4 numere iraționale cu exemple. Ce sunt numerele raționale și iraționale

Mulțimea numerelor iraționale este de obicei notată cu majuscule Literă latină I (\displaystyle \mathbb (I) ) cu caractere aldine fără umplere. În acest fel: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), adică mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.

Existența numerelor iraționale, mai precis a segmentelor care sunt incomensurabile cu un segment de lungime unitară, era deja cunoscută de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce echivalează cu iraționalitatea. a numărului.

YouTube enciclopedic

1 / 5
Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Să spunem contrariul: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rațional, adică reprezentat ca o fracție m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Unde m (\displaystyle m) este un număr întreg și n (\displaystyle n)- numar natural .
Să punem la pătrat presupusa egalitate:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Săgeată la dreapta m^(2)=2n^(2)).
Istorie

Antichitate

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcini pătrate unele numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit [ ] .
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. ] .
Nu există date exacte despre iraționalitatea cărui număr a fost dovedit de Hippasus. Potrivit legendei, el a găsit-o studiind lungimile laturilor pentagramei. Prin urmare, este rezonabil să presupunem că aceasta a fost raportul de aur [ ] .
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippas a pus înainte matematica pitagoreică problema serioasa, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Cu un segment de unitate de lungime, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:
.
Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi

Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Deci presupunerea inițială a fost greșită și - ir Numar rational.

Logaritmul binar al numărului 3

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi

Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.

e

Istorie

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui isoscel triunghi dreptunghic conține un număr întreg de segmente de unitate, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b selectat ca cel mai mic posibil.
- Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
- pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- În măsura în care A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- pentru că A chiar, denotă A = 2y.
- Apoi A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
- Cu toate acestea, s-a dovedit că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Vezi si

Note

Sisteme numerice
Socoteală
seturi Numere naturale () Numere întregi ()

Numar rational este un număr reprezentat printr-o fracție obișnuită m/n, unde numărătorul m este un număr întreg și numitorul n este un număr natural. Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală infinită periodică. Mulțimea numerelor raționale se notează cu Q.

Dacă un număr real nu este rațional, atunci este număr irațional . Fracțiile zecimale care exprimă numere iraționale sunt infinite și nu periodice. Setul de numere iraționale este de obicei notat cu litera latină mare I.

Numărul real este numit algebric, dacă este o rădăcină a unui polinom (grad diferit de zero) cu coeficienți raționali. Se numește orice număr non-algebric transcendent.

Unele proprietăți:
La rezolvarea problemelor, este convenabil, împreună cu numărul irațional a + b√ c (unde a, b sunt numere raționale, c este un număr întreg care nu este un pătrat al unui număr natural), să se considere numărul „conjugat” cu it a - b√ c: suma și produsul său cu numerele originale - raționale. Deci a + b√ c și a – b√ c sunt rădăcinile unei ecuații pătratice cu coeficienți întregi.

Probleme cu soluțiile

1. Demonstrează că

a) numărul √ 7;

b) numărul lg 80;

c) numărul √ 2 + 3 √ 3;

este iraţional.

a) Să presupunem că numărul √ 7 este rațional. Atunci, există coprime p și q astfel încât √ 7 = p/q, de unde obținem p 2 = 7q 2 . Deoarece p și q sunt între prime, atunci p 2 și, prin urmare, p este divizibil cu 7. Atunci р = 7k, unde k este un număr natural. Prin urmare, q 2 = 7k 2 = pk, ceea ce contrazice faptul că p și q sunt coprime.

Deci, ipoteza este falsă, deci numărul √ 7 este irațional.

b) Să presupunem că numărul lg 80 este rațional. Atunci există p și q naturale astfel încât lg 80 = p/q, sau 10 p = 80 q , de unde obținem 2 p–4q = 5 q–p . Ținând cont de faptul că numerele 2 și 5 sunt între prime, obținem că ultima egalitate este posibilă numai pentru p–4q = 0 și q–p = 0. De unde p = q = 0, ceea ce este imposibil, deoarece p și q sunt ales să fie natural.

