Secvențe numerice și modalități de a le seta. Sarcina de lucru practic „Specificarea secvențelor numerice în diverse moduri, calcularea membrilor unei secvențe

În această lecție, vom începe studiul progresiilor. Aici ne vom familiariza cu secvența de numere și cum să o setăm.

În primul rând, ne amintim definiția și proprietățile funcțiilor argumentelor numerice și luăm în considerare un caz special al unei funcții când x aparține mulțimii numere naturale. Dăm o definiție a unei secvențe numerice și dăm câteva exemple. Vom arăta o modalitate analitică de a specifica o secvență prin formula celui de-al n-lea membru al acesteia și vom lua în considerare câteva exemple pentru specificarea și determinarea unei secvențe. Apoi, luați în considerare atribuirea verbală și recurentă a unei secvențe.

Tema: Progresii

Lecţie: Secvență numericăși cum să-l setați

1. Repetiție

Secvență numerică, după cum vom vedea, acesta este un caz special al unei funcții, așa că să ne amintim definiția funcției.

O funcție este o lege conform căreia fiecărei valori valide a unui argument i se atribuie o valoare unică a funcției.

Iată exemple de funcții cunoscute.

Orez. 1. Graficul unei funcții

Toate valorile sunt permise, cu excepția 0. Graficul acestei funcții este o hiperbolă (vezi Fig.1).

2.. Toate valorile sunt permise, .

Orez. 2. Graficul funcției

Programa funcţie pătratică- parabolă, sunt marcate și punctele caracteristice (vezi Fig. 2).

3..

Orez. 3. Graficul unei funcții

Toate valorile x sunt permise. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă (vezi Fig. 3).

2. Definirea unei succesiuni numerice

Dacă x ia doar valori naturale (), atunci avem un caz special, și anume o succesiune numerică.

Amintiți-vă că numerele naturale sunt 1, 2, 3, …, n, …

Funcția , unde , se numește o funcție a unui argument natural sau o secvență numerică și se notează după cum urmează: sau , sau .

Să explicăm ce înseamnă, de exemplu, notația.

Aceasta este valoarea funcției când n=1, adică .

Aceasta este valoarea funcției când n=2, adică etc...

Aceasta este valoarea funcției când argumentul este n, adică .

3. Secvențe de mostre

1. este formula termenului general. Setăm valori diferite pentru n, obținem valori diferite pentru y - membrii secvenței.

Când n=1; , când n=2 etc., .

Numerele sunt membri ai unei succesiuni date, iar punctele se află pe hiperbolă - graficul funcției (vezi Fig. 4).

Orez. 4. Graficul funcției

Dacă n=1, atunci ; dacă n=2, atunci ; dacă n=3, atunci etc.

Numerele sunt membri ai unei secvențe date, iar punctele se află pe o parabolă - graficul unei funcții (vezi Fig. 5).

Orez. 5. Graficul funcției

Orez. 6. Graficul funcției

Dacă n=1, atunci ; dacă n=2 atunci ; dacă n=3 atunci etc.

Numerele sunt membri ai unei secvențe date, iar punctele se află pe o dreaptă - graficul funcției (vezi Fig. 6).

4. Metodă analitică de precizare a secvenței

Există trei moduri de a specifica secvențele: analitică, verbală și recurentă. Să luăm în considerare fiecare dintre ele în detaliu.

Secvența este dată analitic dacă este dată formula celui de-al n-lea termen al său.

Să ne uităm la câteva exemple.

1. Găsiți mai mulți membri ai șirului, care este dat de formula celui de-al n-lea membru: (un mod analitic de specificare a șirului).

Decizie. Dacă n=1, atunci ; dacă n=2, atunci ; dacă n=3 atunci etc.

Pentru o secvență dată, găsim și .

.

.

2. Se consideră șirul dat de formula celui de-al n-lea membru: (mod analitic de precizare a secvenței).

Să găsim mai mulți membri ai acestei secvențe.

Dacă n=1, atunci ; dacă n=2 atunci ; dacă n=3 atunci etc.

În general, nu este greu de înțeles că membrii acestei secvențe sunt acele numere care, împărțite la 4, dau un rest de 1.

A. Pentru o secvență dată, găsiți .

Decizie: . Răspuns: .

b. Sunt date două numere: 821, 1282. Sunt aceste numere membre ale secvenței date?

Pentru ca numărul 821 să fie membru al șirului, este necesar ca egalitatea: sau . Ultima egalitate este o ecuație pentru n. Dacă decizia ecuația dată este un număr natural, atunci răspunsul este da.

În acest caz, este. .

Răspuns: da, 821 este membru al secvenței date, .

Să trecem la al doilea număr. Raționament similar ne conduce la rezolvarea ecuației: .

Răspuns: întrucât n nu este un număr natural, numărul 1282 nu este membru al șirului dat.

Formulele care definesc analitic o succesiune pot fi foarte diferite: simple, complexe etc. Cerința pentru ele este aceeași: fiecare valoare a lui n trebuie să corespundă unui singur număr.

3. Dată: succesiunea este dată de următoarea formulă.

Găsiți primii trei membri ai secvenței.

, , .

Răspuns: , , .

4. Sunt numerele membre ale succesiunii?

A. , adică . Rezolvând această ecuație, obținem asta. Acesta este un număr natural.

Răspuns: primul număr dat este un membru al acestei secvențe, și anume al cincilea membru al acesteia.

b. , adică . Rezolvând această ecuație, obținem asta. Acesta este un număr natural.

Răspuns: al doilea număr dat este, de asemenea, un membru al acestei secvențe, și anume al nouăzeci și nouălea membru al său.

5. Mod verbal de stabilire a succesiunii

Am luat în considerare o modalitate analitică de a specifica o secvență numerică. Este convenabil, comun, dar nu singurul.

Următorul mod este atribuirea verbală a secvenței.

Secvența, fiecare dintre membrii săi, posibilitatea de a calcula fiecare dintre membrii săi pot fi specificate în cuvinte, nu neapărat formule.

