dans une expression, il est souvent pratique de commencer par les parenthèses intérieures et de progresser vers les parenthèses extérieures.

Par exemple, disons que nous devons effectuer des opérations dans l'expression (4+(4+(4−6:2))−1)−1. D'abord, nous effectuons des actions entre parenthèses internes, puisque 4−6:2=4−3=1, puis après cela l'expression originale prendra la forme (4+(4+1)−1)−1. Encore une fois, nous effectuons l'action entre parenthèses intérieures, puisque 4+1=5, nous arrivons à l'expression suivante (4+5−1)−1. Encore une fois, nous effectuons les actions entre parenthèses : 4+5−1=8, tandis que nous arrivons à la différence 8−1, qui est égale à 7.

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L'ordre dans lequel les opérations sont effectuées dans les expressions avec des racines, des puissances, des logarithmes et d'autres fonctions

Si l'expression comprend des puissances, des racines, des logarithmes, des sinus, des cosinus, des tangentes et des cotangentes, ainsi que d'autres fonctions, leurs valeurs sont calculées avant que les autres actions ne soient effectuées, tandis que les règles des paragraphes précédents qui spécifient l'ordre dans lesquelles les actions sont effectuées sont également prises en compte. En d'autres termes, les choses énumérées, grosso modo, peuvent être considérées comme entre parenthèses, et nous savons que les actions entre parenthèses sont effectuées en premier.

Prenons des exemples.

Effectuez les opérations dans l'expression (3+1) 2+6 2:3−7.

Cette expression contient une puissance de 6 2 , sa valeur doit être calculée avant d'effectuer la suite des étapes. Donc, nous effectuons l'exponentiation: 6 2 \u003d 36. Nous substituons cette valeur dans l'expression originale, elle prendra la forme (3+1) 2+36:3−7.

Ensuite, tout est clair: nous effectuons des actions entre parenthèses, après quoi il reste une expression sans parenthèses, dans laquelle, dans l'ordre de gauche à droite, nous effectuons d'abord la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction. Nous avons (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1) 2+6 2:3−7=13.

D'autres, y compris plus exemples complexes effectuer des actions dans des expressions avec des racines, des degrés, etc., vous pouvez voir le calcul des valeurs d'expression dans l'article.

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Premiers pas s'appellent addition et soustraction, et multiplication et division s'appellent actions de deuxième étape.

• Mathématiques: études. pour 5 cellules. enseignement général institutions / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21e éd., effacé. — M. : Mnemozina, 2007. — 280 p. : ill. ISBN 5-346-00699-0.

Ecrire le système d'équations algébriques linéaires sous forme générale

Qu'est-ce qu'une solution SLAE ?

La solution d'un système d'équations est un ensemble de n nombres,

Quand qui est substitué dans le système, chaque équation devient une identité.

Quel système est appelé conjoint (non conjoint) ?

Un système d'équations est dit cohérent s'il admet au moins une solution.

Un système est dit incohérent s'il n'a pas de solutions.

Quel système est appelé défini (indéfini) ?

Un système joint est dit défini s'il admet une solution unique.

Un système joint est dit indéterminé s'il a plus d'une solution.

Forme matricielle d'écriture d'un système d'équations

Rang du système vectoriel

Le rang d'un système de vecteurs est le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants.

Rang matriciel et moyens de le trouver

Rang matriciel- le plus élevé des ordres des mineurs de cette matrice dont le déterminant est différent de zéro.

La première méthode, la méthode des bordures, est la suivante :

Si tous les mineurs sont du 1er ordre, c'est-à-dire les éléments de la matrice sont égaux à zéro, alors r=0 .

Si au moins un des mineurs du 1er ordre n'est pas égal à zéro, et que tous les mineurs du 2ème ordre sont égaux à zéro, alors r=1.

Si le mineur de 2e ordre est différent de zéro, alors nous étudions les mineurs de 3e ordre. De cette manière, le mineur d'ordre k est trouvé et on vérifie si les mineurs d'ordre k+1 ne sont pas égaux à zéro.

Si tous les mineurs d'ordre k+1 sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal au nombre k. Ces mineurs d'ordre k + 1 sont généralement trouvés en "bordant" le mineur d'ordre k-ième.

La deuxième méthode pour déterminer le rang d'une matrice consiste à appliquer des transformations élémentaires de la matrice lorsqu'elle est élevée à une forme diagonale. Le rang d'une telle matrice est égal au nombre d'éléments diagonaux non nuls.

Solution générale d'un système inhomogène d'équations linéaires, ses propriétés.

Propriété 1. La somme de toute solution d'un système d'équations linéaires et de toute solution du système homogène correspondant est une solution du système d'équations linéaires.

Propriété 2.

Systèmes d'équations linéaires : concepts de base

La différence de deux solutions quelconques d'un système inhomogène d'équations linéaires est une solution du système homogène correspondant.

Méthode de Gauss pour résoudre SLAE

Sous-séquence :

1) une matrice développée du système d'équations est compilée

2) à l'aide de transformations élémentaires, la matrice est réduite à une forme d'étape

3) le rang de la matrice étendue du système et le rang de la matrice du système sont déterminés et le pacte de compatibilité ou d'incompatibilité du système est établi

4) en cas de compatibilité, le système d'équations équivalent s'écrit

5) la solution du système est trouvée. Les principales variables sont exprimées en termes de

Théorème de Kronecker-Capelli

Théorème de Kronecker - Capelli- critère de compatibilité du système d'équations algébriques linéaires :

Un système d'équations algébriques linéaires est cohérent si et seulement si le rang de sa matrice principale est égal au rang de sa matrice étendue, et le système a une solution unique si le rang est égal au nombre d'inconnues, et un ensemble infini de solutions si le rang moins que le nombre inconnue.

