Ce numere sunt naturale. Studierea subiectului exact: numerele naturale sunt numerele, exemplele și proprietățile
Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte matematice.
În trecutul îndepărtat, oamenii nu cunoșteau numerele, iar când aveau nevoie să numere obiecte (animale, pești etc.), o făceau altfel decât noi acum.
Numărul de obiecte a fost comparat cu părți ale corpului, de exemplu, cu degetele pe mână, și au spus: „Am atâtea nuci câte degete sunt pe mână”.
De-a lungul timpului, oamenii și-au dat seama că cinci nuci, cinci capre și cinci iepuri au o proprietate comună - numărul lor este de cinci.
Tine minte!
numere întregi sunt numere, care încep cu 1, obținute la numărarea obiectelor.
1, 2, 3, 4, 5…
cel mai mic număr natural — 1 .
cel mai mare număr natural nu exista.
La numărare, numărul zero nu este folosit. Prin urmare, zero nu este considerat un număr natural.
Oamenii au învățat să scrie numere mult mai târziu decât să numere. În primul rând, au început să reprezinte unitatea cu un bețișor, apoi cu două bețe - numărul 2, cu trei - numărul 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Apoi au apărut semne speciale pentru desemnarea numerelor - precursorii numerelor moderne. Numerele pe care le folosim pentru a scrie numere își au originea în India cu aproximativ 1.500 de ani în urmă. Arabii i-au adus în Europa, așa se numesc cifre arabe.
Există zece cifre în total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Aceste cifre pot fi folosite pentru a scrie orice număr natural.
Tine minte!
serie naturală este șirul tuturor numerelor naturale:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul cu 1.
Seria naturală este infinită, nu există cel mai mare număr natural în ea.
Sistemul de numărare pe care îl folosim se numește pozițional zecimal.
Decimală deoarece 10 unități din fiecare cifră formează 1 unitate din cifra cea mai semnificativă. Pozițional deoarece valoarea unei cifre depinde de locul ei în notația unui număr, adică de cifra în care este scrisă.
Important!
Clasele care urmează miliardului sunt denumite după denumirile latine ale numerelor. Fiecare unitate următoare conține o mie de unități anterioare.
- 1.000 de miliarde = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („trei” înseamnă în latină „trei”)
- 1.000 trilion = 1.000.000.000.000.000 = 1 cvadrilion („quadra” înseamnă „patru” în latină)
- 1.000 de cvadrilion = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 chintilion („quinta” este latină pentru „cinci”)
Cu toate acestea, fizicienii au găsit un număr care depășește numărul tuturor atomilor (cele mai mici particule de materie) din întregul univers.
Acest număr are un nume special - googol. Un googol este un număr care are 100 de zerouri.
numere întregi- numerele naturale sunt numere care sunt folosite pentru a număra obiecte. Mulțimea tuturor numerelor naturale este uneori numită seria naturală: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 etc. .
Pentru a scrie numerele naturale se folosesc zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cu ajutorul lor, puteți scrie orice număr natural. Această notație se numește zecimală.
Seria naturală de numere poate fi continuată la infinit. Nu există un număr care să fie ultimul, pentru că se poate adăuga oricând la ultimul număr și se va obține un număr care este deja mai mare decât cel dorit. În acest caz, spunem că nu există cel mai mare număr în seria naturală.
Cifre ale numerelor naturale
În scrierea oricărui număr folosind numere, locul în care se află numărul în număr este crucial. De exemplu, numărul 3 înseamnă: 3 unități dacă este ultimul în număr; 3 zeci dacă va fi în numărul de pe penultimul loc; 4 sute, dacă ea va fi pe numărul de pe locul trei de la final.
Ultima cifră înseamnă cifra unităților, penultima - cifra zecilor, 3 de la sfârșit - cifra sutelor.
Cifre simple și multiple
Dacă există un 0 în orice cifră a numărului, aceasta înseamnă că nu există unități în această cifră.
Numărul 0 înseamnă zero. Zero este „niciunul”.
Zero nu este un număr natural. Deși unii matematicieni cred altfel.
Dacă un număr este format dintr-o cifră, se numește o singură cifră, două - două cifre, trei - trei cifre etc.
Numerele care nu sunt o singură cifră se mai numesc și cifre multiple.
Clase de cifre pentru citirea numerelor naturale mari
Pentru a citi numere naturale mari, numărul este împărțit în grupuri de trei cifre, începând de la marginea dreaptă. Aceste grupuri se numesc clase.
Primele trei cifre de pe marginea dreaptă sunt clasa de unități, următoarele trei sunt clasa de mii, următoarele trei sunt clasa de milioane.
Un milion este o mie de mie, pentru înregistrare folosesc abrevierea milion 1 milion = 1.000.000.
Un miliard = o mie de milioane. Pentru înregistrare se folosește abrevierea billion 1 miliard = 1.000.000.000.
Exemplu de scriere și citire
Acest număr are 15 unități în clasa miliarde, 389 unități în clasa milioane, zero unități în clasa mii și 286 unități în clasa unități.
Acest număr arată astfel: 15 miliarde 389 milioane 286.
Citiți numerele de la stânga la dreapta. La rândul său, se numește numărul de unități ale fiecărei clase și apoi se adaugă numele clasei.
Numerele naturale sunt familiare omului și intuitive, pentru că ne înconjoară încă din copilărie. În articolul de mai jos, vom oferi o idee de bază despre semnificația numerelor naturale, vom descrie abilitățile de bază de a le scrie și citi. Întreaga parte teoretică va fi însoțită de exemple.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ideea generală a numerelor naturale
Într-un anumit stadiu al dezvoltării omenirii, a apărut sarcina de a număra anumite obiecte și de a desemna cantitatea acestora, ceea ce, la rândul său, a necesitat găsirea unui instrument pentru a rezolva această problemă. Numerele naturale au devenit un astfel de instrument. Scopul principal al numerelor naturale este, de asemenea, clar - de a da o idee despre numărul de obiecte sau numărul de serie al unui anumit obiect, dacă vorbim despre un set.