Exemplul 1 O succesiune de numere prime.

Amintiți-vă că un număr prim este un număr natural care are exact doi divizori diferiți: 1 și numărul însuși. Numerele prime sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.

Sunt nenumărate dintre ele. Euclid a mai demonstrat că șirul acestor numere este infinit, adică nu există cel mai mare număr prim. Secvența este dată, fiecare termen poate fi calculat, plictisitor, dar poate fi calculat. Această secvență este dată verbal. Din pacate formulele nu sunt disponibile.

Exemplul 2 Luați în considerare numărul =1,41421...

Aceasta este număr irațional, notația sa zecimală oferă un număr infinit de cifre. Să considerăm o succesiune de aproximări zecimale ale unui număr prin deficiență: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; etc.

Există un număr infinit de membri ai acestei secvențe, fiecare dintre ei putând fi calculat. Este imposibil să setați această secvență printr-o formulă, așa că o descriem verbal.

6. Mod recursiv de a specifica o secvență

Am luat în considerare două moduri de a specifica o secvență numerică:

1. Metodă analitică, când este dată formula celui de-al n-lea membru.

2. Atribuirea verbală a secvenței.

Și, în sfârșit, există o succesiune recurentă, când sunt date regulile de calcul al celui de-al n-lea termen din termenii anteriori.

Considera

Exemplul 1 Secvența Fibonacci (secolul al XIII-lea).

Referință istorică:

Leonardo din Pisa (aproximativ 1170, Pisa - aproximativ 1250) - primul matematician important Europa medievală. El este cel mai bine cunoscut sub porecla Fibonacci.

Multe din ceea ce a învățat el a expus în remarcabila sa Carte a Abacului (Liber abaci, 1202; doar manuscrisul completat din 1228 a supraviețuit până astăzi). Această carte conține aproape toate informațiile aritmetice și algebrice ale vremii, prezentate cu o completitudine și profunzime excepționale. „Cartea abacului” se ridică brusc deasupra literaturii aritmetice și algebrice europene din secolele XII-XIV. varietatea și puterea metodelor, bogăția sarcinilor, dovezile prezentării. Matematicienii ulterioare au tras din aceasta atât probleme, cât și metode de rezolvare a acestora. Potrivit primei cărți, multe generații de matematicieni europeni au studiat sistemul indian de numere poziționale.

Primii doi termeni sunt dați și fiecare termen ulterior este suma celor doi anteriori

unu; unu; 2; 3; 5; opt; treisprezece; 21; 34; 55; ... sunt primii câțiva membri ai șirului Fibonacci.

Această secvență este dată recursiv, al-lea membru depinde de cele două anterioare.

Exemplul 2

În această secvență, fiecare termen ulterior este mai mare decât cel anterior cu 2. O astfel de secvență se numește progresie aritmetică.

Numerele 1, 3, 5, 7... sunt primii membri ai acestei secvențe.

Să mai dăm un exemplu de atribuire recurentă a unei secvențe.

Exemplul 3

Secvența este dată după cum urmează:

Fiecare termen ulterior al acestei secvențe se obține prin înmulțirea termenului anterior cu același număr q. O astfel de secvență are un nume special - o progresie geometrică. Progresiile aritmetice și geometrice vor fi obiectul studiului nostru în lecțiile următoare.

Să găsim câțiva membri ai șirului specificat la b=2 și q=3.

Numerele 2; 6; optsprezece; 54; 162 ... sunt primii câțiva membri ai acestei secvențe.

Interesant este că această secvență poate fi specificată și analitic, adică puteți alege o formulă. În acest caz, formula va fi următoarea.

Într-adevăr: dacă n=1, atunci ; dacă n=2, atunci ; dacă n=3 atunci etc.

Astfel, afirmăm că aceeași secvență poate fi dată atât analitic, cât și recurent.

7. Rezumatul lecției

Deci, am luat în considerare ce este o secvență numerică și cum să o setăm.

În lecția următoare, ne vom familiariza cu proprietățile secvențelor numerice.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebră clasa a 9-a (manual pentru liceu).-M.: Educație, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebră pentru clasa a 9-a cu aprofundare. studiu matematică.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Capitole suplimentare ale manualului școlar de algebră clasa 9.-M .: Educație, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Culegere de probleme de algebră pentru 8-9 clase ( tutorial pentru elevii şcolilor şi claselor cu aprofundare. studiu matematică).-M.: Educaţie, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebră clasa a 9-a, manual pentru instituțiile de învățământ general. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra clasa a 9-a, cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Istoria matematicii la scoala. Clasele 7-8 (un ghid pentru profesori).-M.: Enlightenment, 1983.

1. Secția colegiu. ru la matematică.

2. Portalul Științelor Naturii.

3. Exponenţial. ru Site de matematică educațională.

1. Nr. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. și colab. Algebră Grad 9).

2. Nr. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Culegere de probleme de algebră pentru clasele 8-9).

Algebră. Clasa a 9-a
Lecția #32
Data:_____________
Profesor: Gorbenko Alena Sergeevna
Subiect: Secvență numerică, modalități de setare și proprietăți
Tip de lecție: combinată
Scopul lecției: a da conceptul și definiția unei secvențe numerice, a lua în considerare modalități
atribuiri de secvenţe numerice
Sarcini:
Educațional: pentru a familiariza elevii cu conceptul de succesiune numerică și de membru
succesiune numerică; familiarizați-vă cu analitice, verbale, recurente și
modalități grafice de stabilire a unei secvențe numerice; luați în considerare tipurile de numere
secvențe; pregătirea pentru EAEA;
Dezvoltarea: dezvoltarea alfabetizării matematice, gândirii, tehnici de calcul, abilități
comparații la alegerea unei formule; insuflarea interesului pentru matematică;
Educativ: educarea deprinderilor de activitate independentă; claritate și
organizarea în muncă; permite fiecărui student să reușească;
Echipament: rechizite școlare, tablă, cretă, manual, fișe.
În timpul orelor
eu. Organizarea timpului
 Salutare reciprocă;
 Fixarea absenților;
 Anunțarea temei lecției;
 Stabilirea de către elevi a scopurilor și obiectivelor lecției.
Secvența este unul dintre cele mai de bază concepte din matematică. Secvența poate
să fie compus din numere, puncte, funcții, vectori etc.
Astăzi în lecție ne vom familiariza cu conceptul de „secvență numerică”, vom afla ce
pot exista secvente, sa facem cunostinta cu celebrele secvente.