Pour qu'un système linéaire soit cohérent, il faut et il suffit que le rang de la matrice étendue de ce système soit égal au rang de sa matrice principale.

Quand le système n'a-t-il pas de solution, quand a-t-il une seule solution, a-t-il plusieurs solutions ?

Si le nombre d'équations du système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, alors ces systèmes d'équations ont une solution unique, et dans le cas d'un système homogène, tout inconnu les variables sont égales à zéro.

Un système d'équations linéaires qui a au moins une solution est dit compatible. Sinon, c'est-à-dire si le système n'a pas de solutions, alors il est dit incohérent.

Une équation linéaire est dite cohérente si elle a au moins une solution, et incohérente s'il n'y a pas de solution. Dans l'exemple 14 le système est compatible, la colonne est sa solution :

Cette solution peut aussi s'écrire sans matrices : x = 2, y = 1.

Un système d'équations sera dit indéfini s'il a plus d'une solution, et défini si la solution est unique.

Exemple 15. Le système est indéterminé. Par exemple, ... sont ses solutions. Le lecteur peut trouver de nombreuses autres solutions à ce système.

Formules reliant les coordonnées des vecteurs dans les anciennes et les nouvelles bases

Apprenons d'abord à résoudre des systèmes d'équations linéaires dans un cas particulier. Un système d'équations AX = B sera appelé Cramer si sa matrice principale А est carrée et non dégénérée. En d'autres termes, le nombre d'inconnues dans le système cramérien coïncide avec le nombre d'équations et |A| = 0.

Théorème 6 (règle de Cramer). Le système d'équations linéaires de Cramer a une solution unique donnée par les formules :

où ∆ = |A| est le déterminant de la matrice principale, Δi est le déterminant obtenu à partir de A en remplaçant la ième colonne par une colonne de termes libres.

On va faire la preuve pour n = 3, puisque dans le cas général les arguments sont similaires.

Donc, il existe un système Cramer :

Supposons d'abord qu'il existe une solution au système, c'est-à-dire qu'il existe

Multiplions le premier. égalité sur le complément algébrique de l'élément aii, la deuxième égalité - sur A2i, la troisième - sur A3i et additionner les égalités résultantes :

Système d'équations linéaires ~ Solution du système ~ Systèmes cohérents et incohérents ~ Système homogène ~ Compatibilité d'un système homogène ~ Rang de la matrice du système ~ Condition de compatibilité non triviale ~ Système fondamental de solutions. Solution générale ~ Etude d'un système homogène

Considérez le système méquations algébriques linéaires par rapport à n inconnue
x 1 , x 2 , …, x n :

Décision le système est appelé la totalité n valeurs inconnues

x 1 \u003d x' 1, x 2 \u003d x' 2, ..., x n \u003d x' n,

lors de la substitution de laquelle toutes les équations du système se transforment en identités.

Le système d'équations linéaires peut s'écrire sous forme matricielle :

où UN- matrice système, b- partie droite, X- la solution souhaitée App - matrice élargie systèmes :

.

Un système qui a au moins une solution est appelé découper; système qui n'a pas de solution incompatible.

Un système homogène d'équations linéaires est un système dont le côté droit est égal à zéro :

Vue matricielle d'un système homogène : hache=0.

Un système homogène est toujours cohérent, puisque tout système linéaire homogène admet au moins une solution :

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.

Si un système homogène a une solution unique, alors cette solution unique est nulle et le système est appelé trivialement joint. Si un système homogène a plus d'une solution, alors il y a des solutions non nulles parmi elles, et dans ce cas le système est appelé jointure non triviale.

Il a été prouvé qu'à m=n pour une compatibilité système non triviale nécessaire et suffisant de sorte que le déterminant de la matrice du système est égal à zéro.

EXEMPLE 1. Compatibilité non triviale d'un système homogène d'équations linéaires avec une matrice carrée.

En appliquant l'algorithme d'élimination gaussienne à la matrice du système, nous réduisons la matrice du système à la forme en escalier

.

Numéro r les lignes non nulles sous la forme échelonnée d'une matrice sont appelées rang matriciel, dénoter
r=rg(A) ou alors r=Rg(A).

L'assertion suivante est vraie.

Système d'équations algébriques linéaires

Pour qu'un système homogène soit non trivialement cohérent, il faut et il suffit que le rang r la matrice du système était inférieure au nombre d'inconnues n.

EXEMPLE 2. Compatibilité non triviale d'un système homogène de trois équations linéaires à quatre inconnues.

Si un système homogène est non trivialement cohérent, alors il a un nombre infini de solutions, et une combinaison linéaire de toutes les solutions du système est également sa solution.
On prouve que parmi l'ensemble infini des solutions d'un système homogène, exactement n-r solutions linéairement indépendantes.
Agrégat n-r les solutions linéairement indépendantes d'un système homogène sont appelées système de décision fondamental. Toute solution du système est exprimée linéairement en fonction du système fondamental. Ainsi, si le rang r matrices UN homogène système linéaire hache=0 moins d'inconnues n et vecteurs
e 1 , e 2 , …, e n-r forment son système fondamental de solutions ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), alors toute solution X systèmes hache=0 peut s'écrire sous la forme

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

où c 1 , c 2 , …, c n-r sont des constantes arbitraires. L'expression écrite s'appelle solution commune système homogène .