Este logic că pentru ca o persoană să folosească numerele naturale, este necesar să existe o modalitate de a le percepe și reproduce. Deci, un număr natural poate fi exprimat sau reprezentat, care sunt modalități naturale de a transmite informații.
Luați în considerare abilitățile de bază de exprimare (citit) și imagini (scriere) numerelor naturale.
Notarea zecimală a unui număr natural
Amintiți-vă cum sunt afișate următoarele caractere (le indicăm separate prin virgule): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Aceste caractere se numesc numere.
Acum să luăm ca regulă că atunci când descriem (scriem) orice număr natural, numai cifrele indicate sunt folosite fără participarea altor simboluri. Fie că cifrele atunci când scrieți un număr natural au aceeași înălțime, sunt scrise una după alta într-o linie și există întotdeauna o cifră în stânga care este diferită de zero.
Să indicăm exemple de notare corectă a numerelor naturale: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Indentațiile dintre cifre nu sunt întotdeauna aceleași, acest lucru va fi discutat mai detaliat mai jos când studiem clasele de numere. Exemplele date arată că atunci când scrieți un număr natural, nu este necesar să aveți toate cifrele din seria de mai sus. Unele sau toate pot fi repetate.
Definiția 1
Înregistrările de forma: 065 , 0 , 003 , 0791 nu sunt înregistrări ale numerelor naturale, deoarece în stânga este numărul 0.
Se numește notarea corectă a unui număr natural, făcută luând în considerare toate cerințele descrise notarea zecimală a unui număr natural.
Sensul cantitativ al numerelor naturale
După cum sa menționat deja, numerele naturale poartă inițial, printre altele, o semnificație cantitativă. Numerele naturale, ca instrument de numerotare, sunt discutate în subiectul comparării numerelor naturale.
Să începem cu numerele naturale, ale căror intrări coincid cu intrările de cifre, adică: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Imaginați-vă un anumit obiect, de exemplu, acesta: Ψ . Putem scrie ceea ce vedem 1 subiect. Numărul natural 1 se citește ca „unu” sau „unu”. Termenul „unitate” are și un alt sens: ceva ce poate fi considerat ca un întreg. Dacă există o mulțime, atunci orice element al acesteia poate fi notat cu unul. De exemplu, dintre mulți șoareci, orice șoarece este unul; orice floare dintr-un set de flori este o unitate.
Acum imaginați-vă: Ψ Ψ . Vedem un obiect și un alt obiect, adică. în evidență va fi - 2 articole. Numărul natural 2 este citit ca „doi”.
Mai departe, prin analogie: Ψ Ψ Ψ - 3 elemente ("trei"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("patru"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("cinci"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("șase"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("șapte"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("opt"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 (" nouă").
Din poziția indicată, funcția unui număr natural este de a indica cantitate articole.
Definiția 1
Dacă introducerea unui număr se potrivește cu introducerea cifrei 0, atunci un astfel de număr este apelat "zero". Zero nu este un număr natural, dar este considerat împreună cu alte numere naturale. Zero înseamnă nu, adică. zero elemente înseamnă niciunul.
Numere naturale cu o singură cifră
Este un fapt evident că atunci când scriem fiecare dintre numerele naturale discutate mai sus (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), folosim un semn - o cifră.
Definiția 2
Număr natural cu o singură cifră- un număr natural, care se scrie folosind un singur semn - o cifră.
Există nouă numere naturale dintr-o singură cifră: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Numere naturale din două și trei cifre
Definiția 3Numere naturale din două cifre- numere naturale, care se scriu folosind două semne - două cifre. În acest caz, numerele utilizate pot fi fie aceleași, fie diferite.
De exemplu, numerele naturale 71, 64, 11 sunt formate din două cifre.
Luați în considerare semnificația numerelor din două cifre. Ne vom baza pe semnificația cantitativă a numerelor naturale cu o singură valoare deja cunoscută nouă.
Să introducem un astfel de concept ca „zece”.
Imaginați-vă un set de obiecte, care constă din nouă și încă unul. În acest caz, putem vorbi despre 1 duzină („o duzină”) articole. Dacă vă imaginați o duzină și încă una, atunci vom vorbi despre 2 zeci („două zeci”). Adăugând încă una zeci la două zeci, obținem trei zeci. Și așa mai departe: continuând să adunăm câte unul zece, obținem patru zeci, cinci zeci, șase zeci, șapte zeci, opt zeci și, în final, nouă zeci.
Să ne uităm la un număr din două cifre ca un set de numere cu o singură cifră, dintre care unul este scris în dreapta, celălalt în stânga. Numărul din stânga va indica numărul de zeci din numărul natural, iar numărul din dreapta va indica numărul de unități. În cazul în care numărul 0 este situat în dreapta, atunci vorbim despre absența unităților. Cele de mai sus este semnificația cantitativă a numerelor naturale din două cifre. Sunt 90 în total.
Definiția 4
Numere naturale din trei cifre- numere naturale, care se scriu folosind trei caractere - trei cifre. Numerele pot fi diferite sau repetate în orice combinație.
De exemplu, 413, 222, 818, 750 sunt numere naturale din trei cifre.
Pentru a înțelege semnificația cantitativă a numerelor naturale cu trei valori, introducem conceptul "o suta".
Definiția 5
O sută (1 sută) este un set de zece zeci. O sută plus o sută este egal cu două sute. Adăugați încă o sută și obțineți 3 sute. Adăugând treptat o sută, obținem: patru sute, cinci sute, șase sute, șapte sute, opt sute, nouă sute.
