Cum să găsiți diferența unei progresii aritmetice dacă este cunoscută. Progresie aritmetică

De exemplu, secvența \(2\); \(cinci\); \(8\); \(unsprezece\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):

În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.

Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. De exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii sunt numite in scadere.

Notarea progresiei aritmetice

Progresia este indicată de o literă latină mică.

Numerele care formează o progresie se numesc aceasta membrii(sau elemente).

Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) este formată din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Rezolvarea problemelor pe o progresie aritmetică

În principiu, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă pe o progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este dată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_5=23\)

Exemplu (OGE). Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Soluţie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică fiecare element diferă de cel vecin prin același număr. Aflați care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\).
	Acum ne putem restabili progresul la elementul dorit (primul negativ).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(-3\)

Exemplu (OGE). Sunt date mai multe elemente succesive ale unei progresii aritmetice: \(...5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului notat cu litera \(x\).
Soluţie:

	Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\).
	Și acum găsim fără probleme ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: \(7,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

	Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile, ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile pe rând, folosind cele care ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	S-a găsit suma solicitată.

Răspuns: \(S_6=9\).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(d=7\).

Formule importante de progresie aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme de progresie aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element următor din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent (diferența a progresiei).

Cu toate acestea, uneori există situații când este foarte incomod să rezolvi „pe frunte”. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu, trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ce este, \ (385 \) ori să adunăm patru? Sau imaginați-vă că, în penultimul exemplu, trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Numărarea este confuză...

Prin urmare, în astfel de cazuri, ei nu rezolvă „pe frunte”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) a primilor termeni.

Formula pentru \(n\)-lea membru: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul membru al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).

Această formulă ne permite să găsim rapid cel puțin elementul trei sute, chiar milionul, cunoscând doar primul și diferența de progresie.

Exemplu. Progresia aritmetica este data de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Soluţie:

Răspuns: \(b_(246)=1850\).

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde

\(a_n\) este ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este dată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pentru a calcula suma primelor douăzeci și cinci de elemente, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (vezi detalii). Să calculăm primul element înlocuind \(n\) cu unul.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Ei bine, acum calculăm suma necesară fără probleme.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(25)=1090\).

Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula pentru aceasta \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni este: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde

\(S_n\) – suma necesară \(n\) a primelor elemente;
\(a_1\) este primul termen care trebuie însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) - numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(paisprezece\)…
Soluţie:

Răspuns: \(S_(33)=-231\).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare problemele în care trebuie nu numai să aplici formule, ci și să te gândești puțin (la matematică, acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluţie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm la fel: mai întâi găsim \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Acum am înlocui \(d\) în formula pentru suma ... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom opri adăugarea elementelor când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Avem nevoie ca \(a_n\) să fie mai mare decât zero. Să aflăm pentru ce \(n\) se va întâmpla asta.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Tehnica de calcul...
\(n>65.333…\)		…și se dovedește că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Astfel, trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetica este data de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea la \(42\) element inclusiv.
Soluţie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	În această problemă, trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Nu avem o formulă pentru asta. Cum să decizi? Ușor - pentru a obține suma de la \(26\)th la \(42\)th, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \(1\)th la \(42\)th, apoi scădeți din ea suma din primul la \ (25 \) al-lea (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \(a_1=-33\) și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm patru la elementul anterior pentru a-l găsi pe următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Acum suma primelor \(25\)-celele elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Și, în sfârșit, calculăm răspunsul.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Răspuns: \(S=1683\).

Pentru o progresie aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilităţii lor practice reduse. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel precedent cu aceeași cantitate.

Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indici de litere, al n-lea membru al progresiei, diferența progresiei - toate acestea sunt oarecum confuze, da ... Să ne dăm seama care este semnificația progresiei aritmetice și totul se va rezolva imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această linie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.