II. Actualizarea cunoștințelor de bază.
Cunoașteți funcții definite pe întreaga linie numerică sau pe continuă
III.
intervale:
funcția liniară y \u003d kx + v,
funcția pătratică y \u003d ax2 + inx + c,


 funcţia y =



 funcţia y = |x|.
Pregătirea pentru perceperea noilor cunoștințe
proporționalitate directă y \u003d kx,
proporționalitate inversă y \u003d k / x,
funcția cubică y = x3,
,
Dar există funcții definite pe alte seturi.
Exemplu. Multe familii au un obicei, un fel de ritual: de ziua unui copil
părinţii îl aduc la cadru de ușăși sărbători solemn creșterea bărbatului de naștere pe ea.
Copilul crește, iar de-a lungul anilor apare o întreagă scară de urme pe sticlă. Trei, cinci, doi: Asta este
succesiune de creștere de la an la an. Dar există o altă secvență și anume
membrii săi sunt scrise cu atenție lângă serife. Aceasta este o secvență de valori de creștere.
Cele două secvențe sunt legate între ele.
Al doilea se obține din primul prin adăugare.
Creșterea este suma câștigurilor pentru toți anii anteriori.
Luați în considerare alte câteva probleme.
Sarcina 1. În depozit sunt 500 de tone de cărbune, 30 de tone sunt livrate în fiecare zi. Cât cărbune va fi
in stoc in 1 zi? 2 zile? 3 zile? Ziua 4? Ziua 5?
(Răspunsurile elevilor sunt scrise pe tablă: 500, 530, 560, 590, 620).
Sarcina 2. În perioada de creștere intensivă, o persoană crește în medie cu 5 cm pe an. Acum creștere
elevul S. are 180 cm.Cat va fi in 2026? (2m 30 cm). Dar asta nu trebuie să fie
poate. De ce?
Sarcina 3. În fiecare zi, fiecare persoană cu gripă poate infecta alte 4 persoane.
În câte zile se vor îmbolnăvi toți elevii școlii noastre (300 de persoane)? (După 4 zile).
Acestea sunt exemple de funcții definite pe mulțimea numerelor naturale - numerice
secvente.
Scopul lecției este: Găsiți modalități de a găsi orice membru al secvenței.
Obiectivele lecției: Aflați ce este o secvență numerică și cum
secvente.
IV. Învățarea de materiale noi
Definiție: O secvență numerică este o funcție definită pe o mulțime
numerele naturale (secvențele constituie astfel de elemente ale naturii care
pot fi numerotate).
Conceptul de succesiune numerică a apărut și s-a dezvoltat cu mult înainte de crearea doctrinei lui
funcții. Iată exemple de secvențe de numere infinite cunoscute în trecut
antichități:
1, 2, 3, 4, 5, : succesiune de numere naturale;
2, 4, 6, 8, 10, : succesiune de numere pare;
1, 3, 5, 7, 9, : succesiune de numere impare;
1, 4, 9, 16, 25, : succesiunea de pătrate de numere naturale;
2, 3, 5, 7, 11, : succesiunea numerelor prime;
,
1,
Numărul de membri ai fiecăreia dintre aceste serii este infinit; primele cinci secvențe
, : succesiune de reciproce ale numerelor naturale.
,
monoton crescând, acesta din urmă monoton în scădere.

Denumire: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:numărul de secvență al membrului secvenței.
(yn) secvență, ynth membru al secvenței.
(o) secvență, al n-lea membru al secvenței.
an1 este membrul anterior al secvenței,
un +1 membru ulterior al secvenței.
Secvențele sunt finite și infinite, crescătoare și descrescătoare.
Sarcini pentru elevi: Notați primii 5 membri ai secvenței:
De la primul număr natural crește cu 3.
De la 10 crește de 2 ori și scade de 1.
De la numărul 6, alternează o creștere de 2 și o creștere de 2 ori.
Aceste serii de numere sunt numite și secvențe de numere.
Metode de secvențiere:
mod verbal.
Regulile de succesiune sunt descrise în cuvinte, fără formule sau
când nu există regularităţi între elementele secvenţei.
Exemplul 1. O succesiune de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Exemplul 2. O mulțime arbitrară de numere: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Exemplul 3. Secvența numerelor pare 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
mod analitic.
Orice element al n-lea al secvenței poate fi determinat folosind o formulă.
Exemplul 1. Succesiunea numerelor pare: y = 2n.
Exemplul 2. Sirul pătratului numerelor naturale: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Exemplul 3. Secvență staționară: y = C; C, C, C, ..., C, ...
caz special: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Exemplul 4. Secvența y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
mod recursiv.
Este specificată o regulă care permite calcularea celui de-al n-lea element al secvenței dacă
elementele sale anterioare sunt cunoscute.
Exemplul 1. Progresie aritmetică: a1=a, an+1=an+d, unde a și d sunt numere date, d
diferența unei progresii aritmetice. Fie a1=5, d=0,7, apoi progresia aritmetică
va arăta astfel: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
Exemplul 2. Progresie geometrică: b1= b, bn+1= bnq, unde b și q sunt date numere, b
0,
0; q este numitorul progresie geometrică. Fie b1=23, q=½, apoi geometric
q
progresia va arăta astfel: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Mod grafic. Secvență numerică
dat de un grafic care este
puncte izolate. Abcisele acestor puncte sunt naturale
numere: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordonate - valori ale membrilor
secvențe: a1; a2; a3; a4;…
Exemplu: notează toți cei cinci membri ai unei secvențe de numere,
dat în mod grafic.
Decizie.
Fiecare punct din acest plan de coordonate are
coordonate (n; an). Notați coordonatele punctelor marcate
abscisă ascendentă n.
Obținem: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Prin urmare, a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Răspuns: 3; unu; 4; 6; 7.
V. Consolidarea primară a materialului studiat
Exemplul 1. Scrieți o formulă posibilă pentru al n-lea element al șirului (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Decizie.
a) Aceasta este o secvență numere impare. Analitic, această secvență poate fi
stabilit prin formula y = 2n+1.
b) Aceasta este o succesiune numerică în care elementul următor este mai mare decât cel anterior
prin 4. Analitic, această succesiune poate fi dată prin formula y = 4n.
Exemplul 2. Scrieți primele zece elemente ale unei secvențe date în mod recurent: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 dacă n = 3, 4, 5, 6, ... .
Decizie.
Fiecare element ulterior al acestei secvențe este egal cu suma celor două anterioare
elemente.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Rezumând lecția. Reflecţie
1. Ce ați reușit să îndepliniți sarcina?
2. Lucrarea a fost coordonată?
3. Ce nu a ieșit, în opinia dumneavoastră?