Luați în considerare înregistrarea unui număr de trei cifre în sine: numerele naturale dintr-o singură cifră incluse în acesta sunt scrise unul după altul de la stânga la dreapta. Cea mai dreaptă cifră indică numărul de unități; următorul număr de o cifră din stânga - cu numărul de zeci; cea mai stângă cifră este numărul de sute. Dacă în înregistrare este implicat numărul 0, acesta indică absența unităților și/sau zecilor.
Deci, numărul natural de trei cifre 402 înseamnă: 2 unități, 0 zeci (nu există zeci care să nu fie combinate în sute) și 4 sute.
Prin analogie, este dată definiția numerelor naturale de patru cifre, cinci cifre și așa mai departe.
Numerele naturale multivalorice
Din toate cele de mai sus, acum este posibil să trecem la definirea numerelor naturale cu mai multe valori.
Definiția 6
Numerele naturale multivalorice- numere naturale, care se scriu folosind două sau mai multe caractere. Numerele naturale cu mai multe cifre sunt numere din două, trei cifre și așa mai departe.
O mie este un set care include zece sute; un milion este format din o mie de mii; un miliard - o mie de milioane; un trilion este o mie de miliarde. Chiar și seturile mai mari au și nume, dar utilizarea lor este rară.
În mod similar principiului de mai sus, putem considera orice număr natural cu mai multe cifre ca un set de numere naturale cu o singură cifră, fiecare dintre acestea, aflându-se într-un anumit loc, indică prezența și numărul de unități, zeci, sute, mii, zeci. de mii, sute de mii, milioane, zeci de milioane, sute de milioane, miliarde și așa mai departe (de la dreapta la stânga, respectiv).
De exemplu, numărul cu mai multe cifre 4 912 305 conține: 5 unități, 0 zeci, trei sute, 2 mii, 1 zeci de mii, 9 sute de mii și 4 milioane.
Rezumând, am examinat abilitățile de grupare a unităților în diferite seturi (zeci, sute etc.) și am văzut că numerele din înregistrarea unui număr natural cu mai multe cifre sunt o desemnare a numărului de unități din fiecare dintre astfel de seturi.
Citirea numerelor naturale, clase
În teoria de mai sus, am notat numele numerelor naturale. În tabelul 1, indicăm cum să folosiți corect numele numerelor naturale cu o singură cifră în vorbire și în notație alfabetică:
| Număr | masculin | Genul feminin | Gen neutru |
|
1 |
unu |
unu |
unu |
| Număr | caz nominativ | Genitiv | Dativ | Acuzativ | Caz instrumental | Prepozițional |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
unu Două Trei Patru Cinci Şase Șapte Opt Nouă |
unu Două Trei patru Cinci şase Semi opt Nouă |
catre unul Două Trem patru Cinci şase Semi opt Nouă |
unu Două Trei Patru Cinci Şase Șapte Opt Nouă |
unu Două Trei patru Cinci şase familie opt Nouă |
Cam una Cam doi Cam trei Cam patru Din nou Cam șase Cam șapte Cam opt Cam nouă |
Pentru citirea și scrierea competentă a numerelor din două cifre, trebuie să învățați datele din tabelul 2:
| Număr |
Masculin, feminin și neutru |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Zece Unsprezece Doisprezece Treisprezece Paisprezece Cincisprezece Şaisprezece Şaptesprezece Optsprezece Nouăsprezece Douăzeci Treizeci Patruzeci Cincizeci Şaizeci Șaptezeci Optzeci Nouăzeci |
| Număr | caz nominativ | Genitiv | Dativ | Acuzativ | Caz instrumental | Prepozițional |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Zece Unsprezece Doisprezece Treisprezece Paisprezece Cincisprezece Şaisprezece Şaptesprezece Optsprezece Nouăsprezece Douăzeci Treizeci Patruzeci Cincizeci Şaizeci Șaptezeci Optzeci Nouăzeci |
zece |
zece Unsprezece doisprezece treisprezece paisprezece cincisprezece şaisprezece şaptesprezece optsprezece nouăsprezece douăzeci treizeci Coţofană cincizeci şaizeci Șaptezeci optzeci nouăzeci |
Zece Unsprezece Doisprezece Treisprezece Paisprezece Cincisprezece Şaisprezece Şaptesprezece Optsprezece Nouăsprezece Douăzeci Treizeci Patruzeci Cincizeci Şaizeci Șaptezeci Optzeci Nouăzeci |
Zece Unsprezece doisprezece treisprezece paisprezece cincisprezece şaisprezece şaptesprezece optsprezece nouăsprezece douăzeci treizeci Coţofană cincizeci şaizeci Șaptezeci optzeci Nouăzeci |
Despre zece Cam unsprezece Cam doisprezece Cam treisprezece Cam paisprezece Cam cincisprezece Aproximativ șaisprezece ani Cam șaptesprezece Cam optsprezece Cam nouăsprezece Cam douăzeci Cam treizeci O, mapie Aproximativ cincizeci Aproximativ şaizeci Cam șaptezeci Cam optzeci Cam nouăzeci |
Pentru a citi alte numere naturale din două cifre, vom folosi datele din ambele tabele, luați în considerare acest lucru cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să citim un număr natural de două cifre 21. Acest număr conține 1 unitate și 2 zeci, adică 20 și 1. Revenind la tabele, citim numărul indicat ca „douăzeci și unu”, în timp ce uniunea „și” dintre cuvinte nu trebuie să fie pronunțată. Să presupunem că trebuie să folosim numărul indicat 21 într-o propoziție, indicând numărul de obiecte în cazul genitiv: „nu există 21 de mere”. În acest caz, pronunția va suna astfel: „nu există douăzeci și unu de mere”.