Să complicăm sarcina. Dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Puteți să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă v-ați dat seama că acest număr este 20 - vă felicit! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale unei progresii aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu înțelegi, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să construim grafice și toate astea... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr diferă de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este de trei ori mai mare decât cel precedent. De fapt, acest moment este cel care ne oferă posibilitatea de a surprinde tiparul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar foarte, foarte important. Aici era: fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cincilea și așa mai departe. Dacă le încurci la întâmplare, modelul va dispărea. Va dispărea și progresia aritmetică. Este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în noul subiect apar termeni și notații noi. Ei trebuie să știe. Altfel, nu vei înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n) dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiră?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, de altfel, nu ar putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a notației. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această valoare este numită . Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult cel precedent.

Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr de progresie adăugând diferența unei progresii aritmetice față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele rândului, este necesar să primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga la Al patrulea bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică pot fi pozitiv atunci fiecare număr al seriei se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici este fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să-ți găsești orientarea în decizie, să-ți detectezi greșelile și să le corectezi înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr al seriei anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru o progresie aritmetică crescătoare:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din rând pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

Poți doar să iei orice număr de progresii, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nici anterior.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegem orice număr de progresie, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are numărul lui. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul membru, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotare- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în formă generală? Nici o problemă! Fiecare număr din serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, de regulă, se folosește litera A. Numărul membrului este indicat de indexul din dreapta jos. Membrii se scriu separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 este primul număr a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie această serie pe scurt astfel: (un n).

Sunt progresii finit și infinit.

Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie o progresie finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Într-o scurtă intrare, va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva deja sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea sensului progresiei aritmetice.

Exemple de sarcini pentru progresia aritmetică.

Să aruncăm o privire mai atentă la sarcina de mai sus:

1. Notează primii șase membri ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Având în vedere o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de starea problemei. Primii șase membri, unde al doilea membru este de cinci:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Inlocuim in expresie a 2 = 5Și d=-2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen este mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, astfel încât numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, termenii de la al treilea la al șaselea au fost calculati. Aceasta a rezultat într-o serie:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 după binecunoscuta secundă. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, dar la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, observ că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă, doar, căutarea unui membru al progresiei după numărul anterior (adiacent). Alte modalități de a lucra cu progresia vor fi discutate mai târziu.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un membru și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.

Tine minte? Această concluzie simplă ne permite să rezolvăm majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al unei progresii. Tot.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, luați în considerare câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n=5, d=0,4 și a 1=3,6.

Totul este simplu aici. Totul este deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt calculați, numărați și scrieți membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu săriți peste cuvintele din condiția sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne de scris răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n) dacă a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să definești ceva?

Cum-cum... Da, notează progresia sub formă de serie și vezi dacă va fi un șapte sau nu! Noi credem:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresiei date.

Raspuns: nu.

Și iată o sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

4. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; nouă; 6; ...

Iată o serie fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să vedem și să vedem ce putem descoperi din linia asta? Care sunt parametrii celor trei principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența unei progresii aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:

Au rămas spații goale. Ce număr va fi cel anterior pentru x? Cincisprezece. Deci x poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. La 15 adăugați diferența unei progresii aritmetice:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste puzzle-uri nu sunt pentru formule. Pur și simplu pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de cifre-litere, privim și gândim.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.

7. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Găsiți un 3.

8. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescându-și treptat viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/h.

10. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; nouă; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți învăța progresia aritmetică la un nivel superior în următoarele lecții.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt împărțite în bucăți.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat rezolvarea unor astfel de sarcini clar, clar, ca în palma mâinii!

Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul - pur prin progresie, iar al doilea - comun tuturor sarcinilor din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Acesta arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție, am examinat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va decide.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte din serie, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai dificile. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absolut absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Și ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Este posibil să te sinucizi!?

Poți.) Dacă nu cunoști o formulă simplă prin care poți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acea problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi trece imediat la treabă.