Deci, ipoteza este falsă, deci numărul lg 80 este irațional.

c) Să notăm acest număr cu x.

Apoi (x - √ 2) 3 \u003d 3 sau x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). După ce punem la pătrat această ecuație, obținem că x trebuie să satisfacă ecuația

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Rădăcinile sale raționale pot fi doar numerele 1 și -1. Verificarea arată că 1 și -1 nu sunt rădăcini.

Deci, numărul dat √ 2 + 3 √ 3 este irațional.

2. Se știe că numerele a, b, √ a –√ b ,- rațional. Demonstrează asta √ a și √ b sunt și numere raționale.

Luați în considerare produsul

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Număr √ a + √ b , care este egal cu raportul numerelor a – b și √ a –√ b , este rațional deoarece câtul a două numere raționale este un număr rațional. Suma a două numere raționale

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

este un număr rațional, diferența lor,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

este și un număr rațional, care trebuia demonstrat.

3. Demonstrați că există numere iraționale pozitive a și b pentru care numărul a b este natural.

4. Există numere raționale a, b, c, d care satisfac egalitatea

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

unde n este un număr natural?

Dacă egalitatea dată în condiție este satisfăcută și numerele a, b, c, d sunt raționale, atunci egalitatea este de asemenea îndeplinită:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Dar 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Contradicția rezultată demonstrează că egalitatea inițială este imposibilă.

Răspuns: nu există.

5. Dacă segmentele cu lungimile a, b, c formează un triunghi, atunci pentru toate n = 2, 3, 4, . . . segmentele cu lungimi n √ a , n √ b , n √ c formează, de asemenea, un triunghi. Dovedește-o.

Dacă segmentele cu lungimile a, b, c formează un triunghi, atunci inegalitatea triunghiului dă

Prin urmare avem

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Cazurile rămase de verificare a inegalității triunghiului sunt considerate similar, din care rezultă concluzia.

6. Demonstrați că fracția zecimală infinită 0,1234567891011121314... numere întregiîn ordine) este un număr irațional.

După cum știți, numerele raționale sunt exprimate ca fracții zecimale, care au o perioadă care începe de la un anumit semn. Prin urmare, este suficient să demonstrăm că această fracție nu este periodică cu niciun semn. Să presupunem că nu este cazul, iar o secvență T, constând din n cifre, este perioada unei fracții, începând de la a m-a zecimală. Este clar că după a mi-a cifră există cifre diferite de zero, deci există o cifră diferită de zero în succesiunea de cifre T. Aceasta înseamnă că pornind de la a m-a cifră după virgulă zecimală, printre orice n cifre dintr-un rând există o cifră diferită de zero. Totuși, în notația zecimală a acestei fracții, trebuie să existe o notație zecimală pentru numărul 100...0 = 10 k , unde k > m și k > n. Este clar că această intrare va apărea în dreapta cifrei a m-a și va conține mai mult de n zerouri la rând. Astfel, obținem o contradicție, care completează demonstrația.

7. Având în vedere o fracție zecimală infinită 0,a 1 a 2 ... . Demonstrați că cifrele din notația sa zecimală pot fi rearanjate astfel încât fracția rezultată să exprime un număr rațional.

Amintiți-vă că o fracție exprimă un număr rațional dacă și numai dacă este periodic, pornind de la un semn. Împărțim numerele de la 0 la 9 în două clase: în prima clasă includem acele numere care apar în fracția originală de un număr finit de ori, în clasa a doua - cele care apar în fracția originală de un număr infinit de ori. Să începem să scriem o fracție periodică, care poate fi obținută din permutarea inițială a cifrelor. În primul rând, după zero și o virgulă, scriem în ordine aleatorie toate numerele din prima clasă - fiecare de câte ori apare în introducerea fracției inițiale. Primele cifre de clasă scrise vor preceda punctul în partea fracționară a zecimalei. Apoi, notăm numerele din clasa a doua într-o anumită ordine o dată. Vom declara această combinație o perioadă și o vom repeta de un număr infinit de ori. Astfel, am scris fracția periodică necesară care exprimă un număr rațional.