Să dăm un alt exemplu pentru claritate: numărul 76, care se citește ca „șaptezeci și șase” și, de exemplu, „șaptezeci și șase de tone”.
| Număr | Nominativ | Genitiv | Dativ | Acuzativ | Caz instrumental | Prepozițional |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
Sută Doua sute Trei sute Patru sute Cinci sute Șase sute Sapte sute Opt sute Nouă sute |
Sta doua sute trei sute patru sute cinci sute șase sute Sapte sute opt sute noua sute |
Sta doua sute Tremstam patru sute cinci sute Șase sute sapte sute opt sute Noua sute |
Sută Doua sute Trei sute Patru sute Cinci sute Șase sute Sapte sute Opt sute Nouă sute |
Sta doua sute Trei sute patru sute cinci sute șase sute sapte sute opt sute Noua sute |
Cam o sută Cam două sute Cam trei sute Cam patru sute Aproximativ cinci sute Aproximativ șase sute Aproximativ șapte sute Aproximativ opt sute Aproximativ nouă sute |
Pentru a citi complet un număr din trei cifre, folosim și datele tuturor tabelelor specificate. De exemplu, dat un număr natural 305 . Acest număr corespunde la 5 unități, 0 zeci și 3 sute: 300 și 5. Luând ca bază tabelul, citim: „trei sute cinci” sau în declinare după cazuri, de exemplu, astfel: „trei sute cinci metri”.
Să mai citim un număr: 543. Conform regulilor tabelelor, numărul indicat va suna astfel: „cinci sute patruzeci și trei” sau, în caz de declinare, de exemplu, astfel: „nu cinci sute patruzeci și trei de ruble”.
Să trecem la principiul general al citirii numerelor naturale cu mai multe cifre: pentru a citi un număr cu mai multe cifre, trebuie să-l împărțiți de la dreapta la stânga în grupuri de trei cifre, iar grupul din stânga poate avea 1, 2 sau 3 cifre . Astfel de grupuri se numesc clase.
Clasa de extremă dreaptă este clasa unităților; apoi clasa următoare, la stânga - clasa miilor; mai departe - clasa milioanelor; apoi vine clasa miliardelor, urmată de clasa trilioanelor. Următoarele clase au, de asemenea, un nume, dar numerele naturale constând dintr-un număr mare de caractere (16, 17 și mai mult) sunt rar folosite în lectură, fiind destul de dificil să le percepem după ureche.
Pentru confortul perceperii înregistrării, clasele sunt separate una de cealaltă printr-o mică liniuță. De exemplu, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .
| Clasă trilion |
Clasă miliard |
Clasă milion |
O mie de clase | Clasa de unitati |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Pentru a citi un număr din mai multe cifre, numim pe rând numerele care îl compun (de la stânga la dreapta, pe clasă, adăugând numele clasei). Numele clasei de unități nu se pronunță, iar acele clase care alcătuiesc cele trei cifre 0 nu se pronunță. Dacă una sau două cifre 0 sunt prezente în stânga într-o clasă, atunci ele nu sunt utilizate în niciun fel atunci când citiți. De exemplu, 054 este citit ca „cincizeci și patru” sau 001 ca „unu”.
Exemplul 1
Să examinăm în detaliu citirea numărului 2 533 467 001 222:
Citim numărul 2, ca o componentă a clasei de trilioane - „două”;
Adăugând numele clasei, obținem: „două trilioane”;
Citim următorul număr, adăugând numele clasei corespunzătoare: „cinci sute treizeci și trei de miliarde”;
Continuăm prin analogie, citind următoarea clasă din dreapta: „patru sute șaizeci și șapte de milioane”;
În clasa următoare, vedem două cifre 0 situate în stânga. Conform regulilor de citire de mai sus, cifrele 0 sunt aruncate și nu participă la citirea înregistrării. Apoi obținem: „o mie”;
Citim ultima clasă de unități fără a-i adăuga numele - „două sute douăzeci și două”.
Astfel, numărul 2 533 467 001 222 va suna astfel: două trilioane cinci sute treizeci și trei de miliarde patru sute șaizeci și șapte de milioane o mie două sute douăzeci și două. Folosind acest principiu, putem citi și celelalte numere date:
31 013 736 - treizeci și unu de milioane treisprezece mii șapte sute treizeci și șase;
134 678 - o sută treizeci și patru de mii șase sute șaptezeci și opt;
23 476 009 434 - douăzeci și trei de miliarde patru sute șaptezeci și șase milioane nouă mii patru sute treizeci și patru.
Astfel, baza pentru citirea corectă a numerelor cu mai multe cifre este capacitatea de a împărți un număr cu mai multe cifre în clase, cunoașterea numelor corespunzătoare și înțelegerea principiului citirii numerelor cu două și trei cifre.
După cum reiese deja din toate cele de mai sus, valoarea sa depinde de poziția în care se află cifra în înregistrarea numărului. Adică, de exemplu, numărul 3 din numărul natural 314 denotă numărul de sute, și anume, 3 sute. Numărul 2 este numărul de zeci (1 zece), iar numărul 4 este numărul de unități (4 unități). În acest caz, vom spune că numărul 4 este în locul celor și este valoarea unităților plasate în numărul dat. Numărul 1 este pe locul zecilor și servește ca valoare a locului zecilor. Numărul 3 este situat în locul sutelor și este valoarea locului sutelor.
Definiția 7
Descarcare este poziția unei cifre în notația unui număr natural, precum și valoarea acestei cifre, care este determinată de poziția sa într-un număr dat.
Descărcările au propriile nume, le-am folosit deja mai sus. De la dreapta la stânga urmează cifrele: unități, zeci, sute, mii, zeci de mii etc.