Pentru început, câteva exemple. Luați în considerare mai multe seturi de numere:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ce au toate aceste seturi în comun? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.

Judecă singur. Primul set este doar numere consecutive, fiecare mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja egală cu cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, există rădăcini în general. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, în timp ce $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. caz în care fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă speriați că acest număr este irațional).

Deci: toate astfel de secvențe se numesc doar progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiție. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.

Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.

Și doar câteva observații importante. În primul rând, progresia este luată în considerare numai ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Nu puteți rearanja sau schimba numerele.

În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva de genul (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Punctele de suspensie după cele patru, parcă, sugerează că destul de multe numere merg mai departe. Infinit multe, de exemplu. :)

De asemenea, aș dori să remarc că progresiile sunt în creștere și scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul, cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:

Definiție. O progresie aritmetica se numeste:

1. crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;
2. descrescătoare, dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.

În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:

1. Dacă $d \gt 0$, atunci progresia este în creștere;
2. Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
3. În sfârșit, există cazul $d=0$ — în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare de mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți numărul din stânga din numărul din dreapta. Va arata asa:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

După cum puteți vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit cu adevărat negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.

Membrii progresiei și formulei recurente

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi interschimbate, ele pot fi numerotate:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta\)\]

Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai progresiei. Ele sunt indicate astfel cu ajutorul unui număr: primul membru, al doilea membru etc.

În plus, după cum știm deja, membrii vecini ai progresiei sunt legați prin formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Pe scurt, pentru a găsi $n$-lea termen al progresiei, trebuie să cunoașteți $n-1$-lea termen și diferența $d$. O astfel de formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr, cunoscându-l doar pe cel anterior (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai complicată care reduce orice calcul la primul termen și diferența:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]

Probabil ați mai întâlnit această formulă. Le place să-l dea în tot felul de cărți de referință și reshebniks. Și în orice manual sensibil de matematică, este unul dintre primele.

Totuși, vă sugerez să exersați puțin.

Sarcina numărul 1. Notați primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Răspuns: (8; 3; -2)

Asta e tot! Rețineți că progresia noastră este în scădere.

Desigur, $n=1$ nu ar fi putut fi înlocuit - știm deja primul termen. Totuși, înlocuind unitatea, ne-am asigurat că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.

Sarcina numărul 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este -40 și al șaptesprezecelea termen este -50.

Soluţie. Scriem starea problemei în termenii obișnuiți:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \dreapta.\]

Am pus semnul sistemului pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Și acum observăm că dacă scădem prima ecuație din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Așa am găsit diferența de progres! Rămâne să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Gata! Problema rezolvata.

Răspuns: (-34; -35; -36)

Atenție la o proprietate curioasă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de la celălalt, atunci obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

O proprietate simplă, dar foarte utilă pe care cu siguranță ar trebui să o cunoașteți - cu ajutorul ei puteți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme cu progresii. Iată un prim exemplu în acest sens:

Sarcina numărul 3. Al cincilea termen al progresiei aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.

Soluţie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, de unde avem:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Răspuns: 20.4

Asta e tot! Nu a fost nevoie să compunem niciun sistem de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost decis în doar câteva linii.

Acum să luăm în considerare un alt tip de problemă - căutarea membrilor negativi și pozitivi ai progresiei. Nu este un secret că, dacă progresia crește, în timp ce primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii descrescătoare vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.

În același timp, este departe de a fi întotdeauna posibil să găsim acest moment „pe frunte”, sortând secvenţial printre elemente. Adesea, problemele sunt concepute în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe foi - doar am adormi până am găsi răspunsul. Prin urmare, vom încerca să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.

Sarcina numărul 4. Câți termeni negativi într-o progresie aritmetică -38,5; -35,8; …?

Soluţie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, din care găsim imediat diferența:

Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia este în creștere. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.