O secvență numerică este un caz special al unei funcții numerice, astfel încât o serie de proprietăți ale funcțiilor sunt de asemenea luate în considerare pentru secvențe.

1. Definiție . Urmare ( y n} se numește crescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mare decât cel anterior:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Definiție.Secvență ( y n} se numește descrescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mic decât cel anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt unite printr-un termen comun - secvențe monotone.

De exemplu: y 1 = 1; y n= n 2... este o secvență crescătoare. y 1 = 1; este o secvență descendentă. y 1 = 1; – această secvență nu este necrescătoare nedescrescătoare.

4. Definiție. O secvență se numește periodică dacă există un număr natural T astfel încât, pornind de la un n, să fie valabilă egalitatea yn = yn+T. Numărul T se numește lungimea perioadei.

5. O secvență se numește mărginită de jos dacă toți membrii ei sunt cel puțin un număr.

6. Se spune că o secvență este mărginită de sus dacă toți membrii ei sunt cel mult un anumit număr.

7. O secvență se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și dedesubt, adică. există un număr pozitiv astfel încât toți termenii secvenței date nu depășesc acest număr în valoare absolută. (Dar a fi limitat de ambele părți nu înseamnă neapărat că este finit.)

8. O succesiune poate avea o singură limită.

9. Orice succesiune nedescrescătoare mărginită mai sus are o limită (lim).

10. Orice succesiune necrescătoare mărginită mai jos are o limită.

Limita secvenței este un punct (număr) în vecinătatea căruia se află majoritatea membrilor secvenței, se apropie foarte mult de această limită, dar nu o ating.

Geometric și progresie aritmetică sunt cazuri speciale ale secvenței.

Metode de secvențiere:

Se pot seta secvențe căi diferite, printre care trei sunt deosebit de importante: analitice, descriptive și recurente.

1. Secvența este dată analitic dacă este dată formula celui de-al n-lea membru al său:

Exemplu. yn \u003d 2n - 1 - o succesiune de numere impare: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. O modalitate descriptivă de a seta o secvență numerică este aceea că explică din ce elemente este construită secvența.

Exemplul 1. „Toți membrii secvenței sunt egali cu 1”. Inseamna, vorbim despre secvența staționară 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplul 2. „Secvența constă din toate numerele prime în ordine crescătoare”. Astfel, este dată șirul 2, 3, 5, 7, 11, …. Cu această metodă de specificare a secvenței în acest exemplu este greu de răspuns cu ce este egal, să zicem, al 1000-lea element al secvenței.

3. O modalitate recurentă de a specifica o secvență este că este indicată o regulă care permite calcularea celui de-al n-lea membru al secvenței dacă membrii ei anteriori sunt cunoscuți. De la numele metodei recursive provine cuvânt latin recurrere - a reveni. Cel mai adesea, în astfel de cazuri, este indicată o formulă care permite exprimarea celui de-al n-lea membru al secvenței în termenii celor anterioare și sunt specificate 1–2 membri inițiali ai secvenței.

Exemplul 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4 dacă n = 2, 3, 4,….

Aici y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Se poate observa că secvența obținută în acest exemplu poate fi specificată și analitic: yn = 4n – 1.

Exemplul 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 dacă n = 3, 4,….

Aici: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Secvența compusă în acest exemplu este studiată special în matematică, deoarece are o serie proprietăți interesanteși aplicații. Se numește șirul Fibonacci - după matematicianul italian din secolul al XIII-lea. Definirea secvenței Fibonacci recursiv este foarte ușoară, dar analitic este foarte dificilă. n Al-lea număr Fibonacci este exprimat în termenii numărului său ordinal prin următoarea formulă.

La prima vedere, formula pentru n al-lea număr Fibonacci pare neplauzibil, deoarece formula care specifică succesiunea numerelor naturale conține numai rădăcini pătrate, dar puteți verifica „manual” validitatea acestei formule pentru primele câteva n.

Istoria lui Fibonacci:

Fibonacci (Leonardo din Pisa), c. 1175–1250

matematician italian. Născut la Pisa, a devenit primul mare matematician al Europei la sfârșitul Evului Mediu. El a fost condus la matematică de nevoia practică de a stabili contacte de afaceri. Și-a publicat cărțile despre aritmetică, algebră și alte discipline matematice. De la matematicienii musulmani, a aflat despre sistemul de numere inventat în India și adoptat deja în lumea arabă și a fost convins de superioritatea acestuia (aceste numere au fost precursorii cifrelor arabe moderne).