Pentru comoditatea memorării, puteți utiliza următorul tabel (indicăm 15 cifre):
Să clarificăm acest detaliu: numărul de cifre dintr-un număr dat din mai multe cifre este același cu numărul de caractere din intrarea numărului. De exemplu, acest tabel conține numele tuturor cifrelor pentru un număr cu 15 caractere. Descărcările ulterioare au și nume, dar sunt folosite extrem de rar și sunt foarte incomode pentru ascultare.
Cu ajutorul unui astfel de tabel, este posibilă dezvoltarea abilității de a determina rangul prin scrierea unui număr natural dat în tabel, astfel încât cifra din dreapta să fie scrisă în cifra unităților și apoi în fiecare cifră cu cifră. De exemplu, să scriem un număr natural din mai multe cifre 56 402 513 674 astfel:
Atenție la numărul 0, situat în descărcarea de zeci de milioane - înseamnă absența unităților din această categorie.
Introducem, de asemenea, conceptele cele mai mici și mai mari cifre ale unui număr cu mai multe cifre.
Definiția 8
Cel mai jos rang (junior). orice număr natural cu valori multiple este cifra unităților.
Cea mai înaltă categorie (senior). a oricărui număr natural cu mai multe cifre - cifra corespunzătoare cifrei din stânga din notația numărului dat.
Deci, de exemplu, în numărul 41.781: rangul cel mai mic este rangul unităților; cel mai înalt rang este cifra zecilor de mii.
Rezultă logic că se poate vorbi despre vechimea cifrelor unul față de celălalt. Fiecare cifră ulterioară când se deplasează de la stânga la dreapta este mai mică (mai tânără) decât cea anterioară. Și invers: când te deplasezi de la dreapta la stânga, fiecare cifră următoare este mai mare (mai veche) decât cea anterioară. De exemplu, cifra a miilor este mai veche decât cifra a sutelor, dar mai tânără decât cifra a milioanelor.
Să lămurim că atunci când rezolvăm câteva exemple practice, nu se folosește numărul natural în sine, ci suma termenilor de biți ai unui număr dat.
Pe scurt despre sistemul numeric zecimal
Definiția 9Notaţie- o metodă de scriere a numerelor folosind semne.
Sisteme numerice poziționale- cele în care valoarea unei cifre din număr depinde de poziția acesteia în notația numărului.
Conform acestei definiții, putem spune că, în timp ce studiem numerele naturale și modul în care sunt scrise mai sus, am folosit sistemul numeric pozițional. Numărul 10 joacă un loc special aici. Continuăm să numărăm în zeci: zece unități fac zece, zece zeci se unesc într-o sută și așa mai departe. Numărul 10 servește ca bază a acestui sistem de numere, iar sistemul în sine este numit și zecimal.
În plus, există și alte sisteme de numere. De exemplu, informatica folosește sistemul binar. Când ținem evidența timpului, folosim sistemul numeric sexagesimal.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Matematica a apărut din filosofia generală în jurul secolului al VI-lea î.Hr. e., iar din acel moment a început marșul ei victorios în jurul lumii. Fiecare etapă de dezvoltare a introdus ceva nou - numărătoarea elementară a evoluat, s-a transformat în calcul diferențial și integral, secolele s-au schimbat, formulele au devenit din ce în ce mai confuze și a venit momentul în care „a început cea mai complexă matematică - toate numerele au dispărut din ea”. Dar care a fost baza?
Începutul timpului
Numerele naturale au apărut odată cu primele operații matematice. Odată o coloană vertebrală, doi țepi, trei țepi... Au apărut datorită oamenilor de știință indieni care au dedus primul pozițional
Cuvântul „poziționalitate” înseamnă că locația fiecărei cifre dintr-un număr este strict definită și corespunde categoriei sale. De exemplu, numerele 784 și 487 sunt aceleași numere, dar numerele nu sunt echivalente, deoarece primul include 7 sute, în timp ce al doilea doar 4. Inovația indienilor a fost preluată de arabi, care au adus numerele la forma pe care o cunoaștem acum.
În antichitate, numerelor li s-a dat un sens mistic, Pitagora credea că numărul stă la baza creării lumii împreună cu elementele principale - foc, apă, pământ, aer. Dacă luăm în considerare totul numai din punct de vedere matematic, atunci ce este un număr natural? Câmpul numerelor naturale se notează cu N și este o serie infinită de numere care sunt întregi și pozitive: 1, 2, 3, … + ∞. Zero este exclus. Este folosit în principal pentru numărarea articolelor și indicarea comenzii.
Ce este în matematică? Axiomele lui Peano
Câmpul N este câmpul de bază pe care se bazează matematica elementară. De-a lungul timpului, câmpurile numerelor întregi, raționale,
Lucrarea matematicianului italian Giuseppe Peano a făcut posibilă structurarea ulterioară a aritmeticii, a atins formalitatea acesteia și a deschis calea pentru concluzii ulterioare care au depășit domeniul N.
Ce este un număr natural a fost clarificat mai devreme în limbaj simplu, mai jos vom lua în considerare o definiție matematică bazată pe axiomele lui Peano.
- Unul este considerat un număr natural.
- Numărul care urmează unui număr natural este un număr natural.
- Nu există un număr natural înainte de unu.
- Dacă numărul b urmează atât numărul c cât și numărul d, atunci c=d.
- Axioma inducției, care la rândul ei arată ce este un număr natural: dacă o afirmație care depinde de un parametru este adevărată pentru numărul 1, atunci presupunem că funcționează și pentru numărul n din câmpul numerelor naturale N. Atunci afirmația este valabilă și pentru n =1 din câmpul numerelor naturale N.