8. Demonstrați că în fiecare fracție zecimală infinită există o succesiune de cifre zecimale de lungime arbitrară, care apare de nenumărate ori în expansiunea fracției.

Fie m un număr natural dat arbitrar. Să despărțim această fracție zecimală infinită în segmente, fiecare cu m cifre. Vor exista o infinitate de astfel de segmente. Pe de altă parte, diverse sisteme, format din m cifre, există doar 10 m , adică un număr finit. În consecință, cel puțin unul dintre aceste sisteme trebuie repetat aici de nenumărate ori.

Cometariu. Pentru numere iraționale √ 2 , π sau e nici măcar nu știm care cifră se repetă de nenumărate ori în infinitele zecimale care le reprezintă, deși se poate demonstra cu ușurință că fiecare dintre aceste numere conține cel puțin două astfel de cifre distincte.

9. Demonstrați în mod elementar că rădăcina pozitivă a ecuației

este iraţional.

Pentru x > 0, partea stângă a ecuației crește cu x și este ușor de observat că la x = 1,5 este mai mică decât 10, iar la x = 1,6 este mai mare decât 10. Prin urmare, singura rădăcină pozitivă a lui ecuația se află în interiorul intervalului (1,5 ; 1,6).

Scriem rădăcina ca o fracție ireductibilă p/q, unde p și q sunt numere naturale coprime. Atunci, pentru x = p/q, ecuația va lua următoarea formă:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

de unde rezultă că p este un divizor al lui 10, prin urmare, p este egal cu unul dintre numerele 1, 2, 5, 10. Totuși, notând fracții cu numărătorii 1, 2, 5, 10, observăm imediat că niciunul dintre ele se încadrează în intervalul (1,5; 1,6).

Deci, rădăcina pozitivă a ecuației originale nu poate fi reprezentată ca fracție comună, ceea ce înseamnă că este un număr irațional.

10. a) Există trei puncte A, B și C pe plan astfel încât pentru orice punct X lungimea a cel puțin unuia dintre segmentele XA, XB și XC să fie irațională?

b) Coordonatele vârfurilor triunghiului sunt raționale. Demonstrați că coordonatele centrului cercului său circumscris sunt de asemenea raționale.

c) Există o sferă pe care să existe exact un punct rațional? (Un punct rațional este un punct pentru care toate cele trei coordonate carteziene sunt numere raționale.)

a) Da, există. Fie C punctul mijlociu al segmentului AB. Atunci XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Dacă numărul AB 2 este irațional, atunci numerele XA, XB și XC nu pot fi raționale în același timp.

b) Fie (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) și (a 3 ; b 3) coordonatele vârfurilor triunghiului. Coordonatele centrului cercului său circumscris sunt date de sistemul de ecuații:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Este ușor de verificat dacă aceste ecuații sunt liniare, ceea ce înseamnă că soluția sistemului de ecuații considerat este rațională.

c) O astfel de sferă există. De exemplu, o sferă cu ecuația

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Punctul O cu coordonatele (0; 0; 0) este un punct rațional situat pe această sferă. Punctele rămase ale sferei sunt iraționale. Să demonstrăm.

Să presupunem contrariul: fie (x; y; z) un punct rațional al sferei, diferit de punctul O. Este clar că x este diferit de 0, deoarece pentru x = 0 există o soluție unică (0; 0). ; 0), pe care nu ne putem interesa acum. Să extindem parantezele și să exprimăm √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

care nu poate fi pentru rațional x, y, z și irațional √ 2 . Deci, O(0; 0; 0) este singurul punct rațional al sferei luate în considerare.