Să încercăm să aflăm: cât timp (adică până la ce număr natural $n$) se păstrează negativitatea termenilor:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ultima linie are nevoie de clarificare. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, doar valorile întregi ale numărului ne vor potrivi (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16.

Sarcina numărul 5. În progresia aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.

Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen în termeni de primul și diferența folosind formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Acum procedăm prin analogie cu problema anterioară. Aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.

Vă rugăm să rețineți că în ultima sarcină totul a fost redus la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.

Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să învățăm o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor. :)

Media aritmetică și liniuțe egale

Luați în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe o linie numerică:

Membrii progresiei aritmetice pe linia numerică

Am notat în mod special membrii arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ și nu orice $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula, pe care o voi spune acum, funcționează la fel pentru orice „segmente”.

Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recursivă și să o notăm pentru toți membrii marcați:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ei bine, ce? Dar faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - ei sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ cu aceeași distanță egală cu $2d$. Puteți continua la nesfârșit, dar imaginea ilustrează bine sensul

Membrii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că puteți găsi $((a)_(n))$ dacă numerele învecinate sunt cunoscute:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Am dedus o afirmație magnifică: fiecare membru al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a membrilor vecini! Mai mult, ne putem abate de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și totuși formula va fi corectă:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Acestea. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe sarcini sunt special „ascuțite” pentru utilizarea mediei aritmetice. Aruncă o privire:

Sarcina numărul 6. Găsiți toate valorile lui $x$ astfel încât numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ să fie membri consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea specificată).

Soluţie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultatul este o ecuație pătratică clasică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.

Răspuns: -3; 2.

Sarcina numărul 7. Găsiți valorile lui $$ astfel încât numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ să formeze o progresie aritmetică (în această ordine).

Soluţie. Din nou, exprimăm termenul de mijloc în termenii mediei aritmetice a termenilor învecinați:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\dreapta.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

O altă ecuație pătratică. Și din nou două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.

Raspunsul 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme obții niște numere brutale, sau nu ești complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există un truc minunat care îți permite să verifici: am rezolvat corect problema?

Să presupunem că în problema 6 avem răspunsurile -3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care ar trebui să formeze o progresie aritmetică. Înlocuiește $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Am primit numerele -54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema este rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua sarcină, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.

În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste un alt fapt interesant care trebuie reținut:

Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literalmente progresiile necesare pe baza stării problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja luat în considerare.

Gruparea și suma elementelor

Să revenim din nou la linia numerică. Remarcăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. merită mulți alți membri:

6 elemente marcate pe linia numerică

Să încercăm să exprimăm „coada din stânga” în termeni de $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” în termeni de $((a)_(k))$ și $ d$. E foarte simplu:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul față de celălalt sau invers pentru a ne îndepărta), apoi sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai bine reprezentat grafic:

Aceleași liniuțe dau sume egale

Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:

Sarcina numărul 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.

Soluţie. Să scriem tot ce știm:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Deci, nu cunoaștem diferența progresiei $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pentru cei din rezervor: am scos factorul comun 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul dorit este o funcție pătratică în raport cu variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă deschidem parantezele, obținem:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

După cum puteți vedea, coeficientul cu cel mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:

graficul unei funcții pătratice - parabolă

Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă după schema standard (există o formulă $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să rețineți că vârful dorit se află pe simetria axei parabolei, deci punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

De aceea nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ce ne dă numărul descoperit? Cu acesta, produsul solicitat ia cea mai mică valoare (apropo, nu am calculat $((y)_(\min ))$ - acest lucru nu este cerut de la noi). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul. :)

Răspuns: -36

Sarcina numărul 9. Introduceți trei numere între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ astfel încât împreună cu numerele date să formeze o progresie aritmetică.

Soluţie. De fapt, trebuie să facem o succesiune de cinci numere, primul și ultimul număr fiind deja cunoscute. Notează numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă în acest moment nu putem obține $y$ din numerele $x$ și $z$, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Amintiți-vă media aritmetică:

Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ tocmai găsit. De aceea

Argumentând în mod similar, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le notăm în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.

Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Sarcina numărul 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu numerele date, formează o progresie aritmetică, dacă se știe că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.

Soluţie. O sarcină și mai dificilă, care, însă, se rezolvă la fel ca și cele precedente - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere să introducem. Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că după inserare vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică dorită poate fi reprezentată ca:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 care stau la margini cu un pas unul față de celălalt. , adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Dar atunci expresia de mai sus poate fi rescrisă astfel:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]

Rămâne doar să găsiți membrii rămași:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței - numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sarcini de text cu progresii

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme relativ simple. Ei bine, la fel de simple: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste sarcini pot părea un gest. Cu toate acestea, tocmai astfel de sarcini sunt întâlnite în OGE și USE în matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.

Sarcina numărul 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în ​​cea precedentă. Câte piese a produs brigada în noiembrie?

Soluţie. Evident, numărul de piese, vopsit pe lună, va fi o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. Și:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Prin urmare, în noiembrie vor fi fabricate 202 piese.

Sarcina numărul 12. Atelierul de legătorie a legat 216 cărți în ianuarie, iar în fiecare lună a legat cu 4 cărți mai multe decât luna precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?

Soluţie. Tot la fel:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.

Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânăr de luptători” în progresii aritmetice. Putem trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula sumei progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.

Mulți au auzit de o progresie aritmetică, dar nu toată lumea este conștientă de ce este. În acest articol, vom oferi o definiție adecvată și vom lua în considerare, de asemenea, întrebarea cum să găsim diferența unei progresii aritmetice și vom oferi o serie de exemple.

Definiție matematică

Deci, dacă vorbim despre o progresie aritmetică sau algebrică (aceste concepte definesc același lucru), atunci aceasta înseamnă că există o serie de numere care îndeplinește următoarea lege: fiecare două numere adiacente din serie diferă cu aceeași valoare. Din punct de vedere matematic, aceasta este scrisă astfel:

Aici n înseamnă numărul elementului a n din succesiune, iar numărul d este diferența de progresie (denumirea acestuia decurge din formula prezentată).

Ce înseamnă a cunoaște diferența d? Cam cât de departe sunt numerele adiacente. Cu toate acestea, cunoașterea lui d este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru a determina (restaura) întreaga progresie. Trebuie să știți încă un număr, care poate fi absolut orice element al seriei luate în considerare, de exemplu, un 4, a10, dar, de regulă, se folosește primul număr, adică un 1.

Formule pentru determinarea elementelor progresiei

În general, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a trece la rezolvarea unor probleme specifice. Cu toate acestea, înainte de a da o progresie aritmetică și va fi necesar să găsim diferența acesteia, prezentăm câteva formule utile, facilitând astfel procesul ulterior de rezolvare a problemelor.

Este ușor de arătat că orice element al șirului cu număr n poate fi găsit astfel:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Într-adevăr, toată lumea poate verifica această formulă cu o enumerare simplă: dacă înlocuiți n = 1, atunci obțineți primul element, dacă înlocuiți n = 2, atunci expresia dă suma primului număr și diferența și așa mai departe .

Condițiile multor probleme sunt compilate în așa fel încât pentru o pereche cunoscută de numere, ale căror numere sunt și ele date în succesiune, este necesar să se restabilească întreaga serie de numere (găsiți diferența și primul element). Acum vom rezolva această problemă într-un mod general.