Operații de bază pentru domeniul numerelor naturale
Deoarece câmpul N a devenit primul pentru calcule matematice, atât domeniile de definiție, cât și intervalele de valori ale unui număr de operații de mai jos se referă la el. Sunt inchise si nu. Principala diferență este că operațiunile închise sunt garantate pentru a lăsa un rezultat în mulțimea N, indiferent de numerele implicate. Este suficient să fie naturale. Rezultatul interacțiunilor numerice rămase nu mai este atât de clar și depinde direct de ce fel de numere sunt implicate în expresie, deoarece poate contrazice definiția principală. Deci, operațiuni închise:
- adunarea - x + y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
- înmulțire - x * y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
- exponentiație - x y , unde x, y sunt incluse în câmpul N.
Operațiunile rămase, al căror rezultat poate să nu existe în contextul definiției „ce este un număr natural”, sunt următoarele:
Proprietățile numerelor aparținând câmpului N
Toate raționamentele matematice ulterioare se vor baza pe următoarele proprietăți, cele mai banale, dar nu mai puțin importante.
- Proprietatea comutativă a adunării este x + y = y + x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N. Sau binecunoscutul „suma nu se modifică dintr-o modificare a locurilor termenilor”.
- Proprietatea comutativă a înmulțirii este x * y = y * x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N.
- Proprietatea asociativă a adunării este (x + y) + z = x + (y + z), unde x, y, z sunt incluse în câmpul N.
- Proprietatea asociativă a înmulțirii este (x * y) * z = x * (y * z), unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.
- proprietatea distribuției - x (y + z) = x * y + x * z, unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.
Masa lui Pitagora
Unul dintre primii pași în cunoașterea întregii structuri a matematicii elementare de către școlari, după ce au înțeles singuri care numere sunt numite naturale, este tabelul lui Pitagora. Poate fi considerat nu numai din punct de vedere al științei, ci și ca un monument științific valoros.
Această masă de înmulțire a suferit o serie de modificări de-a lungul timpului: zero a fost eliminat din ea, iar numerele de la 1 la 10 se desemnează, fără a ține cont de ordine (sute, mii...). Este un tabel în care titlurile rândurilor și coloanelor sunt numere, iar conținutul celulelor intersecției lor este egal cu produsul lor.
În practica predării din ultimele decenii, a fost nevoie de memorarea tabelului pitagoreic „în ordine”, adică memorarea a fost prima. Înmulțirea cu 1 a fost exclusă deoarece rezultatul a fost 1 sau mai mare. Între timp, în tabelul cu ochiul liber, puteți vedea un model: produsul numerelor crește cu un pas, care este egal cu titlul liniei. Astfel, al doilea factor ne arată de câte ori trebuie să-l luăm pe primul pentru a obține produsul dorit. Acest sistem este mult mai convenabil decât cel practicat în Evul Mediu: chiar și înțelegând ce este un număr natural și cât de banal este, oamenii au reușit să-și complice numărarea de zi cu zi folosind un sistem bazat pe puterile a doi.
Subset ca leagăn al matematicii
În prezent, domeniul numerelor naturale N este considerat doar una dintre submulțimile numerelor complexe, dar acest lucru nu le face mai puțin valoroase în știință. Un număr natural este primul lucru pe care un copil îl învață studiind pe sine și lumea din jurul lui. Un deget, două degete ... Datorită lui, o persoană dezvoltă gândirea logică, precum și capacitatea de a determina cauza și de a deduce efectul, deschizând calea unor mari descoperiri.
Definiție
Numerele naturale sunt numite numere destinate numărării obiectelor. Pentru înregistrarea numerelor naturale se folosesc 10 cifre arabe (0–9), care formează baza sistemului de numere zecimal acceptat în general pentru calculele matematice.
Succesiunea numerelor naturale
Numerele naturale formează o serie care începe la 1 și acoperă mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive. O astfel de succesiune este formată din numerele 1,2,3, ... . Aceasta înseamnă că în seria naturală:
- Există un număr cel mai mic și nu cel mai mare.
- Fiecare număr următor este mai mare decât cel anterior cu 1 (excepția este unitatea în sine).
- Pe măsură ce numerele merg la infinit, ele cresc la infinit.
Uneori, într-o serie de numere naturale este introdus și 0. Acest lucru este permis și apoi se vorbește despre extins serie naturală.
Clase de numere naturale
Fiecare cifră a unui număr natural exprimă o anumită cifră. Ultimul este întotdeauna numărul de unități din număr, cel de dinainte este numărul de zeci, al treilea de la sfârșit este numărul de sute, al patrulea este numărul de mii și așa mai departe.
- în numărul 276: 2 sute, 7 zeci, 6 unități
- în numărul 1098: 1 mie, 9 zeci, 8 unități; locul sutelor este absent aici, deoarece este exprimat ca zero.
Pentru numere mari și foarte mari, puteți vedea o tendință constantă (dacă examinați numărul de la dreapta la stânga, adică de la ultima cifră la prima):
- ultimele trei cifre din număr sunt unități, zeci și sute;
- cele trei anterioare sunt unități, zeci și sute de mii;
- cele trei din fața lor (adică a 7-a, a 8-a și a 9-a cifră ale numărului, numărând de la sfârșit) sunt unități, zeci și sute de milioane etc.
Adică, de fiecare dată când avem de-a face cu trei cifre, adică unități, zeci și sute de un nume mai mare. Astfel de grupuri formează clase. Și dacă ai de-a face mai des sau mai puțin des cu primele trei clase din viața de zi cu zi, atunci ar trebui să fie enumerate și altele, pentru că nu toată lumea își amintește numele pe de rost.
- Clasa a 4-a, urmând clasa milioanelor și reprezentând numere de 10-12 cifre, se numește miliard (sau miliard);
- clasa a V-a - trilion;
- clasa a VI-a - cvadrilion;
- clasa a VII-a - chintilion;
- clasa a VIII-a - sextilion;
- Clasa a IX-a - septillion.
Adunarea numerelor naturale
Adunarea numerelor naturale este o operație aritmetică care vă permite să obțineți un număr care conține atâtea unități câte există în numerele adunate.