Rechercher

système homogène signifie établir s'il est cohérent de manière non triviale, et si c'est le cas, alors trouver un système fondamental de solutions et écrire une expression pour la solution générale du système.

Nous étudions un système homogène par la méthode de Gauss.

matrice du système homogène étudié, dont le rang est r< n .

Une telle matrice est réduite par l'élimination gaussienne à la forme étagée

.

Le système équivalent correspondant a la forme

De là, il est facile d'obtenir des expressions pour les variables x 1 , x 2 , …, x r par x r+1 , x r+2 , …, x n. variables
x 1 , x 2 , …, x r appelé variables de base et variables x r+1 , x r+2 , …, x n - variables libres.

En transférant les variables libres sur le côté droit, on obtient les formules

qui déterminent la solution globale du système.

Fixons successivement les valeurs des variables libres égales à

et calculer les valeurs correspondantes des variables de base. A reçu n-r les solutions sont linéairement indépendantes et forment donc un système fondamental de solutions du système homogène étudié :

Etude d'un système homogène pour la compatibilité par la méthode de Gauss.

Cependant, deux autres cas sont répandus dans la pratique :

– Le système est incohérent (n'a pas de solutions) ;
Le système est cohérent et a une infinité de solutions.

Noter : le terme "cohérence" implique que le système a au moins une solution. Dans un certain nombre de tâches, il est nécessaire d'examiner au préalable la compatibilité du système, comment procéder - voir l'article sur rang matriciel.

Pour ces systèmes, la plus universelle de toutes les méthodes de solution est utilisée - Méthode de Gauss. En fait, la voie « scolaire » conduira aussi à la réponse, mais en mathématiques supérieures Il est d'usage d'utiliser la méthode gaussienne d'élimination successive des inconnues. Ceux qui ne sont pas familiers avec l'algorithme de la méthode de Gauss, veuillez d'abord étudier la leçon méthode de gauss pour les nuls.

Les transformations matricielles élémentaires elles-mêmes sont exactement les mêmes, la différence sera à la fin de la solution. Considérons d'abord quelques exemples où le système n'a pas de solutions (incohérents).

Exemple 1

Qu'est-ce qui attire immédiatement votre attention dans ce système ? Le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Si le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables, alors on peut immédiatement dire que le système est incohérent ou a une infinité de solutions. Et il ne reste plus qu'à le savoir.

Le début de la solution est assez ordinaire - nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, nous l'amenons à une forme par étapes :

(1) Sur l'étape supérieure gauche, nous devons obtenir +1 ou -1. Il n'y a pas de tels nombres dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne fonctionnera pas. L'unité devra être organisée de manière indépendante, et cela peut se faire de plusieurs manières. J'ai fait ceci : à la première ligne, ajoutez la troisième ligne, multipliée par -1.

(2) Nous obtenons maintenant deux zéros dans la première colonne. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 5.

(3) Une fois la transformation effectuée, il est toujours conseillé de voir s'il est possible de simplifier les chaînes résultantes ? Pouvez. Nous divisons la deuxième ligne par 2, en obtenant en même temps le -1 souhaité à la deuxième étape. Divisez la troisième ligne par -3.

(4) Ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne.

Probablement, tout le monde a prêté attention à la mauvaise ligne, qui s'est avérée à la suite de transformations élémentaires: . Il est clair qu'il ne peut en être ainsi. En effet, on réécrit la matrice résultante retour au système d'équations linéaires :

Si, à la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme est obtenue, où est un nombre non nul, alors le système est incohérent (n'a pas de solutions) .

Comment enregistrer la fin d'une tâche ? Dessinons à la craie blanche: "à la suite de transformations élémentaires, une ligne de la forme est obtenue, où" et donnons la réponse: le système n'a pas de solutions (incohérent).

Si, selon la condition, il est nécessaire d'EXPLORER le système pour la compatibilité, alors il est nécessaire d'émettre une solution dans un style plus solide impliquant le concept rang matriciel et théorème de Kronecker-Capelli.

Veuillez noter qu'il n'y a pas de mouvement inverse de l'algorithme gaussien ici - il n'y a pas de solutions et il n'y a tout simplement rien à trouver.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires

Ceci est un exemple à faire soi-même. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon. Encore une fois, je vous rappelle que votre chemin de solution peut différer de mon chemin de solution, l'algorithme gaussien n'a pas une forte "rigidité".

Un autre caractéristique technique solutions : les transformations élémentaires peuvent être arrêtées Immediatement, dès qu'une ligne comme , où . Considérer exemple conditionnel: supposons qu'après la première transformation, nous obtenons une matrice . La matrice n'a pas encore été réduite à une forme étagée, mais il n'y a pas besoin d'autres transformations élémentaires, puisqu'une ligne de la forme est apparue, où . Il faut immédiatement répondre que le système est incompatible.

Lorsqu'un système d'équations linéaires n'a pas de solutions, c'est presque un cadeau, car une solution courte est obtenue, parfois littéralement en 2-3 étapes.

Mais tout dans ce monde est équilibré, et le problème dans lequel le système a une infinité de solutions est juste plus long.

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires

Il y a 4 équations et 4 inconnues, donc le système peut soit avoir une solution unique, soit n'avoir aucune solution, soit avoir une infinité de solutions. Quoi qu'il en soit, mais la méthode de Gauss nous conduira en tout cas à la réponse. C'est là sa polyvalence.