Deci, să presupunem că ni se dau două elemente cu numere n și m. Folosind formula obținută mai sus, putem compune un sistem de două ecuații:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Pentru a găsi cantități necunoscute, folosim o metodă simplă binecunoscută pentru rezolvarea unui astfel de sistem: scădem părțile din stânga și din dreapta în perechi, în timp ce egalitatea rămâne valabilă. Avem:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Astfel, am eliminat o necunoscută (a 1). Acum putem scrie expresia finală pentru determinarea d:

d = (a n - a m) / (n - m), unde n > m

Am obținut o formulă foarte simplă: pentru a calcula diferența d în conformitate cu condițiile problemei, este necesar doar să luăm raportul dintre diferențele dintre elementele în sine și numerele lor de serie. Trebuie acordată atenție unui punct important: diferențele sunt luate între membrii „senior” și „junior”, adică n> m („senior” - adică stând mai departe de începutul secvenței, valoarea sa absolută poate fi fie element mai mult sau mai puțin mai „tânăr”).

Expresia diferenței d a progresiei ar trebui înlocuită în oricare dintre ecuațiile de la începutul soluției problemei pentru a obține valoarea primului termen.

În epoca noastră a dezvoltării tehnologiei informatice, mulți școlari încearcă să găsească soluții pentru sarcinile lor pe Internet, așa că apar adesea întrebări de acest tip: găsiți diferența unei progresii aritmetice online. La o astfel de solicitare, motorul de cautare va afisa un numar de pagini web, accesand la care, va trebui sa introduceti datele cunoscute din conditie (pot fi fie doi membri ai progresiei, fie suma unora dintre ei) și obțineți instantaneu un răspuns. Cu toate acestea, o astfel de abordare a rezolvării problemei este neproductivă în ceea ce privește dezvoltarea elevului și înțelegerea esenței sarcinii care i-a fost atribuită.

Soluție fără a folosi formule

Să rezolvăm prima problemă, în timp ce nu vom folosi niciuna dintre formulele de mai sus. Să fie date elementele seriei: a6 = 3, a9 = 18. Aflați diferența progresiei aritmetice.

Elementele cunoscute sunt apropiate unele de altele la rând. De câte ori trebuie adăugată diferența d la cea mai mică pentru a obține cea mai mare? De trei ori (prima dată adăugând d, obținem al 7-lea element, a doua oară - a opta, în sfârșit, a treia oară - a noua). Ce număr trebuie adăugat la trei de trei ori pentru a obține 18? Acesta este numărul cinci. Într-adevăr:

Astfel, diferența necunoscută este d = 5.

Desigur, soluția s-ar putea face folosind formula adecvată, dar acest lucru nu a fost făcut intenționat. O explicație detaliată a soluției problemei ar trebui să devină un exemplu clar și viu a ceea ce este o progresie aritmetică.

O sarcină similară celei anterioare

Acum să rezolvăm o problemă similară, dar să schimbăm datele de intrare. Deci, ar trebui să aflați dacă a3 = 2, a9 = 19.

Desigur, puteți recurge din nou la metoda de rezolvare „pe frunte”. Dar, deoarece sunt date elementele seriei, care sunt relativ îndepărtate, o astfel de metodă nu devine foarte convenabilă. Dar folosirea formulei rezultate ne va conduce rapid la răspuns:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Aici am rotunjit numărul final. Cât de mult a condus această rotunjire la o eroare poate fi judecat verificând rezultatul:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Acest rezultat diferă doar cu 0,1% de valoarea dată în condiție. Prin urmare, rotunjirea la sutimile utilizate poate fi considerată o alegere bună.

Sarcini pentru aplicarea formulei pentru un membru

Să luăm în considerare un exemplu clasic al problemei determinării necunoscutului d: găsiți diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 12, a5 = 40.

Când sunt date două numere dintr-o succesiune algebrică necunoscută, iar unul dintre ele este elementul a 1 , atunci nu trebuie să vă gândiți mult, dar ar trebui să aplicați imediat formula pentru un membru. În acest caz avem:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Am obținut numărul exact la împărțire, așa că nu are sens să verificăm acuratețea rezultatului calculat, așa cum sa făcut în paragraful anterior.

Să rezolvăm o altă problemă similară: ar trebui să găsim diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 16, a8 = 37.