Semnul adunării este semnul „+”. Numerele adăugate se numesc termeni, rezultatul se numește sumă.
Numerele mici sunt adăugate (însumate) oral, în scris astfel de acțiuni sunt scrise într-o linie.
Numerele cu mai multe cifre, care sunt greu de adăugat în minte, sunt de obicei adăugate într-o coloană. Pentru aceasta, numerele sunt scrise una sub alta, aliniate cu ultima cifră, adică se scriu cifra unităților sub cifra unităților, cifra sutelor sub cifra sutelor și așa mai departe. Apoi, trebuie să adăugați cifrele în perechi. Dacă adăugarea cifrelor are loc cu o tranziție printr-un zece, atunci acest zece este fixat ca o unitate deasupra cifrei din stânga (adică după ea) și se adună împreună cu cifrele acestei cifre.
Dacă nu 2, ci mai multe numere sunt adăugate la coloană, atunci atunci când însumăm cifrele categoriei, nu 1 duzină, ci mai multe, pot fi redundante. În acest caz, numărul acestor zeci este transferat la următoarea cifră.
Scăderea numerelor naturale
Scăderea este o operație aritmetică, inversul adunării, care se rezumă la faptul că, având în vedere cantitatea și unul dintre termeni, trebuie să găsiți altul - un termen necunoscut. Numărul din care se scade se numește minuend; numărul care se scade este subtrahendul. Rezultatul scăderii se numește diferență. Semnul care denotă operația de scădere este „-”.
În trecerea la adunare, subtrahendul și diferența se transformă în termeni, iar redusul în sumă. Adunarea verifică de obicei corectitudinea scăderii efectuate și invers.
Aici 74 este minuend, 18 este subtraend, 56 este diferența.
O condiție prealabilă pentru scăderea numerelor naturale este următoarea: minuend trebuie să fie neapărat mai mare decât subtraend. Numai în acest caz diferența rezultată va fi și un număr natural. Dacă acțiunea de scădere este efectuată pentru o serie naturală extinsă, atunci este permis ca minuendul să fie egal cu subtraendul. Și rezultatul scăderii în acest caz va fi 0.
Notă: dacă scăderea este egală cu zero, atunci operația de scădere nu modifică valoarea minuendului.
Scăderea numerelor cu mai multe cifre se face de obicei într-o coloană. Notați numerele în același mod ca pentru adunare. Scăderea se efectuează pentru cifrele corespunzătoare. Dacă se dovedește că minuend este mai mic decât subtraend, atunci se ia unul din cifra anterioară (situată în stânga), care, după transfer, se transformă în mod natural în 10. Acest zece se însumează cu cifra redusă. cifra dată și apoi scăzută. În plus, la scăderea cifrei următoare, este necesar să se țină cont de faptul că reducerea a devenit cu 1 mai puțin.
Produsul numerelor naturale
Produsul (sau înmulțirea) numerelor naturale este o operație aritmetică, care este găsirea sumei unui număr arbitrar de termeni identici. Pentru a înregistra operația de înmulțire, utilizați semnul „·” (uneori „×” sau „*”). De exemplu: 3 5=15.
Acțiunea înmulțirii este indispensabilă atunci când este necesară adăugarea unui număr mare de termeni. De exemplu, dacă trebuie să aduni numărul 4 de 7 ori, atunci înmulțirea lui 4 cu 7 este mai ușoară decât să faci această adunare: 4+4+4+4+4+4+4.
Numerele care se înmulțesc se numesc factori, rezultatul înmulțirii este produsul. În consecință, termenul „muncă” poate, în funcție de context, să exprime atât procesul de înmulțire, cât și rezultatul acestuia.
Numerele cu mai multe cifre sunt înmulțite într-o coloană. Pentru acest număr se scrie în același mod ca și pentru adunare și scădere. Este recomandat să scrieți mai întâi (mai sus) care dintre cele 2 numere, care este mai lungă. În acest caz, procesul de înmulțire va fi mai simplu și, prin urmare, mai rațional.
La înmulțirea într-o coloană, cifrele fiecăreia dintre cifrele celui de-al doilea număr sunt înmulțite succesiv cu cifrele primului număr, începând de la sfârșitul acestuia. După ce au găsit prima astfel de lucrare, ei notează numărul de unități și țin cont de numărul de zeci. La înmulțirea cifrei celui de-al 2-lea număr cu următoarea cifră a primului număr, numărul de care se ține cont este adăugat la produs. Și din nou notează numărul de unități ale rezultatului obținut și își amintesc numărul de zeci. La înmulțirea cu ultima cifră a primului număr, numărul obținut în acest fel se notează în întregime.
Rezultatele înmulțirii cifrelor celei de-a 2-a cifre a celui de-al doilea număr sunt scrise în al doilea rând, deplasându-l cu 1 celulă la dreapta. etc. Ca urmare, se va obține o „scara”. Toate rândurile de numere rezultate trebuie adăugate (conform regulii de adunare într-o coloană). Celulele goale ar trebui considerate pline cu zerouri. Suma rezultată este produsul final.
Notă
- Produsul oricărui număr natural cu 1 (sau 1 cu un număr) este egal cu numărul însuși. De exemplu: 376 1=376; 1 86=86.
- Când unul dintre factori sau ambii factori sunt egali cu 0, atunci produsul este egal cu 0. De exemplu: 32·0=0; 0845=845; 0 0=0.
Împărțirea numerelor naturale
Împărțirea se numește operație aritmetică, cu ajutorul căreia, după un produs cunoscut și unul dintre factori, se poate găsi un alt factor - necunoscut. Împărțirea este inversul înmulțirii și este folosită pentru a verifica dacă o înmulțire a fost efectuată corect (și invers).