Le début est à nouveau standard. Nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, nous l'amenons à une forme en escalier :

C'est tout, et tu avais peur.

(1) Notez que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2, donc un 2 convient en haut à gauche. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par -4. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par -2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par -1.

Attention! Beaucoup peuvent être tentés de la quatrième ligne soustraire Première ligne. Cela peut être fait, mais ce n'est pas nécessaire, l'expérience montre que la probabilité d'une erreur dans les calculs augmente plusieurs fois. Additionnez simplement : à la quatrième ligne, ajoutez la première ligne, multipliée par -1 - exactement!

(2) Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles peuvent être supprimées.

Là encore, il faut montrer attention accrue, mais les droites sont-elles vraiment proportionnelles ? Pour la réassurance (surtout pour une théière), il ne sera pas superflu de multiplier la deuxième rangée par -1, et de diviser la quatrième rangée par 2, ce qui donne trois rangées identiques. Et seulement après cela, enlevez-en deux.

À la suite de transformations élémentaires, la matrice étendue du système est réduite à une forme étagée :

Lorsque vous effectuez une tâche dans un cahier, il est conseillé de prendre les mêmes notes au crayon pour plus de clarté.

On réécrit le système d'équations correspondant :

La seule solution "habituelle" du système ne sent pas ici. Il n'y a pas de mauvaise ligne non plus. Cela signifie qu'il s'agit du troisième cas restant - le système a une infinité de solutions. Parfois, par condition, il est nécessaire d'enquêter sur la compatibilité du système (c'est-à-dire de prouver qu'une solution existe), vous pouvez lire à ce sujet dans le dernier paragraphe de l'article Comment trouver le rang d'une matrice ? Mais pour l'instant, décomposons les bases :

L'ensemble infini de solutions du système est brièvement écrit sous la forme de ce que l'on appelle solution système générale .

Nous allons trouver la solution générale du système en utilisant le mouvement inverse de la méthode de Gauss.

Nous devons d'abord déterminer quelles variables nous avons basique, et quelles variables libre. Il n'est pas nécessaire de s'embarrasser des termes de l'algèbre linéaire, il suffit de se rappeler qu'il existe de telles variables de base et variables libres.

Les variables de base "s'assoient" toujours strictement sur les marches de la matrice.
À cet exemple les variables de base sont et

Les variables libres sont tout restant variables qui n'ont pas obtenu une étape. Dans notre cas, il y en a deux : - les variables libres.

Maintenant tu as besoin tout variables de base Express Seulement par variables libres.

Le mouvement inverse de l'algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut.
A partir de la seconde équation du système, on exprime la variable de base :

Regardez maintenant la première équation : . Tout d'abord, nous y substituons l'expression trouvée :

Il reste à exprimer la variable de base en termes de variables libres :

Le résultat est ce dont vous avez besoin - tout les variables de base ( et ) sont exprimées Seulement par variable libre :

En fait, la solution générale est prête :

Comment écrire la solution générale ?
Les variables libres sont écrites dans la solution générale "seules" et strictement à leur place. Dans ce cas, les variables libres doivent être écrites en deuxième et quatrième positions :
.

Les expressions résultantes pour les variables de base et doit évidemment être écrit en première et troisième positions :

Donner des variables libres valeurs arbitraires, il y a une infinité décisions privées. Les valeurs les plus populaires sont les zéros, car la solution particulière est la plus facile à obtenir. Remplacer dans la solution générale :

est une décision privée.

Les uns sont un autre joli couple, substituons à la solution générale :

est une autre solution particulière.

Il est facile de voir que le système d'équations a une infinité de solutions(puisqu'on peut donner des variables libres quelconque valeurs)

Chaque une solution particulière doit satisfaire pour chaqueéquation du système. C'est la base d'une vérification "rapide" de l'exactitude de la solution. Prenez, par exemple, une solution particulière et substituez-la dans le côté gauche de chaque équation du système d'origine :

Tout doit être réuni. Et avec toute solution particulière que vous obtenez, tout devrait également converger.

Mais, à proprement parler, la vérification d'une solution particulière trompe parfois ; une solution particulière peut satisfaire chaque équation du système, et la solution générale elle-même est en fait trouvée de manière incorrecte.

Par conséquent, la vérification de la solution générale est plus approfondie et fiable. Comment vérifier la solution générale résultante ?

C'est facile, mais assez fastidieux. Il faut prendre des expressions basique variables, dans ce cas et , et substituez-les dans le côté gauche de chaque équation du système.

A gauche de la première équation du système :

A gauche de la seconde équation du système :


Le côté droit de l'équation d'origine est obtenu.

Exemple 4

Résolvez le système en utilisant la méthode de Gauss. Trouvez une solution générale et deux solutions privées. Vérifiez la solution globale.

Ceci est un exemple à faire soi-même. Ici, en passant, encore une fois, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, ce qui signifie qu'il est immédiatement clair que le système sera soit incohérent, soit aura un nombre infini de solutions. Qu'est-ce qui est important dans le processus de décision lui-même ? Attention, et encore attention. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Et quelques autres exemples pour renforcer le matériel

Exemple 5

Résoudre un système d'équations linéaires. Si le système a une infinité de solutions, trouver deux solutions particulières et vérifier la solution générale

Décision: Écrivons la matrice augmentée du système et à l'aide de transformations élémentaires nous l'amenons à la forme en escalier :

(1) Ajoutez la première ligne à la deuxième ligne. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3.
(2) À la troisième ligne, ajoutez la deuxième ligne, multipliée par -5. À la quatrième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par -7.
(3) Les troisième et quatrième lignes sont identiques, nous en supprimons une.