Folosim o abordare similară cu cea anterioară și obținem:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ce altceva ar trebui să știi despre progresia aritmetică

Pe lângă problemele de găsire a unei diferențe necunoscute sau a elementelor individuale, este adesea necesar să se rezolve problemele sumei primilor termeni ai unei secvențe. Luarea în considerare a acestor probleme depășește domeniul de aplicare al subiectului articolului, totuși, pentru caracterul complet al informațiilor, prezentăm o formulă generală pentru suma de n numere ale seriei:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Tema „progresiune aritmetică” este studiată la cursul general de algebră în școlile din clasa a IX-a. Acest subiect este important pentru studiul aprofundat al matematicii seriilor de numere. În acest articol, ne vom familiariza cu progresia aritmetică, diferența acesteia, precum și cu sarcinile tipice cu care se pot confrunta școlarii.

Conceptul de progresie algebrică

O progresie numerică este o succesiune de numere în care fiecare element ulterior poate fi obținut din cel anterior dacă se aplică o lege matematică. Există două tipuri simple de progresie: geometrică și aritmetică, care este numită și algebrică. Să ne oprim asupra ei mai detaliat.

Imaginați-vă un număr rațional, notați-l prin simbolul a 1 , unde indicele indică numărul său ordinal din seria luată în considerare. Să adăugăm un alt număr la un 1, să-l notăm d. Apoi al doilea element al seriei poate fi reflectat astfel: a 2 = a 1 + d. Acum adăugați din nou d, obținem: a 3 = a 2 + d. Continuând această operație matematică, puteți obține o serie întreagă de numere, care se vor numi progresie aritmetică.

După cum se poate înțelege din cele de mai sus, pentru a găsi al n-lea element al acestei secvențe, trebuie să utilizați formula: a n = a 1 + (n-1) * d. Într-adevăr, înlocuind n=1 în expresie, obținem a 1 = a 1, dacă n = 2, atunci formula implică: a 2 = a 1 + 1*d, și așa mai departe.

De exemplu, dacă diferența progresiei aritmetice este 5 și a 1 = 1, atunci aceasta înseamnă că seria de numere a tipului în cauză are forma: 1, 6, 11, 16, 21, ... După cum se poate vedea, fiecare dintre membrii săi este cu 5 mai mult decât precedentul.

Formule aritmetice de diferență de progresie

Din definiția de mai sus a seriei de numere luate în considerare, rezultă că pentru a o determina, trebuie să cunoașteți două numere: a 1 și d. Aceasta din urmă se numește diferența acestei progresii. Determină în mod unic comportamentul întregii serii. Într-adevăr, dacă d este pozitiv, atunci seria de numere va crește constant, dimpotrivă, în cazul d negativ, numerele din serie vor crește doar modulo, în timp ce valoarea lor absolută va scădea odată cu creșterea numărului n.

Care este diferența dintre o progresie aritmetică? Luați în considerare cele două formule principale care sunt utilizate pentru a calcula această valoare:

1. d = a n+1 -a n , această formulă rezultă direct din definiția seriei de numere considerate.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), această expresie se obține prin exprimarea d din formula dată în paragraful anterior al articolului. Rețineți că această expresie devine nedeterminată (0/0) dacă n=1. Acest lucru se datorează faptului că este necesar să cunoașteți cel puțin 2 elemente ale seriei pentru a determina diferența acesteia.

Aceste două formule de bază sunt folosite pentru a rezolva orice problemă de găsire a diferenței de progresie. Cu toate acestea, există o altă formulă despre care trebuie să știți.

Suma primelor elemente

Formula, care poate fi folosită pentru a determina suma oricărui număr de membri ai unei progresii algebrice, conform dovezilor istorice, a fost obținută pentru prima dată de „prințul” matematicii din secolul al XVIII-lea, Carl Gauss. Un om de știință german, pe când era încă băiat în clasele elementare ale unei școli din sat, a observat că pentru a adăuga numere naturale în seria de la 1 la 100, trebuie mai întâi să însumați primul element și ultimul (valoarea rezultată va fi egală). la suma penultimului și al doilea, penultimul și al treilea elemente și așa mai departe), iar apoi acest număr ar trebui înmulțit cu numărul acestor sume, adică cu 50.