Leonardo din Pisa, cunoscut sub numele de Fibonacci, a fost primul dintre marii matematicieni europeni ai Evului Mediu târziu. Născut la Pisa într-o familie de comercianți bogată, a intrat în matematică dintr-o nevoie pur practică de a stabili contacte de afaceri. În tinerețe, Leonardo a călătorit mult, însoțindu-și tatăl în călătoriile de afaceri. De exemplu, știm despre șederea lui îndelungată în Bizanț și Sicilia. În timpul unor astfel de călătorii, el a interacționat foarte mult cu oamenii de știință locali.

Secvența de numere care îi poartă astăzi numele a apărut din problema cu iepurii pe care Fibonacci a subliniat-o în Liber abacci, scris în 1202:

Un bărbat a pus o pereche de iepuri într-un tarc, înconjurat din toate părțile de un zid. Câte perechi de iepuri poate naște această pereche într-un an, dacă se știe că în fiecare lună, începând din a doua, fiecare pereche de iepuri produce câte o pereche?

Vă puteți asigura că numărul de cupluri din fiecare dintre următoarele douăsprezece luni ale lunilor va fi respectiv 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Cu alte cuvinte, numărul de perechi de iepuri creează o serie, fiecare termen în care este suma celor doi anteriori. Este cunoscută ca seria Fibonacci și numerele în sine sunt numerele Fibonacci. Se pare că această secvență are multe proprietăți interesante din punct de vedere matematic. Iată un exemplu: puteți împărți o linie în două segmente, astfel încât raportul dintre segmentul mai mare și cel mai mic să fie proporțional cu raportul dintre întreaga linie și segmentul mai mare. Acest factor de proporționalitate, aproximativ egal cu 1,618, este cunoscut ca ratia de aur. În Renaștere, se credea că această proporție, observată în structurile arhitecturale, este cea mai plăcută ochiului. Dacă luați perechi consecutive din seria Fibonacci și împărțiți Mai mult de la fiecare pereche la una mai mică, rezultatul tău se va apropia treptat de raportul de aur.

De când Fibonacci și-a descoperit secvența, s-au găsit chiar și fenomene naturale în care această secvență pare să joace un rol important. Una dintre ele este filotaxia (aranjarea frunzelor) - regula conform căreia, de exemplu, semințele sunt situate într-o inflorescență de floarea soarelui. Semințele de floarea soarelui sunt aranjate în două spirale. Numerele care indică numărul de semințe din fiecare spirală sunt membri ai unei secvențe matematice uimitoare. Semințele sunt dispuse în două rânduri de spirale, dintre care unul merge în sensul acelor de ceasornic, celălalt împotriva. Și care este numărul de semințe în fiecare caz? 34 și 55.

Sarcina 1:

Scrieți primii cinci termeni ai șirului.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

și n \u003d 2 n + 1/2 n

Sarcina numărul 2:

Scrieți formula termenului comun al unei șiruri de numere naturale care sunt multipli ai lui 3.

Răspuns: 0,3,6,9,12,15,.... 3n și n = 3n

Sarcina numărul 3:

Scrieți formula termenului comun al unei șiruri de numere naturale care, atunci când sunt împărțite la 4, au restul de 1.

Raspuns: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 si n = 4n+1

nr. 19. Funcţie.

Funcția (afișare, operator, transformare) este un concept matematic care reflectă relația dintre elementele mulțimilor. Putem spune că o funcție este o „lege” conform căreia fiecărui element dintr-o mulțime (numit domeniul definiției) i se atribuie un element al altei mulțimi (numit domeniul valorilor).

O funcție este o dependență de una variabil de la altul. Cu alte cuvinte, relația dintre cantități.

Conceptul matematic al unei funcții exprimă o idee intuitivă a modului în care o cantitate determină complet valoarea unei alte mărimi. Deci valoarea variabilei x determină în mod unic valoarea expresiei, iar valoarea lunii determină în mod unic valoarea lunii următoare, iar orice persoană poate fi comparată cu o altă persoană - tatăl său. În mod similar, un algoritm preconceput, având în vedere date variabile de intrare, produce anumite date de ieșire.

Adesea, termenul „funcție” se referă la o funcție numerică; adică o funcție care pune unele numere în corespondență cu altele. Aceste funcții sunt reprezentate convenabil în figuri sub formă de grafice.

Se poate da o altă definiție. O funcție este un specific acțiune peste o variabilă.

Aceasta înseamnă că luăm valoarea , facem o acțiune cu ea (de exemplu, o pătram sau îi calculăm logaritmul) - și obținem valoarea .

Să dăm o altă definiție a unei funcții - cea care se găsește cel mai des în manuale.

O funcție este o corespondență între două mulțimi, fiecare element din primul set corespunzând unuia și doar unui element al celui de-al doilea set.

De exemplu, o funcție pentru fiecare numar real se potrivește cu un număr de două ori mai mare decât .

Mulțimea elementelor unor F. substituite cu x se numește domeniul său de definiție, iar mulțimea elementelor y a unor F. se numește domeniul său de valori.

Istoricul termenului:

Termenul „funcție” (într-un sens oarecum mai restrâns) a fost folosit pentru prima dată de Leibniz (1692). La rândul său, Johann Bernoulli, într-o scrisoare către același Leibniz, a folosit acest termen într-un sens mai apropiat de cel modern. Inițial, conceptul de funcție nu se distingea de conceptul de reprezentare analitică. Ulterior, a apărut definiția funcției dată de Euler (1751), apoi - de Lacroix (1806) - aproape în formă modernă. În cele din urmă, definiția generală a unei funcții (în formă modernă, dar pentru funcții numerice) a fost dat de Lobaciovski (1834) și Dirichlet (1837). La sfârşitul XIX-lea secolul, conceptul de funcție a depășit cadrul sistemelor numerice. Funcțiile vectoriale au fost primele care au făcut acest lucru, Frege a introdus curând funcțiile logice (1879), iar după apariția teoriei mulțimilor, Dedekind (1887) și Peano (1911) au formulat definiția universală modernă.

nr. 20. Modalități de a seta o funcție.