Voici une telle beauté:

Les variables de base reposent sur des étapes, ce sont donc des variables de base.
Il n'y a qu'une seule variable libre, qui n'a pas obtenu d'étape :

Mouvement inverse :
Nous exprimons les variables de base en fonction de la variable libre :
A partir de la troisième équation :

Considérez la deuxième équation et substituez-y l'expression trouvée :

Considérez la première équation et substituez-y les expressions trouvées :

Oui, une calculatrice qui compte les fractions ordinaires est toujours pratique.

Donc la solution générale est :

Encore une fois, comment cela s'est-il passé ? La variable libre occupe seule la quatrième place qui lui revient. Les expressions résultantes pour les variables de base , ont également pris leurs places ordinales.

Vérifions immédiatement la solution générale. Travailler pour les noirs, mais je l'ai déjà fait, alors attrapez =)

Nous substituons trois héros , , dans le côté gauche de chaque équation du système :

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, de sorte que la solution générale est trouvée correctement.

Maintenant à partir de la solution générale trouvée on obtient deux solutions particulières. Le chef est ici la seule variable libre. Vous n'avez pas besoin de vous casser la tête.

Laissez alors est une décision privée.
Soit , alors une autre solution particulière.

Répondre: Décision commune : , solutions particulières : , .

Je n'aurais pas dû me souvenir des Noirs ici ... ... parce que toutes sortes de motifs sadiques me sont venus à l'esprit et je me suis souvenu du célèbre fotozhaba, dans lequel des hommes du Ku Klux Klans en salopette blanche traversent le terrain après un football noir joueur. Je m'assieds et souris tranquillement. Vous savez comment distrayant….

Beaucoup de mathématiques sont nuisibles, donc un exemple final similaire pour une solution indépendante.

Exemple 6

Trouver la solution générale du système d'équations linéaires.

J'ai déjà vérifié la solution générale, la réponse est fiable. Votre solution peut différer de ma solution, l'essentiel est que les solutions générales correspondent.

Probablement, beaucoup de gens ont remarqué un moment désagréable dans les solutions : très souvent, pendant le cours inverse de la méthode de Gauss, nous avons dû jouer avec fractions ordinaires. En pratique, cela est vrai, les cas où il n'y a pas de fractions sont beaucoup moins fréquents. Préparez-vous mentalement et, surtout, techniquement.

Je vais m'attarder sur certaines fonctionnalités de la solution qui n'ont pas été trouvées dans les exemples résolus.

La solution générale du système peut parfois inclure une constante (ou des constantes), par exemple : . Ici une des variables de base est égale à un nombre constant : . Il n'y a rien d'exotique là-dedans, ça arrive. Évidemment, dans ce cas, toute solution particulière contiendra un cinq en première position.

Rarement, mais il existe des systèmes dans lesquels nombre d'équations plus de quantité variables. La méthode de Gauss fonctionne dans les conditions les plus sévères ; il faut amener calmement la matrice étendue du système à une forme échelonnée selon l'algorithme standard. Un tel système peut être incohérent, peut avoir un nombre infini de solutions et, curieusement, peut avoir une solution unique.

Mission de service. Le calculateur en ligne est conçu pour étudier un système d'équations linéaires. Habituellement, dans l'état du problème, il est nécessaire de trouver solution générale et particulière du système. Lors de l'étude de systèmes d'équations linéaires, les problèmes suivants sont résolus:

1. si le système est collaboratif ;
2. si le système est compatible, alors il est défini ou indéfini (le critère de compatibilité du système est déterminé par le théorème) ;
3. si le système est défini, alors comment trouver sa solution unique (on utilise la méthode de Cramer, la méthode de la matrice inverse ou la méthode de Jordan-Gauss) ;
4. si le système est incertain, comment décrire l'ensemble de ses solutions.

Classification des systèmes d'équations linéaires

Un système arbitraire d'équations linéaires a la forme :
une 1 1 x 1 + une 1 2 x 2 + ... + une 1 n x n = b 1
une 2 1 x 1 + une 2 2 x 2 + ... + une 2 n x n = b 2
...................................................
une m 1 x 1 + une m 2 x 2 + ... + une m n X n = b m

1. Systèmes d'équations linéaires inhomogènes (le nombre de variables est égal au nombre d'équations, m = n).
2. Systèmes arbitraires d'équations linéaires inhomogènes (m > n ou m< n).

Définition. Une solution d'un système est tout ensemble de nombres c 1 ,c 2 ,...,c n , dont la substitution dans le système au lieu des inconnues correspondantes transforme chaque équation du système en une identité.

Définition. Deux systèmes sont dits équivalents si la solution du premier est solution du second et inversement.

Définition. Un système qui a au moins une solution est appelé découper. Un système qui n'a pas de solution est dit incohérent.

Définition. Un système avec une solution unique est appelé certain, et avoir plus d'une solution est indéfini.