Numărul care este împărțit se numește divizibil; numărul cu care se împarte este divizorul; rezultatul unei împărțiri se numește coeficient. Semnul de împărțire este „:” (uneori, mai rar - „÷”).
Aici 48 este dividendul, 6 este divizorul și 8 este coeficientul.
Nu toate numerele naturale pot fi împărțite între ele. În acest caz, împărțirea se efectuează cu un rest. Constă în faptul că pentru divizor un astfel de factor este selectat astfel încât produsul său de către divizor să fie un număr cât mai apropiat ca valoare de dividend, dar mai mic decât acesta. Divizorul se înmulțește cu acest factor și se scade din dividend. Diferența va fi restul diviziei. Produsul unui divizor cu un factor se numește coeficient incomplet. Atenție: restul trebuie să fie mai mic decât multiplicatorul selectat! Dacă restul este mai mare, atunci aceasta înseamnă că multiplicatorul este ales incorect și ar trebui mărit.
Selectăm un factor pentru 7. În acest caz, acest număr este 5. Găsim un coeficient incomplet: 7 5 \u003d 35. Calculați restul: 38-35=3. Din 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
Numerele cu mai multe cifre sunt împărțite într-o coloană. Pentru a face acest lucru, dividendul și divizorul sunt scrise una lângă alta, separând divizorul cu o linie verticală și orizontală. În dividend, sunt selectate prima cifră sau primele câteva cifre (pe dreapta), care ar trebui să fie un număr care este minim suficient pentru împărțirea la un divizor (adică acest număr trebuie să fie mai mare decât divizorul). Pentru acest număr, este selectat un coeficient incomplet, așa cum este descris în regula împărțirii cu un rest. Numărul multiplicatorului folosit pentru a găsi câtul parțial este scris sub divizor. Coeficientul incomplet este scris sub numărul care a fost împărțit, aliniat la dreapta. Găsiți diferența lor. Următoarea cifră a dividendului este demolată scriind-o lângă această diferență. Pentru numărul rezultat, se găsește din nou un coeficient incomplet notând cifra factorului selectat, lângă cel anterior sub divizor. etc. Astfel de acțiuni sunt efectuate până la epuizarea numerelor dividendului. După aceea, împărțirea este considerată completă. Dacă dividendul și divizorul sunt împărțite în întregime (fără rest), atunci ultima diferență va da zero. În caz contrar, numărul rămas va fi returnat.
Exponentiatie
Exponentiarea este o operatie matematica care consta in inmultirea unui numar arbitrar de numere identice. De exemplu: 2 2 2 2.
Astfel de expresii sunt scrise ca: un x,
Unde A este un număr înmulțit cu el însuși X este numărul acestor factori.
Numere naturale prime și compuse
Orice număr natural, cu excepția lui 1, poate fi împărțit cu cel puțin 2 numere - unul și el însuși. Pe baza acestui criteriu, numerele naturale se împart în prime și compuse.
Numerele prime sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu el însuși. Numerele care sunt divizibile cu mai mult de aceste 2 numere se numesc numere compuse. O unitate divizibilă numai prin ea însăși nu este nici primă, nici compusă.
Numerele sunt prime: 2,3,5,7,11,13,17,19 etc. Exemple de numere compuse: 4 (divizibil cu 1,2,4), 6 (divizibil cu 1,2,3,6), 20 (divizibil cu 1,2,4,5,10,20).
Orice număr compus poate fi descompus în factori primi. În acest caz, factorii primi sunt înțeleși ca fiind divizorii săi, care sunt numere prime.
Un exemplu de factorizare în factori primi:
Divizori ai numerelor naturale
Un divizor este un număr cu care un anumit număr poate fi împărțit fără rest.
În conformitate cu această definiție, numerele naturale simple au 2 divizori, numerele compuse au mai mult de 2 divizori.
Multe numere au divizori comuni. Divizorul comun este numărul cu care numerele date sunt divizibile fără rest.
- Numerele 12 și 15 au un divizor comun 3
- Numerele 20 și 30 au divizori comuni 2,5,10
De o importanță deosebită este cel mai mare divizor comun (MCD). Acest număr, în special, este util pentru a putea găsi pentru fracții reducătoare. Pentru a-l găsi, este necesar să descompuneți numerele date în factori primi și să îl prezentați ca produsul factorilor lor primi comuni, luați în puterile lor cele mai mici.
Este necesar să găsiți GCD-ul numerelor 36 și 48.
Divizibilitatea numerelor naturale
Este departe de a fi întotdeauna posibil să se determine „cu ochi” dacă un număr este divizibil cu altul fără rest. În astfel de cazuri, este util testul de divizibilitate corespunzător, adică regula prin care în câteva secunde puteți determina dacă este posibil să împărțiți numere fără rest. Semnul „” este folosit pentru a indica divizibilitatea.
Cel mai mic multiplu comun
Această valoare (notată LCM) este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre cele date. LCM poate fi găsit pentru o mulțime arbitrară de numere naturale.
LCM, ca și GCD, are o semnificație aplicată semnificativă. Deci, LCM este cel care trebuie găsit prin reducerea fracțiilor obișnuite la un numitor comun.
LCM este determinată prin factorizarea numerelor date în factori primi. Pentru formarea lui se ia un produs, format din fiecare dintre factorii primi care apar (cel putin pentru 1 numar) reprezentati la gradul maxim.
Este necesar să găsiți LCM al numerelor 14 și 24.
In medie
Media aritmetică a unui număr arbitrar (dar finit) de numere naturale este suma tuturor acestor numere împărțită la numărul de termeni:
Media aritmetică este o valoare medie pentru un set de numere.
Sunt date numerele 2,84,53,176,17,28. Este necesar să se găsească media lor aritmetică.
Recomandăm și noi
Se încarcă...