Există 4 moduri de a defini o funcție:

1. tabulară Destul de comun, este de a stabili o masă de individ

valorile argumentelor și valorile funcției corespunzătoare ale acestora. Această metodă de definire a unei funcții este utilizată atunci când domeniul funcției este o mulțime finită discretă.

Este convenabil când f este o mulțime finită, dar când f este infinită, sunt indicate doar perechile selectate (x, y).

Cu metoda tabelară de definire a unei funcții, este posibil să se calculeze aproximativ valorile funcției care nu sunt conținute în tabel, corespunzătoare valorilor intermediare ale argumentului. Pentru a face acest lucru, utilizați metoda de interpolare.

Avantaje: precizie, viteza, usor de gasit in tabelul de valori valoarea dorită funcții. Avantajele modului tabelar de specificare a unei funcții sunt că face posibilă determinarea anumitor valori specifice deodată, fără măsurători sau calcule suplimentare.

dezavantaje: incompletitudine, lipsă de claritate. În unele cazuri, tabelul nu definește complet funcția, ci numai pentru unele valori ale argumentului și nu oferă o reprezentare vizuală a naturii modificării funcției în funcție de modificarea argumentului.

2. analitice(formule). Cel mai adesea, o lege care stabilește o legătură între

argument și funcție, este specificat prin intermediul formulelor. Acest mod de a defini o funcție se numește analitic. Este cea mai importantă pentru MA (analiza matematică), întrucât metodele MA (calcul diferențial, integral) sugerează acest mod de setare. Aceeași funcție poate fi dată prin formule diferite: y=∣sin( X)∣y=√1−cos2( X) Uneori în diverse părți dintre domeniile sale, funcția definită poate fi dată prin diverse formule f(X)={f 1(X),X∈D 1 fn(X),X∈Dn ∪nk=1Dk=D(f). Adesea, cu această metodă de definire a unei funcții, sfera definiției nu este indicată, atunci domeniul definiției este înțeles ca zona naturala definiții, adică mulțimea tuturor valorilor x pentru care funcția ia o valoare reală.

Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o oarecare precizie.

Un caz special al modului analitic de definire a unei funcții este definirea unei funcții printr-o ecuație de forma F(x,y)=0 (1) Dacă această ecuație are proprietatea că ∀ X∈D se potrivește numai y, astfel încât F(X,y)=0, atunci spunem că ecuația (1) de pe D definește implicit o funcție. Un alt caz particular de definire a unei funcții este parametric, cu fiecare pereche ( X,y)∈f setați folosind o pereche de funcții X=ϕ( t),y=ψ( t) Unde t∈M.

Este dată definiția unei secvențe numerice. Sunt luate în considerare exemple de secvențe infinit crescătoare, convergente și divergente. Se consideră o secvență care conține toate numerele raționale.

Definiție .
Succesiunea numerică ( x n ) numită legea (regula), conform căreia, pentru fiecare număr natural n = 1, 2, 3, . . . i se atribuie un număr x n.
Elementul x n este numit al-lea membru sau un element al unei secvențe.

Secvența este notată ca al n-lea membru cuprins între paranteze: . De asemenea, posibil urmatoarea notatie: . Ele afirmă în mod explicit că indicele n aparține mulțimii numerelor naturale și că șirul în sine are un număr infinit de membri. Iată câteva exemple de secvențe:
, , .

Cu alte cuvinte, o secvență numerică este o funcție al cărei domeniu este mulțimea numerelor naturale. Numărul de elemente din succesiune este infinit. Printre elemente, pot fi și membri care au aceleasi valori. De asemenea, succesiunea poate fi considerată ca un set numerotat de numere, format dintr-un număr infinit de membri.

Ne va interesa în principal întrebarea - cum se comportă secvențele atunci când n tinde spre infinit: . Acest material este prezentat în secțiunea Limită secvență - teoreme de bază și proprietăți. Și aici ne vom uita la câteva exemple de secvențe.

Exemple de secvențe

Exemple de secvențe infinit crescătoare

Să luăm în considerare o secvență. Termenul general al acestei secvențe este . Să scriem primii termeni:
.
Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele cresc la nesfârșit spre valori pozitive. Putem spune că această secvență tinde spre : la .

Acum luați în considerare o secvență cu un termen comun. Iată câțiva dintre primii săi membri:
.
Pe măsură ce numărul n crește, elementele acestei secvențe cresc în valoare absolută la nesfârșit, dar nu au un semn constant. Adică această secvență tinde să : la .

Exemple de secvențe care converg către un număr finit

Să luăm în considerare o secvență. Membrul său comun Primii termeni sunt după cum urmează:
.
Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele acestei secvențe se apropie de valoarea limită a = 0 : la . Deci fiecare termen ulterior este mai aproape de zero decât cel anterior. Într-un fel, putem presupune că există o valoare aproximativă pentru numărul a = 0 cu o eroare. Este clar că pe măsură ce n crește, această eroare tinde spre zero, adică prin alegerea lui n, eroarea poate fi făcută arbitrar mică. Mai mult, pentru orice eroare dată ε > 0 se poate preciza un astfel de număr N , încât pentru toate elementele cu numere mai mari decât N : , abaterea numărului de la valoarea limită a să nu depăşească eroarea ε : .

Apoi, luați în considerare succesiunea. Membrul său comun Iată câțiva dintre primii săi membri:
.
În această secvență, termenii pari sunt zero. Membrii cu n impar sunt . Prin urmare, pe măsură ce n crește, valorile lor se apropie de valoarea limită a = 0 . Aceasta rezultă și din faptul că
.
Ca și în exemplul anterior, putem specifica o eroare ε în mod arbitrar mică > 0 , pentru care este posibil să se găsească un astfel de număr N încât elementele cu numere mai mari decât N se vor abate de la valoarea limită a = 0 cu o valoare care nu depăşeşte eroarea specificată. Prin urmare, această secvență converge către valoarea a = 0 : la .