Algorithme de résolution de systèmes d'équations linéaires

1. Trouvez les rangs des matrices principales et étendues. S'ils ne sont pas égaux, alors d'après le théorème de Kronecker-Capelli, le système est incohérent et l'étude se termine ici.
2. Soit rang(A) = rang(B) . Nous sélectionnons la mineure de base. Dans ce cas, tous les systèmes inconnus d'équations linéaires sont divisés en deux classes. Les inconnues dont les coefficients sont inclus dans la mineure de base sont dites dépendantes, et les inconnues dont les coefficients ne sont pas inclus dans la mineure de base sont dites libres. Notez que le choix des inconnues dépendantes et libres n'est pas toujours unique.
3. Nous biffons les équations du système dont les coefficients n'étaient pas inclus dans la mineure de base, car ce sont des conséquences du reste (selon le théorème de la mineure de base).
4. Les termes des équations contenant des inconnues libres seront transférés à droite. On obtient ainsi un système de r équations à r inconnues, équivalentes à celle donnée, dont le déterminant est différent de zéro.
5. Le système résultant est résolu de l'une des manières suivantes : la méthode de Cramer, la méthode de la matrice inverse ou la méthode de Jordan-Gauss. On trouve des relations qui expriment les variables dépendantes en termes de variables libres.

La résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important du cours d'algèbre linéaire. Un grand nombre de problèmes de toutes les branches des mathématiques sont réduits à la résolution de systèmes d'équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de la création de cet article. Le matériel de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide, vous puissiez

• choisir la méthode optimale pour résoudre votre système d'équations algébriques linéaires,
• étudier la théorie de la méthode choisie,
• résoudre votre système d'équations linéaires, après avoir examiné en détail les solutions d'exemples et de problèmes typiques.

Brève description du matériau de l'article.

Donnons tout d'abord définitions nécessaires, concepts et introduire la notation.

Ensuite, nous considérons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquels le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Premièrement, concentrons-nous sur la méthode de Cramer, deuxièmement, nous montrerons la méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, et troisièmement, nous analyserons la méthode de Gauss (la méthode d'élimination successive des variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous nous tournons vers la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires vue générale, dans lequel le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est dégénérée. Nous formulons le théorème de Kronecker-Capelli, qui nous permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution de systèmes (dans le cas de leur compatibilité) à l'aide de la notion de base mineure d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions des exemples.

Assurez-vous de vous attarder sur la structure de la solution générale des systèmes homogènes et non homogènes d'équations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale du SLAE est écrite à l'aide des vecteurs du système fondamental de solutions. Pour mieux comprendre, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous considérons des systèmes d'équations qui sont réduits à des systèmes linéaires, ainsi que divers problèmes, dans la solution desquels les SLAE apparaissent.

Navigation dans les pages.

Définitions, concepts, appellations.

On considérera des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p pouvant être égal à n ) de la forme

Variables inconnues, - coefficients (certains nombres réels ou complexes), - membres libres (également réels ou complexes).

Cette forme de SLAE est appelée coordonner.

À forme matricielle ce système d'équations a la forme ,
où - la matrice principale du système, - la matrice-colonne des variables inconnues, - la matrice-colonne des membres libres.

Si nous ajoutons à la matrice A comme (n + 1)-ème colonne la matrice-colonne des termes libres, alors nous obtenons le soi-disant matrice élargie systèmes d'équations linéaires. Habituellement, la matrice augmentée est désignée par la lettre T et la colonne des membres libres est séparée par une ligne verticale du reste des colonnes, c'est-à-dire

En résolvant un système d'équations algébriques linéaires appelé un ensemble de valeurs de variables inconnues , qui transforme toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour les valeurs données des variables inconnues se transforme également en une identité.

Si un système d'équations a au moins une solution, alors on l'appelle découper.

Si le système d'équations n'a pas de solution, alors on l'appelle incompatible.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain; s'il y a plus d'une solution, alors - incertain.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système est appelé homogène, autrement - hétérogène.

Solution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations du système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, nous appellerons ces SLAE élémentaire. De tels systèmes d'équations ont une solution unique, et dans le cas d'un système homogène, toutes les variables inconnues sont égales à zéro.

Nous avons commencé à étudier ces SLAE en lycée. Lors de leur résolution, nous prenions une équation, exprimions une variable inconnue en termes d'autres et la substituions dans les équations restantes, puis prenions l'équation suivante, exprimions la variable inconnue suivante et la substituions dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou ils ont utilisé la méthode d'addition, c'est-à-dire qu'ils ont ajouté deux équations ou plus pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes en détail, car ce sont essentiellement des modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Trions-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Cramer.

Soit de résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, c'est-à-dire .

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et sont des déterminants de matrices obtenus à partir de A en remplaçant 1er, 2e, …, nième colonne respectivement à la colonne des membres libres :

Avec une telle notation, les variables inconnues sont calculées par les formules de la méthode de Cramer comme . C'est ainsi que la solution d'un système d'équations algébriques linéaires est trouvée par la méthode de Cramer.

Exemple.

Méthode Cramer .

Décision.

La matrice principale du système a la forme . Calculez son déterminant (si besoin, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, le système a une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composer et calculer les déterminants nécessaires (le déterminant s'obtient en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de membres libres, le déterminant - en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de membres libres, - en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de membres libres ):

Recherche de variables inconnues à l'aide de formules :

Répondre:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut l'appeler un inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations du système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle (en utilisant la matrice inverse).

Supposons que le système d'équations algébriques linéaires soit donné sous forme matricielle , où la matrice A est de dimension n sur n et son déterminant est non nul.

Puisque , alors la matrice A est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice inverse . Si nous multiplions les deux parties de l'égalité par à gauche, nous obtenons une formule pour trouver la matrice de colonne des variables inconnues. Nous avons donc obtenu la solution du système d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre le système d'équations linéaires méthode matricielle.