Formula care reflectă rezultatul declarat pe un anumit exemplu poate fi generalizată la un caz arbitrar. Va arăta astfel: S n = n/2*(a n + a 1). Rețineți că pentru a găsi valoarea specificată, cunoașterea diferenței d nu este necesară dacă sunt cunoscuți doi membri ai progresiei (a n și a 1).

Exemplul #1. Determinați diferența cunoscând cei doi termeni ai seriei a1 și an

Vom arăta cum să aplicați formulele indicate mai sus în articol. Să dăm un exemplu simplu: diferența progresiei aritmetice este necunoscută, este necesar să se determine cu ce va fi egală dacă 13 \u003d -5,6 și 1 \u003d -12,1.

Deoarece cunoaștem valorile a două elemente ale șirului numeric, iar unul dintre ele este primul număr, putem folosi formula nr. 2 pentru a determina diferența d. Avem: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. În expresie, am folosit valoarea n=13, deoarece membrul cu acest număr ordinal este cunoscut.

Diferența rezultată indică faptul că progresia este în creștere, în ciuda faptului că elementele date în starea problemei au o valoare negativă. Se poate observa că a 13 >a 1 , deși |a 13 |<|a 1 |.

Exemplul #2. Termeni pozitivi de progres în exemplul #1

Să folosim rezultatul obținut în exemplul anterior pentru a rezolva o nouă problemă. Se formulează astfel: de la ce număr ordinal elementele progresiei din exemplul nr.1 încep să ia valori pozitive?

După cum sa arătat, progresia în care a 1 = -12,1 și d = 0,54167 este în creștere, astfel încât de la un anumit număr numerele vor lua doar valori pozitive. Pentru a determina acest număr n este necesar să rezolvăm o inegalitate simplă, care se scrie matematic astfel: a n>0 sau, folosind formula corespunzătoare, rescriem inegalitatea: a 1 + (n-1)*d>0. Este necesar să găsim necunoscutul n, să-l exprimăm: n>-1*a 1 /d + 1. Acum rămâne să înlocuim valorile cunoscute ale diferenței și primul membru al șirului. Se obține: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 sau n>23,338. Deoarece n poate lua numai valori întregi, din inegalitatea obținută rezultă că orice termeni ai seriei care au un număr mai mare de 23 vor fi pozitivi.

Să verificăm răspunsul nostru folosind formula de mai sus pentru a calcula al 23-lea și al 24-lea elemente ale acestei progresii aritmetice. Avem: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​​​0,54167 \u003d -0,18326 (număr negativ); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (valoare pozitivă). Astfel, rezultatul obținut este corect: pornind de la n=24, toți membrii seriei numerice vor fi mai mari decât zero.

Exemplul #3. Câți bușteni vor potrivi?

Iată o problemă interesantă: în timpul tăierii, s-a decis să stivuiți buștenii tăiați unul peste altul, așa cum se arată în figura de mai jos. Câți bușteni pot fi stivuiți în acest fel, știind că se vor încadra în total 10 rânduri?

În acest mod de pliere a buștenilor, se poate observa un lucru interesant: fiecare rând următor va conține un buștean mai puțin decât cel anterior, adică există o progresie algebrică, a cărei diferență este d=1. Presupunând că numărul de bușteni din fiecare rând este un membru al acestei progresii și, de asemenea, ținând cont de faptul că un 1 = 1 (doar un buștean va încadra în partea de sus), găsim numărul a 10 . Avem: un 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Adică, în al 10-lea rând, care se află pe pământ, vor fi 10 bușteni.

Cantitatea totală a acestei construcții „piramidale” poate fi obținută folosind formula Gauss. Obținem: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 de busteni.