Exemple de secvențe divergente

Luați în considerare o succesiune cu următorul termen comun:

Iată primii săi membri:


.
Se poate observa că termenii cu numere pare:
,
converg spre valoarea a 1 = 0 . Membrii cu numere impare:
,
converg spre valoarea a 2 = 2 . Secvența în sine, pe măsură ce n crește, nu converge către nicio valoare.

Secvență cu termeni distribuiți în intervalul (0;1)

Acum luați în considerare o secvență mai interesantă. Luați un segment pe linia numerică. Să-l împărțim în jumătate. Obținem două segmente. Lasa
.
Fiecare dintre segmente este din nou împărțit în jumătate. Obținem patru segmente. Lasa
.
Împărțiți din nou fiecare segment în jumătate. Hai sa luam


.
etc.

Ca rezultat, obținem o succesiune ale cărei elemente sunt distribuite într-un interval deschis (0; 1) . Indiferent de punctul pe care îl luăm din intervalul închis , putem găsi întotdeauna membri ai secvenței care sunt în mod arbitrar aproape de acest punct sau care coincid cu acesta.

Apoi, din secvența originală se poate evidenția o subsecvență care va converge către un punct arbitrar din interval . Adică, pe măsură ce numărul n crește, membrii subsecvenței se vor apropia din ce în ce mai mult de punctul preselectat.

De exemplu, pentru punctul a = 0 puteți alege următoarea secvență:
.
= 0 .

Pentru punctul a = 1 alege urmatoarea urmarire:
.
Membrii acestei subsecvențe converg către valoarea a = 1 .

Întrucât există subsecvențe care converg către sensuri diferite, atunci secvența originală în sine nu converge către niciun număr.

Secvență care conține toate numerele raționale

Acum să construim o secvență care conține toate numerele raționale. Mai mult, fiecare număr rațional va fi inclus într-o astfel de secvență de un număr infinit de ori.

Numărul rațional r poate fi reprezentat astfel:
,
unde este un număr întreg; - naturală.
Trebuie să atribuim fiecărui număr natural n o pereche de numere p și q, astfel încât orice pereche de p și q să fie inclusă în succesiunea noastră.

Pentru a face acest lucru, desenați axele p și q pe plan. Desenăm linii de grilă prin valori întregi p și q. Apoi fiecare nod al acestei grile va corespunde cu Numar rational. Întregul set de numere raționale va fi reprezentat printr-un set de noduri. Trebuie să găsim o modalitate de a numerota toate nodurile, astfel încât să nu pierdem niciun nod. Acest lucru este ușor de făcut dacă numerotăm nodurile în funcție de pătratele ale căror centre sunt situate în punct (0; 0) (Vezi poza). În acest caz, părțile inferioare ale pătratelor cu q < 1 nu avem nevoie. Prin urmare, ele nu sunt prezentate în figură.

Deci, pentru partea superioară a primului pătrat avem:
.
Mai departe numărăm partea de sus următorul pătrat:

.
Numerotăm partea superioară a pătratului următor:

.
etc.

În acest fel obținem o succesiune care conține toate numerele raționale. Se poate observa că orice număr rațional apare în această succesiune de un număr infinit de ori. Într-adevăr, împreună cu nodul , această secvență va include și noduri , unde este un număr natural. Dar toate aceste noduri corespund aceluiași număr rațional.

Apoi, din șirul pe care am construit-o, putem selecta o subsecvență (având un număr infinit de elemente), toate elementele care sunt egale cu un număr rațional predeterminat. Deoarece șirul pe care am construit-o are subsecvențe care converg către numere diferite, atunci șirul nu converge către niciun număr.

Concluzie

Aici am dat o definiție precisă a secvenței numerice. Am atins și problema convergenței sale, bazată pe idei intuitive. Definiția exactă a convergenței este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt prezentate pe pagină

Lecția #32 Data ____________

Algebră

Clasa: 9 "B"

Subiect: „Secvență numerică și modalități de setare”.

Scopul lecției: elevii ar trebui să știe ce este o secvență de numere; modalități de a seta o secvență numerică; să poată distinge diferitele moduri de specificare a secvenţelor numerice.

Materiale didactice: fișe, note de referință.

Mijloace tehniceînvăţare: prezentare pe tema „Secvențe numerice”.

În timpul orelor.

1. Moment organizatoric.

2. Stabilirea scopurilor lecției.

Astăzi, în lecția pe care o veți învăța:

Ce este o secvență?

Ce fel de secvențe există?

Cum este specificată secvența de numere?

Aflați cum să scrieți o secvență folosind o formulă și numeroasele ei elemente.

Învață să găsești membrii unei secvențe.

3. Lucrați asupra materialului studiat.

3.1. Etapa pregătitoare.

Băieți, să vă testăm abilitățile de logică. Voi enumera câteva cuvinte și ar trebui să continuați:

-Luni Marți,…..

- Ianuarie februarie Martie…;

- Glebova L, Ganovichev E, Dryahlov V, Ibraeva G, ... .. (lista clasei);

–10,11,12,…99;

Din răspunsurile băieților, se ajunge la concluzia că sarcinile de mai sus sunt secvențe, adică un fel de serii ordonate de numere sau concepte, când fiecare număr sau concept este strict în locul lui, iar dacă membrii sunt schimbați, succesiunea va fi încălcat (marți, joi, luni este doar o listă a zilelor săptămânii). Deci, subiectul lecției este o succesiune numerică.

3.1. Explicația noului material. (Material demonstrativ)

Analizând răspunsurile elevilor, definiți secvența de numere și arătați cum să setați secvențele de numere.

(Lucrul cu manualul pp. 66 - 67)

Definiția 1. Funcția y = f(x), xN se numește funcție a unui argument natural sau a unei secvențe numerice și se notează: y = f(n) sau y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... sau (y n).

În acest caz, variabila independentă este un număr natural.

Cel mai adesea, secvențele vor fi notate după cum urmează: ( A n), (b n), (cu n) etc.

Definiția 2. Membrii secvenței.