Décision.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Comme

alors le SLAE peut être résolu par la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme .

Construisons une matrice inverse à l'aide d'une matrice de compléments algébriques des éléments de la matrice A (si nécessaire, voir l'article) :

Il reste à calculer - la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse sur la matrice-colonne des membres libres (si besoin, voir l'article) :

Répondre:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème dans la recherche de solutions aux systèmes d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour les matrices carrées d'ordre supérieur au tiers.

Résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss.

Supposons que nous ayons besoin de trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.

L'essence de la méthode de Gauss consiste en l'exclusion successive de variables inconnues : d'abord, x 1 est exclu de toutes les équations du système, à partir de la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, à partir de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à l'inconnue seule x n reste dans la dernière équation. Un tel processus de transformation des équations du système pour l'élimination successive des variables inconnues est appelé méthode de Gauss directe. Une fois l'exécution directe de la méthode de Gauss terminée, x n est trouvé à partir de la dernière équation, x n-1 est calculé à partir de l'avant-dernière équation en utilisant cette valeur, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première s'appelle méthode de Gauss inverse.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons que , puisque nous pouvons toujours y parvenir en réarrangeant les équations du système. Nous excluons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, à partir de la seconde. Pour ce faire, ajoutez la première équation multipliée par à la deuxième équation du système, ajoutez la première multipliée par à la troisième équation, et ainsi de suite, ajoutez la première multipliée par à la nième équation. Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où un .

Nous arriverions au même résultat si nous exprimions x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substituions l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous agissons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marqué sur la figure

Pour ce faire, ajoutez la deuxième équation multipliée par à la troisième équation du système, ajoutez la deuxième multipliée par à la quatrième équation, et ainsi de suite, ajoutez la seconde multipliée par à la nième équation. Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où un . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, on procède à l'élimination de l'inconnue x 3, en agissant de même avec la partie du système repérée sur la figure

On continue donc le cours direct de la méthode de Gauss jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment, on commence le cours inverse de la méthode de Gauss : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation.

Exemple.

Résoudre le système d'équations linéaires Méthode gaussienne.

Décision.

Excluons la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux parties des deuxième et troisième équations, on ajoute les parties correspondantes de la première équation, multipliées par et par, respectivement :

Maintenant, nous excluons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses parties gauche et droite les parties gauche et droite de la deuxième équation, multipliées par :

Sur ce, le parcours aller de la méthode de Gauss est terminé, on entame le parcours inverse.

De la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons x 3 :

De la deuxième équation, nous obtenons .

À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et cela complète le cours inverse de la méthode de Gauss.

Répondre:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

Dans le cas général, le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre d'inconnues n :

Ces SLAE peuvent n'avoir aucune solution, avoir une seule solution ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice principale est carrée et dégénérée.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d'équations linéaires, il est nécessaire d'établir sa compatibilité. La réponse à la question quand SLAE est compatible, et quand il est incompatible, donne Théorème de Kronecker-Capelli:
pour qu'un système de p équations à n inconnues (p pouvant être égal à n ) soit cohérent il faut et il suffit que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, soit Rang( A)=Rang(T) .

Prenons l'exemple de l'application du théorème de Kronecker-Cappelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires a solutions.

Décision.

. Utilisons la méthode du bordering des mineurs. Mineur du second ordre différent de zéro. Passons en revue les mineurs de troisième ordre qui l'entourent :

Puisque tous les mineurs de troisième ordre limitrophes sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est de deux.

À son tour, le rang de la matrice augmentée est égal à trois, puisque la mineure du troisième ordre

différent de zéro.

Ainsi, Rang(A) , donc, selon le théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Répondre:

Il n'y a pas de système de solution.

Ainsi, nous avons appris à établir l'incohérence du système en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli.

Mais comment trouver la solution du SLAE si sa compatibilité est établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin de la notion de base mineure d'une matrice et du théorème sur le rang d'une matrice.

Le mineur d'ordre le plus élevé de la matrice A, différent de zéro, est appelé basique.

Il résulte de la définition de la base mineure que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle, il peut y avoir plusieurs mineurs de base ; il y a toujours un mineur de base.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs de troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième rangée de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième rangées.

Les mineurs suivants du second ordre sont basiques, puisqu'ils sont non nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu'ils sont égaux à zéro.

Théorème de rang matriciel.

Si le rang d'une matrice d'ordre p sur n est r, alors tous les éléments des lignes (et colonnes) de la matrice qui ne forment pas la base mineure choisie sont exprimés linéairement en fonction des éléments correspondants des lignes (et colonnes ) qui forment la base mineure.

Que nous donne le théorème de rang matriciel ?

Si, par le théorème de Kronecker-Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quel mineur de base de la matrice principale du système (son ordre est égal à r), et excluons du système toutes les équations qui ne forment la mineure de base choisie. Le SLAE obtenu de cette manière sera équivalent à celui d'origine, car les équations écartées sont toujours redondantes (selon le théorème de rang matriciel, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

Par conséquent, après avoir écarté les équations excessives du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera défini et la seule solution peut être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

.

Décision.

Rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque la mineure du second ordre différent de zéro. Rang matriciel étendu est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est égal à zéro

et le mineur du second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker-Capelli, on peut affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang(A)=Rang(T)=2 .