Probleme fără soluții

1. Demonstrați că numărul

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

este iraţional.

2. Pentru ce numere întregi m și n este valabilă egalitatea (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Există un număr a astfel încât numerele a - √ 3 și 1/a + √ 3 să fie numere întregi?

4. Numerele 1, √ 2, 4 pot fi membri (nu neapărat adiacente) unei progresii aritmetice?

5. Demonstrați că pentru orice număr întreg pozitiv n ecuația (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 nu are soluții în numerele raționale (x; y).

Un număr rațional este un număr care poate fi reprezentat ca o fracție, unde . Q este mulțimea tuturor numerelor raționale.

Numerele raționale se împart în: pozitive, negative și zero.

Fiecare număr rațional poate fi asociat cu un singur punct pe linia de coordonate. Relația „la stânga” pentru puncte corespunde relației „mai puțin decât” pentru coordonatele acestor puncte. Se poate observa că fiecare număr negativ este mai mic decât zero și fiecare număr pozitiv; a două numere negative, cel al cărui modul este mai mare este mai mic. Deci, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică zecimală. De exemplu, .

Algoritmii pentru operații pe numere raționale decurg din regulile semnelor pentru operațiile corespunzătoare pe fracții zero și pozitive. Q efectuează o altă împărțire decât împărțirea la zero.

Orice ecuație liniară, adică ecuația de forma ax+b=0, unde , este rezolvabilă pe mulțimea Q, dar nu orice ecuație pătratică drăguț , este rezolvabil în numere raționale. Nu orice punct de pe o dreaptă de coordonate are un punct rațional. Chiar și la sfârșitul secolului al VI-lea î.Hr. n. e în școala lui Pitagora, s-a dovedit că diagonala unui pătrat nu este proporțională cu înălțimea lui, ceea ce echivalează cu afirmația: „Ecuația nu are rădăcini raționale”. Toate cele de mai sus au condus la necesitatea extinderii mulțimii Q, a fost introdus conceptul de număr irațional. Notați cu literă mulțimea numerelor iraționale J .

Pe o linie de coordonate, toate punctele care nu au coordonate raționale au coordonate iraționale. , unde r– se stabilește numere reale. într-un mod universal atribuirile de numere reale sunt zecimale. Decimalele periodice definesc numerele raționale, iar zecimale neperiodice definesc numerele iraționale. Deci, 2,03 (52) este un număr rațional, 2,03003000300003 ... (perioada fiecărei cifre următoare „3” se mai scrie cu un zero) este un număr irațional.

Mulțimile Q și R au proprietățile pozitivității: între oricare două numere raționale există un număr rațional, de exemplu, ecoi a
Pentru fiecare număr irațional α se poate preciza o aproximare rațională atât cu o deficiență, cât și cu un exces cu orice precizie: a< α
Operația de extragere a unei rădăcini din unele numere raționale duce la numere iraționale. Extragerea rădăcinii unui grad natural este o operație algebrică, adică. introducerea lui este legată de rezolvarea unei ecuații algebrice de formă . Dacă n este impar, adică n=2k+1, unde , atunci ecuația are o singură rădăcină. Dacă n este par, n=2k, unde , atunci pentru a=0 ecuația are o singură rădăcină x=0, pentru a<0 корней нет, при a>0 are două rădăcini care sunt opuse una față de cealaltă. Extragerea unei rădăcini este operația inversă a creșterii la o putere naturală.

Rădăcina aritmetică (pentru concizie, rădăcina) al n-lea grad al unui număr nenegativ a este un număr nenegativ b, care este rădăcina ecuației. Rădăcina gradului al n-lea din numărul a se notează prin simbol. Pentru n=2 nu este indicat gradul rădăcinii 2: .

De exemplu, pentru că 2 2 =4 și 2>0; , deoarece 3 3 =27 și 3>0; nu există pentru că -4<0.