Elementele care formează o secvență se numesc membri ai secvenței.

Concepte noi: membrul anterior și ulterior al secvenței,

A 1 …A P. (primul și al n-lea membru al secvenței)

Metode de stabilire a unei succesiuni numerice.

mod analitic.

Orice al n-lea element secvențele pot fi determinate folosind o formulă. (demo)

Analizați exemple

Exemplul 1 Sirul numerelor pare: y = 2n.

Exemplul 2 Sirul pătratului numerelor naturale: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Exemplul 3 Secvență staționară: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Caz special: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Exemplul 4. Secvența y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

mod verbal.

Regulile de stabilire a secvenței sunt descrise în cuvinte, fără a se specifica formule sau când nu există modele între elementele secvenței.

Exemplul 1. Aproximații numericeπ.

Exemplul 2 Succesiunea numerelor prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Exemplul 3 O succesiune de numere divizibile cu 5.

Exemplul 2 Set aleatoriu de numere: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Exemplul 3 Secvența numerelor pare 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

mod recursiv.

Metoda recurentă constă în specificarea unei reguli care să permită calcularea celui de-al n-lea membru al secvenței dacă sunt specificati primii câțiva membri ai acestuia (cel puțin un prim membru) și a unei formule care să permită calcularea următorului său membru din membrii anteriori. Termen recurent derivat din cuvântul latin se repetă , care înseamnă întoarce-te . Când calculăm membrii secvenței conform acestei reguli, ne cam întoarcem tot timpul, calculând următorul membru pe baza celui precedent. O caracteristică a acestei metode este că pentru a determina, de exemplu, al 100-lea membru al secvenței, trebuie mai întâi să determinați toți cei 99 de membri anteriori.

Exemplu 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Fie a 1 =5, atunci secvența va arăta astfel: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Exemplul 2 b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Fie b 1 =23, atunci șirul va arăta astfel: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Exemplul 3 Secvența Fibonacci. Această secvență este ușor de definit recursiv: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 dacă n=3, 4, 5, 6, ... . Va arata ca:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (P al treilea termen al acestei secvențe este egal cu suma celor doi termeni anteriori)

Este dificil de definit analitic șirul lui Fibonacci, dar este posibil. Formula prin care este determinat orice element al acestei secvențe arată astfel:

Informații suplimentare:

Negustorul italian Leonardo din Pisa (1180-1240), mai cunoscut sub porecla Fibonacci, a fost un important matematician medieval. Cu ajutorul acestei șiruri, Fibonacci a determinat numărul φ (phi); φ=1,618033989.

Mod grafic

Membrii unei secvențe pot fi reprezentați ca puncte pe planul de coordonate. Pentru a face acest lucru, numărul este reprezentat de-a lungul axei orizontale, iar valoarea membrului corespunzător al secvenței este reprezentată de-a lungul axei verticale.

Pentru consolidarea metodelor de atribuire, vă rog să oferiți mai multe exemple de secvențe care sunt specificate fie verbal, fie analitic, fie în mod recurent.

Tipuri de secvențe de numere

(Pe secvențele enumerate mai jos, sunt elaborate tipuri de secvențe).

Lucrul cu manualul p.69-70

1) Crescator - daca fiecare termen este mai mic decat urmatorul, i.e. A n A n +1.

2) Descrescator - daca fiecare termen este mai mare decat urmatorul, i.e. A n A n +1 .

3) Nesfârșit.

4) Ultima.

5) Alternand.

6) Constant (staționar).

O secvență crescătoare sau descrescătoare se numește monotonă.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Lucrează cu manualul: fă-o oral nr. 150, 159 p. 71, 72

3.2. Consolidarea materialului nou. Rezolvarea problemelor.

Pentru consolidarea cunoștințelor se selectează exemple în funcție de nivelul de pregătire al elevilor.

Exemplul 1 Scrieți o formulă posibilă pentru al n-lea element al șirului (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Decizie.

a) Este o succesiune de numere impare. Analitic, această secvență poate fi dată prin formula y = 2n+1.

b) Aceasta este o succesiune numerică în care elementul următor este mai mare decât precedentul cu 4. Analitic, această succesiune poate fi specificată prin formula y = 4n.

Exemplul 2. Scrieți primele zece elemente ale șirului dat în mod recurent: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 dacă n = 3, 4, 5, 6, ... .

Decizie.

Fiecare element ulterior al acestei secvențe este egal cu suma celor două elemente anterioare.

Exemplul 3 Secvența (y n) este dată recurent: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Specificați această secvență analitic.

Decizie.

Găsiți primele câteva elemente ale secvenței.

y3 =5y2 -6y1 =10-6=4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 -6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 \u003d 80-48 \u003d 32;

y 7 \u003d 5y 6 -6y 5 \u003d 160-96 \u003d 64.

Obținem succesiunea: 1; 2; 4; opt; şaisprezece; 32; 64; ... care poate fi reprezentat ca

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Analizând șirul, obținem următoarea regularitate: y = 2 n -1 .

Exemplul 4 Având în vedere o secvență y n =24n+36-5n 2 .

a) Câți termeni pozitivi are?

b) Aflați cel mai mare element al șirului.

c) Există un element cel mai mic în această secvență?

Această succesiune numerică este o funcție de forma y = -5x 2 +24x+36, unde x

a) Aflați valorile funcției pentru care -5x 2 +24x+360. Să rezolvăm ecuația -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 \u003d -1,2.

Ecuația axei de simetrie a parabolei y \u003d -5x 2 +24x + 36 poate fi găsită prin formula x \u003d, obținem: x \u003d 2.4.

Inegalitatea -5x 2 +24x+360 este valabilă pentru -1,2 Acest interval conține cinci numere naturale (1, 2, 3, 4, 5). Deci, în secvența dată cinci elemente pozitive secvente.

b) Cel mai mare element al secvenței este determinat prin metoda de selecție și este egal cu y 2 =64.

c) Nu există cel mai mic element.

3.4.Sarcini pentru munca independentă