Comme mineur de base, nous prenons . Il est formé par les coefficients des première et deuxième équations :


La troisième équation du système ne participe pas à la formation de la base mineure, nous l'excluons donc du système basé sur le théorème de rang matriciel :


Alors nous avons système élémentaireéquations algébriques linéaires. Résolvons-le par la méthode de Cramer :


Répondre:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE résultant est inférieur au nombre de variables inconnues n, alors nous laissons les termes formant le mineur de base dans les parties gauches des équations, et transférons les termes restants dans les parties droites des équations de le système de signe opposé.

Les inconnues (il y en a r) restant sur les membres gauches des équations sont appelées principale.

Les variables inconnues (il y en a n - r) qui se sont retrouvées du côté droit sont appelées libre.

Maintenant, nous supposons que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, tandis que les r variables inconnues principales seront exprimées en fonction des variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE obtenu par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Prenons un exemple.

Exemple.

Résoudre le système d'équations algébriques linéaires .

Décision.

Trouver le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Prenons a 1 1 = 1 comme mineur non nul du premier ordre. Commençons la recherche d'un mineur de second ordre non nul entourant ce mineur :


Nous avons donc trouvé un mineur non nul du second ordre. Commençons la recherche d'un mineur voisin non nul du troisième ordre :


Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice augmentée est également égal à trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Le mineur non nul trouvé du troisième ordre sera pris comme celui de base.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui forment la base mineure:


Nous laissons les termes participant au mineur de base sur le côté gauche des équations du système, et transférons le reste avec des signes opposés sur les côtés droits :


Nous donnons aux inconnues libres x 2 et x 5 des valeurs arbitraires, c'est-à-dire que nous prenons , où sont des nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prend la forme


Nous résolvons le système élémentaire d'équations algébriques linéaires obtenu par la méthode de Cramer :


Ainsi, .

Dans la réponse, n'oubliez pas d'indiquer les inconnues libres.

Répondre:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumer.

Pour résoudre un système d'équations algébriques linéaires de forme générale, nous découvrons d'abord sa compatibilité à l'aide du théorème de Kronecker-Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors on conclut que le système est incohérent.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors on choisit la mineure de base et on écarte les équations du système qui ne participent pas à la formation de la mineure de base choisie.

Si l'ordre de la base mineure est égal au nombre de variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, qui peut être trouvée par n'importe quelle méthode connue de nous.

Si l'ordre de la base mineure est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les principales variables inconnues, transférons les termes restants sur les côtés droits et attribuons des valeurs arbitraires aux inconnues libres. A partir du système d'équations linéaires résultant, on retrouve les principales inconnues par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

En utilisant la méthode de Gauss, on peut résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de toute sorte sans leur recherche préliminaire de compatibilité. Le processus d'exclusion successive des variables inconnues permet de tirer une conclusion à la fois sur la compatibilité et l'incohérence du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

Du point de vue du travail informatique, la méthode gaussienne est préférable.

Regarde ça Description détaillée et analysé des exemples dans l'article Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

Enregistrement de la solution générale de systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes à l'aide des vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous nous concentrerons sur les systèmes conjoints homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires qui ont un nombre infini de solutions.

Traitons d'abord les systèmes homogènes.

Système de décision fondamental Un système homogène de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues est un ensemble de (n – r) solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre de la base mineure de la matrice principale du système.

Si nous désignons des solutions linéairement indépendantes d'un SLAE homogène comme X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sont des matrices colonnes de dimension n par 1 ) , alors la solution générale de ce système homogène est représentée comme une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions avec des coefficients constants arbitraires С 1 , С 2 , …, С (n-r), c'est-à-dire .

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule définit tout solutions possibles le SLAE d'origine, en d'autres termes, en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires С 1 , С 2 , …, С (n-r) , selon la formule, nous obtenons l'une des solutions du SLAE homogène d'origine.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de ce SLAE homogène comme .

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions pour un SLAE homogène.

Nous choisissons la mineure de base du système original d'équations linéaires, excluons toutes les autres équations du système et transférons au membre droit des équations du système de signes opposés tous les termes contenant des inconnues libres. Donnons aux variables inconnues libres les valeurs 1,0,0,…,0 et calculons les principales inconnues en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de quelque manière que ce soit, par exemple, par la méthode de Cramer. Ainsi, X (1) sera obtenu - la première solution du système fondamental. Si nous donnons aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0,…,0 et calculons les inconnues principales, alors nous obtenons X (2) . Etc. Si nous donnons aux variables inconnues libres les valeurs 0,0,…,0,1 et calculons les principales inconnues, alors nous obtenons X (n-r) . C'est ainsi que sera construit le système fondamental de solutions du SLAE homogène et sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes non homogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée par

Regardons des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires .

Décision.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Trouvons le rang de la matrice principale par la méthode des franges mineures. Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvez le mineur non nul voisin du second ordre :

Un mineur du second ordre, différent de zéro, est trouvé. Passons en revue les mineurs de rang 3 qui la bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, par conséquent, le rang de la matrice principale et étendue est de deux. Prenons la mineure de base. Pour plus de clarté, nous notons les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE original ne participe pas à la formation de la mineure de base, elle peut donc être exclue :

On laisse les termes contenant les principales inconnues sur les membres droits des équations, et on reporte les termes à inconnues libres sur les membres droits :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Le système fondamental de solutions de ce SLAE se compose de deux solutions, puisque le SLAE original contient quatre variables inconnues, et l'ordre de sa mineure de base est de deux. Pour trouver X (1), on donne aux inconnues libres les valeurs x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, puis on trouve les principales inconnues du système d'équations
.