Pentru n=2k și a>0, rădăcinile ecuației (1) se scriu ca și . De exemplu, rădăcinile ecuației x 2 \u003d 4 sunt 2 și -2.

Pentru n impar, ecuația (1) are o singură rădăcină pentru orice . Dacă a≥0, atunci - rădăcina acestei ecuații. În cazul în care un<0, то –а>0 și - rădăcina ecuației. Deci, ecuația x 3 \u003d 27 are o rădăcină.

Toate numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție comună. Acest lucru se aplică numerelor întregi (de exemplu, 12, -6, 0) și fracțiilor zecimale finale (de exemplu, 0,5; -3,8921) și fracțiilor zecimale periodice infinite (de exemplu, 0,11(23); -3 ,(87) )).

dar infinite zecimale nerecurente nu pot fi reprezentate ca fracții obișnuite. Asta sunt ei numere irationale(adică irațional). Un exemplu de astfel de număr este π, care este aproximativ egal cu 3,14. Cu toate acestea, nu se poate determina exact ceea ce este egal, deoarece după numărul 4 există o serie nesfârșită de alte numere în care nu se pot distinge perioade care se repetă. În același timp, deși numărul π nu poate fi exprimat exact, el are o semnificație geometrică specifică. Numărul π este raportul dintre lungimea oricărui cerc și lungimea diametrului său. Astfel, numerele iraționale există în natură, la fel ca și numerele raționale.

Un alt exemplu de numere iraționale este rădăcinile pătrate ale numerelor pozitive. Extragerea rădăcinilor din unele numere dă valori raționale, din altele - iraționale. De exemplu, √4 = 2, adică rădăcina lui 4 este un număr rațional. Dar √2, √5, √7 și multe altele au ca rezultat numere iraționale, adică pot fi extrase doar cu o aproximare, rotunjită la o anumită zecimală. În acest caz, fracția se obține neperiodic. Adică, este imposibil să spunem exact și sigur care este rădăcina acestor numere.

Deci √5 este un număr între 2 și 3, deoarece √4 = 2 și √9 = 3. De asemenea, putem concluziona că √5 este mai aproape de 2 decât de 3, deoarece √4 este mai aproape de √5 decât √9 de √5. Într-adevăr, √5 ≈ 2,23 sau √5 ≈ 2,24.

Numerele iraționale se obțin și în alte calcule (și nu numai la extragerea rădăcinilor), ele sunt negative.

În raport cu numerele iraționale, putem spune că indiferent de ce segment de unitate luăm pentru a măsura lungimea exprimată de un astfel de număr, nu o putem măsura cu siguranță.

În operațiile aritmetice, numerele iraționale pot participa împreună cu cele raționale. În același timp, există o serie de regularități. De exemplu, dacă într-o operație aritmetică sunt implicate numai numere raționale, atunci rezultatul este întotdeauna un număr rațional. Dacă doar cei iraționali participă la operațiune, atunci este imposibil să spunem fără echivoc dacă va rezulta un număr rațional sau irațional.

De exemplu, dacă înmulțiți două numere iraționale √2 * √2, obțineți 2 - acesta este un număr rațional. Pe de altă parte, √2 * √3 = √6 este un număr irațional.

Dacă o operație aritmetică implică un număr rațional și un număr irațional, atunci se va obține un rezultat irațional. De exemplu, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.

De ce este √17 - 4 un număr irațional? Imaginați-vă că obțineți un număr rațional x. Atunci √17 = x + 4. Dar x + 4 este un număr rațional, deoarece am presupus că x este rațional. Numărul 4 este de asemenea rațional, deci x + 4 este rațional. Totuși, un număr rațional nu poate fi egal cu iraționalul √17. Prin urmare, ipoteza că √17 - 4 dă un rezultat rațional este incorectă. Rezultatul unei operații aritmetice va fi irațional.

Cu toate acestea, există o excepție de la această regulă. Dacă înmulțim un număr irațional cu 0, obținem un număr rațional 0.
Recomandăm și noi